高中数学第1章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数学案苏教版选修2_22

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高中数学第一章导数及其应用教案苏教版选修22

第一章导数及其应用1．1导数的概念1．1.1 平均变化率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型．2．过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．3．情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：平均变化率的概念．难点：平均变化率概念的形成过程．为了使得平均变化率概念的引入自然流畅，可创设实际问题情境，如气球吹气时的平均膨胀率、跳板跳水某段起跳后的平均速度，通过具体的实例提出问题；借助天气预报中某天气温的变化曲线，以形助数，让学生有一个直观的认识，然后从数学的角度，描述这种现象就一目了然了．(教师用书独具)●教学建议本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．●教学流程创设问题情境，提出问题，根据气球的平均膨胀率得出平均变化率的概念.⇒应用平均变化率的概念，完成例1及其变式训练.⇒实际问题中的平均变化率，完成例2及其变式训练.⇒通过例3及其变式训练，进一步理解平均变化率的意义及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.在吹气球时，气球的半径r(单位：dm )与气球空气容量(体积)V(单位：L )之间的函数关系是r(V)＝33V4π.1．当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？【提示】平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.621＝0.62(dm /L )．2．当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？【提示】平均膨胀率为r （V 2）－r （V 1）V 2－V 1.一般地，函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，其中Δy＝f(x 2)－f(x 1)是函数值的改变量．如图所示，函数y ＝f(x)图象上四点A ，B ，D ，E.1．由Δy ＝f(x 2)－f(x 1)能否判断曲线在A→B 段的陡峭程度？【提示】不能．2．平均变化率f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1能否近似刻画曲线在A→B 段的陡峭程度？为什么？曲线段AB 与曲线段DE 哪段更陡峭？【提示】能．因为k AB ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示A ，B 两点所在直线的斜率，所以可近似地刻画曲线段AB 的陡峭程度．由于k DE ＞k AB ，知曲线段DE 更加陡峭．从平均变化率的定义知，其几何意义是经过曲线y ＝f(x)上两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)的直线PQ 的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．已知函数f(x)＝x 2＋x ，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]上的平均变化率．【思路探究】对于给定的三个区间，分别求函数值的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比值ΔyΔx. 【自主解答】 (1)函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为f （3）－f （1）3－1＝32＋3－（12＋1）2＝5.(2)函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝22＋2－（12＋1）1＝4.(3)函数f(x)在区间[1，1.5]上的平均变化率为f （1.5）－f （1）1.5－1＝1.52＋1.5－（12＋1）0.5＝3.5.1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算，解题的关键是弄清自变量与函数值的增量．2．求函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： (1)作差：求Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)作商：求Δy Δx ，即f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1的值．求函数y ＝5x 2＋6在区间[2，3]上的平均变化率．【解】函数在区间[2，3]上的平均变化率为f （3）－f （2）3－2＝5×32＋6－5×22－61＝45－20＝25.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m )与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率；(2)求高度h 在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．【思路探究】 (1)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[0，0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[1，2]上的平均变化率．【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m /s )．(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m /s )．1．结合物理知识可知，在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.2．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．已知某物体运动位移与时间的关系为s(t)＝12gt 2，试分别计算t 从3 s 到3.1 s ，3.001s 各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？【解】设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速度分别为V 1，V 2，则ΔS 1＝S(3.1)－S(3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g(m )． ∴物体从3 s 到3.1 s 时平均速度V 1＝ΔS 13.1－3＝0.305g 0.1＝3.05g(m /s )，同理V 2＝ΔS 23.001－3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g(m /s )．通过计算可以发现，随着时间间隔Δt 的变小，平均速度在向3g m /s 靠近，而3g m /s 为物体做自由落体运动时，t ＝3 s 时的瞬时速度．2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－1所示，据图回答：图1－1－1(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【思路探究】利用平均变化率的计算公式及其实际意义进行分析．【自主解答】(1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率ΔsΔt较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s A3，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s C1＝s B －s C ，显然k BC ＞k AB ，即s B －s C ＞s B －s A3，∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．1．本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．2．在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m /s 到0 m /s 花了5 s ，乙车从18 m /s 到0 m /s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能．【解】甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m /s 2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m /s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．实际问题中平均变化率意义不明致误甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图1－1－2中①②所示，试问：图1－1－2(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？【错解】(1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A，B，显然有k OB＞k OA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的时间、路程相同，平均变化率相等，速度相等，所以两人跑得一样快．【错因分析】在(2)中，题意不明，误求甲、乙在[0，t0]上的平均变化率认为是终点附近的平均速度．【防范措施】(1)在实际问题中，理解平均变化率具有的现实意义；(2)弄清题目的要求，区别平均速度与瞬时速度．【正解】(1)同上面解法．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．1．函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________．【解析】（2×2＋2）－（2×1＋2）2－1＝2.【答案】 22．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________．【解析】 ∵S＝πr 2， ∴ΔS Δr ＝S （0.3）－S （0.1）0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π. 【答案】 0.4π3．如图1－1－3，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．图1－1－3【解析】 ∵k AB ＝y A －y B x A －x B ＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率为－1. 【答案】－14．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)【解】甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154＞103， ∴甲企业的生产效益较好．一、填空题1．函数f(x)＝1x 在[2，6]上的平均变化率为________．【解析】 f （6）－f （2）6－2＝16－126－2＝－112.【答案】－1122．函数f(x)＝log 2x 在区间[2，4]上的平均变化率是________．【解析】函数的平均变化率是f （4）－f （2）4－2＝2－12＝12.【答案】 123．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t 2(单位：米)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为________．【解析】 s （3）－s （1）3－1＝5×32－5×122＝20(m /s )．【答案】 20 m /s4．若函数f(x)＝x 2－c 在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m 等于________．【解析】由题意得（m 2－c ）－（12－c ）m －1＝3，∴m ＝2(m ＝1舍去)．【答案】 25．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m /h .【解析】105.1－102.724＝0.1(m /h )．【答案】 0.16．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg /mL )来表示，它是时间t(单位：min )的函数，表示为c ＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．)．【解析】c （70）－c （30）70－30＝0.90－0.9840＝－0.002 mg /(mL ·min )．【答案】－0.0027．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t ＋13t 3，则该物体在时间间隔[1，32]内的平均加速度为________．【解析】平均加速度Δv Δt ＝32＋13·（32）3－（1＋13）32－1＝3112.【答案】3112图1－1－48．如图1－1－4所示，显示甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度．【解析】在[0，t 0]内甲、乙的平均速度为s 0t 0，①②错．在[t 0，t 1]上，v 甲＝s 2－s 0t 1－t 0，v乙＝s 1－s 0t 1－t 0. ∵s 2－s 0＞s 1－s 0，且t 1－t 0＞0， ∴v 甲＞v 乙，故③正确，④错误．【答案】 ③ 二、解答题9．求函数f(x)＝x 2＋1x＋4在区间[1，2]上的平均变化率．【解】 f(x)＝x 2＋1x ＋4在区间[1，2]上的平均变化率为22＋12＋4－（12＋11＋4）2－1＝52.10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c(x)＝x 3－6x 2＋15x(元)，而售出x 台的收入是r(x)＝x 3－3x 2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】依题意，生产并售出x 台所获得的利润是 L(x)＝r(x)－c(x)＝3x 2－3x(元)， ∴x 取值从10台至20台的平均利润为L （20）－L （10）20－10＝3×202－3×20－（3×102－3×10）10＝87(元)，故所求平均利润为87元．11．(2013·泰安高二检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1－1－5【解】山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多．(教师用书独具)已知气球的体积为V(单位：L )与半径r(单位：dm )之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？【自主解答】 ∵V＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，即r(V)＝ 33V4π.(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为 r （1）－r （0）1－0＝33×14π－01≈0.62(dm /L )，函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为r （2）－r （1）2－1＝ 33×24π－ 33×14π≈0.16(dm /L )．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．一块正方形的铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热铁板会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm ，a 为常数，试求0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率．【解】铁板面积S ＝102(1＋at)2，在区间[0，10]上，S 的平均变化率为S （10）－S （0）10－0＝102（1＋10a ）2－10210＝200a ＋1 000a 2，即0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率为(200a ＋1 000a 2)cm 2/℃.1．1.2 瞬时变化率——导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣，在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．难点：从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，及函数在开区间内的导函数的理解．为了突出重点、突破难点，在导数概念的教学中，积极创设问题情境，从学生已有的认知入手，例如物理学中的瞬时速度、曲线割线的斜率等，采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，通过反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解导数概念．(教师用书独具)●教学建议新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)——瞬时变化率——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程．因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、观察、分析、类比、抽象、概括，并借助excel及几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．●教学流程利用割线逼近切线的方法探究曲线上一点处的切线.⇒通过缩小时间间隔，由平均速度得出瞬时速度.⇒会求瞬时速度和瞬时加速度，完成例1与变式训练.⇒利用瞬时变化率得出导数的概念，会求函数在某点处的导数，完成例2及互动探究.⇒根据导数的几何意义，完成例3及其变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？曲线上在某一点处的切线的含义是什么？【提示】切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C 在点P 处的切线l 与曲线C 还有一个公共点Q.曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线．2．运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？【提示】不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0.1．曲线上一点处的切线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C.当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度、瞬时加速度(1)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S （t 0＋Δt ）－S （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．(2)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v （t 0＋Δt ）－v （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．1.导数设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，切线PT 的方程是y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求瞬时速度、瞬时加速度已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求ΔvΔt；(2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．【思路探究】【自主解答】ΔvΔt＝v（t＋Δt）－v（t）Δt＝3（t＋Δt）2＋2－（3t2＋2）Δt＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03(cm/s2)．(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12 cm/s2.1．求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．2．求瞬时加速度：(1)求平均加速度ΔvΔt；(2)令Δt →0，求出瞬时加速度．质点M 按规律s(t)＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．【解】 ∵Δs ＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a Δt ＋a(Δt)2， ∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt. 当Δt →0时，ΔsΔt→4a. ∵在t ＝2时，瞬时速度为8 m /s ，∴4a ＝8，∴a ＝2.求函数y ＝f(x)＝x －1x在x ＝1处的导数．【思路探究】求Δy ＝f （1＋Δx ）－f （1）―→求Δy Δx→令Δx →0，求ΔyΔx→A 的值【自主解答】 ∵Δy ＝(1＋Δx)－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx.∴ΔyΔx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→1＋1＝2. ∴f ′(1)＝2.1．本题是利用定义求f′(1)，解题的关键是求出ΔyΔx并化简，利用定义求解的步骤为：①求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；②求平均变化率ΔyΔx；③当Δx 无限趋近于0时，确定ΔyΔx的无限趋近值． 2．求f′(x 0)也可先求出导函数f′(x)，再将x ＝x 0代入，即求出f′(x)在点x ＝x 0处的函数值．在例题中，若条件改为f′(x 0)＝54，试求x 0的值．【解】 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)－1x 0＋Δx －(x 0－1x 0)＝Δx ＋Δxx 0（x 0＋Δx ）∴Δy Δx ＝1＋1x 0（x 0＋Δx ）当Δx →0时，Δy Δx →1＋1x 20. 又f′(x 0)＝54，则1＋1x 20＝54.∴x 0＝±2.已知抛物线y ＝2x 2，求抛物线在点(1，2)处的切线方程．【思路探究】根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程．【自主解答】因为点(1，2)在抛物线上，所以抛物线在点(1，2)处的切线斜率为函数y ＝2x 2在x ＝1处的导数f′(1)．因为Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋2Δx 无限趋近于4，所以f ′(1)＝4. 所以切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.1．本题是“给出曲线和切点(x 0，f(x 0))求切线方程”，此时切线的斜率就是f′(x 0)，则该点处的切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)．2．若求“过点(x 0，y 0)的切线方程”，此时所给的点有可能不是切点，切线的斜率还用f′(x 0)则可能会出错．此时应先设出切点坐标P(x′0，y ′0)，由已知条件列出切点横坐标的方程，求x′0，然后再求解．曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）3＋11－x 30－11Δx＝3x 0Δx ＋3x 20＋(Δx)2，∴当x 0＝1，Δx →0时，k ＝f′(1)＝3.∴曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线为y ＝3x ＋9. ∴当x ＝0时，y ＝9.因此所求切线与y 轴交点的纵坐标为9. 【答案】 9对导数定义理解不透彻致误已知f′(1)＝－2，则当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx→________．【错解】当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx →－2.【答案】－2【错因分析】产生错解的原因是对导数定义的理解不透彻，一味地套用公式．本题分子中自变量的增量是2Δx ，即(1＋2Δx)－1＝2Δx ，而错解中分母中的增量为Δx ，二者不是等量的．【防范措施】在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但无论如何变化，其实质是分子中的自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．【正解】f （1＋2Δx ）－f （1）Δx ＝2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →f ′(1)，∴2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →2f ′(1)＝2×(－2)＝－4. 【答案】－41．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤都是一样的——(1)计算Δy ，(2)求Δy Δx ，(3)看Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于哪个常数．2．准确理解导数的概念，正确求y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数注意两点：(1)Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)不能误认为Δy ＝f(Δx)；(2)求解时不给出Δx 的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率(导数)．3．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．(1)若已知点(x 0，y 0)为切点，则先求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．因此求曲线的切线方程一定要明确切点的位置，分清楚是“曲线在某点处的切线”还是“过某点的曲线切线”．1．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．【解析】 Δs Δt ＝3（3＋Δt ）2－3×32Δt＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 182．已知f(x)＝2x ＋5，则f(x)在x ＝2处的导数为________．【解析】 Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx ， ∴ΔyΔx＝2，∴f ′(2)＝2. 【答案】 23．抛物线y ＝14x 2在点Q(2，1)处的切线方程为______．【解析】 Δy Δx ＝14（2＋Δx ）2－14×22Δx ＝1＋14Δx.当Δx →0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1，由导数的几何意义，点Q 处切线斜率k ＝f′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝1(x －2)即y ＝x －1. 【答案】 y ＝x －14．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】法一 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1无限趋近于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.法二Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x，当Δx →0时，Δy Δx →12x ，所以y′＝12x. 当x ＝1时，y ′＝12.∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.一、填空题1．设函数f(x)在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f （x 0＋h ）－f （x 0）h 的值，以下说法中正确的是________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f(x)在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．(2013·徐州高二检测)函数f(x)＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．(2013·合肥高二检测)函数y ＝f(x)的图象在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，若P 点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________．【解析】由导数的几何意义，f ′(4)＝－2. 又f(4)＝－2×4＋9＝1. 故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1. 【答案】－14．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t(t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－(8×2－12×22)＝6Δt －12(Δt)2，则Δs Δt ＝6－12Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 65．曲线f(x)＝x 3在x ＝0处的切线方程为________．【解析】 Δy Δx ＝f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝（Δx ）3－0Δx＝(Δx)2.当Δx →0时，ΔyΔx→0. ∴由导数的几何意义，切线的斜率k ＝f′(0)＝0. 因此所求切线方程为y ＝0. 【答案】 y ＝06．若点(0，1)在曲线f(x)＝x 2＋ax ＋b 上，且f′(0)＝1，则a ＋b ＝________．【解析】 ∵f(0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx ＝f （0＋Δx ）2－f （0）Δx＝Δx ＋a. ∴当Δx →0时，ΔyΔx→a ，则f′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 27．高台跳水运动员在t 秒时距水面高度h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．【解析】 Δh Δt ＝－4.9（Δt ）2＋6.5·（Δt ）＋10－10Δt＝6.5－4.9Δt∵当Δt 无限趋近于0时，－4.9Δt ＋6.5无限趋近于6.5， ∴该运动员的初速度为6.5米/秒．【答案】 6.58．(2013·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图1－1－6所示，记k 1＝f′(1)，k 2＝f′(2)，k 3＝f(2)－f(1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．图1－1－6【解析】 k 1表示曲线在x ＝1处的切线的斜率，k 2表示曲线在x ＝2处的切线的斜率， k 3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率，由图可知：k 1＞k 3＞k 2. 【答案】 k 1＞k 3＞k 2 二、解答题9．已知函数f(x)＝2x 2＋4x ，试求f′(3)．【解】 Δy ＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－30＝2(Δx)2＋16Δx ， ∴ΔyΔx＝2Δx ＋16，当Δx →0时，ΔyΔx→16. 因此f′(3)＝16.10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s ＝12at 2，如果它的加速度是a ＝5×105m /s 2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．【解】运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a(t 0＋Δt)2－12at 20＝at 0(Δt)＋12a(Δt)2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a(Δt)．所以当Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知，a ＝5×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800(m /s )，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m /s . 11．已知曲线y ＝1t －x 上两点P(2，－1)，Q(－1，12)．求：(1)曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．【解】将P(2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f(x)＝11－x， ∵f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝11－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝1（1－x －Δx ）（1－x ），∴当Δx →0时，1（1－x －Δx ）（1－x ）→1（1－x ）2.∴f ′(x)＝1（1－x ）2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.(教师用书独具)已知曲线y ＝2x ＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y ＝－2x ＋3垂直，并求切线方程．【自主解答】设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝2x 0＋Δx ＋1－（2x 0＋1）Δx＝2x 0＋Δx －2x 0Δx ＝2[（x 0＋Δx ）2－（x 0）2]Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝2x 0＋Δx ＋x 0.当Δx →0时，2x 0＋Δx ＋x 0→2x 0＋x 0＝1x 0，又直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2，所以所求切线的斜率为12，故1x 0＝12.所以x 0＝4，y 0＝5，所以切点坐标为(4，5)，切线方程为y －5＝12(x －4)，即x －2y ＋6＝0.已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】设切点为P(t ，t 2＋1)．∵Δy Δx ＝（t ＋Δx ）2＋1－（t 2＋1）Δx＝2t ＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→2t. 由导数的几何意义，在点P(t ，t 2＋1)处切线的斜率k ＝f′(t)＝2t ， ∴切线方程为y －(t 2＋1)＝2t(x －t)，将(1，a)代入，得a －(t 2＋1)＝2t(1－t)，即t 2－2t ＋(a －1)＝0，因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)＞0，解得a ＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．1．2导数的运算1．2.1 常见函数的导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．2．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．3．情感、态度与价值观通过本节的学习进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．●重点难点重点：利用导数公式，求简单函数的导数．难点：对导数公式的理解与记忆．在初等函数的求导公式中，对数函数与指数函数的求导公式比较难记忆，要区分公式的结构特征，找出他们之间的差异去记忆．(教师用书独具)●教学建议导数的定义不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法，但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的，因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．●教学流程创设情境，回忆导数的概念与导数的求法.⇒利用导数的定义求y＝x n(n＝1，2，3，。

2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2

判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．
1.指出下列函数的复合关系： (1)y＝cos( 3x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝(1＋15x)3.
第1章导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章导数及其应用
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝_2_x__复合而成． 2．复合函数的求导法则若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝__y_u_′·_u_x_′ _____，即 yx′＝___y_u_′·_a___．其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数．
1．函数 y＝(3x－2)2 的导数 y′＝________．解析：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)．答案：18x－12
2．若 f(x)＝sin3x＋π4，则 f′π4＝________．解析：f′(x)＝3cos3x＋π4，所以 f′π4＝－3. 答案：－3
3．设曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，则 a＝________．解析：由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 答案：2
(2)设 y＝cos u，u＝53π－7x.

苏教版高二数学选修2-2 1.2.3 简单复合函数的导数学案

1．2.3简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．类型一复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4； (3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y ＝sin 3x 是由函数复合而成的．2．设f (x )＝e －x 则f ′(x )＝ .3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为． 4．过曲线y ＝11＋x 2上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数．思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3.(2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－8(2x ＋1)5. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1). (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)，∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)．跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。

123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案

1．2.3 简单复合函数的导数1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．一、知识回顾函数的和、差、积、商的求导法则设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数[f (x )＋g (x )]′＝两个函数的差的导数[f (x )－g (x )]′＝常数与一个函数的乘积的导数[C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数[f (x )·g (x )]′＝两个函数的商的导数 [f (x )g (x )]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究1．复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成.3221(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x xy x x y x思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？2．复合函数的求导法则2(2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？2(2)(31),6(31)(4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝，即y x ′＝．其中y x ′，y u ′分别表示y 关于的导数及y 关于的导数．三、知识应用(1)ln(51)(2)cos(12)y x y x 例1：求下列函数的导数31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数四、当堂训练1.指出下列函数的复合关系：(1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3；(3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)．2.求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －2x ；(3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．。

高中数学第1章导数及其应用阶段复习课学案苏教版选修22

高中数学第1章导数及其应用阶段复习课学案苏教版选修22第一课导数及其应用导数的几何意义及其应用【例1】已知曲线y ＝3x 3＋3.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解] (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x－3y ＋20＝0.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先求出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．注意：曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y ＝x 3在(1,1)处的切线l 与y ＝x 3的图象还有一个交点(－2，－8)．1．(1)曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．(2)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是________．(填序号)(1)2 (2)②[(1)y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．]函数的单调性与导数【例2】(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路探究] 研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a，所以要分类讨论．[解] (1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0.故实数a的取值范围是a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以只需a≥3.因为当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上单调递减，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)内单调递减．求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．注意：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．2．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1(a ≠0)，讨论函数f (x )的单调性． [解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋ax (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.因为x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a上单调递增．函数的极值、最值与导数【例3】f x x 3ax 2b P P 3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[思路探究] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )最大值＝f (0)＝2，f (x )最小值＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 －0 ＋f (x )2极小值－2t 3－3t 2＋2最小值最大值f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )最大值＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0.解得－2<c ≤0.1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法 (1)求f (x )在(a, b )内的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值．3．已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为－2，求f (x )的最大值． [解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m .f (x )极大值＝f (2)＝16＋m .∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32.(2)由(1)知要使函数y ＝f (x )有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极小值＜0，f (x )极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16,16)．(3)当x ∈[－1,3]时，由(1)知f (x )在[－1,2)上单调递增，f (x )在[2,3]上单调递减，f (x )的最大值为f (2)．又f (－1)＝－11＋m ，f (3)＝m ＋9， ∴f (－1)＜f (3)，∴在[－1,3]上f (x )的最小值为f (－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m ＝9.∴当x ∈[－1,3]时，f (x )的最大值为f (2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.生活中的优化问题【例4】 r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，。

高中数学第一章导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的导数习题苏教版选修2-2

1.2.3 简单复合函数的导数明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数．思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．反思与感悟分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (3x ＋1)．解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1.探究点二复合函数的导数思考如何求复合函数的导数？答对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例 2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3；(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝11－2x 1－2x ； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3)； (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝10u ·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解 (1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝πcos(πx ＋φ)．探究点三复合函数导数的应用例 3 求曲线y ＝e2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．解 ∵y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，∴y ′|x ＝－12＝2， ∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为 y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3 曲线y ＝esin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解设u ＝sin x ，则y ′＝(esin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1. 故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(3x －2)2的导数y ′＝________.答案 18x －12解析 y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2)．2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′＝________.答案 sin 2x解析 y ′＝2sin x ·(sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x .3．若f (x )＝sin(3x ＋π4)，则f ′(π4)＝________. 答案－3解析 f ′(x )＝3cos(3x ＋π4)， ∴f ′(π4)＝－3. 4．(1)设函数f (x )＝e x －e －x ，证明：f (x )的导数f ′(x )≥2；(2)设函数f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．(1)证明 f ′(x )＝(e x －e －x )′＝e x ＋e －x ，因为e x >0，e －x >0，所以e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即e 2x ＝1，x ＝0时，等号成立，所以f ′(x )≥2.(2)解因为f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1，所以由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1，即x －32x －5x －1>0，所以x >5或x <1.又两个函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x －5>0x －1>0，即x >5，所以不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．[呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．函数y ＝13x －12的导数y ′＝________. 答案－63x －13解析 y ′＝[13x －12]′＝－23x －13·(3x －1)′＝－63x －13. 2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数y ′＝________.答案 2x cos 2x －2x 2sin 2x解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .3．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 ∵f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1x －1ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 4．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案－24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.5．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为______．答案－2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋π6)， ∴切线的斜率k ＝－2sin(2×π6＋π6)＝－2. 6．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.7．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝11－x 2；(3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2.解 (1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y ′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x (1＋2x 2)7. (2)设y ＝u －12，u ＝1－x 2，则y ′＝(u －12)′(1－x 2)′＝(－12u －32)·(－2x ) ＝x (1－x 2)－32. (3)y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22sin(2x ＋π4)． (4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u )′·(x 2)′＝(－sin u )·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2x sin x 2.二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________答案 2解析设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 e 2解析 ∵y ′＝e 12x ·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2.∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12|－e 2||2|＝e 2.10．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋2a －2x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为S ＝S (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义．解函数S ＝5－25－9t 2可以看作函数S ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得S x ′＝－12x －12，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得S t ′＝S x ′·x t ′＝(－12x －12)·(－18t )＝9t 25－9t2，将t ＝715代入S ′(t )，得S ′(715)＝0.875 (m/s)．它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 三、探究与拓展13.曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设直线的方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。

高中数学第一章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数学案苏教版选修2_

( )π
3x＋
则 y′＝y′u·u′x＝cos u·3＝3cos
6.
(6)方法 1：设 y＝u2，u＝cosx，
则 y′＝y′u·u′x＝2u·(－sinx)＝－2cosx·sinx＝－sin 2x； 1＋cos 2x 1 1
方法 2：∵f(x)＝cos2x＝ 2 ＝2＋2cos 2x，
( ) 1 1
3.
(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可省略，不写在试卷上，但应该在草纸上拆
开求导，不可图省事导致错误．
二、复合函数的应用
已知 f(x)在 R 上满足 f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是 ________________________________________________________________________．
当堂检测
( ) ( ) 1
1
1
11 1
ex
e－x
1．2(ex－e－x) 解析：y′＝ 2 ′＋ 2 ′＝2ex－2e－x＝2(ex－e－x)．
10
1
2．(1－2x)6 解析：∵y＝(1－2x)5＝(1－2x)－5，设 y＝t－5，t＝1－2x， 10
∴y′＝－5t－6×(－2)＝10t－6＝(1－2x)6. 3．1 解析：设 f(x)＝t2，t＝2x＋a，则 f′(x)＝2t×2＝4t＝4(2x＋a)，f′(2)
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我的学困点
我的学疑点
答案：预习导引 1．复合函数 2．y′u·u′x y′u·a x u 预习交流 1：提示：令 y＝t2，t＝3x－4，则 y′＝(t2)′ ·t′x＝2t×3＝6t＝18x－24. 预习交流 2：提示：∵y＝cos t，t＝2x， ∴y′＝y′t·t′x＝－sin t×2＝－2sin 2x. 预习交流 3：提示：复合函数求导的主要步骤是： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．

高中数学第1章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数知识导航苏教版选修2_2

1.2.3 简单复合函数的导数知识梳理1.一个函数可以写成y=f ［φ(x)］,即y=f(u)，u=φ(x)的形式，则称其为_____________.2.函数u=φ(x)在点x 处有导数u′x =φ′(x)，函数y=f(u)在点x 的_____________u 处有导数y′u =f′(u)，则复合函数y=f ［φ(x)］在点x 处有导数，即_____________或写成_____________.知识导学要学好本节内容,需弄清几个基本概念,如:复合函数、中间变量,同时对基本公式的记忆要熟,即“熟能生巧”.对复合函数的求导要注意中间变量的选取要适当.另外要搞清每一步是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆.新课标要求能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax+b)〕的导数.疑难突破对于复合函数求导,一定要理清中间的复合关系.本节难点是对复合函数求导.剖析：中间变量应选择简单初等函数,判断一个函数是否是简单初等函数的标准是:存在求导公式则直接求导,弄清各分解函数中应对哪个变量求导,对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视,要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解复合关系,理解复合函数的概念. 典题精讲【例1】求下列函数的导数.(1)y=(2x 3-x+x1)4; (2)y=2211x-; (3)y=sin 2(2x+3π); (4)y=x(x-x1)100. 思路分析：选择中间变量是复合函数求导的关键,必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量的式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏.而其中特别要注意中间变量的系数,求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.解:(1)解法一:设u=2x 3-x+x1,y=u 4, 则y′x =y′u ·u′x =4u 3·(6x 2-1-21x) =4(2x 3-x+x 1)3(6x 2-21x-1). 解法二：y′=［(2x 3-x+x1)4］′ =4(2x 3-x+x 1)3·(2x 3-x+x1)′ =4(2x 3-x+x 1)3(6x 2-1-21x ).(2)解法一：设y′=21-u ,u=1-2x 2，则y′x =y′u ·u′x =(2321--u )·(-4x) =232)21(21---x ·(-4x) =2223221)21(2)21(2x x xx x --=--. 解法二：y′=(2211x -)′=［212)21(--x ］′ =232)21(21---x ·(1-2x 2)′ =232)21(21---x ·(-4x) =2223221)21(2)21(2x x xx x --=--. (3)解法一：设y=u 2,u=sinv,v=2x+3π,则y′x =y′u ·u′v ·v′x =2u·cosv·2=2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·2=2sin(4x+32π).解法二：y′=［sin 2(2x+3π)］′ =2sin(2x+3π)·［sin(2x+3π)］′ =2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·(2x+3π)′ =2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·2 =2sin(4x+32π).(4)解：y′=［x(x-x 1)100］′=x′(x -x 1)100+x ［(x-x 1)100］′ =(x-x 1)100+x·100(x -x 1)99·(x -x 1)′=(x-x 1)100+x·100(x -11x)99·(1+21x ). 绿色通道：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算.复合函数的求导法则，通常称为链条法则.变式训练：求下列函数的导数.(1)y=(2x-1)5; (2)y=32c bx ax ++; (3)y=5)21(1x -. 解:(1)设u=2x-1,则y=u 5.∴y′x =y′u ·u′x =5u 4·(2x -1)′=5(2x -1)4·2=10(2x -1)4(2)设u=ax 2+bx+c,则y=31u . ∴y′x =y′u ·u′x =)(3)2()2()(31223322c bx ax c bx ax b ax b ax c bx ax +++++=+++- (3)方法一：u=1-2x,y=u -5,y′x =y′u ·u′x =-5u -6·(-2)=10(1-2x)-6. 方法二：∵y=55)211()21(1x x -=-, 令y=u 5,u=v1,v=1-2x. y′x =y′u ·u′v ·v′x =5u 4·(-v -2)·(-2) =10(v1)4·v -2=100-6=10(1-2x)-6. 【例2】已知f(x)=xlog a (x 2+x-2),求f′(x).思路分析：函数y=log a (x 2+x-2)是由y=log a u 与u=x 2+x-2复合而成的,根据复合函数的求导步骤进行求导.解:f′(x)=log a (x 2+x-2)+x·212-+x x ·log a e·(2x+1) =log a (x 2+x-2)+2log )12(2-+∙+x x e x x a . 绿色通道：求复合函数的导数，关键要分清此函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后根据求复合函数导数的法则进行求导即可.变式训练：已知f(x)=)(log log x aa ,求f′(x).解：y=log a u,u=log a x, ∴f′(x)=y′u ·u′x =u 1·log a e·x 1log a e=xx e a a log log 2∙.【例3】求下列函数的导数.(1)y=bx axe +-2; (2)y=21sin 32x x x +-.思路分析：在公式(log a x)′=a x e x a ln 1log 1=与(a x )′=a x ·lna 中，求导后的系数很容易混淆，要注意掌握公式.并通过比较加以记忆.解：(1)y′=2ax e -+bx·(-2ax+b)=(-2ax+b)·bx ax e+-. (2)y′=x x x x x x x x x x 23ln 32ln 1cos 2123ln 3)1(1cos 2ln 21sin 221sin +∙-∙∙∙-=+∙--∙∙∙ 绿色通道：复合函数求导是一个连锁求导过程，每次选择中间变量都根据问题的具体特点及基本导数公式为准，达到可以直接求导为止.变式训练：(1)f(x)=x 2sin 1ln +;(2)f(x)=cos 2(x e x 21+). 解：(1)f′(x)=x x x x 2222sin 121sin 11)'sin 1(sin 11+∙+=++(1+sin 2x)′ =22)sin 1(21x +·2sinx·cosx=)sin 1(22sin 2x x +. (2)f′(x)=［cos 2(x e x 21+)］′=2cos(x e x 21+)·(cos xe x 21+)′ =2cos(x e x 21+)［-sin(x e x 21+)］·(x ex 21+)′ =2cos(x e x 21+)［-sin(x e x 21+)］·［xx x x e e x e e x 2222)')(1()'1(+-+］ =-sin2(x e x 21+)·x xx ee x xe 22)1(2∙+- =xx e x x e x 2212)1(2sin --∙+-.问题探究问题：请思考如何利用导数进行求和.1.S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1(x≠0,n∈N *);2.S n =32132n n n C C C +++…+n n n C (n∈N *). 导思：1.一般很容易想到通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决，转换思维角度.由求导公式(x n )=nx n-1可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和.利用导数运算,可使问题解法更加简捷.2.通过对数列的通项进行联想,合理运用了逆向思维的方法,从而激发了思维的灵活性,使数列的求和问题得到解决,其关键是抓住了数列通项的形式结构,这也有助于培养善于联想的好习惯.探究：1.当x=1时,S n =1+2+3+…+n=21n(n+1);当x≠1时，x+x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11两边都是对关于x 的函数求导数.(x+x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′, 即S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1=21)1()1(1x nx x n n n -++--. 2.(1+x)n =1+221x C x C n n ++…+n n n C x n-1, 令x=1,得n·2n-1=n n n n n nC C C C ++++ 32132, 即S n =32132n n n C C C +++…+n n n C =n·2n-1.。

湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第1章导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的求导

2
f'(x)= .
2-1
2
3
f'(x0)=
=1,解得 x0= .故选
2 0 -1
2
1 2 3 4 5 6
B.
5.曲线y=(x2-2x)ln 2x在点(1,-ln 2)处的切线方程为 x+y+ln 2-1=0
.
解析由函数y=(x2-2x)ln 2x,可得y'=(2x-2)ln 2x+x-2,所以当x=1时y'=-1,所求
新函数.
பைடு நூலகம்2.复合函数求导法则的三个关注点:
(1)分析复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成,适当选定中
间变量;
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的
是中间变量;
(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把
中间变量转换成自变量的函数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数 f(x)= x-1可以看作是由 f(x)=√u 和 u=x-1 复合而成的.( √ )
(2)函数y=sin 2x的导数为y'=cos 2x.( × )
2.[北师大版教材习题]写出下列函数的中间变量,并利用复合函数的求导
法则分别求出函数的导数:
则yx'=yu'·ux'=2u·(-2)=-4(-2x+1)=8x-4.
π
(2)y=sin(2x+3 );
解设 y=sin
π
u,u=2x+ ,
3
则 yx'=yu'·ux'=cos
π

高中数学第一章导数及其应用1-2导数的运算1-2-1常见函数的导数教学案苏教版选修2_2

高中数学第一章导数及其应用1-2导数的运算1-2-1常见函数的导数教学案苏教版选修2_2已知函数(1)f(x)＝c ，(2)f(x)＝x ，(3)f(x)＝x2，(4)f(x)＝，(5)f(x)＝.问题1：函数f(x)＝x 的导数是什么？提示：∵＝＝＝1，∴当Δx →0时，→1，即x ′＝1.问题2：函数f(x)＝的导数是什么？提示：∵＝＝1x ＋Δx －1x Δx＝＝－，∴当Δx →0时，→－，即′＝－.1．(kx ＋b)′＝k(k ，b 为常数)；2．C′＝0(C 为常数)；3．(x)′＝1；4．(x2)′＝2x ；5．(x3)′＝3x2；6.′＝－；7．()′＝ .1．(xα2．(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)；3．(logax)′＝logae＝ (a>0，且a≠1)；4．(ex)′＝ex；5．(ln x)′＝；6．(sin x)′＝cos_x；7．(cos x)′＝－sin_x.函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝，当a＝e 时，上述公式就变形为(ln x)′＝，即f(x)＝ln x是函数f(x)＝logax 当a＝e时的特殊情况．类似地，还有f(x)＝ax与f(x)＝ex.[例1](1)y＝x8；(2)y＝；(3)y＝x；(4)y＝log2x.[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导．[精解详析] (1)y′＝(x8)′＝8x7；(2)y′＝′＝(x－3)′＝－3·x－4＝－；(3)y′＝(x)′＝(x)′＝·x＝；(4)y′＝(log2x)′＝.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难。

高中数学第1章导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.3 简单复合函数的导数讲义(含解析)苏教

1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的．问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1](1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨]先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析](1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u)′·(－x ＋1)′＝－u＝－－x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2.[一点通]对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′ ＝1u ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1x.答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________．解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 33．求下列函数的导数：(1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4，∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－xsin(2x －1)；(2)y ＝ln(2x －1)2x －1.[思路点拨]根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析](1)y ′＝(31－x)′sin(2x －1)＋31－x·[sin(2x －1)]′＝－31－xln 3·sin(2x －1)＋31－x·2cos(2x －1)＝31－x[2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln(2x －1)]′·2x －1－ln(2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln(2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln(2x －1)2x －12x －1＝2－ln(2x －1)(2x －1)·2x －1.[一点通](1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )．解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－xx 22x －1.(2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] 2(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨]求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析]∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)，即2(a －1)x －y －a ＋2＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118. ∴a 的值为118.[一点通]有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线方程是________．解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角．解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x(x ≥0)在点M (t ，e －t)处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式．解：∵y ＝e －x，∴y ′＝(e －x)′＝－e －x， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t.故切线方程为y －e －t＝－e －t(x －t )，即x ＋e ty －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t(t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t(t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t(t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)．答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x ex －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2.答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax)′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的导数为________．解析：∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x 2sin 4x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2′sin 4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·(sin 4x )′＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a，则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1. 则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. (2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))，a ＝(1,1)，∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1) ＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1∴f′(x)＝12－x·(2－x)′＋1＝1x－2＋1，∴f′(1)＝0，∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.。

高中数学第一章导数及其应用 1.2 导数的计算第3课时简单复合函数的导数学案新人教A版选修22

第3课时简单复合函数的导数学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)．思考这两个函数有什么共同特征？答案函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)都是由两个基本函数复合而成的．梳理1．函数y ＝e －x的导数为y ′＝e －x.( × )2．函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( × )3．函数y ＝cos(3x ＋1)由函数y ＝cos u ，u ＝3x ＋1复合而成．( √ )类型一求复合函数的导数命题角度1 单纯的复合函数求导例1 求下列函数的导数． (1)y ＝11－2x2；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝ecos x ＋1；(4)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解 (1)y ＝122(12)x --，设y ＝12u-，u ＝1－2x 2，则y ′＝(12u -)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1232u -·(－4x )＝－12322(12)x --·(－4x )＝2x 322(12)x --.(2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2. (3)设y ＝e u，u ＝cos x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·(－sin x ) ＝－ecos x ＋1sin x .(4)y ＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π32对于t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3，设u ＝4x ＋2π3，则t ＝cos u ，t u ′u x ′＝－4sin u ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. ∴y ′＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1 求下列函数的导数． (1)y ＝(x 2－4)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝103x －2；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解 (1)y ′＝2(x 2－4)(x 2－4)′＝2(x 2－4)·2x ＝4x 3－16x .(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝(103x －2ln 10)·(3x －2)′＝3×103x －2ln 10.(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1.(5)y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4′＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.(6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x . 命题角度2 复合函数与导数运算法则结合求导例2 求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x ，∴y ′＝(ln 3x )′e x－(ln 3x )(e x)′(e x )2＝1x－ln 3xe x＝1－x ln 3xx e x. (2)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2. (3)∵y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (2)y ＝x ln(1＋2x )．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解 (1)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(2)y ′＝x ′ln(1＋2x )＋x [ln(1＋2x )]′ ＝ln(1＋2x )＋2x1＋2x .类型二复合函数导数的应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思与感悟复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l的方程．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解由y ＝e sin x，得y ′＝(esin x)′＝cos x e sin x，即=0|x y'＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，得c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A.12(e x －e －x) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案 A解析 y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )． 2．函数y ＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的导数为( )A ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ′＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.3．已知函数f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案 32解析 ∵f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32.4．函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案－1解析由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝－1.5．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 e 2解析 y ′＝122e x，切线的斜率k ＝12e 2，则切线方程为y －e 2＝e22(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴切线与坐标轴围成的面积为12×2×|－e 2|＝e 2.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、选择题1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4考点简单复合函数的导数题点复合函数的判断答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y＝u4的复合函数，故选A.2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( ) A．1 B．2C．3 D．4考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案 D解析y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，所以y′|x＝1＝4.3．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于( ) A．0 B．60C．－1 D．－60考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案 B解析f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2)所以f′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60.4．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为( )A．ln(2x＋5)－x2x＋5B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln(2x＋5) D.x 2x＋5考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案 B解析y′＝[x ln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·12x＋5·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于( ) A．0 B．1C ．2D ．3考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 D 解析 y ′＝a －1x ＋1，由题意得=0|x y'＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 6．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 A解析 ∵=0|x y'＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得x ＝y ＝23，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，则围成的三角形的面积为12×23×1＝13.7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4ex(e x )2＋2e x＋1 ＝－4e x＋1ex ＋2. ∵e x＋1e x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当e x ＝1e x ＝1时等号成立，∴e x＋1ex ＋2≥4，∴y ′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.二、填空题8．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________________．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案 2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x 解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 9．曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率为________．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 2 解析 y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e1－1＝2.10．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案 1解析令u ＝2x ＋a ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.11．若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 (－ln 2,2)解析设P (x 0，0e x -)，0=|x x y'＝0e x --＝－2，得x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2,2)．12．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＝－1，a ＝2.三、解答题13．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解由y ′＝(e 2x cos 3x )′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x )＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )，得=0|x y'＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5，得c ＝6或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.四、探究与拓展14．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案 2x －y ＝0解析设x >0，则－x <0，f (－x )＝ex －1＋x . 因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝ex －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.15．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1，所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1,0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.。

高中数学第一章导数及其应用1.2.2函数的和差积商的导数学案苏教版选修2

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数函数的导数公式求导数.1．函数的和的求导法则[f (x )＋g (x )]′＝__________.2．函数的差的求导法则[f (x )－g (x )]′＝__________.预习交流1做一做：y ＝3x 2－6x ＋7的导数是__________．3．函数的积的求导法则(1)[Cf (x )]′＝________(C 为常数)；(2)[f (x )g (x )]′＝____________.预习交流2做一做：函数y ＝sin x cos x 的导数是__________．4．函数的商的求导法则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝____________〔g (x )≠0〕．预习交流3做一做：求下列函数的导数：(1)y ＝ln x x ＋1－2x ； (2)y ＝x 2sin x； (3)y ＝x ＋3x 2＋3. 预习导引1．f ′(x )＋g ′(x )2．f ′(x )－g ′(x )预习交流1：提示：6x －63．(1)Cf ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )预习交流2：提示：y ′＝(sin x ·cos x )′＝(sin x )′cos x ＋sin x (cos x )′＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x .4．f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2预习交流3：提示：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1－2x ′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x )′ ＝x ＋1x －ln x (x ＋1)2－2x ln 2 ＝x ＋1－x ·ln x x (x ＋1)2－2x ln 2； (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2sin x ′＝2x sin x －x 2cos x sin 2x ； (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 2＋3′＝x 2＋3－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2 ＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.一、导数的四则运算法则求下列函数的导数：(1)y ＝cos x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 44＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 44； (5)y ＝cos 2x sin x ＋cos x； (6)y ＝x ln x .思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．1．若函数y ＝f (x )＝e x x在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为__________．2．求下列函数的导数：(1)f (x )＝2x x 2＋1； (2)f (x )＝x 2＋sin x 2cos x 2；(3)f (x )＝(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2.1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y ＝f (x )的结构和特征，若直接求导很繁琐，一定要先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简，整理，然后再套用公式求导．二、导数四则运算法则的应用已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．思路分析：题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a ，b ，c 的值．过原点作曲线y ＝f (x )＝x ＋e x 的切线，求切线的方程．利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．1．f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是__________． 2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是__________．3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的坐标为__________． 4．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)＝________. 5．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝(x －2)2.答案：活动与探究1：解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝－sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12. (2)方法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；方法2：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(3)方法1：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2；方法2：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. (4)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′ ＝－14sin x . (5)y ＝cos 2x sin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ， ∴y ′＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x .(6)y ＝x ln x ＝12x ln x ， ∴y ′＝12(x )′·ln x ＋12x ·(ln x )′＝12ln x ＋12. 迁移与应用：1．12 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ′＝x e x －e x x 2， ∴()000020e e x x xf x x -'＝. 又()000e x f x x ＝，依题意得000200e (1)e 0x x x x x -+=，解得x 0＝12. 2．解：(1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1′ ＝(2x )′(x 2＋1)－2x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2； (2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋sin x 2cos x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12sin x ′ ＝2x ＋12cos x ；(3)f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋2x －4′＝⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋2x －3′ ＝32x-＝－1x －1x x . 活动与探究2：解：∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点，∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.迁移与应用：解：设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋0e x .①∵y ′＝1＋e x ，当x ＝x 0时，y ′＝1＋0e x，且切线过原点， ∴1＋0e x＝y 0x 0.② 由①②解得x 0＝1，y 0＝1＋e ，∴切线方程为(1＋e)x －y ＝0. 当堂检测1．3 解析：∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ＋1′＝x 2＋2， ∴f ′(－1)＝1＋2＝3.2．－8x ＋5 解析：y ′＝[x －(2x －1)2]′＝(x )′－(4x 2－4x ＋1)′＝1－8x ＋4＝－8x ＋5.3．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3 解析：∵y ′＝x 2－3x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ＝12，x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6＝0，x >0，得x ＝3，故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3. 4．－1 解析：∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， ∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.令x ＝－1代入得f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，得f ′(－1)＝－1.5．解：(1)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.方法二：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×1212x -＝1－122x -.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

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1．2.3 简单复合函数的导数
学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．
知识点复合函数的概念及求导法则
已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．
思考1 这三个函数都是复合函数吗？
思考2 试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？
思考3 试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．
类型一复合函数的概念
例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？ (1)y ＝(2－x 2)3
； (2)y ＝sin x 2； (3)y ＝cos(π
4－x )；
(4)y ＝ln sin(3x －1)．
反思与感悟根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数． (1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2
； (2)y ＝ln u ，u ＝ln x .
类型二求复合函数的导数例2 求下列函数的导数： (1)y ＝32x －1
；
(2)y ＝
1x ＋
4
；
(3)y ＝5log 3(1－x )； (4)y ＝x 2
cos(2x －π3)．
跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2
，且f ′(2)＝20，则a ＝________. (2)已知y ＝ln 3x
e
x ，则y ′|x ＝1＝________.
(3)已知y ＝sin 3
x ＋cos 3x ，则y ′＝________________________________________. 类型三复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1
x 2－3x
在点⎝ ⎛⎭⎪
⎫4，12处的切线方程．
反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线
y ＝32
x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．
1．函数y＝sin3x是由函数________________复合而成的．2．设f(x)＝e－x则f′(x)＝________.
3．函数y＝(1－2x)4在x＝1
2
处的导数为________．
4．过曲线y＝1
1＋x2
上一点，使曲线在该点的切线平行于x轴，求切线方程．
1．复合函数求导的步骤
2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．
提醒：完成作业 1.2.3
答案精析
问题导学知识点
思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数．
思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝2
2x ＋5
.
x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积
题型探究
例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3
是由y ＝u 3
及u ＝2－x 2
复合而成． (2)y ＝sin x 2
是由y ＝sin t 及t ＝x 2
复合而成． (3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π
4
－x 复合而成．
(4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2
)． (2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝3
2x －1
看作函数y ＝3u
与函数u ＝2x －1的复合，
∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′ ＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1
·ln 3.
(2)y ＝
1x ＋
4
＝(2x ＋1)－4
，函数y ＝
1x ＋
4
看作函数y ＝u －4
与u ＝2x ＋1的复合．
y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′
＝－4u －5
×2＝－8(2x ＋1)－5
＝
－82x ＋1
5
.
(3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．
y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝
5
ln 3
x －1
.
(4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π
3的复合．
∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π
3
)′
＝－2sin u ＝－2sin(2x －π
3
)，
∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2
[cos(2x －π3)]′
＝2x cos(2x －π3)－2x 2
sin(2x －π3)．
跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3
e
(3)3sin 2
x cos x －3sin 3x
例3 解 y ′＝[(x 2
－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)，
∴y ＝
1
x 2－3x
在点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)
＝－5
16
，
∴切线方程为y －12＝－5
16
(x －4)，即5x ＋16y －28＝0.
跟踪训练3 解由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝
1x ＋1＋12x ＋1
＋a ，又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为3
2，
∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝3
2，∴a ＝0.
达标检测
1．y ＝u 3
及u ＝sin x 2.－e －x
3.0
4．解设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝
－2x 0
＋x 20
2
＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝
1
1＋x
2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。