初一数学竞赛10

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人教版七年级数学竞赛试题含答案

七年级数学竞赛（时间40分钟，满分100分）姓名_______班级________分数_________1、（10）已知关于x 的一元一次方程a x 20223x 20211+=+的解为x=1，那么关于y 的一元一次方程a 6y 202236y 20211++=++）（）（的解为：________________. 2、（10）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，F (n )＝3n＋1；②当n 为偶数时，F (n )＝n 2k [其中k 是使F (n )为奇数的正整数]，两种运算交替重复进行．例如，取n ＝24，则：若n ＝13，则第2021次“F ”运算的结果是________________．3、（10）已知多项式－a 12＋a 11b －a 10b 2＋…＋ab 11－b 12.(1)请你按照上述规律写出多项式的第五项，并指出它的系数和次数；(2)这个多项式是几次几项式？4、（10）请你将如图所示的两个正方形和两个长方形拼成一个较大的正方形，并列式计算所拼图形的面积．5、（15）材料阅读题阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋2100的值．解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100.①将等式①两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2100＋2101.②②－①，得2S－S＝2101－1，即S＝2101－1.所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋2100＝2101－1.请你仿照此法计算：(1)1＋3＋32＋33＋34＋…＋32019＋32020.(2)已知数列：－1，9，－92，93，－94，…. (Ⅰ)它的第100个数是多少？(Ⅰ)求这列数中前100个数的和．6、（15）数学家苏步青先生有一次在德国与另一位数学家同乘一辆电车，这位数学家出了一道题请苏先生解答．甲、乙两人同时从相距10 km的A，B两地出发，相向而行，甲每小时走6 km，乙每小时走4 km，甲带着一只狗和他同时出发，狗以每小时10 km 的速度向乙奔去，遇到乙后立即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住．则这只狗共跑了多少千米？7、（15）已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋…＋a1x＋a0，求下列各式的值：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)a1－a2＋a3－a4＋a5；(3)a1＋a3＋a5.8、（15）如图，数轴上两个动点A，B开始时所对应的数分别为－8，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且点A的运动速度为2个单位长度/秒．(1)A，B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求点B的运动速度；(2)A，B两点按上面的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？(3)A，B两点按上面的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点C从原点出发向同方向运动，且在运动过程中，始终有CB∶CA＝1∶2，若干秒后，点C表示的数为－10，求此时点B表示的数．参考答案：1、-52、43、[解析] 观察所给条件，a 的指数逐次减1，b 的指数逐次加1，每一项的次数都为12.各项系数分别为－1，1，－1，1，…，“－1”与“1”间隔出现，奇数项系数为－1，偶数项系数为1.解：(1)第五项为－a 8b 4，它的系数为－1，次数为12.(2) 十二次十三项式．4、[解析] 根据题意拼出正方形ABCD ，将两个正方形和两个长方形的面积相加即可求出答案．解：如图所示，正方形ABCD 即为所拼图形．正方形ABCD 的面积是a 2＋ab ＋ab ＋b 2或(a ＋b)2.5、解：(1)设S ＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋32019＋32020.①将等式①两边同时乘3，得3S ＝3＋32＋33＋34＋…＋32020＋32021.②②－①，得3S －S ＝32021－1，即S ＝12(32021－1)．所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋32019＋32020＝12(32021－1)． (2)(Ⅰ)第100个数是999.(Ⅰ)设S ＝－1＋9－92＋93－94＋…－998＋999.③将等式③两边同时乘9，得9S ＝－9＋92－93＋94－95＋…－999＋9100.④③＋④，得10S ＝9100－1，即S ＝110(9100－1)．所以这列数中前100个数的和是110(9100－1)． 6、[解析] 本题已知狗的奔跑速度是每小时10 km ，求狗奔跑的路程，它的奔跑时间是解决本题的关键，狗从甲、乙两人出发到甲、乙两人相遇时，一直在两人之间不断地奔跑，因此狗奔跑的时间即甲、乙两人从出发到相遇的时间．解：根据题意，得x 10＝106＋4.7、解：因为(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋…＋a 1x ＋a 0，所以令x ＝0，得(－1)5＝a 0，即a 0＝－1.①令x ＝－1，得(－3)5＝－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0，即－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243.②令x ＝1，得15＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0，即a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1.③(1)③－①，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1－(－1)＝2.(2)①－②，得a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝(－1)－(－243)＝242.(3)(③－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＝(1＋243)÷2＝122.8、解：(1)设点B 的运动速度为x 个单位长度/秒，列方程为82x ＝4，解得x ＝1. 答：点B 的运动速度为1个单位长度/秒．(2)设两点运动t 秒时相距6个单位长度．①若点A 在点B 的左侧，则2t －t ＝(4＋8)－6，解得t ＝6；②若点A 在点B 的右侧，则2t －t ＝(4＋8)＋6，解得t ＝18.答：当A ，B 两点运动6秒或18秒时相距6个单位长度．(3)设点C 的运动速度为y 个单位长度/秒．由始终有CB ∶CA ＝1∶2，列方程，得2－y ＝2(y －1)，解得y ＝43. 当点C 表示的数为－10时，所用的时间为1043＝152(秒)，此时点B 所表示的数为4－152×1＝－72. 答：此时点B 表示的数为－72.。

初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)

初中数学竞赛专项训练（1）（实数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为（） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

则（）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。

#初中数学竞赛分专题训练试题及解析(10套,76页)

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为（） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

初一数学竞赛专题 (10)

初一数学竞赛第10讲计数的方法与原理计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。

一、枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京，他要了解所有可供乘坐的车次共有多少，一个最易行的办法是找一张全国列车运行时刻表，将所有从武汉到北京的车次逐一挑出来，共有多少次车也就数出来了，这种计数方法就是枚举法。

所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。

运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。

例1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。

问：一共有多少种不同的方法？解：设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d。

先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法。

同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法。

一共有3＋3＋3=9（种）不同的方法。

例2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。

问：一共有多少种可能的情况？解：如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况。

同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况。

一共有 7＋7=14（种）可能的情况。

二、加法原理如果完成一件事情有n类方法，而每一类方法中分别有m1，m2，…，mn种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有：N=m1+m2+…mn种方法。

这是我们所熟知的加法原理，也是利用分类法计数的依据。

例3一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。

例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。

问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？解：一位回文数有：1，2，…，9，共9个；二位回文数有：11，22，…，99，共9个；三位回文数有：101，111，…，999，共90个；四位回文数有：1001，1111，…，9999，共90个；五位回文数有：10001，10101，…，99999，共900个；六位回文数有：100001，101101，…，999999，共900个。

初中数学竞赛：十进制的记数法

初中数学竞赛：十进制的记数法【内容提要】1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。

底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n (第n+1位上的数)例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×102、十进制的n 位数(n 为正整数)，n n a a a a 321 记作：10n-1a 1+10n-2a 2+10n-3+…+102a n-2+10a n-1+a n其中最高位a 1≠0，即0<a 1≤9，其它是0≤a 1,a 2,a 3…a n ≤93、各位上的数字相同的正整数记法：例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴99999个n ＝10n -1 11111个n ＝9110-n ， 33333个n ＝3110-n ， 55555个n ＝()91105-n4、解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。

【例题】例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。

解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x ＋1，根据题意，得 10x ＋1＝3（1×105＋x ） 7x=299999 x=42857∴原六位数是142857例2. 设n 为正整数，计算 99999个n × 99999个n ＋199999个n 解：原数＝（10n –1）×（10 n –1）+1×10n +10n －1 ＝102n －2×10n +1+10n +10n －1＝102n例3.试证明12，1122，111222，……， 1111个n 2222个n 这些数都是两个相邻的正整数的积证明：12＝3×4， 1122＝33×34，111222＝333×334注意到333×334＝333×（333＋1）＝31-103×（31-103＋1）由经验归纳法，得1111个n 2222个n ＝9110-n ×10n +()91102-n ＝3110-n （310n ＋32）＝3110-n （)13110+-n 上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。

初一希望杯数学竞赛二试训练10

15.对任意两个正整数x,y，定义一个“※”新运算，即： x※y=2(2xy-x-y). 若正整数a,b满足a ※b=888,则这样的有序对（a,b）共有对。
有序数对（a,b）共有4对。
16.若x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除，则ab=
.
17.y=|x+1|+|x+2|+|x+3|,当x= 最小值等于。
2.北京奥运期间，体育场馆要对观众进行安全检查．设某体育馆在安检开始时已有若干名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度增加．又设各安检人员的安检效率相同．若用3名工作人员进行安检，需要25分钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；若用6名工作人员进行安检，时间则缩短了10分钟．现要求不超过5分钟完成上述过程，则至少要安排（）名工作人员进行安检． A.9 B.10 C.11 D.12
可以设小长方形的长和宽为未知数，根据图示可以得到长和宽的比例关系的方程，及根据小长方形的面积是3也可得到小长方形长和宽的一个方程式，解方程组即可得到小长形的长和宽，再可得到长方形的周长．
7.方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解(x,y)的个数是（ A .0 B.1 C.3 D.无穷多
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
）
解：原方程可化为x（x+1）（x+2）+3（x2+x）=y（y-1）（y+1）+2， ∵三个连续整数的乘积是3的倍数， ∴上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．
∴原方程无整数解．
8.墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走（）个小正方体． A.25 B.28 C.24 D.27 留下靠墙的正方体，以及墙角处向外的一列正方体，依次数出搬走的小正方体的个数相加即可．

初一数学竞赛系列讲座(10)_5

初一数学竞赛系列讲座(10)应用题（二）一、一、知识要点1、工程类问题工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。

它们满足如下基本关系式：工作效率⨯工作时间=工作总量解工程问题时常将工作总量当作整体“1”2、溶液类问题溶质：能溶解到溶剂中的物质。

如盐、糖、酒精等。

溶剂：能溶解溶质的物质。

如水等。

溶液：溶质和溶剂的混合体。

如盐水、糖水、酒精溶液等。

溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。

浓度的基本算式是：%100⨯=溶液量溶质量浓度二、二、例题精讲例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台。

(1999年全国初中数学联合竞赛试题)解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得：⎩⎨⎧⨯=+⨯=+c b a c b a 1641640240 解得⎪⎩⎪⎨⎧==c b c a 323160 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为：61032031601010=+=+c c c c b a评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程。

实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b(用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。

例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程。

B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天。

为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程。

问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题)解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天。

将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%=5/4，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=+=++=++150596053 452430*********y x y x y x x y y x 去分母得，由此可解得x=15答：乙、丙二队合作了15天评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1。

初一数学竞赛系列练习16套 (含答案)全套七年级

初一数学竞赛系列训练1——自然数的有关性质一、选择题1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( )A 、56B 、78C 、84D 、962、三角形的三边长a 、b 、c 均为整数，且a 、b 、c 的最小公倍数为60，a 、b 的最大公约数是4，b 、c 的最大公约数是3，则a+b+c 的最小值是（）A 、30B 、31C 、32D 、333、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )A 、33B 、34C 、35D 、374、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( )A 、24B 、12C 、6D 、05、若正整数a 和1995对于模6同余，则a 的值可以是( )A 、25B 、26C 、27D 、286、设n 为自然数，若19n+14≡10n+3 (mod 83)，则n 的最小值是( )A 、4B 、8C 、16D 、32二、填空题7、自然数n 被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n 的最小值是8、满足[x,y]=6，[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有组9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是10、有一个11位数，从左到右，前k 位数能被k 整除(k=1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是11、设n 为自然数，则3 2 n +8被8除的余数是12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是三、解答题13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。

14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。

15、五位数H 97H 4能被12整除，它的最末两位数字所成的数7H 能被6整除，求出这个五位数。

16、若a,b,c,d 是互不相等的整数，且整数x 满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9求证：4∣(a+b+c+d)17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？18、求2400被11除，所得的余数。

全国初中(7年级)数学竞赛辅导：第10讲-整式的乘法与除法

全国初中〔初一〕数学竞赛(jìngsài)辅导第十讲整式的乘法与除法中学代数中的整式是从数的概念根底上开展起来的，因而保存着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四那么运算就可以在许多方面与数的四那么运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最根底的局部，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法那么的根底上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．正整数指数幂的运算法那么：(1)a M· a n=a M+n； (2)(ab)n=a n b n；(3)(a M)n=a Mn； (4)a M÷a n=a M-n(a≠0，m＞n)；常用的乘法公式：(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数．解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为(yīn wèi)x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有(1-x)3=1-3x+3x2-x3，所以x2项的系数为3．说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要到达正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．解原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)=13x-7=9-7=2．说明注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．例3化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．解原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n=1+(-x)n．说明本例可推广为一个一般的形式：(a-b)(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n．例4 计算(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．分析(fēnxī)与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．例5 设x，y，z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，解先将条件化简：左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．所以条件变形为2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，即(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以说明(shuōmíng)本例中屡次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．多项式的除法比拟复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．解法1 用普通的竖式除法解法2 用待定系数法．由于(yóuyú)f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首r(x)= bx+ c．根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得x3-3x2-x-1比拟两端系数，得例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．解由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，假设设f(x)=x4+ax2-bx+2，假设f(x)能被x2+3x+2整除，那么x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即1+a+b+2=0，①当x=-2时，f(-2)=0，即16+4a+2b+2=0，②由①，②联立，那么(nà me)有练习十1．计算：(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；(2)(x+y)4(x-y)4；(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．2．化简：(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．3．z2=x2+y2，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．4．设f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．本资料来源于?七彩教育网?。

新星学校七年级数学竞赛试题及参考答案

2011年春新星学校七年级数学竞赛试题(10)试卷说明：1、本试卷共计18题，满分为100分2、考试时间为120分钟(命题:sgp991106，本卷侧重代数)一.选择题（每题5分，共30分）1．方程2009201132x y +=██24一组整数解(,)x y 是（）. （注：██是被墨水污染的两个数字，看不清楚）A.(79,83)B.(78,84)C.(77,85)D.(76,87)2.201012010(1)k xk k ==+∑，则x =( ). A.2010 B.2011 C.2012 D.20133. A 、B 两列车长分别180米、200米，它们相向行驶在平行的直轨道上，A 车上的乘客测得B 车经过其窗外的时间为10秒，则B 车上的乘客测得A 车经过其窗外的时间为( )秒．A.7.5B.8C.8.5D.94. 已知2220,2a b c a b c ++=++=，则()()()a b c b c a c a b +++++=( ).A.0B.1C.1-D.2-5. 23101111...2222++++=( ).1023A.1024 511B.512 255C.256 127D.1286．记123910...1111111111A a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且[]x 表示不超过x 的最大整数，01a <<，6A =，则a 的取值范围是( ). A ．461111a << B ．561111a <≤ C ．671111a ≤≤ D ．671111a ≤< 二．填空题（每题5分，共30分）7.将一个正n 边形的纸片（如图7.1）做成一个高相等且底面为正n 边形的无盖纸盒，纸盒的各侧面都与底面垂直（如图7.2），应在正n 边形的每个顶点处剪去一个四边形，如图7.1中的四边形ABCD 是其中的一个，则∠BAD= （用含n 的代数式表示）． 8.如图8是一个长方形的工件（单位：mm ），AB=10，BC=12，图中阴影曲折部分的宽度为1，顶端汇合的宽度是2，则图中阴影部分的面积是 mm 2．DA图8图7.2图7.1DCBA9.七（1）班新生有40多人，若每间宿舍住6人，则有1人无处住；若每间宿舍住7人，则有一间既不空也不满．则七（1）班新生共有人．10.若三个非负数a、b、c满足2310,22,a b c a b c++=+-=且3m a b c=++，则m的最大值与最小值的和是．11.某同学在电脑中打出如下排列的若干圆:●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○●••••••，按这种规律排列下去，前2012中圆中，其中○圆共有个．12.在三点和四点之间，经过分钟，时针和分针最后一次．．．．成60º角．三．解答题（共．6．道题．．，从中任选．．．．5．道题．．，多．选．做不加分．．．．，每题8分，合计40分）13.求所有满足算式3abcdef efabcd⨯=所有的六位数abcdef.14.某古币收藏者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币共计150枚，他要求每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．15.已知a是正整数，设63,91,129除以a的余数分别为123,,r r r，若12337r r r++=，试求a 的值．16.新星学校七、八年级数学培优时，分别购买了以下用品（如下表）．．．．．．．．．．．．17. 用8个大小一样的长方形如图A 那样可以拼成一个大长方形．如图B 那样可以拼成一个大正方形，但中间是空的，空处是一个边长为1cm 的小正方形，试求原来每个小长方形的长和宽.图A 图B18.仔细阅读下列材料，然后解答下列问题：某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在该商场消费满一定的金额后，可按如下的方案获得相应金额的奖券：根据以上促销方法，顾客在商场所内购物可获得双重优惠．例如：购买标价为450元的商品，则消费金额为450×80%=360元，获得的优惠金额为450×（1-80%）+30=120元．=购买商品获得的优惠金额设购买该商品得到的优惠率商品的标价．（１）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（２）对于标价为x 元（500≤x ≤800）的商品，当x 的值为多少元时，顾客可以得到13的优惠？2011年春新星学校七年级数学竞赛试题(10)参考答案试卷说明：1、本试卷共计18题，满分为100分2、考试时间为120分钟(命题:sgp991106)一.选择题（每题5分，共30分）1．方程2009201132x y +=██24一组整数解(,)x y 是( ). （注：██是被墨水污染的两个数字，看不清楚）A.(79,83)B.(78,84)C.(77,85)D.(76,87)【分析】本题主要考查个位数方面的知识．显然只有A 满足方程.2.201012010(1)k xk k ==+∑，则x =( ).A.2010B.2011C.2012D.2013【分析】本题主要结合新定义运算，通过简单的级数求和变换解方程.201011...(1)2010(1)122334201020112011k x x x x x x k k ==++++=-=+⨯⨯⨯⨯∑． 2010201020112011x x ⇒=⇒=． 3. A 、B 两列车长分别180米、200米，它们相向行驶在平行的直轨道上，A 车上的乘客测得B 车经过其窗外的时间为10秒，则B 车上的乘客测得A 车经过其窗外的时间为( )秒．A.7.5B.8C.8.5D.9【分析】设A 、B 两车的速度分别为A v 、B v ，B 车上的乘客测得A 车经过其窗外的时间为t 秒，则10()20020A B A B v v v v +=⇒+=，于是有，201809t t =⇒=． 4. 已知2220,2a b c a b c ++=++=，则()()()a b c b c a c a b +++++=( ).A.0B.1C.1-D.2-【分析】本题主要考查等式的恒等变换能力.2222220,2()()()()2a b c a b c a b c b c a c a b a b c ++=++=+++++=-++=-∴Q5.23101111 (2222)++++=( ). 1023A.1024 511B.512 255C.256 127D.128【分析】本题主要通过数形结合的方法考查整体与局部的关系，选A ，详见教程分析. 6．记123910...1111111111A a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且[]x 表示不超过x 的最大整数，01a <<，6A =，则a 的取值范围是（）． A ．461111a << B ．561111a <≤ C ．671111a ≤≤ D ．671111a ≤< 【分析】本题主要考查取新定义运算中整函数在特定区间上的取值范围．123910,,,...,,1111111111a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦中前面4个必为0，最后6个必为1，因为 01a <<，故 1124561010...1 (121111111111111111)a a a a a a <+<+<<+<≤+<+<<+<<．所以必有 44551,1111111111a a <+<≤+<．由 44710111111a a <+<⇒<<① 556111111111a a ≤+<⇒≤<②综合①②知 671111a ≤<．故选Ｄ．二．填空题（每题5分，共30分）7.将一个正n 边形的纸片（如图7.1）做成一个高相等且底面为正n 边形的无盖纸盒，纸盒的各侧面都与底面垂直（如图7.2），应在正n 边形的每个顶点处剪去一个四边形，如图7.1中的四边形ABCD 是其中的一个，则∠BAD= （用含n 的代数式表示）．【分析】本题主要考查多边形的内角和定理及其推论．因为AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，所以∠C+∠BAD=180º，而∠C 与其外角互补，故∠BAD=360n︒．8.如图8是一个长方形的工件（单位：mm ），AB=10，BC=12，图中阴影曲折部分的宽度为1，顶端汇合的宽度是2，则图中阴影部分的面积是 mm 2．【分析】本题主要考查四种几何变换中的平移变换．将图中所有的横向部分向下（或上）平移，竖直部分向左（或右），易知为12×10-10×9=30．DCA图8图7.2图7.1DC B A9.七（1）班新生有40多人，若每间宿舍住6人，则有1人无处住；若每间宿舍住7人，则有一间既不空也不满．则七（1）班新生共有人．【分析】本题主要考查不等式组的实际应用．设有x 间宿舍，则有(61)x +人．于是有4061 6.5 6.5877(1)61718x xx x x x x x <+⇒<⎧⇒<<⇒=⎨-<+<⇒<<⎩，共有67143⨯+=人． 10.若三个非负数a 、b 、c 满足2310,22,a b c a b c ++=+-=且3m a b c =++，则m 的最大值与最小值的和是．【分析】本题主要考查方程与不等式的综合应用．0,023101101422440a b a b c a c c c a b c b c c ≥≥+=-=--≥⎧⎧⎧⇒−−−−→⇒≤≤⎨⎨⎨+=+=--≥⎩⎩⎩． 1433(1)(4)31413c m a b c c c c c m ≤≤=++=-+-+=+−−−→≤≤．故41317+=．（备注：本题参照七年级教程P113例5改编） 11.某同学在电脑中打出如下排列的若干圆：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○●••••••，按这种规律排列下去，前2012中圆中, 其中○共有个．【分析】本题是应用方程与不等式找规律，主要考查估算能力．设前2012个圆分成1n +组，每组有一个空心圆，其中第 1n +组是k 个实心圆，则01k n ≤≤+．于是有(1)(11)(21)(31)...(1)201220122n n n k n k ++++++++++=⇒++=．经试算，前61个空心圆所含有圆的总数是1952个，这1952个圆之后紧接着排列的是62个实心圆，在第61个空心圆后再加60个实心圆，即前2012个圆中空心圆的个数是61个．12. 在三点和四点之间，经过分钟，时针和分针最后一次．．．．成60º角．【分析•参考解法】本题考查环形追击问题．从三点起，设经过t 小时，时针和分针最后一次．．．．成60º角．则590306036011t t t ︒+︒+︒=︒⇒=，530036027111111t =⨯==（分）即3时32711分时，时针和分针最后一次．．．．成60º角．三．解答题（共．6．道题．．，从中任选．．．．5．道题．．，多．选．做不加分．．．．，每题8分，合计40分） 13. 求所有满足算式3abcdef efabcd ⨯=所有的六位数abcdef .【分析】本题主要考查数位变换能力及不定方程相关知识．设,abcd x ef y ==，则3(100)10000x y y x +=+，769,23x y =y 是两位数且能被23整除，故46,69,92,1538,2307,3076y x ==，即有三解，是153846,230769,307692．14.某古币收藏者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币共计150枚，他要求每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．【分析•参考解法】设兑换后1分、2分、5分的硬币分别为x 、y 、z 枚，则20,2015035035020233502004200420x y x y z x z x z x y z y z y z ≥≥++==-=-≥⎧⎧⎧⇒−−−−→⎨⎨⎨++==-=-≥⎩⎩⎩70453z ⇒≤≤ 又200440z y z z z >⇒>-⇒>，故4145z ≤≤．于是有5种不同的兑换方案如下表：15.已知a是正整数，设63,91,129除以a的余数分别为123,,r r r，若12337r r r++=，试求a 的值．【分析】设11223363,91,129(,1,2,3)iax r ax r ax r r a i=+=+=+<=123123123()()6391129283()246a x x x r r r a x x x+++++=++=⇒++=12312337()2462341,3373a x x x a r r r a++==⨯⨯>++=⇒>，且63a<，故41a=．16.新星学校七、八年级学生数学培优时，分别购买了以下用品（如下表）．已知各用品的单价都是整数元，求上表中各用品的单价．【分析】本题主要考查用方程解决实际问题及不定方程求整数解的能力．依题意，有532246428x y zx y z++=⎧⎨++=⎩消去z，得32775325xx y y-+=⇒=，取正整数解，仅当1x=时，5y=，此时2z=，17. 用8个大小一样的长方形如图A那样可以拼成一个大长方形．如图B那样可以拼成一个大正方形，但中间是空的，空处是一个边长为1cm的小正方形，试求原来每个小长方形的长和宽.图A图B【分析】本题主要考查应用方程解决实际问题的能力．设小长方形的长和宽分别为,xcm ycm．则355213x y xy x y==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（方程形式有多种，但结果都一样）18.仔细阅读下列材料，然后解答下列问题：某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在该商场消费满一定的金额后，可按如下的方案获得相应金额的奖券：根据以上促销方法，顾客在商场所内购物可获得双重优惠．例如：购买标价为450元的商品，则消费金额为450×80%=360元，获得的优惠金额为450×（1-80%）+30=120元．=购买商品获得的优惠金额设购买该商品得到的优惠率商品的标价．（３）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（４）对于标价为x元（500≤x≤800）的商品，当x的值为多少元时，顾客可以得到13的优惠？【分析】本题主要考查分类讨论解决实际问题的能力．（１）消费金额为：1000×80%=800元，优惠金额为：1000×（1-80%）+130=330元，优惠率为：330÷1000=33%．（２）分两种情况：①当400≤80%x<500，即500≤x<625，则0.2601450500()3xxx+=⇒=<舍去；②当500≤80%x≤640，即625≤x≤800，则0.210017503xxx+=⇒=．即当顾客购买标价为750元的商品时，可以得到13的优惠率．。

北师大版数学七年级竞赛试题附参考答案

七年级数学竞赛试题一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列图中，左边的图形是立方体的表面展开图，把它折叠成立方体，它会变成右边的（）2．观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,3316-，依此规律下一个数是（） A. 4521 B. 4519 C. 6521D. 65193．己知AB=6cm ，P 是到A ，B 两点距离相等的点，则AP 的长为（） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．不能确定4. 五位朋友a 、b 、c 、d 、e 在公园聚会，见面时候握手致意问候，已知：a 握了4次手，b 握了1次，c 握了3次，d 握了2次，到目前为止，e 握了（）次 A.1 B. 2 C. 3 D 、45、若14+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ).A ．3个B ． 4个C ． 5个D ． 6个6、四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ，如果abcd=9，那么a+b+c+d 等于( )A 、0B 、8C 、4D 、不能确定二、填空题（每小题3分，共30分） 7、在数轴上1，的对应点A 、B ， A 是线段BC 的中点，则点C 所表示的数是。

8．化简2004120011200112002120021200312003120041---+-+- =________________9、观察下列单项式，2x,-5x 2, 10x 3, -17x 4 ,…… 根据你发现的规律写出第5个式子是 ____________第8个式子是 __________ 。

10．如图，己知点B ，C ，D ，在线段AE 上，且AE 长为8cm ，BD 为3cm ，则线段AE 上所有线段的长度的总和为。

ABACCCD学校：_______________；班级：______________；姓名：______________；考号：____________CA BD M 第（17）题第14题11、如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是________________.12、已知a 1+a 2=1,a 2+a 3=2,a 3+a 4=3,…，a 99+a 100=99，a 100+a 1=100,那么a 1+a 2+a 3+…a 100= 。

七年级下册数学竞赛题和经典题含解答共10题

七年级下册数学竞赛题和经典题含解答共10题1. 题目：甲、乙两个正整数的和是300，差是120，求甲、乙两个数分别是多少？解答：设甲的数为x，乙的数为y。

根据题意，我们可以得到以下两个方程：x + y = 300 （方程1）x - y = 120 （方程2）解方程组得到甲的数x = 210，乙的数y = 90。

2. 题目：某数的4倍减去该数的2倍等于30，求这个数。

解答：设这个数为x。

根据题意，我们可以得到以下方程：4x - 2x = 30化简得到2x = 30解方程得到x = 153. 题目：一个正整数加上自身的平方等于140，求这个正整数。

解答：设这个正整数为x。

根据题意，我们可以得到以下方程：x + x²= 140化简得到x²+ x - 140 = 0解方程得到x = 10 或x = -14，由题目要求为正整数，所以x = 10。

4. 题目：一个三位数加上它的逆序数等于1333，求这个三位数。

解答：设这个三位数为xyz。

根据题意，我们可以得到以下方程：100x + 10y + z + 100z + 10y + x = 1333化简得到101x + 20y + 101z = 1333由于101为质数，所以x和z只能为1，y只能为6。

解方程得到x = 1，y = 6，z = 1，所以这个三位数为161。

5. 题目：甲、乙两个数的和是90，差是20，求甲、乙两个数分别是多少？解答：设甲的数为x，乙的数为y。

根据题意，我们可以得到以下两个方程：x + y = 90 （方程1）x - y = 20 （方程2）解方程组得到甲的数x = 55，乙的数y = 35。

6. 题目：某个三位数的百位数是7，个位数是2，且各位上的数字之和是13，求这个三位数。

解答：设这个三位数为xyz。

根据题意，我们可以得到以下方程：x = 7 （百位数是7）z = 2 （个位数是2）x + y + z = 13 （各位上的数字之和是13）代入得到7 + y + 2 = 13解方程得到y = 4所以这个三位数为742。

初一数学竞赛十道试题(附答案)

数学竞赛十道试题(附答案)
班级：姓名：日期：
1、若的值是，则a a
a 12= ( )
A 、1
B 、-1
C 、1或-1
D 、以上都不对
2、方程132=-+-x x 的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
E 、多于3个
3、若()236-+m a 与互为相反数，则=m a
4、计算：=+++++
++++++++1003211
3211
3211
211
5、已知方程1+=ax x 有一个负根而没有正根，求a 的取值范围。

6、比较的大小。

与10
110099654321⋅⋅⋅⋅ 7、若（x 2-x+1）6=a 12x 12+a 11x 11+……+a 2x 2+a 1x+a 0,求a 12+a 10+a 8+a 6+a 4+a 2+a 0的值
8、若a 、b 、c 全不为零，且11
,11
=+=+c b b a 求证：11
=+a c
9、对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。

现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值。

10、已知x-2y=2，求
8463---+y x y x 的值。

参考答案
1. C
2. E
3. -216
4. 99/101
5. a＞-1
6. 前＜后
7. 365
8.提示：两等式合并消除b
9. 4 10.提示：代人得1。

数学游戏数10的竞赛

数学游戏数10的竞赛数学是一门让人们充满着挑战和乐趣的学科。

而在学习数学的过程中，数学游戏是一种十分有趣的方式，它能够培养我们的数学思维能力，并给我们带来无尽的乐趣。

在这篇文章中，我将介绍一个关于数10的竞赛游戏。

这个数学游戏数10的竞赛是一种简单但又刺激的游戏，玩法如下：参赛者需要通过组合已有的数字，使它们相加等于10。

参赛者可以使用的数字有1、2、3和4，而且每个数字只能使用一次。

游戏的目标是在规定时间内完成尽可能多的组合，以得到最高的分数。

首先，我们来看一个简单的例子来介绍游戏的基本玩法。

在规定的时间内，我们需要找到所有让数字之和等于10的组合。

首先我们可以组合1和9，它们相加等于10。

然后我们可以尝试组合2和8，3和7，4和6，它们的和也都是10。

最后，由于没有其他的组合可以得到10，我们的得分就是4。

为了更好地理解这个游戏，我们可以引入一些数学概念来帮助我们计算和分析不同的组合。

首先，我们可以计算出所有不同的数字组合，如1+9、2+8、3+7和4+6。

然后，我们可以计算每个组合的和并将其记录下来。

通过这种方式，我们可以轻松地找到所有的组合，而不会错过任何一个。

在游戏的过程中，我们可以采用不同的策略来提高我们的得分。

一种常用的策略是从最大的数字开始组合，这样我们就可以更快地找到和为10的组合。

例如，当我们有数字4和6时，我们可以先尝试这个组合，而不是去尝试1和9。

通过这种方式，我们可以更快地得到更高的分数。

此外，我们还可以利用一些数学技巧来解决游戏中的难题。

例如，当我们遇到数字7时，我们可以用3和4来组合，而不是去尝试其他的组合。

这是因为3和4的和等于7，且它们是最接近10的数字组合。

除了提高我们的得分，数学游戏数10的竞赛还可以帮助我们培养一些重要的数学技能。

例如，这个游戏可以帮助我们提高计算速度和精确度，同时也能够提高我们的逻辑思维和分析能力。

通过不断的练习，我们可以更加熟练地计算和组合数字，从而在游戏中取得更好的成绩。

初一10月数学竞赛试题

4
1
， 3 ， 3 ，0， 1.4 ， 12，7， 4
5
2
整数集合｛
｝
负数集合｛
｝
分数集合｛
｝
有理数集合｛
｝
六、左脑开发（每题 2 分，共 20 分）
1、今年小明 9 岁，爸爸比小明大 26 岁。到小明高中毕业时，比爸爸小 26 岁；
10、老师给甲、乙、丙三名同学各发一根 1 米长的铁丝，要求用这根铁丝围成一个面积最大的几何图形，甲围成一个等边三角形，乙围成一个正方形，丙围成一
（）（）（）（）
10、 0 ( 5) =____ 11、 3 3 =______
12、 ( 2.3) ( 7.8) =_____
6、如果 a 0, b 0 ，那么 a b
（）
13、 ( 2) ( 9) =___ 14、 ( 2) ( 8) =_____
15、 ( 27) ( 3) =______
下联：抱孤子出重围匹马单枪长坂桥边战数百千员上将独我犹能保两全
上联描述的人物是诸葛亮；
让我们按照数学里的习惯，改用阿拉伯数字，把上联中的一连串数字按照出场
先后顺序，依次写成一行： 2、8、6、7、5、49、 1、 3
能不能在这些数字之间添加适当的数学符号（运算符号、括号等），组成一组
怀柔四中初一数学竞赛试题
比的是基础与智慧
赛的是速度与诚信
一、好基础才可以建高楼大厦（每题 2 分，共 30 分）
1、 3 =_____
2、 0 =_____
3、
1 =_____
5
班级 ________ 姓名 ____________ 成绩 ________

七年级数学竞赛培优(含解析)专题10 多变的行程问题

10 多变的行程问题阅读与思考行程问题的三要素是：距离（s ）、速度（v ）、时间（t ），基本关系是：s vt =，s v t =，st v=．行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．其中相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的路程＝两地之间的距离．2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝两地之间的距离．例题与求解【例1】在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80千米/时，70千米/时，50千米/时的速度匀速行驶，A 从甲站开往乙站，同时，B 、C 从乙站开往甲站．A 在与B 相遇后两小时又与C 相遇，则甲、乙两站相距__________千米．（“希望杯”竞赛试题）解题思路：本例为直线上的相遇问题，可依据时间关系列方程．【例2】如图，某人沿着边长为90来的正方形，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65米/分的速度，乙从B 以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（）．A ．AB 边上B ．DA 边上C ．BC 边上D ．CD 边上乙甲BCAD（安徽省竞赛试题）⨯=（米）处．解题思路：本例是一个特殊的环形追及问题，注意甲实际在乙的前面390270【例3】亚州铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行．比赛程序是：运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千米到终点．下表是亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所用时间，其他类推，表内时间单位为秒）．（1）填空（精确到0.01）：第191号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；第194号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；第195号运动员骑自行车的平均速摩是__________米/秒；（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194号吗？如果会，那么追上时离第一换项点有多少米（精确到0.01）？如果不会，为什么？（3）如果运动员长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗？为什么？（江苏省徐州市中考试题）解题思路：从表格中获取信息，注意速度、时间的比较是解本例的关键．【例4】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时．一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港时需多少小时？（2）救生圈是何时掉人水中的？（天津市中考试题）解题思路：要求小船按水流速度由A港漂流到B港时所需时间，需求两港间的距离及水流速度，考虑增设辅助未知数．【例5】某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校后，接参观的师生立即出发去县城，由于汽车在赴校的途中发生故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比预定到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，汽车在途中排除故障花了多少时间？（山东省中考试题）解题思路：从题中比原定时间晚到半小时入手，选好未知量，找出汽车所用时间与师生步赶所用时间之间的关系．依时间、速度和路程之间的关系列出方程．【例6】甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，在距离B地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达B地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米处相遇，求A，B两地相距多少千米？（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：本例有多种解法，可借助图形辅助分析．能力训练A级1．某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是__________千米/小时．2．汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是__________米．（江苏省竞赛试题）3．甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米．当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了__________千米和__________千米．（武汉市选拔赛试题）4．上午9时整，时计与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（）．A．9时30分B．10时5分C．10时5511分D．9时83211分（“希望杯”竞赛试题）5．甲、乙两人同时从A地到B地，如果乙的速度v保持不变，而甲先用2v的速度到达中点，再用12v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）．A．甲、乙同时到达B地B．甲先到B地C．乙先到B地D．无法确定谁先到6．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达6楼时，乙刚到达5楼，按此速度，当甲到达顶层时，乙可到达（）．A．31层B．30层C．29层D．28层7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们的第2007次相遇在边（）上．A．AB B．BC C．CD D．DA乙甲BAD（湖北省黄冈市竞赛试题）8．甲、乙两列火车同时从相距120千米的两地相向行驶，甲速为每小时84千米，乙速为每小时60千米，则当两车相距24千米时行驶的时间为（）．A ．40分钟B ．1小时C ．1小时或20分钟D ．40分钟或1小时9．有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计）．通过道口后，还需7分钟到达学校：（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过逬口，求维持秩序的时间．（江西省中考试题）10．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？（湖北省孝感市竞赛试题）11．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为 3.6千米/小时，骑车人速度为16.8千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？（河北省竞赛试题）B 级1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，a 小时相遇；若同向而行，则b 小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为__________．（江苏省竞赛试题）2．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是__________秒．（“希望杯”邀请赛试题）3．某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A ，C 两地的距离为10千米，则A ，B 的距离为__________千米．（重庆市竞赛试题）4．某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为1v ，2v ，3v ．则该汽车在这段公路上行驶的平均速度为（）．A ．1233v v v ++ B ．1231113v v v ++C ．1231111v v v ++D ．1233111v v v ++（天津市竞赛试题）5．静水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不为零的河流中，甲、乙两船同时从A 港出发，同向航行1小时后立即返航，那么（）．A ．甲船先返回A 港B ．乙船先返回A 港C．甲、乙两船同时返回A港D．不能确定哪条船先返回A港（《时代学习报》数学文化节试题）6．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上的自动扶梯级数为__________．（北京市竞赛试题）7．甲、乙两同学从400米的环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．8．某风景区的旅游线路如右图所示，其中A为入口处，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．某游客从A处出发，以每小时2千米的速度步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时．（1）若该游客沿跨线“A→D→C→E→A”游览回到A处，共用去3小时，求C,E两点间的路程．（2）若该游客从A处出发，打算在最短时间内游完三个景点并返回A处（仍按上述步行速度和在景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一个步行路线，并对路线设计的合理性予以说明．1.311.20.41.1EDCBA（江苏省竞赛试题）9．某人沿电车路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假定此人和电车都是匀速前进，则电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？（湖北省黄冈市竞赛试题）10．如图，甲、乙两人分别在A，B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走，甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相距多少千米？A BE乙（“华罗庚金杯”竞赛试题）专题 10 多变的行程问题例1 1950 提示:设甲乙两站相距S 千米,则280708050S S+=++,解得S=1950千米例2 B 提示:乙第一次追上甲用了2707分钟,270672736029077⨯=⨯+⨯例3 ⑴ 8.12 7.03 7.48⑵ 191号能追上194号,这时离第一换项点有24037.96米191号不会追上195号 ⑶ 从第二换项点出发时,195号比191号提前216秒,且长跑速度比191号快,所以195号在长跑时始终在191号前面,而191号在长跑时始终在194前面,故在长跑时,谁也追不上谁.例4 ⑴设小船在静水中的速度为α,水流的速度为b ,由题意,得6(a +b )=8(a -b ),解得a =7b .故小船按水流速度由A 港漂流到B 港所需的时间为6()6(7)4848a b b b bb b b++===小时 ⑵ 设小船行驶x 小时后救生圈掉入水中,则小船找到救生圈即小船与救生圈相遇,他们行驶的路程如图所示:由题意得(6-x +1)b +(a -b )×1=(6-x )(a +b ),将a =7b 代入上式,解得x =5 故救生圈是在上午11点掉入水中的.例5 如图,设点A为县城所在地,点B为学校所在地,但C为师生途中与汽车相遇之处.汽车晚到的的半小时一方面是因晚出发了10分钟,另一方面是从B到C由于步行代替乘车而多花了20分钟.若设汽车从C到B需要X分钟,则师生从B到C应花(x+20)分钟,由于汽车由C到B与师生从B到C的路程相等由时间与速度成反比可得1206xx=+解得x=4故排除故障花的时间为4×2+30=38分钟例6 解法一:第一次相遇时,甲乙两人所走的路程之和,正好是AB两地相距的路程,即当甲乙合走完AB间的全部路程时，乙走了6千米.第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍(如图，图中实线表示甲走的路程，虚线表示乙走的路程)，因此，这时乙走的路程应为1836=⨯千米.考虑到乙从B 地走到A 地后又返回了4千米，所以A,B 两地间的距离为18-4=14千米.解法二:甲、乙两人同时出发，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有:两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了(全程-6)千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了(2×全程-4)千米，乙走了(全程+4)千米. 设全程为S ，则可列方程44266+-=-S S S . 解得01421==S S ， (舍去).故A,B 两地相距14千米.解法三:设全程为S 千米，甲、乙两人速度分别为21,v v v, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-②①212144266v S v S v v S ②①÷得46426+=--S S S ，解得014==S S 或 (舍去) 故A,B 两地相距14千米.A 级1. 4.82.6403. 150 200提示:设第一辆车行驶了(140十x )千米，则第二辆车行驶了()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⨯+x x 34324614034140千米，由题意得 70343246=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x ，解得10=x . 4.D 提示:因为分针每分钟转 6,时针每分钟转⎪⎭⎫ ⎝⎛21，设两针从上午9时开始，x 分钟后两针成直角，由题意知3602190906=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x ,解得11832=x .5.C6.C 提示：45==乙甲乙甲V V S S . 7. C 8. D 9.(1)因15197336>=+,故王老师应选择绕道去学校. (2)设维持秩序时间为t, 则69336336=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-t t ,解得t=3(分钟). 10.设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时，由题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-601518601530x x ，解得x =1. 此人打算在火车前10分钟到达火车站，骑摩托车的速度应为276010160151306010601530=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯x x 千米/时.11.设火车的速度为x 米/秒，由题意得()()263221⨯-=⨯-x x ，解得x =14.故火车的车身长为(14-1)×22=286米.B 级 1.ab a b -+ 2.7.5 提示：先求出甲、乙两车速度和为2010200=米/秒. 3. 20或320 4. D 提示:设三个等长路段的路程均为S ，则平均速度为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++321321321111311133v v v v v v S S v S v S v S S . 5.D 提示:考虑两船同时先顺水航行的情形，设想乙船在静水中的速度接近水流的速度，则它将迟迟难以返航.而甲先返回A 港,类似的可考虑两船同时先逆水航行的情形.6. 667. 4448. (1) CE=0.6千米.(2)基本的行走路线有两条:一是A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A )，总时间为4小时;二是A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，总时间为3.9小时.9.设电车速度为v ，人速为x ，电车每隔t 分钟开出一辆，则每两辆电车之间的距离vt ，对于迎面来的电车，这个距离是人与电车共同走4分钟完成的，对于后面追上的电车，两辆电车之间的距离是电车在12分钟追上起始时的距离，由题意得x v vt x v 121244-==+，解得t =6分钟.10. AE:BE=60:80=3:4，设AE=3x , BE= 4x ，从而AB= 7x (米).由题意得1480376047++=+x x x x ，解得x =240，故AB=7x =7×240=1680米.。