2018版高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式学业分层测评北师大版

3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列试验中是古典概型的有( ) A ．种下一粒大豆观察它是否发芽

B ．从规格直径为(250±0.6)mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d

C ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面的情况

D ．某人射击中靶或不中靶

【解析】 A 中基本事件“发芽”与“未发芽”不是等可能发生的，B 中试验的基本事件有无数个，D 中“中靶”与“不中靶”也不是等可能发生的，因此A ，B ，D 都不是古典概型．故选C.

【答案】 C

2．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是( )

A.2

5 B ．45 C.15

D.34

【解析】 从5个点中取3个点，列举得ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，

BDE ，CDE 共有10个基本事件，而其中ACE ，BCD 两种情况三点共线，其余8个均符合题意，

故能构成三角形的概率为810＝4

5

.

【答案】 B

3．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( ) A.38 B ．23 C.13

D.14

【解析】 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为3

8

.

【答案】 A

4．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段

能构成一个三角形的概率是( )

A.14 B ．13 C.12

D.25

【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共4个，其中能构成一个三角形的有(3,5,7)，共1个，则所求概率为1

4

.

【答案】 A

5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )

A.3

10 B ．15 C.110

D.120

【解析】 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为1

10

.故选C.

【答案】 C 二、填空题

6．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．

【解析】 三张卡片的排列方法有EEB ，EBE ，BEE ，共3种．且等可能出现，则恰好排成英文单词BEE 的概率为1

3

.

【答案】 1

3

7．从集合{a ，b ，c ，d }的子集中任取一个，这个集合是集合{a ，b ，c }的子集的概率是________．

【解析】 集合{a ，b ，c ，d }的子集有∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，

d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{b ，c ，d }，{a ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }，共16个，{a ，b ，c }的子集有∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，共8个，故所求概率为12

.

【答案】1 2

8．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．

【解析】用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，

共15种，其中都是女同学有3种，故所求的概率为3

15＝

1

5

.

【答案】1 5

三、解答题

9．一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．

(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；

(2)若乘客P155号座位的概率．

【解】(1)余下两种坐法如下表所示：

(2)若乘客P1

设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 所以P (A )＝48＝1

2

.

即乘客P 5坐到5号座位的概率是1

2

.

10．袋中有5张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号为1,2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

【解】 (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，

D )，(A ，

E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，

D )，共3种．

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310

.

(2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为： (A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，

D )，(C ，

E )，(C ，

F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为： (A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种． 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为8

15

.

[能力提升]

1．设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )

A.1

2 B ．512 C.13

D.14