北京大学数学分析考研试题及解答

判断无穷积分

1

sin sin(

)x

dx x +∞

⎰的收敛性。

解 根据不等式31|sin |||,||62

u u u u π

-≤≤，

得到 33

sin sin 1sin 11

|sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x

dx x x +∞-⎰绝对收敛，因而收敛，

再根据1sin x

dx x +∞⎰是条件收敛的，

由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+

， 可知积分1sin sin()x

dx x

+∞⎰收敛，且易知是是条件收敛的。

例5.3.39 设2()1...2!!

n

n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞

=-∞。

证明 （1）任意*

m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>；

,

当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在，

又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P

x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x

n n P x e →+∞

=>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。

因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。

则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）；

21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞

→+∞

<=-≤=，矛盾。

例、 设(1)ln(1)n

n p a n -=+，讨论级数2

n n a ∞

=∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数

2

n

n a

∞

=∑发散；

由 20

01

1ln(1)

1lim

lim 2x x x x x x

x

→→-

-++=011lim 21x x →=+ 12=，

得

2

21ln(1)4

x x x x ≤-+≤，

（x 充分小）， #

于是2211(1)1

4n n

p p p

a n n n -≤-≤，（n 充分大）

（1） 当1p >时，221p n n ∞

=∑，2

(1)n

p

n n ∞

=-∑收敛， 2(1)n n p n a n ∞

=--∑

收敛，(1)1

n n n p p

a a n n

-≤-+， 2

n

n a

∞

=∑收敛，

2

n

n a

∞

=∑绝对收敛；

（2） 当1

12p <≤时，22

1p n n ∞

=∑收敛，2(1)n p

n n ∞=-∑收敛， 于是

2

(1)n

n p n a n ∞

=--∑

收敛，从而2(1)()n n p n a n ∞=--∑收敛，2

n n a ∞

=∑收敛，

而21p n n ∞

=∑发散，由1(1)n n n p p

a a n n -≤-+，得2

(1)(||)n

n n p n a a n ∞=--+∑发散，所以2n n a ∞

=∑发散， 故此时

2

n

n a

∞

=∑条件收敛。

（3） 当1

02p <≤时，2(1)()n n p n a n ∞=--∑发散，而2(1)n p

n n ∞=-∑收敛，此时2

n n a ∞

=∑发散。

~

北京大学2007年数学分析考研试题及解答

1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。

证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。

命题：若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，那么必然存在一点(,)a b ξ∈， 满足()0f ξ=。

采用反正法，若对于任意点(,)x a b ∈，有()0f x ≠，那么显然对于任意[,]x a b ∈，仍然有()0f x ≠。

由于f 的连续性，我们对于任意一点[,]x a b ∈，可以找到一个邻域()x O x δ，使得()f x 在

()[,]x O x a b δ⋂中保号，那么[,]a b 区间被以上形式的()x O x δ，[,]x a b ∈开区间族所覆盖，

由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间1

2

12(),(),...,()x x x n

n O x O x O x δδδ就能覆盖闭区间

[,]a b ，再由覆盖定理的加强形式可得，存在0ε>，满足当12,[,]y y a b ∈，12y y ε-<时，

存在1

2

12(),(),...,()x x x n

n O x O x O x δδδ中的某个开集同时覆盖12,y y 。那么我们就证明了当

12y y ε-<时，有12(),()f y f y 同号；

`

现取正整数m ，满足

b a m ε-<，令()i b a i

z a m

-=+

，0,1,...,i m =，那么我们有1i i z z ε+-<，()i f z 与1()i f z +同号，从而证明了0()f z 与()m f z 同号，即()f a 与()f b 同

号，这与题目中的()()0f a f b <矛盾，证明完毕。

2、 设(),()f x g x 在有限区间(,)a b 内一致连续，证明：()()f x g x 也在(,)a b 内一致连续。

证明 首先证明(),()f x g x 都在(,)a b 上有界，因为()f x 在有限区间(,)a b 内一致连续，从而存在10δ>，满足当此12,(,)x x a b ∈，121x x δ-<时，有 12()()1f x f x -<， 现取正整数m ，满足

1b a m δ-<，令()i b a i

z a m

-=+

，1,2,...,1i m =-； 对任意(,)x a b ∈，存在j z ，使得 1j b a

x z m

δ--<

<， ()()()()j j f x f x f z f z ≤-+

1()j f z ≤+ 11

1max ()i i m f z ≤≤-≤+，

即得()f x 在(,)a b 上是有界的；

)

同理()g x 在(,)a b 上也是有界的；

下面证明，若(),()f x g x 在区间I 上有界，且都一致连续，则()()f x g x 在区间I 上一致连续。

设0M >，满足(),()f x M g x M ≤≤，x I ∈; 那么由(),()f x g x 得一致连续性得到，