学而思第4讲盈亏问题教师版

第4 讲盈亏问题

教学目标本讲主要学习三种类型的盈亏问题：

1. 理解掌握条件转型盈亏问题：

2. 理解掌握关系互换性盈亏问题;

3. 理解掌握其他类型的盈亏问题，本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义，在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。经典精讲盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈” “两亏”。

1. “盈亏”型例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4 粒就多9 粒，如果每人分5 粒则少6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分4 粒就多9 粒，，第二种每人分5 粒则少6 粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为15 1 15 （位），糖果的粒数为： 4 15 9 69 （粒）。

2. “盈盈”型

例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10 个桃，就多出9 个桃，每只小猴分11个桃则多出2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

分析：老猴子的第一种方案盈9 个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差是11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：7 1 7 （只），老猴子有7 10 9 79 （个）桃子。

3. “亏亏”型例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第一次分配时每人少发一本，也就是共有7 1 7 （人）书有7 10 9 61（本）。根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式：

（盈+亏）两次分得之差=人数或单位

数

（盈-盈）两次分得之差=人数或单位数

（亏-亏）两次分得之差=人数或单位数条件转化型的盈亏问题这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之成为普通盈亏问题。

【例1】军队分配宿舍，如果每间住3 人，则多出20 人；如果每间住6 人，余下2 人可以每人住一个房间，现在每间住10 人，可以空

出多少个房间？

【分析】每间住6 人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少6 2 2 10 （人），那么两次分配方案人数相差20+10=30（人），即可以空出10-50 10 5 （间）房间。

【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人，则34 人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4 个房间。求学生宿舍有多少间，住

宿学生有多少人？

【分析】把“每个房间住14 人，则空出4个房间”转化为“每间住14 人，

则少14 4 56（人）”这样两种方案就可以比较了。第一种方案多出34 人，第二种方案少56 人，90 2 45（间），学生数为：12 45 34 574（人）［例2］妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4 个，其余人每人分2 个，则多出4 个；如果其中一人分6 人，其余人每人分4 个，则缺少12 个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？【分析】由“其中两人分4 个，其余每人分2个，则多出4个，”转化为全家每人都分2个，这分4 个的两人每人都拿出2个，共拿出4 个，结果就多了4+4=8个：由“一人分6个，其余每人分4 个，则缺少12 个”转化为全家每人都分4 个，分6 个的人拿出2 个。结果就少了12-2=10 个，转变成了盈亏问题的一半类型,则：全家的人数：［4 2 2 （12 2）］（4 2） 18 2 9 （人）橘子的个数：

2 9 8 26 （个）

铺垫】实验小学的少先队员去植树。如果每人种5 棵还有3 棵每人种；如果其中2 人各种4 棵。其余的人各种6 棵，这些树苗正好种完，问有多少少先队员参加植树，一共iozhong 多少课树苗？【分析】这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4 棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2 人各种4 棵，其余的人各种6 棵。如果我们把他们统一成一种情况，让每人种六棵，那么，就可以多种树（6-4） 2 4 （棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种5 棵树苗，还有3 棵没人种;如果每人种6 棵数树苗，还缺4 棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数：[3+（6-4）2] （6 5） 7（人），棵树： 5 7 3 38 （棵）或 6 7 4 38（棵）【小结】盈亏问题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象，而本题中两次分橘子均不是每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时，不需将其调整成两次都是平均分，然后解答。

【例2】学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60 米，可

提早10 分钟到校；如果每分钟走50 米，可提早8 分钟到校，

求小明几时几分离家刚好8 时到校？由家到学校的路程是多少？【分析】小明每分钟走60 米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走

60 10 600 米，如果每分钟走50 米，可提早8 分钟到校，即到校后

还可多走50 8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走

60-50=10（米），就可以夺走600-400=200（米），从而可以求出

小明由家道校所需时间。

1）10 分钟走多少米？60 10 600 （米），

2）8 分钟走多少米？50 8 400 （米）

3）需要时间：（600-400）（60 50） 20 （分钟），所以小明7时40 分离家刚好8 时到校。

4）由家到校的路程：60 （20 10） 600（米）或50 （20 8） 600（米）.

铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走50 米，上课就要迟到3 分钟；如果每分钟60 米，就可以比上课时间提前2 分钟夺走60-50=10（米），就可以夺走150+120=270（米），童童从家到学校所用时间是：270

10 27 （分钟），加到学校的距离是：50 （27 3） 50 30 1500 （米）。

例4 】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算以下，如果增加一条船，正好每条船作6 人；跑如果减少一条船，正好每条船

坐6人。如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少学生

分析】先增加一条船，那么正好每条船坐6 人。然后去掉两条船，就会余下