最新人教版初中九年级上册数学《切线长定理》教案
初中数学切线长定理教案
初中数学切线长定理教案
教学目标：
1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理。
2. 通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想。
3. 通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的
学习态度。
教学重点：理解并掌握切线长定理。
教学难点：应用切线长定理解决问题。
教学准备：多媒体计算机、黑板、粉笔。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引导学生回顾圆的性质，如圆的轴对称性、圆的切线与半径的关系等。
2. 提问：从圆外一点可以引几条切线？它们的性质是什么？
二、新课讲解（15分钟）
1. 介绍切线长的概念：圆外一点引出的两条切线，它们的切线长相等。
2. 引导学生观察图形，猜想切线长定理。
3. 引导学生通过几何画图和度量，验证猜想。
4. 引导学生运用代数方法证明切线长定理。
三、例题分析（15分钟）
1. 给出一个应用切线长定理的例题，引导学生分析解题思路。
2. 引导学生一起解答例题，注意引导学生运用切线长定理。
3. 总结解题方法，强调切线长定理在解题中的应用。
四、课堂练习（15分钟）
1. 给出几道练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生相互讨论，解答练习题。
3. 选取部分学生的作业进行点评，讲解正确解题思路。
五、课堂小结（5分钟）
1. 回顾本节课所学内容，让学生总结切线长定理的性质和应用。
2. 强调切线长定理在几何解题中的重要性。
六、课后作业（课后自主完成）
1. 深化理解切线长定理，尝试解决更复杂的几何问题。
2. 撰写一篇关于切线长定理的学习心得，分享自己的学习体会。
人教版初三数学上册切线长定理教学设计
切线长定理教案
教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数
的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。
学情分析：上节课我们共同学习了切线的定义以及与切线相关的定理，同学们掌握的不错，整体不错，为这节课的学习打下了良好的基础。
教学过程：
一、复习引入：
1. 切线的判定定理和性质定理.
2. 过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？
二、合作探究
1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这
点到圆的切线长
2、切线长定理
(1)操作：纸上一个。0, PA是OO的切线，？连结PQ ?沿着直线PO将纸对折, 设与点A重合的点为B。0B是O 0的半径吗？PB是OO的切线吗？猜一猜PA 与PB的关系？/ AP0与/ BP0呢？
从上面的操作及圆的对称性可得：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
(2)几何证明.
如图，已知PA PB是OO的两条切线.求证：PA=PB Z AP(=Z BPO
证明:
B
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
(1) 图中共有几对相等的线段
(2) 若 AF=4 BD=5 CE=9 则厶 ABC 周长为 _______
例 如图，△ ABC 的内切圆。0与BC,CA,AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm 求 AF,BD,CE 的长。若 S ^ABC = 18 10 ,求OO 的半径。
九年级数学 第3课时切线长定理教案
第3课时切线长定理
01 教学目标
1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．
2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．
02 预习反馈
阅读教材P99～100，完成下列知识探究．
1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．
03 新课讲授
例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．
【思路点拨】根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，设AE＝x，用含x的代数式表示出BD，CD，根据BC＝14列出方程即可．
【解答】设AF＝x，则AE＝x，
CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.
由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.
因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.
【跟踪训练】 (24.2.2第3课时习题)如图，已知⊙O 是Rt△ABC (∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F .
(1)求证：四边形ODCE 是正方形；
(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r .
人教版初三数学上册切线长定理.2.2.3切线长定理说课人教版
说教学过程设计
的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
如图，三角形的三条角平分线交于一点，设交点为I，那么到AB、AC、BC的距离相等，因此以点I为圆心，点I到的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切．
BF=AB-AF
（9-x）=14 六、应用新知：
提升训练
3、已知：两个同心圆PA、PB
是大圆的两条切线，PC、PD是小
圆的两条切线，A、B、C、D为切点。
求证：AC=BD
·
P
A
B
O
C
D
（
（
（
（
最新版初中数学教案《切线长定理》精品教案(2022年创作)
第3课时 切线长定理
1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．
2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．
一、情境导入
新农村建设中，张村方案在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．
二、合作探究
探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长
如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．假设PA 长为2，那么△PEF 的周长是________．
解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.
【类型二】利用切线长定理求角的大小
如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．
解析：如下列图，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －
∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿
一. 教材分析
人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是
初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。
但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。
三. 说教学目标
1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，
能够运用这些知识解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究
能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克
服困难的意志。
四. 说教学重难点
1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。
2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。
五. 说教学方法与手段
本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等
环节，自主探究切线的性质。同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程
1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切
九年级数学《切线长定理》导学案
九年级数学《切线长定理》导学案
学习目标：
1、了解切线长的定义，掌握切线长定理
2、能利用切线长定理解决问题
学具准备：圆规、直尺、三角板、量角器等作图工具及练习本
学习过程：
一、复习旧知
切线的判定和性质是什么？
二、课堂导学阅读书上99页，完成以下问题：
1、切线长定义：过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。
三、课内探究：
〔一〕探究切线长的定义：
过⊙O外任意一点P，画出⊙O的所有切线。
·O
P
引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
区别
切线
切线长
〔三〕探究切线长定理：
1、猜测上图中，PA与PB、∠APO与∠BPO有什么数量关系？
2、尝试通过测量或对折验证猜测。
3、推理证明。
得到：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。
4、定理用几何语言表达为
∵
∴
5、衔接中考
：如图，PA、PB分别与⊙O相切于
A、B两点，假设∠C＝65°，
〔1〕求∠P的度数；
〔2〕假设AO＝3，OP=5,求PB的长；
〔四〕拓展提升
如图：〔见ppt〕假设PA、PB是⊙O的两条切线A、B为切点，直线OP交⊙O于
D、E，交AB于点C
(1)请写出图中所有相等的线段
(2)请写出图中所有的垂直关系
(3)请写出图中与∠APO相等的角
(4)请写出图中所有的等腰三角形
(5) 请写出图中所有的全等三角形
(五)课堂小结
畅所欲言，查漏补缺
四、课后作业
如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°。
数学人教版九年级上册切线长定理三角形内切圆内心
活动 6： 1.课本 98 页第 1 题 学生尝试，提高 四、练习 2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内 升华 巩固，小 切圆， 切点为 D、 E、 F， 如果 AE=1， 结 CD=2 ， BF=3 ，且 △ABC 的面积为 6．求内切圆的半径 r．
ຫໍສະໝຸດ Baidu
通过练习，强化 学生主动参与、 合作交流的意 识，从中获取知 识，并会举一反 三。教师通过练 习，及时发现问 题，评价教学效 3.小结本课时 学生回忆、交流 果 这节课我们学到了哪些知识？你 完成。 能说说吗？ 强化本节知识点 4.作业：课本 103 页第 12 题
三、归纳 认识，明 确切线长 定理与三 角形内切 圆的关系
活动 5： 结合切线长定理与所画得三角形 的角平分线有什么关系呢？ 从 而引出： 与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆，•内切圆的圆 心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的内心． 课本 97 页例题： 例题 2：如图，△ABC 的内切圆⊙ O，与 BC、CA、AB 切点为 D、E、 F ， 且 AB=9cm ， BC=14cm ， AC=13cm，求 AF、BD、CE 的长．
三角形的内切圆 的定义学生不难 理解，而例题中 求 AF、BD、CE 的 长，学生可能会 无从下手．因此 让学生分组讨论 解题思路，并由 部分学生说出解 题思路。
学生通过画图， 结合切线长定 理，明确三角形 内切圆的圆心是 三条角平分线的 交点，再通过例 题巩固切线长定 理的运用，加强 解决问题的能 力。
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计
一. 教材分析
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。
二. 学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。
三. 教学目标
1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。
2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 教学重难点
1.切线长定理的证明过程。
2.切线长定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法
1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。
2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。
3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。
六. 教学准备
1.多媒体课件。
2.练习题和测试题。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程
1.导入（5分钟）
利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。
然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。
2.呈现（10分钟）
讲解切线长定理的定义和证明过程。首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。
3.操练（10分钟）
让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。
人教版初三数学上册24.2.2.切线长定理教案
《切线长定理》教案
茂南中学 陈佳莹
【教学目标】
1)知识目标：
1．理解切线长的概念。
2．掌握切线长定理，并能解决一些简单问题。
2)能力目标：
通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3)情感目标：
激发学生发现数学探究数学的兴趣，发扬既合作又竞争的精神，养成认真细致、独立思考、严谨开放的学习习惯，树立科学的学习态度。
【教学重点】 切线长定理及其应用是教学重点
【教学难点】 切线长定理的灵活运用是教学难点教学过程设计:
一、复习提问
1.如图，已知⊙O 的半径O A ⊥直线l 于点A ，则直线l 是⊙O 的
2.OA 是⊙O 半径,直线l 切⊙O 于点A ，则OA 与 直线l 的位置关系是
3．判断：
（1）过半径的外端的直线是圆的切线 （ ）
（2）与半径垂直的直线是圆的切线 （ ）
（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 （ ）
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可：
(1) 直线经过半径的外端；
(2)直线与这半径垂直。
二、讲授新知
【一】经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？
【二】观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB的距离叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量.
数学人教版九年级上册切线长定理
九年级数学《切线长定理》教学案例分析
一、教材分析
（一）教材地位、作用
《切线长定理》这节课是人教版九年级上册第二十四章
第一节第四部分的内容，是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的，圆周角与圆
心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广
泛通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法。因此本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十
分重要的作用。 .所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.
教材把《切线长定理》这节分为两个课时进行教学，第一课时是探索圆周角与圆心角的关系，第二课时
是探索直径所对圆周角的特殊性.我今天说的是第一课时.
（二）教学重点、难点
1.教学重点：
圆周角定理的证明需要分三种情况一一证明，培养
了学生的逻辑思维的严密性，因此圆周角定理的发现与
论证是本课的重点。
2.教学难点：
学生第一次接触分类证明，而证明又要添加适当的
辅助线。因此圆周角定理的证明是本课的难点。
二、教学目标分析
1.知识与技能目标：
⑴通过观察，使学生了解圆周角的概念。
⑵理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
2.过程与方法目标：
运用分类思想给予逻辑证明定理，让学生能够证明定理的正确性，最后运用定理解决一些实际问题。
3.情感态度与价值观
⑴经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。
⑵通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验。
三、教法与学法分析
新人教版九年级数学上册 P96页《切线长定理及三角形的内切圆》教学设计和课后反思
新人教版九年级数学上册 P96页《切线长定理及三角形的内切圆》教学设计
和课后反思
教材分析
本节课是直线与圆位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识。
切线长定理的探究，通过设计先翻折图形再思考的环节加入了实践操作活动，使学生提高探究的兴趣，应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据。
学情分析
本班的学生数学基础蛮好。对前面学圆的相关知识都
有一定的把握程度。学生对圆的图形的认知水平也蛮高。这对本节课的学习有一定的帮助。学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程有一定的难度。部分学生计算很粗心，还有几个学困生非常不认真。因此，课上需要充分调动学困生的积极性，只有小组长和老师合作，才能带动所有学生都融入到课堂中来。
教学目标
学习目标：
1、了解切线长，三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2、掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算
能力目标：
1、有合作，有表达，有思想，有解决问题的能力。
切线长定理教案
切线长定理教案
一、教学目标
1. 让学生掌握切线长定理，并能利用该定理进行简单的证明和计算。
2. 通过教学，让学生感受数学之美，培养学生对数学的兴趣。
3. 培养学生的逻辑推理能力和解决问题的能力。
二、教学重难点
重点：切线长定理的推导和应用。
难点：切线长定理的理解和应用。
三、教具准备
黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体课件等。
四、教学过程
1. 导入新课
（1）回顾旧知：复习圆的切线性质，为引入切线长定理打下基础。
（2）创设情境：通过生活中的实例，引出切线长定理。
2. 探究新知
（1）让学生观察、思考，尝试自己推导切线长定理。
（2）教师引导学生进行逻辑推理，得出结论。
（3）教师讲解切线长定理的证明过程，强调定理的适用条件。
（4）学生思考：切线长定理与圆的切线性质有什么联系和区别？
（5）教师总结：切线长定理是圆的切线性质的延伸和拓展，为说明线段相等提供了新的方法。
3. 巩固练习
（1）判断题：检验学生对切线长定理的理解情况。
（2）填空题：运用切线长定理进行计算。
（3) 解答题：运用切线长定理进行证明。
4. 课堂小结
（1）回顾本节课的主要内容，强调切线长定理的重要性和应用方法。
（2）鼓励学生提出问题和疑惑，进行互动交流。
（3）布置课后作业：运用切线长定理进行证明和计算。
五、教学反思
本节课通过创设情境、引导探究、讲解证明和运用巩固等环节，让学生掌握了切线长定理，并能利用该定理进行简单的证明和计算。在教学过程中，注重培养学生的逻辑推理能力和解决问题的能力，让学生通过思考、探究和交流来掌握知识，提高能力。同时，也注重培养学生的数学兴趣和审美能力，让学生感受数学之美，培养学生对数学的热爱之情。
最新人教版九年级数学上册《切线长定理》教学设计(精品教案)
24.2.2 直线和圆的位置关系——切线长定理
学情分析：
本班学生大部分基础较差，课堂注意力难持久,自控能力差。有不少学生由于怕苦怕累、懒惰、不肯动脑动手数学思维简单;形象思维难建立,抽象思维无基础,针对问题常常冲口而出,答非所问。会的嫌简单, 稍难又嫌烦,总不想动手。对于较繁的式子,较困难的图形就不于理睬,放置一旁。
因此在教学过程中，积极的引导学生参与课堂互动，让学生能够主动去观察，实验，猜想，在给予点评，分析，共同完成证明等数学活动，发展期合情推理能力和初步演绎推理能力，让学生能慢慢能有条理地、清晰的写出推理过程，掌握数学的集体技巧。
教学目标知识技能：
1.了解切线长的概念.
2.切线长定理的导出及其证明.
3.切线长定理的运用.
4.了解三角形的内切圆和三角形你内心的概念，熟练掌握并能应用.
数学思考与问题解决：
复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理，知识迁移到切线长的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形内心的概念，最后应用它们解决一些实际问题.
情感态度
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合理推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地写出推理过程.
学时重点：切线长定理及其运用.
学时难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.
教学过程：
一、让学生了解本节课的学本节课学习目标：
1.了解切线长的概念.
2.切线长定理的导出及其证明.
3.切线长定理的运用.
4.了解三角形的内切圆和三角形你内心的概念，熟练掌握并能应用.
九年级数学切线长定理教案
直线和圆的位置关系姓名
切线长定理和弦切角定理
学习目标：
1．了解切线长概念，探索过圆外一点向圆引的两条切线的切线长之间的关系；
2．了解弦切角概念，理解并掌握弦切角定理；
本节重点切线长定理的应用和弦切角定理的应用．难点探索圆的切线长定理和弦切角定理。
知识储藏
1．切线定义
和圆公共点的直线是圆的切线；
过的直线是圆的切线。
2.切线的性质：圆的切线过的半径。3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于；
4.圆周角定理的推论：
推论1、或所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的相等；
推论2、或所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是。
教材学习
1.切线长：
过圆上一点可以做条切线，过圆外一点可以做
条切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。如图，线段PA、PB的长。
2．切线长定理：
如下图，易证Rt△PAO≌Rt△
PBO，故有PA=PB，∠APO=∠BPO。
定理：从圆外一点引圆的两
条切线，他们的切线长相等，圆
心和这点的连线平分两条切线
的夹角。
3.弦切角是指顶点在圆上，一边与圆相交、另一边和圆相切的角；
4.弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
5.弦切角定理推论：如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切角也相等．
典型例题
例1．如图，P为⊙0外一点，PA切⊙0
于A，PB切⊙0于B，BC为直径，求证：
AC//0P. 变式．如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D,CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED.(1〕探索OC 与ED的位里关系，并加以证明；
(2〕假设OD=4，CD=6，求tan∠ADE
(九年级数学教案)切线长定理的教案
切线长定理的教案
九年级数学教案
课题:切线长定理
20.2.2直线与圆的位置关系(第3课时)教学设计
教学任务分析
教学目标
知识技能
(1)掌握切线长定理及其应用;
(2)了解三角形内切圆、内心的概念,会作三角形内切圆。
数学思考
(1)经历探索切线长定理的过程;
(2)体会应用内切圆相关知识解决问题,从而渗透转化思想和方程思想。
解决问题通过经历探索切线长定理的过程,发展探究意识和体会并实践“实验几何--论证几何” 的探究方法。应用内切圆知识发展解决实际问题能力情感态度通过情境景设置引发学生求知欲。通过应用内切圆相关知识解题体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决,从而树立解决问题的信心。
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第3课时切线长定理
【知识与技能】
理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.
【过程与方法】
利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.
【情感态度】
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.
【教学重点】
切线长定理及其应用.
【教学难点】
内切圆、内心的概念及运用.
一、情境导入，初步认识
探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？
学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.
分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB 经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.
二、思考探究，获取新知
1.切线长的定义及性质
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.
如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.
由此我们得到切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？
分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP ⊥AB，且OP平分AB.
2.三角形的内切圆
思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨
论来解决这些问题.
假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC三边相切.
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.
三、典例精析，掌握新知
例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）
例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O 于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.
分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.
解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.
设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+6232，解得3.∴33AOP=60°，∠APO=30°.
∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为23，两切线PA、PB的夹角为60°.
【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.
例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.
分析：∵I是内心.
∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.
∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.
又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.
∴∠ABC+∠ACB=160°.
∴∠A=180°-160°=20°.
【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.
四、运用新知，深化理解
课本第100页练习1、2题.
【教学说明】教师引导学生完成课本练习.
五、师生互动，课堂小结
这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？
【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.
1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.
本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.
后序
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