2009-2010-1商学院线性代数A卷

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09年10月线性代数(经管类)试题答案

全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式=21A （ B ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=C （ A ） A ．ABB ．BAC ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 的行列式1|-=A |，则=-1*)(A （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d cb aB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb as 21（）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ C ） A ．n A r =)(B ．m A r =)(C ．n A r <)(D ．m A r <)(7．已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则下列矩阵中可逆的是（ D ） A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2．．A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101011001433241214321A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z --- C ．232221z z z -- D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a_________．12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C =，则=C _________．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333022A ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-121A _________．14．已知矩阵方程B XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111B ，则=X _________．15．已知向量组a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a _________．16．设)0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则21,ββ的秩为_________．17．设3元方程组增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++01001010a a ，若方程组无解，则a 的取值为_______．19．已知向量k )2,,3(=α与k ),1,1(=β正交，则数=k _________．20．已知321321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的取值范围是_________． 21．计算行列式1111111111111111---+-----+=x x x x D 的值．解：1111111111111111111111111111---+-----=---+-----+=x x x x x xx x x x x D 4000000000111x xx xx =--=．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求||B ．解：由E B BA +=，得E E A B =-)(，1)(--=E A B ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111110012112E A ，21111||=-=-E A ，21||||1=-=-E A B ． 23．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121ax x a x x a x x ，（1）讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3121321110110011101110011),(a a a a a a a b A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--→32121000110011a a a a a ，0321=++a a a 时，方程组有解．（2）),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000011001121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→0000110101221a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333213211x x x a x x a a x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110221k a a a ． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3130631120140121),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------3130643024700121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2470643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------612210643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------15500930031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3100310031300121 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000310031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310060303021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310020103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000310020101001，向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α32132ααα+-．25．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1205B ，存在TT )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在T T )1,0(,)1,3(21==ββ，使得2211,5ββββ-==B B ．试求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：由题意，A 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,αα；B 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,ββ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1211),(211ααP ，则1P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005111AP P ；令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1103),(212ββP ，则2P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005212BP P ．由上可得=-111AP P 212BP P -，从而B P P A P P=--)()(121112，即B P P A P P =---)()(1211121，令=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--13/113/23101121131110312111121P P ，则P 是可逆矩阵，使得B AP P =-1．26．已知323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ．=-||A E λλλλ111111------λλλλλλλλ1111111)2(1212112-----=-------==++-=101011001)2(λλλ)2()1(2-+λλ，A 的特征值为=1λ12-=λ，23=λ．对于=1λ22=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，取=1α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，=2α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101，先正交化：11αβ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011，1211222||||),(βββααβ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12/12/101121101．再单位化：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/1||||1111ββp ，==222||||1ββp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6/26/16/1．对于23=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------211121112→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110101 ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，取=3α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，单位化为==333||||1ααp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/13/13/1．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，经过正交变换Py x =后，原二次型化为标准形 2322212y y y +--．四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ线性无关．。

2009级线性代数A

教研室主任 (签字)：系主任(签字)：第 1 页共 6 页广西师范大学漓江学院试卷（2010—2011学年第一学期）课程名称：线性代数课程序号：ZB 开课系：经济系命题教师：蒋晓云年级、专业：2009级国贸、财管、金融等考试时间：120分钟考试用品：笔、纸考核方式：闭卷 ■ 开卷 □ 试卷类型：A 卷 ■ B 卷 □ C 卷 □一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 若1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233483483483a a a a a a a a a a a a --=- ( ). A. 12； B. 6-； C. 24； D. 12- 2. 设A 、B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是( ). A. ()T T T B A AB =； B. ()()22A B A B A B -=-+； C. ()k k k B A AB = ； D. 若A ，B 可逆，则()111---=A B AB . 3．设6253344621k l a a a a a a 是6阶行列式的一项，则( )。

A. 5,1k l ==,取正号； B. 5,1k l ==,取负号； C. 4,5k l ==,取负号； D. 4,5k l ==,取正号. 4. 设A 为m n ⨯矩阵且秩()A r =的充要条件是（） A ． A 中r 阶子式全不为0，阶数大于r 的子式都为0； B ． A 中所有阶数小于r 的子式都为0，至少有一个r 阶子式不为0； C ． A 中至少有一个r 阶子式不为0，所有1r +阶数子式都为0； D ． A 中r 阶子式不全为0，阶数小于r 的子式都为0。

2009年10月全国自考线性代数(经管类)真题参考答案

中国自考人()——700门自考课程永久免费、完整在线学习快快加入我们吧！2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.A.-2B.-1C. 1D. 2答案：B2.A. AB. BC. CD. D答案：C3.A. AB. BC. CD. D 答案：A4.A. AB. BC. CD. D 答案：A5.A. AB. BC. CD. D 答案：B6.A. AB. BC. CD. D答案：C7.A. AB. BC. CD. D答案：D8.下列矩阵中不是初等矩阵的为()A. AB. BC. CD. D答案：D9.A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10.A. AB. BC. CD. D答案：D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1. 图中空白出应为：___答案：22. 图中空白出应为：___答案：3. 图中空白出应为：___答案：4.图中空白出应为：___答案：5.图中空白出应为：___答案：16.图中空白出应为：___答案：27.图中空白出应为：___答案：-18.图中空白出应为：___答案：249.图中空白出应为：___答案：-110.图中空白出应为：___答案：-3＜a＜1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：四、证明题（本题6分）1.答案：中国自考人()——改写昨日遗憾创造美好明天！用科学方法牢记知识点顺利通过考试！。

2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题和参考答案

2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.A.-2B.-1C.1D.2答案：B2.A.AB.BC.CD.D答案：C3.A.AB.BC.CD.D答案：A4.A.AB.BC.CD.D答案：A5.A.AB.BC.CD.D答案：B6.A.A2 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案3B.BC.CD.D答案：C7.A.AB.BC.CD.D答案：D8.下列矩阵中不是初等矩阵的为()A.AB.BC.CD.D答案：D9.A.1B.2C.3D.4答案：B10.4A.AB.BC.CD.D答案：D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.图中空白出应为：___答案：22.图中空白出应为：___答案：3.图中空白出应为：___ 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案5答案：4.图中空白出应为：___9.图中空白出应为：___答案：5.图中空白出应为：___答案：16.图中空白出应为：___答案：27.图中空白出应为：___答案：-18.图中空白出应为：___答案：246 自考资料,自考白皮书72009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案8答案：-110.图中空白出应为：___答案：-3＜a ＜1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.答案：2. 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案9答案：3.答案：4.答案：5.答案：10 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案116.答案：四、证明题（本题6分）1.12 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案13答案：。

线性代数A试卷答案(无框版)

A、 A − 1 + B
−1
B、 A + B
C、 ( A + B ) − 1
D、 A( A + B) B
−1
)5 设 α1 ,α 2 ,… ,α m 是 n 维向量组, 下列命题中正确的是( B )
A、如 α m 不能由 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性表示 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性相关; B、如 α1 ,… ,α m 线性相关 , α m 不能由 α 1 ,… , α m −1 线性表示 , 则 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性相关 ; C、如 α 1 ,α 2 ,… ,α m 中, 任意 m − 1 个向量都线性无关 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性无关; D、零向量不能由 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性表示 .
得分
评阅人
三、计算题（每题 9 分, 共 45 分. ）
⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ x ⋯ a2 0 0 ⋮ 的值. −1 a1 + x
10
x −1 0 0 x −1 计算 n 阶行列式 D = ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 an an−1 an−2
解：采用按最后一行展开计算，可得结果 D = a n ( − 1) n + 1 ( − 1) n − 1 + a n − 1 ( − 1) n + 2 ( − 1) n − 2 x + ⋯
四、证明题（每题 10 分, 共 20 分）
n-1
15
设 A 为 n(n ≥ 2) 阶方阵, 证明 : A* = A
n
.
证：因为 AA* = A E. ，所以 A A* = A . 分两种情况证明
(1) A ≠ 0. 由上式可知 A* = A

2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案

西南财经大学200 － 200 学年第学期专业科级（年级学期）学号评定成绩（分）学生姓名担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述一 — 四题全作计100分，两小时完卷）考试日期：试题全文：一、填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。

3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。

4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。

5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。

二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（）（A)、有无穷解（B)、有唯一解（C)、无解（D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（）（A)、个数唯一（B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（）。

(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（）。

（A)、有唯一解（B ）、有无穷解 (C)、有解（D)、可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。

（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（）。

（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（）（A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵（D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零（D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （）（A)、正定（B)、半正定（C ）、负定（D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。

2009年1月自考线性代数(经管类)试题与答案

全国2009年1月自考线性代数(经管类)试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++428410352zyxzyxzyx的解为（）A．x=2,y=0,z=-2 B．x=-2,y=2,z=0 C．x=0,y=2,z=-2D．x=1,y=0,z=-12．设矩阵A=⎪⎭⎫⎝⎛3421，则矩阵A的伴随矩阵A*=（）A．⎪⎭⎫⎝⎛1423B．⎪⎭⎫⎝⎛--1423C．⎪⎭⎫⎝⎛1243D．⎪⎭⎫⎝⎛--12433．设A为5×4矩阵，若秩（A）=4，则秩（5A T）为（）A．2 B．3 C．4 D．54．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（）A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关5．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56．设m×n矩阵A的秩为n-1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（）A．kξ1，k∈R B．kξ2，k∈R C．kξ1+ξ2，k∈R D．k(ξ1-ξ2),k∈R7．对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（）A．r=m时，方程组Ax=b有解B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解D．r<n时，方程组Ax=b有无穷多解8．设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3131121111，则A的线性无关的特征向量的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（）本套试题共分7页，当前页是第1页-本套试题共分7页，当前页是第2页-A ．31αB ．51αC ．91α D ．251α10．二次型f （x1，x2）=222135x x +的规范形是（）A ．2221y y -B ．2221y y --C ．2221y y +-D ．2221y y +二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．3阶行列式313522001=____ ____.12．设A=（3，1，0），B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--530412，则AB=__ ______. 13．设A 为3阶方阵，若|A T |=2，则|-3A|=__ ____.14．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_ ___.15．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解为__ __.16．设非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-642002********* ，则该方程组的通解为 . 17．已知3阶方阵A 的特征值为1，-3，9，则=A 31__ _____.18．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y ）正交，则y=__ ___.19．二次型f (x1,x2,x3,x4)=2423222123x x x x -++的正惯性指数为___ _____.20．若f (x1,x2,x3)=32312123222142244x x x x x x x x x +-+++λ为正定二次型，则λ的取值应满足___ ____. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=.533335333353333522．设A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211111，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121，又AX=B，求矩阵X.23．设矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛142853，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3952121，求矩阵AB的秩.24．求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩.本套试题共分7页，当前页是第3页-25．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++5532442432143214321xxxxxxxxxxxx的一个基础解系.26．设矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21121，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β3线性无关.本套试题共分7页，当前页是第4页-全国2009年1月自考线性代数(经管类)试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++428410352zyxzyxzyx的解为（A）A．x=2,y=0,z=-2 B．x=-2,y=2,z=0 C．x=0,y=2,z=-2 D．x=1,y=0,z=-12．设矩阵A=⎪⎭⎫⎝⎛3421，则矩阵A的伴随矩阵A*=（B）A．⎪⎭⎫⎝⎛1423B．⎪⎭⎫⎝⎛--1423C．⎪⎭⎫⎝⎛1243D．⎪⎭⎫⎝⎛--12433．设A为5×4矩阵，若秩（A）=4，则秩（5A T）为（C）A．2 B．3C．4 D．54．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（C）A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关5．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（A）A．2 B．3C．4 D．56．设m×n矩阵A的秩为n-1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（D）A．kξ1，k∈R B．kξ2，k∈RC．kξ1+ξ2，k∈R D．k(ξ1-ξ2),k∈R7．对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（A）A．r=m时，方程组Ax=b有解B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解D．r<n时，方程组Ax=b有无穷多解本套试题共分7页，当前页是第5页-本套试题共分7页，当前页是第6页-A ．1B ．2C ．3D ．49．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ B ）A ．31αB ．51αC ．91αD ．251α10．二次型f （x1，x2）=222135x x +的规范形是（ D ）A ．2221y y -B ．2221y y --C ．2221y y +-D ．2221y y +二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．3阶行列式313522001=_____1____.12．设A=（3，1，0），B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--530412，则AB=__（2，3）_______. 13．设A 为3阶方阵，若|A T |=2，则|-3A|=___-54______.14．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_（-4，0，-5，-9）____.15．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解为___零解___.16．设非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-642002********* ，则该方程组的通解为12213201k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 17．已知3阶方阵A 的特征值为1，-3，9，则=A 31__-1_______.18．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y ）正交，则y=___2______.本套试题共分7页，当前页是第7页- 19．二次型f (x1,x2,x3,x4)=2423222123x x x x -++的正惯性指数为___3______.20．若f (x1,x2,x3)=32312123222142244x x x x x x x x x +-+++λ为正定二次型，则λ的取值应满足___21λ-<<____.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=.5333353333533335=112 22．设A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2100110011，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011021，又AX=B ，求矩阵X=132120-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 23．设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100042853，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030095201201，求矩阵AB 的秩=3. 24．求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩=2.25．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0553204420432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系122233,1001ζζ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210120001，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵111001,0113011P AP P -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β3线性无关. 略。

2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案

2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、（8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
第 3 页
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分）证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3，得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示，设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。

成都信息工程学院 09-10学年线性代数试题A答案[1][1]

2009——2010学年第一学期课程名称：线性代数与空间解析几何使用班级：08级全校理工各专业一.解： 12111111111110111101111101111011(1)1110111101111101111nir r n n n An n n +--∑-==-----（6分）1111110100000100(1)(1)(1)0001001n n n ---=-=------（4分）二.(10分)解：由2,AX A X =+得 (2)A I X A -=而101211010012A I -=-=-≠，所以2A I -可逆，1(2)X A I A -=- ---（4分） 101301101301(2)1101100112110121401214A I A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100522010432001223--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 故522432223X --⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭——（6分）三、(10分) 解: 所求平面过点1M ，可设它的方程为(4)(1)(2)0A x B y C z -+-+-= -----（3分）因为该平面与已知平面垂直且与12M M平行，所以有62307430A B C A B C -+=⎧⎨-+-=⎩ 求得33,510A CB C=-=-， -----（5分）故，所求平面方程为631070x y z +--= ————（2分）四.(10分) 解:1234132013201043(,,,)1441012101211210121000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4分） 1.()2R A =，向量组1234,,,αααα线性相关. --------（3分） 2. 12,αα为极大无关组， 31241242,3αααααα=-+=-+ ————（3分）五.(10分)解: 1. 设ξ是属于特征值0λ的特征向量，即02121153111211a bλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-----（2分）即0001,2,.1a b λλλ-=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩解得 01,3,0.a b λ=-=-= -----（3分） 2. 3212533(1)12I Aλλλλλ---=-+-=++ -----（3分）因此特征值为1231,λλλ===-又因为312()5232101R I A R --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭因此属于1的特征向量只有1个，因此，A 不能对角化 . -----（2 分）六.(10分)解: 331024113137()313401241598000B A b ⎛⎫---⎛⎫ ⎪⎪⎪==--→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ -----（4分）由于()()2R A R B ==，方程组有解，对应方程组为;132333243724x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 令30x =，得特解102334740x x x η⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ -（2分）对应齐次方程组为;12223232x x x x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 令31x =，得基础解系12332321x x x ξ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2分）故，方程组的通解为：3342734201k η⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k R ∀∈ ————（2分）七.(10分)解: 240031(4)(2)013I A λλλλλλ--=--=----故得特征值1232,4λλλ=== -----（3分）当12λ=时，由 123200001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得基础解系 1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，单位化得10e ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ - ⎝-----（2分）当234λλ==时，由 123000001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得基础解系 23100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23,ξξ刚好正交，单位化得23010,0e e ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝ ， -----（2分）于是得正交阵01000C ⎛⎫⎪=⎝有 1244T C AC C AC -⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭-----（3分）八.(10分)解: 作变换：11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ -----（3分）则 2212312123123(,,)()()f x x x y y y y y y y y =-+-++22222121313232()y y y y y y y y =-+=+-- -----（3分）令 1122233z y y z y z y=+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故标准形为222123123(,,)f x x x z z z =-- -----（4分）九.(10分)解: 由方程组消去y ，得到曲线Γ在xoz 面上的投影曲线方程为:2240z x y ⎧+=⎨=⎩曲线Γ在母线平行于z 轴的柱面上，故曲线Γ在xo y 面上的投影曲线方程为: 2220x y x z ⎧+-=⎨=⎩十.(8分)解: 由于 1223312,2,32a αααααα+++ 线性相关，所以有不全为零的123,,x x x ，使 112223331(2)(2)(32)0x x a x αααααα+++++=即 131122233(2)(22)(3)0x x x x ax x ααα+++++= -----（4分）因为 123,,ααα线性无关，故有1312232022030x x x x ax x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于不全为零，从而齐次方程组有非零解，系数行列式必为零.即 1023220640,23a a a=+==------（6分）。

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分）1. 设﹑是任意阶方阵，那么下列等式必成立的是（）(A）（B) （C） (D）2。

如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量，那么矩阵的秩为（）（A） (B）（C) （D）以上答案都不正确3.如果三阶方阵的特征值为，那么及分别等于( ）（A）（B）（C) (D）4。

设实二次型的矩阵为,那么（）(A) （B) (C） (D)5.若方阵A的行列式,则（）（A） A的行向量组和列向量组均线性相关 (B）A的行向量组线性相关，列向量组线性无关（C） A的行向量组和列向量组均线性无关 (D）A的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题（每小题3分，共30分)1 如果行列式有两列的元对应成比例，那么该行列式等于；2. 设,是的伴随矩阵，则；3. 设,是非齐次线性方程组的解，若也是它的解，那么；4. 设向量与向量正交，则；5。

设为正交矩阵,则；6。

设是互不相同的三个数，则行列式；7. 要使向量组线性相关，则；8. 三阶可逆矩阵的特征值分别为,那么的特征值分别为；9. 若二次型是正定的，则的取值范围为；10。

设为阶方阵，且满足，这里为阶单位矩阵，那么.三﹑计算题（每小题9分，共27分）1. 已知,,求矩阵使之满足。

2. 求行列式的值。

3 求向量组的一个最大无关组和秩.四﹑(10分）设有齐次线性方程组问当取何值时, 上述方程组(1）有唯一的零解﹔（2）有无穷多个解，并求出这些解.五﹑（12分）求一个正交变换，把下列二次型化成标准形：.六﹑（6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为。

线性代数(A卷）答案一﹑1。

D 2。

C 3。

B 4. A 5。

A二﹑1。

0 2. 3。

1 4。

3 5。

1或—16. 7。

0 8。

9。

10。

三﹑1。

解由得。

(2分）下面求。

由于(4分)而. (7分)所以。

（9分）2。

安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答

安徽大学2009--2010《高等数学》试卷与解答安徽大学2009--2010学年第一学期《高等数学A(一)》考试试卷(A 卷)(闭卷时间120分钟)一、填空题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 若+∞→x lim （12+-x x -（ax+b ））= 0, 则a =▁▁▁▁▁▁▁▁▁，b = ▁▁▁▁▁▁▁▁ .2. 设函数y = y(x)由方程52arctan 2=+-=e ty y t x t所确定，y = y(x) 关于x 的一.3.若f(x)= ,0,1sin x x a00=≠x x 在x=0处右导数存在，则a 的取值区间为▁▁▁▁▁▁. 4.求lnx 在x 0=1处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 展开式: ▁▁▁▁▁▁▁▁5. 微分方程y "+y '=x 的通解为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.二、选择题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)1. 已知数列{x n }、{y n }满足∞→n lim x n y n =0, 则下列断言正确的是( ).A. 若{x n }发散, 则{y n }不发散.B. 若{x n }无界, 则{y n }必有界C. 若{x n }有界, 则{y n }必为无穷小量.D. 若{nx 1}为无穷小量, 则{y n }必为无穷小量. 选 D. 理由:A ，B 不正确，如x n ==-=k n n k n 2,12,0,y n ==-=kn k n n 2,012,C 不正确如2. 设f(x)= ∞→n lim1sin )1(2+-nx xn ,则( ).A.f(0)不存在.B. f(0) 存在，且x=0为可去间断点.处连续.3. 曲线y=x 4-2x 2+2的拐点个数为( ).A. 0.B. 1.C. 2 D . 3.4. 设f '(x) 存在且连续，则[?)(x df ]'= ( ).A. f '(x).B. f '(x)+C. C. f(x).D. f(x)+C. 选A. 理由:?)(x df =f(x)+C5. 设f(x) 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是( ). A. dt t f x2)(. B.dt t f t f t x-+0C.dt t f x2)(. D.dt t f t f t x--0))()((选B. 理由:A,D 不正确:)(2t f ,t(f(t)-f(-t)) 均为偶函数;B 正确:t(f(t)+f(-t)) 为奇函数; C 不正确: 当f(x) 为奇函数或偶函数时)(2x f 为偶函数三、计算题(本题共8小题, 每小题7分, 共56分)1. ∞→n limn n n n 22cos sin +2. 若0lim →x x x f cos 1)(- = 4, 求0lim →x (1+xx f )()x1.3. 设a>0, a 1>0, a 1+n =21(a n +n a a ), n=1,2, …. 求极限∞→n lim a n4. 0lim →x 21xxtt sin 02arctan dt .+++)1ln(1)1(1x x dx . (x>0)6.?-112x x dx . (x>0)7. 设xsin 是f(x) 的一个原函数, 求?103)('dx x f x .8. 求曲线Γ: y =dt t xsin (x ∈[0, π]) 的长.四、综合分析题(本题共2小题, 每小题7分, 共14分)1.讨论函数y =(x+1)2-3｜x ｜在[-3,3)上的最值.2. 讨论广义积分?∞++01nmx x dx (n ≥0)的敛散性。

上海应用技术学院09-10线性代数期末(A)试卷

上海应用技术学院2009—2010学年第一学期《线性代数A 》期（末）（A ）试卷课程代码: XXXXXX 学分: 2 考试时间: 100 分钟课程序号: XXXXXXX 班级：学号：姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1、七阶行列式a a ij =，则-=a ij __________。

2、三阶行列式a a ij =，则a A a A a A 113112321333++=________，其中A ij 是代数余子式。

3、010100001143201120⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪X ，则X =____________________。

4、已知300030003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，满足AB A B =+，则B =_______________。

5、设1200210000120011A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则=-1A ____________________。

6、设A 为5阶方阵，且12A =，则()1*3A --=______________。

7、设A 为3阶方阵，且2A =，则1*A A -+=______________。

8、含有零向量的向量组必线性_________（填写相关或无关）。

9、设1(1,0,1)=-α，2(0,2,0)=α，3(2,0,)t =α，则t =_______时，线性相关。

10、n 阶矩阵A 的秩为1n -，则线性方程组AX O =的基础解系中含有______个线性无关的解向量。

二、计算题（本大题共6小题，共计64分）1、计算n 阶行列式12000012000001220001n D =。

（本题10分）2、设有3阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d c a d c a d c a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d c b d c b d c b B ，且已知2=A ，21=B ，求B A +。

2009-2010-1线性代数A卷参考答案

当 a －2， b －1 时， r(A) r(A) ＝2 < 3，方程组有无穷多组解, 其通解为 (3,1,0)T k(2,1,1)T ， k 为任意常数。…………………10 分
广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 3 页，第 1 页
六、解：设有 x0 , x1, x2 ,, xk 使得
x0 x1( 1) x2 ( 2 ) xk ( k ) 0 ，
(1)
(x0 x1 x2 xk ) x11 x22 xkk 0 ,
若 x0 x1 x2 xk 0 ，则可由1, 2 ,, k 线性表示，
x1 x2 xk 0 ， x0 (x1 x2 xk ) 0 ，
因此向量组 , 1, 2 ,, k 线性无关.…………………………………10 分
4 6 0
七、解：由 A E 3 5 0 12 2，
011
2 0 1
1 0 0
令
P
1,2 ,3

1
0
1

，则有：
P1 AP

0
1
0

……2
广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 3 页，第 2 页
广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 3 页，第 3 页
(2)………4 分
是 Ax 0 的解,与已知矛盾.故必有 x0 x1 x2 xk 0 ，
从而 x11 x22 xkk 0 ，………………………………………………………7 分
由1, 2 ,, k 是 Ax 0 的一个基础解系知1, 2 ,, k 线性无关，

线性代数课程期末考试试卷(A卷)1

信息学院本科生2009－2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业：年级：学号：姓名：成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“⨯”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)1. 方阵,A B 满足，则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。

( )2. 若方阵A 有0k A =（0k >为整数）, 则必有||0A =。

( )3. ,A B 为同型矩阵，且秩(A)＝秩(B)，则0AX = 与0是同解方程组。

( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定，则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ，使T F AF 为对角矩阵。

(B) 的所有的特征值均为正值。

A (C) 是不可逆矩阵。

A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ，必有。

0T X AX >5. n 维向量,αβ正交，则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。

0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。

(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间，T 是V 中一个任意的线性变换，则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。

n (D) 是线性空间V 中线性变换，向量组T 12,,,m ααα 线性无关，则12,,,T m T T αα α线性无关。

)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。

2009-2010-1线性代数A卷答案

2009-2010（上）线性代数参考答案A一、填空题（每空3分，共21分）1．12； 2．100122010345⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； 3．14-或； 4．1(3)2A E +； 5．3； 6．(2),(3),(5)；7．555,,423； 24； 8．t 9．相关。

二、（5分）解：312586254310532273222735324112411211010001----==--- ——（3分）07979209726497112===- ——（2分）三、（10分）解：由 2(2)AB A B A E B A =+⇒-=， ——（2分）而101(2)110012A E ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭， ——（2分）101301(2,)110110012014A E A ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭——（2分） 101301100522011211010432012014001223--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭——(2分) 故 522432223B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭——(2分)四、（10分）解： 123411321326(,,,)151103142A αααα--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭——（2分） 1000010200100000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭——（2分）由行最简形可得：3A R = ， ——（2分）123,,ααα是向量组A 的一个极大无关组，——（2分） 422αα= 。

——（2分）五、（10分）解：由4元 Ax b =的 ()3R A =，可知 0Ax =的基础解系只含一个向量ξ。

—— (2分)由于 123,,ηηη是Ax b =的三个解向量，根据解的性质，可知 2312ηηη+- 是0Ax =的解向量。

—— (4分)令12334256ξηηη⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程的通解为3243()5465x k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

江西农业大学2009—2010第一学期《线性代数》试卷_(A) - 副本

线
= (−2, 4, b)T 线性相关，则 a = − 2
b=
6
.
二．单项选择题（2 分×6=12 分）
1. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式不正确的是（ B ）. ．．． A. ( A + B ) =A + B
T T T
B. ( A + B )
T
−1
=A−1 + B −1
T T
·
a13 a23 = （ D ）. a33
D. −16
C. 16
永远支持软件 097
——第 1 页本试卷共 4 页
3. 设 α1 ， α 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， β 是对应的齐次方程组 Ax = 0 的解，则
Ax = b 必有一个解是（ D ）.
A. α1 + α 2 B. α1 − α 2 C. β + α1 + α 2 D. β + α1 +
2 2
姓名：
AB = BA
.
不
5. 已知 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1 ﹑ −2 ﹑ 3 ，则 A =
− 6 ， A−1 = − 1 ， A∗ = 36 ，
6
A − 2E = 4 .
软件 097
订
6. 方程组内
λ x1 + x2 = 0
x1 + λ x2 = 0
有非零解，则 λ = 1 或 − 1 .
订
C. ( AB )
−1
= B −1 A−1 a12 a22 a32
D. ( AB ) = B A
院系：
装
装
全

2009年01月线性代数(经管类)试题及答案

全国2009年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++4284103520z y x z y x z y x 的解为（ A ）A ．2,0,2-===z y xB ．0,2,2==-=z y xC ．2,2,0-===z y xD ．1,0,1-===z y x2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34A ，则矩阵A 的伴随矩阵=*A （ D ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1423B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1423C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1243D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12433．设A 为45⨯矩阵，若秩（A ）=4，则秩（T A 5）为（ C ） A ．2B ．3C ．4D ．54．设B A ,分别为nm ⨯和k m ⨯矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由),(B A 的列向量构成的向量组，则必有（ C ） A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关的个数是（ A ） A ．2B ．3C ．4D ．5210=Ax 的通解为（）A ．1ξk ，R k ∈B ．2ξk ，R k ∈C ．21ξξ+k ，R k ∈D ．)(21ξξ-k ，R k ∈n m ⨯A ．r =m 时，方程组b Ax =有解B ．r =n 时，方程组b Ax =有唯一解C ．m =n 时，方程组b Ax =有唯一解D ．r<n 时，方程组b Ax =有无穷多解8．设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300013001120A ，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．4A ．α31B ．α51C ．α91D ．α251 10．二次型212135),(x x x x f +=的规范形是（ D ） A ．2221y y -B ．2221y y --C ．2221y y +-D ．2221y y +二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．3阶行列式=313522001__1__．12．设)0,1,3(=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5304B ，则=AB )3,2(．13．设A 为3阶方阵，若2||=T A ，则=-|3|A __-54__．15．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111xa x a x a x a x a x a x a x a x a 的解为0321===x x x ．16．设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6420021010 ，则该方程组的通解为T T k )1,2,1,2()0,3,2,1(--+．__2__19．二次型=),,,(4321x x x x f 432123x x x x -++的正惯性指数为__3__． 20．若=),,(321x x x f 32312123222142244x x x x x x x x x +-+++λ为正定二次型，则λ的取值应满足12<<-λ．21．计算行列式5333353333533335=D ．解：8881120002000020*******33113531133511333115333353333533335=⨯=⋅===D ． 22．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/100110011A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011021B ，又B AX =，求矩阵X ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1000100012/100110011).(E A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001100110011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200210001100010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200210211100010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200210211100010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2002102111A ， ==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200210211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021231． 23．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100042853A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=030095201201B ，求矩阵AB 的秩．解：024253100042853||≠===A ，A 可逆，而B 的秩为3，所以AB 的秩为3．24．求向量组)2,3,4,1(1-=α，)1,4,5,2(2-=α，)3,7,9,3(3-=α的秩．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛379314522341321ααα→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----323032302341→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000032302341，321,,ααα的秩为2．25．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0553204420432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=553244211111A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛331033101111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000033101111→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000033102201， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=+=44334324313322x x x x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10322ξ． 26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210120001A ，求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵．解：A 的特征多项式为=-||A E λ)34)(1(2112)1(2101200012+--=-----=-----λλλλλλλλλ)3()1(2--=λλ，特征值为121==λλ，33=λ．对于121==λλ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110000→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000110，⎪⎩⎪⎨⎧=-==333211x x x x x x ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011p ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102p ．对于33=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110110002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110001，⎪⎩⎪⎨⎧===333210x x x x x ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103p ．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110110001P ，则P 是可逆矩阵，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3000100011AP P ．四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设向量组321,,ααα线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=，证明：向量组321,,βββ线性无关．证：设0332211=++βββk k k ，即0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ， 0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，因为321,,ααα线性无关，必有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，021111110110101110011101||≠=-=-==A ，方程组只有零解：0321===k k k ，所以321,,βββ线性无关．。