第21章：二次根式第四课时：§213二次根式的加减法导学案-福建省惠安荷山中学华东师大版九年级数学上册（无答案）
二次根式的加减法导学案
编号：03 课型：新授课主备：刘红迁审稿：审核：班级：姓名：
二次根式的加减法
学习目标：1、会认识同类二次根式。
2、会运用二次根式的加减法。
3、培养学生自主、合作探究意识。
学习重点：同类二次根式的认识。
学习过程
一、回顾旧知
将下列二次根式化简（直接写出结果）
3
-
4
二、课前预习
阅读材料：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。
要判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先将这几个二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，与根号外的因式无关。
小练笔：1、一题中的二次根式哪些是同类二次根式？请一一写出来。
2、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
11
42
--
三、合作探究
1、
a的值。
2、阅读材料后计算。
二次根式的加减，实质就是合并同类二次根式。
++-
---
2
2
3
+-
小结：二次根式的加减法的方法是什么？请写出来。
四、达标检测
1、
a的值。
变式训练：最简根式4a a、b的值。
2、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？请写出过程。
11
23
3、 计算
-+
- ()230b 大于
4、 已知10,a =求的值。
5、 已知a b a b -和，则的值是多少？
五、本堂总结：你知道了些什么？还有哪些不足？。
初中数学 21.3 二次根式的加减 教案4
活动2探究活动
下列3个小题怎样计算?
① + ；
② - ；
③ - + .
问题：1） - 还能继续往下合并吗？
2）看来二次根式有的能合并，有的不能合并，通过对以上几个题的观察，你能说说什么样的二次根式能合并，什么样的不能合并吗？
二次根式加减时,先将二次根式化简成最简二次根式后，再将被开方数相同的进行合并.
教师巡视、指导，学生完成、交流，师生评价.
提醒学生注意先化简成最简二次根式后再判断.
设置问题情境,引出课题，激发学生的学习兴趣.
在知道 + 怎么计算的基础上继续探讨，渗透转化思想.培养学生小组合作交流能力及根据已有知识和经验进行探究的能力.
使学生应用类比思想解决问题.
培养学生观察、归纳能力.
通过例题练习题使学生能够正确找到可以合并的二次根式.
3.在学习过程中运用了类比的学习方法.
学生自己在笔记本上独立完成.
教师巡视、指导，学生完成、交流，师生评价.
（1）把每个根式化为最简二次根式.
（2）把其中最简二次根式合并.
利用这简单的题目树立学困生的自信心.
进一步巩固二次根式加减法运算.
教师引导学生回忆本节所学内容，学生回忆、交流，教师和学生一起补充完善，使学生更加明晰所学知识.
问题与情境
师生行为
设计意图
例1 计算:
（1） ；
（2） .
解:（1）
；
（2）
.
例2 计算:
（1） ；
（2）
解:
（1）原式=
= ；
（2）原式=
= .
练习2 计算:
（1） ；
（2）
二次根式的加减(1)导学案
21.3 二次根式的加减(1)第一课时教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。
教学过程一、自主预习1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、在二次根式的加减运算前要先做什么？二、复习引入1、什么是同类项？2、计算: （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a33、化简：（1）8，（2）18，（3）45，（4）20，（5）12，（6）27三、探究新知1、“复习引入”中第3题发现：818，4520，12272、将二次根式化为二次根式后，若被开方数相同，那么这些二次根式就叫做同类二次根式。
注意：判断是否同类二次根式时，一定要先化成后再判断。
3、计算：8+18-32+12归纳：二次根式的加减分三个步骤：①化成；②找出二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
例1．计算： （1）a a 259+ （2）4580+例2．计算：（1）483316-122+ ， （2） ()()5-32012++四、巩固练习（1）必做题1、二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A ．2x 与2yB ．3449a b 与5892a b C ．mn 与n D ．m n +与n m +3．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个4．在8、1753a 、293a 、125、323a a 、30.2、-218中，与3a 是同类二次根式的有________．5、计算：（1）8+18 ，（2）7+27+397⨯ ，（3）348-913+3126、计算：(1) )27131(12--， (2) )512()2048(-++（3）)461(9322x x x x x x --（2）选做题1、选择：已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的 a,b 的值（ ）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组2．计算：（80-415）-（135+4455）3．先化简，再求值．（6x yx+33xyy）-（4xxy+36xy），其中x=32，y=27．（3）思考题已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293x x+y23xy）-（x21x-5xyx）的值．五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、布置作业。
数学二次根式运算导学案
数学二次根式运算导学案根据您的要求，我将按照导学案的格式来为您编写关于数学二次根式运算的文章。
请注意，根据格式要求，我将不再重复标题或其他任何内容。
导学目标：1. 了解二次根式的定义和性质；2. 掌握二次根式的运算规则；3. 能够应用二次根式进行简单的运算和化简。
导学内容：二次根式是指形如√a的数，其中a≥0。
二次根式的运算包括加减乘除四种基本运算。
接下来，我们将逐一介绍这些运算规则。
一、二次根式的加减运算1. 同类项相加减的规则：a√m ± b√m = (a ± b)√m例如：3√2 + 2√2 = 5√22. 不同类项相加减的规则：例如：3√2 + 2√3 无法进行合并，因为根号内的数不同。
二、二次根式的乘法运算1. 同类项相乘的规则：a√m × b√m = ab × √(m × m) = ab√m²例如：2√3 × 3√3 = 6√(3 × 3) = 6√9 = 6 × 3 = 182. 不同类项相乘的规则：例如：3√2 × 2√3 无法进行合并，因为根号内的数不同。
三、二次根式的除法运算1. 同类项相除的规则：a√m ÷ b√m = (a ÷ b)√(m ÷ m) = (a ÷ b)√1 = a ÷ b例如：6√5 ÷ 2√5 = 6 ÷ 2 = 32. 不同类项相除的规则：例如：3√2 ÷ 2√3 无法进行合并，因为根号内的数不同。
四、二次根式的化简1. 化简二次根式的规则：a√m × a√m = a × a × √(m × m) = a²√m²例如：√2 × √2 = 1 × √(2 × 2) = 1 × √4 = 1 × 2 = 2最后，让我们通过一些练习题来巩固所学内容。
《二次根式的加减法》导学案
21.3二次根式的加减法第一课时课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、同类二次根式：如果几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.注意：同类二次根式与同类项是两个相类似的概念，前者是二次根式之间的关系，后者是单项式之间的关系.判断几个二次根式是不是同类二次根式的关键在于化简，化为最简二次根式后再看被开方数是否相同；而判断几个单项式是不是同类项，则只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否也相同.2、同类二次根式的合并法则：同类二次根式相加减，被开方数不变，把系数（最简二次根式外的因子叫做二次根式的系数）相加减，用字母表示为：()c b a c b c a +=+.合并时要注意两点：①不是同类二次根式的不能合并.如23+就不能合并；②系数为1或－1的二次根式，如3的系数为1，－3的系数为－1，运算时不要漏掉.3、二次根式的加减法运算法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.4、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除及乘方这五种运算中含有两种或两种以上的运算，其运算顺序与实数的混合运算顺序、整式的混合运算顺序一样，也是先乘方、再乘除，最后算加减，如果有括号的仍然要先算括号里的（或先去掉括号）.名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：同类二次根式例1、下列二次根式中与35-是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ．3.0 C ．30 D ．300【解题思路】解此题首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式中哪个被开方数是3．∵2318=，10303.0=，3103007=，∴300与35-是同类二次根式．【解】选D ． 【方法归纳】同类二次根式的判断方法：先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同．例2、最简根式a b b a -+234与32+a 是同类根式，求a ，b 的值．【解题思路】本题考查同类二次根式的概念，两个最简根式互为同类根式，说明根指数与被开方数的相同.【解】∵a b b a -+234与32+a 为同类根式，∴22=-a b ，3234+=+a b a ，解方程组⎩⎨⎧+=+=-323422a b a a b 得⎩⎨⎧==1b a ，当0=a ，1=b 时，两根式都为3，符合题意．【方法归纳】这种类型的题目，求得字母的值后，要注意检查是否符合题意，这包括是否有意义，是否是最简根式等等．类型二：同类二次根式的合并例2、计算：【解题思路】题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并.【解】原式.【方法归纳】二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中不是同类二次根式，不能再进行加减运算. 类型三：二次根式的加减运算例3、计算：【解题思路】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”三步曲进行计算.【解】原式331102212⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3331225-=.【方法归纳】二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。
《二次根式的加减》导学案
16.3 二次根式的加减第1课时1.经历二次根式的加减法法则的形成过程,会进行二次根式的加减运算.2.通过对整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较,体会类比思想.3.重点:二次根式的加减法.问题探究二次根式的加减法法则1.阅读本节教材中的“例1”前面的内容,完成下列问题.(1)怎样求与的和?(用自己的话说一说)先将与化为最简二次根式,再逆用分配律将两个二次根式合并.(2)类比合并同类项法则,说一说如何合并被开方数相同的二次根式.把被开方数相同的二次根式的系数相加减,所得的数作为结果的系数,根指数和被开方数不变.(3)在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍然成立.(4)填空:+=3+2=( 3 + 2 )=5.2.本节教材中的“例2中的(2)小题”的第一步实际上有两小步,一是去括号,二是将不是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并.【归纳总结】二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.【讨论】与能合并吗?什么样的二次根式不能合并?不能.化为最简二次根式后,被开方数不同的二次根式不能合并.【预习自测】下列计算正确的是(C)A.2-=2B.+=C.+=3D.2+=2互动探究1:在,,,中,能与进行加减合并的根式有,.[变式训练]如果最简二次根式与能够合并,则a= 5 .【方法归纳交流】化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式能够合并.互动探究2:下列计算正确的个数为(A)①+=;②-=-;③-=2-=;④-=3-==.A.1个B.2个C.3个D.4个互动探究3:计算:(1)-(-);(2)2-(3-);(3)2-4;(4)++2-;(5)+6-2a(a>0).解:(1)-(-)=-.(2)2-(3-)=2-2.(3)2-4=4-=.(4)++2-=3+6+-5=(6+)+(3-5)=-2.(5)+6-2a=2+3-2=3.[变式训练]一个三角形的周长为9,它的两条边长分别为和, 求第三边的长.解:9--=9-2-4=3.所以该三角形的第三边的长为3.互动探究4:如图所示为一个面积为72 cm2的正方形,四个角是面积为2 cm2的小正方形,现将四个角剪掉,制作成一个无盖的长方体盒子,求这个长方体的底面边长和体积.解:原大正方形边长为=6 cm,小正方形边长为 cm.长方体的底面边长为6-2=4 cm,其高为 cm,体积为(4)2×=32 cm3.答:略.见《导学测评》P5。
二次根式的加减法教案
二次根式的加减法优秀教案第一章：二次根式的概念回顾1.1 教学目标：让学生理解二次根式的概念。
让学生掌握二次根式的基本性质。
1.2 教学内容：二次根式的定义：形如√a的式子，其中a是一个非负实数。
二次根式的基本性质：√a ×√a = a，√a ÷√a = 1，√a ×√b = √(ab)，其中a、b是非负实数。
1.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的概念。
通过练习题，让学生掌握二次根式的基本性质。
第二章：二次根式的加法2.1 教学目标：让学生掌握二次根式的加法运算规则。
2.2 教学内容：二次根式的加法运算规则：√a + √b = √(a + b)，其中a、b是非负实数。
2.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的加法运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的加法运算。
第三章：二次根式的减法3.1 教学目标：让学生掌握二次根式的减法运算规则。
3.2 教学内容：二次根式的减法运算规则：√a √b = √(a b)，其中a、b是非负实数，且a ≥b。
3.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的减法运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的减法运算。
第四章：二次根式的混合运算4.1 教学目标：让学生掌握二次根式的混合运算规则。
4.2 教学内容：二次根式的混合运算规则：先进行二次根式的乘除运算，再进行加减运算。
4.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的混合运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的混合运算。
第五章：综合练习5.1 教学目标：让学生综合运用二次根式的加减法知识，解决实际问题。
5.2 教学内容：综合练习题，包括不同难度的题目。
5.3 教学活动：提供综合练习题给学生，让学生独立完成。
解答学生的疑问，并进行讲解和指导。
第六章：二次根式的加减法在实际问题中的应用6.1 教学目标：让学生能够将二次根式的加减法应用到实际问题中。
21.3 二次根式的加减 导学案
二次根式的加减法。
学习难点
找出能合并的最简二次根式（同类二次根式）。
学习过程
备注
一、自主学习感受新知
【问题1】计算下列各式．
（1）2x+3x；（2）2x2－3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2－2a2+a3
【问题2】有一个三角形，它的两边长分别为 和 ，如果该三角形的周长为 ，你能求出第三边长吗？
三、自主应用巩固新知
【例1】要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
【例2】若最简根式 与根式 是同类二次根式（或化简后能合并），求a、b的值．
【分析】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式 不是最简二次根式，因此把 化简成|b|· ，才由同类二次根式的定义得3a－b= 2，2a－b+6=4a+3b．
3、通过对二次根式混合运算的学习，并与四则混合运算及整式的混合运算进行比较，理解知识间的相互关系。
学习重点
二次根式的混合运算。
学习难点
二次根式运算的应用。
学习过程
备注
一、自主学习感受新知
请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy
解：
2．计算
（1）（2x+3y）（2x－3y）（2）（2x+1）2+（2x－1）2
练习： + 的有理化因式是________；
x－ 的有理化因式是_________．
－ － 的有理化因式是_______．
3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
华东师大版九年级上册数学第21章《二次根式》教案
第21章二次根式课题 二次根式【学习目标】1．经历二次根式概念的发生过程； 2．了解二次根式的概念；3．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围． 【学习重点】 二次根式的概念． 【学习难点】确定二次根式中字母的取值范围．一、情景导入 生成问题根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：1．直角三角形的斜边长是4＋a 2cm ； 2．正方形的边长是b －3cm ； 3．等边三角形的边长是2cm ．二、自学互研 生成能力知识模块一 二次根式的概念与意义 阅读教材P2，完成下面的内容．1．形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式．一定有： (1)a ≥0(a ≥0)，即a(a ≥0)是一个非负数． (2)(a)2＝a(a ≥0)，化掉根号的方法．2．在a 中，a 的取值必须满足a ≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数，当x ≥1时，二次根式x －1有意义．1．从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件： (1)必须有二次根号； (2)被开方数不能小于0. 2．判断(1)a ＋1是二次根式．(×) (2)a ＋1是二次根式．(×)3．下列式子是二次根式的有：③ ①a ＋b ，②2a ，③a 4，④－5. 知识模块二 二次根式的性质a 2＝⎩⎨⎧a （a ≥0）－a （a ＜0）范例1：填空22＝2；0.012＝0.01；（23）2＝23；02＝0；（－2）2＝2；（－0.75）2＝0.75探究：根据算术平方根、非负数的意义，我们可以得到：a2＝|a|，从而我们就可以对任何形如a2的二次根式化简了．范例2：若20m是一个正整数，求正整数m的最小值．解：∵20m＝2×2×5m是一个正整数，∴当m的最小正整数为5时，即2×2×5×5＝（2×5）2＝10.∴m的最小正整数为5.仿例：若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋（x＋3）2＋x2－10x＋25.解：∵－3≤x≤2，∴x－2≤0，x＋3≥0，x－5＜0.∴原式＝|x－2|＋|x＋3|＋|x－5|＝－(x－2)＋(x＋3)－(x－5)＝－x＋2＋x＋3－x＋5＝－x＋10.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次根式的概念与意义知识模块二二次根式的性质二次根式共有三条性质：①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|；③非负性，即a≥0(a≥0)．四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________2．存在困惑：__________________________________________课题二次根式的乘法【学习目标】1．会进行简单的二次根式的乘法运算；2．能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简单运算．【学习重点】会进行简单的二次根式的乘法运算．【学习难点】二次根式的乘法公式应用．一、情景导入生成问题现有一长方形，长为315cm，宽为212cm，这个长方形的面积是多少？根据长方形的面积公式可得：S＝315×212，我们如何对它进行计算呢？二、自学互研生成能力知识模块一二次根式的乘法阅读教材P5～P7.计算：(1)4×25与4×25；(2)9×16与16×9.思考：用计算器计算：(1)2×3；(2)2×3.从中你能发现什么？这是什么道理？事实上，根据积的乘方法则，有(2×3)2＝(2)2×(3)2＝2×3，并且2×3＞0.所以2×3是2×3的算术平方根，即2×3＝2×3.一般地，有a·b＝ab(a≥0，b≥0)．这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．注意，在上式中，a、b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．范例：计算：(1)7×6；(2)12×32.解：(1)7×6＝7×6＝42.(2)12×32＝12×32＝16＝4.仿例：计算：(1)5×3；(2)32×2；(3)(－26)×31 2.解：(1)15；(2)8；(3)－6 3.知识模块二积的算术平方根归纳：积的算术平方根法则用字母表示为：a×b＝a×b(a≥0，b≥0)．用语言表达就是：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．我们通常用它对二次根式进行化简．范例：化简12，使被开方数不含完全平方的因数．解：12＝22×3＝22×3＝2 3仿例1：计算下列各式，并将所得的结果化简：(1)3×6；(2)5·15.解：(1)原式＝18＝32×2＝32×2＝3 2.(2)原式＝5×15＝52×3＝52×3＝5 3仿例2：现有一长方形的长为315cm，宽为212cm，这个长方形的面积是多少？解：315×212＝3×2×15×12＝6180＝365(cm2)答：这个长方形的面积是365cm2.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次根式的乘法知识模块二积的算术平方根仿例：(方法二)解：(1)原式＝3×3×2＝3 2(2)原式＝5·5·3＝5 3.四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________2．存在困惑：_________________________________________课题二次根式的除法【学习目标】1．会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，会运用商的算术平方根的性质化简二次根式；2．经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法；3．培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值．【学习重点】利用二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质进行简单运算和化简．【学习难点】二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质的关系及应用．一、情景导入生成问题在△ABC中，BC边上的高h＝63cm，它的面积恰好等于边长为23cm的正方形的面积，则BC的长为多少？二、自学互研生成能力知识模块一二次根式的除法阅读教材P7～P8.1．填空：(1)49＝23；49＝23．(2)1625＝45；1625＝45．(3)10036＝106；10036＝106．2．利用计算器计算，并用“＞”“＜”或“＝”填空．(1)23__＝__23(2)25__＝__25(3)56__＝__56(4)82__＝__ 4归纳：二次根式除法法则：ab＝ab(a≥0，b＞0)用语言表述为：两个算术平方根的商，等于这两个被开方数的商的算术平方根．范例：计算：(1)153；(2)246.解：(1)153＝153＝ 5.(2)246＝246＝4＝2.知识模块二商的算术平方根归纳：商的算术平方根法则：商的算术平方根等于这两个数的平方根的商．用字母表示为：ab＝ab(a≥0，b＞0)．范例：化简12，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母．解：12＝12＝1×22×2＝222＝222＝22.归纳：1.化简后的二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．2.要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了．如上述“范例”，将分子、分母同乘以2，得12＝1×22×2＝2（2）2＝22.这种化简过程叫做分母有理化．仿例：已知xy＞0，化简x－y x2.解：∵－yx2≥0，x2＞0，∴y≤0.∵xy＞0，∴x＜0，y＜0，－y＞0∴原式＝x·－yx2＝x·－y－x＝－－y三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次根式的除法范例：(方法二)解：(1)153＝3·53＝5；(2)246＝266＝2知识模块二商的算术平方根四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_______________________________________________2．存在困惑：___________________________________________课题二次根式的加减【学习目标】1．知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的加减法运算；2．经历探索二次根式加减的过程，掌握其计算方法；3．认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培养乐学、会学的思想．【学习重点】二次根式的加减法．【学习难点】如何进行二次根式的加减法．一、情景导入生成问题有一个矩形花圃，它的长为53米，它的宽为12米，则这个矩形的周长为2(53＋12)米，这个式子还可以化简吗？二、自学互研生成能力知识模块一二次根式的加减阅读教材P10～P11的内容．计算：(1)3a－2a；(2)3a－2a＋4a；(3)33－23；(4)3a－2a＋4 a.归纳：1.与整式中同类相类似，我们把像3a、－2a与4a这样的几个二次根式，称为同类二次根式，33与－23也是同类二次根式．2．二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并．3．判断两个二次根式是不是同类二次根式，一定要先把它化为最简二次根式，然后再观察被开方数是否相同．范例：计算：32＋3－22－3 3.解：32＋3－22－3 3＝(32－22)＋(3－33)＝2－2 3. 仿例1：计算：8＋18＋12.解：8＋18＋12＝22＋32＋23＝52＋2 3仿例2：计算：(1)27－12＋45；(2)252＋32－18.解：(1)27－12＋45＝33－23＋35＝3＋3 5.(2)252＋32－18＝522＋42－32＝(52＋4－3)2＝72 2.知识模块二运用乘法公式复习：1.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b22．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2范例：计算：(1)(2＋1)(2－1)；(2)(2－1)2.解：(1)(2＋1)(2－1)＝(2)2－12＝2－1＝1.(2)(2－1)2＝(2)2－2·2·1＋12＝3－2 2.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次根式的加减知识模块二运用乘法公式四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________2．存在困惑：__________________________________________第21章小结与复习【学习目标】1．理解二次根式的意义，会化简二次根式，会进行二次根式的乘除、加减混合运算；2．经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次根式的解题方法，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法；3．培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神． 【学习重点】二次根式的化简以及运算． 【学习难点】二次根式性质、法则的正确使用．一、情景导入 生成问题二、自学互研 生成能力知识模块一 二次根式1．定义：形如a(a ≥0)的式子叫__二次根式__，其中a 叫__被开方数__，只有当a 是一个非负a 才有意义．典例1：下列各式中不是二次根式的为( B )A .b 2＋1B .aC .0D .（a －b ）2 2．二次根式的性质： (1)(a)2(a ≥0)＝a ；(2)a 2＝|a|＝⎩⎨⎧a （a ＞0）0（a ＝0）－a （a ＜0）；(3)ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)； (4)a b ＝a b(a ≥0，b ＞0)． 典例2：当__a ≤0__时||a －a 2＝－2a.知识模块二 二次根式的运算1．二次根式的乘法：a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0) 典例3：若把根号外的因式移到根号内，则化简a －1a ＝__－－a__．2．二次根式的除法：a b＝ab (a ≥0，b ＞0)典例4：计算：3223×(－1815)÷1225.解：原式＝－152注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．3．二次根式的加减：需要把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变．注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含开得尽方的因数．典例5：计算：12－13－38＋|2－3| 解：原式＝23 34．二次根式的混合运算：先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如1722不能写成812 2.典例6：已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值． 解：原式＝7＋4 2.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次根式 知识模块二 二次根式的运算四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________ 2．存在困惑：____________________________________________。
二次根式加减法导学案
1、选择题：
（1）在下列根式中与 是同类二次根式的是（）
A、 a B、 C、 D、a
（2）下列计算正确的是：（）
A、 B、 C、 D、2
2、若3 与2 都是最简二次根式，且它们是同类二次根式，则a=。
3、计算：
（1）2 （2）
A、 B、 C、 D、
变式训练一：1、下列不是同类二次根式的一组是（）
A、 与 B、 与- C、 与 D、 与
【探究点二】同类二根式的加减法
法则：二次根式相加减，应先，然后。
例2、计算：
（1）2 -3 +6 (2) +3 (3) -2 +5
变式练习二：1、计算：
（1） + （2）2 +3 -4 （3）2 - + - -
21.3.1《二次根式的加减法》导学案
第一课时
一、学习目标:
1、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。
2、经历二次根式的加减法运算法则的形成过程，感悟类比思想。
3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。
二、学习重点、难点：
重点：同类二次根式的概念、识别。会运用二次根式的加减运算法则进行计算。
难点：会运用二次3a+3a=（2）4ab-ab=
2、自主预习课本P10-P11内容，独立完成课本练习1、2题后与小组同学交流（课前完成）。
【探究案】
【探究点一】同类二次根式
通过预习课本P10-P11，回答下列问题：
(1)最简二次根式的定义：。
(2)化简 、 。
(3)叫做同类二次根式。
例1、下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
二次根式的加减法教案
第一题要求学生熟练掌握最简二次根式的概念以及同类二次根式的概念，由学生根据题意列出求 的等式
第二题由学生总结出互为相反数的数学式子，求出
的值
提醒学生在做题时，先观察题目的特点，再选择适当的方法
一学生到黑板上做教师点评
由学生总结，目的使学生对所学知识进行进一步的总结，有了更多次的巩固的机会
总结回顾，梳理要点
意图：让学生体会解决问题的多样性
检测反馈，作业巩固
意图：查漏补缺，巩固提高
计算：1、
2、
计算难度增加，培养学生计算能力和认真细致的学习态度
1、若最简二次根式 和 是同类二次根式，则 的值是多少
2、已知 与 互为相反数，求 的值
3、已知 是正整数，且 求 的值
分析：观察式子左右两端，左端是两个根式相加，等式的右边只有一个根式
如果 ，则 或
学生互相交流，对以上方法进行比较与评析。
让学生明晰灵活的正确的解题方法。
让学生描述此种方程的特点：
①方程左边是两个一次因式的乘积
②右边=0
教学程序设计
教材处理设计
师生互动设计
变式训练，培养能力
（意图：提高学生灵活应用各种方法的能力）
能力提升，开拓学生视野
（意图：通过拓展延伸，培养学生的创新能力）
二次根式的加减法优秀教案、学案一体化设计
课题
二次根式的加减法
年级
初三上
课时
一课时
课型新授编写教 Nhomakorabea目标设计
1、知识目标：①了解同类二次根式的概念,掌握判断同类二次根式的方法
②能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算
2、能力目标：通过比较、分析、综合，培养学生分析问题、解决问题的能力。
初中数学二次根式的加减的教案
练习 2
活动 3 问题 要焊接一个如教科书图 21.3-2 所 示的钢架，大约需要多少米钢材（精确 到 0.1 m）？
此题是与实际相联系的题目， 需要学生先列式， 再计算，并将结果精确到 0.1m．学生考虑问题要全 面，不能漏掉任何一段钢材． 本次活动中，教师应重点关注： （1）学生解决问题的方案是否得当； （2）考虑问题是否全面； （3）计算是否准确．
（2）分析 8 18 的计算过程．
（1） 是否能准确地将 8 和 18 化成最简二次 根式； （2）是否能将分配律运用到此题的计算当中 去． 最后学生在小组讨论的基础上总结计算过程：
（3）下列计算是否正确？为什 么？ ① 8 3 83 ； ② 4 9
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简两题的类似 错误，在做这组练习时，教师着重强调什么样的二 次根式能进行加减运算，运算到哪一步为止．由此 也可以看到二次根式的加减与乘除的不同，只有通 过找出被开方数相同的二次根式的途径，才能进行 加减运算．
课后作业： 教科书第 19 页第 3 题； 21 页第 第 2、3 题． 况．
（2）学生对作业中的实际应用问题的理解情
确性．
教学过程设计
问题与情境 活动 1 问题 （1）现有一块长 7.5dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如教科书图 21．3-1 所示的方式， 在这块木板上截出两个面 积分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木 板？ 师生行为 这是一道解决实际问题的题目，学生分组讨 论，探求方案．教师倾听学生的交流，指导学生探 究． 本次活动中，教师应重点关注： （1）学生是否能设计出解决问题的正确方案； （2）如何比较 8 18 与 7.5 的大小． 在总结计算过程中，教师应重点关注：
二次根式的加减法(2)导学案
文
学习目标(1) 使学生掌握二次根式的运算方法，明确运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；.
(2) 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。
学习重难点教学重点正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算
教学难点二次根式的运算法则
教学流程
预
习
导
航1.二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？
2．什么叫同类二次根式？举例说明。
3．回顾整式的乘法公式：分别用符号表示
多项式乘法公式；
平方差公式；
完全平方公式；
合
作
探
究一、概念探究：
1．怎样计算：？
小组讨论，全班交流。
类比：怎样计算（a-b）（a+2b）？
２．怎样计算：？
回顾：（a-b）（a+b）＝________
３．呢？
课堂小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。
初中数学《二次根式的加减》学历案
《二次根式的加减》学历案课题二次根式的加减课时 1课标要求1.了解同类二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减运算法则，会用他们进行简单的加减混合运算学习目标1.了解同类二次根式的概念,会辨别同类二次根式.2.能熟练地进行二次根式的加法和减法及混合运算.评价任务1.新课导入（指向目标1）2.合作探究、想一想、总结归纳、当堂训练（指向目标1.2）3.例题分析（指向目标2）学习提示：阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习.学习过程资源与建议1.二次根式内容属于“数与代数”领域较基础的内容，尤其是二次根式加减乘除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的重要基础。
在许多解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化简成最简二次根式以及二次根式的加减计算。
2.本节与“整式”、“勾股定理”等联系密切，所以在加强练习的过程中，要注意强调知识之间的相互联系，进一步加深对整式和勾股定理等内容的理解，使学生养成用联系和发展的观点学习数学的习惯。
3.二次根式加减的步骤是先化简再对同类二次根式进行合并，合并的依据是分配律，二次根式乘除的法则的应用以及最后结果要保持最简形式。
第1课时课前准备一、情境引入如图,两个长方形的宽都是a m,它们的长分别是2 m和3 m,用不同的方法求这两个长方形的面积的和.你有什么发现?课中学习一、新课导入（指向目标1）分析说明：通过①不同的方法计算两个长方形的面积和②已知面积求边长的差，两个具体事例引出同类二次根式的概念及运算。
【问题1】如果将上题中的宽改为m,长不变,又该如何表示呢?法一：用两个长方形的面积之和表示为：2322+法二：用整体法表示面积为：25232=+）（ 【问题2】如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正方形的边长比小正方形的边长大多少？列式为： 二、合作探究（指向目标1，2）分析说明：两种方法求面积和，并通过边长由a 变化到2，体会其中数的形式的改变而运算律不变，从而引出同类二次根式的概念。
八年级数学《二次根式的加减》导学案
八年级数学《二次根式的加减》导学案学习目标：1.了解二次根式的加、减运算法则；2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.学习重点：了解二次根式的加、减运算法则.学习难点：会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.一、阅读教材第12页至13页的部分，完成以下问题.探究：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式类比探究在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考：(1)由左图，易得2a+3a= ；___；(2)当a时，分别代入左、右得___+；......(3)当a时，分别代入左、右得_____(4)你能否直接得出当a，时，2a+3b的值？结果能进行化简吗？归纳：（1）判断几个二次根式是否可以合并（加减运算），一定都要化为最简二次根式再判断.（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.例1 若最简根式2可以合并，求.展示反馈：1.是同类二次根式的是（）B.2.m=_____.3.________(填序号）. ②例2 (教材P13例2)计算：例3教材P13例3计算：【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为，求其周长.展示反馈：1.下列计算是否正确？为什么？2.计算:+)二、能力提升已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y-（x．23三、课堂小结达标检测1.能进行合并的是（）D.2.下列运算中错误的是（）（=A. B. = C. 2 D.233.则这个三角形的周长为________.4.计算:(2)；=(4)_______(3_______+=；.5.计算:；(3)a(1)(2)6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（π取3.14）.能力提升5.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a(2*3)－(27*32)的值。
二次根式的加减法(2)导学案
二次根式的加减法(2)导学案课题12.3二次根式的加减法自主空间学习目标使学生掌握二次根式的运算方法，明确运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；.正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。
学习重难点教学重点正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算教学难点二次根式的运算法则教学流程预习导航 1.二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？．什么叫同类二次根式？举例说明。
．回顾整式的乘法公式：分别用符号表示多项式乘法公式；平方差公式；完全平方公式；合作探究一、概念探究：．怎样计算：？小组讨论，全班交流。
类比：怎样计算？２．怎样计算：？回顾：＝________３．呢？课堂小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。
二、例题分析：例３、计算：分析：观察二次根式的特点，类比多项式乘法注意合并同类项与化简例4.计算：合作探究分析：类比平方差公式与完全平方公式，直接运用公式结果要进行化简三、展示交流计算:．四、提炼总结本节课学习了二次根式的运算，在进行运算时要注意什么？二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的,含相同二次根式的项要合并.运算律同样适用于二次根式的运算.计算结果要最简.当堂达标1.计算的结果是A：B：c：D：计算的值是A：4B：-4c：2D：-2若，是的小数部份，则计算当堂达标在Rt△ABc中，∠c=90°，AB=,Ac= 求Rt△ABc的周长和面积.先化简，后求值：其中。
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第四课时：§21.3二次根式的加减法 班级___________ 姓名__________________ 号数__________ 一、复习引入 1．最简二次根式．．．．．．应满足两点：① 被开方数不含分母； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 例：下列根式中，是最简二次根式的是________________.
（1）15a ； （2）18； （3）25x y ； （4）
3ab ； （5）63xy . 2．计算下列各式
（1）32x x -=________； （2）2222233a b a b a b -+
=________.
3．试一试
（1）3323-=________； （2）324a a a -+=________.
二、新课
概括：与整式中同类项．．．（即：含有相同字母，相同字母的指数也相同）的意义相类似，我们把33与23-，3a 、2a -与4a 这样的几个二次根式，称为同类．．
二次根式. 三、例题
例1：试观察下列各组式子，是同类二次根式的有________________.
（1）2322与 （2）32与 （3）205与 （4）1218与
★ 通过例1的解答，我们可以深化同类二次根式概念——几个二次根式化成最简二次根式后．．．．．．．．．
，如果它们的被开方式相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式.（类比同类项）
例2：21a +7是同类二次根式，试写出三个a 的可能取值.___________________. 例3：计算（1）3232233 （2）12183322+
例4：计算（1）11234827（2219234x x x
例5：（1）(107)(107)+- （2）2(123)(123)(231)-+--
四、小结：二次根式加减法计算步骤
① 将每个二次根式化成最简二次根式； ② 找出其中的同类二次根式； ③ 合并同类二次根式. ★ 课后作业
一、选择题
1．二次根式：①12；②22；③23
；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）. A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
2．下列各组中是同类二次根式的是（ ）.
A ．a a 与23
a B ．2x 与43x C ．3x x 与24x x D ．23a 与3a 3．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）.
A ．0.2b
B ．1212a b -
C ．22x y -
D ．25ab
4．如果最简二次根式43a b +与126b a b +-+是同类二次根式，则（ ）.
A ．a = 2，b = 2
B ．a = 2，b = 1
C ．a = 1，b = 2
D ．a = 1，b = 1
5．下列计算：① 538+=； ② 2525+=； ③ 3282a a a -=；
④ 532a a a -=，其中错误的个数为（ ）.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．若1<<2x ，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ）.
A ．21x -
B ．21x -+
C ．3
D ．-3
7．已知231a b -=-，3ab =，则22a b +的值为（ ）.
A ．1323-
B ．133+
C ．13
D ．4383x ，小数部分为y 3x y -的值是（ ）.
A ．333
B 3
C ．1
D ．3
二、填空题
9．计算：（1312； （229334a a。