《误差理论与测量平差基础教学课件》第六讲05-22页精选文档
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第6章 误差理论与测量平差基础
准确度(Accuracy):描述测量成果中系统误差与随机误差大 小,体现观测结果与真值的偏差。 精密度(Precision):描述测量成果中随机误差大小,体现观测结 果在其平均值周围的分布状况。 果在其平均值周围的分布状况 可靠度(Reliability):描述测量成果中系统误差与粗差大小,体 现观测结果均值与真值偏离程度。
一、测量误差的种类
（一）观测类型
1、测量与观测 2、观测条件
① 人（观测者） ② 仪器（工具） ③ 外界条件。
3、观测类型
①直接观测与间接观测（直接观测值与间接观测值） ②独立观测与非独立观测 ③必要观测与多余观测 ④等精度观测与非等精度观测
2013年5月15日星期三5 时17分36秒 5/60
第六章 测量误差及数据处理的基本知识 （二）测量误差的定义
20/60
2013年5月15日星期三5 时17分36秒
第六章 测量误差及数据处理的基本知识
准确度：观测值与真值的靠近程度，主要取决于系统误差； 精密度：观测值的密集（离散）程度 简称精度 主要取决于偶然 精密度：观测值的密集（离散）程度，简称精度，主要取决于偶然 误差。用此来评价某组观测值质量的优劣。
10/60
第六章 测量误差及数据处理的基本知识
例6 1：对某段距离观测了6次，观测值为 例6-1：对某段距离观测了6次 观测值为 ：10.003、 ：10 003 10.005、9.998、9.989、10.010、9.995m。
误差不可避免，那么如何处理？ 怎样来衡量其精度大小呢？
如何取值作为该距离的最终值？其精度又如何?
学习目标
了解测量 差 生原因； 了解测量误差产生原因； 熟练掌握系统误差和偶然误差的特点及处理方法； 掌握评定精度的三个指标，即中误差、相对误差、容许误 掌握评定精度的三个指标 即中误差 相对误差 容许误 差； 学会误差传播定律在测量中的应用；掌握简单数据处理和 精度评定。
误差理论和测量平差 第六讲
国土信息与测绘工程系教案（首页）班级：课程：误差理论与测量平差授课日期：年月日第周A.提出问题，导入新课观测必然有误差，衡量观测数据精度的指标有：方差和协方差、平均误差、或然误差、相对误差、限差等概念外，还有权、协因素（权倒数）本次课程的内容：权与定权的常用方法、协因素传播定律。
B.授课章节名称：§3.4 权与定权的常用方法，§3.5 协因素传播定律教学要点：1、权和协因素的基本概念2、协因素和协因素阵传播定律重点：1、权、确定权的常用方法2、单位权方差难点：1、权和方差的关系、单位权方差的作用2、权阵、方差阵、协因素阵的关系C.教学过程设计权的概念单位权方差和单位权中误差确定权常用的方法协因素和协因素阵的基本概念协因素和协因素阵的传播定律一些需要注意的问题 课堂习题 作业题布置第六讲同学们,我们上一节课学习了误差传播定律在大地测量具体问题中的一些应用，例如：菲列罗公式、算术中数的中误差、水准测量高差的中误差、三角高程测量的中误差、若干独立误差联合影响的中误差、限差的确定、交会点的精度等。
本次课将学习误差理论的另一个重要内容：权、协因素和协因素传播定律。
§3.4 权与定权的常用方法一定的测量条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的方差。
在实际测量中可通过各观测值方差之间的比例关系来表征精度，这就是权的概念。
一、权的定义设有一系列观测值i L ),,2,1(n i =，它们的方差是2i σ),,2,1(n i =，如果选定任意常数20σ，则观测值i L 的权定义为：220ii p σσ=，),,2,1(n i =根据权的定义，可知各观测值权之间的比例关系是：2222122022202120211::1:1::::::nn n p p p σσσσσσσσσ ==可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，这表明方差越小其权约大，或者说精度越高其权越大。
《误差理论与测量平差》课件
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
二、参数估计方法 （1）矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样 函数的估计。 1 x 子样均值 n x 是母体数学期望的最优无偏估计，它是子 样的一阶原点矩。 矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。
n i 1 i
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
参数估计的优劣进行评价是按以下三个方面来进行的 为 的无 (1)无偏性：设 为参数 的估计量，若 E ( ) ，则 偏估计。
1 E ( x ) E ( x1 ) E ( x2 ) ... E ( xn )} n x X ~ N ( , )
dV
ˆ
得极值点 V P 1 AT K
（利用 P P T）
第四讲 平差方法——条件平差
3、将V代入条件方程AV+W=0 得 AP1 AT K W 0
Na K W 0
K Na 1W
4、 5、
V P1 AT K QAT K
ˆ L V L
第四讲 平差方法——条件平差
（2）最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参 数估计方法。 设母体的分布函数为f（x;θ），θ 为未知参数， 对 χ 抽得到的子样为（ x1，x2，…xn），则 χ 落在 χi（1≤i≤n） 邻域 dx 上的概率为 f（xi;θ）dx，因子样观测值互相独 立，所以子样观测值同时出现的概率为
P f ( x1 ; ) f ( x2 ; )... f ( xn ; )(dx) f ( xi ; ) (dx) n
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
平差原则和任务 平差的原则： ①估计的无偏性、有效性、一致性； ②最大概率原则； ③最小二乘法则。 平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验， 按一定的准则 —— 最小二乘原理，求出数学模型中待 定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。
误差理论与测量平差讲解
河南城建学院测绘与城市空间信息系课程设计报告设计名称学生学号学生班级学生姓名专业指导教师时间 2012.12.24 至2012.12.28 2012年月日目录1、课程设计的目的 (2)2、课程设计题目内容描述和要求 (2)2.1 高程控制网： (2)2.2 平面控制网： (3)3、课程设计报告内容 (5)3.1 高程控制网条件平差 (5)3.2 高程控制网间接平差 (9)3.3 平面控制网间接平差 (13)4.程序验证(用平差程序计算，并列表比较分步手算与程序计算结果) (20)5.总结 (20)1、课程设计的目的《测量平差》是一门理论与实践并重的课程，测量平差课程设计是测量数据处理理论学习的一个重要实践环节，是在我学习了专业基础理论课《误差理论与测量平差基础》课程后进行的一门实践课程，其目的是增强我对测量平差基础理论的理解，牢固掌握测量平差的基本原理和公式，熟悉测量数据处理的基本原理和方法，灵活准确地应用于解决各类数据处理的实际问题，并能用所学的计算机基础知识，编制简单的计算程序。
通过课程设计，培养了我运用本课程基本理论知识和技能，分析和解决本课程范围内的实际工程问题的能力，加深对本课程理论的理解与应用。
2、课程设计题目内容描述和要求2.1 高程控制网：总体思路：现有等级水准网的全部观测数据及网型、起算数据。
要求对该水准网，分别用条件、间接两种方法进行严密平差，并进行平差模型的正确性检验。
水准网的条件平差：①列条件平差值方程、改正数条件方程、法方程；②利用自编计算程序解算基础方程，求出观测值的平差值、待定点的高程平差值；③评定观测值平差值的精度和高程平差值的精度。
④进行平差模型正确性的假设检验。
水准网的间接平差：①列观测值平差值方程、误差方程、法方程；②利用自编计算程序解算基础方程，求出观测值的平差值、待定点的高程平差值；③评定观测值平差值的精度和高程平差值的精度。
④进行平差模型正确性的假设检验。
测量平差基础课件——误差传播定律
§1-4精度和衡量精度的指标
二、衡量精度的指标
2. 平均误差
在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。
以 表示 。
E( ) f ()d Fra biblioteklim n n
ˆ n
平均误差与中误差的关系：
1.253 5
2
4
2 0.7979 4
5
所以 也可以作为衡量精度的指标。 2020/6/11 19
E() E(内E。(L) L)
E(L) E(L) 0
12
§1-3偶然误差的规律性
二、偶然误差的表示方法
1.表格法：见上页 2.直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以 区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 3.误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方 条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分 布曲线，或称为误差分布曲线。
0.495
1.在一定的观测备条注 件下， 误vi差/ n 的绝对值有一定的 限d值 ，或者说，超出一
定 的00..概限05率67值45为的零误d。=差0，.0其2″出现
20..绝46对0值较小的误差比
绝 的 3差0000.....概 出对绝2210率 现9287值对5500大 的较值。概大相率等间值的等相误的于左的同差正。出负区端误现误 40.偶.0然30误差的差数学算期望入为 零0，.0即00： 该 区 间
N
表
例[1-1] 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问：这两段距离的 真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？
《测量平差基础》课件
平差模型
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
第六讲误差理论(共20张PPT)
系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不 完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定 钢尺的实际长度为50.005 m，则每量尺，就带有+0.005 m的 误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多， 所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。
第3页，共20页。
上式是误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特 例，所以该式具有普遍意义。
第16页，共20页。
第六章 测量误差的基本知识
3-4 算术平均值及其中误差 在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，其
观测值分别为l１、 l２、…、ln，观测值的真值为X，则观测值的真误差为：Δ１＝ l１－Ｘ, Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，将等式两边取和并除以观 测次数n,得：
利用“改正数”来求中误差。所谓改正数，就是最或是值 与观测值之差，用v表示，即：
v=x-l
式中v为观测值的改正数；l为观测值；x为观测值的最或是 值。
设对某个量进行n次观测，观测值为li（i=1,2…n)，则它的 最或是值就是n个观测值的算术平均值，即
于是改正数为vi＝x－lI （i＝１，２…n）根据误差理
第7页，共20页。
第六章 测量误差的基本知识
3-2 衡量精度的指标
测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，使用 “精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精度，就是指误差分 布的密集或离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反 之，误差分布离散，误差就大，精度就低。 一、 中误差及其计算 1 中误差的定义
倍。
在式相中同 ［的l］观/n测称条为件算下术，平对均某值量，进习行惯了上n以次x表观示测；，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
第3页，共20页。
上式是误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特 例，所以该式具有普遍意义。
第16页，共20页。
第六章 测量误差的基本知识
3-4 算术平均值及其中误差 在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，其
观测值分别为l１、 l２、…、ln，观测值的真值为X，则观测值的真误差为：Δ１＝ l１－Ｘ, Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，将等式两边取和并除以观 测次数n,得：
利用“改正数”来求中误差。所谓改正数，就是最或是值 与观测值之差，用v表示，即：
v=x-l
式中v为观测值的改正数；l为观测值；x为观测值的最或是 值。
设对某个量进行n次观测，观测值为li（i=1,2…n)，则它的 最或是值就是n个观测值的算术平均值，即
于是改正数为vi＝x－lI （i＝１，２…n）根据误差理
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第六章 测量误差的基本知识
3-2 衡量精度的指标
测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，使用 “精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精度，就是指误差分 布的密集或离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反 之，误差分布离散，误差就大，精度就低。 一、 中误差及其计算 1 中误差的定义
倍。
在式相中同 ［的l］观/n测称条为件算下术，平对均某值量，进习行惯了上n以次x表观示测；，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
误差理论与测量平差基础间接平差.pptx
2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
第5页/共48页
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立
（1）、水准网
在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差
值作为待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 Xˆ数1 关Hˆ系E , 。Xˆ 2如 图Hˆ F，选
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合
的误差方v程i 为aˆ：0 aˆ1xi aˆ2 xi2 aˆ3 xi3 yi
b、曲面拟合
曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。 将地H面i 视 为a0 一 a个1x连i 续a2的yi 曲 a面3 x，i2 则a高4 yi程2 可a5表xi y达i 为平面 坐标的函数，且可用多项式表达为：
有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是
选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即
t=2m 。一般地，边长观测值可由下图表示，于是
k
有：
Si
j
vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2 Si
第15页/共48页
例如在下图，我们选 Xˆ1 Xˆ C , Xˆ 2 YˆC , Xˆ 3 Xˆ D , Xˆ 4 YˆD
教材：7－5 习题：7.2.16
第17页/共48页
（5）、导线网
导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m
（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边
长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和
边长误差方程两类。
vi ˆik ˆij arctan
可Yˆk以先Yˆi Xˆ k Xˆ
列角度误 arctan
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3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立
（1）、水准网
在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差
值作为待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 Xˆ数1 关Hˆ系E , 。Xˆ 2如 图Hˆ F，选
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合
的误差方v程i 为aˆ：0 aˆ1xi aˆ2 xi2 aˆ3 xi3 yi
b、曲面拟合
曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。 将地H面i 视 为a0 一 a个1x连i 续a2的yi 曲 a面3 x，i2 则a高4 yi程2 可a5表xi y达i 为平面 坐标的函数，且可用多项式表达为：
有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是
选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即
t=2m 。一般地，边长观测值可由下图表示，于是
k
有：
Si
j
vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2 Si
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例如在下图，我们选 Xˆ1 Xˆ C , Xˆ 2 YˆC , Xˆ 3 Xˆ D , Xˆ 4 YˆD
教材：7－5 习题：7.2.16
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（5）、导线网
导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m
（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边
长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和
边长误差方程两类。
vi ˆik ˆij arctan
可Yˆk以先Yˆi Xˆ k Xˆ
列角度误 arctan
误差理论与测量平差第六次课
s ,s s ,r r ,r r ,s
DZW
DZW E[(Z E( Z ))(W E(W ))T ]
E[( KX K x )( FY F y )T ] KE[( X x )(Y y )T ] F T
T T DZW KDXY F T DWZ DZW FDYX K
DYZ
DYZ E[(Y E(Y ))(Z E(Z ))T ]
E[(FX Fx )(KX Kx )T ]
DYZ FDxx K T
FE[( X x )( X x )T ] K T
T DZY DYZ KDxx F T
Y关于Z的互 协方差阵
§ 3-2 协方差传播律
1 1
T DYX DXY
D XX
2 X 1 X X 2 1 X n X1
X X 2 X
1 2
2
X
nX2
2 Y X1 X n 1 X2Xn Y2Y1 D YY 2 X n Y Y
DXY
x1 yr x 2 yr
xnyr
T DXY E((X E( X ))(Y E(Y ))T ) DYX
若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测向量。
§ 3-2 协方差传播律
• 观测值线性函数的方差
[ X1, X 2 ,... X n ]T 已知 X n,1
例1-5：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角 L1、L2、L3，其中误差为 ˆ 、L ˆ 、L ˆ 的协方差阵。 试将三角形闭合差平均分配后的各角 L 1 2 3
分析： 一、提取信息：
（1）”同精度独立观测“
DZW
DZW E[(Z E( Z ))(W E(W ))T ]
E[( KX K x )( FY F y )T ] KE[( X x )(Y y )T ] F T
T T DZW KDXY F T DWZ DZW FDYX K
DYZ
DYZ E[(Y E(Y ))(Z E(Z ))T ]
E[(FX Fx )(KX Kx )T ]
DYZ FDxx K T
FE[( X x )( X x )T ] K T
T DZY DYZ KDxx F T
Y关于Z的互 协方差阵
§ 3-2 协方差传播律
1 1
T DYX DXY
D XX
2 X 1 X X 2 1 X n X1
X X 2 X
1 2
2
X
nX2
2 Y X1 X n 1 X2Xn Y2Y1 D YY 2 X n Y Y
DXY
x1 yr x 2 yr
xnyr
T DXY E((X E( X ))(Y E(Y ))T ) DYX
若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测向量。
§ 3-2 协方差传播律
• 观测值线性函数的方差
[ X1, X 2 ,... X n ]T 已知 X n,1
例1-5：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角 L1、L2、L3，其中误差为 ˆ 、L ˆ 、L ˆ 的协方差阵。 试将三角形闭合差平均分配后的各角 L 1 2 3
分析： 一、提取信息：
（1）”同精度独立观测“
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m仪 3".0
m读6".0
m照 2".4 m外 3".0
m 方m 仪 2 m 照 2 m 读 2 m 外 2
3 " .0 2 2 " .4 2 6 " .0 2 3 " .0 2 7 " .7
第六讲 误差传播律在测量中的应用
6、极限误差的确定
极限误差是真误差的最大允许值； 通常取2或者3倍中误差作为极限误差的值。
第六讲 误差传播律在测量中的应用
2、一个量独立等精度观测算术中数中误差
mx
m n
n1
4
10
30
100
mx 1.0m 0.5m 0.32m 0.18m 0.1m
提高算术中数精度的关键是提高观测值的精 度，而不能单纯的依靠增加观测次数！
第六讲 误差传播律在测量中的应用
3、水准测量的精度
标尺
标尺
hab
mh K S
水准测量高差中误差与水准 路线长度的平方根成正比。
K的含义：当S＝1时
mh K
说明：K是单位距离高差的中误差。水准测量高
差中误差等于单位距离观测高差中误差与水准
路线全长的平方根之积 。
第六讲 误差传播律在测量中的应用
4、三角高程测量的精度
测站和照准点间的高差为
h S ta n i a
2、Some forms about the UVAM XYBT
第六讲 误差传播律在测量中的应用
1、测角中的应用（菲列罗公式） 2、算术中数中误差计算 3、水准测量的精度 4、三角高程测量精度 5、若干独立误差的联合影响 6、限差的确定
第六讲 误差传播律在测量中的应用
mW
WW
n
m WW
3n
第六讲 误差传播律在测量中的应用
1、菲列罗公式
m WW
3n 作用：三角网中，可根据三角形闭合差（真误差），计
算测角中误差
第六讲 误差传播律在测量中的应用
2、一个量独立等精度观测算术中数中误差
设一个量独立等精度观测值L1，L2…,Ln，中误差m。 其算术中数为
xn 1L1L2Ln
仪器
读数 a
b 读数
高差
第六讲 误差传播律在测量中的应用
3、水准测量的精度
A、B两点间的高差为 h H B H A h 1 h 2 h n
水准测量中各测站间距离大致相等，因此各高 差观测值可视为等精度，中误差为m，于是
mh nm
B
A
第六讲 误差传播律在测量中的应用
3、水准测量的精度
1、菲列罗公式
观测值：三角网中的三角形内角（独立），中误差m
由内角可计算n个三角形的闭合差：
W 1, W 2, , W n W i A i B i C i 1 8 i 1 0 , 2 , , n
应用误差传播定律
m W 2m A 2m B 2m C 23 m 2
闭合差为真误差，于是
m mW 3
X的中误差为
m x 2 (n 1 )2 m 2 (n 1 )2 m 2 (n 1 )2 m 2 n 1 m 2
mx
m n
第六讲 误差传播律在测量中的应用
2、一个量独立等精度观测算术中数中误差
mx
m n
即
算术中数的中误差是观测值中误差的 1 / n倍；
算术中数的精度高于观测值的精度，而且，我 们还可以证明，算术中数是线性估计中的最小 方差估计
第六讲 误差传播律在测量中的应用
4、三角高程测量的精度
三角高程测量中，一般采用对向观测，此时， 两点间的高差等于对向观测得到的两个高差 取中数，其精度
h中(h12h21 )/2
m h中
mh 2
第六讲 误差传播律在测量中的应用
5、若干独立误差的联合影响
偶然误差由若干个相互独立的误差源组成的， 这时测量误差是各个小误差的代数和
第五讲 方差协方差矩阵的传播(复习)
上节课内容回顾：
1、Errors Propagation: is the process of evaluating the errors in estimated quantities (Z) as functions of the error in the measurements (L)
距离S的中误差远小于测角中误差，可忽略不
计，垂直角a一般小于5度，可认为 sec1
mh2
S2(m
)2
mh
S
m
第六讲 误差传播律在测量中的应用
4、三角高程测量的精度
mh
S
m
三角高程测量中，单向高差中误差，等于以弧 度表示的测角中误差乘以两三角点间的距离；
当垂直角观测精度一定时，三角测量所得高差 中误差与三角点间距离成正比。
z 1 2 n 由于这些小误差独立且是随机的，因此
m z 2m 1 2m 2 2 m n 2
第六讲 误差传播律在测量中的应用
5、若干独立误差的联合影响
例，航外测量中，方向观测误差是由仪器误
，
差、照准误差、读数误差以及外界条件变化
，
引起的误差组成的，即
，
方 仪 照 读 外
对应的中误差大小为 则方向观测中误差为
例，已知测角中误差 1".0，求三角形闭合差限差。
WL 1L2L318 0 m W 2 m 2 m 2 m 2 3 m 2 mW 3m1."73 W 限 2 m W 2 ( 1 .7 " ) 3 3 .5 "
第六讲 误差传播律在测量中的应用
6、极限误差的确定
例 2 ： 已 知 用 T 3 经 纬 仪 观 测 每 一 方 向 的 中 误 差 为 1 " .2， 设 归 零 差 为 d ， 两 次 照 准 零 方 向 的 观 测 值 为 L 1 和 L 1 ' ， 求 归 零 差 的 极 限 误 差 。
a（标高）
α
S（平面边长）
i（仪器高）
h（高差）
第六讲 误差传播律在测量中的应用
4、三角高程测量的精度
测站和照准点间的高差为
h S ta n i a
不考虑i和a的误差，求h的中误差
m h 2( S h)2m S 2( h)2m 2
(ta )2 m n S 2 (S s2 e)2 c m 2
mh nm
水准测量高差中误差是测站中误差的 n 倍。
设站间距离为s，AB测段间距离为S，因为站间
距离大致相等，于是
Sns
K m s
n S s
mh K S
mh
Sm m
s
s
S
水准测量高差中误差与水准
路线长度的平方根成正比。
第六讲 误差传播律在测量中的应用
3、水准测量的精度
mh nm
水准测量高差中误差与测站 总数的平方根成正比。
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