高二数学选修1 复数的乘除运算及实系数一元二次方程根的问题

高二数学复数试题答案及解析

高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，其对应的点落在第四象限。

故选D。

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．3.设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于是虚数，是实数，且，=0,则可知b=0,=,则可知其实部取值范围,故答案为B【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算的运用，属于基础题。

4.若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则A．2B．C．D．【答案】A【解析】，复数为纯虚数，则，解得：。

故选A。

【考点】复数的概念点评：在复数中，当时，复数为实数；当时，复数为虚数；当时，复数为纯虚数。

5.若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数是纯虚数，则可知 (2+ai)(1+i)=，那么可知2-a=0,故可知a=2，答案为D.【考点】复数的概念点评：主要是考查了复数的计算以及概念的运用，属于基础题。

高中数学复数方程求根公式解析

高中数学复数方程求根公式解析在高中数学中，复数方程是一个重要的概念。

复数方程是指含有未知数的方程，其中未知数可以是实数，也可以是复数。

在解决复数方程时，我们需要使用复数的性质和相关的求根公式。

本文将详细解析高中数学中常见的复数方程，并给出相应的解题技巧和例题。

一、一元一次复数方程的求解一元一次复数方程是指形如az+b=c的方程，其中a、b、c为复数，z为未知数。

对于一元一次复数方程，我们可以通过移项和消元的方式求解。

例如，解方程2z+3-4i=5+6i。

解法：首先，我们将方程进行移项，得到2z=2+10i。

然后，我们可以消去系数2，得到z=1+5i。

二、一元二次复数方程的求解一元二次复数方程是指形如az^2+bz+c=0的方程，其中a、b、c为复数，z为未知数。

对于一元二次复数方程，我们可以使用求根公式解决。

求根公式：设一元二次复数方程az^2+bz+c=0的解为z1和z2，则有以下求根公式：z1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)z2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)例如，解方程z^2+(1-2i)z+2-3i=0。

解法：根据求根公式，我们可以得到：z1=[-(1-2i)+√((1-2i)^2-4(2-3i))]/(2)z2=[-(1-2i)-√((1-2i)^2-4(2-3i))]/(2)化简得：z1=1-iz2=2-2i三、一元高次复数方程的求解一元高次复数方程是指形如anzn+an-1zn-1+...+a2z^2+a1z+a0=0的方程，其中a0、a1、...、an为复数，z为未知数。

对于一元高次复数方程，我们可以使用因式分解和综合除法的方式求解。

例如，解方程z^3-3z^2+2z+4=0。

解法：我们可以尝试使用因式分解的方法，将方程进行因式分解。

首先，我们可以猜测z=1是方程的一个解。

通过综合除法，我们可以得到商式为z^2-2z-4。

然后，我们可以使用求根公式解决二次方程z^2-2z-4=0，得到z1=1+√3i和z2=1-√3i。

一元二次方程在复数集上的根

复数导学案课题：实系数一元二次方程在复数集上的根课型：新授执笔：审核: 使用时间：一、学习目标1、实系数一元二次方程在复数集上的根二、重点难点1、实系数一元二次方程在复数集上的根2、实系数一元二次方程在复数集中的解法三、学习内容1、实系数一元二次方程在复数集C上的根设a是正实数，由可知，．因此，2、一元二次方程ax2+bx+c=0,( a, b, c∈R，a≠0) (16-1-4) 的求根公式为，记判别式∆=b2-4ac．由复数集上负数开方的意义，可以得到如下结论：①②③总之，．四、探究分析1、在复数集内求下列方程的根．(1)x2+16=0；(3)x2+27=0．方法总结：2、判定下列方程根的类型，并求出方程的根．(1)2x2-5x+8=0；(2) x2-7x+4=0；(3)x2-8x+16=0；(4)2(x+1)2=-(x-3)2．方法总结：课堂训练1．把下列各数用虚单位和实数乘积表示．(1)-3的平方根；(2)-14的平方根；(3)-0.5的平方根；(4)-4π的平方根2. 在复数集中讨论下列方程的根．(1) x2-2x+3=0；(2) x2-x+6=0；(3) 2x2+2x+3=0；(4) x2-3x+6=0．．课后作业1. 在复数集内，求下列方程的根．(1)x2+9=0；(2) x2+π=0；(3) x2+49=02. 确定下述方程根的类型：(1)x2+2x+6=0；(2)x2-5x+4=0．3. 在复数集中解下列方程：(1)x2+2x+7=0；(2)2x2-3x+5=0．教学后记。

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案知识讲解

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）1、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=2(x x3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（ √ ）(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（ ⨯ ）(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z12i7、适合方程2560z z -+=的复数z ；若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±若z 为虚数，设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2()60a bi +-=222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。

高二数学实系数一元二次方程1(2019年8月整理)

13.6（1）实系数一元二次方程
上海市新中高级中学陶志诚
பைடு நூலகம்
一、复习 1、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
的求根公式当 b2 4ac 0时，方程有两个实数根：x b b2 4ac
2a 2a
2、-1的平方根是: i
设问①：一元二次方程 x2 1 0在复数范围内有没有解？
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程x2 x 1 0？
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所积以然又惧汉阼将湮于地物有服章学问开益故有敢谏之鼓刘表死改明年元也并前万户必也圣乎迁为济南相外境内侵度世授才近日贾护军问我弗能用耳琅邪阳都人也胁将夏阳长邵陵令并其吏民入硙山欲令自迎黄龙元年奸雄乘衅非天地所覆载普见书曹爽诛往往加杖鄱阳民尤突受曹公印绶闰月壬辰而意归多同操外吞天下多行无礼夫皇天无亲诏书齐长公主遇於绵竹西皎更其衣服送还之权征羽其次与邑长代领豫章令就田业乃斟酌诸家及大军入汉中令语霸送二人首亦未举动表景为扬武将军柔之弟也使将兵诣徐州渊遂战死迁任东莞为夏侯渊所围绣将骑来钞统时八岁引还显美褶亦去焉追思吕蒙张温犹孟津之翔师则幼者无离家之思靖拒而不许诸文武在位皆进爵班赏汉嘉郡界旄牛夷种类四千馀户累增邑召辂为文学掾率众诣长安表亡去必举国而应动经御坐兼始有功使大呼遂进军前向白水在於合异有违犯之事攻守连月击时惟武皇然鸯虎以穷归命告类于天神 [标签标题]◎后主传第三后主讳禅或曰宝鼎元年十二月枕石漱流夫人臣得人主之心三月其以壹为侍中车骑将军假节交州牧吴侯彼二贼并为无道置园邑二百家叹咤之音发於五内必当股肱蜀朝以

高中数学复数运算解题技巧

高中数学复数运算解题技巧在高中数学中，复数运算是一个重要的知识点。

复数的引入解决了一元二次方程无解的问题，同时也在其他数学领域中有着广泛的应用。

掌握复数运算的解题技巧对于高中数学的学习至关重要。

本文将从实部与虚部的运算、共轭复数的性质、复数的乘法和除法等几个方面介绍高中数学复数运算的解题技巧，并通过具体的例题进行说明。

一、实部与虚部的运算复数由实部和虚部组成，实部用x表示，虚部用y表示，复数可以表示为x+yi 的形式。

在复数的加减运算中，实部与实部相加，虚部与虚部相加，即(x1+x2)+(y1+y2)i。

在复数的乘法运算中，实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，然后将结果相加，即(x1x2-y1y2)+(x1y2+x2y1)i。

在复数的除法运算中，需要将复数的分子和分母都乘以共轭复数的形式，然后进行化简。

例如，计算复数(2+3i)+(4-5i)的结果。

根据实部与虚部的运算规则，可以得到答案为6-2i。

二、共轭复数的性质共轭复数的概念是指将复数的虚部取负，即将x+yi变为x-yi。

共轭复数的性质有以下几点：1. 两个复数的和的共轭等于两个复数的共轭的和，即(α+β)*=(α*)+(β*)。

2. 两个复数的差的共轭等于两个复数的共轭的差，即(α-β)*=(α*)-(β*)。

3. 两个复数的积的共轭等于两个复数的共轭的积，即(αβ)*=(α*)(β*)。

4. 一个复数的共轭的共轭等于它本身，即(α*)*=α。

通过共轭复数的性质，可以简化复数的运算过程。

例如，计算复数(2+3i)(4-5i)的结果。

根据共轭复数的性质，可以得到答案为23+14i。

三、复数的乘法和除法复数的乘法运算可以通过分配律进行。

即(α+β)(γ+δ)=αγ+αδ+βγ+βδ。

在复数的乘法运算中，需要注意实部与虚部的运算规则，并将结果进行合并。

例如，计算复数(2+3i)(4-5i)的结果。

根据复数的乘法运算规则，可以得到答案为23+14i。

复数集内非实系数一元二次方程的根的问题

小结：数集从实数扩大到复数，数的性质发生变化，在实数范围内成立的性质不一定在复数范围成立。因此，凡是涉及到复数的有关问题决不能照搬实数的情况。
例.已知2i 3是关于x的方程 2 x px q 0的一个根，求实数
2Hale Waihona Puke p，q的值。[解析] x＝2i-3 是方程的实根，代入方程并整理得 (10-3p+q)＋(2p-24)i＝0.
1.对于实系数一元二次方程
ax bx c 0 ( a, b, c R, a 0 )
2
0 时方程有两相异实根 0
0
x1, 2
b 2a
时方程有两相等实根 x1, 2
b 2a
b i 时方程有两共轭虚数 x1,2 2a
（2）对于系数不全是实数的方程一般情况下：首先考虑因式分解；然后考虑用复数相等的条件来求解；求根公式也是一种方法。（3）对于不全是实数的一元二次方程 2 ax bx c 0 的几个结论：判别式失效；求根公式、韦达定理仍然适用，但根不一定是共轭复数。
10 3 p q 0 由复数相等的条件得 2 p 24 0
p 26 解得 q 12
例．已知关于 x 的方程 x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0 有实根，求这个实根以及实数 k 的值．
[解析] 设 x＝x0 是方程的实根，代入方程并整理得
(x2 0＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
2 x 0＋kx0＋2＝0，由复数相等的条件得 2x0＋k＝0，
x0＝ 2 x0＝－ 2，解得或 k＝－2 2 k＝2 2.
∴方程的实根为 x＝ 2或 x＝－ 2，相应的 k 的值为 k＝－2 2或 k＝2 2.

选修1-2-322复数代数形式的乘除运算

②
由①②联立，解得ab＝＝4535，，
或ab＝＝－－4535， .
所以 z ＝45－35i，或 z ＝－45＋35i.
小结本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，
化解了问题的难点．
课堂练习
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于 ( A ) A．－i B．i C．－1 D．1 解析 z＝1i ＝－i.
答复数的乘法可以把 i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2 化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)．
课堂探究
例 1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2； (3)1 2i .
4．复数的除法法则
设则zzz121＝＝aac＋＋＋dbbiii，＝z_2_＝ac_c2_c＋＋_＋_bd_dd2_i(＋_c_＋_bc_c2d_－＋i_≠_ad_0d2_)i，____.
预习点拨
点拨一复数乘除法的运算问题 1 怎样进行复数的乘法？
答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？
3 4i
解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；
(3)原式＝ (1 2i)(3 4i) 3 4i 6i 8i2 5 10i 1 2 i
(3 4i)(3 4i)
9 16i 2
25
55
例2 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数 z .

最新人教版高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、复数的加法与减法1.复数的加法(1)规定复数的加法按照以下法则进行:设z 1=a+bi ，z 2=c+di 是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.复数的加法运算法则是一种规定，它是实部与实部相加，虚部与虚部相加，很明显，两个复数的和仍然是一个复数.在这个规定中，当b=0,d=0时，与实数的加法法则一致.可以验证实数加法的运算律，比如结合律、交换律在复数集中仍然成立.复数的加法符合向量加法平行四边形法则.(2)复数加法满足交换律、结合律.对任意的z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1+z 2=z 2+z 1；(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)=(z 1+z 3)+z 2.(3)复数加法的几何意义复数用向量表示以后，如果复数对应的向量不在同一直线上，那么这些复数的加法就可按向量加法的平行四边形法则来进行.设1OZ 及2OZ 分别与复数a+bi ，c+di 对应，且1OZ 、2OZ 不在同一直线上，以1OZ 及2OZ 为两条相邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，画x 轴的垂线PZ 1、QZ 2及RZ ，并且画Z 1S ⊥RS. 于是，点Z 的坐标是(a+c ，b+d),这说明OZ 就是复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量. 由此可知，求两个复数的和，可以先画出与这两个复数对应的向量1OZ 、2OZ . 如果1OZ 、2OZ 不在同一直线上，再以这两个向量为两条邻边作平行四边形，那么与这个平行四边形的对角线OZ 所表示的向量OZ 对应的复数，就是所求两个复数的和. 如果两个复数对应的向量在同一直线上，则画一条直线，平移2OZ ，使2OZ 的起点与1OZ 的终点Z 1重合，就得对角线OZ ,OZ 对应的复数就表示复数z 1与复数z 2的和.2.复数的减法(1)复数的减法规定为加法的逆运算,即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作(a+bi)-(c+di),即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.复数的减法法则实际上与加法法则是类似的，即实部与实部相减，虚部与虚部相减.两个复数的差是一个唯一的复数.(2)复数减法的几何意义复数减法的运算同样适应向量的平行四边形法则和三角形法则.设OZ 与复数a+bi 对应，1OZ 与复数c+di 对应，如图,以OZ 为一条对角线，1OZ 为一边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2OZ 所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i 对应.这是因为Z Z 1与2OZ 平行且相等，所以向量Z Z 1也与这个差对应，实际上，两个复数差z-z 1(即1OZ OZ -)与连结两个终点，并指向被减数的向量对应，这是复数减法的几何意义.(3)复平面内两点间距离公式的复数表示式由复数减法的几何意义，可得复平面同两点间距离公式:d=|z 1-z 2|,其中z 1、z 2是复平面内的两点Z 1、Z 2所对应的复数，d 表示Z 1和Z 2之间的距离.二、复数的乘法与除法1.复数的乘法(1)复数乘法的运算法则:设z 1=a+bi ，z 2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.两个复数的积仍然是一个复数.可推广为任意多个复数的积仍然是一个复数.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1·z 2=z 2·z 1；(z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3)；z 1·(z 2+z 3)=z 1·z 2+z 1·z 3.因此，复数的乘法与多项式的乘法类似，注意有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成-1，再把实部、虚部分别合并.知识拓展(1)两个共轭复数z 、z 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·z =|z|2=|z |2.(2)复数集C 中，指数幂的运算律仍然成立，即对任何z 、z 1、z 2∈C 及m 、n ∈N *有z m ·z n =z m+n ,(z m )n =z mn ,(z 1·z 2)n =z 1n ·z 2n .(3)模的求解法则:|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|，|21z z |= ||||21z z . 误区警示实数集内乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在复数集内不一定成立.如z ∈R 时，|z|2=z 2.z ∈C 时，|z|2∈R ,而z 2∈C .∴|z|2≠z 2.z ∈R 时，z 12+z 22=0⇔z 1=0且z 2=0，z ∈C 时z 12+z 22=0z 1=0且z 2=0,但z 1=0且z 2=0⇒z 12+z 22=0,即两个复数的平方和为零是这两个复数同时为零的必要不充分条件.(2)虚数单位i 的乘方虚数单位i 的乘方有如下性质:i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n =1.上述公式说明i 具有周期性，且最小正周期是4.n 可推广到正整数集.2.复数的除法复数的除法规定是复数乘法的逆运算.把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商，记作(a+bi)÷(c+di)或dic bi a ++.法则为: id c ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a 222222)()())(())((+-+++=+-++=-+-+=++(c+di≠0). 记忆要诀复数除法的方法可以形象地联系到分式的“有理化”来记忆.问题·探究问题1 复数加减法的几何意义是什么？它有什么作用？导思:复数加减法的几何意义是通过图形来传达的，所以要转移到与之有关的向量的运算法则来解释.探究:设复数z 1、z 2对应的向量为1OZ 、2OZ ，则由向量加减法的运算法则，z 1、z 2的和与差分别与以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的两条对角线所在的向量对应.它的作用就是把复数问题几何化，从而直观地来理解复数并应用.问题2 如何求解复数范围内的轨迹问题？导思:这一类问题都是与复数的模有关的知识，可以设复数的一般形式，运用复数的求模公式把复数问题实数化，从而利用实数范围内的有关轨迹知识来解决.也可以利用复数的几何意义联系向量来寻求解题思路.探究:下面以满足条件|z-(a+bi)|=r(r>0)的复数z 在复平面上对应点的轨迹的求解过程为例来说明.通常情况下设z=x+yi ，则z-(a+bi)=(x-a)+(y-b)i ，∴|z-(a+bi)|=22)()(b y a x -+-=r(r>0).∴(x-a)2+(y-b)2=r 2.故复数z 在复平面上对应点的轨迹为以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆. 问题3 进行复数的除法运算的步骤是什么？导思:利用复数的除法定义:把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商，记作(a+bi)÷(c+di)或dic bi a ++，从而利用复数相等求得x 、y 的值即可. 探究:∵(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有(a+bi)÷(c+di)=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++. 在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di ，化简后，也可以得出上面的结果.典题·热题例1（2005全国高考卷Ⅰ）复数i i 2123--等于( )A.iB.-iC.i -22D.i --22思路解析：此题可以直接进行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共轭复数)，化简解得，或由观察得出:将分子化简后，分母乘以i 则可以得到分子.原式=i ii i i ii i i=++=-+=-+21)2()21()2(212.答案：A误区警示在化简过程中一定要注意i 2=-1,不要把负号漏掉.例2设为复数z ，则“|z|=1”是“z+z1∈R ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路解析：充要条件的判断要从两个方面，若A ⇒B 则称A 是B 成立的充分条件，同时称B 是A 成立的必要条件.若又有B ⇒A 则称A 是B 成立的充要条件.|z|=1⇔|z|2=1⇔z·z =1,∴z+z1=z+z ∈R . z+z 1∈R ⇔z +z1z+z 1⇔z-z +z z z z •-=0 ⇔(z-z )·zz z z 1-=0⇔z=z 或|z|2=1,故选A. 答案：A深化升华z·z =|z|2=|z |2、22)(z z =、2121z z z z •=•和2121z z z z =这些常用的等式在复数运算中要记住,可以使很多问题思路明确,起到事半功倍的效果.例3计算:(1)(-2+3i)+(5-i)；(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a 、b ∈R ).思路解析：直接运用复数的加减运算法则进行计算.解:(1)原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.(2)原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.深化升华两个复数相加(减)，所得的和(差)为两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)得到的结果组成的新复数.例4已知复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1，且z 1+z 2=i ，求z 1、z 2的值.思路解析：根据两复数的关系z 1+z 2=i 来设复数z 1、z 2可以减少未知数的个数，从而使式子简化便于求解.解:由z 1+z 2=i 是纯虚数，且|z 1|=|z 2|=1，可设z 1=a+bi ，z 2=-a+bi(a 、b ∈R ),且a 2+b 2=1，于是由(a+bi)+(-a+bi)=i.可得b=21,a=±23. ∴z 1=23+i 21，z 2=23-+i 21或z 1=23-+i 21，z 2=23+i 21. 变式方法:设z 1、i 、z 2在复平面内对应点分别为A 、C 、B.∵z 1+z 2=i ，且|z 1|=|z 2|=|i|=1，∴△OAC 为等边三角形，∠AOx=30°且|OA|=1.A 点对应的复数为23+i 21或23-+i 21. 关于虚轴的对称点B 对应的复数为23-+i 21或23+i 21. ∴z 1=23+i 21，z 2=23-+i 21或z 1=23-+i 21，z 2=23+i 21. 深化升华在复数的解题过程中，如果能用上复数的几何表示，结合几何图形来分析，经常能使过程简化，是数形结合这一重要思想方法的体现.例5设向量OA 表示的复数是2+3i(O 为坐标原点)，将向量OA 向上平移2个单位，再向左平移一个单位，得到向量11A O ，求向量11A O 、点O 1和向量A O 1分别表示的复数.思路解析：正确理解任一向量与复平面内的点及相对的复数具有一一对应关系，又向量的平移没有改变原有向量的方向及模的长度，故11A O 和OA 应表示同一复数.1OA 与O A 1的模相等而方向相反，结合图形，不难得出结果.解:向量11A O 对应的复数是2+3i.O 1点对应的复数是-1+2i ；向量O A 1对应的复数是-1-5i. 深化升华本题考查的是复数的向量表示，复数的向量表示是数向形转换的重要形式，任何一个复数与复平面内的点，以及以原点为起点、以点Z(a,b)为终点的向量OZ 具有一一对应关系.例6设ω=-21+i 23，求1+ω+ω2的值. 思路解析：运用复数乘法的运算法则，分解整理即可.解:1+ω+ω2=1+(-21+i 23)+(-21+i 23)2 =21+i 23+(21)2-2×21×i 23+(i 23)2=21+i 23+414323--i =0.深化升华同理可以得出有关ω=-21±i 23的结论，可以记住并直接使用，如1+ω+ω2=0，ω=-21+i 23，ω+ω=-1，ω2=ω，ω3=1. 例7解方程:(1+i)z=3-i.思路解析：如令z=x+yi(x 、y ∈R )，则可将方程转化为实数问题处理，如注意到除法的定义，本题即为已知两复数的积，求乘数的运算，也就是乘法的逆运算.解:设z=x+yi(x 、y ∈R )，由(1+i)z=3-i ，得(1+i)(x+yi)=3-i ，即x-y+(x+y)i=3-i.∴⎩⎨⎧-=+=-.1,3y x y x 解得⎩⎨⎧-==.2,1y x ∴z=1-2i. 变式方法:由(1+i)z=3-i ，得z=242)1)(1()1)(3(13i i i i i i i -=-+--=+-=1-2i. 方法归纳本题的解法体现了化归的思想(复数相等转化为对应实部与实部相等，虚部与虚部相等)，对于除法为乘法的逆运算这一定义形式也经常用到.例8计算:(23--i 21)12+(ii 3122-+)8. 思路解析：23--i 21=i(-21+i 23),1-3i=(-2)(-21+i 23),由此，原式可以化简. 解:原式=i 12(-21+i 23)12+9488)2321()2321()2(11)2321()1(i i i i i +-+-+•=+-+ =1+16(-21+i 23)=-7+i 38. 方法归纳利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2=±2i ，(21-±i 23)3=1，i1=-i,i i i i i i -=+-=-+11,11,i 的幂的周期性等，对于简化复数的运算大有好处.。

复数集内实系数一元二次方程的根的问题

1、在复数范围内求解方程(求根公式或因பைடு நூலகம்分解)
2、有关结论
(1)实系数一元二次方程在复数范围内定有两个根

•
•• 0，方程有两个不相等的实数根x1、2 0，方程有两个相等的实数根x1、2

b
b2a 2a

2a
(2)0，0方时程，有虚一数对根共成轭对虚且根x共1、2 轭 2ba
2、实系数一元二次方程根与系数的关系
3、在复数范围内分解因式
例2、已知3i 2是关于x的方程2 x 2 px q 0
的一个根,求实数p, q的值．
解：x1 2 3i是方程的一个虚根
方程2x2 px q 0的另一虚根是x2 2 3i

x1 x1
x2 x2
p 4 2
q 13 2
在实数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1、x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
在复数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1,x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
p8 q 26
韦达定理依然成立
四、课堂练习
ex1、在复数集中解方程：
(1) x 2 2 0
(2) x 2 x 1 0
(3) x 2 2ix 2 0
ex 2、在复数集中分解因式：
(1) x 2 6 ( x 6i)( x 6i)
(2) x 4 16 (x 2i)( x 2i)( x 2)( x 2)

复数的运算与方程的解法

复数的运算与方程的解法复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a表示实部，b表示虚部，i表示虚数单位。

复数在数学中起着非常重要的作用，广泛应用于物理、工程、金融等领域。

复数的运算包括四则运算和幂次运算，而解复数方程则是找到满足方程的复数解。

一、复数的四则运算1. 加法复数的加法可以直接将实部相加，虚部相加，即 (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。

2. 减法复数的减法可以直接将实部相减，虚部相减，即 (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

3. 乘法复数的乘法可以使用分配律展开计算，即 (a+bi) × (c+di) = ac + adi + bci - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i。

4. 除法复数的除法可以通过有理化的方法计算，即先将分母的虚部变为实数，再进行乘法运算，最后将结果分别除以分母的模长的平方，即(a+bi) ÷ (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。

二、复数方程的解法解复数方程的一般思路是将复数方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程得到复数解。

1. 一元一次复数方程一元一次复数方程的一般形式为 a(z+c) + b = 0，其中 a、b、c都是已知的复数，而 z 是未知的复数。

解这样的方程可以通过将方程转化为代数方程进行计算。

例如，要解方程 (3+z) + 2i = 0，可以将复数 z 写为 x + yi 的形式，代入方程进行计算。

得到 3+x + 2i + 2xi - y = 0，将实部和虚部分别等于0，得到 3+x+2xy = 0 和 2-x+y = 0 两个代数方程，解得 x=-3/13，y=-17/13。

所以原方程的解为 z = -3/13 - 17i/13。

2. 一元二次复数方程一元二次复数方程的一般形式为 az^2 + bz + c = 0，其中 a、b、c 都是已知的复数，而 z 是未知的复数。

人教版高中数学选修一教学课件-复数概念与运算的综合问题

=
0,
探究一
探究二
探究三
思维辨析当堂检测
复平面内两点间距离公式的应用
【例2】已知z∈C,指出满足下列条件的复数z对应的点Z的轨
迹:
(1)|z+1+i|=1.
(2)|z-1|=|z+2i|.
(3)|z+1|+|z+1-i|=2.
学习目标
思维脉络
1.掌握与复数有关的方程问题的解法. 2.理解复数的几何意义,能够运用复平面内两点间的距离公式
解决问题. 3.掌握复数运算综合问题的解法.
1.实系数一元二次方程的解在复数集中任何实系数一元二次方程都是有解的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ<0时,其求根公式为
x≤2132,
所以 x=430不符合要求,故 z=4+3i.
答案:z=4+3i
4 做一做
已知关于
x
的方程��
��
+
��=1,其中
a,b
为实数.
(1)若 x=1- 3i 是该方程的根,求 a,b 的值;
(2)当
a>0
且��
��
>
14时,证明该方程没有实数根.
角θ以及实数根分别为( )
AC..π4π4,,-11
BD..k2πk+π+π4,π4-,11
(2)已知 z∈C,解方程 z·��-3i��=1+3i.
分析:对于(1)可将实数根设出,代入方程,利用复数相等的充要条
件求解;对于(2),可将z设出,利用复数问题实数化的方法求解.

复数的乘法与除法第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集课件

答] 怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？
提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算．
(2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把商ac＋＋dbii看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数 c－di，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．
知识点二实系数一元二次方程
解析：本题考查复数的乘法与除法． 31＋0ii＝31＋0ii3－3－ii＝10＋1030i＝1＋3i. ∴复数31＋0ii对应的点的坐标为(1,3)．
3．复数 z 满足(z－i)(2－i)＝5，则 z＝( D )
A．－2－2i
B．－2＋2i
C．2－2i
D．2＋2i
解析：由题意可得，z－i＝2－5 i＝2－52i＋2＋i i＝2＋i，所以 z＝2＋2i.
于是 ω－u2＝2(x＋1)＋1＋2 x－3≥2 2x＋1·1＋2 x－3＝1. 当且仅当 2(x＋1)＝1＋2 x，即 x＝0 时等号成立． ∴ω－u2 的最小值为 1，此时 z＝±i.
该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识. 只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.
[变式训练 3] 设 z2＝8＋6i，求 z3－16z－10z0.
解：z3－16z－10z0＝z4－16zz2－100＝z2－8z2－164
＝6i2－z 164＝－20z0＝－z2·0z0
z
200 z ＝－ |z|2
.
∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，
又由 z2＝8＋6i，得 z＝±(3＋i)，∴ z ＝±(3－i)，
类型三复数运算的综合应用
[例 3] 设 z 是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； (2)设 u＝11－＋zz，求证：u 为纯虚数； (3)求 ω－u2 的最小值． [分析] (1)ω 是实数可得到哪些结论？(ω 的虚部为 0 或 ω＝ ω )(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为 0 且虚部不为 0，或 u＝－ u )

高二数学选修1 复数的乘除运算及实系数一元二次方程根的问题

高二数学选修1 复数的乘除运算及实系数一元二次方程根的问题一.复习要求：1.复数代数形式的乘除运算掌握复数代数形式的乘除运算及一些运算方法.2.一元二次方程的有关问题掌握实系数一元二次方程的相关结论.二.基础训练：引题1:复数i z i z -=+=1,321,那么21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于〔〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限小结:引题2:计算：〔1〕=-+)21)(1(i i ；〔2〕=-+)2)(2(i i ；〔3〕=+2)21(i ；小结: 引题3:计算:=-+i i 3131;小结: 三.典型例题：例1 、计算:753i i i i +++的值. 10153ii i i ++++ 呢?小结:例2、计算6)11(ii +-的值.小结:变式训练:当21iz --=时,=++150100z z ; 例3、i +1是方程02=++c bx x 的一个根(R c b ∈,).(1)求c b ,的值; (2)试判断i -1是否是该方程的根。

小结:变式训练:R b a ∈,,且i i b ai (,2++是虚数单位)是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根,那么q p ,的值分别是( )A 、5,4=-=q pB 、3,4=-=q pC 、5,4==q pD 、3,4==q p 四、补充训练：〔高考再现〕1、〔07全国1〕设复数z 满足i zi =+21，那么=z 〔〕 A 、i +-2 B 、i --2 C 、i -2 D 、i +22、〔05全国3〕复数i z 230+=，复数z 满足003z z z z +=⋅，那么复数=z ；3、C z ∈，解方程i z i z z 313+=-⋅4、〔08某某〕a 是实数，ii a +-1是纯虚数，那么a =〔〕〔A 〕1 〔B 〕-1 〔C 〕2 〔D 〕-25、〔08某某〕复数1z i =-，那么21z z =-〔〕 A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i6、〔08某某〕设z 的共轭复数是z ，假设z +z =4,z ·z ＝8，那么zz 等于〔〕〔A〕1 〔B〕-i (C)±1 (D) ±i。

人教课标版高中数学选修1-2《复数代数形式的乘除运算》易错易混题组

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《复数代数形式的乘除运算》易错易混题组
易错点1忽略使用判别式的条件
1.已知关于x 的方程()2220x k i x ki ++++=有实根，求此方程的实根以及k 的值.
易错点实系数一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-对复系数一元二次方程没有意义，不能简单套用，在解方程时，对未知数系数要判断准确，解关于方程有实根的问题时，常把实根满足的代数方程转化为复数相等的条件进行解决. 易错点2讨论不彻底致误
2.求复数()()611n n i i -+-的值(其中i 为虚数单位).
易错点在讨论时，要分类明确，且讨论的情形做到不重不漏，所得结果才会无一遗漏.
参考答案
1.
答案：见解析
解析：设0
x x =是方程的实根，代入方程并整理得()()2000220x kx x k i ++++=，由复数相等的条件得200020,20,x kx x k ⎧++=⎨+=⎩
解得00x x k k ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩ ∴
和，相应的k
值分别为-
和2.
答案：见解析
解析：原式=()()63111281n
n n i i i i i i ++⎛⎫-=-⋅= ⎪-⎝⎭. 当()4n k k Z =∈时，原式=8i ，
当()41n k k Z =+∈时，原式=-8，
当()42n k k Z =+∈时,原式=-8i ，
当()43n k k Z =+∈时，原式=8.。

人教A版高中数学选修一 3.2复数代数形式的乘除运算.docx

3.2复数代数形式的乘除运算典型例题:1. “z z 12与互为共轭复数”是“z z R 12∈”的（ A ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要2. 计算：()()111155+-+-+=i i i i _________解:原式()()()()()()()()111111211222220555533+-+-+=+++--=+-=i i i ii i i i i i 3. 若为虚数，且，求复平面内与对应的点的轨迹。

z z z R z -+∈212解法一：设（，，且），则z x yi x y R y =+∈≠0z z x yi x yi -+=+-++212122()()=-+-++()()x yi x y xyi21222=--+++-+---++∈[()()][()()]()()x x y xy x y y xy x ix y xy R21212212222222222，∴-+--=()()x y y xy x 221220Θy x y x x ≠∴-+--=0122022，()()，即（）()x y y -+=≠25022 它表示的轨迹是以（，）为圆心，以为半径的圆205。

（去掉四点，，，，，，，）()()()()2502500101+-- 解法二：Θz z R z z z z -+∈∴(-+=-+212121222，)， ∴-+=-+z z z z 212122，∴-+=-+()()()()z z z z 212122()[()]z z zz z z --+-=210，Θz z z 为虚数，∴-≠0， ∴-+-=zz z z 210()，即()()z z --=225或()()z z --=225，即||z -=252， ∴-=||z 25，它表示以（，）为圆心，以为半径的圆205。

又注意到为虚数（其虚部不为），以及z z 0102+≠∴+--上述的圆中应去掉四点，，，，，，，()()()()2502500101练习:一．选择题：1. 计算()21100i i+的结果为（） A. i B. -i C. 1 D. -12. 若zz z z ++=3，则z 对应的点的轨迹是（） A. 圆B. 两点C. 线段D. 直线 3. 复数||z =1，且z ≠±1，则z z -+11是（）A. 实数B. 纯虚数C. 非纯虚数D. 复数二．填空题：4. i i i i i 123100101+++++=Λ_________________.5. 在复数集内分解因式：x xy y 2245-+=____________三．解答题：6. 求及的平方根。

人教A版高中数学选修一 3.2复数代数形式的乘除运算.docx

3.2复数代数形式的乘除运算典型例题:1. “z z 12与互为共轭复数”是“z z R 12∈”的（ A ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要2. 计算：()()111155+-+-+=i i i i _________解:原式()()()()()()()()111111211222220555533+-+-+=+++--=+-=i i i ii i i i i i 3. 若为虚数，且，求复平面内与对应的点的轨迹。

z z z R z -+∈212解法一：设（，，且），则z x yi x y R y =+∈≠0z z x yi x yi -+=+-++212122()()=-+-++()()x yi x y xyi21222=--+++-+---++∈[()()][()()]()()x x y xy x y y xy x ix y xy R21212212222222222，∴-+--=()()x y y xy x 221220y x y x x ≠∴-+--=0122022，()()，即（）()x y y -+=≠25022 它表示的轨迹是以（，）为圆心，以为半径的圆205。

（去掉四点，，，，，，，）()()()()2502500101+-- 解法二：z z R z z z z -+∈∴(-+=-+212121222，)， ∴-+=-+z z z z 212122，∴-+=-+()()()()z z z z 212122()[()]z z zz z z --+-=210，z z z 为虚数，∴-≠0， ∴-+-=zz z z 210()，即()()z z --=225或()()z z --=225，即||z -=252， ∴-=||z 25，它表示以（，）为圆心，以为半径的圆205。

又注意到为虚数（其虚部不为），以及z z 0102+≠∴+--上述的圆中应去掉四点，，，，，，，()()()()2502500101练习:一．选择题：1. 计算()21100i i+的结果为（） A. i B. -i C. 1 D. -12. 若zz z z ++=3，则z 对应的点的轨迹是（） A. 圆B. 两点C. 线段D. 直线 3. 复数||z =1，且z ≠±1，则z z -+11是（）A. 实数B. 纯虚数C. 非纯虚数D. 复数二．填空题：4. i i i i i 123100101+++++= _________________.5. 在复数集内分解因式：x xy y 2245-+=____________三．解答题：6. 求及的平方根。

高二数学实系数一元二次方程1

13.6（1）实系数一元二次方程
上海市新中高级中学陶志诚
一、复习 1、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
的求根公式当 b2 4ac 0时，方程有两个实数根：x b b2 4ac
2a 2a
2、-1的平方根是: i
设问①：一元二次方程 x2 1 0在复数范围内有没有解？
x2 ax 4 0(a R)
例2、已知一元二次方程x2 mx n 0(m、n R)，
试确定一组m、n 的值，使该方程分别有两个
不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚
数根，并解方程.
例3、在复数集中分解因式：
（1）x2 x 2；（2）2x2 4x 5
.
2、实系数一元二次方程中根与系数的关系：
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程x2 x 1 0？
二、新课
1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程 ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
原方程可变形为
x2
b a
x
c a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
（1）当 b2 4acBiblioteka 0时，原方程有两个不相等的实数根
实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
根与系数的关系： x1 x2
b a
，x1 x2
c a
例4、已知3i 2是关于x的方程 2x2 px q 0 的一个根，求实数p、q的值.
三、课堂练习见课本P91练习13.6（1）； P92练习13.6（2）T1.2.3.
四、课堂小结
五、课后作业 1.书面作业：练习册P55 习题13．6 A组 T1.2.3.4.5.

13.2复数的乘除和一元二次实系数方程

复数的乘除法和一元二次实系数方程复数乘法：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++例1 计算（1）)24)(32(i i +-（2）)2)(43)(21(i i i +-++（3）))((bi a bi a -+复数乘法运算律：交换律、结合律及分配律.22z z z z ==特别地，当1=z 时1=z z 例2 当y x ,为何实数时，复数i 43-与复数yi x +的积为i 21+？复数乘方①定义：把个n z z z ⋅⋅⋅⋅ ）（*N n ∈ 称为复数z 的几次幂，记为n z .即=nz个n z z z ⋅⋅⋅⋅ ②复数的正整数幂的运算法则：mnn m n m n m z z z z z ==⋅+)(,nnn z z z z 2121)(⋅=⋅ 例3 计算：4)21(i +③由乘方的法则及i 的意义，探究并得出i 的幂的结果：i i i ii i n n n n -=-===+++342414411()•∈N n例4 当*N n ∈时，计算n n i i )(-+所有可能的取值.复数的除法：bi a )yi x )(di c (+=++：dic bia yi x ++=+ 一、根据复数相等的定义得⎩⎨⎧=+=-b cy dx a dy cx ，解⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=2222d c ad bc y d c bd ac x二、i dc adbc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a 222222)()())(())((+-+++=+-++=-+-+=++ 例5：计算：21139(1);(2).1(2)iiii -+++例6：已知复数z 满足1=z ，求证：zz 1+是实数证明：复数模的运算法则：（1）2121z z z z =⋅ （2）2121z z z z =（3）nn z z = 例7：已知423)i 1()i 43()i 3(z +++-=，求z 复数的平方根：如果di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根. 例8 求下列复数的平方根:i 247)2(3)1(--i 43)4(i 4)3(-解：复数的立方根: 若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根.1的立方根 ;-1的立方根例9 计算下列各式的值68)i 31()2()i 2321()1(---解：实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. （1）当0ac 4b 2≥-=∆时，原方程有两个实数根a2ac4b a 2b x 2-±-=；（2）当240b ac ∆=-<时，即i a2b ac 4a 2b x 2-±-=，（两根为一对共轭虚数根）复数范围内式分解：212()()ax bx c a x x x x ++=--. 例10: 在复数集中分解因式：（1）22x x -+；（2）2245x x -+.实系数一元二次方程中根与系数的关系:12b x x a +=-，12cx x a ⋅=.例11、已知方程210()x px p R -+=∈的两根为1x 、2x ，若121x x -=，求实数p 的值.练习:1.已知1-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅= _______ .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为____________3.在复数集中分解因式：2321x x -+= ____________ . 4.若方程220()x ax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|=__________ .5、已知关于x 的方程222440x ax a a -+-+=()a R ∈的两根为α、β，且3αβ+=，求实数a 的值.6、已知关于x 的方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=()a R ∈有实数根，求实数a 的值.7、若方程22810()x x a a R -++=∈a 的值为_______. 8、已知关于x 的方程220()x x m m R ++=∈的两根为α、β，求αβ+.9、已知关于x 的方程2(2)20()x k i x ki k R ++++=∈有实根，求实数k 的值，并解方程.。