河海大学 弹性力学 第一章
河海大学函授本科《弹性力学及有限元》测验试卷
河海大学函授本科《弹性力学及有限元》测验试卷
河海大学函授本科《弹性力学及有限元》测验
函授站___________ 学号___________ 姓名___________
一、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定？
二、在什么条件下平面应力问题与平面应变问题的应力分量xy y x τσσ,,是相同的?
三、(1)平面应力问题z 面上任一点的应力( σz τzx τzy ) 是近似为 0还是精确为0？为什么？(2)平面应变问题的z 面上任一点的应力( τzx τzy ) 是近似为 0还是精确为0？为什么？
四、(1)检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答？
бx = 4x 2,бy = 4y 2
, τxy =- 8xy
(2)在平面应变状态下，已知一组应变分量为
k 为非零的微小常数，试问由此求得的位移分量是否存在？
五、有限单元法中，位移模式应满足什么条件? 下列位移函数 2321x a y a x a u ++= 2321y b y b x b v ++=
能否作为三角形单元的位移模式? 简要说明理由。
)
(2222y x k kyx kxy xy y x +===γεε
七、设有矩形截面竖柱，密度为ρ ，在一边侧面上受均布剪力q ，试求应力分量。
假设：σx = 0 = ∂2φ/ ∂y 2
八、 某结构的有限元计算网格如题八图（a ）所示。网格中两种类型单元按如题八图（b ）所
示的局部编号，它们单元劲度矩阵均为
[]⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡------------=75.025
弹性力学讲义
z
fz V
fx
F
f fy
P
o
x
lim F f
V 0 V
f : 极限矢量,即物体在P点所受体力 的集度。方向就是F的极限方向。
fx , fy , fz：体力分量, 沿坐标正方 向为正，沿坐标负方向为负。 y 量纲：N/m3=kg∙m/s2∙m3=kg/m2∙s2
即：L-2MT-2
面力：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力。
几何关系； 建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系 。
2.在弹性体的边界上，建立边界条件。
应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上 的微分体的平衡条件；
位移边界条件：在给定的约束边界上，根据边界上 的约束条件。
求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微 分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变 分量和位移分量。
d/2 d/2
o
x
o
x
z
y
y
o
y
从图示薄板或柱形体中，取出一个微
小的正六面体，边长为dx, dy, 在z方向
的尺寸取为1个单位尺寸。
y
x dx
dy
泰勒展开式
f
(x)
f
(x0 )
f
( x0 )(x
x0 )
1 2!
f
河海大学 弹性力学 第一章
第一节 弹性力学的内容 第二节 弹性力学中的几个基本概念 第三节 弹性力学中的基本假定 第四节 弹性力学发展简史
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学(Elasticity)
--研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。
弹性体：理想化的固体材料、材料受荷载 后只发生弹性变形（卸载后可恢复的变形）
由微分线段上形变与位移的几何关系，建立 几何方程 (Geometrical equations)；
由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方 程 (Physical equations)；
第三节 弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s上，建立应力边
界条件(Stress boundary conditions);
在弹性体有限变形、弹性稳定等问题的分析 中，需要考虑弹性体变形对平衡的影响。
基本假定小结 （１）连续性 ─ 各物理量可用连续函数表示 （２）均匀性 ─ 材料性质不随位置而变 （３）各向同性 ─ 材料性质不随方向而变 （４）完全弹性 ─ 应力应变满足虎克定律
在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界
条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出 较精确的解答。
第一节 弹性力学的内容
研究方法
材力 也考虑这几方面的条件，但不是十
弹性力学-01绪论
结力： 弹力：
与材力类同。
仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分 假定。
如：梁的弯曲问题
弹性力学结果
材料力学结果
当 l >> h 时，两者误差很小
（3）数学理论基础
材力、结力 —— 常微分方程（4阶，一个变量）。 解法：解析法。
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
lim F
p A0 A
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力
(2) 应力矢量.
F 的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
应力分量
应力的法向分量
—— 正应力
单位:
应力的切向分量
—— 剪应力
（切应力）
与面力相同
L-1MT-2
应力关于坐标连续分布的
谢谢！
Байду номын сангаас
§1-1 弹性力学的研究内容
内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、 变形、位移等分布规律。
任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。
2. 弹性力学与材力、结力课程的区别
（1）研究对象 材力： 结力： 弹力：
（2）研究方法 材力：
杆件（直杆、小曲率杆） 杆件系统（或结构） 一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等
弹性力学简明教程(第四版)_习题解答
弹性力学简明教程（第四版）
习题解答
第一章绪论
【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？
【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？
【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？
【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答
第一章绪论
【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？
【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？
【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？
【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
弹性力学课件-弹性力学简明教程电子教案简介与目录
性力学简明教程电子教案（正本））和打包后的教案（弹性力
学简明教程电子教案（副本） ）两种形式。其中powerpoint教
案使用officexp中的powerpoint软件编制而成；为防止与用户的
office版本不同，特意另外提供打包形式的教案，该部分包含该
教案的播放器用户在使用时，可以双击弹力教案副本中的可执
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教学，数十年如一日为国家培养建设人才贡献了毕生的精
力。
2021/3/18
3
《弹性力学简明教程》
电子教案
弹性力学 ─是工科院校学生的重要技术
基础课程。
弹性力学方法─是进行工程结构力学分
析的重要手段。
本教案是配合《弹性力学简明教程》的教
学而编写的，供教授弹性力学的教师应用和
参考。
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《弹性力学简明教程》
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《弹性力学简明教程》电子教案,基 于PowerPoint软件,并利用AutoCAD, Photoshop, Flash等计算机辅助软件,进行 了多媒体教学软件的开发和研制。其 中安排了便捷的界面变换,使界面清晰, 形象生动,并且便于教师的使用和修改。
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10
第一章 绪论 第二章 平面问题的基本理论 第三章 平面问题的直角坐标解答 第四章 平面问题的极坐标解答 第五章 用差分法和变分法解平面问题
弹性力学讲义绪论p
§1-2 弹性力学的发展
理论基础建立期（约于1821一1855 ）
第1章 绪论1-2
1838 年,格林 应用能量守恒定理，指出各向异性 体只有 21独立的弹性常数。此后，汤姆逊由热力学 定理证明了上述结果。 同时拉梅等再次肯定了各向 同性体只有两个独立的弹性常数 。至此,弹性力学建 立了完整的线性理论，弹性力学问题已经化为指定 边界条件下求解微分方程的数学问题。
第1章 绪论
一、主要内容
? 研究内容（对象和任务 ） ? 发展简介 ? 几个基本概念 ? 基本假设
第1章 绪论
在学习本章时，要求理解和掌握下面的主要内容：
1. 弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认 清它们与材料力学的区别； 2. 弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向 及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处； 3. 弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本 方程时的作用。
《弹性力学》教学大纲
教学要求
掌握一个问题——弹性力学问题——基本概 念、数学提法及一般原理。
(掌握应力、应变等概念；了解弹性力学的微分方程提法的各 方面；学习弹性力学从简单的平面问题到一般三维空间问题 的各种解答。)
《弹性力学》教学大纲
学习要求及方法
? 复习高等数学微积分等方面的基础知识 ? 注重基本概念的学习（区别与材料力学不同的思维方法） ? 适当的习题练习（课堂及课外）
弹性力学.河海大学
表示物理量的关系 应力分量与体力分 量间的关系
基本假定 连续性 小变形
平衡微分 方程
x
几何方程
u , x
y
u v . y x
v , y
xy
x
应变分量与位移分 量间的关系
连续性 小变形
物理方程
1 (σ x σ y ), E 1 y (σ y σ x ), E 2(1 ) xy xy . E
h/2
h / 2
h / 2
( xy )
h/2
x l
h / 2
f y ( y )dy 1( FS )
比较：
精确的应力边界条件 积分的应力边界条件 方程个数 2
3
代数方程（易满足）
近似 小边界
方程性质
精确性 适用边界
函数方程（难满足）
精确 大，小边界
按位移求解
取 u ，v 为基本未知函数；
(2-18)
上式是用 u ，表示的平衡微分方程。 v
位移边界条件 (u ) s u ,
(v ) s v.
（在 su 上）(2-14)
应力边界条件─将式(2-17)代入应力边界条 件，
E l ( u v ) m1 ( u v ) f , 2 x y 2 y x s x 1 （在 s 上）(2-19) E m( v u ) l 1 ( v u ) f . 2 y x 2 x y s y 1
弹性力学简明教材(电子版)
弹性力学简明教材(电子版)
本教材旨在对读者简明地阐述弹性力学的基本概念和公式，涉
及弹性体的基本特性，力学基本定律，应力应变状态的描述和计算，以及弹性体固有振动和波的传播等内容。
第一章弹性体的基本特性
本章介绍了弹性体的基本特性，包括弹性体的定义、分类、形
变和应力等概念，以及材料的弹性模量和泊松比等基本参数。通过
本章的研究，读者将会了解弹性体的基本特性，为后续章节的研究
打下基础。
第二章力学基本定律
本章介绍了力学基本定律，即牛顿定律和能量守恒定律，以及
它们在弹性力学中的应用。通过本章的研究，读者将会了解力学基
本定律的含义和应用。
第三章应力应变状态的描述和计算
本章介绍了应力应变状态的描述和计算方法，涉及应力应变张量和应力应变关系等内容。通过本章的研究，读者将会了解弹性体中应力应变关系的基本概念和计算方法。
第四章弹性体固有振动和波的传播
本章介绍了弹性体固有振动和波的传播，包括弹性体的本征频率和本征振型，以及弹性波的类型和传播速度等内容。通过本章的研究，读者将会了解弹性体固有振动和波的传播，为实际问题的解决提供理论基础。
第五章应用实例分析
本章通过实际问题的分析和计算，综合运用前面章节所学的知识，掌握弹性力学在实际工程中的应用。通过本章的研究，读者将会了解如何分析和解决实际弹性力学问题。
附录：本教材的符号表和计算公式等内容，供读者参考。
总结
弹性力学是工程力学的重要分支之一，具有广泛的应用。本教材对弹性力学的基本概念、公式和应用进行了简要的阐述，适合初学者学习和工程技术人员参考使用。
弹性力学基本方程及原理
向一致时取正号，反之取负号。
半空间问题上的应用 指出：
第四节、弹性力学简单问题的求解
逆解法、半逆解法是基本的常用的方法： 逆解法：首先根据基本方程的特点找出能满足方程的 一组解，然后代入边界条件检验，判断是否为正确解。
半逆解法：根据边界条件特点或对应力、应变和位移 状态分布趋势的判断，假设能满足部分边界条件和域 内方程的未知函数，并由其它边界条件和域内方程导 出其余未知函数。
泛定方程+定解条件 =定解问题
常见的定解条件 ：
a）初始条件（初始问题）（用于弹性动力学问题）
ui t0 （ fi x，y，z）
ui t
t 0
（i x，y，z）
b）边界条件（边值问题）
应力边界条件： σij|s lj = fi
x
s
m
yx
s
n zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
应力法可归结为：在给定的边界条件下，求解下列方程
边界条件 应力边界条件
位移边界条件
σij|s lj = fi
由于位移边界条件一般难于化为应力边界条件，因此只 能解应力边界条件，不能解位移边界和混合边界条件
三、基本方程的意义
弹性力学基本方程建立了弹性力 学问题的数学模型，为求解弹性力学 奠定了基础。虽然这些方程的直接求 解十分困难，只有小部分可以得到分 析解，这些解已经有了广泛的应用， 更为重要的是这些方程的建立为有限 元、边界元等数值计算提供了基础。
弹性力学ppt
4. 各向同性假定
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
金属 —— 上述假定符合较好；
木材、岩石 —— 上述假定不符合，称为各向异性材料； 符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
应力关于坐标连续分布的
( x, y, z ) ( x, y, z )
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：
y , yx , yz
z , zx , zy
数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。 3. 与其他力学课程的关系
弹性力学
数学弹性力学；
应用弹性力学。
弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、 振动理论、有限单元法等课程的基础。
小结：
弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹 性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的 应力、形变和位移。
本课程较为完整的表现了力学问题的数学 建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值 条件，并对一些问题进行了求解。弹性力学基 本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有 限元方法等课程的基础。
3. 形变 (1) 一点形变的度量
形变 —— 物体的形状改变 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量 （2）两线段间夹角的改变。 ——用切应变γ度量 （切应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
弹性力学及有限元
一点的应力状态的概念 几何规律：过空间一点有无数个面。
力学特点 ：即使过同一点，作用在不同面（微 分面）上的应力矢量也不同。
一点应力的要素：大小、方向、作用点 、作用
在过该点的哪个面上（作用面）
22
一点的应力状态：过物体内某一点的各个面上的
应力情况的集合称为该点的应
力状态。
xy yx
yx ()
yx ()
xy ( )
c
莫尔圆中采用的是
材料力学规定法。
28
x
b
切应力互等定理
在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线， 方向共同指向或背离这一交线。
z
zy zx
xz xy
弹力规定
yz yx
磁力。 2) 面力：分布在物体表面的力如流体压力和接触力。 体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力，所以考
虑平衡条件求合力时，须乘以相应的体积和面积。
无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正
标向为正，且斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。
16
z
V
fx
o
fz F f f y P y
一点的应力状态的分析方法：单元体法
单元体——构件内的点的代表物，是包括研究点在内
弹性力学
弹性力学网络课程
第一章绪论
内容介绍
知识点
弹性力学的特点
弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务
弹性力学的研究方法
内容介绍：
一. 内容介绍
本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点
1.课程的研究对象；
2.基本分析方法和特点；
3.弹性力学的基本假设；
4.课程的学习意义；
5.弹性力学的发展。
特点：
弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
03 线性弹性力学问 题求解方法
解析法求解线性弹性问题
平衡方程和几何方程
基于弹性力学基本方程，推导平 衡方程和几何方程，为解析法提
供基础。
应力函数和位移函数
引入应力函数和位移函数，将问 题转化为求解偏微分方程的问题。
边界条件和连续条件
根据实际问题，确定边界条件和 连续条件，为方程求解提供约束。
解析解的应用范围
扭转法
通过对圆柱形试件进行扭转实验，测量试件的扭矩和扭转角， 进而计算得到剪切模量，再推算出弹性模量和泊松比，适用 于各向同性材料的测量。
06 弹性力学在相关 领域拓展应用
地震工程与结构动力学
结构抗震设计
应用弹性力学原理，分析结构在地震作用下的动力响应，进行结 构的抗震设计和优化。
地震波传播与衰减
研究对象
弹性力学的研究对象主要是理想弹性体， 即物体在外力作用下发生形变，当外力 撤除后能完全恢复原来形状的物体。
《复合材料力学》4弹性力学基础
应力用矩阵表示：
τyz
σy
σx
τxy
τyx
y
⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎢τ zx τ zy σ z ⎥ ⎣ ⎦
共六个应力分量。
x
（三）形变（应变）
形变就是形状的改变。物体的形变可 以归结为长度的改变和角度的改变。 1.线应变：图1-9中 线段PA、PB、PC每单 位长度的伸缩，即单位 伸缩或相对伸缩，称为 线应变。分别用 ε x、 ε y ε z、 表示。
徐芝纶 （1911— 1999）,河海 大学）教授
§1-1
一、研究任务
弹性力学的内容
弹性力学是固体力学的一个分支，研究 弹性体由于受外力作用、边界约束、温度改 变等原因发生的应力、形变和位移。 二、研究对象 弹性力学的研究对象为一般及复杂形状 的构件、实体结构、板壳等。
! 构件—结构物或机器的各个组成部分称
（二）应力 1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面 之间产生附加内力，为了求出这些内力，我们 用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中 一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们 是分布在截面上分布力系的合力。单位面积上 的分布力即为应力。如图1－4所示。 2.性质：在物体内的同一点，不同截面上的应 力是不同的。
3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同 的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不 随坐标方向的改变而变化。 • 当然，像木材、竹子以及纤维增强材料等， 属于各向异性材料。 • ——这些材料的研究属于复合材料力学研究 的对象。
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切应变 xy , 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
o z x P A
yx α
B y C
xy
α
第二节
弹性力学中的几个基本概念
位移
位移(Displacement)
-- 一点位臵的移动，用 u ,
F p lim A 0 A
-1 -2
（量纲）ML T . （表示）σ x -- x 面上沿 x 向正应力(Normal stress)， xy -- x 面上沿 y 向切应力(Shearing stress)。 （符号）坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正。
柯西（1789-1857）
人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O( z )
yx
xy
y
x
x
x
xy
y
y
yx
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力与面力
在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O( z )
x
x
f yxy
xy
x
fy fx
fx
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
Elasticity 河海大学力学与材料学院
弹性力学也称弹性理论，主要研究
弹性体在外力作用或温度变化等外界因
素下所产生的应力、应变和位移，从而 解决结构或机械设计中所提出的强度和 刚度问题。
教 材
徐芝纶编《弹性力学简明教程》(第四版)，高
等教育出版社，2013
主要参考书
陈国荣编《弹性力学》，河海大学出版社，2002
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定(micro-deformation assumption)--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度（57.3°）.
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
适用性：材料具有明显的弹性区，应力在一定限 度内(弹性力学采用） 反例：橡皮、人体组织（非线性弹性）、土（无 明显的弹性区）
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性(homogeneity)--假定物体由同种 材料组成。 因此， E、μ等与位臵 ( x, y, z )无关。 含义：从试样测定的材料特性可以代表了这 种材料 适用性：与问题宏观尺度有关、与研究问题的 目的有关（简单问题基本都采用）
三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条
件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上
述方程，得出较精确的解答。
第一节
弹性力学的内容
研究方法
材力 也考虑这几方面的条件，但不
是十分严格的：常常引用近似的计算假设 （如平面截面假设）来简化问题，并在许
多方面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
出应力、形变和位移。
第三节
弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很
小的次要因素，抓住主要因素,从而建立
计算模型,并归纳为学科的基本假定。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性(Continuity)--假定物体是连 续的。
第一节
弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的
基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析，或以
弹性应力分析和变形分析为基础。
二滩拱坝
施工中的龙滩大坝
H=240m
H=192m
v 表示,
量纲为 L。以坐标正向为正。 变形前p x, y ,变形后
px u, y v .
基本物理量 外力 （已 知量） 体力 面力 正应力 切应力 未 知 量 正应变 切应变
平面问题
空间问题
量纲
正负方向的规定
fx
fx
x
fy
fy
y
fx
fx
x
fy
fy
y
fz
fz
L-2MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 量纲一 量纲一
徐芝纶编《弹性力学》(第四版，上册)，高等教育出
版社，2006 S.Timoshenko & Goodier J.《Theory of Elasticity》 清华大学出版社, 2004 徐芝纶编《Applied Elasticity》，高等教育出版社，
1991
Give me a fish and I will eat today,
学基础上研究杆系结构(如桁架、刚架等)的内力
和位移计算。
弹性力学(Elasticity)--研究各种形状的弹性
体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等的位 移、变形和应力计算。
第一节
弹性力学的内容
研究方法
在研究方法上，弹力和材力也有区别：
弹力研究方法 ：在区域V内严格考虑
静力学、几何学和物理学三方面条件，建立
由（3）,（4）知E、μ等为常数
（3）均匀性(homogeneity) （4）各向同性(isotropy) 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体 (perfect elastic body)。 （1）连续性(Continuity)
（2）完全弹性(perfect elasticity)
第三节
弹性力学中的基本假定
--（定义）作用于物体体积内的力。 （表示）以单位体积内所受的力来量 度， fx , fy , f z . （量纲） ML T .
基本量纲是指具有独立性的量纲。国际单位制有7个基本量 的量纲符号,与力学有关的为：长度L、质量M、时间T。
-2 -2
（符号）坐标正向为正。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
沿坐标轴正向为 正，反之为负
正面正向，负面 负向为正，反之 为负 线段伸长为正， 反之为负 线段间直夹角变 小为正，反之为 负 沿坐标轴正向为 正，反之为负
z
xy
xy
yz zx
x
y
xy
x
y z
xy yz zx
位移
u v
u v
w
L
直角坐标表示的各种基本物理量
出生于巴黎。在纯数学和应用数学的功力 是相当深厚的，很多数学的定理和公式也 都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯
西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上
仅次于欧拉的人。 柯西在1822年的一篇论文中，建立了弹性理论的 基础。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，临终前，
他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是：
因此，各物理量可用连续函数表示。
这是连续介质力学（包括固体力学和流 体力学）中的基本假定。
反例：
带裂纹材料 – 断裂力学
多孔介质
散粒体材料 – DEM、DDA
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性(perfect elasticity)-假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。 因此，即应力与应变关系可用胡克定律 (Hooke’s law)表示（物理线性）。
反例： 混凝土当作非均质材料、纤维增强复
合材料
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（4）各向同性(isotropy)--假定物体各向同 性。 因此， E、μ等与方向无关。
含义：试样制作不需要考虑方向。 作用：数学描述简单 适用性：当材料的各向异性性不明显或是可忽 略的次要因素。 反例：如木材、沉积岩等材料。
研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、 弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节
弹性力学的内容
研究对象
材料力学(Mechanics of materials)--研究简单
构件（主要是杆件如梁、柱和轴的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等）的强度、刚度和稳定性计算。
结构力学(Structural mechanics)--在材料力
绪论
外力
§1－2
弹性力学中的几个基本概念
外力(External force) --其他物体对研究对象 （弹性体）的作用力。 远距作用和接触作用 前者包括万有引力、电磁力等 后者包括表面压力、摩擦力等
第二节
弹性力学中的几个基本概念
体力
体力（Body force）
F f lim V 0 V
Teach me to fish and I will eat for a life time.
授人以鱼，不如授人以渔。
第一节 第二节 第三节 第四节
弹性力学的内容 弹性力学中的几个基本概念 弹性力学中的基本假定 弹性力学发展简史
第一章
绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学(Elasticity) --研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。 弹性体：理想化的固体材料、材料受荷载 后只发生弹性变形（卸载后可恢复的变形）
第三节
弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，建立应力边 界条件(Stress boundary conditions); 在给定约束的边界 su 上，建立位移边界 条件(Displacement boundary conditions)。
然后在边界条件下求解上述方程，得
xy 与 yx 数值相同，符号也相同。 在弹力中，
xy与 yx 数值相同，符号相反。 在材力中，
第二节
弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 (Deformation) -- 形状的改变。以通过一点的沿坐标正向 微分线段的正应变 (Normal strain)和切应 变 (Shearing strain)来表示。 正应变 x , y ，以伸长为正。
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 (Internal force)
--假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 (Stress) --截面上某一点处，单 位截面面积上的内力值。
（3）能用弹力近似解法（变分法、差分法
和有限单元法）解决工程实际问题；
（4）为进一步学习其他固体力学分支学
科打下基础。
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对 象有什么区别？ 2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？
第一章
锦屏一级拱坝
小湾拱坝混凝土浇筑H=292m
H=305m
双 线 五 级 船 闸 可 通 行 万 吨 轮 船
海洋石油钻井平台
天生桥厂房高边坡 南 水 北 调 蔺 家 坝 泵 站
引 水 隧 洞
第一节
弹性力学的内容
学习目的
Leabharlann Baidu
工科学生学习弹力的目的：
（1）理解和掌握弹力的基本理论；
（2）能阅读和应用弹力文献；
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：顺时针向为正
材力：以拉为正
第二节
弹性力学中的几个基本概念
切应力互等定理 (Theorem of conjugate shearing stress)： 由微分体的平衡条件 Μ 0 得：
xy yx ,
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后
的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于
面力
面力(Surface force) --（定义）作用于物体表面上的力。 （表示）以单位面积所受的力来量
F lim f S 0 S
度， f x , f y , f z .
-1 -2
（量纲） ML T . （符号）坐标正向为正 。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：表示出下图中正的体力和面力
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。 2. 在d x d y 1的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
第一章
绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程 (Differential equations of equilibrium)； 由微分线段上形变与位移的几何关系，建立 几何方程 (Geometrical equations)； 由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方 程 (Physical equations)；