2016_2017学年高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值学业分层测评含解析
学案导学 备课精选高中数学 第四章 导数应用单元检测(A)(含解析)北师大版选修11
第四章 导数应用(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( ) A ．(－∞，－1)及(0,1) B ．(－1,0)及(1，＋∞) C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．a >13B ．a ≥13C ．a <13且a ≠0D ．a ≤13且a ≠05．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009的值为( )A ．－log 2 0102 009B ．－1C ．(log 2 0102 009)－1D ．17．方程－x 3＋x 2＋x －2＝0的根的分布情况是( )A ．一个根，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内 B ．两个根，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13、(0，＋∞)内 C ．三个根，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13、⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0、(1，＋∞)内 D ．三个根，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13、(0,1)、(1，＋∞)内 8．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－169．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( ) A.827π B.1627π C.89π D.169π 10.已知f (x )的导函数f ′(x )图像如图所示，那么f (x )的图像最有可能是图中的( )11．函数f (x )＝ln x －x 2的极值情况为( ) A ．无极值 B ．有极小值，无极大值 C ．有极大值，无极小值 D ．不确定12．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是__________．14．f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是________．15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为_____________．16．已知函数f (x )＝x 2·f ′(2)＋5x ，则f ′(2)＝______. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R .若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式．18．(12分)某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)19.(12分)已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另外一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积．20．(12分)要设计一容积为V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r 和高h 之比为何值时造价最省？21.(12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第四章 导数应用(A)1．B [∵f ′(x )＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f (－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M (－1，－3)．]2．A [y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)及(0,1)．]3．D [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由f (x )在x ＝－3时取得极值，即f ′(－3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.]4．C [f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，函数f (x )在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值， 等价于f ′(x )＝0有两个不等实根， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a ≠0，Δ＝4－12a >0. 解得a <13且a ≠0.]5．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．] 6．B [∵f ′(1)＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009 ＝log 2 010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2 010(12·23·…·2 0092 010)＝log 2 01012 010＝－1.]7．A [令f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1，令－3x 2＋2x ＋1＝0，得x ＝1，或x ＝－13，故函数f (x )在x ＝1和x ＝－13处分别取得极大值f (1)＝－1和极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－5927，据此画出函数的大致图像，可知函数图像与x 轴只有一个交点，即方程只有一个根，且在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内．] 8．A9．A [设圆柱横截面圆的半径为R ，圆柱的高为h ，则2R ＋h ＝2.∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3， ∴V ′＝2πR (2－3R )＝0.令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23.经检验知，R ＝23时，圆柱体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49×23＝827π.]10．A [∵(－∞，－2)时，f ′(x )<0， ∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]11．C [因为f (x )＝ln x －x 2，所以f ′(x )＝1x－2x ，令f ′(x )＝0得x ＝22 (x ＝－22舍去)．当0<x <22时，f ′(x )>0，函数单调递增；当x >22时，f ′(x )<0，函数单调递减．所以函数f (x )＝ln x －x 2在x ＝22处取得极大值，无极小值．]12．A [∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．] 13．a ≥3解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3. 14．3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝3.15．(－2,15)解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.又∵P 点在第二象限内，∴x 0＝－2，∴y 0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)．16．－53解析 ∵f ′(x )＝f ′(2)·2x ＋5， ∴f ′(2)＝f ′(2)×2×2＋5，∴3f ′(2)＝－5，∴f ′(2)＝－53.17．解 f ′(x )＝1－a x2，由导数的几何意义得f ′(2)＝3，所以a ＝－8. 由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上得－2＋b ＝7，解得b ＝9.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.18．解 因为DC AM ＝NDAN ，且AM ＝30，AN ＝20.所以ND ＝AB AM ·AN ＝2x3，得AD ＝AN －ND ＝20－2x3.仓库的库容V (x )＝(20－2x3)·x ·x＝－2x 33＋20x 2(0<x <30)，令V ′(x )＝－2x 2＋40x ＝－2x (x －20)＝0， 得x ＝20或x ＝0(舍去)． 当x ∈(0,20)时，V ′(x )>0； 当x ∈(20,30)时，V ′(x )<0.所以当x ＝20时，V (x )有极大值也是最大值． 即AB 的长度为20米时仓库的库容最大． 19．解 (1)因为f ′(x )＝2x ＋1，所以f ′(1)＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)， 即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线上点B (b ，b 2＋b －2)， 因为f ′(b )＝2b ＋1，所以直线l 2的方程为 y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.又l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.即3x ＋9y ＋22＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－52.因为直线l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， 所以所求三角形的面积为 S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.20．解 由V ＝πr 2h ，得h ＝Vπr2. 设盖的单位面积造价为a ，则储油罐的造价M ＝a πr 2＋2a ·2πrh ＋4a ·πr 2＝5a πr 2＋4aV r，M ′＝10a πr －4aVr 2，令M ′＝0，解得r ＝32V 5π，∴经验证，当r ＝32V 5π时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h ＝Vπr 2＝325V 4π. ∴当rh ＝32V5π325V 4π＝25时，储油罐的造价最省．21．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图像大致如右图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图像有3个交点，所以－43<k <283.22．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)， 即y ＝6x －9.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.以下分两种情况讨论：①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f －12>0，f12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a8>0，5＋a 8>0.解不等式组得－5<a <5.因此0<a ≤2.②若a >2，则0<1a <12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f－12>0，f1a>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8>0，1－12a 2>0.解不等式组得22<a <5或a <－22. 因此2<a <5.综合①②，可知a 的取值范围为0<a <5.。
2016-2017学年高中数学 第四章 导数应用 4.2.2 最大值、最小值问题学业分层测评(含解析)北师大版选修1-1
4.2.2 最大值、最小值问题(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件【解析】 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．【答案】 C2．(2016·黄山高二检测)函数y ＝4xx 2＋1( ) A ．有最大值2，无最小值 B ．无最大值，有最小值－2 C ．最大值为2，最小值为－2 D ．无最值 【解析】 y ′＝x 2＋－4x xx 2＋2＝x ＋－xx 2＋2.令y ′＝0，得x 1＝1，x 2＝－1，且当－1＜x ＜1时，y ′＞0； 当x ＜－1或x ＞1时，y ′＜0，∴最大值是f (1)＝2， 最小值是f (－1)＝－2. 【答案】 C3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A.1e B ．e C ．e 2D.103【解析】 令y ′＝xx －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0.解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0.y极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.【答案】 A4．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－5B ．－11C ．－29D ．－37 【解析】 由f ′(x )＝6x 2－12x >0， 得x <0或x >2，由f ′(x )<0，得0<x <2，∴f (x )在[－2,0]上为增加的，在[0,2]上为减少的，∴f (x )max ＝f (0)＝m ＝3.又f (－2)＝－37，f (2)＝－5，∴f (x )min ＝－37. 【答案】 D5．以长为10的线段AB 为直径作圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25D ．50【解析】 设内接矩形一边长为x ，则另一边长为102－x 2， ∴内接矩形的面积S ＝x ·100－x 2(0<x <10)． ∴S ′＝100－x 2＋x ·(100－x 2)′ ＝100－x 2－12x ·2x 100－x 2＝100－2x2100－x2. 令S ′＝0，得x ＝±5 2.∵0<x <10，∴当x ＝52时，S 有最大值，最大值为52·100－50＝50. 【答案】 D 二、填空题6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．【解析】 令y ′＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3.【答案】π6＋ 3 7．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．【解析】 V (x )＝30x 2－12x 3，∴V ′(x )＝60x －32x 2＝－32x (x －40)．∵x ∈(0,40)时，V ′(x )>0，x ∈(40,60)时，V ′(x )<0，∴x ＝40时，V (x )有极大值也是最大值．【答案】 408．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3， ∴当x >1或x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝－2－a ＝n . ∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ， ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m . ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 【答案】 20 三、解答题9．求函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －10在区间[－1,1]上的最值． 【解】 因为f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x －1)2＋3， 所以在区间[－1,1]上f ′(x )>0恒成立， 即函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增，故当x ＝－1时，函数f (x )取得最小值f (－1)＝－20； 当x ＝1时，函数f (x )取得最大值f (1)＝－6.10．一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？【解】 设船的速度为x (x >0)时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3，由6＝k ×103可得k ＝3500，∴Q ＝3500x 3. ∴总费用y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x ，y ′＝6500x －96x2，令y ′＝0得x ＝20. 当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减， 当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增， ∴当x ＝20时，y 取得最小值．∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小．[能力提升]1．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 ∵f (x )＝ax －ln x ，f (x )>1在(1，＋∞)内恒成立， ∴a >1＋ln x x在(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x，∴x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝－ln x x2<0， 即g (x )在(1，＋∞)上是减少的，∴g (x )<g (1)＝1， ∴a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)． 【答案】 D2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V【解析】 设直棱柱的底面边长为a ，高为h . 则34a 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3a2. 则表面积S (a )＝3ah ＋32a 2＝43V a ＋32a 2. S ′(a )＝－43V a2＋3a .令S ′(a )＝0，得a ＝34V . 当0<a <34V 时S ′(a )<0，当a >34V 时，S ′(a )>0. 当a ＝34V 时，S (a )最小． 【答案】 C3．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，即方程e x－2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x，易知函数g (x )＝2x －e x在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．【答案】 (－∞，2ln 2－2]4．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：而f ∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．。
高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性学业分层测评含解析北师大版选修1_1
4.1.1 导数与函数的单调性(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝f (x )的图像如右图411所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )图411【解析】 由函数的图像可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f (x )均为减函数，故在这两个区间上，f ′(x )均小于0. 【答案】 D2．函数f (x )＝x 3－8x 2＋13x －6的单调减区间为( )A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，133 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞D ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞ 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－16x ＋13，令f ′(x )<0，得1<x <133.∴函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，133. 【答案】 B3．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上分别是( ) A ．增加的，增加的 B ．增加的，减少的 C ．减少的，增加的 D ．减少的，减少的 【解析】y ′＝16x －1x ＝16x2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′＜0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′＞0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增加的． 【答案】 C 4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2) 【解析】 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝12x ＋1x >0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的， ∴f (2)<f (e)<f (3)． 【答案】 A 5．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥3 B．a ＞3 C ．a ≤3 D．a ＜3 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，又∵0≤3x 2＜3，∴a ≥3，经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减． 【答案】 A 二、填空题 6．若函数f (x )＝x 3－ax ＋1既有单调增区间，又有减区间，则a 的取值范围是________. 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由条件知，f ′(x )＝0需有两个不等实根，∴a >0. 【答案】 (0，＋∞) 7．函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在R 上单调递减，则实数m 的范围为________． 【解析】g ′(x )＝－3x 2＋4x ＋m ≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m ≤0，∴m ≤－43. 【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43 8．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________． 【解析】f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75. 【答案】 －75 三、解答题 9．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝x ＋9x .。
(好题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(包含答案解析)
一、选择题1．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定2．已知函数()22sin x m f x e x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数3()1218f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值为（ ） A ．34B ．16C ．24D ．175．设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(,3)-∞-C ．(3,)-+∞D ．(1,)(,1)+∞⋃-∞-6．已知函数4213(),42f x x x mx n =-++其中m ，n 为正整数，若函数()f x 有极大值，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞ B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e8．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫--⎪⎝⎭9．已知对任意实数x 都有()()2xf x f x e '-=，()01f =-，若()()1f x k x >-恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．323,42e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()121,4eD ．()321,4e10．函数()()()()22ln 00x x x f x x e x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()2240f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()(),44,-∞⋃+∞C ．(){}4,04- D ．(){},44-∞-11．函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（ ） A ．[1B ．[1，)+∞C ．(1D ．(1,)+∞12．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+二、填空题13．已知函数2()ln 3mf x x x x x=+-+．若函数()f x 在[1,2]上单调递减，则实数m 的最小值为________．14．已知函数()4,0,0x x e x f x e x x+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是______.15．已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a的最小值为______.16．已知函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠，其导数()f x '满足()()2xf x f x ''<，若()30f =，则不等式()0xf x >的解集为__________.17．已知函数()x f x e alnx =-+2在[]1,4上单调递增，则a 的取值范围是__．18．已知函数()321f x x x =++，若对于x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为：____________．19．已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()f x '，当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，若对x R ∀∈，不等式()()2220x x e f e a x f ax ->恒成立，则正整数a 的最大值为_______.20．已知函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数()xf x e ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-，若关于x 的不等式()f x mx ≥在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()2ln f x x a x x=--. （1）已知()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，求实数a 的值； （2）已知()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数2()(41)43(0)xf x ax a x a e a ⎡⎤=-+++≠⎣⎦. （1）若1a =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围. 24．已知函数()x f x e ax a =--.（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()2ln f x x a x =+.（1）当2a =-时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程；（2）若()()2g x f x x=+在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()1ln =--f x x x .（1）证明：()f x 存在唯一的零点； （2）当0x >时，证明：ln x e x x >>.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.2．A解析：A【分析】()0f x=有两解变形为2sinm xe=有两解，设2sin ()x g x=，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x的大致图象可得结论．【详解】由()22sinx mf x e x+=-得2sinmxxee=，设2sin()xxg xe=，则2(cos sin)()xx xg xe-'=，易知当04xπ<<时，()0g x'>，()g x递增，当344xππ<<时，()0g x'<，()g x递减，(0)0g=，414geππ⎛⎫=⎪⎝⎭，34314geππ⎛⎫=⎪⎝⎭，如图是()g x的大致图象，由2sinmxxee=有两解得34411mee eππ≤<，所以344mππ-≤<-．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2mxxee=，问题转化为2()xxg xe=的图象与直线my e=有两个交点，利用导数研究函数()g x的单调性、极值后可得．3．A解析：A【分析】分析函数()f x、()f x'的奇偶性，以及2fπ⎛⎫' ⎪⎝⎭、()fπ'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．A解析：A 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值． 【详解】()31218f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令'0f x，解得2x =±，列表如下：所以，函数y f x =的极大值为234f -=，极小值为22f =，又()327f -=，()39f =，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为34， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题．5．D解析：D 【分析】利用导数判断函数在[)0,+∞的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式. 【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin xf x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.故选：D. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==． 6．A解析：A 【分析】对()f x 进行求导得3()3f x x x m '=-+，构造新函数3()3,h x x x m x R =-+∈，利用导数研究函数()h x 的单调性，结合题意，可知函数()f x 有极大值，则()()1010h h ⎧->⎪⎨<⎪⎩，求解不等式且结合m ，n 为正整数，即可得出结果.【详解】 由题可知，4213()42f x x x mx n =-++()x R ∈， 则3()3f x x x m '=-+，设3()3,h x x x m x R =-+∈，则2()33h x x '=-，令2()330h x x '=-=，解得：121,1x x =-=，则当1x <-或1x >时，()0h x '>；当11x -<<时，()0h x '<，所以()h x 在区间()(),1,1,-∞-+∞上单调递增；在区间()1,1-上单调递减， 又因为函数()f x 有极大值，则()()1010h h ⎧->⎪⎨<⎪⎩，即()()120120h m h m ⎧-=+>⎪⎨=-<⎪⎩，解得：22m -<<，而m ，n 为正整数，所以m 的值为1. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，从而求参数值，构造新函数且利用导数求出单调区间是解题的关键，考查转化思想和运用能力.7．B解析：B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x--'=， 得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.8．B解析：B 【分析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】 已知函数321()13f x x ax x =+++， 则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】由导数的运算求出()f x ，然后用分离参数法得出1x >时，(21)1x e x k x -<-，1x <时，(21)1x e x k x ->-，再设(21)()1x e x h x x -=-，求出()h x 在1x >时最小值，在1x <时的最大值，从而可得k 的范围． 【详解】因为()()2xf x f x e '-=，所以()()2x f x f x e '-=，即()2x f x e '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以()2x f x x c e =+（c 为常数），()(2)x f x e x c =+，由(0)1f c ==-，()(21)x f x e x =-，不等式()()1f x k x >-为(21)(1)xe x k x ->-，1x =时，不等式为0e >，成立，1x >时，(21)1x e x k x -<-，1x <时，(21)1x e x k x ->-， 设(21)()1x e x h x x -=-，则2(23)()(1)x xe x h x x -'=-，当312x <<或01x <<时，()0h x '<，当32x >或0x <时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和(,0)-∞上是增函数，1x >时，()h x 在32x =时取得极小值也最小值32342h e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由(21)1x e x k x -<-恒成立得324k e <，1x <时，()h x 在0x =时取得极大值也是最大值(0)1h =，由(21)1x e x k x ->-恒成立得1k >，综上有3214k e <<． 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用．10．C解析：C 【分析】作出函数()f x 的大致图象，令()t f x =，则原问题可转为关于t 的方程2240t at a a -+-=有2个不等实根1t 和2t ，结合()f x 的图象可确定1t 和2t 符合两种情形：10t =，24t =或()10,4t ∈，()()2,04,t ∈-∞+∞，最后分两类讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】当0x ≥时，()22xf x x e-=，∴()()222xf x x xe-'=-，∴当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 函数()f x 的大致图象如图所示：令()t f x =， 当0t =或4时，方程()t f x =有2个实根； 当()(),04,t ∈-∞+∞，方程()t f x =有1个实根.当t ∈（0，4）时，方程t ＝f （x ）有3个实根； 则关于x 的方程()()2240fx af x a a -+-=有四个不等的实数根可等价于关于t 的方程2240t at a a -+-=有2个不等实根1t 和2t .∴1t 和2t 可符合两种情形：10t =,24t =或1t ∈（0，4），()()2,04,t ∈-∞+∞.若10t =，24t =，则124a t t =+=； 若1t ∈（0，4），()()2,04,t ∈-∞+∞，设g （t ）＝t 2﹣at +4a ﹣a 2，则g （0）•g （4）＜0，∴()()22416440a aa a a -⋅-+-<，解得40a .综上，实数a 的取值范围为(){}4,04-.故选：C .【点睛】本题考查方程根的问题，利用导数研究函数的单调性与最值，考查学生的数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11．A解析：A 【分析】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解 【详解】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)(3)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.二、填空题13．6【分析】求导函数令恒成立变量分离转化为求新函数的最大值【详解】可得令若函数在上单调递减即当时单调增所以函数在上单调递增所以故答案为:6【点睛】关键点睛：变量分离转化为不等式恒成立问题进而求又一函数解析：6 【分析】求导函数()f x '，令()0f x '≤恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】21()23mf x x x x'=+--，()0f x '≤，可得3223m x x x ≥-+， 令()3223g x x x x =-+，若函数()f x 在[1,2]上单调递减，即()max m g x ≥ 当[1,2]x ∈时，()2661g x x x '=-+单调增，()()266110g x x x g ''=-+≥>，所以函数()g x 在[1,2]上单调递增()()max 26g x g ==，所以6m ≥.故答案为:6 【点睛】关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.14．【分析】由得根据的范围得利用导数得可得令将化为关于的二次函数根据二次函数知识可求得结果【详解】因为所以所以因为所以当时由得由得所以在上递减在上递增所以在处取得最小值所以所以令则所以所以当时取得最小值解析：24,0e ⎡⎤-⎣⎦【分析】由()()12f x f x =得2124x e x e x =-，根据1x 的范围得224x e e x ≤，利用导数得22x e e x ≥，可得224x e e e x ≤≤，令22x e t x =，将()12x f x 化为关于t 的二次函数，根据二次函数知识可求得结果. 【详解】因为()()12f x f x =，所以2124x e x e x +=，所以2124x e x e x =-， 因为10x ≤，所以224x e e x ≤， 当0x >时，()x e f x x =，22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==， 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，所以()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得最小值e ，所以224x e e e x ≤≤， 所以()12x f x 22224x x e e e x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222224x x e e e x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令22x e t x =，则4e t e ≤≤，所以()12x f x 24t et =-()2224t e e =--，所以当2t e =时，12()x f x 取得最小值24e -，当4t e =时，12()x f x 取得最大值0， 所以12()x f x 的取值范围是24,0e ⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：24,0e ⎡⎤-⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：令22x e t x =，将()12x f x 化为关于t 的二次函数，根据二次函数知识求解是解题关键.15．【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令∴在上单调递增∵∴∴恒成立令只需∴单调递增∴单调递减时的最大值为∴∴的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键解析：3e【分析】不等式等价变形()()()4ln 3ln 3ln 3ln xxxe x x a a x x a a e e-≤-⇔-≤-，利用同构函数()ln f x x x =-的单调性得解【详解】()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=， ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1[,)3x ∈+∞，∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33xx eae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33xxg x e -'=， ∴1[,1),()0,()3x g x g x ∈'>单调递增，∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，1x ∴=时，()g x 的最大值为3e，∴3a e ≥，∴a 的最小值为3e.故答案为：3e【点睛】不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键.16．【分析】由可得对称轴是由可得从而得出判断的单调区间再结合即可得不等式的解集【详解】因为函数对定义域内内的任意都有所以对称轴是因为满足即所以当时单调递增当时单调递减又因为所以时时时当与同号时所以的解集 解析：()(),01,3-∞⋃【分析】由()()4f x f x =-，可得()f x 对称轴是2x =，由()()2xf x f x ''<可得()()20x f x '-<，从而得出判断()f x 的单调区间，再结合()30f =，即可得不等式()0xf x >的解集.【详解】因为函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-， 所以()f x 对称轴是2x =，因为()f x '满足()()2xf x f x ''<，即()()20x f x '-<， 所以当2x <时()0f x '>，()f x 单调递增， 当2x >时()0f x '<，()f x 单调递减， 又因为()()130f f ==，所以1x <时，()0f x <，13,x <<时，()0f x >，3x >时，()0f x <， 当x 与()f x 同号时，()0xf x >， 所以()0xf x >的解集为：()(),01,3-∞⋃， 故答案为：()(),01,3-∞⋃ 【点睛】本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.17．【分析】由函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设利用导数求得的单调性与最小值即可求解【详解】由题意函数则因为函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设则所以当时所以为单调递增函数所以函数 解析：a e ≤【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，即()0xaf x e x'=-≥在[]1,4上恒成立，即x a xe ≤在[]1,4上恒成立，设()xg x xe =，利用导数求得()g x 的单调性与最小值，即可求解． 【详解】由题意，函数()2xf x e alnx =-+，则()xa f x e x '=-， 因为函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，即()0xa f x e x'=-≥在[]1,4上恒成立，即x a xe ≤在[]1,4上恒成立，设()xg x xe =，则()(1)x x xe xe e g x x ='=++，所以当[]1,4x ∈时，()(1)0xg x e x '=+≥，所以()g x 为单调递增函数，所以函数()xg x xe =的最小值为()1g e =，所以a e ≤．【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求参数问题，其中解答中把函数的转化为不等式的恒成立问题，利用导数求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．【分析】根据在R 上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R 上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：10a e≤≤【分析】根据()f x 在R 上递增，结合()01f =，将x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，转化为()2xa x e +≤ ，x R ∀∈恒成立，然后分20x +≤和20x +>两种情况，利用导数法求解. 【详解】因为()321f x x x =++，所以()2320f x x '=+>成立，所以()f x 在R 上递增，又()()01,21xf f ax e a =-+≤x R ∀∈成立，所以20x ax e a -+≤，x R ∀∈ 恒成立，即()2xa x e +≤，x R ∀∈恒成立， 当20x +>时，转化为2xe a x ≤+恒成立，令()2xg x ex =+，()()()212x x e g x x +'=+，当21x -<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1x =-时，()g x 求得最小值min 1()(1)g x g e=-=， 所以1a e≤， 当20x +≤时，转化为2xe a x ≥+恒成立，(),(,2)a g x x ≥∈-∞-上恒成立，(,2)x ∈-∞-时，()0,()g x g x '<单调递减，又(,2),()0x g x ∈-∞-<，所以0a ≥不等式恒成立，综上：实数a 的取值范围为10a e≤≤ 故答案为：10a e≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性得到在R 上恒成立再利用导数分析解答即得解【详解】因为当时有不等式成立所以令所以函数g(x)在（0+∞）上单调递增由题得所以函数g(x)是奇函数所以函数在R 解析：2【分析】令2()(),g x x f x =先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到e x ax >在R 上恒成立，再利用导数分析解答即得解. 【详解】因为当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，所以()()22+20,[()]0x f x xf x x f x ''>∴>，令2()(),g x x f x =所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增， 由题得22()()()g(x),g x x f x x f x -=-=-=- 所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R 上单调递增. 因为对x R ∀∈，不等式()()2220xxe f e a x f ax ->恒成立，所以()()222,()()e xxxxe f ea x f ax g e g ax ax >∴>∴>，，因为a >0,所以当x≤0时，显然成立.当x ＞0时，()(0)xe a h x x x<=>，所以2(1)()xx e h x x-'=，所以函数h (x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增. 所以min ()(1)h x h e ==， 所以a ＜e,所以正整数a 的最大值为2. 故答案为2 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.20．【分析】根据题意可得只有一个解只有一个解与只有一个交点求导数分析单调性及当时；当时画出函数的草图及可得的取值范围再检验是否符合题意即可得出答案【详解】解：因为函数有且仅有一个极值点所以只有一个解即只 解析：(,0]-∞【分析】根据题意可得()210f x lnx ax '=-+=只有一个解12lnx a x+⇒=只有一个解2y a ⇒=与1()lnx y g x x+==只有一个交点，求导数()g x '，分析单调性，及当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，画出函数()g x 的草图，及可得a 的取值范围，再检验是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：因为函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点， 所以1()ln ln 210f x x ax x a x ax x ⎛⎫'=-+-=-+= ⎪⎝⎭只有一个解， 即ln 12x a x+=，只有一个解， 即2y a =与ln 1()x y g x x+==只有一个交点， 因为2ln ()xg x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==，当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →， 画出函数()g x 的草图如下：结合图象可得21a =或20a ≤， 解得12a =或0a ≤， 当12a =时，21()ln 2f x x x x =-， 所以()1ln f x x x '=+-，令()1ln h x x x =+-，所以1()1h x x'=-， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 没有极值点. 所以实数a 的取值范围是(,0]-∞. 故答案为：(,0]-∞ 【点睛】本题考查利用导数分析极值，解题关键是转化思想的应用，属于中档题．三、解答题21．（1）答案见解析；（2）(],1e -∞+. 【分析】（1）求得()xf x e a '=-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调性；（2）利用参变量分离法得出1xe m x ≤+在()0,∞+上恒成立，利用导数求出函数()1xe g x x=+在()0,∞+上的最小值，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】解：（1）()x f x e ax =-，()x f x e a '∴=-.当0a ≤时，则()0f x '>在(),-∞+∞上恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <， 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增；（2）由题意知xe x mx +≥在()0,∞+上恒成立，即1xe m x≤+恒成立，令()1x e g x x =+，其中0x >，则()()21x x e g x x-'=. 当01x <<时，则()0g x '<；当1x >时，则()0g x '>.所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()()min 11g x g e ==+. 所以实数m 的取值范围为(],1e -∞+. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 22．（1）2a =；（2）(-∞. 【分析】（1）由题意可得出()11f '=，由此可求得实数a 的值；（2）求出函数()f x 的定义域为()0,∞+，由题意可知，()2210af x x x'=+-≥在()0,∞+上恒成立，利用参变量分离法得出min2a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出2x x +在()0,∞+上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 （1）()2ln f x x a x x =--，()221af x x x'∴=+-，()13f a '∴=-，又()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，()131f a '∴=-=，解得2a =； （2）()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在定义域上为增函数，()2210af x x x'∴=+-≥在()0,∞+上恒成立， 2a x x ∴≤+在()0,∞+上恒成立，min 2a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式2x x +=≥x 时等号成立，故min2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故a的取值范围为(-∞.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立. 23．（1）27y x =+；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(0)f '，从而可得切线方程；（2）求出()'f x ，求出()0f x '=的两根1a和2，根据两根的大小讨论()f x 的极值，由2是极小值点得出a 的范围．【详解】本题考查利用导数研究函数性质.解析（1）若1a =，()2()57x f x x x e =-+，所以()2()32x f x x x e '=-+，所以(0)2 f '=，又(0)7f =，因此曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为27y x =+.（2）2()(21)2(1)(2)x x f x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++=--⎣⎦，令()0 f x '=，得1x a =或2x =， 若102a <<，即12a > 则当1,2x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在2x =处取得极小值.. 若12a ≤，且0a ≠，则当(0,2)x ∈时，112ax x ≤<， 所以10ax ，同时20x -<，所以()0f x '>，从而2x =不是()f x 的极小值点..综上可知，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查由极值点求参数范围．掌握极值的定义是解题关键．方法是：求出导函数()'f x ，确定()0f x '=的根，然后由根分实数为若干个区间，讨论各区间中()'f x 和正负，得单调区间，若在0x 左侧递减，右侧递增，则0x 是极小值点，若在0x 左侧递增，右侧递减，则0x 是极大值点．24．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤.【分析】（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切线方程；（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案.【详解】（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1x f x e '=-， 设切点为()000, x x e ax a --，则切线方程为()()()0000xy e ax a f x x x '---=-， 因为过点()0,1-，所以0000()111x x e x e x --++=--， 解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=.（2）()x f x e a '=-，当0a ≤时，()'0f x >，所以在R 上单调递增，其中0a =，()0xf x e =>，符合题意， 当0a <时，取110a x a-=<，()1110x f x e =-<，不符合题意； 当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，所以()()ln f x f a ≥，要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0a f a e a a a =--≥，解得01a <≤；综上所述，01a ≤≤.【点睛】本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解.25．（1）1y =；（2）0a ≥.【分析】（1）利用导数的几何意义可求得结果；（2）转化为()0g x '≥，即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.【详解】（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞， 2222()2x f x x xx -'=-=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线的斜率为2212(1)01f ⨯-'==， 又(1)1201f =-⨯=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程为1y =（2）因为()()2g x f x x=+22ln x a x x =++在[1,+)∞上是单调增函数， 所以322222()2a x ax g x x x x x+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x=-取得最大值0， 所以0a ≥.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对()f x 求导，利用导数判断()f x 的单调性，求出()f x 的极值或最值，即可求证；（2）构造函数()x g x e x =-，求导利用单调性证明()0xg x e x =->，再由（1）可知()1ln 0f x x x =--≥即1ln x x ≥+可得ln x x >，进而可证明0x >时， ln x e x x >>.【详解】（1）()1ln =--f x x x 的定义域为()0,∞+，1()1f x x'=- 当01x <<时，1()10f x x '=-<，当1x >时，1()10'=->f x x， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以1x =时()f x 最小为(1)11ln10f =--=，所以()f x 存在唯一的零点1x =，（2）令()x g x e x =-，则()1x g x e '=-，当0x >时，()10xg x e '=->， ()x g x e x =-在()0,∞+单调递增，所以()()0001g x g e >=-=，即10x e x ->>，即0x e x ->，所以x e x >，由（1）知()1ln =--f x x x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()f x 最小为(1)11ln10f =--=，所以()1ln 0f x x x =--≥即1ln x x ≥+，所以ln x x >，综上所述：当0x >时，ln x e x x >>.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.。
(压轴题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．已知函数()()ln 1xxf x x e e -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-+∞B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),21,-∞-⋃+∞3．若函数11()ln x x f x x x e e m --+=-+++有零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[1,)-+∞D ．[3,)+∞4．若函数()3221f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．43m ≥B ．43m >C ．43m ≤D ．43<m 5．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（ ） A ．()()310f e f <B ．()()210f e f < C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >6．设函数()ln 2e f x x mx n x =--+.若不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，则nm的最大值为（ ） A ．4eB ．2e C ．e D ．2e7．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤ C ．()()()1322f f f +≥D ．()()()1322f f f +>8．设函数()x f x e x =-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则+a b 的最大值是（ ） A ．11e-B ．1C ．1e -D ．22e -9．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题10．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e --- 11．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞12．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，且(1)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-二、填空题13．对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22e -； ②函数f (x )的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____.14．若函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，则实数m 的取值范围为______.15．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____.16．如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线()22014y px p =-<<和圆()2249x y -+=分别交于A ，B 和C ，D ，且抛物线的准线与圆相切，则22AB CD ⋅的最大值为______.17．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________. 18．已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，fx 为()f x 的导函数，且当 0x >时，()()20xf x f x '+>成立，则函数()()2g x x f x =的零点个数是_______________. 19．已知函数()(0)x f x ae a =>与2()2(0)g x x m m =->的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为______________. 20．已知函数()321f x x x =++，若对于x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为：____________．三、解答题21．设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，求t 的取值范围； （2）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.22．“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C （不同于A ，B 两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设BAC θ∠= (弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数()S θ；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：l r α=⋅，其中α为弧所对的圆心角)23．已知函数()ln 1ln f x x x x x =+--．（Ⅰ）设函数()y f x =在1x =和x e =处的切线交直线1y =于,M N 两点，求||MN ； （Ⅱ）设()0f x 为函数()y f x =的最小值，求证：()0102f x -<<． 24．已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数()'()g x f x =（'()f x 为()f x 的导函数），若方程()g x a =在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()1ln f x ax x =--.（1）当1a =时，证明：()f x 存在唯一的零点； （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()11f x x=-. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()()ln g x f x t x =+，当1t ≤时，求()g x 零点的个数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x -+-'=，∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立,⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，从而可得关于x 的不等式，求出其解后可得正确的选项. 【详解】()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞，且()()()ln 1x x f x x e e f x --=--++=，又当1x >时，()()ln 1xxf x x e e -=-++，()11001x x f x e e e x e-'=+->+->-，故()f x 在()1,+∞为增函数， 故()()12f x f x +<即为11211112121x xx x x x ⎧<+<⎪+-+⎨⎪-⎩或或，解得2x <-或1x >，故选：D. 【点睛】方法点睛：解函数不等式，往往需要考虑函数的奇偶性和单调性，前者依据定义，后者可利用导数，注意定义域的要求.3．A解析：A 【分析】设11()ln e e x x g x x x --+=-++，则函数11()ln x x f x x x e e m --+=-+++有零点转化为函数()g x 的图象与直线y m =-有交点，利用导数判断函数()g x 的单调性，即可求出．【详解】设11()ln e e x x g x x x --+=-++，定义域为()0,∞+，则111()1e e x x g x x--+'=-+-，易知()'g x 为单调递增函数，且(1)0,g '= 所以当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减； 当(1,)x ∈+∞时， ()0g x '>， ()g x 递增，所以 ()(1)3,g x g ≥= 所以3m -≥，即3m ≤-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查根据函数有零点求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于基础题．4．A解析：A 【分析】由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，利用参数分离求得参数范围. 【详解】因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，则()2340f x x x m '=++≥所以234m x x ≥--在R 上恒成立，令()234g x x x =--，则()max m g x ≥因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-，所以()max 2433g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故43m ≥故选：A 【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围.5．A解析：A 【分析】 构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e=，则()()()()()()3323333x xxx f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''， 因为()()30f x f x '->在R 上恒成立， 所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以()()10g g <，即()()3010f f e e<，即()()310f e f <， 故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.6．D解析：D 【分析】 由题意可得ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，根据它们的图象，结合的导数的几何意义，以及射线的性质，即可得到所求的最大值. 【详解】由不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，即为ln 20e x mx n x --+≤，即ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，由()210eg x x x'=+>， 可得()g x 在()0,∞+上递增，且()0g e =，当0x →时，()g x →-∞；x →+∞，()g x →+∞， 作出()y g x =的图象， 再设()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 可得()h x 表示过,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为2m 的一条射线（不含端点）， 要求nm 的最大值，且满足不等式恒成立，可得2n m的最大值， 由于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴上移动， 只需找到合适的0m >，且()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：此时2n e m =，即nm 的最大值为2e . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将问题转化为()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，注意运用转化思想和数形结合思想，考查了导数的应用，求切线的斜率与单调性，考查了运算能力和推理能力.7．B解析：B 【分析】根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.8．C解析：C 【分析】先设切点写出曲线的切线方程，得出a 、b 的值，再利用构造函数利用导数求+a b 的最大值即可. 【详解】解：由题得()1x f x e '=-，设切点(t ，())f t ，则()t t f t e =-，()1tf t e '=-；则切线方程为：()(1)()t ty e t e x t --=--， 即(1)(1)tty e x e t =-+-，又因为y ax b =+， 所以1t a e =-，(1)tb e t =-， 则12t t a b e te +=-+-，令()12ttg t e te =-+-，则()(1)tg t t e '=-，则有1t >，()0g t '<；1t <，()0g t '>，即()g t 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减， 所以1t =时，()g t 取最大值(1)121g e e e =-+-=-， 即+a b 的最大值为1e -. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题.9．D解析：D 【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+, 且导函数()10ln 3xf x e x '+=>， 则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=，可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.10．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a ⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e--， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】构造新函数2()()xg x ef x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】令2()()x g x e f x =，则2()[2()()]x g x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】根据条件构造函数2()()g x x f x =，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解. 【详解】由题意，设2()()g x x f x =，则2'()2()()[2()'()]g x xf x x f x x f x xf x =+=+， 因为当0x >时，有2()'()0f x xf x +>， 所以当0x >时，'()0g x >，所以函数2()()g x x f x =在(0,)+∞上为增函数，因为(1)0f -=，又函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，所以(1)0g =，而当()0>g x 时，可得1x >，而()0>g x 时，有()0f x >， 根据偶函数图象的对称性，可知()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞， 故选B. 【点睛】该题考查的是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等式，属于中档题目.二、填空题13．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(解析：①②④ 【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝22e -，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e-， x ＞0时，f (x )＝2122x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝122e->-故f (x )有最小值2e-，②④正确；令20x x e ⋅=得0x =，令21202x x -+=得22x =，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.14．【分析】根据函数在上单调递减由恒成立求解【详解】因为函数在上单调递减所以恒成立；令在上单调递增所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：（1）若在区间D 上有最值则；；（2）若解析：)336,e ⎡++∞⎣【分析】根据函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，由()0f x '≤，(],3x ∈-∞恒成立求解. 【详解】()320x f x e x m '=+-≤，因为函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，所以32x e x m +≤，(],3x ∈-∞恒成立；令32x y e x =+在(],3-∞上单调递增，3max 36y e =+，所以实数m 的取值范围为)336,e ⎡++∞⎣. 故答案为：)336,e ⎡++∞⎣ 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：（1）若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.15．2【分析】令利用可得在单调递增不等式恒成立等价于即当时分离参数可得可求出正整数的最大值为2再检验当时对于不等式恒成立即可求解【详解】因为定义在上的函数关于轴对称所以函数为上的偶函数令则因为当时即所以解析：2 【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 不等式()()0xx xe f e eax axf ax -+->恒成立，即()()xx xe f eeaxf ax ax ->-，即()()x g e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=， 可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立， 综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()x g e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.16．【分析】先设直线的方程为再利用直线与圆锥曲线的位置关系将用表示再利用导数求函数的最值即可得解【详解】解：由抛物线的准线与圆相切得或7又∴设直线的方程为则直线的方程为则设令得；令得即函数在为增函数在为解析：【分析】先设直线AB 的方程为()03x t t =-<<，再利用直线与圆锥曲线的位置关系将AB CD ⋅用t 表示，再利用导数求函数的最值即可得解. 【详解】解：由抛物线的准线与圆相切得12p=或7，又014p <<，∴2p =. 设直线AB 的方程为()03x t t =-<<，则直线CD 的方程为4x t =-，则)03AB CD t ⋅==<<.设()()()2903f t t tt =-<<，()2'93f t t=-，令()'0f t >，得0t <<()'0f t <3t <<.即函数()f t 在(为增函数，在)为减函数，故()maxf t f ==22AB CD ⋅的最大值为28⨯=故答案为： 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，重点考查了运算能力，属中档题.17．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-， 所以12cos y x '=-， 令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=， 当533x ππ≤≤时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.18．1【分析】分析可得g （x ）为R 上连续的奇函数且在R 上为增函数说明函数只有1个零点可得选项【详解】函数是定义在R 上连续的奇函数则函数其定义域为R 则则为R 上连续的奇函数则又由当时则有即函数为上的增函数又解析：1 【分析】分析可得g （x ）为R 上连续的奇函数，且在R 上为增函数，说明函数()2()g x x f x =只有1个零点，可得选项. 【详解】()()2g x x f x =，函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，则函数()()2g x x f x =，其定义域为R ，则()()()()2g x x f x g x -=--=-，则()g x 为R 上连续的奇函数，()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，又由当 0x >时，()()20xf x f x '+>，则有()0g x '>，即函数() g x 为()0,∞+上的增函数， 又由()g x 为R 上连续的奇函数，且()00g =， 则()g x 为R 上的增函数，故函数()()2g x x f x =只有1个零点，故答案为：1. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、以及函数的零点个数的判断，属于中档题.19．【分析】设切点为根据已知得求出得构造函数求出的范围即可【详解】设切点为则整理得由解得由上可知令则因为所以在上单调递减所以即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义利用导数求参数的范围考查计算求解能力解析：280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】设切点为()00,A x y ，根据已知得0000()(),()()f x g x f x g x ='='，求出02x >，得04x x a e=，构造函数4(),2x xh x x e =>，求出()h x 的范围即可. 【详解】 设切点为()00,A x y ，(),()4xf x aeg x x '='=则0020024x x ae x m ae x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得20004200x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩，由200240m x x =->，解得02x >.由上可知004x x a e =，令4()xx h x e=，则4(1)()x x h x e -'=. 因为2x >，所以4(1)4()0,()x xx xh x h x e e-'=<=在(2,)+∞上单调递减， 所以280()h x e <<，即280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题.20．【分析】根据在R 上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R 上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：10a e≤≤【分析】根据()f x 在R 上递增，结合()01f =，将x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，转化为()2xa x e +≤ ，x R ∀∈恒成立，然后分20x +≤和20x +>两种情况，利用导数法求解. 【详解】因为()321f x x x =++，所以()2320f x x '=+>成立，所以()f x 在R 上递增，又()()01,21xf f ax e a =-+≤x R ∀∈成立，所以20x ax e a -+≤，x R ∀∈ 恒成立，即()2xa x e +≤，x R ∀∈恒成立， 当20x +>时，转化为2xe a x ≤+恒成立，令()2xg x e x =+，()()()212x x e g x x +'=+，当21x -<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1x =-时，()g x 求得最小值min 1()(1)g x g e=-=， 所以1a e≤， 当20x +≤时，转化为2xe a x ≥+恒成立，(),(,2)a g x x ≥∈-∞-上恒成立，(,2)x ∈-∞-时，()0,()g x g x '<单调递减，又(,2),()0x g x ∈-∞-<，所以0a ≥不等式恒成立， 综上：实数a 的取值范围为10a e≤≤ 故答案为：10a e≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）11ln 2,022⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，等价于函数()f x 在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像与直线y t =有两个交点，所以利用导数求出()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，再比较出(1)f 和12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可得答案；（2）由0m n >>，要证(1)(1)n mm n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)m n m n ++<，构造函数ln(1)(),(0)x g x x x +=>，然后利用导数证明()g x 是减函数即可 【详解】解：（1）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当102x -≤<时，()()0,f x f x '>单调递增， 当01x <≤时，()()0,f x f x '<单调递减， 则()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减， 又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， 135(1)()ln 20,222∴--=-<f f 1(1)2f f ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭∴ 当11ln 2,022⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭t 时，方程()f x t =有两解. （2）∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+， 只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<. 设ln(1)(),(0)x g x x x+=>， 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xx x x x x g x x x x -+-+++=+'=. 由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减， 又()00=f ，∴ (1)ln(1)0x x x -++<， 即()g x 是减函数，而m n >. ∴ ()()g m g n <，故原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，考查数学转化思想，解题的关键是把(1)(1)n mm n +<+，转化为ln(1)ln(1)m n m n++<，再构造函数，再利用导数判断此函数为减函数即可，属于中档题22．（1）()200cos 100,0,2S πθθθθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=.【分析】（1）在直角三角形ABC 中，求出AC ，在扇形COB 中利用弧长公式求出弧BC 的长度，则可得函数()S θ； （2）利用导数可求得结果. 【详解】（1）如图，连接,BC OC ，在直角三角形ABC 中，100,,AB BAC θ=∠= 所以100cos ,AC θ=由于22,BOC BAC θ∠=∠= 则弧BC 的长为250100,l r αθθ=⋅=⋅=()22100cos 100200cos 100,0,2S AC l πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可知()200sin 100S θθ'=-+， 令()0,S θ'= 得1sin 2θ=，因为(0,)2πθ∈所以6πθ=，当0,,()0,()6S S πθθθ'⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增，当,,()0,()62S S ππθθθ'⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单调递减，所以当6πθ=时，使得绿化带总长度()S θ最大.【点睛】关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键.23．（Ⅰ）2||1e MN e =-；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求出导函数，得切线方程，然后求得交点,M N 坐标后可得线段长MN ； （Ⅱ）由零点存在定理得()'f x 存在一个零点0(1,2)x ∈，并求出最小值0()f x ，利用0()0f x '=化简0()f x 后根据0(1,2)x ∈可证上得结论．【详解】解：（Ⅰ）函数()f x 的导函数为11()1ln 1ln f x x x x x'=+--=-． 所以1(1)1,()1f f e e''=-=-．又因为(1)0,()0f f e ==， 因此()y f x =在1x =和x e =处的切线方程分别为1y x =-+和1()e y x e e-=-． 令1y =，可得M 和N 的坐标分别为(0,1)和2,11e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故2||1e MN e =-．（Ⅱ）因为1()ln f x x x'=-在(0,)+∞上单调递增，而1(1)10,(2)ln 202f f ''=-<=->， 所以必然存在0(1,2)x ∈，满足()00f x '=，且当()00,x x ∈）时()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时()0f x '>． 即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当0x x =时，()f x 取得最小值()00000ln 1ln f x x x x x =+--． 由()00f x '=可得001ln x x =，所以()00012f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 当0(1,2)x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()0102f x -<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求最值时在极值点0x 不能直接求出时，对极值点（最值点）0x 进行定性分析：确定其取值范围，利用注意0()0f x '=得出0x 满足的性质，代入0()f x 化简表达式后再求解．24．（1）220x y --=；（2）2(2,1]e -． 【分析】（1）求出()'f x ，计算(1)f '得切线斜率，从而得切线议程；（2）对()g x 求导，确定()g x 的单调性，极值，得()g x 的变化趋势，从而可得结论．【详解】（1）由已知2211()2ln 212ln 1f x x x x x'=+-+=++， 所以(1)2f '=，又(1)0f =，所以切线议程为2(1)y x =-，即220x y --=；（2）由（1）21()2ln 1g x x x=++，定义域为(0,)+∞，33222(1)(1)()x x g x x x x -+'=-=， 所以在(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增， 所以1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)2g =，211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x →+∞时，()g x →+∞， 所以方程()g x a =在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是2(2,1]e -． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究方程根的分布．根据方程根的个数求参数范围问题，一般方法是数形结合思想，把问题转化为函数图象与直线的交点问题，可利用导数研究出函数的性质，如单调性，极值，确定函数的变化趋势，然后利用函数的图象得出参数范围．25．（1）证明见解析；（2）1a ≥．【分析】（1）当1a =时，求导得到()111x f x x x -'=-=，判断出函数的单调性，求出最值，可证得命题成立；（2）当0a ≤且1x >时，()0f x <不满足题意，故0a >，又定义域为()0,∞+，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数a 的取值范围．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =时，由()111x f x x x -'=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；.且()10f =，故()f x 存在唯一的零点；（2）当0a ≤时，不满足()0f x ≥恒成立，故0a >由定义域为()0,∞+，()1ln 0f x ax x =--≥可得1ln x a x +≥， 令1()lnx h x x +=，则2()lnx h x x'=-，则当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，故当1x =时，函数()h x 取得最大值h （1）1=，故实数a 的取值范围是1a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．26．（1）10x y +-=；（2）答案见解析.【分析】（1）求出()1f 和()1f '的值，结合点斜式可得出曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求得()21tx g x x -'=，分0t ≤、01t <<、1t =三种情况讨论，由导数分析函数()g x 的单调性与极值，进而可得出实数t 在不同取值下函数()g x 零点的个数.【详解】（1）因为()11f x x =-，所以()21f x x'=-，所以()10f =，()11f '=-. 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()1y x =--，即10x y +-=； （2）因为()()ln g x f x t x =+，所以()()1ln 10g x t x x x =+->， 所以()2211t tx g x x x x-'=-+=. ①当0t ≤时，()0g x '≤，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.因为()10g =，所以()g x 有且仅有一个零点；②当01t <<时，令()0g x '>，得1x t>，令()0g x '<，得1x t <. 所以()g x 在10,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.因为()10g =，所以()g x 在10,t ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.因为()110g g t ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即1ln 10t t t +-<，则111ln 1t t t <-<，所以，11t e t >， 则()1110t t g e e =>， 所以01,x t ⎛⎫∃∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以()g x 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.所以当01t <<时，()g x 有两个零点；③当1t =时，()21x g x x-'=. 令()0g x '>，得1x >，令()0g x '<，得1x <.所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.所以当1x =时，()g x 取得最小值，且()10g =，所以()g x 有且仅有一个零点. 综上所述，当0t ≤或1t =时，()g x 有且仅有一个零点；当01t <<时，()g x 有两个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。
高中数学 第四章 导数应用 4.2.1 实际问题中导数的意义学业分层测评(含解析)北师大版选修1-1
2016-2017学年高中数学第四章导数应用4.2.1 实际问题中导数的意义学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第四章导数应用4.2.1 实际问题中导数的意义学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1 实际问题中导数的意义（建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1．一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝2t，则该物体( ）A．做匀加速运动B．做匀减速运动C．做匀速运动D．处于静止状态【解析】∵s′＝2，∴物体做匀速运动．【答案】C2．圆的面积S是半径r的函数S（r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是( ）A．6 B．9C．9π D．6π【解析】面积S在r＝3时的变化率即为S′(3）＝2π×3＝6π。
【答案】D3．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( ) A．t＝10时的降雨强度B．t＝10时的降雨量C．t＝10时的时间D．t＝10时的温度【解析】f′(t）表示t时刻的降雨强度．【答案】A4．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量（单位：C)可由公式q＝2t2＋t表示，则第3 s时电流强度为（）A．10 C/s B．11 C/s C．12 C/s D．13 C/s【解析】∵q′＝4t＋1，∴q′｜t＝3＝13，即第3 s时的电流强度为13 C/s.【答案】D5．人在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度（)A．越来越慢B．越来越快C．先慢后快D．先快后慢【解析】∵气球半径与体积的关系式为r(V)＝错误!,r′（V)＝错误!·错误!·错误!随着V的增加，r′（V）越来越小．【答案】A二、填空题6．某人拉动一物体前行，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′（t0)表示________．【解析】因为功率是功关于时间的导数，故W′(t0)表示t＝t0时的功率．【答案】t＝t0时的功率7．某物体的运动速度与时间的关系为v（t）＝2t2－1,则t＝2时的加速度为________．【解析】v’（t)＝4t,∴v′(2）＝8.【答案】88．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8:00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′（2）＝________，它的实际意义是________．【解析】Q′（t）＝－3t2＋18t＋12,Q′(2）＝36台/小时．【答案】36台/小时10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时三、解答题9．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(时间:s）间的关系式为h（t)＝－4t2＋7t＋16.(1）求t从2 s到3 s时，高度关于时间t的平均变化率;(2）求h′(2)，h′(3)，并解释它们的实际意义．【解】(1）∵h（2）＝14，h(3）＝1,∴t从2 s到3 s时,h关于t的平均变化率为错误!＝错误!＝－13（m/s）．（2）∵h′（t）＝－8t＋7,∴h′（2)＝－9 m/s，h′(3）＝－17 m/s。
高中数学 第4章 导数应用 1.2 函数的极值课后演练提升 北师大版选修1-1(2021年整理)
北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第4章导数应用1.2 函数的极值课后演练提升北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面对于函数y＝x3－3x2－9x（－2<x<2)的判断正确的是（)A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5,极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极小值为－27，无极大值解析：y′＝3x2－6x－9＝3（x2－2x－3）,令y′＝0，可得x＝3或x＝－1.当－2〈x<－1时，y′>0；当－1<x<2时，y′〈0，故当x＝－1时y取得极大值．答案：C2．若函数f（x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于( )A.错误!B．－错误!C．－ln 2 D．ln 2解析：∵y＝x·2x，∴y′＝2x＋x·2x·ln 2＝2x·(1＋x·ln 2)．令y′＝0可得:x＝－错误!。
当x∈错误!时，y′<0,当x∈错误!时，y′>0.∴x＝－1ln 2为极小值点．故选B.答案：B3．已知函数f(x）＝x3－px2－qx的图像与x轴切于点(1，0），则f(x)的极值为（）A．极大值为错误!,极小值为0B．极大值为0，极小值为错误!C．极小值为－427，极大值为0D．极大值为－427，极小值为0解析:f′（x)＝3x2－2px－q，根据题意，x＝1是函数的一个极值点，则错误!得错误!所以f′(x）＝3x2－4x＋1。
高中数学导数及其应用学业分层测评17函数的极值与导数新人教A版选修11
【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学第三章导数及其应用学业分层测评 17 函数的极值与导数新人教A版选修1-1( 建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．函数y ＝x3－ 32－9x( －2＜＜ 2) 的极值状况是 () x xA．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极小值为－27，无极大值【解析】y′＝3x2－6x－9＝3( x＋1)( x－3)，令 y′＝0，得 x＝－1或 x＝3.当－ 2＜x＜－ 1 时，y′＞ 0；当－ 1＜x＜ 2 时，y′＜ 0.因此当 x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．【答案】C2．已知函数f (x) ＝ 23＋2＋36x－24 在x＝ 2 处有极值，则该函数的一个递加区间是x ax()A． (2,3)B． (3 ，＋∞)C． (2 ，＋∞)D． ( －∞， 3)【解析】由于函数 f( x) ＝ 2x3＋ax2＋ 36x－ 24 在x＝ 2处有极值，因此有 f ′(2)＝0，而 f ′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得 a＝－15.现令 f ′(x)＞0，解得 x＞3或 x＜2，因此函数的一个递加区间是 (3 ，＋∞ ) ．【答案】B3．设函数 f ( x)＝ x e x，则()A．x＝1 为f ( x) 的极大值点B．x＝1 为f ( x) 的极小值点C．x＝－ 1 为f ( x) 的极大值点D．x＝－ 1 为f ( x) 的极小值点【解析】x，∵ f ( x)＝ x e∴ f ′(x)＝e x＋ x e x＝e x(1＋ x)．∴当 f ′(x)≥0时，即 e x(1 ＋x) ≥0，即x≥－ 1，∴ x ≥－ 1 时，函数 f ( x ) 为增函数．同理可求， x <－1 时，函数 f ( x ) 为减函数．∴ x ＝－ 1 时，函数 f ( x ) 获得极小值．【答案】 D4．(2016 ·邢台期末) 函数 13 2f ( x ) ＝ 3ax ＋ ax ＋ x ＋3 有极值的充要条件是()A ． a ＞1 或a ≤0B ． a ＞ 1C ． 0＜a ＜ 1D ． a ＞ 1 或 a ＜ 0【解析】f ( x ) 有极值的充要条件是f ′(x ) ＝ ax 2＋ 2ax ＋ 1＝ 0有两个不相等的实根，即 4a 2－ 4a ＞ 0，解得a ＜ 0 或a ＞1. 应选 D.【答案】D5．已知a ∈ R ，且函数y ＝e x ＋ ax ( x ∈R) 有大于零的极值点，则()A ． a <－ 1B ． a >－ 111C ． a <－ eD ． a >－ e【解析】由于y ＝ e x ＋ ax ，因此 y ′＝ e x ＋ a .令 y ′＝ 0，即 e x ＋ a ＝ 0，则 e x ＝－ a ，即 x ＝ ln( －a ) ，又由于 x >0，因此－ a >1，即 a <－ 1.【答案】 A二、填空题6．(2016 ·临沂高二检测 ) 若函数y ＝－ x 3＋ 6x 2 ＋ m 的极大值为 13，则实数 m 等于__________．【解析】y ′＝－ 3x2＋12 ＝－ 3 ( x －4) ．x x由 y ′＝ 0，得 x ＝ 0 或 4.且 x ∈( －∞， 0) ∪ (4 ，＋∞ ) 时， y ′<0； x ∈ (0,4) 时， y ′>0.∴ ＝4 时函数取到极大值．故－ 64＋ 96＋ ＝ 13，解得 ＝－ 19.xmm【答案】－ 197．函数 f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx 2＋3x 的极值点为 x 1＝ 1，x 2＝ 2，则 a ＝________，b ＝ ________.【导学号： 26160089】【解析】′()＝a2bx 2＋ 3x ＋ a＋2 ＋3＝，fxx bxx∵函数的极值点为x 1＝ 1，x 2＝ 2，2 2 ＋3 ＋ a2∴ xbxx＋ 3x ＋ a ＝ 0的两根．1 ＝ 1，x ＝2 是方程 f ′(x) ＝＝ 0 的两根， 也即 2bx2x3－2b＝1＋ 2，∴由根与系数的关系知a2b＝1×2，a＝－2，解得1b＝－2.1【答案】－2－28．已知函数 f ( x)＝ ax3＋ bx2＋ c，其导数 f ′(x)的图象如图3－ 3－ 7 所示，则函数的极小值是 ________．图 3－ 3－7【解析】由图象可知，当 x<0时， f ′(x)<0，当 0<x<2 时，f′(x)>0 ，故 x＝0时，函数 f ( x)取到极小值 f (0)＝ c.【答案】c三、解答题9．设a为实数，函数 f ( x)＝e x－2x＋2a， x∈R，求 f ( x)的单调区间与极值．【解】由f () ＝ e x－ 2x＋2a，∈ R，知f′( ) ＝ e x－ 2，x∈ R. x x x令 f ′(x)＝0，得x＝ ln 2.于是当 x 变化时， f ′(x)， f( x) 的变化状况以下表：x( －∞， ln 2)ln 2(ln 2，＋∞)f ′(x)－0＋f ( x)2(1 － ln 2 ＋a)故 f ( x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递加区间是(ln 2 ，＋∞ ) ．因此f () 在x＝ ln 2处获得极小值，极小值为f(ln 2) ＝ e ln 2－2ln2 ＋ 2 ＝ 2(1 － ln 2 x a＋a)．10.函数 f ( x)＝x3＋ax2＋ bx＋c 的图象如图3－3－8所示，且与 y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a，b，c的值．图 3－ 3－8【解】 ∵函数的图象经过 (0,0)点，∴ c ＝ 0.又图象与x 轴相切于 (0,0) 点，且 ′()＝32＋ 2 ＋ .fx xax b∴ f ′(0)2＝ 0，即 0＝3×0＋ 2a ×0＋ b ，得 b ＝0.∴ f ( x ) ＝ x 3＋ ax 2.令 f ( x ) ＝ x 3＋ ax 2＝ 0，得 x ＝0 或 x ＝－ a ，由图象知 a <0.令 f ′(x ) ＝ 3x 2＋ 2ax ＝ x (3 x ＋ 2a ) ＝ 0，2∴当 0<x <－ 3a 时， f ′(x )<0 ；2当 x >－ 3a 时， f ′(x )>0.2∴当 x ＝－ 3a 时，函数有极小值－ 4.2322即－－3a ＋ a 3a ＝－ 4，解得 a ＝－ 3. ∴ a ＝－ 3， b ＝ 0， c ＝ 0.[ 能力提高 ]1．设函数 f ( x ) 的定义域为R ， x 0( x 0≠0) 是 f ( x ) 的极大值点，以下结论必定正确的选项是()A ． ? x ∈ R ， f ( x ) ≤f ( x 0)B ．－ x 0是 f ( － x ) 的极小值点C ．－ x 0是－ f ( x ) 的极小值点D ．－ x 0是－ f ( － x ) 的极小值点【解析】没关系取函数为f ( x ) ＝ x 3－ 3x ，则f ′(x ) ＝ 3( x － 1)( x ＋1) ，易判断x 0 ＝－ 1为 f ( x ) 的极大值点，但明显 f ( x 0) 不是最大值，故除掉A ；由于f ( － x ) ＝－ x 3＋ 3x ， f ′( － x ) ＝－ 3( x ＋ 1)(x － 1) ，易知－x 0＝ 1为f ( － x ) 的极大值点，故除掉B ；又－ f ( x ) ＝－ x 3＋3x ，[ － f ( x )]′＝－3( x ＋ 1)(x － 1) ，易知－ x 0＝ 1 为－ f ( x ) 的极大值点，故除掉C ；∵－ f ( － x ) 的图象与f ( x ) 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x 0 应为函数－f ( －x ) 的极小值点．故D 正确．【答案】D3 2 2 2等于()2．如图 3－ 3－9 所示是函数 f ( x ) ＝ x ＋ bx ＋ cx ＋ d 的大体图象，则 x 1 ＋ x 2图 3－ 3－92 4 A. 3B. 38 12 C. 3D. 3【解析】 函数 f ( x ) ＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 的图象过点 (0,0) ， (1,0) ，(2,0) ，得 d ＝ 0， b＋c ＋ 1＝ 0,4 b ＋ 2c ＋8＝ 0，则 b ＝－ 3， c ＝ 2， f ′(x ) ＝ 3x 2＋ 2bx ＋ c ＝ 3x 2－ 6x ＋ 2，且 x 1 ，x 2是函数f ( x ) ＝x 3bx 2cx ＋ d 的两个极值点， 即x 1， 2 是方程3 2 x ＋ 2＝ 0 的实根， x 2＋＋＋－ 6 1xxx 2 ＝( x ＋ x ) 24 82－ 2x x ＝4－ ＝ .1 2123 3【答案】 C3．已知函数 f ( x ) ＝ x 3＋ 3ax 2 ＋3bx ＋ c 在 x ＝ 2 处有极值，其图象在 x ＝ 1 处的切线平行于直线 6x ＋ 2y ＋ 5＝0，则极大值与极小值之差为 ________.【导学号： 26160090】【解析】∵ f ′()＝3 2＋6＋ 3 ，xxaxb2a ＝－ 1，3×2＋ 6 ×2＋ 3 ＝ 0，∴ab?2b ＝ 0.3×1＋ 6a ×1＋ 3b ＝－ 3∴ f ′(x ) ＝ 3x 2－ 6x ，令 3x 2－ 6x ＝ 0，得 x ＝ 0 或 x ＝ 2，∴ f ( x ) 极大值 － f ( x ) 极小值 ＝ f (0) － f (2) ＝ 4.【答案】434．若函数 f ( x ) ＝ 2x － 6x ＋k 在 R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．【解】f ( x ) ＝2x 3－ 6x ＋k ，则 f ′(x ) ＝ 6x 2－ 6，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝－ 1 或 x ＝ 1，可知 f ( x ) 在 ( －1,1) 上是减函数，f ( x ) 在( －∞，－ 1) 和 (1 ，＋∞ ) 上是增函数，f ( x ) 的极大值为 f ( － 1) ＝4＋ k ， f ( x ) 的极小值为 f (1) ＝－ 4＋ k .要使函数 f ( x ) 只有一个零点，只需 4＋ k ＜ 0 或－ 4＋ k ＞0( 以以下列图 ) ，即 k＜－4或 k＞4.∴ k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．。
高中数学 第四章 函数应用 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在学业分层测评 北师大版必修1(2
2018版高中数学第四章函数应用4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在学业分层测评北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第四章函数应用4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在学业分层测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.1。
1 利用函数性质判定方程解的存在（建议用时:45分钟)［学业达标］一、选择题1. 函数f（x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（)A．（－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．（1，2)【解析】因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线,又f（－1)＝2－1－3＜0,f(0)＝1＞0，所以f（－1）·f(0）＜0,故函数零点所在的一个区间是（－1,0）．故选B.【答案】B2。
函数f(x)＝错误!的零点有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由f(x）＝错误!＝0得x＝1，∴f（x）＝x－1ln xx－3只有一个零点．【答案】B3。
若函数f（x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( ) A．a〈1 B．a〉1C．a≤1 D．a≥1【解析】由题意知，Δ＝4－4a<0,∴a〉1.【答案】B4。
函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是（)A．（1，2) B．(2，3）C．(3，4) D．(4,5)【解析】∵f(x）＝log3x＋x－3，∴f（1）＝log31＋1－3＝－2〈0，f(2）＝log32＋2－3＝log32－1＜0,f（3)＝log33＋3－3＝1〉0，f（4)＝log34＋4－3＝log34＋1＞0,f(5）＝log5＋5－3＝log35＋2＞0，3∴函数f（x）＝log3x＋x－3零点所在大致区间是(2,3)．故选B.【答案】B5. 设函数f（x）＝错误!x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )A．在区间错误!，(1,e）内均有零点B．在区间错误!，（1，e）内均无零点C．在区间错误!内无零点，在区间（1,e)内有零点D．在区间错误!内有零点，在区间(1,e)内无零点【解析】因为f错误!＝错误!－ln 错误!＝错误!＋1＞0,f(1）＝错误!－ln 1＝错误!＞0，f(e)＝错误!e－ln e＝错误!e－1＜0。
高中数学 第四章 导数应用 1.2 函数的极值学案(含解析)北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-
1．2 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数的极值点与极值的概念1.如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．3．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．知识点二函数极值的判定1．单调性判别：(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．2．图表判别：(1)极大值的判定：x (a，x0)x0(x0，b)f′(x)＋0－y＝f(x)增加↗极大值减少↘(2)极小值的判定：x (a ，x 0) x 0(x 0，b ) f ′(x ) － 0 ＋ y ＝f (x )减少↘极小值增加↗知识点三 求函数y ＝f (x )的极值的步骤 1．求出导数f ′(x )． 2．解方程f ′(x )＝0.3．对于方程f ′(x )＝0的每一个解x 0，分析f ′(x )在x 0左、右两侧的符号(即f (x )的单调性)，确定极值点：(1)若f ′(x )在x 0两侧的符号为“左正右负”，则x 0为极大值点； (2)若f ′(x )在x 0两侧的符号为“左负右正”，则x 0为极小值点； (3)若f ′(x )在x 0两侧的符号相同，则x 0不是极值点．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．( × ) 2．在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行．( × ) 3．函数f (x )＝1x无极值．( √ )4．定义在[a ，b ]上的连续函数f (x )若有极值f (x 0)，则x 0∈(a ，b )．( √ ) 5．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．( √ )题型一 求函数的极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1； (2)f (x )＝x 2－2ln x .考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)函数f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x ＋2)(x －1)，解方程6(x ＋2)(x －1)＝0，得x 1＝－2，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2) －2 (－2,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值21↘极小值－6↗所以当x ＝－2时，f (x )取极大值21； 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.(2)函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x ，解方程2x ＋1x －1x＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值1↗因此当x ＝1时，f (x )有极小值1，无极大值． 反思感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求f (x )的拐点，即求方程f ′(x )＝0的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 特别提醒：在判断f ′(x )的符号时，借助图像也可判断f ′(x )各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练1 已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)f ′(x )＝e x(ax ＋b )＋a e x －2x －4 ＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4，f ′(0)＝a ＋b －4＝4，①又f (0)＝b ＝4，② 由①②可得a ＝b ＝4.(2)f (x )＝e x(4x ＋4)－x 2－4x ， 则f ′(x )＝e x (4x ＋8)－2x －4 ＝4e x(x ＋2)－2(x ＋2) ＝(x ＋2)(4e x－2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝－ln2， 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上是增加的，在(－2，－ln2)上是减少的． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．题型二 已知函数极值(或极值点)求参数例2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， ∴f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.由题意可知f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0.解方程组得a ＝－23，b ＝－16，经验证，当a ＝－23，b ＝－16时，x ＝1与x ＝2是函数f (x )的两个极值点．∴f (x )＝－23ln x －16x 2＋x .(2)x ＝1，x ＝2分别是函数f (x )的极小值点，极大值点． 理由如下：f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－23x －13x ＋1＝－x 2－3x ＋23x ＝－x －1x －23x .又∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，故在x ＝1处函数f (x )取得极小值，在x ＝2处函数取得极大值，故x ＝1为极小值点，x ＝2为极大值点．反思感悟 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式时，注意两点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性． 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________.(2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )是增加的； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )是减少的； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )是增加的． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值，∴a ＝2，b ＝9. (2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1. 题型三 函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根解 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1， 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0. 所以由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图像如图所示．因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，结合f (x )的图像可知，m 的取值范围是(－3,1)． 引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？ 解 由本例解析可知当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像只有一个交点．反思感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x 轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图像与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m的图像有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图像与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，4 4 (4，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )↗6827－m ↘－16－m↗则函数g (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由y ＝f (x )的图像与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图像有三个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m >0，g 4＝－16－m <0，解得－16<m <6827，∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－16，6827.由极值点的个数求参数范围典例 已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，求实数a 的取值范围． 考点 题点解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根， 即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax (x >0)的图像有两个不同的交点，则a >0. 设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ， 则切线斜率k l ＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，则k l ＝1，令2a ＝1，得a ＝12，结合图像知0<a <12.[素养评析] (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图像问题，一般地，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图像与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )的图像的交点的横坐标．(2)将数转化为形，以形助数，体现了直观想象的作用和意义.1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图像上的应用 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图像易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．a >13B ．a ≥13C ．a <13且a ≠0D ．a ≤13且a ≠0考点 函数极值的应用 题点 极值存在性问题 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，令f ′(x )＝0， 即3ax 2－2x ＋1＝0有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4－4×3a >0，得a <13且a ≠0.3．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4B ．－2C ．4D ．2 考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值(点) 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )是增加的； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )是减少的， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________． 答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.5．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 －2解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，则a ＋b ＝－2.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．一、选择题1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 函数的极值与导数的关系 题点 判定函数的极值点 答案 B解析 对于f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0， 不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B.2.如图为y ＝f (x )的导函数的图像，则下列判断正确的是( )①f (x )在(－3,1)上为增加的； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减少的，在(－1,2)上为增加的； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④考点 函数极值的应用题点 函数极值在图像上的应用 答案 B解析 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－3，－1)上为减少的，在(－1,2)上为增加的， ∴①不对；x ＝－1是f (x )的极小值点；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )是减少的；x ＝2是f (x )的极大值点．故②③正确．3．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )A ．0,1，－1B ．－33C.33D.33，－33考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 C解析 由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－33舍去.当x >33时，f ′(x )>0；当0<x <33时，f ′(x )<0. 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值，从而f (x )的极小值点为x ＝33，无极大值点． 4．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处取得极值，则该函数的一个递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 B解析 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处取得极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0，即24＋4a ＋36＝0，解得a ＝－15.令f ′(x )>0，解得x >3或x <2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．5．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的递减区间为( )A．(－1,1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案 A解析令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±a，令f′(x)>0，得x>a或x<－a；令f′(x)<0，得－a<x<a.即在x＝－a处取得极大值，在x＝a处取得极小值．∵函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，∴f(a)＝2，f(－a)＝6，即a a－3a a＋b＝2且－a a＋3a a＋b＝6，得a＝1，b＝4，则f′(x)＝3x2－3，由f′(x)<0，得－1<x<1.∴递减区间为(－1,1)．故选A.6．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则( )A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)考点函数极值的应用题点函数的极值在图像上的应用答案 D解析当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；当－3<x<3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，极小值是f(－3)．7．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则( )A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 考点 函数的极值与导数的关系 题点 判别极值点与极值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x＋e x－2)， 显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0，x 在1的右边附近f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.8．已知a ∈R ，且函数y ＝e x＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＜－1eD ．a ＞－1e考点 函数极值的应用 题点 极值存在性问题 答案 A解析 因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x＋a .令y ′＝0，即e x ＋a ＝0，则e x＝－a ，即x ＝ln(－a )， 又因为x ＞0，所以－a ＞1，即a ＜－1. 二、填空题9．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________． 考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值 答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x＝0， 得x ＝－1，∴y ＝－1e，∴函数y ＝x e x在极值点处的切线方程为y ＝－1e.10.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋2，其导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数的极小值是________．考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图像上的应用 答案 2解析 由图像可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故当x ＝0时，函数f (x )取极小值f (0)＝2.11．若直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有三个相异的公共点，则a 的取值范围是________．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 答案 (－2,2)解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，所以当－2<a <2时恰有三个相异的公共点． 三、解答题12.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，且与直线y ＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.(1)求a ，b ，c 的值； (2)求函数的递减区间． 考点 极值的应用题点 函数的极值在图像上的应用 解 (1)∵函数的图像过原点，∴c ＝0， 即f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .又∵函数f (x )的图像与直线y ＝0在原点处相切， ∴f ′(0)＝0，解得b ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝x (3x ＋2a )． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2a3.由题意可知当x ＝－2a3时，函数取得极小值－4.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 3＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 2＝－4， 解得a ＝－3， ∴a ＝－3，b ＝c ＝0.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2，且f ′(x )＝3x (x －2)， 由f ′(x )<0，得0<x <2， ∴函数f (x )的递减区间是(0,2)．13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 考点 极值的应用题点 函数的零点与方程的根 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0，即527＋a <0或a －1>0， ∴a <－527或a >1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时， 曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．14．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数是减少的； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数是增加的， ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0， 解得a >22. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 15．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)． 令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )是减少的； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增加的， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，又f (1)＝1， 所以f (x )的极小值为1，无极大值． (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x >0)，所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )>0，得x >2，令k ′(x )<0，得0<x <2，所以k (x )在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的． 要使函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧k 1≥0，k 2<0，k 3≥0，所以2－2ln2<a ≤3－2ln3.。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2学业测评：1.3.2 利用导数研究函数的极值 含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论中，正确的是( )A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0点附近的左侧f′（x)〉0,右侧f′(x）〈0，那么f （x0）是极大值C．如果在x0点附近的左侧f′（x）〉0，右侧f′(x)〈0，那么f （x0)是极小值D．如果在x0点附近的左侧f′(x)〈0,右侧f′(x)>0，那么f(x0）是极大值【解析】根据极值的概念，左侧f′（x)>0，单调递增；右侧f′(x）〈0，单调递减，f（x0）为极大值．【答案】B2．设函数f（x）＝错误!＋ln x，则（）A．x＝错误!为f(x）的极大值点B．x＝错误!为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x）的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【解析】f′（x)＝错误!－错误!，令f′（x）＝0，即错误!－错误!＝0，得x＝2,当x∈（0,2)时，f′（x)〈0，当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0.因此x＝2为f（x)的极小值点，故选D。
【答案】D3．（2016·烟台高二检测)已知函数f（x）＝x2－2（－1）k ln x （k∈N＋）存在极值，则k的取值集合是（)A．｛2，4，6，8，…｝B．｛0,2，4，6,8,…｝C．{1，3,5，7，…｝ D．N＋【解析】∵f′（x)＝2x－错误!且x∈（0，＋∞）,令f′（x）＝0，得x2＝(－1)k,（*）要使f（x）存在极值，则方程（*）在（0，＋∞)上有解．∴（－1）k〉0，又k∈N＋，∴k＝2，4，6，8，…,所以k的取值集合是｛2，4，6，8，…｝．【答案】A4．已知函数f（x）＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x）＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( ）A．m≥错误!B．m>错误!C．m≤错误!D．m〈错误!【解析】令f′（x）＝2x3－6x2＝0,得x＝0或x＝3。
经检验，知x＝3是函数的最小值点,所以函数f（x）的最小值为f（3）＝3m－错误!。
(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定3．已知函数()()ln 1xxf x x e e -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-+∞B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),21,-∞-⋃+∞4．已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是（ ） A ．9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．9,(0,)2⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．若函数()3221f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．43m ≥B ．43m >C ．43m ≤D ．43<m6．已知函数()2sin x m f x x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数3()1218f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值为（ ） A ．34B ．16C ．24D ．179．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，10．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2-0 4 ()f x11-1A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤-12．函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（ ） A ．[1B ．[1，)+∞C ．(1D ．(1,)+∞二、填空题13．已知a R ∈，对于任意的实数[]1,2x ∈，不等式()110xx e a x a e ⎛⎫+---≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是________________.14．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中， ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②当(0,)x π∈时，()0f x π-<<； ③若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x >； ④若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1. 所有正确结论的序号为______. 15．函数21f x x x 的极大值为_________. 16．函数()31443f x x x =-+的极大值为______. 17．函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e上不单调，则实数a 的取值范围是_____． 18．已知函数()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈，若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______________. 19．已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，fx 为()f x 的导函数，且当 0x >时，()()20xf x f x '+>成立，则函数()()2g x x f x =的零点个数是_______________. 20．已知函数18ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________.三、解答题21．已知函数21()ln 2x f x x x -=-．（1）求()f x 的单调区间；（2）设()*ln 1,1,2,k k a n k n n ⎫⎛=+∈=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭N ，在（1）的条件下，求证：123214n n a a a a ++++⋅⋅⋅+<()*n ∈N ．22．已知a 为实数，()()()24f x x x a =--.（1）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上都是递增的，求a 的取值范围. 23．已知e 是自然对数的底数，函数()122x f x eax -=-，其中a R ∈.（1）当1a =时，若()()g x f x '=，求()g x 的单调区间; （2）若()f x 在R 上恰有三个零点，求a 的取值范围.24．已知函数()ln 1f x a x =，a R ∈.（1）若函数()f x 在()1,+∞上单调递减，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在最大值，且最大值不大于0，求a 的值. 25．已知函数()1ln f x ax x =--.（1）当1a =时，证明：()f x 存在唯一的零点； （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 26．已知函数2()ln (0)f x x a x a =->.（1）若2a =，求曲线()y f x =的斜率等于3的切线方程； （2）若()y f x =在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x-+-'=， ∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立，⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．A解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b =【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.3．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，从而可得关于x 的不等式，求出其解后可得正确的选项. 【详解】()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞，且()()()ln 1x x f x x e e f x --=--++=，又当1x >时，()()ln 1xxf x x e e -=-++，()11001x x f x e e e x e-'=+->+->-，故()f x 在()1,+∞为增函数， 故()()12f x f x +<即为11211112121x xx x x x ⎧<+<⎪+-+⎨⎪-⎩或或，解得2x <-或1x >，故选：D. 【点睛】方法点睛：解函数不等式，往往需要考虑函数的奇偶性和单调性，前者依据定义，后者可利用导数，注意定义域的要求.4．A解析：A 【分析】求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x 轴三个交点，据此得出取值范围. 【详解】由条件得2()3(3)f x x x x x '=+=+，令()0f x '>，可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<，可得解集为(3,0)-则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，所以902c -<<. 故选：A导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．5．A解析：A 【分析】由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，利用参数分离求得参数范围. 【详解】因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，则()2340f x x x m '=++≥所以234m x x ≥--在R 上恒成立，令()234g x x x =--，则()max m g x ≥因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-，所以()max 2433g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故43m ≥故选：A 【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围.6．A解析：A 【分析】()0f x =有两解变形为m xxe e =有两解，设()xxg x e=，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】由()2sin x m f x x +=-得m xxe e =，设()xxg x e=，则()g x '=， 易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象，由2sin mxx ee=有两解得34411mee eππ≤<，所以344mππ-≤<-．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2mxxee=，问题转化为2()xxg xe=的图象与直线my e=有两个交点，利用导数研究函数()g x的单调性、极值后可得．7．A解析：A【分析】分析函数()f x、()f x'的奇偶性，以及2fπ⎛⎫' ⎪⎝⎭、()fπ'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cosf x x x=的定义域为R，()()()cos cosf x x x x x f x-=--=-=-，即函数()cosf x x x=为奇函数，()cos sinf x x x x'=-，函数()f x'的定义域为R，()()()()cos sin cos sinf x x x x x x x f x''-=-+-=-=，函数()f x'为偶函数，排除B、C选项；22fππ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，()1fπ'=-，则()02f fππ⎛⎫<<⎪⎝⎭''.对于D选项，图中的偶函数为()f x'，由02fπ⎛⎫'<⎪⎝⎭，()0fπ'<与题图不符，D选项错误，故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.8．A解析：A 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值． 【详解】()31218f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令'0f x，解得2x =±，列表如下：所以，函数y f x =的极大值为234f -=，极小值为22f =，又()327f -=，()39f =，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为34， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题．9．C解析：C 【分析】构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x xg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->，所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 10．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.11．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f ′（x 1）＝0，∴1243a---＜＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；12．A解析：A 【分析】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解 【详解】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)(3)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】当时证明出由题意可得出可得出结合函数的单调性可求得实数的取值范围【详解】当时先证明出构造函数则则函数在区间上单调递增所以所以函数在区间上单调递增当时所以由可得所以当时即令则所以函数在区间上单解析：11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】当[]1,2x ∈时，证明出11xx e x e +>-，由题意可得出11xxx a e e -≤≤+，可得出()max min11x x x a e e ⎛⎫-≤≤+⎪⎝⎭，结合函数的单调性可求得实数a 的取值范围. 【详解】当[]1,2x ∈时，先证明出11xx e x e +>-，构造函数()11xx f x e x e=+-+， 则()11xx f x e e'=--，则函数()f x '在区间[]1,2上单调递增， 所以，()()1110f x f e e''≥=-->，所以，函数()f x 在区间[]1,2上单调递增， 当[]1,2x ∈时，()()110f x f e e ≥=+>，所以，11x x e x e+>-. 由()110xx e a x a e ⎛⎫+---≤ ⎪⎝⎭，可得11xx x a e e -≤≤+，所以，()max min11xx x a e e ⎛⎫-≤≤+⎪⎝⎭. 当[]1,2x ∈时，011x ≤-≤，即()max 11x -=， 令()1xx g x e e =+，则()10xxg x e e'=->，所以，函数()g x 在区间[]1,2上单调递增， 当[]1,2x ∈时，()()min 11g x g e e ==+，所以，11a e e≤≤+. 因此，实数a 的取值范围是11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 故答案为：11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.14．①②④【分析】首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确；利用导数研究函数的单调性求得函数的值域判断②正确；利用导数研究函数的单调性进行变形得到③是错误的数形结合思想可以判断④是正确的【详解】因为所以所以解析：①②④ 【分析】首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确；利用导数研究函数的单调性，求得函数的值域，判断②正确；利用导数研究函数sin ()xg x x=的单调性，进行变形得到③是错误的，数形结合思想可以判断④是正确的. 【详解】因为()cos sin f x x x x =-，所以()()cos()sin()cos sin ()f x x x x x x x f x -=----=-+=-， 所以()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，所以①正确； 因为'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-， 因为(0,)x π∈，所以'()0f x <， 所以()f x 在(0,)π上单调递减，所以()()(0)0f f x f ππ-=<<=，所以()0f x π-<<，所以②正确；令sin ()x g x x=，2cos sin '()x x xg x x -=， 由②可知，()f x 在(0,)π上单调递减，所以)'(0g x <，所以()g x 在(0,)π上单调递减， 若120x x π<<<，所以1212sin sin x x x x >， 即1122sin sin x x x x <，所以③错误； 若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，相当于sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上落在直线y ax =的上方，落在直线y bx =的下方， 结合图形，可知a 的最大值为连接(0,0),(,1)2π的直线的斜率，即2π，b 的最小值为曲线sin y x =在(0,0)处的切线的斜率，即0'|1x y ==，所以④正确；故正确答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：该题属于选择性填空题，解决此类问题的方法： （1）利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性； （2）利用导数研究函数的单调性，从而求得其值域； （3）转化不等式，构造新函数，求导解决问题； （4）数形结合，找出范围.15．【分析】利用导数研究函数的单调性由此可求得该函数的极大值【详解】定义域为令可得或当或时此时函数单调递增；当时此时函数单调递减所以函数在处取得极大值且极大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数 解析：427【分析】利用导数研究函数21f x x x 的单调性，由此可求得该函数的极大值.【详解】()()21f x x x =-，定义域为R ，()()()()()2121311f x x x x x x '=-+-=--.令()0f x '=，可得13x =或1x =. 当13x <或1x >时，()0f x '>，此时，函数21f x x x 单调递增；当113x <<时，()0f x '<，此时，函数21f x x x 单调递减.所以，函数21f xx x 在13x =处取得极大值，且极大值为21114133327f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：427. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】求函数导数解得的根判断导函数在两侧区间的符号即可求解【详解】由解得或时当时是的极大值点函数的极大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式二次函数的图象以及函数极大值点的定义 解析：283【分析】求函数导数，解得()0f x '=的根，判断导函数在2x =±两侧区间的符号，即可求解. 【详解】()31443f x x x =-+,2()4,f x x '∴=-由()0f x '=解得2x =±，2x ∴<-或2x >时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<， 2x ∴=-是()f x 的极大值点，∴函数的极大值为128(2)(8)8433f -=⨯-++=， 故答案为：283【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题.17．【分析】求得函数的导函数根据在区间上有极值求得的取值范围【详解】令得由于分离常数得构造函数所以在上递减在上递增下证：构造函数当时①而即所以所以由①可得所以当时单调递增由于所以当时故也即由于所以所以的 解析：4(2,)ln 21+ 【分析】求得函数()f x 的导函数()'f x ，根据()f x 在区间2(,2)e上有极值，求得a 的取值范围. 【详解】()()'21ln 2ln f x x a x x a x a =-+=--，令'0f x得2ln 0x a x a --=，由于222,ln ln ln 2,ln 2ln 1ln 2x x x e e e<<<<<+<， 分离常数a 得21ln xa x=+.构造函数()21ln x h x x =+，()()'22ln 1ln x h x x =+，所以()h x 在2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,2上递增，()()()424444,12,22ln 2ln 2ln 21ln 21ln eeh h h e e e e⎛⎫======⎪+⎝⎭+. 下证22e e >：构造函数()22xg x x =-，()'2ln 22xg x =-，当2x ≥时，22ln 222ln 22x -≥-①，而1ln 2ln 2e =<=<，即1ln 212<<，所以222ln 24<<，所以由①可得22ln 222ln 220x -≥->.所以当2x ≥时，()g x 单调递增.由于()20g =，所以当2x >时，()()20g x g >=，故()0g e >，也即22022e e e e ->⇒>.由于()22ln 2ln 2eee e >⇒>，所以()22h h e ⎛⎫<⎪⎝⎭. 所以a 的取值范围是4(2,)ln 21+ 故答案为：4(2,)ln 21+ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.18．【分析】求得导函数后代入不等式则可将不等式化为根据能成立的思想可得利用基本不等式可求得最小值进而得到结果【详解】即为整理得到即使得成立（当且仅当即时取等号）即实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考解析：)+∞【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为12a x x>+，根据能成立的思想可得min 12a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.【详解】()()()2ln 12f x x x a x x a '=++-+-，()()f x xf x '∴>即为()()()222ln ln 2x x x x a x x x x x a x x a +->++-+-，整理得到22210x ax -+<，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得221122x a x x x+>=+成立，12x x +≥=12x x =，即x =时取等号），a ∴>， 即实数a的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞.【点睛】本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.19．1【分析】分析可得g （x ）为R 上连续的奇函数且在R 上为增函数说明函数只有1个零点可得选项【详解】函数是定义在R 上连续的奇函数则函数其定义域为R 则则为R 上连续的奇函数则又由当时则有即函数为上的增函数又解析：1 【分析】分析可得g （x ）为R 上连续的奇函数，且在R 上为增函数，说明函数()2()g x x f x =只有1个零点，可得选项. 【详解】()()2g x x f x =，函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，则函数()()2g x x f x =，其定义域为R ，则()()()()2g x x f x g x -=--=-，则()g x 为R 上连续的奇函数，()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，又由当 0x >时，()()20xf x f x '+>，则有()0g x '>，即函数() g x 为()0,∞+上的增函数， 又由()g x 为R 上连续的奇函数，且()00g =， 则()g x 为R 上的增函数，故函数()()2g x x f x =只有1个零点，故答案为：1. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、以及函数的零点个数的判断，属于中档题.20．【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得：；由可得：所以在单调递减在上单调递增所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利解析：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式，得到两个方程联立可得2008ln 2a x x =-+，2000()8ln 2h x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，让a 取0()h x 值域即可.【详解】设()00,Q x y 、则()00,P x y -所以2002y x =--，008ln y a x -=+，联立可得2008ln 2a x x =-+ 即2008ln 2a x x =-+对于1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令2000()8ln 2h x x x =-+，200000288()2x h x x x x -'=-=，由0()0h x '>可得：2x e <<；由0()0h x '<可得：12x e<<， 所以0()h x 在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]2,e 上单调递增，20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-，2211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()228ln 26h e e e e =-+=-，所以0max 21()10h x e =+， 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题.三、解答题21．（1）()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）得1x >时，()0f x >，即11ln ()2x x x<-，令1,1,2,,k x k n n =+=，代入后得n 个不等式，相加后可得证明题设结论． 【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞由21()ln 2x f x x x -=-，得()ln 1f x x x '=--令1()ln 1()1g x x x g x x'=--⇒=-()0(1,)()0(0,1)g x x g x x ''>⇒∈+∞<⇒∈即()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0f x f '''≥=，于是()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区（2）证明：由（1）可知()f x 在(0,)+∞上单调递增函数，又(1)0f =，∴当1x >时，()0f x >，11ln 2x x x ⎫⎛∴<- ⎪⎝⎭1ln 112k k k n k k a n n n k +-⎫⎫⎛⎛∴=+<+- ⎪ ⎪+⎝⎝⎭⎭1(1,2,)2kk k n n n k ⎫⎛=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭123112122111n n n a a a a n n n n n n ⎫⎛∴+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭1121221n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎫⎛=+ ⎪+⎝⎭(1)(1)12122214n n n n n n n ++⎫⎛⎪ +=+=⎪ +⎪⎝⎭于是()*123214n n a a a a n ++++⋅⋅⋅+<∈N 得证． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求单调区间，用导数证明数列不等式．这类问题的解决，通常后一小题需要用到前一小题（或前面所有）的结论，通过变形，赋值等手段进行证明求解．如本题第（1）小题函数单调性得出不等式11ln ()2x x x<-，只要在此不等式中对x 赋值1,1,2,,kx k n n=+=，n 个不等式相加即可．22．（1）最大值为92，最小值为5027-；（2）[]2,2-.【分析】（1）求出导数，由()10f '-=求出参数值，代入导函数中，求出极值点.比较极值点处函数值与区间端点函数值的大小，得出最值.（2）由导函数为二次函数，且在(],2-∞和[)2,+∞函数值恒大于等于零，结合二次函数图像求解. 【详解】解：（1）由原式的()3244f x x ax x a =--+，∴()2324f x x ax '=--；由()10f '-=，得12a =，此时有()234f x x x '=--； ()10f '-=得43x =或1x =-，故极值点为43x =和1x =- 又450327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()912f -=，()20f -=，()20f =， 所以()f x 在[]2,2-上的最大值为92，最小值为5027-. （2）()2324f x x ax '=--的图像为开口向上且过点()0,4-的二次函数，由条件知，()2324f x x ax '=--在(],2-∞-和[)2,+∞上恒大于等于零故仅须满足()20f '-≥，()20f '≥， ∴22a -≤≤.所以a 的取值范围为[]2,2-. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．23．（1）()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞；（2）2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）当1a =时()122x f x ex -=-，先对()f x 求导得()g x 的解析式，再对()g x 求导，由()0g x '<得单间区间，由()0g x '>得单增区间； （2）由题意可得方程()1202x f x eax --==有三个不等的实根，等价于方程122x e a x-=有三个不等的实根，即y a =与122()(0)x eh x x x-=≠两个函数图象有三个不同的交点，对()h x 求导判断其单调性，作出其图象，数形结合即可求解.【详解】（1）当1a =时，1()22x f x e x -'=-， 令()()g x f x '=，则1()22x g x e -'=-，当1x <时()0g x '<，()g x 在(,1)-∞上单调递减； 当1x >时()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增．所以()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞； （2）2(0)0f e=≠，0x ∴≠，所以若()f x 在R 上恰有三个零点等价于()1202x f x eax --==有三个不等的实根，等价于方程122x e a x -=有三个不等的实根， 设122()(0)x e h x x x-=≠， 则y a =与122()(0)x eh x x x-=≠两个函数图象有三个不同的交点， 因为1211432222(2)()x x x e x e x e x h x x x---⋅-⋅-'== 令()0h x '=，得2x =，且(2)2eh =当()x ∈∞-,0时，()0h x '>，()h x 单调递增且()()0,h x ∈+∞，当()0,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减且()+2e h x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，， 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增且()+2e h x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，作出其图象如图所示：当2x =时，2122(2)22e eh -==， 由图知当2ea >时，y a =与()y h x =的图象有三个交点， 即()f x 有三个不同的零点，所以a 的取值范围是2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 24．（1）12a ≤；（2）12a =. 【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，得到()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，推出2a ≤在()1,+∞上恒成立，进而可得出结果；（2）对函数求导，先讨论0a ≤，判断函数在定义域上单调，无最值，舍去；再讨论0a >，利用导数的方法研究函数的单调性，得出最大值，进而可求出结果. 【详解】（1）因为()ln 1f x a x =，所以()0a f x x '=≤在()1,+∞上恒成立，所以a ≤在()1,+∞上恒成立，又1x >12>，所以只需12a ≤即可，即a 的取值范围是12a ≤；（2）因为函数()ln 1f x a x =的定义域为()0,∞+， 为使函数()f x 存在最大值，则()f x 在定义域内不单调； 因为()a f x x '=， 当0a ≤时，()0a f x x '=-<在()0,∞+上显然恒成立，所以()f x 在定义域上单调递减，无最值，不满足题意； 当0a >时，由()0a f x x '==可得24x a =， 所以当()20,4x a ∈时，()0a f x x '=>，则()f x 单调递增； 当()24,x a ∈+∞时，()0a f x x '=<，则()f x 单调递减；所以()()()()22max 4ln 412ln 221f x f aa a a a a ===-+，又最大值不大于0，即()()()2max42ln 2210f x f a a a a ==-+≤， 令()ln 1h x x x x =-+，0a >，则()10110h =-+=，又()ln 11ln h x x x '=+-=，当()0,1x ∈时，()ln 0h x x '=<，则()ln 1h x x x x =-+单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()ln 0h x x '=>，则()ln 1h x x x x =-+单调递增， 所以()()min 10h x h ==，即()()22ln 221h a a a a =-+的最小值为0，此时12a =， 为使()2ln 2210a a a -+≤恒成立，只能()2ln 2210a a a -+=，即12a =. 综上，12a =. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法研究函数的最值问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，求出极值，结合题中条件，即可求出最值.（有时解析式中会含有参数，求解时，要讨论参数的不同取值范围，再判断函数的单调性，进行求解） 25．（1）证明见解析；（2）1a ≥． 【分析】（1）当1a =时，求导得到()111x f x x x-'=-=，判断出函数的单调性，求出最值，可证得命题成立；（2）当0a ≤且1x >时，()0f x <不满足题意，故0a >，又定义域为()0,∞+，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数a 的取值范围． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =时，由()111x f x x x-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；. 且()10f =，故()f x 存在唯一的零点；（2）当0a ≤时，不满足()0f x ≥恒成立，故0a > 由定义域为()0,∞+，()1ln 0f x ax x =--≥可得1ln x a x+≥， 令1()lnx h x x +=，则2()lnxh x x'=-， 则当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，故当1x =时，函数()h x 取得最大值h （1）1=， 故实数a 的取值范围是1a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．26．（1）322ln 20x y ---=；（2）(22,e e ⎤⎦．【分析】（1）求出导函数，令()3f x '=求得切点坐标后可得切线方程；（2）求导函数()'f x ，确定()f x 在定义域内只有一个极值点，因此这个极值点必在区间1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上，然后得函数在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，由极小值小于0，区间两个端点处函数值大于或等于0可得结论． 【详解】由已知函数()f x 定义域是(0,)+∞，（1）2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x'+-=-=， 由2()23f x x x'=-=解得2x =（12x =-舍去），又()422ln 2f =-，所以切线方程为(42ln 2)3(2)y x --=-，即322ln 20x y ---=；（2）222()2x x a x a f x x x x x⎛-+ -⎝⎭⎝⎭'=-==，易知()f x()f x有两个零点，则1e e <<，即2222a e e<<，此时在1e ⎛ ⎝上()0f x '<，()f x递减，在e ⎫⎪⎪⎭上()0f x '>，()f x 递增， ()f x在x =时取得极小值2a f a =-，所以22111ln 0()ln 002f a e ee f e e a e a f a ⎧⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪=-≥⎨⎪⎪=-<⎪⎩解得22e a e <≤．综上a 的范围是(22,e e ⎤⎦．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点问题．函数在某个区间上的零点，解题时先从大处入手，由导数确定函数的极值点，利用单调区间上的零点最多只有一个，因此函数的极值点必在给定区间内，从而缩小参数的a 范围，在此范围内计算()f x 的单调性与极值，结合零点存在定理可得结论．。
测控设计高二数学北师大选修单元测评：第四章 导数应用 含解析
第四章导数应用测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f'(x),f'(0)>0,对于任意实数x都有f(x)≥0,则的最小值为()A.3B.C.2D.解析:f'(x)=2ax+b,∵f'(0)>0,∴b>0.∵f(x)≥0,∴a>0,b2-4ac≤0,即b2≤4ac.∴c>0.∴+1≥+1≥2,即所求的最小值为2.答案:C2设f(x)=x a-ax(0<a<1),则f(x)在[0,+∞)内的极大值点x0等于()A.0B.aC.1D.1-a解析:令f'(x0)=a-a=0(0<a<1),∴=1.∴x 0=1.答案:C3若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值,最小值分别是m,n,则m-n的值为()A.2B.4C.18D.20解析:令f'(x)=3x2-3=0,∴x=1(x=-1舍去).∵f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a,∴f(1)<f(0)<f(3).∴m=18-a,n=-2-a.∴m-n=(18-a)-(-2-a)=20.答案:D4若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,那么下列关于函数y=xf(x)的说法正确的是()A.存在极大值B.存在极小值C.是减少的D.是增加的解析:y'=f(x)+xf'(x),∵x∈(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,∴y'>0,即函数y=xf(x)在(0,+∞)上是增加的.答案:D5如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图像,则等于()A. B. C. D.4解析:由图像可知,函数f(x)的图像过点(0,0),(1,0),(2,0),∴f(x)=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x.∴f'(x)=3x2-6x+2.∵x1,x2是极值点,∴x1,x2是方程f'(x)=3x2-6x+2=0的两根.∴x1+x2=2,x1x2=.∴=(x 1+x2)2-2x1x2=.答案:C6设函数f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+2,则数列(n∈N+)的前n项和是()A.B.C.D.解析:依题意,得f'(x)=mx m-1+a=2x+2,则m=2,a=2,∴f(x)=x2+2x,则.∴数列的前n项和等于==,选C.答案:C7(2013·福建高考)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.任意x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析:由函数极大值的概念知A错误;因为函数f(x)的图像与f(-x)的图像关于y轴对称,所以-x0是f(-x)的极大值点.B选项错误;因为f(x)的图像与-f(x)的图像关于x轴对称,所以x0是-f(x)的极小值点.故C选项错误;因为f(x)的图像与-f(-x)的图像关于原点成中心对称,所以-x0是-f(-x)的极小值点.故D正确.答案:D8设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)解析:设F(x)=f(x)·g(x),则当x<0时,F'(x)>0,即在(-∞,0)上F(x)是增加的.又∵g(x)是偶函数,∴ g(-3)=g(3)=0.∴F(-3)=0.∴在x∈(-∞,-3)上F(x)<0,即f(x)g(x)<0.可证得F(x)是奇函数,∴在(0,3)上,f(x)g(x)<0.故选D.答案:D9如果函数y=f(x)的图像如下图,那么导函数y=f'(x)的图像可能是()解析:由y=f(x)的图像可知其单调性从左向右依次为增减增减,所以其导数y=f'(x)的函数值依次为正负正负,故选A.答案:A10函数f(x)=2x2-ln x的递增区间是()A. B.C. D.解析:f'(x)=4x-,令f'(x)>0,即>0,解得-<x<0或x>.又∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴f(x)在区间上是增加的.答案:C二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设P为曲线y=x2-x+1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[-1,3],则点P的纵坐标的取值范围是.解析:设点P(x0,y0).令y=f(x)=x2-x+1,则f'(x)=2x-1,由题意,得-1≤2x0-1≤3,即0≤x0≤2.∴y 0=-x0+1=,x0∈[0,2],则y0∈.答案:12内接于半径为R的球,并且体积最大的圆锥的高为.解析:设圆锥的高为x,底面半径为r,则r2=x(2R-x),∴V=πr2x=πx2(2R-x)=πRx2-πx3.∴V'=πRx-πx2.令V'=0,∴x=0或x=R.∵x∈(0,2R),∴只有一个极值点x=R,即体积最大的圆锥的高为R.答案:R13设函数f(x)=x3-x2-2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)<m成立,则实数m的取值范围是.解析:f(x)<m恒成立,即m大于f(x)的最大值.由f'(x)=3x2-x-2=0,得x=1或x=-.而f(-1)=5,f=5,f(1)=3,f(2)=7,∴函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值是7,∴m>7.答案:(7,+∞)14已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f'(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是.解析:∵当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-1,1)上是减少的.由题意,得f(-2a2+2)<-f(a2+2a+1).又f(x)为奇函数,∴f(-2a2+2)<f(-a2-2a-1),即∴-1<a<-.答案:15函数f(x)=x+2cos x在区间上的最大值为;在区间[0,2π]上的最大值为.解析:令y'=1-2sin x=0,得x=+2kπ,或x=+2kπ,当在区间内考虑时,仅有x=,而f,f(0)=2,f,比较后得知,f(x)在上的最大值为,而当考虑区间[0,2π]上的最大值时,需比较f(0),f(2π),f,f四个值的大小.答案:2(π+1)三、解答题(本大题共2个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(12分)(2013·课标全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解:(1)f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)·.令f'(x)=0得,x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上是增加的,在(-2,-ln2)上是减少的.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).17(13分)如图,把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角,做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子,设高为h,所做成的盒子的体积为V(不计接缝).(1)写出体积V与高h的函数关系式;(2)当为多少时,体积V最大,最大值是多少?解:(1)六棱柱的底边长为a-h,底面积为6·.∴体积V=·h=2.(2)由V'=2=0,得h=a或h=a(舍去).∴当h=a,即=2时,V有最大值,最大值是.。
高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值作业2北师大版选修1-1(2021年整理)
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4。
1.2 函数的极值[A。
基础达标]1．若函数f（x)＝错误!在x＝1处取极值，则a＝（）A．1 B．3C．2 D．4解析:选B.f′(x)＝错误!,由题意知f′（1)＝错误!＝0,所以a＝3。
2．设函数f（x）＝错误!＋ln x，则（)A．x＝12为f（x)的极大值点B．x＝错误!为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f（x)的极小值点解析：选D。
f′（x）＝错误!,由f′（x)＝0得x＝2，又当x∈(0,2)时，f′(x)〈0，当x∈（2,＋∞)时，f′(x)〉0，所以x＝2是f(x）的极小值点．3。
函数f（x)＝ax3＋bx2＋cx的图像如图所示，且f(x）在x＝x0与x＝2处取得极值，则f（1）＋f(－1)的值一定（）A．等于0 B．大于0C．小于0 D．小于或等于0解析:选B。
f′（x)＝3ax2＋2bx＋c,由f(x）的图像知当x趋于＋∞时，f（x)是增加的,所以a＞0，因为x0＜－2，所以x0＋2＝－错误!＜0，所以b＞0，所以f(1）＋f（－1）＝a＋b＋c＋（－a＋b－c）＝2b＞0。
4．函数f（x)＝错误!x3－2ax2＋3a2x在(0，1)内有极小值,则实数a的取值范围是（）A．（0，＋∞) B．(－∞，3）C．（0，错误!) D.错误!解析：选C.由f(x）＝错误!x3－2ax2＋3a2x，得f′（x)＝x2－4ax＋3a2，显然a≠0,由于f′（0）＝3a2〉0，Δ＝16a2－12a2＝4a2〉0，依题意，得0<3a〈1，f′(1)>0，即0〈a<错误!，且1－4a＋3a2〉0，解得0<a〈错误!。
北师大版数学高二-(试题1)第四章导数应用水平测试
第四章导数的应用水平测试一．选择题(本大题共12道小题，每小题5分，共60分) 1．下列有关导数的说法错误的是（ ）（A ）)(0/x f 就是曲线)( x f 在点))(,(00x f x 的切线的斜率； （B ）)(0/x f 与/0))((x f 意义是一样的；（C ）设)(t s s =是位移函数，则)(0/t s 表示物体在0t t =时刻的瞬时速度； （D ）设)(t v v =是速度函数，则)(0/t v 表示物体在0t t =时刻的加速度。
2．将半径为R 的球加热，若球的半径增加y ∆，则球的体积增加≈∆V （ ）（A ）R R ∆334π （B ）R R ∆24π （C ）42R π （D ）R R ∆π43．若2)(0/=x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）1 （D ）214．下列四组函数中，导数相等的是 ( )(A)1)(=x f 与x x f =)( (B)x x f sin )(=与x x f cos )(= (C) x x f sin )(=与x x f cos )(-= (D)1)(-=x x f 与2)(+=x x f5．某汽车启动阶段的路程函数为252)(23+-=t t t S ，则2=t 秒时，汽车的加速度是（ ）（A ）14 （B ）4 (C)10 (D)66.点P 在曲线73+-=x x y 上移动，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）（A ）],0[π （B ）),43[)2,0[πππ （C ）),2[)2,0[πππ （D ）),43[]2,0[πππ7.函数a x x x f +-=2332)(的极大值为6，则a 的值为 （ ） （A ）1 （B ）0 （C ）5 （D ）6 8．函数x x y 2-=在区间]4,0[上的最大值为（ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）49．已知)(62)(23为常数m m x x x f +-=在区间[－2,2]上的最大值为3，那么此函数在区间[－2,2]上的最小值是（ ）（A ）－37 （B ）－29 （C ）－5 （D ）－1110．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 （ ）（A ）3V （B ）32V （C ）34V （D ）3V 2⋅ 11．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π上的值域为（ ）（A ）]21,21[2πe（B ）)21,21(2πe（C ）],1[2πe （D ）),1(2πe12．抛物线2x y =上点A 处的切线与直线013=+-y x 的夹角为045，则点A 的坐标为 （ ）（A ）（－1,1） （B ）)161,41( （C ）)1,1( （D ）（－1,1）或)161,41(二．填空题(本大题共4道小题，每小题4分，共16分) 13．函数232ln y x x =-的单调减区间为 。
(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．已知函数()2ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0x >，有()()1f x f ≥， 则（ ） A ．ln 2a b <-B ．ln 2a b >-C ．ln 2a b =-D ．ln 2a b ≥-3．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞4．已知函数()2sin x mf x x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 5．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34a ≤-B ．1a ≤-C ．1a ≤D ．01a ≤≤6．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定7．已知实数2343a e =，4565b e =，6787c e =，那么a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，记()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.若函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，则在区间(,)a b 上有()0f x ''<恒成立.已知2()(2)(1)e x kxf x e e e +=-++在(0,3)上为“凸函数”，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,)e -∞C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞9．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．12B ．132-C ．132+ D ．2310．已知函数31()sin xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2- B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-⋃+∞D ．1(,][1,)2-∞-⋃+∞11．已知对任意实数x 都有()()2xf x f x e '-=，()01f =-，若()()1f x k x >-恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．323,42e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()121,4eD ．()321,4e12．已知函数()()()0ln 10x e x f x x x ax x -⎧-<⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．[)1,e -+∞D ．(],1e -∞-二、填空题13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，()20f -=，且当0x >时()()20f x xf x x'-<，则不等式()()2110x f x -->的解集是______. 14．已知函数()21ln 2f x a x x =+(0a >)，若对任意两个不相等的正实数12,x x 都有()()12124f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是_____.15．设定义在R 上的连续函数()f x 的导函数为()f x '，已知函数()y x f x =⋅'的图象（如图）与x 轴的交点分别为()2,0-，()0,0，()2,0.给出下列四个命题：①函数()f x 的单调递增区间是()2,0-，(2,)+∞；②函数()f x 的单调递增区间是(–,2)∞-，(2,)+∞； ③2x =-是函数()f x 的极小值点； ④2x =是函数()f x 的极小值点. 其中，正确命题的序号是__________.16．已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，fx 为()f x 的导函数，且当 0x >时，()()20xf x f x '+>成立，则函数()()2g x x f x =的零点个数是_______________.17．已知函数()21ln 2f x a x x bx =-+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为__________．18．已知函数()f x 是定义在区间()0,∞+）上的可导函数，若对()0,x ∀∈+∞()()20xf x f x '+>恒成立，则不等式()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+的解集为______.19．已知函数f (x )＝2,(,0],(0,)x x x e x +∈-∞⎧⎨∈+∞⎩，若存在x 1，x 2（x 2＞x 1）满足f （x 1）＝f（x 2），则x 2﹣2x 1的取值范围为_____.20．已知函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______.三、解答题21．已知函数()ln ()=+∈f x x x ax a R ． （Ⅰ）当0a =，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()()ln g x f x x =+在区间[1,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； 22．设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，求t 的取值范围； （2）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.23．已知函数()()22646x x e f x x x -=++.（1）求函数()f x 的单调区间，并求()f x 的最值； （2）已知[)0,1a ∈，()()()2322202x e a x x g x x x-++=>.①证明：()g x 有最小值；②设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.24．已知函数()()2xf x e ax a R =-∈.（1）若12a =，求函数()f x 的单调区间 （2）当[]2,3x ∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．25．已知函数())ln f x a x a =∈R ． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在[1,4]上的最小值． 26．已知函数()322233f x x x =-+. （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求()f x 在[]2,1-上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x-+-'=， ∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．A解析：A 【分析】根据()()1f x f ≥，可得x =1是()f x 的极小值点，即()01f '=，可得a ，b 的关系，对ln a 与2b -的作差，可得ln (2)ln 24a b a a --=+-，构造()ln 42,(0)g x x x x =-+>，即可求得()g x 的极大值1()1ln 404g =-<，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得1()2f x ax b x'=+-， 因为()()1f x f ≥，所以()f x 在x =1处取得最小值，即为x =1是()f x 的极小值点， 所以(1)210f a b '=+-=，即12b a =-， 所以ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-， 令()ln 42,(0)g x x x x =-+>，则114()4x g x x x-'=-=， 令()0g x '=，解得14x =， 当1(0,)4x ∈时，()0g x '>，所以()g x 为增函数，当1(,)4x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 为减函数，所以11()()ln 121ln 4044g x g ≤=-+=-<，所以()ln 42ln (2)0g a a a a b =-+=--<，即ln 2a b <-.故选：A 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造()g x 并求极大值，属中档题.3．B解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x ---=-=设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.4．A解析：A 【分析】()0f x =有两解变形为m x xe e =有两解， 设()xxg x e =，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】由()2sin x m f x x +=-得m xxe e =，设()xxg x e=，则2(cos sin )()xx x g x e-'=，易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象， 由2sin mxx e e =有两解得34411m e e eππ≤<，所以344m ππ-≤<-． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2m xxe e =，问题转化为2()xx g x e=的图象与直线my e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．5．B解析：B 【分析】 由函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，分离参数，求最值得答案. 【详解】 因为函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以22'20a x x ay x x x--=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以222(1)1a x x x ≤-=--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以1a ≤-， 故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；（3）分离参数，求最小值，得结果.6．A解析：A 【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a x g x x =，∴()2ln a a xg x x -'=， 由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =， 则()()()ln ln xx xh x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ． 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）7．C解析：C 【分析】根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造函数'()(2)()(1)x x f x x e f x x e =-⇒=-，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当1x <时，'()0,()f x f x >单调递增.因为2342()33a e f ==，4564()55b e f ==，6786()77c e f ==，246357<<， 所以642()()()753f f f >>，即c b a >>.故选：C 【点睛】关键点睛：根据几个实数的特征构造函数，利用导数判断其单调性是解决此类问题的关键.8．A解析：A 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，对其求导，再求二阶导，根据题中所给的条件，得到则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，构造函数()xe e g x x=，利用导数求得其最小值，得到结果.【详解】因为2()(2)(1)e x kx f x e e e +=-++，所以11(2)'()(2)(1)1e e xx k e x kx f x e e e e e +++=-=-+++， (1)''()1ex e x k e x f x e kx e e +=-=-+，要使2()(2)(1)e x kxf x e e e +=-++在(0,3)上为“凸函数”， 则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，即0e x kx e -<，即xe e k x<在(0,3)上恒成立，令()x e e g x x =，1122()'()x e x e x e e ee x e ex e x x e g x x x--⋅-⋅⋅-==， 所以()g x 在(0,)e 上单调递减，在(,1)e 上单调递增，所以min ()()1ee e g x g e e===，所以k 的取值范围是(,1)-∞，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题属于新定义问题，在解题的过程中，注意： （1）细读题文，理解题中所给的信息，明确凸函数的定义；（2）根据定义，对所给的函数求导，再求二阶导，令二阶导小于零在给定区间上恒成立； （3）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到所求的结果.9．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-6(p p =---则函数y 在33(0,),(,1)66-+单调递减，在33(,66-+单调递增，故函数在36p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】利用函数的奇偶性将函数转化为f （M ）≤f （N ）的形式，再利用单调性脱去对应法则f ，转化为一般的二次不等式求解即可． 【详解】由于()31sin xx f x x x e e=-+-，，则f （﹣x ）＝﹣x 3sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）；又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣x ﹣cosx>0， 所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0， 解得112a -≤≤， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用，考查了不等式的解法，属于中档题．11．D解析：D 【分析】由导数的运算求出()f x ，然后用分离参数法得出1x >时，(21)1x e x k x -<-，1x <时，(21)1x e x k x ->-，再设(21)()1x e x h x x -=-，求出()h x 在1x >时最小值，在1x <时的最大值，从而可得k 的范围． 【详解】因为()()2xf x f x e '-=，所以()()2x f x f x e '-=，即()2x f x e '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以()2x f x x c e =+（c 为常数），()(2)x f x e x c =+，由(0)1f c ==-，()(21)x f x e x =-，不等式()()1f x k x >-为(21)(1)xe x k x ->-，1x =时，不等式为0e >，成立，1x >时，(21)1x e x k x -<-，1x <时，(21)1x e x k x ->-， 设(21)()1x e x h x x -=-，则2(23)()(1)x xe x h x x -'=-，当312x <<或01x <<时，()0h x '<，当32x >或0x <时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和(,0)-∞上是增函数，1x >时，()h x 在32x =时取得极小值也最小值32342h e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由(21)1x e x k x -<-恒成立得324k e <，1x <时，()h x 在0x =时取得极大值也是最大值(0)1h =，由(21)1x e x k x ->-恒成立得1k >，综上有3214k e <<． 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用．12．C解析：C 【分析】转化条件为当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x --=>，通过导数确定()g x 的取值范围即可得解. 【详解】若()f x 的图象上存在关于原点对称的点， 则当0x >时，()()ln 1x ex x ax ----=++有解，即当0x >时，ln 1x e x x ax =++有解，所以当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x--=>，则()()()2ln 1ln 1xx e x x e x x g x x -----'=()()()221111xx x e x e x x x ----+==， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()min 11g x g e ==-，()[)1,g x e ∈-+∞， 所以[)1,a e ∈-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】设则为偶函数由则在是上单调递增在是上单调递减设即求解分和两种情况解不等式和【详解】设由当时即所以在是上单调递增为奇函数则为偶函数在是上单调递减即（）设当时即由为奇函数则所以由在是上单调递增所 解析：()()1,13,-+∞【分析】 设()()f x g x x =，则()g x 为偶函数，由()()()2xf x f x g x x'-'=， 则()g x 在()0+∞，是上单调递增，()g x 在()0-∞，是上单调递减，设1x t -=，即求解()0f t >，分0t >和0t <两种情况解不等式()0g t >和()0g t <.【详解】设()()f x g x x =，由()()()2xf x f x g x x '-'=当0x >时()()20f x xf x x'-<，即()0g x '>，所以()g x 在()0+∞，是上单调递增. ()y f x =为奇函数，则()()f x g x x=为偶函数，()g x 在()0-∞，是上单调递减 ()()2110x f x -->,即()10f x ->（1x ≠）设1x t -=，当0t >时，()0f t >，即()()0f t g t t=> 由()20f -=，()y f x =为奇函数，则()20f =，所以()20g =由()g x 在()0+∞，是上单调递增，()0g t >，所以2t >，即12x ->，所以3x > 当0t <时，()0f t >，即()()0f t g t t=< 由()20f -=，则()20g -=，根据()g x 在()0-∞，是上单调递减 所以当()0g t <时，则20t -<<，即210x -<-<，所以11x -<< 综上所述：不等式()()2110x f x -->的解集是：()()1,13,-+∞故答案为：()()1,13,-+∞【点睛】关键点睛：本题考查构造函数讨论单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数()()f x g x x =，由()()()2xf x f x g x x'-'=结合条件和奇偶性得出其单调性， 属于中档题. 14．【分析】设由题意得令则所以函数是增函数原问题转化为恒成立然后利用参变分离法有恒成立运用配方法求出函数在上的最大值即可【详解】若对任意两个不相等的正实数都有恒成立不妨设所以即令则所以函数在单调递增则恒 解析：[)4,+∞【分析】设12x x >,由题意得()()112244f x x f x x >--，令()()24l 12n 4g x f x x a x x x =-=+-，则()()12g x g x >，所以函数()g x 是增函数，原问题转化为()40,0()a g x x x x'=+-≥>恒成立，然后利用参变分离法，有2,)40(a x x x ≥-+>恒成立，运用配方法求出函数24y x x =-+在(0,)+∞上的最大值即可．【详解】若对任意两个不相等的正实数12,x x 都有()()12124f x f x x x ->-恒成立,不妨设12x x >所以()()121244f x f x x x >--，即()()112244f x x f x x >--，令()()24l 12n 4g x f x x a x x x =-=+-，则()()12g x g x >，所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增， 则()40,0()ag x x x x'=+-≥>恒成立，所以2,)40(a x x x ≥-+>恒成立， 又函数()224244y x x x =-+=--+≤，当2x =时，等号成立， 所以4a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)4,+∞． 故答案为：[)4,+∞． 【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，本题采用参变分离法，将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15．②④【分析】根据函数和图象可得的单调区间和单调性从而得到答案【详解】由函数和图象可得当时得所以函数单调递增当时得所以函数单调递减当时得所以函数单调递减当时得所以函数单调递增所以①错误；②正确；③是函解析：②④ 【分析】根据函数()y x f x =⋅'和图象可得()f x 的单调区间和单调性，从而得到答案. 【详解】由函数()y x f x =⋅'和图象可得，当2()–,x ∞-∈时，0y <，得()0f x '>，所以函数()f x 单调递增， 当()2,0x ∈-时，0y >，得()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，当(0,2)x ∈时，0y <，得()0f x '<，所以函数()f x 单调递减， 当(2,)x ∈+∞时，0y >，得()0f x '>，所以函数()f x 单调递增， 所以①错误；②正确；③2x =-是函数()f x 的极大值点，错误；④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题结合图象考查函数的单调性和判断极值，属于基础题.16．1【分析】分析可得g （x ）为R 上连续的奇函数且在R 上为增函数说明函数只有1个零点可得选项【详解】函数是定义在R 上连续的奇函数则函数其定义域为R 则则为R 上连续的奇函数则又由当时则有即函数为上的增函数又解析：1 【分析】分析可得g （x ）为R 上连续的奇函数，且在R 上为增函数，说明函数()2()g x x f x =只有1个零点，可得选项. 【详解】()()2g x x f x =，函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，则函数()()2g x x f x =，其定义域为R ，则()()()()2g x x f x g x -=--=-，则()g x 为R 上连续的奇函数，()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，又由当 0x >时，()()20xf x f x '+>，则有()0g x '>，即函数() g x 为()0,∞+上的增函数， 又由()g x 为R 上连续的奇函数，且()00g =， 则()g x 为R 上的增函数，故函数()()2g x x f x =只有1个零点，故答案为：1. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、以及函数的零点个数的判断，属于中档题.17．【解析】因故有解即有解令取得极小值点为则则函数的极小值为将代入可得由题设可知令则由即当时函数取最小值即也即所以即应填答案点睛：本题是一道较为困难的试题求解思路是先确定极小值的极值点为则进而求出函数的解析：3min a e =-【解析】因()a f x x b x -'=+，故()0af x x b x-+'==有解，即20x bx a --=有解．令取得极小值点为t ，则2bt t a =-，则函数的极小值为21()ln 2f t a t t bt =-+，将2bt t a =-代入可得21()ln 2f t a t t a =+-，由题设可知21ln 02a t t a +->，令21()ln 2h t a t t a =+-，则()a h t t t =+'，由2()0ah t t t a t=+'=⇒=-，即当2t a =-时，函数21()ln 2h t a t t a =+-取最小值1()02h a a a =--≥，即3322a a ≥-⇒≤，也即13ln()ln()322a a -≤⇒-≤，所以33a e a e -≤⇒≥-，即3min a e =-，应填答案3min a e =-．点睛：本题是一道较为困难的试题．求解思路是先确定极小值的极值点为t ，则2bt t a =-，进而求出函数的极小值21()ln 2f t a t t bt =-+，通过代入消元将未知数b 消掉，然后求函数21()ln 2h t a t t a =+-的最小值为1()02h a a a =--≥，从而将问题转化为3322a a ≥-⇒≤，然后通过解不等式求出即3min a e =-．18．【分析】令求的导数根据条件可知从而判断单调递增将不等式化为即可求解【详解】令因为的定义域为所以函数的定义域也为则所以函数在上单调递增又可以化为即所以所以故不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查利用 解析：()2020,1--【分析】令()2()g x x f x =，求()g x 的导数'()g x ，根据条件可知'()0g x >，从而判断()g x 单调递增，将不等式化为()()20202019g x g +<即可求解. 【详解】令()2()g x x f x =，因为()f x 的定义域为()0,∞+，所以函数()g x 的定义域也为()0,∞+，则()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+可以化为()()()222020202020192019x f x f ++<，即()()20202019g x g +<，所以020202019x <+<， 所以20201x -<<-， 故不等式的解集为()2020,1--. 故答案为：()2020,1--. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，构造函数求导是解题的关键，属于中档题.19．ln22）【分析】用表示出得出关于的函数根据的范围判断函数单调性得出值域即可【详解】显然由题意可知故由可得故设则在上单调递减又故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值意在考查学生解析：[ln 2，2） 【分析】用2x 表示出1x ，得出212x x -关于2x 的函数2()g x ，根据2x 的范围，判断函数单调性得出值域即可． 【详解】显然10x ，20x >，由题意可知212x x e +=，故212x x e =-，2212224x x x x e ∴-=-+，由2121x x e +=>可得110x -<，故2120x e -<-，202x ln ∴<， 设()24(02)x g x x e x ln =-+<，则()120x g x e '=-<，()g x ∴在(0，2]ln 上单调递减， 又(0)2g =，(2)2g ln ln =， 2()2ln g x ∴<．故答案为：[2ln ，2)． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．【分析】根据得出再根据利用作差因式分解可得出的值【详解】由题意可得则即即故答案为：【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值主要考查因式分解考查计算能力属于中等题 解析：3【分析】根据()00f x '=得出()2031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出102x x +的值.【详解】()()31f x x ax b =---，()()231f x x a '∴=--，由题意可得()()200310f x x a '=--=，则()2031a x =-，10x x ≠，100x x ∴-≠，()()10f x f x =，()()33110011x ax b x ax b ∴---=---，()()()33101011x x a x x ∴---=-，()()()()()()22101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦，()()()()()22211000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()221100111210x x x x ∴-+----=，()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，10230x x ∴+-=，即1023x x +=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）11()f e e=-；（2）2a ≥- 【分析】（1）对函数求导，令'()ln 1=0=+f x x ，讨论函数的单调性即可求出结果.（2）由()g x 在区间[1,)+∞单调递增，可得'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数可得：1ln (1)+≥-+x a x ，构造函数即可求出结果. 【详解】（1）()ln 1,'()ln 1=+=+f x x x f x x 令'()ln 1=0=+f x x ，解得1=x e当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：所以min 11()()f x f e e ==-（2）1'()ln 1=+++g x x a x， ()g x 在区间[1,)+∞单调递增，所以'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，即1ln (1)+≥-+x a x在[1,)+∞恒成立 设221111()ln ,'()0-=+∴=-=>x h x x h x x x x x1()ln ∴=+h x x x[1,)+∞单调递增，min ()=(1)=1h x h 只需1(1)≥-+a 即可，解得2a ≥-【点睛】方法点睛：()g x 在区间[1,)+∞单调递增'()0⇔≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数，构造函数是常用方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目..22．（1）11ln 2,022⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，等价于函数()f x 在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像与直线y t =有两个交点，所以利用导数求出()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，再比较出(1)f 和12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可得答案；（2）由0m n >>，要证(1)(1)n mm n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)m n m n ++<，构造函数ln(1)(),(0)x g x x x +=>，然后利用导数证明()g x 是减函数即可 【详解】解：（1）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当102x -≤<时，()()0,f x f x '>单调递增， 当01x <≤时，()()0,f x f x '<单调递减， 则()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， 135(1)()ln 20,222∴--=-<f f 1(1)2f f ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭∴ 当11ln 2,022⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭t 时，方程()f x t =有两解. （2）∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+， 只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<. 设ln(1)(),(0)x g x x x+=>， 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xx x x x x g x x x x -+-+++=+'=. 由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减， 又()00=f ，∴ (1)ln(1)0x x x -++<， 即()g x 是减函数，而m n >. ∴ ()()g m g n <，故原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，考查数学转化思想，解题的关键是把(1)(1)n mm n +<+，转化为ln(1)ln(1)m n m n++<，再构造函数，再利用导数判断此函数为减函数即可，属于中档题23．（1）单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，最小值为1-，无最大值；（2）①证明见解析；②31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，.【分析】（1）对()f x 求导，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<可得单调递减区间，比较极值即可得最值； 【详解】（1）()f x 的定义域为R()()()()()()()2322222446262424646x x xx e x x x e x x e f x xx xx ⎡⎤-++--+⎣⎦==++++'当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减， 当()0,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增， 所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，()()min 01f x f ==-，()f x 最小值为()()min 01f x f ==-，无最大值.（2）①()()()()()()()22244242646464626=22462x x x e a x x x x x x x e g a f x a x x x x x x -+++++++⎡⎤-==++⎡⎤⎢⎥⎣⎦++⎣⎦'令()()x f x a ϕ=+，()0,+x ∈∞ ，由（1）知，()x ϕ单调递增，()010a ϕ=-<，()30a ϕ=≥ 所以存在唯一的(]00,3x ∈，使得()00x ϕ=，即()0020026046xx e a x x -+=++当00x x <<时，()0x ϕ<，()g x 单调递减； 当0x x >时，()0x ϕ>，()g x 单调递增 故()()()00200min 032000222246x x e a x x e g x g x x x x -++===++， 所以()g x 有最小值得证②令()020046x e h a x x =++，()00,3x ∈，()()22222204646xxx x e e x x x x '++⎡⎤=>⎢⎥++⎣⎦++，所以()h a 单增， 所以，由()00,3x ∈，得()0033222001= < =6040646343627x e e e e h a x x =≤+⨯++++⨯+因为246xe x x ++单调递增，对任意31627e λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，存在唯一的()00,3x ∈，()[)00,1a f x =-∈，使得()h a λ=，所以()h a 的值域为31627e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，综上：当[)0, 1a ∈，函数()g x 最小值为()h a ，函数()h a 的值域为31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，【点睛】利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.24．（1）函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+；单调递减区间为(),0-∞；（2）2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 【分析】 （1）当12a =时，()xf x e x =-，利用导数可求得函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由参变量分离法得出min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用导数求出函数()xe g x x =在区间[]2,3上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】 （1）当12a =时，()x f x e x =-，()1xf x e '=-， 令()0f x '=，得0x =．令()0f x '>，得0x >：令()0f x '<，得0x <．所以函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）()202xxe f x e ax a x =-≥⇔≤对任意的[]2,3x ∈恒成立，即min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，设()xe g x x =﹐则()()21x e x g x x-'=，显然当[]2,3x ∈时()0g x '>恒成立． ()g x ∴在[]2,3单调递增，()n2mi ()22g x g e ∴==，22224e e a a ∴≤⇒≤，所以2,4 e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.25．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.【分析】（1）当1a =-时，2()2f x x'=，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；（2）()f x '=，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a =-时，12()2f x x x-'=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞； 当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4). （2）()a f x x '== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减， 此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增， 此时，()min (1)1f x f == 当112a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减； 若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增此时，()()22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--．综上所述：min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩【点睛】本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二问解题的关键在于求导得()f x '=1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题.26．（1）63110x y +-=；（2）最大值为3，最小值为313-. 【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义，求出曲线在1x =处的切线斜率，进而可得切线方程；（2）对函数求导，根据导数的方法判定函数单调性，求出函数在给定区间的极值以及端点值，比较大小，即可得出结果. 【详解】 （1）因为()322233f x x x =-+， 所以()224f x x x '=-，()2512333f =-+=， 则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为()1242f '=-=-， 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：()5213y x -=--，即63110x y +-=； （2）因为()()22422f x x x x x '=-=-，当()2,0x ∈-时，()()220f x x x '=->，即()f x 单调递增； 当()0,1x ∈时，()()220f x x x '=-<，即()f x 单调递减； 所以()()max 03f x f ==； 又()163183323f =--+=--，()2512333f =-+=， 则()()min 3213f x f =-=-， 即()f x 在[]2,1-上的最大值为3，最小值为313-. 【点睛】 思路点睛：导数的方法求函数在给定区间的最值时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数在给定区间的单调性，得出极值，结合端点值进行比较，即可求解.。
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4.1.2 函数的极值
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图415所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极值点有( )
图415
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】y＝f′(x)的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴f(x)在开区间(a，b)内有3个极值点．
【答案】 C
2．函数f(x)＝1＋3x－x3( )
A．有极小值，无极大值B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值D．有极小值，有极大值
【解析】∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.
当x∈(－1,1)时f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；
同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1没有极值，则实数a的取值范围是( ) A．(－3,6) B．[－3,6]
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－3]∪[6，＋∞)
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由题意可知f′(x)＝0没有实根或有两个相等实根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故选B.
【答案】 B
4．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图像如图416所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( )
图416
A ．等于0
B ．大于0
C ．小于0
D ．小于或等于0
【解析】 f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，由题意知，x ＝x 0与x ＝2是方程3ax 2
＋2bx ＋c ＝0的两根，由图像知，a ＞0且x 0＋2＜0，∴－2b
6a
＜0，∴b ＞0.
又f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)＞0. 【答案】 B
5．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，则此函数的解析式是( ) A ．y ＝x 3
＋6x 2
＋9x B ．y ＝x 3－6x 2
＋9x C ．y ＝x 3
－6x 2
－9x
D ．y ＝x 3
＋6x 2
－9x
【解析】 设f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d (a ≠0)， 则f (x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，
由题意得f ′(1)＝f ′(3)＝0，f (1)＝4，f (3)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
3a ＋2b ＋c ＝0，27a ＋6b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＋d ＝4，27a ＋9b ＋3c ＋d ＝0，
解得：a ＝1，b ＝－6，c ＝9，d ＝0. 【答案】 B 二、填空题
6．(2016·湛江高二检测)函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋1在x ＝________处取得极小值． 【解析】 f ′(x )＝3x 2
－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2；由f ′(x )＞0，得x ＜0或x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2，∴f (x )在x ＝2处取得极小值．
【答案】 2
7．函数f (x )＝2x 3
－3x 2＋a 的极大值为6，那么a ＝________.
【解析】 由f ′(x )＝6x 2
－6x ，知函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，故f (x )在x ＝0处取得极大值6，故a ＝6.
【答案】 6
8．已知函数f (x )＝－12
x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．
【解析】 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2
＋4x －3x ＝－ x －1 x －3
x
，
由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 【答案】 (0,1)∪(2,3) 三、解答题
9．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3
－2x 2
＋x ＋1； (2)f (x )＝x 2
e
x .
【解】 (1)函数的定义域为R ，
f ′(x )＝3x 2－4x ＋1
＝3(x －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13. 令f ′(0)>0，可得x >1或x <1
3；
令f ′(x )<0，可得1
3
<x <1.
∴函数f (x )＝x 3－2x 2
＋x ＋1的单调递增区间为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，单调递减区间
为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1.
∴当x ＝13时，函数有极大值，且为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝43
27，
当x ＝1时，函数有极小值，且为f (1)＝1， (2)函数的定义域为R ，
f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x
＝x (2－x )e －x
，
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且为f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2
.
10．是否存在实数a ，使函数f (x )＝13x 3＋x 2
＋ax ＋1在x ＝1处取极值？若存在，求出a
的值，并判断f (1)是极大值还是极小值；若不存在，请说明理由．
【解】 假设存在实数a 使函数f (x )＝13x 3＋x 2
＋ax ＋1在x ＝1处取极值．
又f ′(x )＝x 2
＋2x ＋a ，
∴f ′(1)＝0，即1＋2＋a ＝0，∴a ＝－3
当a ＝－3时，f ′(x )＝x 2
＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－3.
当x >1时，f ′(x )>0，当－3<x <1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在x ＝1处取极小值． 故存在实数a ＝－3使函数f (x )＝13
x 3＋x 2
＋ax ＋1在x ＝1处取极小值．
[能力提升]
1．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )
【解析】 ∵f (x )在x ＝－2处取得极小值， ∴当x ＜－2时，f (x )单调递减，即f ′(x )＜0； 当x ＞－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )＞0. ∴当x ＜－2时，y ＝xf ′(x )＞0； 当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0； 当－2＜x ＜0时，y ＝xf ′(x )＜0； 当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；
当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0.结合选项中图像知，选C. 【答案】 C
2．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x
－1)·(x －1)k
(k ＝1,2)，则( )
A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值
B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值
C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值
D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值
【解析】 当k ＝1时，f ′(x )＝e x
·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．
当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x
＋e x －2) 显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0，
x 在1的右边附近f ′(x )>0，
∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C. 【答案】 C
3．设函数f (x )＝x 3
－92
x 2＋6x －a .
(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2
－9x ＋6. ∵x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m 恒成立， 即3x 2
－9x ＋(6－m )≥0恒成立， ∴Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－3
4.
即m 的最大值为－3
4.
(2)∵当x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0；
∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5
2－a ；
当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .
故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >5
2
.。