初二数学精讲教案及模拟试题--梯形

A D E B C
6. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AE∥DC，AB＝6cm，则 AE＝__________cm.
A
D
B
E
C
*7. 已知菱形 ABCD 的面积是 12cm2，对角线 AC＝4cm，则菱形的边长是__________cm；等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm，∠C＝60°，则梯形的腰长是__________cm． 三、解答题 1. 已知：如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＞CD，AD＝BC，BD 平分∠ABC，∠A＝60°，梯形 周长是 20cm，求梯形的各边长．
*2. 梯形的两底分别为 16cm 和 8cm，同一底边上的两个角分别为 60°和 30°，则较短的腰长为（
3. 如图所示，有一张一个角为 60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（ A. 邻边不等的矩形 C. 有一个角是锐角的菱形
60°
4. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，CA 平分∠BCD，CD＝5，则 AD 的长是（ A. 6 B. 5 C. 4
二、学习重点和难点
重点是探究等腰梯形的特征及识别；难点是灵活把梯形分割成熟悉的图形，并借助熟悉的图形特征与识别来解 决问题．
三、金典题例：
例 1. 平行四边形是不是特殊的梯形？为什么？ 分析：平行四边形的两组对边分别平行，而只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形才是梯形． 解：不是，因为一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，而平行四边形的两组对边分别平行． 评析：忽视“另一组对边不平行”这一条件是常犯的错误． 例 2. 如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 是 BC 延长线上的点，且 CE＝AD，试判断△BDE 的 形状，并说明理由．
D E C D E C
A
B G F ①
A
B G F ②
分析：要说明四边形 GBCE 是等腰梯形，只需 BC＝GE，可以考虑把 BC 和 GE 转化成两全等三角形的对应边，或 平行四边形的对边，或等腰三角形的两腰，等，或用其他中间线段代换． 解： （1）因为四边形 ABCD 是直角梯形， 所以∠A＝∠ADC＝90° 由折叠知∠DEF＝90°，AD＝DE． 所以四边形 ADEF 是正方形． （2）连结 DG，因为 G 是 AF 的中点， 在△ADG 和△FEG 中， AD＝FE，∠A＝∠EFG＝90°，AG＝FG， 所以△ADG≌△FEG，所以 DG＝EG．
D C
A
B
2. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B•的度数．
A D
B
C
3. 如图，E、F 是梯形 ABCD 的两底 AD、BC 的中点，且 EF⊥BC，•试说明梯形 ABCD 是等腰梯形．
第5页
A
E
D
B
F
C
**4. 已知：如图所示，梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＋CD＝BC，M 是 AD 的中点，说明：BM⊥CM．
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例 5. 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD＝BC，AC、BD 相交于点 O．试 说明 CO＝CD.
A O B C D
E
F
分析：由图中可以看出 CO、CD 在同一个三角形中，因此只需求出∠CDO＝∠DOC，利用等角对等边就可得出 CO ＝CD. 解：分别过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，DF⊥BC，垂足为 F． 因为 AD∥BC，所以 AE＝DF． 因为∠BAC＝90°，AB＝AC， 1 所以∠ACB＝45°，AE＝EC＝DF＝ BC. 2 因为 BC＝BD，所以∠BDC＝∠BCD， 1 所以 DF＝ BD，所以∠DBC＝30°． 2 180°－∠DBC 所以∠BDC＝ ＝75°，∠DOC＝∠ACB＋∠DBC＝75°， 2 所以∠BDC＝∠DOC，所以 CO＝CD. 评析：本题考查的知识点有：①等边对等角和等角对等边；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③平行线 间的距离处处相等． 例 6. 如图①，在直角梯形纸片 ABCD 中，AB∥DC，∠A＝90°，CD＞AD，将纸片沿过点 D 的直线折叠， 使点 A 落在边 CD 上的点 E 处，折痕为 DF．连接 EF 并展开纸片． （1）判断四边形 ADEF 的形状； （2）取线段 AF 的中点 G，连接 EG，如果 BG＝CD，试说明四边形 GBCE 是等腰梯形．
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在直角梯形 ABCD 中，BG＝CD， 所以四边形 BCDG 是平行四边形，所以 DG＝BC， 所以 EG＝BC. 所以四边形 GBCE 是等腰梯形． 【方法总结】 1. 本节学习了梯形、等腰梯形和直角梯形的有关概念以及梯形和等腰梯形的特征，在学习过程中注意它们之 间的区别． 2. 掌握解决有关梯形问题中经常引辅助线的方法．如图所示：
A D
B
C
E
分析：由等腰梯形 ABCD 易知 AC＝BD，由 CE∥AD 且 CE＝AD 可得四边形 ACED 是平行四边形，则 AC＝DE， 问题得以解决．
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解：△BDE 是等腰三角形．理由： 因为 AD∥CE，AD＝CE， 所以四边形 ACED 是平行四边形， 所以 AC＝DE． 又因为四边形 ABCD 是等腰梯形， 所以 AC＝BD， 所以 BD＝DE，所以△BDE 是等腰三角形． 评析：DE 可以看作是由 AC 平移得到的，在梯形中，我们常利用平移，轴对称的思想解决问题． 例 3. 如图所示，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，过点 C 作 CE⊥AC 且与 AB 的延长线交于点 E，试说明四 边形 AECD 是等腰梯形．
） C. 3∶2
M A E
D. 2∶3
D C N B
二、填空题 1. 等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是________． 2. 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，若∠B＝50°，∠C＝80°，则∠D＝_______，•∠A＝________．
A D

C
3. 等腰梯形有一角为 120•°，•腰长为 3cm，•一底边长为 4cm，•则另一底边长为_______． 4. 梯形的上下底长分别是 2cm 和 7cm，一腰长为 3cm，则另一腰 x•的长度的取值范围是_________． *5. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，E 为 CD•的中点，•四边形 ABED 的周长与△ BCE 的周长相差 2，则 AB 的长为_________．
E A B (1) D C
B A E (2) D C
A B
D C (3)
E
B
A
D C (4)
A B
D E
B
A
D F (6) C
A B
M
D C
C (5)
E
N (7)
模拟试题：
一、选择题 1. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的 3 倍，则一个底角是（ A. 30° A. 8cm B. 45° B. 6cm C. 60° C. 4cm B. 等腰梯形 D. 正方形 D. 75° ） ） D. 3cm ）
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D C
A
B
E
分析：显然 CD∥AE，只要说明 AD＝CE 就能得出四边形 AECD 是等腰梯形．而 AD＝BC，问题就转化成了证明 △BCE 的两边长相等． 解：在菱形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝60°， 所以∠CAB＝30°，∠CBE＝60°． 又 CE⊥AC，所以∠E＝60°， 所以△CBE 是等边三角形，所以 CE＝CB＝AD. 又 DC∥AB， 所以四边形 AECD 是等腰梯形． 例 4. 如图所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝80°，∠C＝50°，BC＝10cm，AD＝4cm，试求 AB 的长．
A
）
D. 3
D
B
C
5. 下列四边形：①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（ A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ②③
）
**6. 如图，设 M，N 分别是直角梯形 ABCD 两腰 AD，CB 的中点，DE⊥AB 于点 E，将△ADE 沿 DE 翻折，
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M 与 N 恰好重合，则 AE∶BE 等于（ A. 2∶1 B. 1∶2
初二数学：
一、知识要点
1. 梯形的定义
梯 形
（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． （2）一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形． （3）两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
A D A C D A D
B
E
B
C B
C
2. 梯形的识别 （1）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形． （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形． 3. 等腰梯形的性质 （1）等腰梯形同底上的两个内角相等． （2）等腰梯形的对角线相等． （3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是通过两底边中点的直线，不是中心对称图形． 4. 等腰梯形的识别 （1）两腰相等的梯形是等腰梯形． （2）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
A D
B
E
C
分析：过点 D 作腰 AB 的平行线，将梯形 ABCD 分割为平行四边形 ABED 和△DEC，利用平行四边形、三角形的 知识解决． 解：过点 D 作 DE∥AB，交 BC 于点 E，则四边形 ABED 为平行四边形． 由 DE∥AB，可得∠DEC＝∠B＝80°． 又∠C＝50°，则∠EDC＝180°－∠DEC－∠C＝50°， 所以∠C＝∠EDC，所以 DE＝EC. 由四边形 ABED 为平行四边形，可得 AB＝DE，BE＝AD＝4cm， 所以 EC＝BC－AD＝6cm，从而有 DE＝6cm，所以 AB＝DE＝6cm． 评析：解决梯形问题的基本思路是将梯形转化为三角形或平行四边形加以解决，本例采用了平移一腰 AB 的方法， 还可以采用平移另一腰 CD 来解决，更简单．