【拿高分,选好题】高中新课程数学(人教)二轮复习专题专题阶段评估2

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年高考数学二轮复习阶段评估2 新人教版

专题阶段评估(二)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选择项易知C 满足题意．答案： C2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析： ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2，(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.答案： C3．(2012·陕西五校三次联考)在数列{a n }中，a 1＝2i(i 为虚数单位)，(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n (n ∈N *)，则a 2 012的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．2i解析： ∵(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，∴a n ＋1a n ＝1－i 1＋i＝－2＋－＝－i ，故{a n }是以2i 为首项，－i 为公比的等比数列，∴a 2 012＝2i×(－i)2 012－1＝2i×(－i)4×502＋3＝2i×i＝－2.答案： A4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝λ|DC |，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝( ) A ．λa ＋bB ．a ＋λbC.1λa ＋b D ．a ＋1λb解析： AC →＝AD →＋DC →＝b ＋1λAB →＝b ＋1λa .故选C.答案： C5．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( )A ．4 3 B.654 C ．4D.233解析： 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α＝1＋4tan 2αtan α＝654.答案： B6．(2012·山东潍坊一模)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a ·b ＝85，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A ．－35B ．－45C.35D.45解析：由a ·b ＝85，得2cos x ＋2sin x ＝85，∴22cos x ＋22sin x ＝45，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，故选D.答案： D7．△ABC 的外接圆半径R 和△ABC 的面积都等于1，则sin A sin B sin C ＝( ) A.14 B.32C.34D.12解析：由a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，S △ABC ＝12ab sin C ＝1，可得S △ABC ＝12×4R 2sin A sin B sin C ＝1，∵R ＝1，∴sin A sin B sin C ＝12.答案： D8.(2012·河北衡水中学一模)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝( )A.π6B.7π12 C.76π D.73π 解析：由题中图象知T 4＝π3－π12，∴T ＝π，∴ω＝2.则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ，由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，∴A ＝712π，∴A ·ω＝76π.故选C. 答案： C9．(2012·长春市调研)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形解析：依题意得：cAC →＋aPA →＋bPB →＝cAC →－12a (AB →＋AC →)＋12b (AB →－AC →)＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2AC →－a －b 2AB →＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2·AC →＝a －b 2AB →，又AB →、AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b2＝0c －a ＋b2＝0，∴a ＝b ＝c∴△ABC 为等边三角形，选C.答案： C10．(2012·烟台四校联考)据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋7(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)来表示(x 为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( )A ．4.2万元B ．5.6万元C ．7万元D ．8.4万元解析：由题意得函数f (x )图象的最高点为(3,9)，相邻的最低点为(7,5)，则A ＝9－52＝2，T2＝7－3，∴T ＝8，又∵T ＝2πω，∴ω＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7，把点(3,9)代入上式，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7，∴当x ＝10时，f (10)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×10－π4＋7＝2＋7≈8.4.答案： D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：化11－7i1－2i 为标准形式，利用复数相等，求出a ，b .∵11－7i 1－2i＝－＋－＋＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝5＋3＝8. 答案： 812．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝__________. 解析： ∵a ＝(2,1)，∴|a |＝ 5.又∵|a ＋b |＝52，|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ， ∴(52)2＝(5)2＋|b |2＋2×10，即|b |2＝25，∴|b |＝5. 答案： 513．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，若函数f (x )图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，则ω的值为________．解析：函数f (x )图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为T 4，由题意可知T4＝π3，∴ω＝32. 答案： 3214．已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α、β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：由题意可知cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.∵α、β∈(0，π)，∴sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝82＋315.答案：82＋31515．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离为________．解析：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20 km ，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝180°－140°＋65°＝105°， ∴∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理，得AC ＝BC ·sin∠ABC sin A ＝20sin 30°sin 45°＝10 2 km.答案： 10 2 km三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)16．(12分)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R . (1)若D 为BC 中点，AD →＝(m,2)，求a 、m 的值； (2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值．解析： (1)因为AB →＝(3,1)，A C →＝(－1，a )，所以AD →＝12(AB →＋A C →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2.又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°.当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－A B →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由BC →⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解．综上所述，a ＝3或13.17．(12分)已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )． (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．解析： (1)f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2(sin 2x cos π4－cos 2x sin π4)＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， ∴函数f (x )的最小正周期为π，最大值为1＋ 2. (2)由(1)知故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，2上的图象是18．(12分)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a ＞c ，b ＝7，求AB →·AC →的值．解析： (1)因为3a －2b sin A ＝0，所以3sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝7，根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a ＞c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1.19．(12分)已知函数y ＝f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象经过如下三步变换得到的： ①将y ＝sin x 的图象整体向左平移π6个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍． (1)求f (x )的周期和对称轴；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝2，c ＝1，ab ＝23，且a ＞b ，求a ，b 的值．解析： (1)由变换得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以T ＝2π2＝π.由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴为x ＝k π2＋π6，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.在△ABC 中，根据余弦定理，有c 2＝1＝a 2＋b 2－2ab cos π6，即a 2＋b 2＝7，又ab ＝23，且a ＞b ，可得a ＝2，b ＝ 3. 20．(13分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1(x ∈R )．(1)若函数h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(2)设p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解析： (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴h (x )＝f (x ＋t )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.∴h (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6－t ，0，k ∈Z ，又已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0为h (x )的图象的一个对称中心，∴t ＝k π2＋π3，k ∈Z . 而t ∈(0，π)，∴t ＝π3或5π6.(2)若p 成立，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，f (x )∈[1,2]，由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3，因为p 是q 的充分不必要条件，⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2⇒－1＜m ＜4.故m 的取值范围为(－1,4)．21．(14分)(2012·福州市高三质量检查)如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．解析： (1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD ·AC ·sin∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC ＜∠BAC ＜π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理，得DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形，在△ADC 中，根据正弦定理，可得 ADsin C ＝43sin 2π3＝DC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋4 3＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋43，∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3， ∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3.。

高中新课程数学(人教新课标理)二轮复习精选第二部分洞察高考43个热点《热点二十二考查双曲线方

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x2 y2 [押题 42] 已知双曲线 2－ 2＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2， a b 过点 F2 作 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P，且∠PF1F2 π ＝6，则双曲线的渐近线方程为________．解析根据已知得点 P
b2 b2 的坐标为c，±a ，则|PF2|＝ a ，又
解析
根据已知列出方程即可．c＝5，双曲线的一条渐近线方
b 程为y＝ a x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得
2 2 x y b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是20－ 5 ＝1.
Hale Waihona Puke 答案Ax2 y2 【例50】► (2011· 全国)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1 9 27 的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠ F1AF2的平分线，则|AF2|＝________. 解析依题意得知，点F1(－6,0)，F2(6,0)，|F1M|＝8，
|F1M| |F1A| |F2M|＝4.由三角形的内角平分线定理得 |F M| ＝ |F A| ＝2， 2 2 |F1A|＝2|F2A|；又点A在双曲线上，因此有|F1A|－|F2A|＝ 2×3＝6,2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝6. 答案 6
命题研究：1.双曲线定义的考查，常常是利用两个定义去求动
点的轨迹方程或某些最值问题；
2.双曲线标准方程的考查，常常是利用基本量求标准方程或去解决其他相关的问题； 3.双曲线性质的考查，主要是离心率与渐近线这两个热点问题.
x2 y2 [押题 41] 点 P 在双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2 是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90° ，且△F1PF2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A．2 B．3 C．4 D．5 ( )．

【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习精选第一部分 25个必考问题专项突破专题训练8

训练8 数列的综合应用(参考时间：80分钟)一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝10，若{log 3(a n －1)}为等差数列，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n等于________．2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，则4m＋1n的最小值为________．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．4．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.5．已知等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，且{b n }是等比数列，若b 7＝a 7，则b 5b 9＝________. 6．(2012·天一、某某、海门中学联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2 012＝9，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 2 012)＋2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________．7．(2012·宿迁联考)设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________.8．(2012·宿迁联考)第30届奥运会在伦敦举行．设数列a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3…a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为________．9．(2012·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．二、解答题10．数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27.(1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .11．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，某某数t 的取值X 围．12．(2012·某某期中)已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2且a n ＞0. (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式a n ； (3)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2的前n 项和为S n ，不等式S n ＞13log a (1－a )对任意的正整数n 恒成立，某某数a 的取值X 围．13．(2012·某某、某某一模)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案训练8 数列的综合应用1．解析由{log 3(a n －1)}是等差数列得d ＝log 3(a 2－1)－log 3(a 1－1)＝log 3(10－1)－log 3(4－1)＝1，所以log 3(a n －1)＝log 3(a 1－1)＋(n －1)×1＝n 所以a n ＝3n＋1，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝132＋1－31－1＋133＋1－32－1＋…＋13n ＋1＋1－3n－1＝13×2＋132×2＋…＋13n ×2＝12×13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .答案 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n2．解析由a 7＝a 6＋2a 5得q 2＝q ＋2，又a n ＞0，所以q ＝2，a m a n ＝2m ＋n －2a 1＝2a 1，所以m ＋n ＝3，故4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3＋n 3＝53＋4n 3m ＋m 3n ≥53＋2 49＝3.(当且仅当m ＝2，n ＝1等号成立)．答案 33．解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋33＝33＋n 2－n ，所以a n n＝33n＋n －1，设f (n )＝33n＋n －1，令f ′(n )＝－33n2＋1＞0，则f (n )在(33，＋∞)上是单调递增，在(0，33)上是递减的，因为n ∈N *，所以当n＝5或6时f (n )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以，a n n 的最小值为a 66＝212.答案 2124．解析 T n ＝17a 1[1－2n]1－2－a 1[1－22n]1－2a 12n＝11－2·22n－172n＋162n＝11－2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n＋162n－17，因为(2)n＋162n≥8，当且仅当(2)n＝4，即n＝4时取等号，所以当n 0＝4时T n 有最大值．答案 45．解析因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 12＝2a 7，又2(a 2＋a 12)＝a 27，所以4a 7＝a 27，b 7＝a 7≠0，所以a 7＝4，所以b 5b 9＝b 27＝42＝16. 答案 166．解析 f ′(0)即为f (x )展开式中x 的系数，所以f ′(0)＝a 1a 2…a 2 012＝(a 1a 2 012)1 006＝91 006＝32 012，又f (0)＝2，故在点(0，f (0))处的切线方程为y －2＝32 012x ，即为y ＝32 012x ＋2.答案 y ＝32 012x ＋2 7．解析设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，所以b ＝1，即f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，由f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，得f 2(4)＝f (1)f (13)，即(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，因为k ≠0，所以解得k ＝2，即f (x )＝2x ＋1，所以f (2)＋f (4)＋…f (2n )＝5＋9＋…＋(4n ＋1)＝n 5＋4n ＋12＝n (2n ＋3)．答案 n (2n ＋3)8．解析因为a 1·a 2·a 3…a k ＝log 23×log 34×…×log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，当log 2(k ＋2)＝m (m ∈Z )时，k ＝2m－2∈[1,2 012](m ∈Z )，m ＝2,3,4，…，10，所以在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18＝211－22＝2 026. 答案 2 0269．解析由题意可知a n ＝4n －3，且(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1＜0，所以{S 2n ＋1－S n }是递减数列，故(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 2＋1a 3＝1445≤m 15，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5. 答案 510．解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *)∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1.即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列．(3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1，S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n－2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，∴S n ＝(2n －1)×2n－n ＋1.11．解 (1)因为a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23(n ∈N *，且n ≥2)，所以a n －a n －1＝23.因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝－43×a 2＋a 2m 2×m ＝－19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )．②当n ＝2m －1，m ∈N *时，T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3)＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)．所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－192n 2＋6n ，n 为正偶数，192n 2＋6n ＋7，n 为正奇数，要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为正偶数)恒成立．只要使－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋6n ≥t ，对n ∈N *恒成立，故实数t 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－59.12．解 (1)当n ＝1时，有a 31＝a 21，由于a n ＞0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有a 31＋a 32＝(a 1＋a 2)2，将a 1＝1代入上式，由于a n ＞0，所以a 2＝2.(2)由于a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，①则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2.②②－①，得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2，由于a n ＞0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n －1.③同样有a 2n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋a n (n ≥2)，④③－④，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝1，由于a 2－a 1＝1，即当n ≥1时都有a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．故a n ＝n .(3)由(2)知a n ＝n .则1a n a n ＋2＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以S n ＝1a 1a 3＋1a 2a 4＋…＋1a n －1a n ＋1＋1a n a n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.∵S n －1－S n ＝1n ＋1n ＋3＞0，∴数列{S n }单调递增．所以(S n )min ＝S 1＝13.要使不等式S n ＞13log a (1－a )对任意正整数n 恒成立，只要13＞13log a (1－a )．∵1－a ＞0，∴0＜a ＜1.∴1－a ＞a ，即0＜a ＜12.所以，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 13．解 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2n ≥2.(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13；此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3，即p ＋1p＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1，综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k－1)．则由S k ＜30，得a ＜1032k－1，当k ≥3时，1032k－1＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.。

【拿高分,选好题】高中新课程数学(人教)二轮复习专题第一部分专题复习讲义《1-3-4 推理与证

(2)对于③，“若 a，b∈C，则 a－b＞0⇒a＞b”是错误的，如 a＝2＋i，b＝1＋i，则 a－b＝1＞0，但 2＋i＞1＋i 不正确；对于④， “若 z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”是错误的， 1 1 2 1 1 如 y＝2＋2i，|y|＝ 2 ＜1，但－1＜2＋2i＜1 是不成立的．故选 A.
(2)(2012· 太原模考)给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若 a， b∈C，则 a－b＝0⇒a＝b”； ②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b ＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋b 2＝c＋d 2⇒ a＝c，b＝d”；
•
(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． • (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．
nπ 1．(2012· 福建卷)数列{an}的通项公式 an＝ncos 2 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2 012 等于( A．1 n＝ncos 2 ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4 ＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，…. 由此易知 a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且 a1＋a2＋a3＋a4 ＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－
• ③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出 “若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b； • ④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”，类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”． • 其中类比正确的为( ) • A．①② B．①④ • C．①②③ D．②③④

高中新课程数学(人教)二轮复习专题第二部分专题提分宝典《2-2高考命题调研篇》课件

DEQ？说明理由．
2 3
nπ＝n(n＋1)π－
2n3π，所以sin Sn＝sinnn＋1π－23nπ.
因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为
偶数，所以sin Sn＝－sin
2nπ 3.
当n＝3m－2(m∈N*)时，sin Sn＝－sin2mπ－43π＝－ 23；
当n＝3m－1(m∈N*)时，sin Sn＝－sin2mπ－23π＝ 23；当n＝3m(m∈N*)时，sin Sn＝－sin 2mπ＝0.
• 2．注重“双基” 强调通法
• 试题注重中学数学的基础知识、基本技能和能力，从知识点分布看，试题覆盖面很广，在新课标所要求的各知识系列中基本上都有试题，考查的知识、技能、方法不偏不怪．高考大部分试题均源自课本中习题的改编，给人以题在书外、根在书中的感觉．试卷注重通性通法，淡化特殊技巧，形成入口宽、方法多、立意新的设问特点．
• 天津卷第12题，以解析几何为载体，将解析几何内容与不等式有预谋地“相遇”，既为解析几何输送了新鲜的血液，又为基本不等式运用找到了坚实的着陆点．安徽卷第21题，借助导数来包装数列问题，构思新颖，是不落俗套的好题．
(2012·安徽卷21题)设函数f(x)＝2x＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．
－
23，n＝3m－2m∈N*
综上所述，sin
Sn＝
23，n＝3m－1m∈N*
0，n＝3mm∈N*
• 4．应用题型悄悄变脸
• “强调应用”也是今年高考卷命题的指导思想，体现了新课标高考的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养学生的探究意识和创新精神，又能够很好地甄别学生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线．如江苏卷第17 题以炮弹发射为背景考查函数、方程及基本不等式，新课标全国卷第18题以玫瑰花为背景，考查概率统计问题，是具有时代气息的好题．

2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习精选过关检测1函数与导数、不等式新人教版

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习精选过关检测1函数与导数、不等式新人教版一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝( )．A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a－c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．(xx·汕头测评)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )．A ．1 B.12 C ．－12 D ．－15．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )．7．(xx·泉州质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ，则“f (2)≥0”是“函数f (x )在(1，＋∞)单调递增”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要8．下列结论错误的是( )．A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，则p ∨q 为真 C ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题 D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题9．(xx·太原模拟)a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋3b ＝1，则3a ＋1b的最小值为( )．A ．12B ．16C ．24D ．3210．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )．A ．1B ．2C ．0 D. 2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11．函数y ＝log 2x (3－x )的定义域是________．12．(xx·江苏)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．13．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________．14．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________(把所有正确命题的序号都填上)．三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值． 16．(10分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围. 17．(10分)已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ≠0.(1)当a ，b 满足什么条件时，f (x )取得极值？(2)已知a ＞0，且f (x )在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 18．(12分)(xx·郑州质检)设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R .(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)(x ≥1)，求证：当p ≤－12时，有g (x )≤0.19．(12分)(xx·临沂一模)设函数f (x )＝x e x，g (x )＝ax 2＋x .(1)若f (x )与g (x )具有完全相同的单调区间，求a 的值； (2)若当x ≥0时恒有f (x )≥g (x )，求a 的取值范围．参考答案1．C [∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．] 2．C [∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，∴(2)正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ， ∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.] 3．B [由f (a )＝1，得log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.]4．A [由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2.解得a ＝1.]5．B [观察函数y ＝2x和函数y ＝x ＋2的图象可知，函数f (x )＝2x－x －2有一个大于零的零点，又f (1)＝1－2＜0，f (2)＝2－2＞0，根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)上．]6．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )是增函数，∴f ′(x )＞0，排除A 、C 项，又当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )有两个极值点，排除B 项，故选D.]7．C [函数f (x )在(1，＋∞)单调递增，则a ＞0，x ＝－b2a ≤1，所以b ≥－2a .这与f (2)≥0等价．而f (2)≥0，不能确定函数f (x )在(1，＋∞)单调递增．]8．C [根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a ＜b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C.] 9．A [3a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝3＋9b a ＋ab＋3≥6＋2a b ·9b a ＝12(当且仅当9b a ＝ab时，取“＝”号)．]10．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]11．解析由x (3－x )＞0，得0＜x ＜3，故其定义域为(0,3)．答案 (0,3)12．解析对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x ＞0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0，得，a k ＋1＝12a k .又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4，a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案 2113．解析 ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x .令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案 414．解析取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确．答案 ①②④15．解 (1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得：a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1， ∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增． ∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1，解得m ＝1± 3.∵m ＜1，∴m ＝1－ 3. 16．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1.f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ＜2－3，或x ＞2＋3时，得f ′(x )＞0；当2－3＜x ＜2＋3时，得f ′(x )＜0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)与(2＋3，＋∞)；f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3，Δ＝36a 2－36，由Δ＞0得，a ＞1或a ＜－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)＜0，且f ′(3)＞0，解得54＜a ＜53，因此a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.17．解 (1)由题意知，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1，当(2b )2－4a ≤0时，f (x )无极值，当(2b )2－4a ＞0，即b 2＞a 时，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1＝0有两个不同的解，即x 1＝－b －b 2－aa，x 2＝－b ＋b 2－a a，因此f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．①当a ＞0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12 ②当a ＜0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12(2)由题意知f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1≥0在区间(0,1]上恒成立，则b ≥－ax2－12x，x ∈(0,1]．设g (x )＝－ax2－12x，x ∈(0,1]． ①当1a∈(0,1]，即a ≥1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋12x ≤－2a4＝－a .等号成立的条件为x ＝1a∈(0,1]，[g (x )]最大值＝g ⎝⎛⎭⎪⎫1a ＝－a ，因此b ≥－a . ②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，g ′(x )＝－a2＋12x 2＝1－ax 22x 2＞0，[g (x )]最大值＝g (1)＝－a2－12＝－a ＋12，所以b ≥－a ＋12. 综上所述，当a ≥1时，b ≥－a ；当0＜a ＜1时，b ≥－a ＋12.18．(1)解当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x－1，由f ′(x )＝1x－1＞0，得0＜x ＜1，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1) ＝x ln x ＋p (x 2－1)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立，所以当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0满足题意． 19．解 (1)f ′(x )＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)内单调递减；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)内单调递增．又g ′(x )＝2ax ＋1，由g ′(－1)＝－2a ＋1＝0得，a ＝12.此时g (x )＝12x 2＋x ＝12(x ＋1)2－12，显然g (x )在(－∞，－1)内单调递减，在(－1，＋∞)内单调递增，故a ＝12.(2)由f (x )≥g (x )，得f (x )－g (x )＝x (e x－ax －1)≥0，令F (x )＝e x －ax －1，则F ′(x )＝e x－a . ∵x ≥0，∴F ′(x )＝e x－a ≥1－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数，而F (0)＝0，从而当x ≥0，F (x )≥0，即f (x )≥g (x )；若a ＞1，则当x ∈(0，ln a )时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数，而F (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时F (x )＜0，即f (x )＜g (x )，则f (x )≥g (x )不成立．综上，a 的取值范围为(－∞，1]．36947 9053 道125869 650D 攍25423 634F 捏21404 539C 厜f 29719 7417 琗 33460 82B4 芴`28464 6F30漰 U34268 85DC 藜。

适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学二轮总复习题型专项练2客观题8+4+4标准练B

题型专项练2 客观题8+4+4标准练(B)一、单项选择题1.(2024·广东揭阳模拟)已知全集U=R,集合A={x|1-2x≥3},∁U B={x|-3≤x≤1},则A∩B=()A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x<-3}C.{x|x≤-3}D.{x|x≤-3或x≥1}2.已知i为虚数单位,复数z=,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3.已知y=f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2 021)=()A.-1B.0C.1D.24.某工厂生产一批医疗器械的零件,每个零件生产成型后,得到合格零件的概率为0.7,得到的不合格零件可以进行一次技术精加工,技术精加工后得到合格零件的概率是0.3,而此时得到的不合格零件将不能再加工,只能成为废品,则生产时得到合格零件的概率是()A.0.49B.0.73C.0.79D.0.915.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是闻名的香农公式:C=W log2(1+).它表示:在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里面的1可以忽视不计.依据香农公式,若带宽W增大到原来的1.1倍,信噪比从1 000提升到16 000,则C大约增加了(附:lg 2≈0.3)()A.21%B.32%C.43%D.54%6.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个好玩的问题:已知一对兔子每个月可以生一对小兔子(一雄一雌),而每一对小兔子在它们诞生后的第3个月里,又能生一对小兔子.假如没有发生死亡现象,那么有一对刚诞生的兔子,从第1个月起先,每月末的兔子总对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,假如用a n表示第n个月的兔子的总对数,那么a n=a n-1+a n-2(n∈N*,且n≥3),这就是闻名的斐波那契数列,其中,a1=1,a2=1.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为()A. B. C. D.7.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它的出现标记着中国古代数学形成了完整的体系.书中提到许多几何图形,例如,堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=,AB=2,当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1中异面直线A1C与AB所成角的大小是()A. B. C. D.8.(2024·广西河池高三期末)如图,在△ABC中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点且=2,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点,=x(x>0),=y(y>0),则的最小值为()A. B.1 C. D.4二、多项选择题9.(2024·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差10.(2024·浙江绍兴高三期末)主动降噪耳机工作的原理是:先通过微型麦克风采集四周的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为y=f(x),降噪声波曲线函数为y=g(x),已知某噪声的声波曲线f(x)=A sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)=-g(x)B.f(x)=2sin2x+C.y=g(x)的单调递减区间为+kπ,+kπ(k∈Z)D.y=f(x)图象可以由y=g(x)图象向右平移π个单位长度得到11.如图,在直角三角形ABC中,A=90°,|AB|=,|AC|=2,点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上,则()A.点P所在圆的半径为2B.点P所在圆的面积为4πC.的最大值为14D.的最大值为1612.(2024·湖南岳阳二模)已知拋物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与圆M:x2+(y+2)2=1上点的距离的最小值为2,过点F的动直线l与抛物线C交于A,B两点,以A,B为切点的抛物线的两条切线的交点为P,则下列结论正确的是()A.p=2B.当l与M相切时,l的斜率是±C.点P在定直线上D.以AB为直径的圆与直线y=-1相切三、填空题13.已知双曲线x2-=1的一个焦点与抛物线8x+y2=0的焦点重合,则m的值为.14.(2024·辽宁沈阳一模)甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照,要求甲必需站在中间两个位置之一,且乙、丙2人相邻,则不同的排队方法共有种.15.在△ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC边的中点,沿中线AD折起,使∠BDC=60°,连接BC,所得四面体ABCD的体积为,则此四面体内切球的表面积为.16.在一个三角形中,到三个顶点距离之和最小的点叫作这个三角形的费马点.如图,在△ABC中,P 为△ABC的费马点,经证明它也满意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,因此费马点也称为三角形的等角中心.在△ABC外作等边三角形ACD,再作△ACD的外接圆,则外接圆与线段BD的交点P即为费马点.若AB=1,BC=2,∠CAB=90°,则PA+PB+PC= .题型专项练2客观题8+4+4标准练(B)一、单项选择题1.B解析由∁U B={x|-3≤x≤1},得B={x|x<-3或x>1}.又因为A={x|1-2x≥3}={x|x≤-1},所以A∩B={x|x<-3}.2.A解析∵z=i,i,故z的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限.3.C解析因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),所以f(0)=log2(0+a)=0,所以a=1.又因为y=f(x)的周期为4,所以f(2024)=f(4×505+1)=f(1)=1.4.C解析设事务A:“第一次就得到合格零件”,事务B:“第一次得到不合格零件,进行一次技术精加工后得到合格零件”,所以P(A)=0.7,P(B)=(1-0.7)×0.3=0.09,所以生产时得到合格零件的概率是P(A)+P(B)=0.7+0.09=0.79.5.D解析由题意-1=1.1-1=1.1-1≈0.54,所以C大约增加了54%.6.A解析因为奇数加奇数结果是偶数,奇数加偶数结果是奇数,偶数加奇数结果是奇数,所以数列中随意相邻的三项,其中一项为偶数,两项为奇数,所以前120项中偶数有40项,所以这个数是偶数的概率为7.C解析在堑堵ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又AC⊥BC,且AA1∩AC=A,所以BC⊥平面ACC1A1,所以阳马B-A1ACC1的体积V=BC=AC·AA1·BC=AC·BC,在直角三角形ABC中,4=AB2=AC2+BC2≥2AC·BC,即AC·BC≤2,当且仅当AC=BC=时取得等号.所以当AC=BC=时,阳马B-A1ACC1的体积取得最大值又A1B1∥AB,所以∠CA1B1(或其补角)为异面直线A1C与AB所成的角,连接B1C(图略),则B1C==2,A1C==2,即A1B1=B1C=A1C=2,所以∠CA1B1=,即异面直线A1C与AB所成角为8.B解析因为M为线段BC的中点,所以因为=2,所以因为=x(x>0),=y(y>0),所以,所以因为G,P,Q三点共线,所以=1,即x+(y+1)=4.所以[x+(y+1)]()=+2)(2+2)=1,当且仅当,即x=2,y=1时,等号成立,所以的最小值为1.二、多项选择题9.BD解析对于选项A,如1,2,2,2,2,5的平均数不等于2,2,2,2的平均数,故A错误;对于选项B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,…,x6的中位数为,故B正确;对于选项C,因为x1是最小值,x6是最大值,所以x1,x2,…,x6的数据波动更大,故C错误;对于选项D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正确.故选BD.10.AB解析对于A,由已知,g(x)=A sin[-(ωx+φ)]=-A sin(ωx+φ)=-f(x),∴f(x)=-g(x),故选项A正确;对于B,∵ω>0,∴由图象知,,∴ω=2.又f()=A sin(2+φ)=0,且x=在f(x)的单调递减区间上,∴2+φ=+φ=2kπ+π(k∈Z).∵|φ|<,∴φ=f(0)=A sin=1,∴A=2,∴f(x)=2sin(2x+),故选项B正确;对于C,g(x)=2sin[-(2x+)]=-2sin(2x+),由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x+kπ(k∈Z),∴y=g(x)的单调递减区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z),故选项C错误;对于D,y=g(x)图象向右平移π个单位长度得到y=g(x-π)=-2sin[2(x-π)+]=-2sin(2x+-2π)=-2sin(2x+)≠f(x),故选项D错误.故选AB.11.ABC解析如图,设BC的中点为M,过A作AH⊥BC于点H,连接PM,PA,AM.因为A=90°,|AB|=,|AC|=2,所以|BC|=5,|AM|=,所以由|AB||AC|=|BC||AH|,得|AH|==2,所以圆的半径为2,即点P所在圆的半径为2,所以点P所在圆的面积为4π,所以选项A正确,B正确;因为=0,所以=()·()=()=4+2, 所以当P,M,A三点共线,且P,M在点A的两侧时,2取最大值,且(2)max=2||·||=2×2=10,所以的最大值为4+10=14,所以选项C正确,D错误.12.ACD解析对于A,由题意知拋物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与圆M:x2+(y+2)2=1上点的距离的最小值为2,即F与圆上的点(0,-1)的距离为2,则|OF|=1,∴p=2,故A正确;对于B,过点F(0,1)的动直线l与M相切时,斜率必存在,设l的方程为y=kx+1,则=1,解得k=±2,故B错误;对于C,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y可得y'=x,联立消去y得x2-4kx-4=0,Δ=16(k2+1)>0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.设在点A,B处的切线斜率分别为k1,k2,则k1=,k2=,所以抛物线C在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=x-, ①同理可得抛物线C在点B处的切线方程为y=x-, ②由①②可得x P==2k,将x P=代入①得y P==-1,所以P点坐标为(2k,-1),即点P在定直线y=-1上,故C正确;对于D,由题意知|AB|=x1+x2+p=4k+2,由梯形的中位线可得AB的中点到抛物线准线y=-1的距离为=2k+1=|AB|,则以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,故D正确.故选ACD.三、填空题13.3解析设抛物线的焦点为F,由8x+y2=0得y2=-8x,所以F(-2,0).由题意得m>0,所以1+m=22,得m=3.14.72解析先支配甲,可从中间两个位置中任选一个支配有种方法,而甲站好后一边有2个位置,另一边有3个位置.再支配乙、丙2人,因为乙、丙2人相邻,所以可分为两类:支配在甲有2个位置的一侧有种方法;支配在甲有3个位置的一侧有2种方法.最终支配其余3人有种方法.综上,不同的排队方法有(+2)=72种.15.(84-48)π解析如图,由题意得BD=CD=2,AD⊥平面BCD,四面体A-BCD的体积V A-BCD=AD=,得AD=3,所以AB=,设BC的中点为E,连接AE,DE.因为BD=DC=2,∠BDC=60°,所以DE⊥BC,BC=BD=DC=2,DE=,所以AB=AC,所以AE⊥BC.所以AE==2所以四面体A-BCD的表面积S=(2×3)×2+22×2=6+3设内切球的半径为R,由V A-BCD=S·R=(2+)R=,得R==2-3,所以内切球的表面积为4πR2=12(7-4)π=(84-48)π.16解析依据题意有,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则∠PAB+∠PBA=60°.因为AB=1,BC=2,∠CAB=90°,所以∠ABC=60°,即∠PBC+∠PBA=60°,所以∠PAB=∠PBC,从而有△PAB∽△PBC,则,则PC=2PB=4PA,在△PAB中,由余弦定理,可得PA2+PB2-12=2PA·PB cos120°,解得PB=,PA=,则PC=,故PA+PB+PC=。

【拿高分，选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选第二部分洞察高考热点39题《专题二 90分

专题二90分解答题大冲关与评分细则【专题定位】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．【应对策略】解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题【示例】► (2012·苏锡常镇调研测试)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50. (1)求cos ∠BAC 的值；(2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在△ACD 中，利用余弦定理求cos ∠CAD ，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求∠BAD 的正弦值，代入三角形面积公式求解．解 (1)因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝5013×10＝513.(2分) (2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－6522×10×5＝35.(4分) 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45.(6分) (3)由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝ 1－cos 2∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.(8分) 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD＝1213×35＋513×45＝5665.(11分) 所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.(14分)评分细则 1没有写cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|直接计算的，扣1分.,2不交代∠CAD 的范围的，扣1分；,3不交代∠BAC 范围的，扣1分. 【突破训练】 (2012·苏锡常镇调研测试(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2，－sin C ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，2sin C ，且m ⊥n . (1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0.则2cos 2C 2－2sin 2C ＝0.(2分) (阅卷说明：无中间分)∵C ∈(0，π)，∴cos C 2＞0，sin C ＞0.∴cos C2＝sin C (4分) (阅卷说明：得到2cos 2C ＋cos C －1＝0也得2分) 则sin C 2＝12.(6分) 又C 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C 2＝π6.则C ＝π3.(8分) (阅卷说明：以上有一处写范围不扣分，否则扣1分)(2)∵C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又∵a 2＝2b 2＋c 2，∴a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab .则a ＝3b .(10分)由正弦定理，得sin A ＝3sin B ．(11分) ∵C ＝π3，∴sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A .(12分) 即sin A ＝－33cos A ．(13分)∵cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0，∴tan A ＝－3 3.(14分)(阅卷说明：结果正确不扣分)【抢分秘诀】1．解决三角函数图象问题，主要从函数图象上的点入手，抓住函数图象上的关键点，而对于作图问题往往利用函数在一个周期内的五点确定函数图象的形状，识图问题需要利用关键点确定解析式中参数的取值，而图象的伸缩、平移变换也可以利用关键点帮助准确记忆相关规律．2．解决三角函数的最值与范围问题，要从三角函数的性质入手，常常转化为两类问题求解：一是通过化简、变换及换元转化为正弦、余弦函数的最值与范围问题求解；二是通过换元分解为基本初等函数和正弦、余弦函数的最值、三角函数的有界性和基本初等函数的单调性问题解决．3．解决三角函数的化简、求值与证明问题的基本思路是：第一，观察角与角之间的关系，注意角的变形应用，角的变换是三角函数变换的核心；第二，看函数名称之间的关系，通常是统一为正弦、余弦函数的形式；第三，观察代数式的结构特点，对于三角公式要记忆准确，应用公式要认真分析，合理转化，避免盲目性．4．解三角形或多边形问题均以三角形为载体，其解题过程的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，解题要从三角形的边角关系入手，依据题设条件合理设计解题程序，灵活进行边角之间的互化．善于观察，注意转化，做好立体几何不是难事【示例】► (2012·南师大附中阶段检测)如图，四棱椎P ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE .解题突破 (1)由E ，F 分别为AB ，PC 中点．取PD 的中点M ，再证四边形AEMF 是平行四边形．(2)在矩形ABCD 中，根据AB ＝2BC ，可得DA AE ＝CD DA，从而可证△DAE ∽△CDA .再证明DE ⊥AC ，根据面面垂直的性质和判定可得平面PAC ⊥平面PDE .证明 (1)法一取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD . 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.(5分)又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(7分)法二连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN.因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA，所以CE＝NE.又F为PC的中点，所以EF∥NP.(5分)又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(7分)法三取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD.(2分)因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD.又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD.又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.(5分) 因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD.(7分)(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点．所以DAAE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA.又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°.由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°.即DE⊥AC.(9分) 因为平面PAC⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ，(12分)又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .(14分)评分细则 1第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分； 2第二问，不用平面几何知识证明DE ⊥AC ，扣2分.【突破训练】 (2012·南师附中统测)如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝63，E 是PB 上任意一点．(1)求证：AC ⊥DE ；(2)当△AEC 面积的最小值是9时，求证：EC ⊥平面PAB .(1)证明连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .(4分)又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面PDB ，E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE .(7分)(2)解连ED .由(1)知AC ⊥平面PDB ，EF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .S △ACE ＝12×6×EF ＝9，解得EF ＝3，(10分)由PB ⊥EF 且PB ⊥AC 得PB ⊥平面AEC ，则PB ⊥EC ，又由EF ＝AF ＝FC ＝3得EC ⊥AE ，而PB ∩AE ＝E ，故EC ⊥平面PAB .(14分)【抢分秘诀】(1)在解答中，遵循先证明后计算的原则．注重考查立体问题平面化，面面问题，线面化再线线化的化归过程．(2)根据题目的条件画出图形，注意图形的合理性、美观性和直观性．有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定，往往需借助图形的直观性而估算一个大概，而且有利于经过计算或论证得到的最后的结果的验证．(3)要注意立体几何语言的表达方法，要简明扼要、清楚明白、符合逻辑的进行表述，要以课本上的表述为示范，尽快地掌握要领．各个命题的因果关系要明明白白，计算过程清晰明了，保证无误．重视立体几何语言的严谨性、科学性和简捷性，往往思路正确，而表述有误，因此失分真是太可惜！(4)立体几何的概念、公理、定理、计算公式等，应牢固掌握，同时尽可能多的掌握一些重要结论．因为这些知识都是学习立体几何的基本工具，它是思维浓缩的精华内容，是规律的总结，也是进行推理、论证和计算的基础．看似复杂，实则简单，带你融会贯通应用题【例1】► (2012·南京高三调研)经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u (单位：L)与速度v (单位：km/h)，的关系近似地满足u ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100v ＋23，0＜v ≤50，v 2500＋20，v ＞50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y (元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解题突破由u 是关于v 的分段函数，得y 也是关于v 的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法．解 (1)由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝ ⎛⎭⎪⎫100v ＋23＋300·400v ＝123 000v＋690，当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 123 000v ＋690，0＜v ≤50，3v 250＋120 000v ＋600，v ＞50.(8分)(2)当0＜v ≤50时，y ＝123 000v＋690是单调减函数，故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝123 00050＋690＝3 150；当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000v＋600(v ＞50) 由y ′＝3v 25－120 000v 2＝3v 3－10625v2＝0，得v ＝100 当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v＋600单调递减．所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400由于3 150＞2 400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．答当卡车以100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)评分细则 1第一问，有一段求解错误的，扣4分； 2第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.【例2】► (2012·南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。

高中新课程数学(人教新课标理)二轮复习精选第二部分洞察高考43个热点《热点六考查指数函数与对

答案:
x＋1 3 ，x≤0， f(x)＝ log2x，x＞0.
若 f(x0)＞3，则 x0 的取 ( )．
B．(－∞，0)∪(8，＋∞) D．(－∞，0)∪(0,8)
A [若 x0≤0，得 3x0＋1＞3，∴x0＋1＞1，x0＞0.此
时无解．若 x0＞0，得 log2x0＞3，∴x0＞8.综上所述，x0＞8.]
＝2x＋2x，则f′(x)＝2x·ln 2＋2＞0恒成立，故有函数f(x)＝2x
＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，其余选项用同样方法排除．答案 A
【例 16】► (排除法)(2012· 全国)已知 x＝ln π，y＝log52， z＝，则 B．z＜x＜y D．y＜z＜x ( )．
A．x＜y＜z C．z＜y＜x
专题一高考中选择题、
填空题解题能力大突破
考查指数函数与对数函数
【例15】► (构造法)(2012·浙江)设a＞0，b＞0. A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b ( )．
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
解析
若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a＞2b＋2b.构造函数：f(x)
解析因为 ln π＞ln e＝1，log5 2＜log5 5＝1，所以 x＞y， 1 故排除 A、B；又因为 log5 2＜log5 5＝2，所以 z＞y，故排除 C，选 D. 答案 D 1 1 ＝＞2， e
命题研究：指数、对数函数主要考查图象、性质、恒过定点以
及比较大小等问题.
[押题11] 已知a＝log0.70.9，b＝log1.10.7，c＝1.10.9，则a，b，c
的大小关系为

适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学二轮总复习专题过关检测2三角函数与解三角形

专题过关检测二三角函数与解三角形一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知角θ的终边经过点P(,a),若θ=-,则a=()A. B. C.- D.-2.(2024·湖南长沙一模)若,则cos 2α的值为()A.-B.C.-D.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=()A. B. C.6 D.54.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)部分图象如图所示,则f=()A. B. C.- D.5.已知sin+cos α,则sin(2α+)=()A.-B.-C.D.6.某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC=,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角∠DCE=.已知AB=2,BC=1,则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为()A.5-5B.5C. D.57.在△ABC中,“tan A tan B>1”是“△ABC为钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数f(x)=2sin(x+)+cos 2x的最大值为()A.1+B.C.2D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R为10.(2024·广东深圳一模)已知函数f(x)的图象是由函数y=2sin x cos x的图象向右平移个单位长度得到的,则()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)在区间[-]上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=对称D.f(x)的图象关于点(,0)对称11.关于f(x)=sin x·cos 2x的说法正确的为()A.∀x∈R,f(-x)-f(x)=0B.∃T≠0,使得f(x+T)=f(x)C.f(x)在定义域内有偶数个零点D.∀x∈R,f(π-x)-f(x)=012.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若依次成等差数列,则下列结论不肯定成立的是()A.a,b,c依次成等差数列B.依次成等差数列C.a2,b2,c2依次成等差数列D.a3,b3,c3依次成等差数列三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知cos=-,则sin 2α=.14.(2024·新高考Ⅰ,15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.15.在矩形ABCD内(包括边界)有E,F两点,其中AB=120 cm,AE=100 cm,EF=80 cm,FC=60 cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该矩形ABCD的面积为cm2.(答案如有根号可保留)16.如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现确定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽视不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加精确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满意AB=AC,∠BAC=90°.四边形OACB及其内部区域为“干脆监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“干脆监测覆盖区域”面积的最大值为m2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2024·新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.(1)求sin A;(2)设AB=5,求AB边上的高.18.(12分)(2024·广西钦州模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),最小正周期为π,且其恰满意条件①②③中的两个条件:①φ=;②图象的一个最高点为(,2);③图象与y轴的交点为(0,).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f()=,求sin(-α)-sin2(+α)的值.19.(12分)(2024·陕西渭南二模)随着生活水平的不断提高,人们更加关注健康,重视熬炼.通过“小步道”,走出“大健康”,健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图,A-B-C-A为某区的一条健康步道,AB,AC为线段,是以BC为直径的半圆,AB=2 km,AC=4 km,∠BAC=.(1)求的长度;(2)为满意市民健康生活须要,提升城市品质,改善人居环境,现安排新建健康步道A-D-C(B,D在AC两侧),其中AD,CD为线段.若∠ADC=,求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少千米?20.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,f(0)=,f=0.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角△ABC中,若A>B,f()=,求cos,并证明sin A>.21.(12分)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的改变状况来确定买入或卖出股票.股民老张在探讨股票的走势图时,发觉一只股票的均线近期走得很有特点:若建立平面直角坐标系Oxy如图所示,则股价y(单位:元)和时间x(单位:天)的关系在ABC段可近似地用函数y=a sin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述,从C点走到今日的D点,是震荡筑底阶段,而今日出现了明显的筑底结束的标记,且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.老张预料这只股票将来的走势可用曲线DE描述,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价持续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.现在老张确定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定函数解析式中的常数a,b,ω,φ,并且求得ω=.(1)请你帮老张算出a,b,φ,并回答股价什么时候见顶(即求点F的横坐标);(2)老张如能在今日以点D处的价格买入该股票3 000股,到见顶处点F的价格全部卖出,不计其他费用,这次操作他能赚多少元?22.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域;(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在区间上的根从小到大依次为x1,x2,…,x n,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2x n-1+x n的值.专题过关检测二三角函数与解三角形一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C解析由题意,角θ的终边经过点P(,a),可得|OP|=(O为坐标原点),又由θ=-,依据三角函数的定义,可得cos,且a<0,解得a=-2.A解析由可得,tan(α-)=,所以tanα=tan(+α-)==2,所以cos2α=cos2α-sin2α==-3.B解析因为sin A=6sin B,所以a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以c2=a2+b2-2ab cos C,即c2=62+12-2×6×1,解得c=4.D解析由题中函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象知,A=2,T==3π,所以T=4π=,所以ω=又f=2sin=2,可得+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin故f=2sin=2sin5.D解析由sin+cosα可得sin cosα-cos sinα=+cosα,cosα-sinα=+cosα,sinα+cosα=-,∴sin=-,∴sin=sin=cos=1-2sin26.C解析在△CDE中,设定点C究竟边DE的距离为h,则h=2+1·sin,又S△CDE=DE·h=CD·CE sin,即5DE=CD·CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-2CD·CE cos=CD2+CE2-CD·CE≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,当且仅当CD=CE时,等号成立,故DE2≥CD·CE,而5DE=CD·CE,所以DE2DE,则DE,故DE的最小值为7.D解析因为tan A tan B>1,所以>1,因为0<A<π,0<B<π,所以sin A sin B>0,cos A cos B>0,故A,B同为锐角,因为sin A sin B>cos A cos B,所以cos A cos B-sin A sin B<0,即cos(A+B)<0,所以<A+B<π,因此0<C<,所以△ABC是锐角三角形,不是钝角三角形,所以充分性不满意.反之,若△ABC是钝角三角形,也推不出“tan A tan B>1”,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件.8.B解析因为f(x)=2sin+cos2x,所以f(x)=2sin+sin=2sin(x+)+2sin cos令θ=x+,g(θ)=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ,则g'(θ)=2cosθ+2cos2θ=2(2cos2θ-1)+2cosθ=4cos2θ+2cosθ-2,令g'(θ)=0,得cosθ=-1或cosθ=,当-1≤cos时,g'(θ)≤0;当cosθ≤1时,g'(θ)≥0,所以当(k∈Z)时,g(θ)单调递减;当(k∈Z)时,g(θ)单调递增,所以当θ=+2kπ(k∈Z)时,g(θ)取得最大值,此时sinθ=,所以f(x)max=2+2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.ACD解析因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A中结论正确;由以上解答可知c边最大,所以三角形中角C最大,又cos C=>0,所以C为锐角,所以B中结论错误;由以上解答可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cos A=,所以cos2A=2cos2A-1=,所以cos2A=cos C.由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A∈(0,π),C,所以2A=C,所以C中结论正确;由正弦定理,得2R=(R为△ABC外接圆半径),又sin C=,所以2R=,解得R=,所以D中结论正确.10.AD解析y=2sin x cos x=sin2x,将其图象向右平移个单位长度得f(x)=sin2(x-)=sin(2x-),则f(x)的最小正周期T==π,故A选项正确;令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,故B选项错误;令2x-+kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,故C选项错误;令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象的对称中心为(,0),k∈Z,故D选项正确.故选AD.11.BD解析对于A,当x=时,f-f=sin cos-sin cos=-0,故A错误.对于B,因为f(x+2π)=sin(2π+x)cos[2(x+2π)]=sin x cos2x,所以∃T=2π≠0,使得f(x+T)=f(x),故B正确.对于C,因为f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin x cos2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.对于D,f(π-x)-f(x)=sin(π-x)cos[2(π-x)]-sin x cos2x=sin x cos2x-sin x cos2x=0,故D正确. 12.ABD解析因为依次成等差数列,所以,整理得,所以2,整理得2b2=a2+c2,即a2,b2,c2依次成等差数列.但数列a,b,c或或a3,b3,c3不肯定是等差数列,除非a=b=c,但题目没有说△ABC是等边三角形.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.-解析由cos=-可得cos(α+)=,所以(cosα-sinα)=,即cosα-sinα=,两边平方可得1-sin2α=,故sin2α=-14.[2,3)解析由题意可知,要使函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cosωx(ω>0)的图象在区间[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cosωx(ω>0)的最小正周期为T,画出函数y=cosωx(ω>0)的大致图象,如图.要满意题意,须要2T≤2π<3T,即<T=,解得2≤ω<3.15.14 400解析连接AC交EF于点O(图略),由∠AEF=∠CFE=60°,得AE∥FC,所以△AEO与△CFO相像,所以,所以EO=50cm,FO=30cm,在△AEO中,由余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AE·EO·cos∠AEO=(100)2+(50)2-2×10050cos60°=22500,所以AO=150cm,同理CO=90cm,所以AC=240cm,从而BC==120cm,所以矩形ABCD的面积为14400cm2. 16.(10 000+25 000)解析在△OAB中,∵∠AOB=θ,OB=100m,OA=200m,∴AB2=OB2+OA2-2OB·OA·cos∠AOB,即AB=100,∴S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=OA·OB·sinθ+AB2,于是S四边形OACB=1002=1002[sin(θ-φ)+](其中tanφ=2),所以当sin(θ-φ)=1时,S四边形OACB取最大值10000=10000+25000,即“干脆监测覆盖区域”面积的最大值为(10000+25000)m2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解 (1)方法一:由题意知A+B=3C,∵A+B+C=π,∴C=,A+B=由2sin(A-C)=sin B,得2sin(A-)=sin(-A)=sin[π-(A+)]=sin(A+),∴2(sin A cos-cos A sin)=sin A cos+cos A sin∴2(sin A-cos A)=sin A+cos A.∴sin A=3cos A.由sin2A+cos2A=1,得sin2A=∵A∈(0,π),∴sin A=方法二:∵A+B=3C,A+B+C=π,∴C=,B=3C-A.∵2sin(A-C)=sin B,∴2sin A cos C-2cos A sin C=sin(-A),∴2sin A cos C-2cos A sin C=sin cos A-cos sin A.代入数据,得sin A-cos A=cos A+sin A.整理得sin A=cos A,∴tan A=3.∵0<A<π,∴sin A=(2)过点C作AB的垂线,垂足为点D,则CD为AB边上的高.由正弦定理得,故BC==3∵sin A=,由(1)知A∈(0,),∴cos A=∴sin B=sin(-A)=sin cos A-cos sin A=∴CD=BC sin B=3=6.综上,AB边上的高为6.18.解 (1)因为f(x)的最小正周期为π,所以=π(ω>0),所以ω=2.此时f(x)=2sin(2x+φ).若满意条件①,则φ=若满意条件②,则f()=2,即sin(+φ)=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-若满意条件③,则f(0)=,即sinφ=,又|φ|<,所以φ=因为f(x)恰满意条件①②③中的两个条件,所以只能满意条件①③.此时f(x)=2sin(2x+).(2)因为f()=,由(1)知,sin(α+)=又sin2(α+)+cos2(α+)=1,所以cos2(α+)=1-()2=所以sin(-α)-sin2(+α)=sin[π-(α+)]-sin2[+(α+)]=sin(α+)-cos2(α+)==-19.解 (1)在△ABC中,由余弦定理,可得BC===2,所以的长为π×2=π,即的长度为πkm.(2)记AD=a,CD=b,则在△ACD中,由余弦定理可得a2+b2-2ab cos=16,即a2+b2-ab=16,从而(a+b)2=16+3ab≤16+3()2,所以(a+b)2≤16,所以a+b≤8,当且仅当a=b=4时,等号成立.所以新建健康步道A-D-C的最长路程为8km.故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加(8-π-2)km.20.解 (1)由f(0)=,得sinφ=,又0<φ<,所以φ=由f=0,得sin=0,所以ω=kπ,k∈Z,即ω=(6k-1),k∈Z.由ω>0,结合题中函数f(x)的图象可知,所以0<ω<,所以有0<(6k-1)<,即<k<,又k∈Z,所以k=1,从而ω=(6×1-1)=2,因此,f(x)=sin(2)由f,得sin(A-B)=,又由题意可知0<A-B<,故cos(A-B)=,于是cos,sin,又A+B>,所以A=,又因为函数y=sin x在区间内单调递增,A,所以sin A>sin()=21.解 (1)∵点C,D关于直线l对称,∴点C坐标为(2×34-44,16),即(24,16).把点A,B,C的坐标分别代入函数解析式,得②-①,得a=-3,③-①,得a=-6,∴2sin-2sinφ=sin-sinφ,∴cosφ+sinφ=cosφ+sinφ,cosφ=sinφ=-1)sinφ,∴tanφ=-0<φ<π,∴φ=,代入②,得b=19.将φ=,b=19代入①得,a=6.于是ABC段对应的函数解析式为y=6sin+19,由对称性得DEF段对应的函数解析式为y=6sin[(68-x)+]+19.设点F的坐标为(x F,y F),则由(68-x F)+,解得x F=92.因此可知,当x=92时,股价见顶.(2)由(1)可知,y F=6sin[(68-92)+]+19=6sin+19=25,故这次操作老张能赚3000×(25-16)=27000(元).22.解 (1)由题意,函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin,因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以T=π,可得ω=2.又f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,可得f(0)=2sin=0,所以φ-=kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,因此f(x)=2sin2x.令+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z,又因为x,故函数f(x)的单调递减区间为(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象,再把横坐标缩小为原来的,得到函数y=g(x)=2sin(4x-)的图象,当x时,4x-,当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,且最小值为-2,当4x-时,函数g(x)取得最大值,且最大值为,故函数g(x)的值域为[-2,].(3)由方程g(x)=,即2sin,即sin(4x-)=(*)因为x,可得4x-,设θ=4x-,其中,则方程(*)可转化为sinθ=,结合正弦函数y=sinθ的图象,如图,可得方程sinθ=在区间上有5个解,设这5个解分别为θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,所以n=5,其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=。

2022秋新教材高中数学阶段验收评价二立体几何初步新人教A版必修第二册

阶段验收评价（二）立体几何初步(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是( ) A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°角的直观图为45°角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．原来平行的线段仍然平行解析：选B　A正确，根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形；B错误，90°角的直观图可以是45°角，也可以是135°角；由斜二测画法规则知C、D正确．2．空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能解析：选D　如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D.3．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为( ) A．5 B．4C．9 D．1解析：选D　由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．故选D.4.在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，VA1BCD的体积是( )A．60 B．30C．20 D．10解析：选D　VA1BCD＝××3×5×4＝10.故选D.5．正方体的表面积与其外接球的表面积的比为( ) A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π解析：选B　设正方体的棱长为a，则球的直径为2R＝a，所以R＝a.正方体的表面积为6a2.球的表面积为4πR2＝4π·2＝3πa2，所以它们的表面积之比为6a2∶3πa2＝2∶π.故选B.6．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ( )A. B.C. D.解析：选B　设圆锥底面积的半径为r，高为h，则L＝2πr，πr2h＝(2πr)2h，所以π＝.故选B.7.如图，在三棱锥ABCD中，AC⊥AB，BC⊥BD，平面ABC⊥平面BCD.给出下列结论：①AC⊥BD；②AD⊥BC；③平面ABC⊥平面ABD；④平面ACD⊥平面ABD.以上结论中正确的个数为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：选C　∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，BC⊥BD，∴BD⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，∴BD⊥AC，故①正确．当AD⊥BC时，∵BD⊥BC，AD∩BD＝D，∴BC⊥平面ABD.∵AC⊥AB，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD，而AC∩BC＝C，过平面外一点不可能有两条不同直线同时垂直于同一个平面，故②错误．∵BD⊂平面ABD，BD⊥平面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC，故③正确．∵AC⊥平面ABD，AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，故④正确．综上所述，①③④正确．故选C.8.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是( )A．无论翻折到什么位置，A，C两点都不可能重合B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°解析：选D　在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误．故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的是( ) A．直角三角形 B．正五边形C．正六边形D．梯形解析：选CD　画出截面图形如图：可以画出三角形但不是直角三角形，故A错误；如图①经过正方体的一个顶点去截就可得到五边形，但此时不可能是正五边形，故B错误；正方体有六个面，如图②用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故C正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故D正确．故选C、D.10．设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是( ) A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂αB．α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若l⊄α，A∈l，则A∉αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合解析：选ABD　由基本事实1，A正确，易知B、D正确，C错误，当A是l与α的交点时，A∈α.故选A、B、D.11.如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选ABC　因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，所以BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D错误．故选A、B、C.12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角PBCA的大小为45°D．BD⊥平面PAC解析：选ABC　如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM.∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM.又PM∩BM＝M，PM⊂平面PMB，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM.∴BC⊥PB，BC⊥BM.∴∠PBM是二面角PBCA的平面角．设AB＝1，则BM＝，PM＝，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角PBCA的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选A、B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如果用半径R＝2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝2π，则r＝，所以圆锥筒的高h＝＝＝3.答案：314．在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．解析：PA＝PB＝PC，则P点在底面ABC的射影落在Rt△ABC的斜边BC上，即为BC的中点．设BC的中点为D，如图，连接PD，AD，所以PA与底面ABC所成的角为∠PAD.在等边三角形PBC中，设PB＝1，则PD＝，在直角三角形ABC中，AD＝BC＝，则有AD2＋PD2＝PA2，所以三角形PAD为直角三角形，又tan∠PAD＝＝，所以∠PAD＝60°，即PA 与底面ABC所成的角为60°.答案：60°15．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角PBCA的大小为__________．解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角PBCA的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°16.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，已知∠DAB＝，∠BAC＝，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为________；该三棱锥体积的最大值为________．解析：由题意，∠ADB＝∠ACB＝，又∠DAB＝，∠BAC＝，AB＝10，∴AD＝5，BD＝5，AC＝BC＝5.∵∠ADB＝∠ACB＝，∴三棱锥ABCD的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为S＝4π×52＝100π；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥ABCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离d＝5，∴V ABCD＝V CABD＝S△ABD·d＝××5×5×5＝.答案：100π　四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.(1)求证：BD⊥PC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.证明：(1)连接AC交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l，所以BC∥l.18.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)求证：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD面积为2，求四棱锥PABCD的体积．解：(1)证明：∵底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD.又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝x.因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，解得x＝－2(舍去)，x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.19.(12分)如图，在三棱锥PABC中，AB⊥平面PAC，∠APC＝90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，且PB＝4PN.求证：(1)平面PCE⊥平面PAB；(2)MN∥平面PAC.证明：(1)因为AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC.又∠APC＝90°，所以AP⊥PC.因为AB∩AP＝A，所以PC⊥平面PAB.因为PC⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面PAB.(2)取AE的中点Q，连接QN，QM.在△AEC中，因为M是CE的中点，所以QM∥AC.又PB＝4PN，AB＝4AQ，所以QN∥AP.又QM∩QN＝Q，AC∩AP＝A，所以平面QMN∥平面PAC.又MN⊂平面QMN，所以MN∥平面PAC.20．(12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.　求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC∥A1C1，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，又因为A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1，因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，所以B1D⊥平面A1C1F，因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.21.(12分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点．(1)求证：EF∥平面BCC1B1；(2)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值．解：(1)证明：如图，连接DE，D1E.∵AB∥CD，AB＝2CD，E是AB的中点，∴BE∥CD，BE＝CD.∴四边形BCDE是平行四边形．∴DE∥BC.又DE⊄平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1.∵DD1∥CC1，DD1⊄平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴D1D∥平面BCC1B1.又D1D∩DE＝D，DE⊂平面DED1，D1D⊂平面DED1，∴平面DED1∥平面BCC1B1.∵EF⊂平面DED1，∴EF∥平面BCC1B1.(2)如图，连接BD.设CD＝1，则AB＝BC＝CC1＝2.∵∠BCD＝60°，∴BD＝＝.∴CD2＋BD2＝BC2，∴BD⊥CD.同理可得C1D⊥CD.∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD＝CD，C1D⊂平面D1C1CD，∴C1D⊥平面ABCD.∵BC⊂平面ABCD，∴C1D⊥BC.∴C1D⊥B1C1.在平面ABCD中，过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接C1H，如图．∵C1D∩DH＝D，∴BC⊥平面C1DH.∵C1H⊂平面C1DH，∴BC⊥C1H.∴B1C1⊥C1H.∴∠DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角．∵在Rt△C1CD中，C1D＝，在Rt△BCD中，DH＝CD·sin 60°＝，∴在Rt△C1DH中，C1H＝＝.∴cos∠DC1H＝＝.∴平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角(锐角)的余弦值为.22.(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝.(1)求证：B1C∥平面A1BM.(2)求证：AC1⊥平面A1BM.(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：连接AB1交A1B于O，连接OM，如图所示．在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C.又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.(2)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.又AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面ACC1A1.所以BM⊥AC1.因为M为棱AC的中点，AC＝2，所以AM＝1.又AA1＝，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝.所以∠AC1C＝∠A1MA.所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°.所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M＝M，所以AC1⊥平面A1BM.(3)存在点N，且当点N为BB1的中点，即＝时，平面AC1N⊥平面AA1C1C.设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图所示．因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1，且DM＝CC1.又N为BB1的中点，所以DM∥BN，且DM＝BN.所以四边形DMBN是平行四边形．所以BM∥DN.因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1.又DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.。

高中新课程数学二轮复习精选第二部分洞察高考热点32题专题二 90分解答题大冲关和评分细则第31题课件

性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解，所以要熟练掌握等差、等比数列的定义及其性质，才能简化运算过程． 2．数列求和问题的关键是数列通项公式的求解，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解．
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专题二 90分解答题大冲关与评分细则
掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列问题【示例】► (徐州市 2011－2012 学年度高三第一次质量检测 20)
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＋1＝pSn＋q(p，q 为常数，n∈N*)，a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p. (1)求 p，q 的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)是否存在正整数 m，n，使SSn＋n－1－mm＜2m2＋m 1成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，说明理由．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝(a－1)[1＋a2＋a4＋…＋a2n－2]∈N*，即 as－b 能被 a＋1 整除．此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为 zn＝ 22n(n∈N*)．显然，当 b＝2 时， aas＋－1b＝aa2＋ n－12＝aa2n＋－11－a＋1 1∉N*，即 as－b 不能被 a＋1 整除． ③当 s＝2n＋1(n∈N*)时，t＝aas＋－1b＝aaa2＋n－1ba，若 a＞2，则 a2n－ba∉N*，又 a 与 a＋1 互质，故此时 t＝aaa2＋n－1ba ∉N*.
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评分细则 1列式正确，计算错误的，扣 2 分. 2没有验证“a2＝12a1”的，扣 2 分； 3讨论不全的，少一个扣 1 分，直到扣完为止.

【三维设计】人教版高中数学必修2练习：阶段质量检测2(含答案解析)

第二章(时间90分钟，满分120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如右图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列4个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④答案：D6．正方体AC 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( )A.12 B ．32 C ．63D ．62 答案：C7．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A -CD -B 的余弦值为( )A.12 B ．13C ．33D ．23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列3个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中正确的说法个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案：B9．如下图所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为() A．13 B．151C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)如右图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，P A⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面P AC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面P AB.证明：(1)∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.又CD⊥PC，P A∩PC＝P，∴CD⊥平面P AC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面P AC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∴CE∥AB.又∵AB⊂平面P AB，CE⊄平面P AB，∴CE∥平面P AB.16.(本小题满分12分)如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC ＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2，AB＝1.(1)求四棱锥P -ABCD 的体积V ；(2)若F 为PC 的中点，求证：平面P AC ⊥平面AEF . 解：(1)在Rt △ABC 中，AB ＝1， ∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，AC ＝2. 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝23，AD ＝4.∴S 四边形ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD＝12×1×3＋12×2×23＝52 3. 又∵P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2， ∴V ＝13×523×2＝533.(2)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC .∴CD ⊥PC .∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点， ∴EF ∥CD ，则EF ⊥PC .∵P A ＝AC ＝2，F 为PC 的中点， ∴AF ⊥PC .∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF . ∵PC ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面AEF .17.(本小题满分12分)如右图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数．解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′， ∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB . 又∵OC ⊂平面AOC ， ∴平面AOB ⊥平面AOC .即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.18．(本小题满分14分)如图①，在平面四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝135°，∠C ＝60°，AB＝AD，M，N分别是边AD，CD上的点，且2AM＝MD,2CN＝ND，如图①，将△ABD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD，并连接AC，MN(如图②)．(1)证明：MN∥平面ABC；(2)证明：AD⊥BC；(3)若BC＝1，求三棱锥A-BCD的体积．解：(1)证明：在△ACD中，∵2AM＝MD,2CN＝ND，∴MN∥AC，又∵MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.(2)证明：在△ABD中，AB＝AD，∠A＝90°，∴∠ABD＝45°.∵在平面四边形ABCD中，∠B＝135°，∴BC⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，且BC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴BC⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴AD⊥BC.(3)在△BCD中，∵BC＝1，∠CBD＝90°，∠BCD＝60°，∴BD＝ 3.在△ABD中，∵∠A＝90°，AB＝AD，∴AB＝AD＝6 2，∴S△ABD＝12AB·AD＝34，由(2)知BC⊥平面ABD，∴V A-BCD＝V C-ABD＝13×34×1＝14.。

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