新型梯度倒数加权滤波器

New Grad ien t Inverse W e ight ing F ilter
X IAO L iang, W U H u i2zhong, W E I Zh i2hu i, L IU Yang
(D ep a rtm en t of C om p u ter S cience and E ng ineering , N anj ing U n iversity of S cience and T echnology , N anj ing 210094, C h ina) (F orth Institu te of the S econd A rtillerist, B eij ing 100085, C h ina)
第 25 卷 第 7 期 2004 年 7 月
小型微型计算机系统 M IN I- M ICRO SYST EM S
V o l125 N o. 7 J u ly 2004
新型梯度倒数加权滤波器
肖 亮, 吴慧中, 韦志辉, 刘 扬
(南京理工大学 计算机科学与技术系, 江苏 南京 210094) (二炮 第四研究所, 北京 100085)
梯度倒数加权滤波器, 该滤波器是经典梯度倒数加权滤波器 的直接推广.
2 新型梯度倒数加权滤波器
2. 1 梯度倒数加权滤波器及其主要缺点 文献[ 1 ]中,W ang 和V agnucci 提出了梯度倒数加权滤波
器, 其主要思想为: 在一离散图像中, 相邻区域的变化大于区 域内部的变化, 在同一区域中中间像素的变化小于边缘像素 的变化. 梯度值正比于邻近像素灰度级差值, 即在图像变化缓 慢区域, 梯度值小, 反之则大. 这样梯度倒数正好与梯度相反,
1 引 言
噪声图像的预处理中, 设计平滑能力强、能保持和增强图 像中重要视觉特征的滤波算法, 是一个具有挑战性的问题, 好 的平滑方法为图像的后继处理如边缘检测、图像分割、运动跟 踪等低层视觉任务带来极大的方便. 由于噪声和边缘集中于 信号高频部分, 线性滤波往往不能得到满意的效果, 例如采用 相同权值的均值滤波, 不但容易造成边缘的模糊, 而且对脉冲 噪声十分敏感. 因此, 实际中的滤波算法往往是非线性的, 例 如中值滤波、梯度倒数的加权滤波器等.
7 期
肖 亮 等: 新型梯度倒数加权滤波器
1403
v Α = F ΚΕ(u ) =
∑ hΑe
ue +
h
ΑΑu
0 Α
(8)
e∈U o (Α)
对原始含噪图像 u0 的任意像素点 Α∈8 , 建立如下迭代
格式
∑ u
(n+ Α
1)
=
h
n Αe
u
(n) ΑΑ
+
hnΑΑu 0Α,
Α∈ 8
定义 2. 对 U 0 (Α) 中的像素 e 倒数梯度定义为
∆(u0) = 1 ue Ε
(6) .
定义 3. 对 U 0 (Α) 中的像素 e, 其加权系数定义为 hΑe; 对中
心像素, 其加权系数定义为 hΑΑ,
h Αe =
∆(u e )
∑ ∆(ue) +
Κ, hΑΑ =
Κ
∑ ∆(ue) + Κ
5y
]d
,
其优点是旋转
Π角度后其值 2
保持不变, 而规整化梯度有效的避免了图像平坦区域梯度为
零的情况.
定义 1. 对U 0 (Α) 中的像素 e, 其规整化梯度定义为相应假
想中间像素梯度的数值差分
ue Ε=
(ue - uΑ) 2 + (ue1 - ue2) 2 2 + Ε h
(5)
其中规整化参数 Ε> 0, ei, e2, 对应于处相应偏导数方向的两个
∑
e∈U o (Α)
1百度文库ue
© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
1402
小 型 微 型 计 算 机 系 统
2004 年
模型本身与经典非线性滤波器之间内在联系的研究. 本文的研究恰恰表明, TV 模型实质上蕴含了一种新型
取像素 Α作为中心像素, 采取如图 3 所示的半点格式窗 口. 除图像的边界像素外, 记 Α的菱形空心邻域 U 0 (Α) = {Β, ∆, Χ, Σ}, 邻域中格子点距离为 h, h = Α- e e∈u0 (Α) ; a, b, c, d 为假想的中间像素. 引入中间像素的目的是为了方便的估计 Α菱形邻域中像素的规整化梯度.
例如对象素点 Χ, 规整化梯度定义为假想中间像素 d 处 的梯度的数值差分,
uΧ Ε=
(u Χ - uΑ) 2 + [ (u Β2 - uΣ2 ) 2 ]2 + Ε h
即 利 用 d 处 的 中 心 差 分 估 计 偏 导 数 [ 5u 5x ]d, 用 [ (uΒ2 -
uΣ2 )
2 ] 估计偏导数 [ 5u
(9)
e∈U o (Α)
其中 h (n) = h (un)
3 算法特性
3. 1 逼近特性 经过研究本文设计的新型梯度倒数加权滤波器, 逼近于
整体变分模型所导出的 L agrange 方程, 具体由下面的结论加 以说明.
定理 1. 如果原始含噪图像 u0, 通过新型梯度倒数加权滤 波器执行上述滤波算法, 得到收敛的新图像 u, 则
数梯度定义为 ∆(ue) =
1 ue -
uΑ
, 然后定义各加权系数为 hΑe
= 0. 5
∆(u e )
∑ ∆(ue)
, 而 hΑΑ=
0.
5.
这样对于含噪信号 u0, 得到
e∈N o (Α)
一个非线性的数字滤波器 F , F: u →v , 其输入为 u, 输出为 v ,
例如对中心像素 Α,
v Α = F (u ) = ∑ heΑ ue + hΑΑuΑ
(7)
e∈U 0 (Α)
e∈U 0 (Α)
其中 Κ> 0, 称为 L agrange 乘子
这样, 利用加权系数作加权平均, 得到新型梯度倒数加权滤波
器, 记此数字滤波器为 F ΚΕ, F ΚΕ: u→v , 其中
© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
像素.
图 2 五点菱形窗口 F ig. 2 F ive neighbo rs d iam ond stencil
W ang 和 V agnucci 提出的梯度倒数加权滤波器, 采取如 图 1 所示的九点矩形窗口, 即构造中心像素 Α的空心邻域 N 0 (Α) = {Β1, Β, Β2, ∆, Χ, Σ1, Σ, Σ2} . 对 N 0 (Α) 任意像素 e, 其倒
Abstract: M o tiva ted by the cla ssica l g rad ien t inverse w eigh ting filter, th is p ap er p ropo sed a new non linea r d ig ita l filter: a new g rad ien t inverse w eigh ting filter fo r im age de2no ising. It so lves a g loba l to ta l va ria tiona l op tim iza tion p rob lem. M any exp erim en ts show tha t ou r filter is cap ab le of de2no ising im age w h ile p ersevering the deta il info rm a tion in the im 2 age. Key words: g loba l to ta l va ria tion op tim iza tion; d ig ita l filter; g rad ien t inverse w eigh ting filter
坐标. 由于 TV 模型的凸性, 一般转化为求解 Eu ler2L agrange
方程
-
[
u u
]+
Κ(u -
u0) =
0
(2)
TV 模型被证明具有很好的信号去噪和边缘保持能力,
在图像处理包括图像恢复、增强、分割等中有广泛的应用. 目
前, 人们热衷于探讨 TV 模型数值稳定性好、收敛性强的快速
算 法, 或 者 热 衷 于 研 究 TV 模 型 在 图 像 修 补 ( im age
本文根据经典梯度倒数加权滤波器的原始思想, 对图像 梯度进行重新定义, 设计出具有图像局部自适应性的数字滤 波器, 该数字滤波器具有如下优点:
① 具有简单固定的模板结构, 滤波系数可根据数学公式 精确求出;
② 数字滤波器逼近于总体变差模型所导出的 L agrange 方程, 因此其理论基础是泛函分析和几何学, 不是统计滤波 器;
inp a in ting)、图像缩放、图像分割中的应用研究[3] , 但是忽略
收稿日期: 2002210228 基金项目: 高等学校博士学科点专项科研基金 (20020288024) 资助. 作者简介: 肖 亮, 博士研究生, 研究方向为信 息隐藏, 模式识别, 小波分析和偏微分方程在图像处理中的应用, x tx iao liang@ 163. net; 吴慧中, 教授, 博士生导师, 研究方向为虚拟现实, 智能 CAD , 计算机图形图像理论; 韦志辉, 博士生导师, 应用数学系教授, 研究方向为小波分析, 模式识别与智能信息处理.
Fatem i E 建立图像去噪的总体变差最小的连续模型 (简称
TV 模型) [2 ],
∫ ∫ m inJ (u) = m in
u
u
u dx +
Κ 2
(u -
u0) 2d x
(1)
8
8
式中,
u=
5u 5x 1 ,
5u 5x 2
u=
5u 5x 1
2
+
5u 2 5x 2
是图像的梯度场, 8 为图像的定义域, x ∈8 为像素点的二维
(3)
e∈N 0 (Α)
对原始含噪图像 u0 的任意像素点 Α∈8 , 建立如下迭代格式
∑ u
(n+ Α
1
=
h
n Αe
u
(n) e
+
h
n ΑΑ
u
(n) Α
=
u0, Α∈ 8
(4)
e∈N 0 (Α)
经典梯度倒数加权滤波器主要缺点:
1) 滤波过程是无记忆的, 过程示意如下
图 3 半点格式窗口 F ig. 3 Sem i2po in t schem e stencil
图 1 九点矩形窗口 F ig. 1 N ine neighbo rs squa re stencil 以梯度倒数作权重因子, 则区域内部的邻点权重就大于边缘 近旁或区域外的邻点. 即这种平滑其主要贡献主要来自区域 内部的像素, 平滑后图像边缘和细节不会受到明显损害. 梯度 倒数加权滤波器常常采取两种局部窗口, 如图 1 所示为九点 矩形窗口, 如图 2 所示为五点菱形窗口.
③ 保护边缘的同时, 消除了普通滤波器在边缘附近可能 出现的振铃式波纹;
④ 滤波过程是一个有记忆的迭代过程, 并且不需要确定
迭代中止时间.
设 u0 (x ) 为噪声污染的图像, 噪声 n (x ) 假设服从均值为
0, 方 差 为 Ρ2 的 高 斯 噪 声. 1992 年, R ud in L , O sher S, 和
摘 要: 受经典梯度倒数加权滤波器的启发, 提出了一种应用于图像去噪的新型非线性数字滤波器, 称之为新型梯度 倒数加权滤波器. 该数字滤波器解决了总体变差最小模型的全局最优解问题. 大量的实验表明, 该滤波器在抑制大部分 噪声的同时很好的保留了图像的细节信息. 关 键 词: 全局总体变差最优; 数字滤波器; 梯度倒数加权滤波器 中图分类号: T P391 文献标识码: A 文 章 编 号: 100021220 (2004) 0721401205
u (0) → u (1) → u (2) → … … 第一次迭代后, 原始含噪图像 u0 不再使用, 因此后续迭代将 导致图像边缘特征和细节的丢失.
2) 由于后续迭代将导致图像细节的丢失, 因此必须选取 合适的迭代次数, 然而这是十分困难的事.
针对上述不足 , 本文采取半点格式窗口, 重新定义规整 化梯度倒数, 自适应调整加权系数, 最终构造出一个新型梯度 倒数加权滤波器. 2. 2 新型梯度倒数加权滤波器