高中数学第1章导数及其应用1.2.2函数的和差积商的导数学案苏教版选修2_22

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数

学习目标 1.理解导数四则运算法则.2.能利用导数四则运算法则求导．

知识点 导数的四则运算

思考1 已知函数f (x )＝x 2

，g (x )＝x ，试求f ′(x )和g ′(x )．

思考2 分别求函数f (x )＋g (x )，f (x )－g (x )，f (x )·g (x )，f x

g x

的导数．

思考3 你能发现f (x )±g (x )，f (x )·g (x )，f x

g x

的导数与f ′(x )，g ′(x )的关系吗？

设两个函数分别为f (x )和g (x )，则有：

[

f x

g x

]′＝______________(g (x )≠0)

类型一 应用导数的运算法则求导

例1 求下列函数的导数：

(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x

；(2)y ＝x 2＋1

x 2＋3；

(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x tan x .

反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．

(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．

(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2

＋3)(3x －2)； (2)y ＝2x

cos x －3x ln x ； (3)y ＝x －1

x ＋1

.

类型二导数运算法则的应用

例2 求曲线y＝2x

x2＋1

在点(1,1)处的切线方程．

反思与感悟求函数f(x)图象上的点P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤为：

先求出函数在x0处的导数f′(x0)(即在点P处切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程，若切点未给出，可先设出，然后由题目所给条件列方程求出即可．

跟踪训练2 求过点P(1,3)且与曲线y＝x3－x＋3相切的切线方程．

类型三 知切线方程求参数 例3 已知函数f (x )＝

ax －6

x 2＋b

的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数y ＝f (x )的解析式．

反思与感悟 (1)解答本题的关键是能正确根据条件进行求导运算、列出方程组． (2)解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标，因为切点的

横坐标与导数有着直接的联系． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b

x

，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.求a ，b 的值．

1．设y ＝－e x

sin x ，则y ′＝______________________. 2．函数f (x )＝cos x

1－x 的导数为__________________．

3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.

4．设函数f (x )＝x 3

－3ax ＋b (a ≠0)．若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，则ab ＝________.

5．已知曲线C ：y ＝x 3

－3x 2

＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．

1．导数的求法

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．

2．和与差的运算法则可以推广

[f(x1)±f(x2)±…±f(x n)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(x n)．

3．积商的求导法则

(1)若c为常数，则[c·f(x)]′＝c·f′(x)；

(2)类比[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)记忆，[f x

g x

]′＝

f x

g x －f x g x

g2x

；

(3)当f(x)＝1时有[1

g x ]′＝－

g x

g2x

.

提醒：完成作业 1.2.2

答案精析

问题导学 知识点

思考1 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1.

思考 2 [f (x )＋g (x )]′＝2x ＋1，[f (x )－g (x )]′＝2x －1，[f (x )·g (x )]′＝3x 2

，[

f x

g x

]′＝1. 思考3 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )， [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )， [

f x

g x ]′＝f

x g x －f x g

x

g 2x

.

f ′(x )＋

g ′(x ) f ′(x )－g ′(x ) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )

f

x g x －f x g

x

g 2x

题型探究

例1 (1)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x

＝x 2＋x 3＋x 4

，

∴y ′＝(x 2

)′＋(x 3

)′＋(x 4

)′＝2x ＋3x 2

＋4x 3

. (2)方法一

y ′＝

x 2＋x 2＋－x 2

＋x 2＋

x 2

＋2

＝

2x x 2＋

－2x x 2＋

x 2＋

2

＝

4x x 2

＋

2

.

方法二 y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2

x 2＋3，

y ′＝(1－2x 2＋3)′＝(－2

x 2＋3

)′

＝－x 2＋

－－x 2＋

x 2

＋2

＝

4x x 2

＋

2

.

(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2

＋18x ＋23. 方法二 y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2

＋4x ＋3)(x ＋5)