2016-2017年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考高二上学期期中数学试卷及答案

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湖北省届高三数学上学期2月七校联考试题理【含答案】

第4题图荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016届高三2月联考数学（理科）试题本试卷共4页，总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i -C.5z z ⋅=D.ziz =2. 已知集合{}2230,A x R x x =∈--<{}1B x R x m =∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A. ()3,∞+B. ()1,3-C.[)3+∞，D. (]1,3-3. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是（）A. 3y x =B. ln y x =C.sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.21y x =-- 4. 定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则55sin cos 1212ππ⎛⎫⎛⎫* ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的值为( )A. B. 34 C.14 D.5. :分）已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（） A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,86. 设实数列{}n a 和{}n b 分别是等差数列与等比数列，且1116a b ==，551a b ==，则以下结论正确的是（）A ．23a a < B ．33a b > C ．33a b < D ．23b b >7．在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，点O 在线段CD 上(与点,C D 不重合).若()1AO xAB x AC=+-，则x 的取值范围是( )A.()0,1B. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （*,,,a b c d ∈N ），则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A.227B.6320C.7825D.109359. 已知()sin cos ,f x a x b x =-若,44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则直线0ax by c -+=的倾斜角为（）A.4πB.3πC. 23πD. 34π10. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线2221x y -=的右支上的一个动点，若点P 到220y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为（） A.2B.C.D.11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A ． 12πB ．C ．48π D．12. 已知函数()f x 的图像在点()()0,x f x 处的切线方程():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域），当x x ≠时，()()()()00f x g x x x -->恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”.已知函数()2ln f x x ax x =--在(]0e ，上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为（）A.21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.211,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 21,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.21,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数()()1,422,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩，则()3f 的值为 .14. 已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为 .15. 若2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式所有的系数之和为81，则直线y nx =与曲线2y x =所围成的封闭区域面积为 .16. 已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则2AC AB BC AB AC AB AC ++⋅的最大值是______三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*23n na S n N =-∈. （I ）求数列}{n a 的通项公式；(II)设n n ab 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥P ABCD -中，直线PA ABCD ⊥平面，//,AD BC AB AD ⊥，224=4.BC AB AD BE ===（I ）求证：直线DE ⊥平面PAC .（II ）若直线PE 与平面PAC所成的角的正弦值为5，求二面角A PC D --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（I ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（III ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．附表及公式20.（本小题满分12分）已知圆()22:11,M x y++=圆()2219,N x y-+=：动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. （I）求C的方程.（II）若直线()1y k x=-与曲线C交于,R S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有OTS OTR∠=∠? 若存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()=ln,xx f x x x g xe=（I）记()()()F x f x g x=-，证明()F x在()1,2区间内有且仅有唯一实根；（II）记()F x在()1,2内的实根为0x，()()(){}min,m x f x g x=，若()() m x n n R=∈在()1+∞，有两不等实根()1212,x x x x<，判断12x x+与02x的大小，并给出对应的证明.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（I）求证：AE EB=；（II）求EF FC⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C的极坐标方程为2ρ=,正三角形ABC的顶点都在1C上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为(2,0)．（I ）求点B ，C 的直角坐标；（II ）设P 是圆2C ：22(1x y +=上的任意一点，求22||||PB PC +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-．（I ）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（II ）若()|3|f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围.荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016届高三2月联考数学（理科）试题（参考答案）一、选择题C AD C C B C A D C B D 二、填空题132, 2, 323，三、解答题17.解（Ⅰ）当2n ≥时，由23n n a S =-①，得1123n n a S --=-②，①-②即得14n n a a -=………2分,而当1n =时，1123a a =-，故112a =………3分，因而数列{}n a 是首项为12公比为14的等比数列，其通项公式为121*111,242n n n a n N --⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,故12n b n =- .………8分，数列{}n n a b +的前n 项和()()()1122112*11124112221,1233414n n n n n nnT a b a b a b a a b b n n n n N =++++++=+++++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=--∈ ⎪⎝⎭- .………12分18.法一（Ⅰ）取AD 中点F ，连接BF ，则//FD BE ，∴四边形FBED 是平行四边形，∴ FB //ED ∵直角△BAF 和直角△CBA 中，2BA CBAF BA==∴直角△BAF 直角△CBA ，易知BF AC ⊥∴ED AC ⊥………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……4分，而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .得证. ……5分（Ⅱ）由△AGD △CGE ，知23DG AD GE EC ==，∵2AB AD ==∴35EG DE ==，DG =设ED 交AC 于G ，连接PG ，则EPG ∠是直线PE 与平面PAC所成的角，sin EG EPG EP ∠==，∴3PE =，而AE 故2PA==.……7分.作GH PC ⊥于H ，由PC DE ⊥，知PC ⊥平面HDG ，∴PC DG ⊥，∴GHD ∠是二面角A PC D --的平面角 (9)分∵△PCA △GCH ，∴PA PCGH GC=，而GC ==∴PA GC GH PC ⋅==∴tan GHD ∠=，∴cos GHD ∠=，即二面角A PC D --……12分（其他方法酌情给分）法二：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系……1分.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……4分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，(2,1,)PE λ=- 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，∴sin |cos ,|PE DE θ=<>==，2λ=±∵0λ>∴2λ=，即(0,0,2)P ………8分设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=-- ………10分∴cos <n，DE >==………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --的平面角的余弦值为515………12分（其他方法可酌情给分）19.解：(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >………5分∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率18.……7分 (Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C⋅种；两人都被抽到有221C =种X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==， ………8分 123(1)287P X ===， ………9分 1(2)28P X == ………10分X 的分布列为：151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯= (12)分20.（1）得圆M 的圆心为()1,0,M -半径11;r =圆N 的圆心()1,0,N 半径2 3.r =设圆P 的圆心为(),,P x y 半径为.R 因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以1212 4.PM PN R r r R r r +=++-=+= ………3分由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2圆（左顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-. ………5分（2）假设存在(),0T t 满足OTS OTR ∠=∠.设()()1122,,,R x y S x y联立()22134120y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩ 得()22223+484120k x k x k -+-=，由韦达定理有2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①，其中0∆>恒成立， ………7分由OTS OTR ∠=∠(显然,TS TR 的斜率存在)，故0TS TR k k +=即12120y yx t x t+=--②，由,R S 两点在直线()1y k x =-上，故 ()()11221,1y k x y k x =-=-代入②得()()()()()()()()()()12121221121221211=0k x x t x x t k x x t k x x t x t x t x t x t -+++⎡⎤--+--⎣⎦=----即有()()1212212=0x x t x x t -+++③ ………9分将①代入③即有：()()222228241823462403+434k t k t k t k k--+++-==+④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =“时成立，综上所述存在()4,0T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠. ………12分（其他方法酌情给分）21.（1）解：证明：()ln x x F x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞，()11ln +x x F x x e-'=+，而()1,2x ∈，故()0F x '>，即()F x 在()1,2上单调递增，………2分又()()2121,22ln 20F F e e =-=->，而()F x 在()1,2上连续，故根据根的存在性定理有：()F x 在区间()1,2有且仅有唯一实根. ……4分（2）当01x <≤时，()ln 0f x x x =≤，而()0x xg x e=>，故此时有()()f x g x <，由（1）知，()11ln +xx F x x e -'=+，当1x >时，()0F x '>，且存在()01,2x ∈使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >. 因而()00l n ,0,xx x x xm x xx x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，……6分显然当01x x <<时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+>因而()m x 单增；当0x x >时，()=x x m x e ，()10xxm x e -'=<，因而()m x 递减；()=m x n 在()1,+∞有两不等实根12,x x ，则()()1021,,1,x x x ∈∈+∞ (7)分显然当2+x →∞时，1202x x x +>，下面用分析法给出证明.要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =，即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e--<， .……9分记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =. ()0000022212211ln =1+ln x x x x x xx x x x h x x x e e e ---+--'=+++-，记()()1t t t tt t e eϕϕ-'==，，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1+t ∈∞，时，()0t ϕ'>故()max 1t e ϕ=，而()0t ϕ>故()10t e ϕ<<，而020x x ->，从而002210x xx xe e ---<-<，因此()00000222122111ln =1+ln 10x x x x x xx x x x h x x x e e e e---+--'=+++->->，即()h x 单增.从而01x x <<时，()()00h x h x <=即01011122ln x x x xx x e--<，故1202x x x +>得证...…12分(其他方法酌情给分)22．解：（Ⅰ）由以D 为圆心DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，∴EA 为圆D 的切线依据切割线定理得2EA EF EC =⋅……2分,另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线，同样依据切割线定理得2EB EF EC =⋅故AE EB =. ……5分（Ⅱ）连结BF ，∵BC 为圆O 直径，∴BF EC ⊥ 由BF CE BE BC S BCE ⋅=⋅=∆2121得552521=⨯=BF …8分又在Rt BCE ∆中，由射影定理得542==⋅BF FC EF . ……10分23．解：（1）B 点的坐标为(2cos120,2sin120)︒︒，即()B -；C 点的坐标为(2cos 240,2sin 240)︒︒，即(1,C -． ……5分（2）由圆的参数方程，可设点(cos ,sin )(02)P αααπ≤≤，于是222222||||(cos 1)(sin (cos 1)sin PB PC αααα+=++-+++164cos αα=+-168cos()3πα=++， ……8分∴22||||PB PC +的范围是[]8,24． ……10分24．解：（1）当4a =-时，()6f x ≥，即|4||2|6x x -+-≥，即2,426x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩或24,426x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或4,426,x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩解得0x ≤或6x ≥．所以解集为(,0][6,)-∞+∞． ……5分（2）原命题等价于()|3|f x x ≤-在[]0,1上恒成立，即||23x a x x ++-≤-在[]1,2上恒成立，……8分即11x a x --≤≤-在[]1,2上恒成立，即10a -≤≤． ……10分。

湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016-2017学年高二上学期期中联考

湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016-2017学年高二上学期期中联考湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016-2017学年高二上学期期中联考命题人：袁、薛莲、熊剑、李俊芳审题人：李明富本试题卷共8页，六大题18小题。

全卷满分150分。

考试用时150分钟。

第一卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（共9分，共3小题，每小题3分）阅读下面的文章，完成1-3题。

灾异与人事葛剑雄中国自古以农立国，对水旱灾害相当敏感。

加上中国东部主要农业区受季风气候影响，大小灾害频繁，成为统治者和民众经常性的威胁。

现实的需要使中国古代对天文、气象、物候的记载和研究相当重视，并注意考察人类活动与自然变化的关系，形成了一些独特的观念，其中之一即天人感应或天人合一。

时下流行的看法都将天人合一解释为人类与自然的和谐相处，更多的是反映了时人的愿望，是对传统观念一种积极的但也是实用主义的解释。

尽管原始的天人合一观念的确包含了这样的内容，却并不是它的主体。

所谓天人合一，是指天意决定人事，而天意是通过天象或灾异来显示的。

君主是天子，由天意确定，也代表天命。

所以君主如有失德，或治理不当，或人事有悖于天意，必定会受到天象的警告或灾异的惩罚。

正因为如此，从最古老的史书开始，天象和灾异都是不可或缺的记载。

二十四史中大多有《五行志》、《天文志》、《灾异志》，但所记内容无不与朝代兴衰、天下治乱、君主贤愚、大臣忠奸相一致。

凡国之将兴，天子圣明，大臣贤能，则风调雨顺，紫气东来，吉星高照；反之则灾异频仍，天象错乱。

在这种观念的主导下，一旦出现罕见的天象或异常的气候，如日食、太阳黑子、流星、陨石、星宿异位、地震、山崩、水旱灾害等，皇帝就要换上素色服装，不吃荤腥辛辣，不近女色，迁居偏僻清静的场所，反省自己的过失，征求臣民的意见。

有的皇帝还会下罪己诏，公开承认错误，宣布改弦更张的政策。

有的虽没有具体措施，却会请求上天千万不要与天下百姓为难，一切罪责由自己担当。

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考文科数学试题及答案

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考数学（文科）试题★祝考试顺利★注意事项:1、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，{|1}A x x =≤，{2,0,2}B =-，则()U A B = ðA ．{2,0}-B ．{2,0,2}-C ．{1,1,2}-D ．{1,0,2}-2．复数2(1)1i i-+在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．从数字1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于20的概率是A ．14B ．34C ．13D ．234．在正数数列{}n a 中,12a =,且点221(,)n n a a -在直线90x y -=上, 则{}n a 的前n 项和n S 等于A ． 31n-B ．()132n--C ．132n+D ． 232n n+5．函数2()(3)ln f x x x =-⋅的大致图象为6．已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成角的度数是A ．90B ．45C ．60D ．307．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位，所得图象对应的函数A ．在区间7[,]1212ππ上单调递增B ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 C ．在区间[,]63ππ-上单调递增 D ．在区间[,]63ππ-上单调递减8．设,,a b c 均为正数，且11222112log ,()log ,()log 22a b c a b c ===，则A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．56π B ．43π C ．53πD ．23π10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p 的取值范围是A ．3748p <≤ B ．516p > C ．75816p ≤< D ．75816p <≤ 11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过点1F 及虚轴的一个端点，且点2F 到直线l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为ABCD12．数列{}n a 满足1+11,(1)(1)n n a na n a n n ==+++，且2c o s 3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =A ．294B ．174C ．470D ．304x yOAx yOB x yOC xyO D第9题图第10题图第 Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

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湖北省部分重点中学2016－2017学年度上学期高二期中考试数学试卷(理科)命题人：市49中唐和海审题人：武汉中学杨银舟一、选择题（5×12＝60分） 1. 下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2. 为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为（）A.40 B.30 C.20D.123. 已知直线⊥平面，直线m ，给出下列命题： ①∥②∥m; ③∥m④∥其中正确的命题是（）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③ 4. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为（）A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?5. 有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为 ( )A ． B ． C ． D ．6.如右图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字23tan 6DCPCα∴===0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有()A．a1>a2B．a2>a1C．a1＝a2D．a1、a2的大小不确定7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48.两条异面直线a,b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a,b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A.1条B.2条C.3条D.4条9. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④10.如图，在棱长为1的正方体—中，点在线段上运动，给出以下四个命题：①异面直线与所成的角为定值；②二面角的大小为定值；③三棱锥的体积为定值；其中真命题的个数为( )A．B．C．D．11.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为，后因某未知原因第5组数据的值模糊不清，此位置数据记为（如下表所示），则利用回归方程可求得实数的值为（）1961（A）（B）（C）（D）12.在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝， SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是，若点S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A.B. 6C.8D.二、填空题（5×4＝20分）13.已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N ②a⊥M，若b∥M,c∥a,则a⊥b,c⊥b③a⊥M，b M,若b∥M，则b⊥a④a b∩=A,c为b在内的射影，若a⊥c，则a⊥b。

湖北省部分重点中学2016-2017学年度上学期期中联考高二数学试卷(理科)参考答案

(Ⅱ)解: ＝(1,－4 ,－ ), ＝(0,－2 ,0),
24, < >= ,
所以AB与EF所成角的正切值为 . …………………(12分)
20．（1）在中，，，
，在中，
，，
可得：．
．又平面平面，平面平面，
平面，
．…………………(6分)
（2）取线段的中点，连接 , , ．
(Ⅱ)解:如图,过点A作AQ∥EF,交MP于点Q,
则∠BAQ是AB与EF所成的角,且AQ⊥平面BMQ.
在△BMQ中,由∠BMQ＝ ,BM＝MQ＝2,得BQ= 2.
在Rt△BAQ中，由AQ＝AC ＋CM＝4 ,BQ= 2,得tan∠BAQ= .
因此AB与EF所成角的正切值为 . …………………(12分)
方法二: (Ⅰ)解:如图,在平面内,过点P作PM⊥EF,点M为垂足,连结BM,则∠BMP为二面角－EF－的平面角.以点P为坐标原点,以直线PM为x轴,射线PB为z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz.
在Rt△BMC中,
由∠BCM＝ ,CB= 4,得CM= ,BM=2.
在Rt△BMP中,
又平面平面，
平面平面，平面，
平面，，
= = = ，
过点作交于，平面，
，，
，，
= = ，
= = ，
平面将三棱锥分成的两部分的体积之比 ……(12分)
21．解：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，
∴ ，为与的交点，
∴O为的中点，
又为等边三角形，
∴ ，
∵ 平面，平面，，
∵ ，∴
∵ 平面 ⊥平面，平面平面，且平面，

2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）A．12 B．11 C．10 D．92．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．4．（5分）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（）A．α和β都垂直于同一平面B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β5．（5分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．4π6．（5分）已知平面α的法向量为=（3，﹣1，2），=（﹣3，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α7．（5分）下列的算法流程图中，其中能够实现求两个正整数的最大公约数的算法有（）个．A．1 B．2 C．3 D．08．（5分）下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②相等的线段在直观图中仍然相等③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）过正三棱锥S﹣ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为（）A．B．C．或D．或10．（5分）球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的体积为（）A． B．4πC．12πD．11．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．12．（5分）已知如图1，点E，F，G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上，以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图在下列四个图（图2）中有可能的情形有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为cm3．14．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解的程序框图，要求解的精确度为ε，①处填的内容是，②处填的内容是．15．（5分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1长为3，且∠A1AB=∠A1AD=120°，则AC1=．16．（5分）棱长均相等的四面体A﹣BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．18．（12分）（1）已知如图1平面α，β，γ和直线l，若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，求证：l⊥γ；（2）已知如图2平面α和β，直线l和α，且α∩β=l，若a∥α，a∥β，求证：a∥l．19．（12分）如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α﹣EF﹣β，BP⊥平面α，点P为垂足．（Ⅰ）求△ACP的面积；（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值．20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC上，且BD=3BE，BC=2BF．（1）求证：BC⊥AD；（2）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．21．（12分）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF 为等边三角形，O为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．22．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）A．12 B．11 C．10 D．9【解答】解：∵由题意可得，（101）2=1×22+0×21+1×20=5．110（2）=1×22+1×21+0×20=6．∴5+6=11．故选：B．2．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．3．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：B．4．（5分）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（）A．α和β都垂直于同一平面B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β【解答】解：利用排除法：对于A：如图所示对于B：α内不共线的三点到β的距离相等，必须是α内不共线的三点在β的同侧．对于C：l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β，l和m不是平行直线．故选：D．5．（5分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．4π【解答】解：将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，如图所示：则BC⊥CD，BA⊥AD，OA=OB=OC=OD，三棱锥C﹣ABD的外接球直径为BD=2，外接球的表面积为4πR2=（2）2π=8π．故选：A．6．（5分）已知平面α的法向量为=（3，﹣1，2），=（﹣3，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α【解答】解：∵=﹣，∴∥，∴直线AB与平面α的位置关系为相交．故选：C．7．（5分）下列的算法流程图中，其中能够实现求两个正整数的最大公约数的算法有（）个．A．1 B．2 C．3 D．0【解答】解：①辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里得算法，算法如下：第一步，输入两个正整数m，n，第二步，m除以n的余数是r，接下来，将原来的除数作为新的被除数，原来的余数作为除数，继续上面的过程，直到余数r=0，退出程序，输出两个正整数的最大公约数m．②更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，算法如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数．若是，则用2约简；若不是则执行第二步．第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数．结合算法，模拟执行流程图，即可得解能够实现两个正整数的最大公约数的算法有3个．故选：C．8．（5分）下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②相等的线段在直观图中仍然相等③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故①错误．②相等的线段在直观图中仍然相等，不一定相等，不正确；③根据一个直角三角形绕其一个直角边边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，可得不正确；④用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，不正确．故选：A．9．（5分）过正三棱锥S﹣ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：延长BO交AC于D，则D为AC中点．截面为△SBD．由正棱锥的性质，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDC为侧面和底面所成角的平面角．设底面边长BC=2．易知SB≠SD．（1）若SD=BD，则SC=BC，正三棱锥S﹣ABC为正四面体．BD==，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB===．（2）若SB=BD=，在RT△SDA中，SD=，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB===故选：C．10．（5分）球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的体积为（）A． B．4πC．12πD．【解答】解：设OAB平面与棱l交于点C，则△OAC为直角三角形，且AB⊥OC，OC=2设OA=x，AC=y，则由等面积可得xy=∵x2+y2=4∴或时，∠ACO=30°，∠ACB=60°，满足题意，球的体积为π；时，∠ACO=60°，∠ACB=120°，不满足题意，故选：A．11．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．【解答】解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．故选：A．12．（5分）已知如图1，点E，F，G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上，以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图在下列四个图（图2）中有可能的情形有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在底面ABCD上考察，P、M、N、Q四点在俯视图中它们分别在BC、CD、DA、AB上，先考察形状，再考察俯视图中的实虚线，可判断C不可能，因为该等腰三角形且当中无虚线，说明有两个顶点投到底面上重合了，只能是Q、N投射到点A或者M、N投射到点D，此时俯视图不可能是等腰三角形．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为16πcm3．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，设圆锥的半径为r，∴有πr×5=20π⇒r=4，∴圆锥的高为=3，∴圆锥的体积为×π×r2×3=16πcm3．故答案：16πcm3．14．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解的程序框图，要求解的精确度为ε，①处填的内容是f（x1）•f（m）＜0，②处填的内容是|x1﹣x2|＜ε．【解答】解：由已知得该程序的作用是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解，①框的作用是判断零在二分区间后的哪个区间上，根据零存在定理，及判断框的“是”、“否”指向，不难得到该框是判断a，m的函数值是否异号故①框填：f（x1）•f（m）＜0；而由要求解的精确度为0.0001故可知②框是判断精度是否满足条件，以决定是否继续循环的语句，故②框应填：|x1﹣x2|＜ε故答案为f（x 1）•f（m）＜0；|x1﹣x2|＜ε．15．（5分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1长为3，且∠A1AB=∠A1AD=120°，则AC1=．【解答】解：==4+4+9+0+2×2×3×（﹣）+2×2×3×（﹣）=5．∴AC1=．故答案为．16．（5分）棱长均相等的四面体A﹣BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是．【解答】解：由题意把正四面体A﹣BCD放到正方体BK内，则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面APQ 所成角的余弦值，问题等价于平面APQ绕AP转动，当平面ACD与平面APQ所成角等于BK与AP夹角时，平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，此时该正弦值为：；当平面APQ与BK平行时，所成角为0°，此时正弦值为1．∴平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为[，1]．故答案为：[，1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f（﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f（3）=a3﹣1=7，∴a=2．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x＜0时，f（x）=﹣2x＞1，∴；②当x≥0时，f（x）=2x﹣1＞1，∴x＞1．综上满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为或x＞1}．18．（12分）（1）已知如图1平面α，β，γ和直线l，若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，求证：l⊥γ；（2）已知如图2平面α和β，直线l和α，且α∩β=l，若a∥α，a∥β，求证：a∥l．【解答】证明：（1）如图，在平面内γ任取一点P，过点P作PA⊥l1，PB⊥l2，A，B为垂足，…（1分）∵α∩γ=l1，α⊥γ，PA⊂γ，∴PA⊥α又∵l⊂α，∴PA⊥l…（3分）同理：PB⊥l…（5分）∴l⊥γ…（6分）（2）过直线a作平面γ1，γ2使得α∩γ1=l1，β∩γ2=l2…（1分）∵a∥α，α∩γ1=l1，a⊂γ1，∴a∥l1…（3分）同理a∥l2，∴l1∥l2，又l1⊂α，l2⊂β，∴l1∥β，∴l1∥l…（5分）∴a∥l…（6分）19．（12分）如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α﹣EF﹣β，BP⊥平面α，点P为垂足．（Ⅰ）求△ACP的面积；（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）如图，在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连接BM，则∠BMP为二面角α﹣EF﹣β的平面角．在Rt△BMC中，由∠BCM=30°，CB=4，得CM=，BM=2．在Rt△BMP中，由∠BMP=60°，BM=2，得MP=1．在Rt△CMP中，由CM=，MP=1，得CP=，cos∠PCM=，sin∠PCM=．=．…（7分）故sin∠ACP=sin（150°﹣∠PCM）=．所以S△ACP（Ⅱ）如图，过点A作AQ∥EF，交MP于点Q，则∠BAQ是AB与EF所成的角，且AQ⊥平面BMQ．在△BMQ中，由∠BMQ=60°，BM=MQ=2，得BQ=2．…（10分）在Rt△BAQ中，由AQ=AC•cos30°+CM=4，BQ=2，得tan∠BAQ=．因此AB与EF所成角的正切值为．…（13分）20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC上，且BD=3BE，BC=2BF．（1）求证：BC⊥AD；（2）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．【解答】（1）证明：在Rt△ADC中，AD=DC=2，AD⊥DC，∴，在△ABC中，∵∠BAC=45°，AB=4，∴BC2=AC2+AB2+2AC•AB•cos45°=，可得：，∴AC2+BC2=AB2．则AC⊥BC．又∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面ACD，得AD⊥BC；（2）解：取线段AC的中点O，连接DO，∵AD=CD，∴DO⊥AC．又∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，∴DO⊥平面ABC，，，∴V D===，﹣ABC过点E作EG∥DO交BO于G，∴EG⊥平面ABC，∵BD=3BE，∴，∵BC=2BF，∴，V A﹣EBF═=，=V D﹣ABC﹣V E﹣ABF=，∴V A﹣EFCD∴平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成的两部分的体积之比．21．（12分）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF 为等边三角形，O为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点，又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF，∵AC⊂平面ACEF，OF⊂平面ACEF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面ACEF．（Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF，∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB=2，∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），A（，0，0），F（0，0，），∵=，∴E（﹣2，0，），=（﹣，﹣1，0），=（﹣2，﹣1，），设=（x，y，z）为平面BEC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣，1），则理求得平面ECD的法向量=（1，，1），设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==，∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为．22．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，故BD=4，．又设PO=x，则，，所以O（0，0，0），P（0，0，x），，，故，所以，当时，．此时，…（6分）设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知，，则，，，．∴，，∵，∴．∴，∴．（10分）设平面PBD的法向量为，则．∵，，∴取x=1，解得：y=0，z=1，所以．…（8分）设直线OQ与平面E所成的角θ，∴=．…（10分）又∵λ＞0∴．∵，∴．因此直线OQ与平面E所成的角大于，即结论成立．…（12分）。

2017年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考高二上学期数学期中试卷与解析

2016-2017学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是（）A．16 B．12 C．8 D．42．（5分）已知全集U为R，集合A={x|x2＜4}，B=（x﹣2）}，则下列关系正确的是（）A．A∪B=R B．A∪（∁∪B）=R C．（∁∪A）∪B=R D．A∩（∁∪B）=A3．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．6 B．3 C．D．4．（5分）设l为直线，α，β为不同的平面，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，α∥β，则l∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β5．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．（5分）在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．17．（5分）已知函数f（x）=sinxcos2x，下列结论正确的是（）A．y=f（x）的图象关于对称B．y=f（x）的图象关于对称C．y=f（x）的图象关于y轴对称D．y=f（x）不是周期函数8．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则（）A．该几何体的表面积为4+2πB．该几何体的体积为πC．该几何体的表面积为4+4πD．该几何体的体积为π9．（5分）已知点P（x，y）满足过点P的直线与圆x2+y2=36相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．8 B．C．D．1010．（5分）已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A．B．2 C．D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=，判断框内填入的条件可以是（）A．n＜10 B．n≤10 C．n≤1024 D．n＜102412．（5分）钝角△OAB三边的比为2：2：（﹣），O为坐标原点，A （2，2）、B（a，a），则a的值为（）A．2 B．C．2或D．+二、填空题13．（5分）直线2x+y﹣2=0被圆x2+y2=5截得的弦长为．14．（5分）已知θ服从上的均匀分布，则2|sinθ|＜成立的概率为．15．（5分）已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2，则此四面体外接球的表面积为．16．（5分）记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令，则t的最大值为．三、解答题17．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩（单位：cm），用茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为合格，成绩在175cm以下（不含175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不含165cm）定义为“不合格”．（1）求男生跳远成绩的中位数．（2）根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，求抽取的5人中女生的人数．（3）以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率．18．（12分）已知函数f（x）=在（﹣1，+∞）是增函数．（1）当b=1时，求a的取值范围．（2）若g（x）=f（x）﹣1008没有零点，f（1）=0，求f（﹣3）的值．19．（12分）在数列{a n}中，a1=1a n+1=，n∈N*．（1）求证数列为等比数列．（2）求数列{a n}的前n项和S n．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB⊥AC．（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．21．（12分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣（x+1）+5．（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3，l4，l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．22．（10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a=，求角C．2016-2017学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是（）A．16 B．12 C．8 D．4【解答】解：在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是4．故选：D．2．（5分）已知全集U为R，集合A={x|x2＜4}，B=（x﹣2）}，则下列关系正确的是（）A．A∪B=R B．A∪（∁∪B）=R C．（∁∪A）∪B=R D．A∩（∁∪B）=A【解答】解：全集U为R，集合A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，B=（x﹣2）}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，A∪B={x|x＞﹣2且x≠2}，A错误；∁U B={x|x≤2}，A∪（∁U B）={x|x≤2}，B错误；∁U A={x|x≤﹣2或x≥2}，∴（∁U A）∪B={x|x≤﹣2或x≥2}，C错误；A∩（∁U B）={x|﹣2＜x＜2}=A，D正确．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．6 B．3 C．D．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1的图象向右平移个单位后，可得函数y=2sin[ω（x﹣）+]﹣1=2sin（ωx+﹣）﹣1的图象．再根据所得图象与原图象重合，可得﹣=2kπ，k∈z．即ω=﹣6k，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为，6故选：A．4．（5分）设l为直线，α，β为不同的平面，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，α∥β，则l∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β【解答】解：对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错；对于C，若l⊥α，l∥β，可过l作一个平面与β相交于m，则m∥l，且m⊥α，则α⊥β，故C正确；对于D，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故D错．故选：C．5．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：圆2x2+2y2=1 即x2+y2=，圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于，由于θ≠kπ，k∈Z，∴cosθ≠±1，∴＞，即圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，故直线和圆相离，故选：C．6．（5分）在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵D为OC上靠近O的一个三等分点，∴3=，又∵=λ+μ，∴=3λ+3μ，∵C为边AB上任意一点，∴3λ+3μ=1，故λ+μ=，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=sinxcos2x，下列结论正确的是（）A．y=f（x）的图象关于对称B．y=f（x）的图象关于对称C．y=f（x）的图象关于y轴对称D．y=f（x）不是周期函数【解答】解：对于函数f（x）=sinxcos2x，∵f（π﹣x）=sin（π﹣x）cos2（π﹣x）=sinxcos2x=f（x），∴f（x）关于直线x=对称，故A正确，B不正确．根据f（﹣x）=﹣sinxcos2x=﹣f（x），故函数为奇函数，它的图象关于x轴对称，故排除C．∵f（x+2π）=sin（2π+x）cos2（2π+x）=sinxcos2x=f（x），∴2π是函数y=f（x）的周期，故D错误．故选：A．8．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则（）A．该几何体的表面积为4+2πB．该几何体的体积为πC．该几何体的表面积为4+4πD．该几何体的体积为π【解答】解：由三视图可知，该几何体为上部为半径为的球，下部为半径为1，高为2的半个圆柱，球的表面积：4π×（）2=π，半圆柱的底面面积为2××π=π，半圆柱的侧面积为2×（2+π）=4+2π．几何体的表面积为：4+4π．故选：C．9．（5分）已知点P（x，y）满足过点P的直线与圆x2+y2=36相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．8 B．C．D．10【解答】解：不等式对应的平面区域为三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4）过点P的直线l与圆x2+y2=36相交于A、B两点，要使|AB|最小，则圆心到过P 的直线的距离最大，当点P在E处时，满足条件，此时OE⊥AB，此时|OE|==2，∴|AB|=2|BE|=2=8，故选：A．10．（5分）已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，∴，解得a=4，b=4，m=4，∴3，4，5，a，b这组数据的方差为：S2=[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2]=．故选：D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=，判断框内填入的条件可以是（）A．n＜10 B．n≤10 C．n≤1024 D．n＜1024【解答】解：本程序的功能是计算S=+++…+==1﹣，∵S+=，∴S=，∴1﹣=，∴=，∴k=10，即运行了10次，故可判断框内可填入的条件n≤210=1024，故选：C．12．（5分）钝角△OAB三边的比为2：2：（﹣），O为坐标原点，A （2，2）、B（a，a），则a的值为（）A．2 B．C．2或D．+【解答】解：由题意画出图象：（1）当OA：0B：AB=2：2：（﹣）时，则cos∠OBA===，因为∠OBA是内角，则∠OBA=120°，cos∠OAB====，因为∠OAB是内角，则∠OAB=45°，在△OAB中，由正弦定理得，则OB===，因B（a，a），则a=，解得a=，（2）当OB：0A：AB=2：2：（﹣）时，则cos∠OAB===，因为∠OAB是内角，则∠OAB=120°，cos∠OBA====，因为∠OBA是内角，则∠OBA=45°，在△OAB中，由正弦定理得，则OB===2，因B（a，a），则a=2，解得a=2，综上可得，a的值是或2故选：C．二、填空题13．（5分）直线2x+y﹣2=0被圆x2+y2=5截得的弦长为．【解答】解：由题意，弦心距为：=；半径为：，半弦长为：，弦长=．故答案为：．14．（5分）已知θ服从上的均匀分布，则2|sinθ|＜成立的概率为．【解答】解：θ服从上的均匀分布，区间长度为π，在此范围下满足2|sinθ|＜的θ∈[]，区间长度为，由几何概型得到所求概率为；故答案为：．15．（5分）已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2，则此四面体外接球的表面积为12π．【解答】解：若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，将此三棱锥的外接球的直径为2，故此三棱锥的外接球的半径为，故此三棱锥的外接球的表面积S=4π•3=12π，故答案为：12π．16．（5分）记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令，则t的最大值为2．【解答】解：∵，∴当时有4x+y≤2；当时，有，∴t≤2，故答案：2．三、解答题17．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩（单位：cm），用茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为合格，成绩在175cm以下（不含175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不含165cm）定义为“不合格”．（1）求男生跳远成绩的中位数．（2）根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，求抽取的5人中女生的人数．（3）以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率．【解答】解：（1）男生跳远成绩数据为偶数个，∴中位数为（cm）．…（4分）（2）女生总人数为18人，所占比例为，∴女生应抽取的人数为人．…（8分）（3）由茎叶图可知，样本中男生有8人合格，女生有10人合格．样本的合格率为=60%．∴该校五年级学生体质的合格率估计为60%．…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=在（﹣1，+∞）是增函数．（1）当b=1时，求a的取值范围．（2）若g（x）=f（x）﹣1008没有零点，f（1）=0，求f（﹣3）的值．【解答】解：（1）b=1时…（3分）∵f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，∴1﹣a＜0即a＞1．所求a的范围为（1，+∞）．…（6分）（2），∴f（x）关于点（﹣1，a）对称．即f（x）+f（﹣2﹣x）=2a…（8分）∵g（x）=f（x）﹣1008没有零点，∴a=1008…（10分）∵f（1）=0又f（1）+f（﹣3）=2×1008=2016∴f（﹣3）=2016…（12分）19．（12分）在数列{a n}中，a1=1a n+1=，n∈N*．（1）求证数列为等比数列．（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：由，得，又，∴是首项为1，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知，是首项为1，公比为2的等比数列，∴，则，则，…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，两式作差得：﹣Sn=1+2+22+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB⊥AC．（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．【解答】证明：（1）设AD中点为F连接BF、PF．∵PA=PD=AB=a，∴，∴．∴△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…（4分）又∵PF⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PF⊥面ABC，∴PF⊥AC，∴AC⊥平面PBF，AC⊥PB．…（6分）解：（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO．由（1）知EH⊥面ACD，HO⊥AC，∴∠EOH为二面角E﹣AC﹣D的平面角…（8分）．．∴．∴二面角E﹣AC﹣D的正切值为．…（12分）21．（12分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣（x+1）+5．（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3，l4，l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当k=2时，l1的方程为y=2x+7联立方程组，整理得5x2+28x+36=0设A、B为A（x1，y1），B（x2，y2）∴，，，，经过A、B两点面积最小的圆应是以AB为直径的圆，圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0．即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0所求圆的方程：…（4分）（2）设圆C1的圆心到l1的距离为d1，圆C2的圆心到l2的距离为d2，则，∴l2与圆C2相交，∵两圆的半径相等，而两弦心距相等，∴所截得的弦长相等．（3）设Q（a，b）ℓ3的方程为y=m（x﹣a）+b．l4的方程为，依题意圆C1的圆心到l3的距离为，由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）（1）或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）（2）（1）（2）对于无数多个m的值都成立∴（3）或（4）（3）（4）都无解∴Q不存在…（12分）22．（10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a=，求角C．【解答】（本题满分为10分）解：（1）f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）=，∵f（x）是偶函数，∴…（2分）∵B∈（0，π），∴…（4分）∴，∴．…（6分）（2）∵，由正弦定理得：，…（8分）∵a＜b，∴，∴从而．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016届高三2月联考文科数学试题

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016届高三2月联考数学（文科）试题本试卷共4页，总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}|lg(2)A x y x ==-，集合{}|22B x x =-≤≤，则A B = （）A ．{}|2x x ≥-B ． {}|22x x -≤<C ．{}|22x x -<<D ．{}|2x x <2．已知()2,a ib i a b R i +=+∈，其中i 为虚数单位，则=-b a （） A ．3- B ．2- C ．1- D ．13．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（） A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里 4．已知p ，q 是两个命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知函数)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则下列结论中正确的是（）A ．函数)()(x g x f y ⋅=的最小正周期为π2B ．函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为2C ．将函数)(x f y =的图象向左平移2π单位后得)(x g y =的图象D ．将函数)(x f y =的图象向右平移2π单位后得)(x g y =的图象6．已知抛物线2x =-的焦点与双曲线1422=+y a x 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A ．25B ．5C D7．设曲线x a y sin 12+=（R a ∈)上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为（）A B C D8A ．7B ． 12C ． 17D ．19 9．如图，在正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111C D A B 内的一个动点，则三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A ．1B ．2C ．21 D ． 4110．已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数)()12(2x f x f y -++=λ只有一个零点，则实数λ的值是（） A ．14 B ． 81 C ． 87- D ．83-11．已知 a ,bb a -与a 的夹角为6π，则b a -与b 的夹角为（） A.4π B. 3π C. 3π或32π D. 4π或43π 12．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<++>--=)0(1)0(2ln )(2x a x x x x x a x f 的最大值为)1(-f ，则实数a 的取值范围（） A ． ]2,0[2e B ．]2,0[3e C ．]2,0(2e D ．]2,0(3e二.填空题: （本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．一只蜜蜂在一个半径为3的球体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与球的表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．14．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x -的取值范围是________． 15．已知抛物线方程为x y 42-=，直线l 的方程为042=-+y x ，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则n m +的最小值为． 16．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若42-=-k S ，0=k S ，82=+k S ，则k＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且ca Cb B +-=2cos cos ．（1）求角B 的大小；（2）若13=b ，4=+c a ，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110)，140)，[140（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？100 110 120 130 140 150 分数男生 100 110 120 130 140 150女生E附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19．（本小题满分12分）如图，空间几何体BCF ADE -中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，DC AD ⊥，4,2====EF DE AD AB ，M 是线段AE 上的动点．（1）试确定点M 的位置，使AC //平面MDF ，并说明理由；（2）在（1）的条件下，平面MDF 将几何体BCF ADE -分成两部分，求空间几何体DEF M -与空间几何体BCF ADM -的体积之比； 20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆1222=+y x 的四个顶点分别为2121,,,B B A A ,左右焦点分别为21,F F ，若圆C ：222)3()3(r y x =-+-(30<<r )上有且只有一个点P 满足521=PF PF ，（1）求圆C 的半径r ；（2）若点Q 为圆C 上的一个动点，直线QB 交直线22B A 于点E ,求11EB DB 的最大值；21．（本小题满分12分）已知函数x e a x x f )1()(2+-=（R a ∈)mn n m ≥++1，（1）求实数a 的取值范围；（2）当∈x []2,0时，设函数)(x mf y =的最大值为)(m g ，求)(m g ；24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()214f x x x =+--．（1）解不等式：()f x ＞0；（2）若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016届高三2月联考文科数学参考答案一、二、填空题：13、278 14、 []0,3- 15、1556- 16、6三、解答题：17. 试题解析：（1）∵c a C b B +-=2cos cos ，由正弦定理得:CA CB B sin sin 2cos sin cos +-=，2分∴0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A ,∵π=++C B A , ∴0sin cos sin 2=+A B A ， 4分 ∵,0sin ≠A ，∴21cos -=B ， 5分 ∵π<<B 0，∴32π=B ． 6分（2）将13=b ，4=+c a ,32π=B 代入B ac c a b cos 2222-+=，即B ac ac c a b cos 22)(22--+=， 8分 ∴)211(21613--=ac ，可得3=ac ， 10分于是， 343sin 21==∆B ac S ABC 12分 19. 试题解析：(1)解：由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05 = 3(人)，记为A 1，A 2，A 3；女生有40×0.05 = 2 (人)，记为B 1，B 2 2分从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2) 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，4分故所求的概率53106==P6分(2)解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生 60×0.25 = 15(人)，女生40×0.375 = 15(人)7分据此可得2×2列联表如下：9分所以得222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯ 11分因为1.79 < 2.706.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”． 12分20.试题解析：（Ⅰ）当M 是线段AE 的中点时，AC//平面MDF ，证明如下： 1分连结CE 交DF 于N ，连结MN ，由于M 、N 分别是AE 、CE 的中点，所以MN//AC ，又MN 在平面MDF 内， 4分所以AC//平面MDF 6分（Ⅱ）将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －CF B '，三棱柱ADE －CF B '的体积为=V S △ADE ·CD=842221=⨯⨯⨯ 8分则几何体ADE －BCF 的体积32022221318=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-=-='-'--　V V V CB B F CF B ADE BCF ADE 三棱柱 10分又三棱锥F －DEM 的体积341422131=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=-　V DEMF 三棱锥 11分 ∴ 两几何体的体积之比为34：（34320-）=41 12分 21. 试题解析：：（1）依题意得，),0,1(),0,1(21F F - 设点),(y x P ，由521=PF PF 得：5)1()1(2222=+-++yx y x ，化简得45)23(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以点)0,23(为圆心，25为半径的圆， 3分又∵点P 在圆C 上并且有且只有一个点P ，即两圆相切，当两圆外切时，圆心距)3,0(525253∈=⇒+=r r ，成立当两圆内切时，圆心距)3,0(5225253∉=⇒-=r r ，不成立 ∴5=r 5分（2）设直线1QB 为1-=kx y ，由511332≤+--=k k d 得,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈211,21k 6分联立⎩⎨⎧=+-=22122y x kx y ，消去y 并整理得：04)12(22=-+kx x k ，解得点D 的横坐标为1242+=k k x D ， 7分把直线1QB ：1-=kx y 与直线22B A :22=+y x 联立解得点E 横坐标1222+=k x E 8分所以221222112122121112121122222211+=++≤+-+-+=+-+=++==k k k k k k k x x EB DB E D 11分(∵求最大值，显然12-k 为正才可能取最大，) 当且仅当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=211,21221k 时，取等号，∴11EB DB 的最大值为221+； 12分22. 试题解析：（1）0令0)(='x f 得，0122=+-+a x x 1分由题意：△04)1(44>=--=a a 即0>a ， 2分且)(,1,2n m a mn n m <-=-=+， ∵mnn m ≥++1，∴31≤-a ，∴40≤<a ， 4分（2）又∵0)12()(2=+-+='m e a m m m f ，∴122++=m m a ， 6分 ∴41202≤++<m m ∴1m 13-≠≤≤-且m ，又∵n m <，∴13-<≤-m 8分x x e m m x m e a x m y )2()1(222--=+-=x x e m x m x m e m m x x m y )2)(()22(22++-=--+='①当23-<≤-m 时，)(x mf y =在[]2,0--m 上递增，[]2,2--m 在上递减， ∴当2--=m x 时，22max )42()(--+==m e m m y m g 10分 ②当12-<≤-m 时，)(x mf y =在[]2,0上递减，∴当0=x 时，23max 2)(m m y m g --==， ∴⎩⎨⎧-<≤----<≤-+=--12,223,)42()(2322m m m m e m m m g m 12分24.试题解析：（Ⅰ）当4,()21(4)50,5,4x f x x x x x x ≥=+--=+>>-≥时得所以成立 2分当14,()2143301,142x f x x x x x x -≤<=++-=->><<时得所以成立 4分当1,()5052x f x x x <-=--><-时得，所以5-x ＜成立综上，原不等式的解集为{}　x ＜x ＞x 51-或 6分（Ⅱ）9)82(12421243)(=--+≥-++=-+x x x x x x f 9分当421≤≤-x 时等号成立所以，9≤m 10分。

湖北省七校(荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等)2016-2017学年高二下学期期中联考数学(理)试题

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高二年级4月期中联考数学试题（理科）命题学校：夷陵中学命题人：曹俊松审题人：尹国江考试时间：2017年4月21日上午8:00—10:00一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上填涂所选答案的序号）1．若向量，且，则实数的值分别为（）A．B． C.D．2．已知条件，条件，则q是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．某中学高二年级组采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．104. 随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm) 160 165 170 175 180体重y(kg) 56 61 65 69 74由上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172cm的男生的体重大约为（）A．65.8kg B．66.3kg C．66.8kg D．67.3 kg5. 如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14 B．15C．16 D．176．的展开式中项的系数为（）A. 45B. 72C. 60D. 1207. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则等于（）A. B. C. D.8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是某数学教师利用刘徽“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的值为( )．（参考数据：）A. 6B. 12C. 24D. 489. 某数学爱好者设计了一个商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系，则商标的边缘轮廓AOC恰是函数的图像的一部分，边缘轮廓线AEC恰是一段所对圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率为（）A. B.C. D.10. 设事件A在每次试验中发生的概率相同，在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为（）A． B. C. D.11. 下列说法中：①4是数据4,6,7,7,9,4的众数；②如果数据的平均数为3，方差为0.2，则的平均数和方差分别为14和1.8；③用辗转相除法可得228与1995的最大公约数为57；④把四进制数化为二进制数是；⑤已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的比值正确说法的个数为（）A．2 B. 3 C. 4 D. 512．已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（）A.且B.且C.且D.且二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷横线上）13. 若实数数列：成等比数列，抛物线的焦点坐标是；14. 已知随机变量ξ服从正态分布，且，则；15. 7个身高各不相同的人排成一排照相，高个子站中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也一个比一个矮，则共有________种不同的排法(结果用数字作答)．16.平面内两定点和，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①，使曲线E过坐标原点；②对，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P，M，N三点不共线，则周长的最小值为；⑤曲线E上与M，N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积不大于m.其中真命题的序号是．(填上所有真命题的序号)三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）清华大学在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取某学校高三年级40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得复试资格．（Ⅰ）求出第4组的频率，补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数（结果用四舍五入法精确到1分）；（Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？18. （本小题满分12分）每年9月20日是全国爱牙日，某课题小组调研学生“常吃零食与患龋齿的关系”，他们对该校高一部分班级的800名新生进行调查，按患龋齿和不患龋齿分类，得调研数据为：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名。

湖北省普通高中联考协作体高二数学上学期期中试题文(

湖北省普通高中联考协作体2016-2017学年高二数学上学期期中试题文（扫描版）2016年秋季湖北省普通高中联考协作体期中考试高二文科参考答案及评分细则一、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D C B A A A B B D A二、13、5 14、5800 15、102116、10 三、17、解：AC 与:250BH x y --=垂直，故AC 的斜率为12-，又点A 的坐标为（1，2），∴直线AC 的方程为：12(1)2y x -=--，即250x y +-=.（4分）由250(5,0)250x y C x y +-=⎧⎨--=⎩解得.（8分），AC ∴==故AC边的长为（10分）18、设顶点C 的坐标为(,)x y 在ABC ∆中，因SinB =，b ∴=，即AC .（2分）化简得：22610x y x +-+=.（4分）故轨迹T 的方程22610(0)x y x y +-+=≠.（5分）∴T 是以点（3，0）为圆心，（除去与x 轴的两个交点），其圆心（3，0）到直线5y x =-的距离为d ，（6分）设所求过点(0,1)p 的直线方程为1y kx =+.=，解得：7k =-或1k =.（9分）71y x ∴=-+或1y x =+.又直线过(3M -和(3N +时，也满足题意，又求得直线PM 的方程为(330x y +--+=，PN的方程为(330x y ++--=（11分）.故所求直线方程为710x y +-=或10x y -+=或(330x y +--+=或(330x y ++--=.（12分）19. 解：（1）由（0.003+0.005×2+0.011+2a+0.018+0.021+0.007+0.002）×10=1得0.014a =，依题意有：1200(0.0180.0210.0140.0070.0050.002)10804⨯+++++⨯=.故本次期中考试数学成绩在90分以上（包括90分）的人数约为804人.（4分） (2)设本次期中考试数学成绩的中位数为x ，因前5组的频率之和为0.03+0.05+0.11+0.14+0.18＝0.51>0.5，90100x ∴<<.（5分）0.030.050.110.140.18(90)0.18(100)0.210.140.070.050.02x x ∴++++-=-+++++解得97.28x ≈.故本次期中考试数学成绩的中位数约为97.28分.(8分)（3）数学成绩的平均分x =55×0.03+65×0.05+0.11×75+85×0.14+95×0.18+105×0.21+115×0.14+125×0.07+135×0.05+145×0.02=1.65+3.25+8.25+11.9+17.1+22.05+16.1+8.75+6.75+2.9=98.7. 故本次期中考试数学成绩的平均分约为98.7.（12分）20、解：(1) ABC ∆中，因222(1),sin A sin B =由正弦定理可得222(1).a b =又b c =，由余弦定理可得22222cos 2(1cos )a b c bc A b A =+-=-cos A A =，tan A ∴=.又0A π<<，6A π∴=.（4分）.又在ADC ∆中，4,AC b AD ===，由余弦定理得2224()244m =+-⨯⨯=，而0m >，2m ∴=.（6分）（2）由（1）知，131,5a a ==.（7分）又{}n a 为等差数列，∴公差312.2a a d -== 12(1)21n a n n ∴=+-=-.（9分）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +∴==--+-+.（10分） 111111(1)()()23352121n S n n ⎡⎤∴=⨯-+-++-⎢⎥-+⎣⎦11(1)22121n n n =⨯-=++.（12分） 21、（1）证明：ABEF 为正方形，AF EF ∴⊥.又AD = DF ＝2， AF ＝4，222DF AF AD ∴+=， ∴AF DF ⊥.又DFEF F =， AF ∴⊥平面DCEF.又AF ⊂平面ABEF, ABEF ∴⊥平面平面EFDC .（4分）（2）证明：法1：取AB 的中点H，连结HG,CH,BF. 作DO EF ⊥，CM EF ⊥，O ，M 为垂足. ABCD 为正方形，G 为其中心，∴BF 经过点G 且G 为BF 的中点，HG ∴∥AF .又HG ⊄平面ADF ，HG ∴∥平面AFD .060DFE ∠=，2DF =，.1,OF DO ∴==同理可得EM=1，CM =.∴DO ∥CM ，DO CM =,故DOMC 为平行四边形.DC ∴∥EF ，且2DC OM ==.又AB ∥EF ，且AB EF =,∴ CD ∥AH ，且CD AH =，故ADCH 为平行四边形. CH ∴∥AD ，又CH ⊄平面ADF ，CH ∴∥平面AFD .而HG HC H =，∴平面CGH ∥平面ADF ，又CG ⊂平面CGH ，CH ∴∥平面ADF .法2：取AF 的中点N,连DN ，BF,NG.因G 为正方形ABEF 的中心，∴BF 过点G,且G 为BF 中点，GN ∴∥AB ，且122GN AB ==，由法1知DC ∥GN ，且DC GN =.故四边形DCGN 为平行四边形.CG ∴∥DN .又CG ⊄平面ADF ，DN ⊂平面ADF ， CG ∴∥平面ADF .（8分）（其它证法酌情给分）.（3）解：分别作OQ AB ⊥，MR AB ⊥，,Q R 为垂足，边结DQ 、CR .由（1）、（2）知：ABCD FE D AQOF DOQ CMR C BEMR V V V V ----=++112144222=⨯⨯⨯⨯=，故此五面体的体积为3.（12分） 22、解：（1）设1(,0)C a ，则1C 到直线3470x y -+=的距离为375a d r +==，（1分）又223a r +=.2294249325a a a ++∴+=. 2821130a a ∴-+=.1a ∴=或138a =.（2分）又213r π<，213r π∴<. 2133a π∴+<. 2133 1.2a ππ-∴<<. 而131.58>. 1a ∴=. 故圆1C 的方程为22(1)4x y -+=.（4分）（2）可知直线1y kx =+经过圆1C 内的点（0，1），故该直线必与圆1C 有两个交点A ,B. 由221(1)4y kx x y =+⎧⎨-+=⎩可得22(1)(22)20k x k x ++--=，则122221k x x k -+=-+， 12221x x k =-+.（5分）1212OA OB x x y y ∴⋅=+＝221212222(1)()1211k kk x x k x x k-++++=--++ 22231k k +=-++ （7分）令221,()1(1)22t tt k f t t t t =+==+--+，0,1k t >∴>. 1()2f t t t∴=≤=+-当且仅当t =1k =时等号成立.故OA OB ⋅2.（9分）（3）设000(,)(0)R x y y ≠，则2200(1)4x y -+=，又可得(1,0),(3,0)M N -.故直线RM 的方程为00(1)1y y x x =++， 00(,)1y p o x ∴+.又直线RN 的方程为00(3)3yy x x =--， 003(0,)3y Q x -∴-.故圆2C 的方程为200003()()013y y x y y x x +-+=+-，即2200003()3031y yx y y x x ++-+=-+. 当0y =时，x =2C过定点(和，而点在圆1C 的内部，故当点R 变化时，以PQ 为直径的圆2C 总是经过圆1C内部的定点.（12分）。

湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考数学理试题-Word版含答案 (1)

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考数学 (理科) 试题命题学校：襄阳五中命题人：万小刚、莫金涛、王洪涛审题人：肖计雄、谢伟第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则22z z-的共轭．．复数是 A.13i - B.13i + C.13i -+D.13i --2.设集合{}2A x x =<，{}|21,xB y y x A ==-∈，则A B =A.(,3)-∞B.[)2,3 C.(,2)-∞ D.(1,2)-3.已知α为第四象限角，1sin cos 5αα+=，则tan 2α的值为 A.12- B.12 C.13- D.134.有一长、宽分别为50m 、30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是 A.34 B.38 C.316πD.12332π+5.抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是A.1B.12C.6.函数2ln y x x =-的图像为A B C D7.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A.1763B.1603 C.1283D.328.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为5、2，则输出的n =A.2B.3C.4D.59.设随机变量η服从正态分布),1(2σN ，若2.0)1(=-<ηP ，则函数3221()3f x x x x η=++没有极值点的概率是A.0.2B.0.3C.0.7D.0.810.已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点A.48(,)99B.24(,)99C.(2,0)D.(9,0)11.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2(1,2,10)i i m AB AP i == ，则1210m m m +++ 的值为第7题图第8题图A. B.45C. D.180 12.已知函数[](2)1,(02)()1,(2)x x x f x x ⎧--≤<=⎨=⎩ ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．设*n N ∈，定义函数()n f x ：1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，， 1()(())(2)n n f x f f x n -=≥，则下列说法正确的有①y =2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②设{}0,1,2A =，{}3(),B x f x x x A ==∈，则A B =；③201620178813()()999f f +=；④若集合[]{}12(),0,2M x f x x x ==∈，则M 中至少含有8个元素．A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.8(x 的展开式中，4x 的系数为__________． 14.某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x 、y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则该学校今年计划招聘教师最多__________人．15.已知函数2()2sin()12f x x x x π=-+的两个零点分别为m 、()n m n <，则x =⎰_________．16.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8 ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（Ⅰ）7S =__________；（Ⅱ）若2017a m =，则2015S =__________．（用m 表示）三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数3cos sin 2sin 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈．（Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．第11题图x18．（本小题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[]80,100之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[]80,100之间的试卷中任取 3 份分析学生情况，设抽取的试卷分数在[]90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ，2AB AC PA ===， ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值．20．（本小题满分12分）如图，曲线Γ由曲线)0,0(1:22221≤>>=+y b a by a x C 和曲线)0,0,0(1:22222>>>=-y b a by a x C 组成，其中点21,F F 为曲线1C 在圆锥曲线的焦点，点43,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若)0,6(),0,2(32-F F ，求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C 、D ，求△CDF 1 面积的最大值． 21．（本小题满分12分）设13ln )4()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=++y x 垂直.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对于任意的),1[+∞∈x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）求证：()())(341416)14ln(*1N n i i in ni ∈-+≤+∑=．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为26cos 10ρρθ-+=．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；（Ⅱ）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围． 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()223f x x a x =-++，()|23|2g x x =-+．（Ⅰ）解不等式()5||<x g ；（Ⅱ）若对任意R x ∈1，都存在R x ∈2，使得()1x f =()2x g 成立，求实数a 的取值范围．荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三二月联考试题理科数学参考答案13.56-14.1015.2π16.（Ⅰ）33 （Ⅱ）1m - 三、解答题17.（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x xx x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤∴函数()f x 的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径4r =， sin 2323a b A B r r ======……………………8分 1cos 33A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin222ABCS ab C∆∴==⨯=分18.（Ⅰ）由茎叶图知分数在[50,60)的人数为4人；[60,70)的人数为8人；[70,80)的人数为10人.∴总人数为4320.012510=⨯………………………………….3分∴分数在[80,100)人数为32481010---=人∴频率为1053216=…….5分（Ⅱ）[80,90)的人数为6人；分数在[90,100)的人数为4人X的取值可能为0,1,2,336310201(0)1206CP XC====2164310601(1)1202C CP XC====1264310363(2)12010C CP XC====3431041(3)12030CP XC====…………………………………10分（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB AC⊥，所以,,AP AB AC两两垂直，以,,AB AC AP分别为x、y、z，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E-，所以(2,0,2)PB=-，(2,2,2)PD=--，(2,2,0)BC=-，设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PMλλλ=--，所以(2,2,22)Mλλλ--，(12,12,22)MEλλλ=+--，易得平面ABCD的法向量(0,0,1)=m．设平面PBC的法向量为(,,)x y z=n，由0BC⋅=n，0PB⋅=n，得220,220,x yx z-+=⎧⎨-=⎩令1x=，得(1,1,1)=n．因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，D所以|c o s ,||M E M E <>=<> m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ，所以|22||λ-=，解得λ=λ=综上所得：PM PD 分 20.（Ⅰ）2222223620416a b a a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩则曲线Γ的方程为()22102016x y y +=≤和()22102016x y y -=>…………………….3分（Ⅱ）曲线2C 的渐近线为b y x a =± ,如图，设直线():bl y x m a=-则()()22222222201b y x m a x mx m a x y a b ⎧=-⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩ ()()()22222242420m m a a m m ∆=-⋅⋅-=->⇒<<又由数形结合知m a ≥，a m ∴≤<设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则1222122x x m m a x x +=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩，12022x x m x +∴==，()002b b my x m a a =-=-⋅00b y x a ∴=-，即点M 在直线by x a=-上。

数学(理)湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016-2017学年高二上学期期中联考试题

2016年“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学（理）试题一、选择题1.在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4，12－4＝8，8－4＝4，由此可以看出12与16的最大公约数是：（）A.16B.12C.8D.42.已知全集为R，集合，则下列关系正确的是（）A.B.C.D.3.已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A.6B.3C.D.4.设为直线，为不同的平面，下列命题正确的是（）A.若B. 若C. 若D. 若5.直线与圆的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定6.在△中，为边上任意一点，为上靠近的一个三等分点，若，则的值为（）A.B.C.D.17.已知函数，下列结论正确的是（）A.的图象关于对称 B.的图象关于对称C.的图象关于轴对称 D.不是周期函数8.已知某空间几何体的三视图如图所示，且俯视图是一个半圆内切一个小圆（）A.该几何体的表面积为B.该几何体的体积为C. 该几何体的表面积为D. 该几何体的体积为[来源:学科网ZXXK]9.已知点满足过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（）A.8B.C.D.1010.已知一组数据的平均数是4，中位数是，，从这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么这组数据的方差为（）A.B. 2C.D.11.执行如图所示的程序框图，若输出的，判断框内填入的条件可以是（）A.B.C.D.12.钝角△三边的比为为坐标原点，，则的值为（）A.B.C.或D.二、填空题13.直线被圆截得的弦长为 .14.已知服从上的均匀分布，则成立的概率为 .15.已知四面体各面都是直角三角形，且最长棱长，则此四面体外接球的表面积为 .16.记为两数中的最小值，当正数变化时，令，则的最大值为 .三、解答题17.(12分)某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩（单位：cm），用茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为合格，成绩在175cm以下（不含175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不含165cm）定义为“不合格”.（1）求男生跳远成绩的中位数.（2）根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，求抽取的5人中女生的人数.（3）以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率.18.（12分）[来源:学#科#网] 已知函数在是增函数.（1）当时，求的取值范围.（2）若没有零点，的值.19.（12分）在数列中，.（1）求证数列为等比数列.（2）求数列的前项和.20.（12分）D在四棱锥中，平面平面，，是矩形，是的中点.（1）求证：.（2）求二面角的正切值.[来源:]21.（12分）已知圆与圆，过点作两条互相垂直的直线.（1）若时，设与圆交于两点，求经过两点面积最小的圆的方程.（2）若与圆相交，求证：与圆相交，且被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.（3）是否存在点，过的无数多对斜率之积为1的直线，被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.若存在求的坐标，若不存在，说明理由.22.(10分)在△中，三个内角所对的边分别为，已知函数是偶函数，且.（1）求.（2）若，求角.[来源:学.科.网Z.X.X.K]2016年“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学（理）试题参考答案一、选择题12.由题设知，三角形的三内角为120°，45°，15°，且；或.二、填空题13.14.15.16. 216.当时有当时，有三、解答17.（1）男生跳远成绩数据为偶数个中位数为（cm）…………………………（4分）（2）女生总人数为18人，所占比例为女生应抽取的人数为人.………………………………（8分）（3）由茎叶图可知，样本中男生有8人合格，女生有10人合格.样本的合格率为＝60﹪.该校五年级学生体质的合格率估计为60﹪.……………………（12分）18.（1）时…………………………（3分）在上是增函数即.所求的范围为.……………………（6分）（2）关于点对称.即……………………………………（8分）没有零点………………………（10分）又……………………………………………………（12分）另：本题也可以先求再求.19.（1）即是公比为2的等比数列……………………………………（5分）（2）时，.是首项为1，公比为2的等比数列………………………………（7分）…………………………（10分）F……………（11分）…………………………（12分）20.（1）设中点为连接..△∽△……………（4分）又，又平面平面.平面平面面平面………………（6分）（2）过作，交于，过作，交于，连接.由（1）知面，为二面角－－的平面角……………………（8分）..…………………………（12分）（法二：可利用三角形重心的性质，可得：二面角大小与相等）21.当时，的方程为联立方程组，整理得设为，[来源:学#科#网]经过两点面积最小的圆应是以为直径的圆，圆的方程为.即所求圆的方程：……………………（4分）（2）设圆的圆心到的距离为，圆的圆心到的距离为，则与圆相交两圆的半径相等，而两弦心距相等，所截得的弦长相等.（3）设的方程为.的方程为，依题意圆的圆心到的距离为由得（1）或（2）（1）（2）对于无数多个的值都成立（3）或（4）（3）（4）都无解不存在……………………（12分）22.（1）是偶函数…………………………（4分）………………（6分）（2）由正弦定理得：………………（8分）从而…………………（10分）。

湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二数学上学期期中试题文

1湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017-2018学年高二数学上学期期中试题文A ． 1B ． 3 5C ． 3D ． 175本试卷共 22 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★7．已知圆 C 的半径为 2，且与 x 轴和直线 y 准方程可能是（）A ． (x 2)2 ( y 2 3)2 4B ． (x 2 3)2 ( y 2)2 4C ． (x 2)2 ( y 2 3)2 4 3x 都相切，则圆 C 的标第 8 题开始 S=0，k=1 k=k ＋1 ＋注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

D ． (x 2 3)2 ( y 2)2 4 8．执行如图所示的程序框图，若输出的S40，则判断框内应S=S 2k否2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

A ． k 4? C ． k 6?B ． k 5?D ． k 7?是输出 S 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

9．曲线 y 4 x 2 与直线 y k (x 2) 3 有两个不同的公共点，结束4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

则实数 k 的取值范围是（）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目A ． 5 k 3B ． 0 k 5C ． 5k 1 D ． k5要求的。

12 4 1212 2121．设集合 A x x 20， B 1,0,1,2，则 A B （）10．已知 a b ，且 a 2 sin a cos 1 0,b 2 sin b cos1 0 ，则连接两点 (a ,a 2 ) ， (b , b 2 ) 的直线与单位圆的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定 A ． 0,1,2B ． 2C ． 1,2D ．1, ,1,211．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示 ,则该几何体的表面积为 2．若直线 l 1 : ax 8 y 1 0 与直线 l 2 : 2x ay 3 0 平行，则 a （）（）A. 4B. 4C. 4 或 4D. 03．若直线 a 不平行于平面，则下列结论成立的是（）A ．内的所有直线都与直线 a 异面B ．内不存在与 a 平行的直线C ．内的直线都与 a 相交D ．直线 a 与平面有公共点 A ．6+ 37 C ．8+ 37 B ．7+ 3 D ．8+ 34．已知圆 C 1 : ( x1) 2( y 4)225 ，圆 C 2 : x 2y 24x 4 y 2 0 ，试判断圆 C 1 与圆 C 2 的位置关系是（） A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．不能确定12．设函数 f ( x ) 的定义域为 R ，其图像是连续不断的光滑曲线，同时满足两个条件①对任意 x R , 有 f ( x ) f ( x ) 2x ，②对任意 x 1, x 20,,且x 1 x 2时，总有 f (x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2 成立。

湖北荆州中学襄阳五中黄冈中学夷陵中学等七校高二期中联考4月质检数学理试题 word版含答案

1图 2016春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学（理）试题命题学校：命题人：审题人：一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，“点M 的坐标满足方程04=+y x ”是“点M 在曲线x y 162=上”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在线性回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系的把握程度越大；④数据1,2,3,4的标准差是数据2,4,6,8的标准差的一半。

其中真命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数,log )(2x x f =若在[]8,1上任取一个实数,0x 则不等式2)(10≤≤x f 成立的概率是（） A ．41 B ． 31C ．72D ．21 4．设随机变量),,3(~2σN X 若,3.0)(=>m X P 则=->)6(m X P ( )A ．0.4B ．0.6C ．0.7D ．0.85．执行如图1所示的程序框图，如果输入的 [2,2]t ∈-，则输出的S 属于 ( )A ． [6,2]--B ． [5,1]--C ． [4,5]-D ． [3,6]-6．由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )A ．103B ．4C ．163D ．67．已知抛物线22(0)y px p =>上一点M (0x ,4) 到焦点F 的距离|MF |＝540x ，则直线 MF 的斜率MF k = ( ) A ．2B ．43C ．34D ．128．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的右焦点为F ，短轴的一个端点为,M 直线043:=-y x l 交椭圆E 于B A ,两点，若,4=+BF AF 点M 到直线l 的距离不小于,54则椭圆E 的离心率的取值范围是（） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0B ．⎥⎦⎤⎝⎛43,0C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,439．若函数x x x f -=331)(在区间()a a ,262-上有最大值，则实数a 的取值范围为（） A ． ()5,1- B ． (]5,1-C ． ()2,1-D ．(]2,1-10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P ，过双曲线中心的直线交双曲线于B A , 两点，记直线PB PA ,的斜率分别为21,k k （21,k k 均不为零），当2121ln ln 4k k k k ++最小时，双曲线的离心率为（） A ．5B ．2C ．22+D ．311．若函数)(ln )(ax x x x f -=在区间),0(e 上有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是( ) （ e 是自然对数的底数） A ．)21,21(e B ．)21,0( C ．),21(+∞eD ．)21,1(e12．已知xe axx x x f +=ln )(（e 是自然对数的底数，a 是大于1的常数），设1>m ，则下列正确的是（）A ．)14()1()2(21)1(4++>>++m mf m m f m m m mfB ．)14()1()2(21)1(4++<<++m mf m m f m m m mf C ． )14()1(1)1(4)2(2++>++>m mf m m m mf m f m D ． )14()1(1)1(4)2(2++<++<m mf m m m mf m f m 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在答题卷的相应位置上．13．双曲线()501642222<<=--m my m x 的焦距为 _________________ . 14．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1446)( （t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）紧急刹车至停止。

数(理)答案

2017年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考理科数学试题评分标准及参考答案11．详解：由()110a x y a -+++=得：()x a x y +-++=110令{{101102x x x y y +==-⇒-++==-，即直线l 过定点(,)P --12，显然当AP l ⊥时，||Maxd AP =，此时由AP l ⊥可得53a =另解：d =()()222216162420d a d a d -+++-=①若2160d -=则4d =，此时712a =；②若2160d -≠，由25200213d d ∆=-≥⇒<≤综上所述，Max d =，此时53a = 12．详解：如图，①当102x ≤≤时，点P 在线段AE上运动，且P 与Q 关于点O对称，此时 111111122()2()33223P OA COA C V V S h xx -∆==⋅⋅=⋅⋅=；②当1122x <≤+P 在线段EF 上运动，此时 111111122()2(33246P OA C OA C V V S h -∆==⋅⋅=⋅⋅=；③当11222x +<≤+时，点P 在线段FC 上运动，此时 111111122()2[)](1)3322232P OA C OA C V V S h x x -∆==⋅⋅=⋅+-=⋅+-二、填空题（5′×4＝20′）： 13．(0,2)； 14．3； 15．92π16．115- 【填2)5建议也给分】 B11D 115．详解：(法一）易知三棱锥A-BCD中，则正方体的外接球即为此三棱锥的外接球．(法二）由已知，60BAD ∠=，菱形ABCD且折起后AC =设B C D ∆外接圆圆1O 的半径为r ，则由正弦定理得，22sin 60r ==，∴1r =，则三棱锥的高h =设外接球半径为R ，则222()R h R r =-+，即2221R R =-++，得R =，则该球的表面积为92π． 16．详解：如图建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,1),(1,1)B D C ，直线BD 的方程为：220x y +-=，则圆C 的半径= ∴圆C ：221(1)(1)5x y -+-=；由AP AB AD =+λμ得：20012AP =+=(,)(,)(,)λμλμ即2P (,)λμ，又2P (,)λμ在圆C 上，∴2||AP =22(2)λμ+，,表示圆C 上动点P 到原点A距离的平方，∵||||5Min AP AC R =-=，∴2211||)55Min AP -==即22(2)λμ+的最小值为115- 三、解答题（10′×1＋12′×5＝70′）： 17．（10′）解：（Ⅰ）由频率和为1，得成绩分布在[80,90)的频率为：1(0.050.150.200.300.05)0.25-++++=， ∴ 0.258020a =⨯=； …………3分对应小矩形的高为0.25100.025÷=，把频率分布直方图补充完整如图：…………5分（Ⅱ）∵最后一组的频率为0.050.15<，分数0.030 0.025 0.0200.0150.010 0.005y A最后两组频率之和为0.050.250.300.15+=>∴8090x ≤<，由0.025(90)0.150.05x ⨯-=-，解得：86x =即分数线x 的值为86． ………………10分 18．（12′）解：（Ⅰ）51,4(),126A T πππ==-=由2ππω=，得2ω=；…………3分 ∴()sin(2)f x x ϕ=+，将点(,1)6π代入得，sin(2)1,6πϕ⨯+=∴2,32k ππϕπ+=+又02πϕ<<，6πϕ∴=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭…………………6分（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πA A f ，∴,2162sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πA ∴πππk A 2662+=+或ππk 265+，∴A k π=或()3k k Z ππ+∈又π<<A 0，∴5266A ππ+=，得3A π= …………………9分在△ABC 中，1sin 234ABC S bc π∆==，∴1bc =，又余弦定理得：,122bc c b -+=联立解得，.1==c b ． …………………12分 19．（12′）解：（Ⅰ）当直线m 过原点时，直线m ：3y x =； …………………2分当直线m 不过原点时，设直线m ：1(0)x ya a a+=≠，将点A （2，6）代入解得8a =，即直线m ：80x y +-=；综上所述，直线m 的方程为30x y -=或80x y +-= ……………………6分 (Ⅱ)圆C 的圆心坐标为C(3，4)，半径R=2∵直线l 被圆C 截得的弦长为C 到直线l 的距离1d = ………………7分 ⑴当直线l 的斜率不存在时，l ：2x =，显然满足1d =； ………………9分 ⑵当直线l 的斜率存在时，设l ：62y k x -=-()，即620kx y k -+-=，由圆心C 到直线l 的距离1d =1=，解得34k =-，故l ：34300x y +-=； ………………11分综上所述，直线l 的方程为2x =或34300x y +-= ………………12分 20．（12′）（1）证明：连接AB 1交A 1B 于点D ，∵AA 1=AB ，∴AD ⊥A 1B 又平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且平面A 1BC∩侧面A 1ABB 1=A 1B ， ∴AD ⊥平面A 1BC ，又BC ⊂平面A 1BC ，∴AD ⊥BC ．∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BC ．又AA 1∩AD=A ，AA 1⊂平面A 1ABB 1，AD ⊂平面A 1ABB 1，∴BC ⊥平面A 1ABB 1，又AB ⊂侧面A 1ABB 1，∴AB ⊥BC ． ………………5分（2）由（1）得AD ⊥平面A 1BC ，∴∠ACD 为直线AC 与平面A 1BC 所成的角，即6ACD π∠=，又AD=112AB =AC =BC=2． ……………7分当N 为线段A 1B 1的中点时，MN ∥平面A 1BC ，证明如下：（法一）：连接MN ，ND ，DC 则ND 1//2=B 1B //=MC∴四边形CMND 为平行四边形，∴MN ∥CD 又CD ⊂平面A 1BC ，MN ⊂平面A 1BC ∴MN ∥平面A 1BC（法二）：取A 1C 1的中点P ，则MP ∥A 1C ，NP ∥B 1C 1∥BC ，又M P ∩NP=P ，A 1C 、 BC ⊂平面ABC ， ∴平面MNP ∥平面A 1BC ，又MN ⊂平面MNP ，∴ MN ∥平面A 1BC ……………11分此时MN === ………………12分21．（12′）解：（Ⅰ）当x ∈[6，9]时，设该项目获利为S ，则22112(227)(6)1533S x x x x =--+=---， …………2分∵当x ∈[6，9]时，S ＜0且函数为减函数，∴该项目不会获利； …………3分当x=6时，S 取最大值﹣15；当x=9时，S 取最小值﹣18∴国家每月至少需要补贴15千元才能使该项目不亏损； …………5分（Ⅱ）由题意知，二氧化碳的每吨的平均处理成本为[)[)21313,1,54221272,5,123x x x y x x x x ⎧-+∈⎪=⎨⎪+-∈⎩…7分MA 1CBMA 1CAB①当x ∈[1，5）时，221313117(3)42244y x x x x =-+=-+， ∴x=3时，yx取得最小值174； …………9分②当x ∈[5，12）时，1272243y x x x =+-≥= 当且仅当1273x x =即x=9时，yx取得最小值4， …………11分 ∵4＜174∴每月处理量为9吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． …………12分 22．（12′）解：（Ⅰ）设P （x ，y ）则由题意，= ………………2分整理得：228120x y x +-+=，即2244()x y -+=为所求； ………………4分（Ⅱ）由两圆的方程可知，过点Q 向圆C 所作的两条切线的斜率必存在，设QS 的方程为：()010y y k x x -=-，则点S 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点T 的坐标为()0200,y k x -，∴120ST k k x =-， ∵,QS QT 是圆C 的切线，∴12,k k1， ………………6分即12,k k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，∴()0012200201220021212y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， ……………8分∴120ST k k x x =-==， ∵()220044y x =--且026x ≤≤，∴ST =……………10分,t t =∈则25||1616t ST t t t==++考察关于t的函数16(),[2,f t t tt=+∈，函数f（t）在区间[2，4]上单调递减，在区间[4，上单调递增，∴f（t）max=10，f（t）min=8．∴||4ST∈．………………12分法二：令02[4,8]t x=+∈，则||ST==，∵11184[,]t∈∴|||Min MaxST ST==，∴||ST∈．（以上各题答案仅供参考，其它解法酌情给分）。