二次函数复习提纲
二次函数基础到进阶全纲要
二次函数基础到进阶全纲要二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是数学建模和应用题中常见的数学工具。
对二次函数的掌握，不仅需要熟悉其基础知识，还需要深入了解其进阶应用。
本文将从基础到进阶，全面总结二次函数的要点，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、基础知识1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负，开口向上表示a>0，开口向下表示a<0。
3. 顶点：二次函数的图像的顶点为抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
4. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称，在形如x = h的直线上对称，其中h为对称轴的横坐标。
5. 零点：二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法求得。
二、进阶应用1. 二次函数的平移：二次函数的平移包括上下平移和左右平移。
对于f(x) = ax^2 + bx + c形式的二次函数，上下平移可以通过加减常数c实现，左右平移可以通过加减常数b/(2a)实现。
2. 二次函数的求最值：对于开口向上的二次函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值为顶点的纵坐标。
可以通过求顶点的横坐标和纵坐标来求得最值。
3. 二次函数的图像与方程的关系：二次函数的图像与二次方程的解有着密切的联系。
开口向上的二次函数与二次方程有两个实数根或没有实数根的情况相对应；开口向下的二次函数与二次方程有两个实数根的情况相对应。
4. 二次函数的因式分解：对于一般形式的二次函数，可以通过因式分解的方法将其化简为两个一次函数的乘积。
这种因式分解的方法在解二次方程、求二次函数零点等问题中有着重要的应用。
三、综合应用1. 弹射运动：抛体在无空气阻力下的运动可以用二次函数来描述。
通过研究二次函数的开口方向、顶点坐标等性质，可以求解抛体运动的最大高度、最远水平距离等问题。
完整版)二次函数知识点复习
完整版)二次函数知识点复习二次函数知识点一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax²的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值。
a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值。
2.y=ax²+c的性质：上加下减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值c。
a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值c。
3.y=a(x-h)²的性质：左加右减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。
性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值。
ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值。
4.y=a(x-h)²+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。
性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值k。
ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值k。
三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标（h，k），具体平移方法如下：保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是一个一元二次方程的图像，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为实数且a不等于0。
1. 顶点：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
抛物线的最高点或最低点称为顶点。
顶点的横坐标为x = -b / (2a)，纵坐标为y = f(-b / (2a))。
2. 对称轴：二次函数的图像关于一条直线对称。
这条直线称为对称轴，公式为x = -b / (2a)。
3. 开口方向：当a大于0时，二次函数图像开口向上；当a小于0时，二次函数图像开口向下。
4. 零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点，即使y = 0的解，可以通过求根公式得到。
5. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次函数的根的情况。
当Δ大于0时，有两个不相等的实根；当Δ等于0时，有两个相等的实根；当Δ小于0时，没有实根。
6. 特殊情况：当a大于0时，二次函数的图像开口向上，且顶点处为最小值。
函数的值随着x的增大而增加。
当a小于0时，二次函数的图像开口向下，且顶点处为最大值。
函数的值随着x的增大而减小。
当c等于0时，二次函数经过原点(0, 0)，称为原点对称的二次函数。
7. 平移变换：纵向平移：对二次函数y = ax^2 + bx + c进行纵向平移为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为平移的向量。
横向平移：对二次函数y = ax^2 + bx + c进行横向平移为y = a(x - p)^2 + q，其中(p, q)为平移的向量。
8. 最值问题：在一定条件下，通过二次函数的最值可以求解一些实际问题。
求抛物线的最大值或最小值，可以通过求顶点来解决。
求某一变量取得最值的情况下，可以通过二次函数的顶点坐标和判别式来判断。
9. 范围：二次函数的值域根据开口方向有所不同。
当a大于0时，值域为[y₀, +∞)，其中y₀为顶点的纵坐标。
当a小于0时，值域为(-∞, y₀]。
二次函数知识点梳理
二次函数知识点梳理一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。
a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。
三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴对称。
五、判别式二次函数的判别式是 b^2 - 4ac。
根据判别式的值，可以判断二次函数与 x 轴的交点情况：- 如果判别式 > 0，则有两个实数根。
- 如果判别式 = 0，则有一个实数根（重根）。
- 如果判别式 < 0，则没有实数根。
六、根的性质1. 根的和：如果α 和β 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根，则α + β = -b/a。
2. 根的积：如果α 和β 是二次方程的两个根，则αβ = c/a。
七、因式分解某些二次函数可以因式分解为 (x - α)(x - β) = 0 的形式，其中α 和β 是函数的根。
八、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易找到方程的解。
九、二次函数的应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，如描述物体的抛体运动、优化生产成本等。
十、二次不等式二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式。
解这类不等式通常需要考虑二次函数的图像和判别式。
十一、复合二次函数复合二次函数是指外层函数是二次函数，内层函数可以是任何实值函数的情况。
这类函数的性质更为复杂，需要结合内外层函数的特点进行分析。
二次函数知识框架
例1，二次函数与方程结合问题
2、由一元二次方程的根的情况判断二次函数和直线相交情况
例2，二次函数与x轴相交问题
例3，二次函数与y=kx+b相交问题
3、利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
例4，根据图像求近似根（选择题）
模块5： 二次函数与坐标轴相交及围成图像面积问题
1、图像与x轴相交，交点与顶点构成三角形
例1，图像与x轴相交，求两交点间距离，及与顶点围成图形面积
2、图像与直线相交，围成图形面积
例2，直线与抛物线围成面积（2小题）
模块6：二次函数的应用问题
1、利润问题
例1，商品利润问题，求售价，最大利润时的售价
2、面积问题
例2，几何动点面积问题
3、最值问题
例3，二次函数最值问题
3、二次函数解析式的求法
例4，利用待定系数法求二次函数解析式（至少3道不同类型小题）
模块2：二次函数的图像和性质
1、二次函数图像特点
例1，求二次函数的对称轴和顶点坐标（至少2道不同类型小题）
例2，图像的增减性
例3，利用图像求最值（不给定区间和给定区间）
2、图像的平移，对称
例4，二次函数平移题
例5，二次函数对称题
二次函数知识框架
课程体系
模块划分
知识架构
对应例题选取
Байду номын сангаас预计课时
二次函数
模块1：二次函数的概念及解析式
1、二次函数定义
例1，判断二次函数（选取至少8个不同类型的函数）
例2，含有字母的函数为二次函数，判断字母取值
2、二次函数的基本形式
例3，把下列函数化为一般形式（至少4个不同类型小题），指出二次项、一次项系数，常数。
二次函数基本知识点复习
二次函数基本知识点复习一、知识要点： 1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，3. 二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab 2-时，ab ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
最新二次函数复习提纲
二次函数复习提纲（2012.11.15）、知识网络二、二次函数的概念：1形如y二ax2• bx • c(a、b、c是常数，a=0)的函数，叫做二次函数。
其中___ 是自变量， ______ ， ____ ， ______ ，分别是函数表达式的二次项系数、一 次项系数和常数项。
2、二次函数须同时满足两个条件：①自变量最高次数为 2；②二次项系数不为0。
2例题1、当m 为何值时，y =(m 2 -4)x m • 2x -1是关于x 的二次函数？例题2、下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( )① y = . 2x 2 2x 5 .② y = -5 8x - x 2 .③ y = (3x 2)(4x - 3) - 12x 2 .2 2 2④ y =ax bx c .⑤ y =mx x .⑥ y = bx1（b 为常数，b = 0）A 、3B 、4C 、5D 、62 2三、抛物线y =a(x -h) k 与y-ax 的关系(图像的平移)1、二者的形状(开口大小) _________ ，位置 ________ ，y = a(x-h)2+k 是由y =ax 2通过平移得来的，平移后的顶点坐标为 ___________2y = ax (a 式0)当h>0时向 平移h 个单位当hc0时向 平移| h|个单位 像当k_0时向==平移k 个单位 像当k~T0时向二_平移k 个单位例题1、抛物线y =0.5(x 2)2 -3可以由抛物线 ___________________ 向 ______ 平移2个单位，再向下平移 ______ 单位得到。
例题2、抛物线y = -x 2向左平移1个单位，然后再向上平移 3个单位，则 平移后抛物线的解析式为 ___________________ 。
例题3、将二次函数y 」x 2 -2x • 2化为y =a(x-h)2 k 的形式，并指出3其开口方向、对称轴与顶点坐标。
2、抛物线y 二 a （x - h ）2 的图y = a （x 「h ）2 • k 的图像。
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【最新整理，下载后即可编辑】《二次函数》复习提纲一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数，)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标2ax y = 当0>a 时 开口向上当0<a 时 开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=2 0=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)例：（2012泰安）二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限二、二次函数的解析式（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax 2（a 是常数，且a ≠0），x 取任意实数。
②二次二项式型：形如y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0），x 取任意实数。
③二次二项式型：形如y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0），x 取任意实数。
④二次三项式型：形如y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0），x 取任意实数。
（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a ≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。
（3）二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）交点式：12()()y a x x x x =--（a ≠0）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=（a ≠0）。
二次函数复习提纲
二次函数复习提纲一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx axy +++=2（或m c bx axy -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c=++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。
二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。
2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。
三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。
2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。
四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。
2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。
3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数的极值即为顶点值。
4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。
5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。
2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。
六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。
2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。
二次函数复习提纲.doc
《27•亡27.2二次函数》期中考复习提纲2011.11%1.二次函数的有关概念1.概念：形如、=。
工2+城+。
(。
壬0 )的函数叫做二次函数。
其中a、b、c是常数，a壬0,但b、c为任意实数。
2.按项数分类，二次函数的关系式有三种形式：, 或, 。
3.按待定系数法求关系式来分类，二次函数的关系式有三种形式：,,按顶点的位置来分类，二次函数的关系式有四种形式：,,,例1. 已知函数尸=(m-1) x l，nl+1是关于x的二次函数，则m二例2. 下列各式中，y是x的二次函数的序号有① y = \/2x2 + 2x + 5 ② y = -5 + Sx-x2③ y — (3% + 2)(4% — 3) — 12x~④ y = ax1 +/?x + c ⑤ y = mx1 + x ®y = bx2A-\ (b 为常数，bKO)例3. 下列函数关系中，可以看作是二次函数y = ax1+bx + c模型的是()(A)在一定距离内，汽车行驶的速度和行驶时间的关系(B)某地区人口自然增长率为1%,这样这个地区人口总数随年份变化关系(C)竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)(D)圆的周长与圆的半径的关系%1.二次函数的图象与性质例4.抛物线y=3x2, y=-3x", y= —x2共有的性质是( )3A.开口向上8.对称轴是y轴C.都有最低点D. y随x的增大而增大例5.对于函数y = 2x2 ,下列结论正确的是()(A)无论x取任何实数，y的值总是正的(B)y随x的增大而增大(C)y的值随x的增大而减小(D)图象关于y轴对称例6.二次函数)=(x-1) 2+2的最小值是例7.二次函数y = -J+版+ c・图象的最高点是（-1,-3）,则b、c的值是（）（A） b=2,c=4 （B） b=2,c= -4 （C） b= -2,c=4 （D） b= -2,c= -4例8.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标总下抛物线的解析式是（）A.y=2 （x-2）2 + 2 B.y = 2 （x + 2）2-2 C.y=2（x-2）2-2 D.y=2 （x + 2）2 + 2 P例9.如右图所示的抛物线是二次函数y=ax2+3x+a2-l的图象，那么a的值是________ . 厂、例10.若（2, 5） , （4, 5）是抛物线y = ax~ +hx-\-c k的两点，那么它的对称轴是. 小：例11 .如右图，己知二次函数>' = -x2+2x + m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程一工~ + 2尤+ m = 0的解为.三.二次函数一般式y = + ^0）中的常数a,b,c与抛物线的特征1.。
二次函数提纲
知识点一：二次函数的认识二次函数的定义：一般地，形如()02≠++=a c b a c bx ax y 是常数，且、、的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数 注意：1.含有自变量的代数式是整式2.自变量的最高次数是23.二次项系数0≠a4.任何一个二次函数()02≠++=a c b a c bx ax y 是常数，且、、的形式 【例一】：下列函数中，y 是x 的二次函数的有______（填序号）（1）x x y 12-=；（2）22)1(x x y -+=；（3）1532-+-=x x y ；（4）c bx ax y ++=2 解题思路：（1）含自变量的代数式xx 12-不是整式；（2）22)1(x x -+=2x+1,自变量x 的最高次数不是2；（3）符合二次函数的定义及特征；（4）没有强调0≠a易错提醒：二次函数c bx ax y ++=2中的系数0≠a 这一重要条件往往容易被忽略 精题练习：下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量） （ ） A.281x y =B.12-=x yC.21xy = D.22x a y = 【例二】：若函数mmx m m y -+=2)(2是y 关于x 的二次函数，求m 的值.解析：解决这类问题的步骤和解法如图所示：步骤：解：根据二次函数的定义，可得： 22=-m m m=2或m=-1，解得 ，∴m=2 02≠+m m m ≠0且m ≠-1 方法技巧：紧扣二次函数的定义列出方程和不等式求解，对于函数()02≠++=a c bx ax y ，要切记0≠a 这个条件.精题练习：已知函数()43112-+-=+x x m y m是y 关于x 的二次函数，求m 的值确定自变量最高指数确定二次项系数不为0 结果22=-m m22≠+m m 2=m知识点二：二次函数()02≠=a ax y 的图像及性质 函数a 的符号图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值2ax y =a >0向上()0,0y 轴x<0时，y 随x 增大而减小；x>0时，y 随x 增大而增大 当x=0时，0=最小值y，y 无最大值a <0向下x<0时，y 随x 增大而增大；x>0时，y 随x 增大而减小当x=0时，0=最大值y，y 无最小值注意：1.判断二次函数()02≠=a ax y 的增减性时，要以对称轴为分界线，左右分别讨论；2.根据抛物线的开口方向可以确定()02≠=a ax y 中a 的值，即开口向上，a >0;开口向下，a <0.3.抛物线的开口大小是由a 决定的，a 越大，开口越小. 例：已知()422-++=k kx k y 是关于x 的二次函数，且x>0时，y 随x 的增大而减小，求k 的值.分析：根据二次函数()02≠=a ax y 的图象的性质，如果a <0,则当x>0时，y 随x 的增大而减小，根据这一条件即可解决问题. 242=-+k k解：由题意，得 ,解得k=-3或k=2,由于k<-2,∴k=-3 02<+k 方法技巧：本体应该先满足函数是二次函数，即自变量的次数是2，且二次项系数不为0，同时要满足函数的性质：当抛物线()02≠=a ax y 开口向下时，才有x>0时，y 随x 的增大而减小精题练习：已知二次函数（1）2x y -=，（2）253x y =，（3）215x y =，（4）24x y -=，（5）2109x y -= 1.其中开口向上的有________(填序号)；2.其中开口向下且开口最大的是________(填序号)；3.当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有______(填序号).知识点三：二次函数()02≠+=a c ax y 的图像及性质 函数a 的符号 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值cax y +=2a >0向上()c ,0y 轴x<0时，y 随x 增大而减小；x>0时，y 随x 增大而增大 当x=0时，c y =最小值，y 无最大值a <0向下x<0时，y 随x 增大而增大；x>0时，y 随x 增大而减小当x=0时，c y =最大值，y 无最小值拓展点：用平移法可以作出()02>+=a c ax y1.当k>0时，将二次函数2ax y =向上平移c 个单位得c ax y +=2的图像；2.当k<0时，将二次函数2ax y =向下平移c 个单位得c ax y +=2的图像. 即：上加下减归纳：c ax y +=2与2ax y =的图像的形状、开口大小、开口方向相同，只有图像的位置不同.例：说明抛物线5322-=x y 是由抛物线232x y =如何平移得到的，并说明： （1）顶点坐标、对称轴以及y 随x 的变化情况.（2）函数的最大（小）值.分析：本题根据解析判断即可，还可运用数形结合的思想方法来解题.即先分别画出它们的函数图像，然后借助图象来加以说明. 解：抛物线5322-=x y 是由抛物线232x y =向下平移5个单位得到. (1)顶点坐标是（0，-5）；对称轴是y 轴；x<0时，y 随x 增大而减小；x>0时，y 随x 增大而增大(2)当x=0时，y 有最小值-5方法技巧：平移过程中符合上加下减；函数的最值取决于a 的符号. 精题练习：1.将抛物线322-=x y 通过平移后得到抛物线22x y =，那么平移的方式是______ 2.将抛物线132+=x y 通过平移后得到抛物线532-=x y ，那么平移的方式是______知识点四：二次函数()()02≠+-=a k h x a y 的图像与性质函数a的符号图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值kh x a y +-=2)(a>0向上()k h ,直线x=hx<h 时，y 随x 增大而减小；x>h 时，y 随x 增大而增大 当x=0时，k y =最小值，y 无最大值a<0向下x<h 时，y 随x 增大而增大；x>h 时，y 随x 增大而减小当x=0时，k y =最大值，y 无最小值拓展点：用平移法可以作出二次函数()()02≠+-=a k h x a y 的图象把2ax y =向左向右平移h 个单位，得()2h x a y -=的图象，再沿y 轴向上向下平移k 个单位，便得()k h x a y +-=2的图象即：对于h 满足左加右减，对于k 满足上加下减例：已知抛物线()k h x a y +-=2是由抛物线2x y =向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度（1）求出a 、h 、k 的值.（2）在同一直角坐标系中，画出()k h x a y +-=2与2ax y =的图象.（3）观察()k h x a y +-=2的图象，当x______时，y 随x 增大而增大，当x______时，函数y 有最______值，最______值是______.（4）观察的图象，你能说出对于一切x 的值，y 的取值范围吗？分析：先画出函数图象，再求k h a 、、，求出函数表达式，结合图像即可完成后面的题目. 解：（1） 抛物线2x y =向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是2)1(2+-=x y ，∴2,1,1=-==k h a（2）函数2)1(2+-=x y 与2x y =的图象如图所示(3)当x>1时，y 随x 的增大而增大；当x=1时，函数y 有最小值，最小值是2. (4)由图象知，对一切x 的值，总有函数值y ≥2 方法技巧：抛物线()k h x a y +-=2与2ax y =。
初三数学二次函数复习纲要及习题
初三数学二次函数复习纲要及习题二次函数的几个基本名词：抛物线的顶点、对称轴和开口方向 大纲要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之閴的联系〒内容（9）亄次函数及其图蹡 如果y=ax 2+bxc(a,b,c 是常数，a ≠09,那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用懏点法画出二次凝数的嚾象。
（2）抛物线的顦点、对称轴和开口旹向（2）抛物线的顦点、对称轴和开口旹向抛癩线y=ax 2+bx 耫c(a ≠0)的顶点是)44,2(2ab ac a b --，姹称轴是a b x 2-=䀕，当a>0时，抛物线开䏣向上，当a>0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2Ыj(a ≠0)的顶点是（,h ，k ），对緰轴是x=-h.考查重点与常见题型：考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是1．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）2．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
初三数学总复习提纲——二次函数①
初三数学总复习提纲——二次函数①班级 姓名 号数 一、二次函数的概念及其关系式： 1、二次函数的概念：形如：2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠是常数，的函数。
2、三种表达式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其顶点坐标是交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，12(,0)(,0x x 、）是抛物线与x 轴的交点。
例1、若21(1)3my m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A 、1B 、1-C 、1±D 、2 练习：抛物线22(2)4y m x x m =--+-的图象过原点，则m= 二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1、图象是一条2、对称轴：2bx a=-， 顶点坐标是 24(,)24b ac b a a --3、二次函数顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠的性质：轴对称图形例2、二次函数231y x =-+的图象开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。
练习2、抛物线223y x x =--的顶点坐标是（ ， ）；（1）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小； 当x= 时，y 有最 值为 ； （2）若自变量x 的取值范围为24x ≤≤时，函数是否存在最值？为多少？练习3、把二次函数21232y x x =-+用配方法化成2()y a x h k =-+的形式，并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。
例3、如图（1）抛物线的对称轴为 如图（2）抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 例4、对于抛物线21(1)32y x =-++，下列结论：①抛物线开口向下；②对称轴为直线1x =；③顶点坐标为(1,3)-；④1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的结论的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4练习：心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：20.1 2.643(030)y x x x =-++<<。
二次函数复习提纲
二次函数复习提纲 Prepared on 22 November 2020二次函数复习1、二次函数解析式的三种形式：⑴一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，顶点坐标： 对称轴：直线 当x= 时，值最......y = ⑵顶点式：k m x a y ++=2)(，顶点坐标：（ ， ）对称轴：直线 当x= 时，值最.....y =⑶两根式：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2=0的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ） 练习： 2、抛物线()21252y x =--+的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向_____。
3、抛物线2ax y =经过点（3，5），则a = ；4、抛物线如图所示：当x = 时，y =0，当x 时，y >0；当x 时，y <0；5、函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝ 。
6、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，∵a , ∴当 x ＝ 时，y 有最 值是 。
7、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大, 当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小。
8、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －m)2＋k 的形式，则 y ＝ 。
9、若点 A ( 2, m) 在函数 y ＝x 2－1 的图像上，则 A 点的坐标是 。
10、抛物线 y ＝2x 2＋3x －4 与 y 轴的交点坐标是 。
11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
。
2、2ax y =的图象 2)(m x a y +=的图象k m x a y ++=2)(的图象1、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 。
2、把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是3、把抛物线y ＝12212-+x x 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位的23212--=x x y 。
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二次函数复习
1、二次函数解析式的三种形式：
⑴一般式：)0(2
≠++=a c bx ax y ，顶点坐标： 对称轴：直线 当x= 时，值最......y = ⑵顶点式：k m x a y ++=2
)(，顶点坐标：（ ， ）
对称轴：直线 当x= 时，值最.....y =
⑶两根式：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2
=0的两个实数根，图象与x
轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ） 练习：
1．二次函数(1)(2)y x x =--的一般式是 ，二次项系数，一次项系数，常数项分别是 。
2、抛物线()2
1252
y x =--+的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向_____。
3、抛物线2
ax y =经过点（3，5），则a = ；
4、抛物线如图所示：当x = 时，y =0，当x 时， y >0；当x 时，y <0；
5、函数 y ＝x 2
＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝ 。
6、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，∵a , ∴当 x ＝ 时，y 有最 值是 。
7、函数 y ＝12
(x －1)2
＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大, 当 x
时，函数值 y 随 x 的增大而减小。
8、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －m)2
＋k 的形式，则 y ＝ 。
9、若点 A ( 2, m) 在函数 y ＝x 2－1 的图像上，则 A 点的坐标是 。
10、抛物线 y ＝2x 2＋3x －4 与 y 轴的交点坐标是 。
11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
。
2、2ax y =的图象 2
)(m x a y +=的图象
k m x a y ++=2
)(的图象
1、将抛物线 y ＝2x 2
向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 。
2、把抛物线y=3x 2
先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是
3、把抛物线y ＝
122
12
-+x x 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位的2
3212--=
x x y 。
三、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和性质
练习：
1、请研究二次函数2
3
212++-
=x x y 的图象和性质：
⑴开口方向：
⑵对称轴：
⑶顶点坐标：
⑷图象与x 轴的交点坐标：
⑸图象与y 轴的交点坐标：
⑹图象与y 轴的交点关于对称轴的对称点的坐标： ⑺用五点法画函数的草图
⑻求这个函数的最值，当x= 时， ⑼当 时；y=0，当 时，y>0；当 时，y<0。
⑽图象的平移： ⑾图象在x 轴上截得的线段的长是：
⑿求图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积：
⒀根据图像回答：当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小。
⒁求该函数关于x 轴对称的函数解析式： 求该函数关于y 轴对称的函数解析式： 求该函数关于原点对称的函数解析式： 求该函数绕顶点旋转180度的函数解析式：
2、求满足下列条件的二次函数解析式
⑴图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）。
⑵图象与x轴的交点的横坐标为-2和1，且过点（2，4）。
=3，且过点（1，-3）。
⑶当x=2时，y
最大值
3、已知抛物线y=x2+ax+a-2.
(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)求这两个交点间的距离(用关于a的表达式来表达);
(3)a取何值时,两点间的距离最小?
4、如图2-4-20，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交
过点B、D．（1）求D点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根
据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．
图2-4-20。