河海大学 弹性力学 第一章
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弹性力学第一章序论10xs(土木).
杆
板壳
块体
2)研究方法：
材料力学：较多的假设，得出近似的结果.
弹性力学：较少的假设，得出较精确的结果。
例如，对于高度较大的梁（深梁），材 料力学基于平面假设的公式不再成立。弹性 力学不引用平面假设，得到较为精确的答。 对于带孔的拉伸构件平面假设也不再成立， 应力的分布是不均匀的，弹性力学的计算表 明，在孔边发生应力集中。
机械构件，大的如水轮机
小的如各种齿轮，工作中都将受到载荷作用，需 要进行应力和变形的分析，而这些分析是过去用 理论力学或材料力学的方法办不到的。
第一章 绪论
(土力学，沙漠力学) (水力学)
(风力学)
理论分析方法
－探索新设计、新结构。
实验方法 －具体设计的实验验证
战斗机的静力实验－直接实验
弹性力学
上海大学
2019年9月5日
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第一章 緖 论
第一节 第二节 第三节
弹性力学的基本任务 弹性力学的基本假设 弹性力学的基本概念
第一节 弹性力学的基本任务
与材料力学等的关系：
相同：基本任务：分析、校核、优化 区别： 1)研究对象： 材料力学：研究杆状结构； 结构力学：研究杆系结构； 弹性力学： 板、壳和实体，较精确分析杆。
(Impeller of Power Machine)
动力设备的安全壳盖
(Cover of Safety Shell)
钢结构接头
运动中的乒乓球尾流
人造骨骼
橡胶轮胎
轮胎与轮毂
天文望远镜桁架
齿轮啮合
第二节 弹性力学的基本假设
（1）连续性假设：应力、应变 和位移等物 理量可用连续函数表示。
(桥梁结构)
(土木与建筑结构)
弹性力学 第一章 绪论
是十分严格的：常常引用近似的计算假设 （如平面截面假设）来简化问题，并在许
多方面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
第一章
绪论
外力
§1－2 弹塑性力学中的几个基本概念
外力 --其他物体对研究对象（弹塑性体） 的作用力。
§1－4 发展简史
弹性力学的发展史 段。
发展史
--大致分为四个阶
第一阶段：发展初期。主要是通过实验→受 力与变形之间的关系 1678年 Hooke → Hooke定律 。 1687年 Newton → 牛顿三大定律 。 同时数学的迅速发展，为弹性力学的理论发 展奠定了数学基础。
第一章
绪 论
发展史
弹塑性力学--研究各种形状的弹性体，如 杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。
弹塑性力学研究方法 ：在区域V内严格考虑
静力学、几何学和物理学三方面条件，建立
三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条 件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上 述方程，得出较精确的解答。
材力 也考虑这几方面的条件，但不
px u, y v .
第一章
绪 论
§1－3 弹塑性力学中基本假定
弹塑性力学的研究方法，在体积V 内：
由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上形变与位移的几何关系，
建立几何方程；
由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程；
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，
建立应力边界条件; 在给定约束的边界 su 上， 建立位移边界条件。
( , ) ( , ) ( , ) , 可略去 ( , )
多方面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
第一章
绪论
外力
§1－2 弹塑性力学中的几个基本概念
外力 --其他物体对研究对象（弹塑性体） 的作用力。
§1－4 发展简史
弹性力学的发展史 段。
发展史
--大致分为四个阶
第一阶段：发展初期。主要是通过实验→受 力与变形之间的关系 1678年 Hooke → Hooke定律 。 1687年 Newton → 牛顿三大定律 。 同时数学的迅速发展，为弹性力学的理论发 展奠定了数学基础。
第一章
绪 论
发展史
弹塑性力学--研究各种形状的弹性体，如 杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。
弹塑性力学研究方法 ：在区域V内严格考虑
静力学、几何学和物理学三方面条件，建立
三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条 件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上 述方程，得出较精确的解答。
材力 也考虑这几方面的条件，但不
px u, y v .
第一章
绪 论
§1－3 弹塑性力学中基本假定
弹塑性力学的研究方法，在体积V 内：
由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上形变与位移的几何关系，
建立几何方程；
由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程；
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，
建立应力边界条件; 在给定约束的边界 su 上， 建立位移边界条件。
( , ) ( , ) ( , ) , 可略去 ( , )
弹性力学-第1章 绪论
后面将证明在一个点处6个 应力分量可以完全地表达 任意方向上的应力。这6个 应力分量构成一点的应力 状态。
p lim F A0 A
二、内力和应力（内力的集度）
1.内力：（采用截面法求解）
2、应力
y
x
z
x
y
yz
yx
z
xy
zy
zx
x
xz z
外法线方向与坐
标轴同向的面称为 正面, 反之为负面。
三.自然状态假设 物体在外力作用前，没有初应力。 应力和位移与外力(体力和面力)是1－1对应的。
卸载的弹性规律相同
二. 小变形假设
应变、位移是微小-这个假设导致问题的简化： 1．物体内各点的位移远小于物体原来的尺寸；转角、应变均远小于１。
2．研究平衡高阶微量。 4．得到线性方程，可以应用叠加原理。
修改这个假设得到几何非线性问题
y
z
x
a）定义：
f
lim
V 0
F V
[
fx
fy
f z ]T
(N / m3)
正负号规定：指向坐标轴正 向为正，反之为负。
2、面力：分布在物体表面上的外力。
(1)、面力分布集度
作用在表面一点处的面力:
y
Q
f
lim F S0 S
[ fx,
fy,
f z ]T
(N / m2)
F
S o
x
z
正负号规定：指向坐标轴正向为正，反之为负。
过该点取三个正交微分线段研究,如图所示：
y dy
1.线应变:
dy
dx dz
z
dz
(1)应变分量
沿x方向
dx dx
p lim F A0 A
二、内力和应力（内力的集度）
1.内力：（采用截面法求解）
2、应力
y
x
z
x
y
yz
yx
z
xy
zy
zx
x
xz z
外法线方向与坐
标轴同向的面称为 正面, 反之为负面。
三.自然状态假设 物体在外力作用前，没有初应力。 应力和位移与外力(体力和面力)是1－1对应的。
卸载的弹性规律相同
二. 小变形假设
应变、位移是微小-这个假设导致问题的简化： 1．物体内各点的位移远小于物体原来的尺寸；转角、应变均远小于１。
2．研究平衡高阶微量。 4．得到线性方程，可以应用叠加原理。
修改这个假设得到几何非线性问题
y
z
x
a）定义：
f
lim
V 0
F V
[
fx
fy
f z ]T
(N / m3)
正负号规定：指向坐标轴正 向为正，反之为负。
2、面力：分布在物体表面上的外力。
(1)、面力分布集度
作用在表面一点处的面力:
y
Q
f
lim F S0 S
[ fx,
fy,
f z ]T
(N / m2)
F
S o
x
z
正负号规定：指向坐标轴正向为正，反之为负。
过该点取三个正交微分线段研究,如图所示：
y dy
1.线应变:
dy
dx dz
z
dz
(1)应变分量
沿x方向
dx dx
弹性力学第一章绪论
（习题1—4）例：应力和面力的符号规定有
什么区别？试分别画出正面和负面上的正应 力和正的面力的方向。
Oz
x
y
形变 形变：形状的改变。
——长度的改变：物体内线段每单位长度的伸
缩称为线应变（正应变），用 表示，以伸
长为正， x 表示 x 方向线段的线应变。
——角度的改变：物体内各线段之间直角的改
1. 连续性假设
•假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体 的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
•——变形后仍然保持连续性。
•根据这一假设，物体所有物理量，例如应力、 形变和位移等均为物体空间的连续函数。
•——宏观假设，微观上这个假设不可能成立。 只要组成物体的微粒尺寸以及微粒间的距离比 物体的尺寸小得多，连续性假设不会引起显著 的误差。
•与物体的形变或材料强度直接相关的则是截
面法线方向和切线方向的分量，即正应力和 切应力，分别记为 σ，τ
六面体上的应力分量(重点)
x 表示作用在垂直于x轴的面上沿x轴方向的正应力。 xy 表示作用在垂直于x轴的面上沿y轴方向的切应力。
应力分量的符号(重点)
如果某一个截面的外法线是沿着坐标 轴 的正方向，这个截面就称为一个正面， 这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正， 沿坐标轴负方向为负。
2. 均匀性假设
•假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成 的。因此物体各个部分的物理性质都是相同 的，不随坐标位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•——工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物 体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布， 从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。
相反，如果某一个截面的外法线是沿着 坐标轴 的负方向，这个截面就称为一个 负面，这个面上的应力就以沿坐标轴负方 向为正，沿坐标轴正方向为负。
弹性力学 第1章绪论
如果除上述基本假设以外，还引用某 些补充的假设，例如对于薄板（或薄壳）， 引用补充的几何假设，即直线素假设，这 样的弹性理论也可称为应用弹性理论。
弹性力学的主要对象和基本内容 弹性力学是研究非杆状弹性体(例如板、壳、 挡土墙、堤坝和地基等实体结构)在外力作用下或 由于温度改变等原因所产生的应力、应变和位移。
钱伟长(1912.10.9-2010.7.30)
钱伟长，著名力学家、应用数学家、教育家和 社会活动家。是我国近代力学的奠基人之一。 兼长应用数学、物理学、中文信息学，著述甚 丰。特别在弹性力学、变分原理、摄动方法等领域 有重要成就。早年提出的薄板薄壳非线性内禀统一 理论对欧美的固体力学和理性力学有过重大的影响。 创办了我国第一个力学研究室，筹建了中国科学院 力学研究所和自动化研究所。长期从事高等教育领 导工作，为培养我国科学技术人才作出重要贡献。 社会活动十分活跃，积极推动了祖国的统一大业。
弹性力学的任务 分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移
校核它们是否具有所需的强度和刚度
寻求或改进它们的计算方法
材料力学与弹性力学的区别 在材料力学中研究杆状构件，除了从静力学、 几何学、物理学三方面进行分折以外，大多还需 要引用一些关于构件的应变状态或应力分布的假 定，这就大大简化了数学推演。但是，得出的解 答有时是近似的。在弹性力学中研究杆状构件一 般都不引进那些假定。因此，得出的结果就比较 精确，其解可以用来校核材料力学所得出的近似 解答。
弹性力学的基本假设与材料力学完全相 同，但是在研究方法上有较大的差别，主要 体现在
研究对象：材料力学研究的主要是杆件；而弹性 力学研究的是块、板、壳等复杂结构。 研究方法：材料力学主要是借助一些平面假设， 在构件分析中简化了数学推导，或者说舍弃了数学 严格性，但在保证精度的前提下为工程计算提供了 简便算法；而弹性力学则是数学严格的。故有时本 学科亦称为弹性结构的数学理论。
弹性力学讲义绪论p
§1-2 弹性力学的发展
第1章 绪论1-2
线性问题发展期（约于1854 一1907 ）
A.Castigliano( 意)(卡斯蒂利亚诺 )—1873-1879 ， 建立了最小余能原理 D.C.L.Rayleigh;W.Ritz (瑞利一里茨)—1877-1908, 提出了Rayleigh-Ritz 法 B.G.Galerkin （俄）(伽辽金法)—1915, 迦辽金近似 计算法
合的构架等。
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学与材料力学等学科的比较
第1章 绪论1-1
构件承载能力分析是固体力学的基本任务
不同的学科分支，研究对象和方法是不同的
从研究对象看 从研究的方法上看
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学与材料力学等学科的比较
第1章 绪论1-1
? 研究对象——弹性体—近似 ?研究内容和基本任务—基本相同 ?研究方法—却有比较大的差别
《弹性力学》教学大纲
教材要求
建议教材: 陈国荣．弹性力学．
南京：河海大学出版社，2002
参考书：S.P.Timoshenko. Theory of Elasticity (Third Edition)
内容与初步安排: (共48学时)
第1章 绪论（3学时） 第2章 平面应力与平面应变(5学时） 第3章 平面问题的直角坐标解答（4学时） 第4章 平面问题的极坐标解答 （6学时） 第5章 三维问题的基本理论 （8学时） 第6章 三维问题的基本解法与弹性力学的一般原理（4学时
§1-2 弹性力学的发展
第1章 绪论1-2
非线性问题发展期（1907一）
1907年，卡门首先提出了薄板大挠度问题（大位移）
1937-1939 ，F.D.Murnaghan;M.A.Biot 提出大应 变问题
弹性力学第一章
3 均匀性假设
整个物体是同一材料组成的，这样， 整个物体是同一材料组成的，这样，整个物体的所有各 部分才具有相同的弹性 。
25
1.2
基本假设
4 假定物体是各向同性的
物体的弹性在所有各个方向都相同。这样， 物体的弹性在所有各个方向都相同。这样，物体的弹性 常数才不随方向而变。 常数才不随方向而变。
5 假定位移和形变是微小的
假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小 假定物体受力以后， 于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。 于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于 。在考 察物体的形变及位移时， 察物体的形变及位移时，转角和应变的二次幂或乘积都 可以略去不计 。
sin α ≈ α
tan α ≈ α
1 ≈ 1− ε x 1+ ε x
16
1.1
弹性力学
二 弹性力学与材料力学及结构力学之间的不同点： 弹性力学与材料力学及结构力学之间的不同点： 1 研究内容不同 材料力学：杆件构件， 材料力学：杆件构件，即长度远大于高度和宽度 的构件，拉压、剪切、 的构件，拉压、剪切、弯曲和扭转作用下的应力 和位移。 和位移。 结构力学：在材料力学的基础上，杆状构件所组 结构力学：在材料力学的基础上， 成的结构，也即杆件系统，例如，桁架、 成的结构，也即杆件系统，例如，桁架、刚架等
15
1.1
一 概念
弹性力学
弹性力学，又称为弹性理论。 弹性力学，又称为弹性理论。 研究对象： 研究对象：弹性体 研究内容： 研究内容：受外力作用或由于温度改变等原因 而发生的应力、 而发生的应力、形变和位移 研究任务： 研究任务：分析各种结构物或构件在弹性阶段 的应力和位移， 的应力和位移，校核它们是否具有所需要的强 度和刚度， 度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法
弹性力学简明教材(电子版)
弹性力学简明教材(电子版)
本教材旨在对读者简明地阐述弹性力学的基本概念和公式，涉
及弹性体的基本特性，力学基本定律，应力应变状态的描述和计算，以及弹性体固有振动和波的传播等内容。
第一章弹性体的基本特性
本章介绍了弹性体的基本特性，包括弹性体的定义、分类、形
变和应力等概念，以及材料的弹性模量和泊松比等基本参数。
通过
本章的研究，读者将会了解弹性体的基本特性，为后续章节的研究
打下基础。
第二章力学基本定律
本章介绍了力学基本定律，即牛顿定律和能量守恒定律，以及
它们在弹性力学中的应用。
通过本章的研究，读者将会了解力学基
本定律的含义和应用。
第三章应力应变状态的描述和计算
本章介绍了应力应变状态的描述和计算方法，涉及应力应变张量和应力应变关系等内容。
通过本章的研究，读者将会了解弹性体中应力应变关系的基本概念和计算方法。
第四章弹性体固有振动和波的传播
本章介绍了弹性体固有振动和波的传播，包括弹性体的本征频率和本征振型，以及弹性波的类型和传播速度等内容。
通过本章的研究，读者将会了解弹性体固有振动和波的传播，为实际问题的解决提供理论基础。
第五章应用实例分析
本章通过实际问题的分析和计算，综合运用前面章节所学的知识，掌握弹性力学在实际工程中的应用。
通过本章的研究，读者将会了解如何分析和解决实际弹性力学问题。
附录：本教材的符号表和计算公式等内容，供读者参考。
总结
弹性力学是工程力学的重要分支之一，具有广泛的应用。
本教材对弹性力学的基本概念、公式和应用进行了简要的阐述，适合初学者学习和工程技术人员参考使用。
弹性力学
弹性力学网络课程第一章绪论内容介绍知识点弹性力学的特点弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务弹性力学的研究方法内容介绍：一. 内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。
弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。
目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。
如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。
特点：弹性力学，又称弹性理论。
作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
弹性力学第一章
•It is assumed in mechanics of materials that the tensile stresses are uniformly distributed across the net section of the member.
•The analysis in elasticity shows that the stresses are by no means uniform, but are concentrated near the hole.
•No assumption, that a plane section of the beam remains plane after bending, is made in Elasticity.
弹性力学 第一章
19
•A prismatical tension member with a small hole
弹性力学 第一章
7
Comparison among the three courses in solid mechanics
固体力学三门学科的比较
• Three branches have the same purpose and do differ from one another both in objects studied and the methods of analysis used.
Elasticity: 弹性力学
1. plates and shells 板，壳 2.blocks: 块体 e.g. dams,foundations 坝，基础
3.analyze bar element precisely 对杆件作精确分析
弹性力学 第一章
•The analysis in elasticity shows that the stresses are by no means uniform, but are concentrated near the hole.
•No assumption, that a plane section of the beam remains plane after bending, is made in Elasticity.
弹性力学 第一章
19
•A prismatical tension member with a small hole
弹性力学 第一章
7
Comparison among the three courses in solid mechanics
固体力学三门学科的比较
• Three branches have the same purpose and do differ from one another both in objects studied and the methods of analysis used.
Elasticity: 弹性力学
1. plates and shells 板，壳 2.blocks: 块体 e.g. dams,foundations 坝，基础
3.analyze bar element precisely 对杆件作精确分析
弹性力学 第一章
弹性力学第1章—绪论
弹性力学:
弹性力学是固体力学的一个分支，是研究弹 性体在外荷载、温度变化、边界约束变动等作用 下，产生的弹性变形和应力的科学。
1.1 弹性力学的研究对象和任务
研究对象: 弹性力学的研究对象为一般及复杂形 状的构件、实体结构、板壳等。
a) 块体(block) b) 平板(plate) c) 壳体 (shell) d,e) 杆件(bar)
1.1 弹性力学的研究对象和任务
与其它课程的关系: 理论力学 刚体的静、动力学 考虑构件变形 材料力学、结构力学 研究对象是杆件或杆系 采用简化的数学模型 考虑构件变形 弹性力学 研究对象是块体、板壳、杆件 采用较精确的数学模型
1.1 弹性力学的研究对象和任务
弹性力学：研究弹性变形 弹塑性力学的构成: 塑性力学：研究塑性变形 总变形＝弹性变形＋塑性变形
[练习3]什么是小变形假设？小变形假设带来那些简化？ 答：假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远 远小于物体原来的尺寸，就是小变形假设。小变形假 设，在建立物体变形以后的平衡方程时，可以用变形以 前的尺寸来代替变形以后的尺寸，并且，在考察物体的 形变及位移时，转角和位移的二次幂或乘积都可以略去 不计。这样可使弹性力学中的代数方程和微分方程简化 为线性方程。
1.4 弹性力学的发展和研究方法
1946 年之后，又出现了有限单元法，并且得 到迅速的发展和应用，成为现在解决工程结构分 析的强有力的工具。 弹性力学及有关力学分支的发展，为解决现 代复杂工程结构的分析创造了条件，并促进了技 术的进步和发展。
1.4 弹性力学的发展和研究方法
弹性力学问题的研究方法
1.4 弹性力学的发展和研究方法
4、有限单元法─是近半个世纪发展起来的非常有效、 应用非常广泛的数值解法。它首先将连续体变换为离散 化结构，再将变分原理应用于离散化结构，并使用计算 机进行求解的方法。 5、实验方法─模型试验和现场试验的各种方法。 对于许多工程实际问题，由于边界条件、外荷载及 约束等较为复杂，所以常常应用近似解法─变分法、差 分法、有限单元法等求解。
弹性力学第一章课件
z
zx
zy
z
yx xz
y yz x
zy
yz
xy yx y
zx
O
y z
x
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向； 第2个下标 y 表示τ的方向.
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面弹性上力学，第一与章 坐标正向相反时为正。
数学弹性力学； 弹性力学
应用弹性力学。
弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、 振动理论、有限单元法等课程的基础。
弹性力学第一章
小结：
弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹 性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的 应力、形变和位移。
本课程较为完整的表现了力学问题的数学 建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值 条件，并对一些问题进行了求解。弹性力学基 本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。
弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有 限元方法等课程的基础。
弹性力学第一章
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。
1. 外力
体力、面力 （材力：集中力、分布力。）
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
lim F
Q —— 体力分布集度
V 0 V
（矢量）
F Xi Yj Zk
弹性力学以微元体为研 究对象，建立方程求解，得 到弹性体变形的一般规律。 所得结果更符合实际。
弹性力学第一章
（3）数学理论基础 材力、结力 —— 常微分方程（4阶，一个变量）。 弹力 —— 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。 数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。
弹性力学课件 第1章 绪论
3. 各向同性(isotropy)假设
＊假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质 物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。 ＊宏观假设，材料性能是显示各向同性 ＊木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料 ＊这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。
4.完全弹性（线弹性linear elasticity)假设
n阶张量：有n个自由指标的量，如四阶弹性系数Dijkl
3. 应变 (1) 一点应变的度量
是描述物体受力后发生变形的相对概念的力学量 正应变——棱边的伸长和缩短
x , y , z
xy , yz , zx
z C
切应变——棱边之间夹角（直角）改变 应变的正负： 线应变：伸长时为正，缩短时为负；
＊对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史 无关，称为完全弹性材料。 材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变 ＊完全弹性分为线性弹性和非线性弹性 ＊弹性力学研究限于线性的应力与应变关系
5. 小变形(small deformation)假设
＊假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 ＊在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形 所引起的尺寸变化 ＊忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本 方程成为线性的偏微分方程组。
铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡献。
中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海昌,等在弹性
力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。
钱学森
钱伟长
胡海昌
徐芝伦
杨桂通
弹性力学——促进数学和自然科学基本理论的建立和发展 广泛工程应用——造船、建筑、航空和机械制造等。 发展——形成了一些专门的分学科； 现代科学技术和工程技术——仍然提出新的理论和工程问题。 对于现代工程技术和科研工作者的培养——对于专业基础， 思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。
河海大学理论力学第一章.ppt
第0章 绪 论
理论力学、材料力学、结构力学、水力学、土力学、弹性力学 及有限单元法、力学实验
§0-1 理论力学的内容、任务和研究方法
理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学
理论力学
静力学 运动学 动力学
理论力学是研究物体机械运动一般规律的学科，属于以牛顿 定律为基础的古典力学范畴。
力学的分类：
古典力学 相对论力学 量子力学
力：
1.力本身的性质； 2.物体如何受力； 3.力系——平面力系、空间力系、平衡力系、等效力系； 4.合力与分力； 5.平衡条件及其应用。
静力学主要研究的问题： 1.物体的受力分析与力系的等效简化 2.力系的平衡条件及其应用
第一章 基本概念及基本原理
§1-1 力的概念
1.力的定义
力是物体间的相互作用，这种作用使物 体的运动状态或形状发生改变。
原理2. 加减平衡力系原理
在任一力系中加上一个平衡力系，或从其中减去一个平 衡力系，所得新力系与原力系对于刚体的运动效应相同。
F1 S1
F2 S2
F1
F2
Fi
Fi
Fn
Fn
思考：应用上述两个原理证明力的可传性。
原理3. 作用与反作用定律
两物体间相互作用的力（作用与反作用力）同时存在、 大小相等、作用线相同而指向相反。
O
P
r1
F1
A
Q
c)力矩的解析表示
z
rr
v xi
v yj
v zk
F(Fx,Fy,Fz)
vvvv F Fxi Fy j Fzk
MO (F) = r×F
r A(x,y,z)
O
x
y
vv v v v v
理论力学、材料力学、结构力学、水力学、土力学、弹性力学 及有限单元法、力学实验
§0-1 理论力学的内容、任务和研究方法
理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学
理论力学
静力学 运动学 动力学
理论力学是研究物体机械运动一般规律的学科，属于以牛顿 定律为基础的古典力学范畴。
力学的分类：
古典力学 相对论力学 量子力学
力：
1.力本身的性质； 2.物体如何受力； 3.力系——平面力系、空间力系、平衡力系、等效力系； 4.合力与分力； 5.平衡条件及其应用。
静力学主要研究的问题： 1.物体的受力分析与力系的等效简化 2.力系的平衡条件及其应用
第一章 基本概念及基本原理
§1-1 力的概念
1.力的定义
力是物体间的相互作用，这种作用使物 体的运动状态或形状发生改变。
原理2. 加减平衡力系原理
在任一力系中加上一个平衡力系，或从其中减去一个平 衡力系，所得新力系与原力系对于刚体的运动效应相同。
F1 S1
F2 S2
F1
F2
Fi
Fi
Fn
Fn
思考：应用上述两个原理证明力的可传性。
原理3. 作用与反作用定律
两物体间相互作用的力（作用与反作用力）同时存在、 大小相等、作用线相同而指向相反。
O
P
r1
F1
A
Q
c)力矩的解析表示
z
rr
v xi
v yj
v zk
F(Fx,Fy,Fz)
vvvv F Fxi Fy j Fzk
MO (F) = r×F
r A(x,y,z)
O
x
y
vv v v v v
弹性力学第一章
第一章 教学参考资料（一）本章的学习要求及重点1．弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别。
2．弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处。
3．弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。
（二）本章内容提要1．弹性力学的内容─弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2．弹性力学中的几个基本物理量：体力—— 分布在物体体积内的力、记号为,,,x y z f f f 。
量纲为L -2MT -2，以坐标正向为正。
面力—— 分布在物体表面上的力，记号为,,,x y z f f f 。
量纲为L -2MT -2 ，以坐标正向为正。
应力—— 单位截面面积上的内力，记号x xy στ⋯⋯，量纲为L -2MT -2，以正面正向为正，负面负向为正；反之为负。
形变—— 用线应变, x y εε和切应变xy γ表示，量纲为1，线应变以伸长为正，切应变以直角减小为正。
位移—— 一点位置的移动，记号为,,u v w ，量纲为L ，以坐标正向为正。
3．弹性力学中的基本假定理想弹性体假定—连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。
小变形假定。
4．弹性力学问题的研究方法已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。
求解：应力、形变和位移。
解法：在弹性体区域V 内，根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。
在弹性体边界S 上，根据面力条件，建立应力边界条件，根据约束条件，建立位移边界条件。
然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。
（三）弹性力学的发展简史与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人们认识自然的不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙到精确，从错误到正确的演变历史。
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xy 与 yx 数值相同，符号也相同。 在弹力中，
xy与 yx 数值相同，符号相反。 在材力中，
第二节
弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 (Deformation) -- 形状的改变。以通过一点的沿坐标正向 微分线段的正应变 (Normal strain)和切应 变 (Shearing strain)来表示。 正应变 x , y ，以伸长为正。
出应力、形变和位移。
第三节
弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很
小的次要因素，抓住主要因素,从而建立
计算模型,并归纳为学科的基本假定。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性(Continuity)--假定物体是连 续的。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后
的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于
适用性：材料具有明显的弹性区，应力在一定限 度内(弹性力学采用） 反例：橡皮、人体组织（非线性弹性）、土（无 明显的弹性区）
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性(homogeneity)--假定物体由同种 材料组成。 因此， E、μ等与位臵 ( x, y, z )无关。 含义：从试样测定的材料特性可以代表了这 种材料 适用性：与问题宏观尺度有关、与研究问题的 目的有关（简单问题基本都采用）
出生于巴黎。在纯数学和应用数学的功力 是相当深厚的，很多数学的定理和公式也 都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯
西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上
仅次于欧拉的人。 柯西在1822年的一篇论文中，建立了弹性理论的 基础。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，临终前，
他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是：
因此，各物理量可用连续函数表示。
这是连续介质力学（包括固体力学和流 体力学）中的基本假定。
反例：
带裂纹材料 – 断裂力学
多孔介质
散粒体材料 – DEM、DDA
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性(perfect elasticity)-假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。 因此，即应力与应变关系可用胡克定律 (Hooke’s law)表示（物理线性）。
徐芝纶编《弹性力学》(第四版，上册)，高等教育出
版社，2006 S.Timoshenko & Goodier J.《Theory of Elasticity》 清华大学出版社, 2004 徐芝纶编《Applied Elasticity》，高等教育出版社，
1991
Give me a fish and I will eat today,
人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O( z )
yx
xy
y
x
x
x
xy
y
y
yx
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力与面力
在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O( z )
x
x
f yxy
xy
x
fy fx
fx
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
v 表示,
量纲为 L。以坐标正向为正。 变形前p x, y ,变形后
px u, y v .
基本物理量 外力 （已 知量） 体力 面力 正应力 切应力 未 知 量 正应变 切应变
平面问题
空间问题
量纲
正负方向的规定
fx
fx
x
fy
fy
y
fx
fx
x
fy
fy
y
fz
fz
L-2MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 量纲一 量纲一
切应变 xy , 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
o z x P A
yx α
B y C
xy
α
第二节
弹性力学中的几个基本概念
位移
位移(Displacement)
-- 一点位臵的移动，用 u ,
研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、 弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节
弹性力学的内容
研究对象
材料力学(Mechanics of materials)--研究简单
构件（主要是杆件如梁、柱和轴的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等）的强度、刚度和稳定性计算。
结构力学(Structural mechanics)--在材料力
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定(micro-deformation assumption)--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度（57.3°）.
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
反例： 混凝土当作非均质材料、纤维增强复
合材料
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（4）各向同性(isotropy)--假定物体各向同 性。 因此， E、μ等与方向无关。
含义：试样制作不需要考虑方向。 作用：数学描述简单 适用性：当材料的各向异性性不明显或是可忽 略的次要因素。 反例：如木材、沉积岩等材料。
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 (Internal force)
--假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 (Stress) --截面上某一点处，单 位截面面积上的内力值。
--（定义）作用于物体体积内的力。 （表示）以单位体积内所受的力来量 度， fx , fy , f z . （量纲） ML T .
基本量纲是指具有独立性的量纲。国际单位制有7个基本量 的量纲符号,与力学有关的为：长度L、质量M、时间T。
-2 -2
（符号）坐标正向为正。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：顺时针向为正
材力：以拉为正
第二节
弹性力学中的几个基本概念
切应力互等定理 (Theorem of conjugate shearing stress)： 由微分体的平衡条件 Μ 0 得：
xy yx ,
F p lim A 0 A
-1 -2
（量纲）ML T . （表示）σ x -- x 面上沿 x 向正应力(Normal stress)， xy -- x 面上沿 y 向切应力(Shearing stress)。 （符号）坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正。
柯西（1789-1857）
第一节
弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的
基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析，或以
弹性应力分析和变形分析为基础。
二滩拱坝
施工中的龙滩大坝
H=240m
H=192m
沿坐标轴正向为 正，反之为负
正面正向，负面 负向为正，反之 为负 线段伸长为正， 反之为负 线段间直夹角变 小为正，反之为 负 沿坐标轴正向为 正，反之为负
z
xy
xy
yz zx
x
y
xy
x
y z
xy yz zx
位移
u v
u v
w
L
直角坐标表示的各种基本物理量
Teach me to fish and I will eat for a life time.
授人以鱼，不如授人以渔。
第一节 第二节 第三节 第四节
弹性力学的内容 弹性力学中的几个基本概念 弹性力学中的基本假定 弹性力学发展简史
第一章
绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学(Elasticity) --研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。 弹性体：理想化的固体材料、材料受荷载 后只发生弹性变形（卸载后可恢复的变形）
Elasticity 河海大学力学与材料学院
弹性力学也称弹性理论，主要研究
弹性体在外力作用或温度变化等外界因
素下所产生的应力、应变和位移，从而 解决结构或机械设计中所提出的强度和 刚度问题。
教 材
徐芝纶编《弹性力学简明教程》(第四版)，高
等教育出版社，2013
主要参考书
陈国荣编《弹性力学》，河海大学出版社，2002
第三节
弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，建立应力边 界条件(Stress boundary conditions); 在给定约束的边界 su 上，建立位移边界 条件(Displacement boundary conditions)。
xy与 yx 数值相同，符号相反。 在材力中，
第二节
弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 (Deformation) -- 形状的改变。以通过一点的沿坐标正向 微分线段的正应变 (Normal strain)和切应 变 (Shearing strain)来表示。 正应变 x , y ，以伸长为正。
出应力、形变和位移。
第三节
弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很
小的次要因素，抓住主要因素,从而建立
计算模型,并归纳为学科的基本假定。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性(Continuity)--假定物体是连 续的。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后
的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于
适用性：材料具有明显的弹性区，应力在一定限 度内(弹性力学采用） 反例：橡皮、人体组织（非线性弹性）、土（无 明显的弹性区）
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性(homogeneity)--假定物体由同种 材料组成。 因此， E、μ等与位臵 ( x, y, z )无关。 含义：从试样测定的材料特性可以代表了这 种材料 适用性：与问题宏观尺度有关、与研究问题的 目的有关（简单问题基本都采用）
出生于巴黎。在纯数学和应用数学的功力 是相当深厚的，很多数学的定理和公式也 都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯
西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上
仅次于欧拉的人。 柯西在1822年的一篇论文中，建立了弹性理论的 基础。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，临终前，
他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是：
因此，各物理量可用连续函数表示。
这是连续介质力学（包括固体力学和流 体力学）中的基本假定。
反例：
带裂纹材料 – 断裂力学
多孔介质
散粒体材料 – DEM、DDA
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性(perfect elasticity)-假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。 因此，即应力与应变关系可用胡克定律 (Hooke’s law)表示（物理线性）。
徐芝纶编《弹性力学》(第四版，上册)，高等教育出
版社，2006 S.Timoshenko & Goodier J.《Theory of Elasticity》 清华大学出版社, 2004 徐芝纶编《Applied Elasticity》，高等教育出版社，
1991
Give me a fish and I will eat today,
人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O( z )
yx
xy
y
x
x
x
xy
y
y
yx
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力与面力
在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O( z )
x
x
f yxy
xy
x
fy fx
fx
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
v 表示,
量纲为 L。以坐标正向为正。 变形前p x, y ,变形后
px u, y v .
基本物理量 外力 （已 知量） 体力 面力 正应力 切应力 未 知 量 正应变 切应变
平面问题
空间问题
量纲
正负方向的规定
fx
fx
x
fy
fy
y
fx
fx
x
fy
fy
y
fz
fz
L-2MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 量纲一 量纲一
切应变 xy , 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
o z x P A
yx α
B y C
xy
α
第二节
弹性力学中的几个基本概念
位移
位移(Displacement)
-- 一点位臵的移动，用 u ,
研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、 弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节
弹性力学的内容
研究对象
材料力学(Mechanics of materials)--研究简单
构件（主要是杆件如梁、柱和轴的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等）的强度、刚度和稳定性计算。
结构力学(Structural mechanics)--在材料力
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定(micro-deformation assumption)--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度（57.3°）.
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
反例： 混凝土当作非均质材料、纤维增强复
合材料
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（4）各向同性(isotropy)--假定物体各向同 性。 因此， E、μ等与方向无关。
含义：试样制作不需要考虑方向。 作用：数学描述简单 适用性：当材料的各向异性性不明显或是可忽 略的次要因素。 反例：如木材、沉积岩等材料。
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 (Internal force)
--假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 (Stress) --截面上某一点处，单 位截面面积上的内力值。
--（定义）作用于物体体积内的力。 （表示）以单位体积内所受的力来量 度， fx , fy , f z . （量纲） ML T .
基本量纲是指具有独立性的量纲。国际单位制有7个基本量 的量纲符号,与力学有关的为：长度L、质量M、时间T。
-2 -2
（符号）坐标正向为正。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：顺时针向为正
材力：以拉为正
第二节
弹性力学中的几个基本概念
切应力互等定理 (Theorem of conjugate shearing stress)： 由微分体的平衡条件 Μ 0 得：
xy yx ,
F p lim A 0 A
-1 -2
（量纲）ML T . （表示）σ x -- x 面上沿 x 向正应力(Normal stress)， xy -- x 面上沿 y 向切应力(Shearing stress)。 （符号）坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正。
柯西（1789-1857）
第一节
弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的
基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析，或以
弹性应力分析和变形分析为基础。
二滩拱坝
施工中的龙滩大坝
H=240m
H=192m
沿坐标轴正向为 正，反之为负
正面正向，负面 负向为正，反之 为负 线段伸长为正， 反之为负 线段间直夹角变 小为正，反之为 负 沿坐标轴正向为 正，反之为负
z
xy
xy
yz zx
x
y
xy
x
y z
xy yz zx
位移
u v
u v
w
L
直角坐标表示的各种基本物理量
Teach me to fish and I will eat for a life time.
授人以鱼，不如授人以渔。
第一节 第二节 第三节 第四节
弹性力学的内容 弹性力学中的几个基本概念 弹性力学中的基本假定 弹性力学发展简史
第一章
绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学(Elasticity) --研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。 弹性体：理想化的固体材料、材料受荷载 后只发生弹性变形（卸载后可恢复的变形）
Elasticity 河海大学力学与材料学院
弹性力学也称弹性理论，主要研究
弹性体在外力作用或温度变化等外界因
素下所产生的应力、应变和位移，从而 解决结构或机械设计中所提出的强度和 刚度问题。
教 材
徐芝纶编《弹性力学简明教程》(第四版)，高
等教育出版社，2013
主要参考书
陈国荣编《弹性力学》，河海大学出版社，2002
第三节
弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，建立应力边 界条件(Stress boundary conditions); 在给定约束的边界 su 上，建立位移边界 条件(Displacement boundary conditions)。