基本不等式高考题练习 菁优网
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
基本不等式 基础练习题
解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0 ∴
=
当且仅当a﹣b=
时取等号 故答案为
点评： 本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思 想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）
15．（2014•江西一模）设x、y均为正实数，且
解：∵x∈（0，3）， ∴函数y=
+
≥
=3，当且仅当
，即x=1时取等号． ∴函数y=
+
的最小值为3． 故答案为：3．
点评： 本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．
7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大
值为 2 ．
考点：
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解答：
，代入要求的式子，由基本不等式可得． 解：∵xy=1，∴y=
∴x2+2y2=x2+
≥2
=2
，
当且仅当x2=
，即x=±
时取等号， 故答案为：2
点评： 本题考查基本不等式，属基础题． 10．（2014•德州一模）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则
的最小值为 3 ．
考点： 专题： 分析：
解答：
，
∵x，y∈R+，
∴4x+y=
+ ≥3
=6，当且仅当x=
，y=4时取等号． ∴4x+y的最小值为6． 故答案为：6．
点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
9．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2
高中数学基本不等式习题
高二数学（必修5）不等式测试题一、选择题：1、若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a2、函数)12lg(21)(-+-=x xx f 的定义域为 （ ）A ．),21(+∞B ．)2,21(C ．)1,21(D ．)2,(-∞3、已知01<<-a ，则 （ ） A ．a aa 2212.0>⎪⎭⎫ ⎝⎛> B ．aaa ⎪⎭⎫ ⎝⎛>>212.02C ．a a a22.021>>⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．aaa 2.0212>⎪⎭⎫ ⎝⎛>4、不等式21≥-xx 的解集为（ ）A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6、已知正数x 、y 满足811xy+=，则2x y +的最小值是 （ ）Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．107、下列命题中正确的是 ( )A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．当0>x ，21≥+xx C ．当20πθ≤<，θθsin 2sin +的最小值为22 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值9、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是 （ ）A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]二、填空题11、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。
12、已知变量y x ,满足约束条件1≤y x +≤4,－2≤y x -≤2。
若目标函数(0)z ax y a =+>仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___________.13、设a ＞0，且a ≠1，函数f (x )=a lg （x 2 －2a +1）有最小值,则不等式log a (x 2－5x +7) ＞0的解集为___________.14、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______ 三、解答题15、已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 216、关于x 的不等式2680kx kx k -++<的解集为空集，求实数k 的取值范围.17、已知正数y x ,满足12=+y x,求yx 11+的最小值有如下解法：解：∵12=+y x 且0,0>>y x .∴242212)2)(11(11=⋅≥++=+xy xyy x y x y x∴24)11(min =+yx. 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．19、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？18、已知函数3222)(a b x a ax x f -++=，当)6()2(∞+--∞∈，， x 时，0)(<x f ；当)62(，-∈x 时，0)(>x f 。
基本不等式套卷 菁优网
基本不等式测试题一、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）1．（4分）已知x为正数，下列求极值的过程正确的是（）A．B．C．D．2．（4分）若a+b=1，恒有（）A ．B．C．a2b2≤16 D．以上均不正确3．（4分）（2009•天心区校级模拟）若x＞0，y＞0且，则xy有（）A ．最大值64 B．最小值C．最小值D．最小值644．（4分）a＞b＞0则的最小值（）A ．1 B．2 C．3 D．45．（4分）（2010春•沈阳校级期中）已知x2+y2=1，则（1﹣xy）（1+xy）有（）A．最大值，最小值1 B．最大值1，最小值C．最小值，无最大值D．最大值1，无最小值6．（4分）（2009•山东模拟）下列函数中，最小值为4的是（）A．B．（0＜x＜π）C．D．y=log3x+4log x37．（4分）已知x，y∈R+，x+y=p，xy=s，有下列命题其中正确命题的序号是（）A．如果s是定值，那么当且仅当x=y时p的值最大B．如果s是定值，那么当且仅当x=y时p的值最小C．如果p是定值，那么当且仅当x=y时s的值最大D．如果p是定值，那么当且仅当x=y时s的值最小二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）8．（5分）x＜0，当x=地，y=4﹣2x﹣的最小值．9．（5分）0＜x＜，当x=时，y=的最大值．10．（5分）某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用的报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可用：．11．（5分）（2009•东城区二模）设x，y∈R+，x+y+xy=3，则x+y的最小值．12．（5分）（2014秋•东海县校级月考）的最小值是．13．（5分）将一块边长为42cm的正方形铁皮剪去四个角（四个全等的小正方形）做成一个无盖铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为cm．14．（5分）某工厂生产机器产品第二年比第一年增长的百分率P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，设年平均增长率为P，且P1+P2+P3为定值，则P的最大值为．三、解答题（共8小题，满分0分）15．①已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求的最小值．②0＜x＜2，求y=x（2﹣x）的最大值．16．求半径为R的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径．17．已知f（x）=（4a﹣3）x+b﹣2a，x∈[0，1]，若f（x）≤2恒成立，求t=a+b的最大值18．例1．x、y、a、b∈R+，a、b为常数，且，求x+y的最小值．19．若直角三角形的内切圆半径为1，求其面积的最小值．20．利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．21．（2012春•雨城区校级期中）某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造间价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．22．（2010春•双峰县校级月考）在某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y 成等比数列；若插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，求证：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．2011年高三数学复习（第5章不等式）：5.3 基本不等式参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）1．（4分）已知x为正数，下列求极值的过程正确的是（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：常规题型．分析：根据基本不等式的性质，依次分析选项，等号成立的条件（必须使各部分可以相等，即等式有解），可得答案．解答：解：根据基本不等式的性质，依次分析选项可得，A、原不等式是三项式，当且仅当x2=2x=时，等号成立，解可得，x无解，原不等式不成立，B、与A类似，要使原不等式成立，必须有2=x=成立．解可得x无解，故B错误；C、y=2+x+，先求（x+）的最小值，进而求y的最小值，符合基本不等式，正确；D、原不等式是三项相乘的形式，必须有x=1﹣x=1﹣2x，分析得无解，故D错误；故选C．点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．2．（4分）若a+b=1，恒有（）A ．B．C．a2b2≤16 D．以上均不正确考点：基本不等式．分析：利用基本不等式和不等式的性质进解答：解：∵a+b=1，∴1=（a+b）2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab，当且仅当a=b=时取等号，∴ab，故选A．点评：本题考查了基本不等式的应用，是高考考查的重点内容之一，对于基本不等式不仅要熟练掌握其结构特征，还要掌握其变形公式及公式的逆用，特别是不等式成立的条件及等号成立的条件．3．（4分）（2009•天心区校级模拟）若x＞0，y＞0且，则xy有（）A ．最大值64 B．最小值C．最小值D．最小值64考点：基本不等式．专题：计算题．分析：和定积最大，直接运用均值不等式≥，就可解得xy的最小值，注意等号成立的条件．解答：解：因为x＞0，y＞0所以≥⇒xy≥64当且仅当x=4，y=16时取等号，故选D点评：本题考查了均值不等式，定理的使用条件为一正二定三相等，利用基本不等式可求最值，和定积最大，积定和最小．4．（4分）a＞b＞0则的最小值（）A ．1 B．2 C．3 D．4考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：本题可为三个数的和，将变为a﹣b+b+，用基本不等式求出最小值．解答：解：∵=a﹣b+b+≥=3，等号当且仅当a﹣b=b=时成立'故应选C．点评：本题考查三元的基本不等式公式，在人教A版本上是超纲内容．答题都答题时先确认自己学过相关公式否..5．（4分）（2010春•沈阳校级期中）已知x2+y2=1，则（1﹣xy）（1+xy）有（）A．最大值，最小值1 B．最大值1，最小值C．最小值，无最大值D．最大值1，无最小值考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：已知和是定值，凑式子为积形式，利用基本不等式求最值解答：解：（1﹣xy）（1+xy）=1﹣x2y2∵x2+y2=1∴x2y2≤（）2=当且仅当x2=y2=取等号∴1﹣x2y2≥又∵x2y2≥0∴1﹣x2y2≤1∴（1﹣xy）（1+xy）的最小值为，最大值为1故选项为B．点评：考查基本不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b是任意实数，a+b≥2使用条件a，b都是正数．6．（4分）（2009•山东模拟）下列函数中，最小值为4的是（）A ．B．（0＜x＜π）C ．D．y=log3x+4logx3考点：基本不等式．专题：证明题．分析：通过给变量取特殊值，举反例可得选项A、D不正确，故可排除掉．对于选项B，使用基本不等式时，等号成立的条件不具备，故排除．剩下的一个选项可用基本不等式进行证明．解答：解：当x＜0时，＜0，故选项A显然不满足条件．当0＜x＜π时，sinx＞0时，≥4，当且仅当sinx=2时取等号，而sinx=2不可能，故有y＞4，故选项B不满足条件．当log3x＜0时，y=log3x+4logx3＜0，故选项D不满足条件．∵e x＞0，∴e x+≥2=4，当且仅当e x=2时，等号成立，故只有C满足条件，点评：本题考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．7．（4分）已知x，y∈R+，x+y=p，xy=s，有下列命题其中正确命题的序号是（）A ．如果s是定值，那么当且仅当x=y时p 的值最大B ．如果s是定值，那么当且仅当x=y时p 的值最小C ．如果p是定值，那么当且仅当x=y时s 的值最大D ．如果p是定值，那么当且仅当x=y时s 的值最小考点：基本不等式．分析：利用均值不等式及其变形进行解答．解答：解：∵x，y∈R+，x+y=p，xy=s，∴p=x+y≥2=2①，，当且仅当x=y时取等号；∴如果s是定仅当x=y时p的值最小，故A错误，B正确；由①得，s≤=，当且仅当x=y时取等号；∴如果p是定值，那么当且仅当x=y时s的值最大，故C正确，D错误．故答案为B、C．点评：应用基本不等式时，要熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）8．（5分）x＜0，当x=﹣地，y=4﹣2x﹣的最小值4+2．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意利用基本不等式求出﹣2x﹣的最小值，并求出取最小知时的x的值，再求出y的最小值．解答：解：∵x＜0，∴﹣2x＞0，﹣＞0，由基本不等式得，﹣2x﹣≥2，当且仅当2x=时取等号，即x=±，由x＜0得，x=﹣；∴当x=﹣时，y有最小值4+2．故答案为：﹣，4+2．点评：本题考查了利用基本不等式求函数的最小值，注意三个条件即：一正二定三相等．9．（5分）0＜x＜，当x=时，y=的最大值．考点：函数的最值及其几何意义；函数的值域．专题：计算题．分析：令t=x（1﹣4x）=﹣4x2+x=﹣4（x﹣）2+\frac{1}{16}，则y=，当x=时，t有最大值为，故所求式子最大值为解答：解：因为函数t=x（1﹣4x）=﹣4x2+x=﹣4（x﹣）2+，∴x=时，t有最大值为：，∴y=有最大值为：点评：换元法，转化为求t的最大值，然后配方求t最大值，进而求出y的最大值．10．（5分）某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用10的报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可用：．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：先列出用x年汽车每年的平均费用函数，再利用基本不等式求最值即可．解答：解：用x年汽车的总费用为100+9x+=100+10x+x2千元，故用x年汽车每年的平均费用为y==30千元=3万元．当且仅当，即x=10时=成立．故答案为：10点评：本题考查函数的应用问题、利用基本不等式求最值等知识，难度不大．11．（5分）（2009•东城区二模）设x，y∈R+，x+y+xy=3，则x+y的最小值2．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；换元法．分析：首先由等式x+y+xy=3，可得到x+y=3﹣xy，又根据基本不等式即有3﹣xy，可设，得到到关于t的不等式t2+2t﹣3≥0，求最小的解，即可得到答案．解答：解：因为：x，y∈R+，x+y+xy=3，则x+y=3﹣xy．又根据基本不等式有x+y．即有3﹣xy．，设＞则有不等式t2+2t﹣3≤0解得0＜t≤1．则x+y≥2故答案为2．点评：此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到变量代换思想．题目计算量小但覆盖的2个重要的知识点，属于中档题目．12．（5分）（2014秋•东海县校级月考）的最小值是．考点：基本不等式．分析：先将化为形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因为等号取不到，可采用导数判单调性求最值．解答：解：，，则t≥2，则y′=≥0，所以在[2，+∝）上是增函数，所以在[2，+∝）上的最小值是2+=故答案为：点评：本题主要考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时要注意等号是否能取到，容易出错．13．（5分）将一块边长为42cm的正方形铁皮剪去四个角（四个全等的小正方形）做成一个无盖铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为7cm．考点：基本不等式；函数的表示方法；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：首先由题意建立起无盖铁盒的体积函数，变形成为（42﹣2x）•（42﹣2x）•4x，分析得到其“和”是定值，联想到利用基本不等式利用求最值，当且仅当a=b=c时取等．解答：解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则无盖铁盒体积V=（42﹣2x）2•x．所以：V=（42﹣2x）2•x=•（42﹣2x）•（42﹣2x）•4x=•3≤•[]3=•283，当且仅当42﹣2x=4x时，即x=7时取得最大值．故答案为：7．点评：此题主要考查利用基本不等式求最值在实际问题中的应用．前提是“一正二定三相等”，需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．然后应用不等式即可．14．（5分）某工厂生产机器产品第二年比第一年增长的百分率P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，设年平均增长率为P，且P1+P2+P3为定值，则P的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：按每一年的增长率计算第4年的产量，再按平均增长率计算第4年的产量，两种方法计算的结果相等，得到等式，再利用基本不等式求P的最大值．解答：解：设工厂产量为1，由题意知，1（1+p1）（1+p2）（1+p3）=1（1+p）3，∴1（1+p）3≤（）3，∴1+p≤，∴p的最大值为；故答案为．点评：本题考查利用基本不等式解决应用问题．三、解答题（共8小题，满分0分）15．①已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求的最小值．②0＜x＜2，求y=x（2﹣x）的最大值．考点：基本不等式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：①由题意知=（a+b）（）=．由此可知的最小值．②由题意知y=x（2﹣x），由此可知y=x（2﹣x）的最大值．解答：解：①∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴=（a+b）（）=．∴的最小值是4．②∵0＜x＜2，∴y=x（2﹣x），∴y=x（2﹣x）的最大值是1．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．求半径为R的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，为求出圆柱体积最大时的底面半径，我们可以设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，我们可以用R与r表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结合导数的性质，即可得到圆柱体积最大时的底面半径的值．解答：解：设圆柱体的底面半径为r，则球心到底面的高（即圆柱高的一半）为d，则d=，则圆柱的高为h=2则圆柱的体积V=πr2h=2πr2，设=t，则r2=R2﹣t2，V=2πt（R2﹣t2），V′=﹣6πt2+2πR2=﹣6π（t2﹣），当t2=时，V′=0，当t2＞时，V′＜0，当t2＜时，V′＞0，所以当t2=时圆柱的体值，此时R2﹣r2=，即r=R，因此当底面半径为时圆柱体积取最大值．点评：若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d217．已知f（x）=（4a﹣3）x+b﹣2a，x∈[0，1]，若f（x）≤2恒成立，求t=a+b的最大值考点：函数最值的应用．专题：计算题．分析：比较新颖，利用函数的单调性建立a，b的关系，通过线性规划的知识解决最值问题．解答：解：根据题意，，由线性规划知识知，当，值．∴t=a+b的最大值为点评：本题考查了以函数恒成立为载体，利用线性规划知识求最值．18．例1．x、y、a、b∈R+，a、b为常数，且，求x+y的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：把代入x+y=（x+y）×1中化简整理后，根据均值不等式，求得x+y的最小值．解答：解：∵∴x+y=（x+y）×1=（x+y）•（）=a+b++≥a+b+2=a+b+2（当且仅当时等号成立）∴x+y的最小值为a+b+2点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．本题巧妙的利用了x+y=（x+y）×1，拼凑出了均值不等式的形式，达到了解题的目的．19．例2．若直角三角形的内切圆半径为1，求其面积的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：根据直角三角形内切圆的半径为1设，三边长为1+x，1+y，x+y，利用勾股定理求得x和y的关系式，根据均值不等式可求得xy的范围，进而利用面积公式求得三角形面积的表达式，进而根据xy的范围求得三角形面积的最小值．解答：解：设三边长为1+x，1+y，x+y，则（x+y）2=（1+x）2+（1+y）2，x+y+1=xy∵x+y≥2∴xy≥2+1∴xy≥3+2（当且仅当x=y时等号成立）∵面积S=（1+x）（1+y）=（x+y+xy+1）=xy≥3+2点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，要熟练记忆基本不等式及其变形．20．利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；转化思想．分析：将，当x=0时，y=0，当x≠0时，=，当x＞0时，0＜y≤，当x＜0时，﹣≤y＜0，可以得出﹣≤y≤，得出最值即可，同理对进行变行求最值．解答：解：（1）当=0时，y=0，当x≠0时，=，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．（2）=∵0＜x＜1∴1＜x+1＜2∴=≤等号当且仅当x=成立．综上，的最值是﹣与．当0＜x＜1时，的最大值是．点评：本题通过构造形式用基本不等式求最值，训练答题都观察、化归的能力．21．（2012春•雨城区校级期中）某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造间价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．考点：函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：由题意设污水池长为x米，则宽为米，表示出总造价y，然后利用基本不等式的性质进行求解．解答：解：设污水池长为x米，则宽为米，于是总造价为y=400（2x+×2）+248×2×+80×200=800（x+）+16000∴（x+≥2=36，当且仅当x=18时等号成立但x∉（0，16））由解得，12.5≤x≤16，而=x+在[12.5，16]上为减函数，∴f（x）=x+≥16+=16+，这时x=16，∴y≥800（16+）+16000=45000元，即最低造价为45000元．点评：此题是一道实际应用题，考查了函数的最值及其几何意义，解题的关键是利用不等式的性质进行放缩．22．（2010春•双峰县校级月考）在某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y 成等比数列；若插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，求证：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．考点：基本不等式；等差数列与等比数列的综合．专题：证明题．分析：根据某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列，得到，在根据插入两个x，b，c，y成等差数列，得到b=，c=，从而将原不等式转化为关于x，y的关系式，再利用基本不等式即可解答：解：∵x，a，y成等比数列∴a2=xy∵a＞1∴∵x，b，c，y成等差数列∴b﹣x=c﹣b=y﹣c即b=，c=∴（b+1）（c+1）=（）=∵x＞0，y＞0∴≥=（a+1）2即：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．点评：本题考查了基本不等式，等差数列与等比数列的综合，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：danbo7801；jj2008；minqi5；xintrl；wdnah；caoqz；gongjy；wdlxh；xiaolizi；zlzhan；geyanli；zhwsd；zhiyuan；733008（排名不分先后）菁优网2015年8月19日。
基本不等式高考题练习 菁优网
基本不等式高考题练习一．选择题（共15小题）1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A ．6+2B．7+2C．6+4D．7+42．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A ．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]3．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．34．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A ．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=5．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A ．B．4 C．D．56．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A ．1+B．1+C．3 D．47．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A ．3 B．4 C．D．8．（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A ．2 B．4 C．D．59．（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A ．2 B．C．4 D．510．（2006•浙江）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件11．（2005•福建）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值12．（2005•福建）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A ．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣13．（2004•湖北）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A ．0个B．1个C．2个D．3个14．（2004•山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A ．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+15．（2003•北京）函数f（x）=的最大值是（）A ．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_________ 17．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________．18．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为_________．19．（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为_________．20．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=_________时，取得最小值．21．（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为_________．22．（2010•安徽）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_________（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．23．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为_________．24．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是_________．25．（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为_________．26．（2005•重庆）若x2+y2=4，则x﹣y的最大值是_________．27．（2001•北京）已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于_________．28．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_________．29．（2004•重庆）已知，则xy的最小值是_________．三．解答题（共1小题）30．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．基本不等式高考题练习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A ．6+2B．7+2C．6+4D．7+4考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．2．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A ．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．解答：解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．点评：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．3．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y ，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x ，y ，z 均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．4．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A ．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v==∵0＜a＜b∴a+b＞0∴∵v﹣a===∴v＞a综上可得，故选A点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．5．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A ．B．4 C．D．5考点：基本不等式．专题：计算题．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．6．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A ．1+B．1+C．3 D．4考点：基本不等式．专题：计算题．分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．7．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A ．3 B．4 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．8．（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A ．2 B．4 C．D．5考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值．解答：解：==≥0+2+2=4当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立如取a=，b=，c=满足条件．故选B点评：本题主要考查了基本不等式的应用．主要口考查了运用基本不等式求最值的问题．9．（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A ．2 B．C．4 D．5考点：基本不等式．分析：a＞0，b＞0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式．解答：解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．故选C．点评：基本不等式a+b，（当且仅当a=b时取“=”）的必须具备得使用条件：一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值．）三等（当且仅当a=b时，才能取等号）10．（2006•浙江）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件考点：基本不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：为基本的不等式，成立的充要条件为a，b∈R且a≠b，故只要判“a＞b＞0”和“a，b∈R且a≠b”的关系即可．解答：解：由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，b∈R且a≠b．故选A点评：本题考查平方不等式和充要条件，属基础题．11．（2005•福建）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值考点：基本不等式．分析：本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．解答：解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B点评：本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．12．（2005•福建）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A ．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；函数思想．分析：首先分析由式子a2+2b2=6，可以考虑设成包含三角函数的参数方程，然后代入a+b化简求值，再根据三角函数的最值问题求解即可得到答案．解答：解：因为a，b∈R，a2+2b2=6故可设．θ⊊R．则：a+b=，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选C．点评：此题主要考查参数方程求最值的思想．对于此类题目如果应用基本不等式行不通的时候，可以考虑参数方程的方法，有一定的技巧性，属于中档题目．13．（2004•湖北）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A ．0个B．1个C．2个D．3个考点：基本不等式．分析：由＜＜0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．③显然错误．由于，，∴+＞2=2，故④正确．综上，①④正确，②③错误，故选C．点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的应用，判断b＜a＜0 是解题的关键．14．（2004•山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A ．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得解．解答：解：∵b2+c2=2，c2+a2=2，∴b2+c2=c2+a2∴b2=a2又a2+b2=1，所以当a=b=，c=﹣时ab+bc+ca有最小值为：×+×（﹣）+×（﹣）=﹣，ab+bc+ca的最小值为﹣，故选B．点评：本题解题的关键是通过已知条件求得a，b和c值，然后代入即可．15．（2003•北京）函数f（x）=的最大值是（）A ．B．C．D．考点：基本不等式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：把分母整理成=（x﹣）2+进而根据二次函数的性质求得其最小值，则函数f（x）的最大值可求．解答：解：∵1﹣x（1﹣x）=1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，∴f（x）=≤，f（x）max=．故选D点评：本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．解题的关键把分母配方成一元二次函数的形式．二．填空题（共14小题）16．（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．17．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．18．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．19．（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．考点：基本不等式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围解答：解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，9x+≥6a又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）点评：本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子20．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．考点：基本不等式．专题：压轴题；数形结合；不等式的解法及应用．分析：由于a+b=2，b＞0，从而=，（a＜2），设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．解答：解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．点评：本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．21．（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．解答：解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．点评：此题是个基础题．考查利用基本不等式求最值，注意正、定、等，考查学生利用知识分析解决问题的能力和计算能力．22．（2010•安徽）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是①，③，⑤（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．考点：基本不等式．专题：压轴题；分析法．分析：首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题②④直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．解答：解：对于命题①ab≤1：由，命题①正确；对于命题②：令a=1，b=1时候不成立，所以命题②错误；对于命题③a2+b2≥2：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=4﹣2ab≥2，命题③正确；对于命题④a3+b3≥3：令a=1，b=1时候不成立，所以命题④错误；对于命题⑤：，命题⑤正确．所以答案为①，③，⑤．点评：此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出错，属于中档题目．23．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为3．考点：基本不等式．专题：压轴题．分析：本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．解答：解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号），于是，，xy≤3．故答案为：3点评：本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．24．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．25．（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为8．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：根据对数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．解答：解：∵函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，可得A（2，1），∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，∴2m+n=1，∵m，n＞0，∴2m+n=1≥2，∴mn≤，∴（）==≥8（当且仅当n=，m=时等号成立），故答案为8．点评：此题主要考查的对数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型．26．（2005•重庆）若x2+y2=4，则x﹣y的最大值是．考点：基本不等式．专题：数形结合．分析：因为x2+y2=4表示圆心在原点，半径为2的圆，令x﹣y=b，则可表示直线，数形结合可使问题得到解决．解答：解：令b=x﹣y，则b是直线y=x﹣b在y轴上的截距的相反数，∵该直线与圆x2+y2=4有公共点，∴当直线与圆相切于第四象限时，截距取到最小值，∵，∴b=2或b=﹣2（舍去），∴b的最大值为2．故答案为2．点评：以已知圆方程为条件，求关于Ax+By的一次式的最值可转化为求直线b=Ax+By的截距的最值．27．（2001•北京）已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：根据同角三角函数基本关系，sin2α+sin2β+sin2γ=1⇒cos2α+cos2β+cos2γ=2；进而由基本不等式的性质，可得cos2α+cos2β+cos2γ≥3，将cos2α+cos2β+cos2γ=2代入，化简可得答案．解答：解：∵sin2α+sin2β+sin2γ=1，∴3﹣（cos2α+cos2β+cos2γ）=1．∴cos2α+cos2β+cos2γ=2≥3．∴cos2αcos2βcos2γ≤（）3．∴cosαcosβcosγ≤==．答案：点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．28．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是．考点：基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．解答：解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=1，∴b+c=﹣a，b2+c2=1﹣a2，∴bc=•（2bc）=[（b+c）2﹣（b2+c2）]=a2﹣∴b、c是方程：x2+ax+a2﹣=0的两个实数根，∴△≥0∴a2﹣4（a2﹣）≥0即a2≤∴﹣≤a≤即a的最大值为故答案为：．点评：本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围．29．（2004•重庆）已知，则xy的最小值是15．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知，由此可知答案．解答：解：∵，∴，∴xy≥15．答案：15．点评：本题考查基本不等式的性质，解题时要认真审题，仔细解答．三．解答题（共1小题）30．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．31。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
基本不等式(同步检测)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
2.2 基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD 解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD 解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C 解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C 解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B 解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A 解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A 解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C 解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D 解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0 解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25 解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8 解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋abc ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋ca ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析
基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a?3+a?316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab?2a?b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy?2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a?2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m?2t+21?t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m?|2?x|，且f(x+2)>0的解集为(?1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x?1|?|x+a|(a∈N?)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y ?3=?(x ?1)，化为：x +y =4．设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ?4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号．故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ，∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ?32y x =10+8=18，当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ?y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得．本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ?a b =32+√2，当且仅当b 2a =a b 时，即a =2?√2，b =2√2?2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6?1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1?1≥2√(x 2+1)?6 x 2+1?1=2√6?1，当且仅当x 2=√6+1时取等号，故答案为：2√6?1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1?1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4y+xy≥4+2√4yxxy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1 【解析】解：∵a>3，∴a?3>0，∴4a?3+a?3≥2√4a?3a?316=1，当且仅当4a?3=a?316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2 【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥1(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab?2a?b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|2|a|b=a8|a|+1≥?18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=?2 3，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3?x?(2y)≥3?(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)?12≥0，即：(x+2y?2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ?2√1a ?1b=4．故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a ?2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ?14b =2√2a?2b =2√2?8=18 当且仅当a =?2b 即b =2，a =?4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ?14b ，结合已知即可求解．本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2?b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号，12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号，∴ab+b a 2+b 2+1= ab+b a 2+b 22+b 22+12≤2ab+2b =2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号，故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22，故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2?b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√baab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1 a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+a，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2?2t+21?t，即2?(2t)2?5?2t+2=0．亦即(2?2t?1)(2t?2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m?2t+21?t≥2(t≥0)恒成立．∵m?2t+21?t=m?2t+2?2?t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当122t=2?2?t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m?2t+21?t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m?2t+21?t≥2(t≥0)恒成立，求出m?2t+21?t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m?|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．< p="">由|x|0，且其解集为(?m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(?1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|0，且其解集为(?m,m)，根据解集为(?1,1)可得m；</m.由|x|(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a2b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x?1|?|x+a|≤|x?1?x?a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴?3≤a≤1，∵a∈N?，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x?1|?|x+a|≤|x?1?x?a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题</m．<>。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋abc ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋ca ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。
$a^2+1>a$B。
$\frac{1}{2}<a<1$C。
$a^2+9>6a$D。
$\log_{a+1}。
\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。
$1$B。
$2$C。
$a^2+b^2$D。
$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。
$3$B。
$\frac{3}{2}$C。
$\frac{3}{4}$D。
$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。
$10$B。
$6\sqrt{3}$C。
$4\sqrt{10}$D。
$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。
最小值 $\frac{1}{36}$B。
最大值 $\frac{1}{36}$C。
最小值 $\frac{16}{9}$D。
最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。
$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。
$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。
$xy\ge 2$D。
$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。
基本不等式 基础练习题
的最小值为
．
．
16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 ．
17．已知x，y∈R*且
+
=1，则xy的最小值是
．
18．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为 ．
19．已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为 ．
4．（2015•德阳模拟）若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值 为 2 ．
考点： 专题： 分析：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 两正数a，c满足a+2c+2ac=8，利用基本不等式的性质可得
，化为
，解出即可．
解答：
解：∵两正数a，c满足a+2c+2ac=8， ∴
解：∵x∈（0，3）， ∴函数y=
+
≥
=3，当且仅当
，即x=1时取等号． ∴函数y=
+
的最小值为3． 故答案为：3．
点评： 本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．
7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大
值为 2 ．
考点：
基本不等式．菁优网版权所有
+x=
+（x﹣2）+2≥
=4，当且仅当x=3时取等号． 故答案为：4．
点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 6．（2015•金家庄区模拟）已知x∈（0，3），则函数y=
+
的最小值为 3 ．
考点： 专题： 分析：
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
基本不等式练习题(较全)
1、若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值
2、若x>0,求9()4f x x x =+
的最小值;
3、若0x <，求1y x x =+
的最大值
4、若x<0,求9()4f x x x =+
的最大值
5、求9()45
f x x x =+
-(x>5)的最小值.
6、若x ，y R +∈，x+y=5，求xy 的最值
7、若x ，y R +∈，2x+y=5，求xy 的最值
8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值
1、求1 (3)3y x x x =
+>-的最小值.
2、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.
3、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。
4、求123 (0)y x x x =
+<的最大值.
5、若2x >，求1252y x x =-+
-的最小值
6、若0x <，求21x x y x ++=
的最大值。
7、求2
y =
的最小值.
8（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?。
基本不等式50练(答案)
基本不等式（答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ．【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______.【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ．【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________ 【答案】8【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______. 【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221ab a +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ． 【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______. 【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 .【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ） A. 47B. 2233C. 2D.32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22ba ba +-的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________.【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa， 则ba 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
高中数学基本不等式(考题)
第三讲基本不等式题组1利用基本不等式比较大小1.[2015陕西,9,5分]设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=( f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是() A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q题组2利用基本不等式求最值2.[2015福建,5,5分][文]若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.53.[2014重庆,9,5分][文]若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是()A.6+2B.7+2C.6+4D.7+44.[2013山东,12,5分]设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为()A.0B.1C.D.35.[2017山东,12,5分][文]若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.6.[2017天津,13,5分][文]若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.7.[2015山东,14,5分][文]定义运算“”：x y=-(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x y+(2y)x的最小值为.8.[2015重庆,14,5分][文]设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.题组3基本不等式的实际应用9.[2017江苏,10,5分][文]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.10.[2014湖北,16,5分][文]某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(Ⅰ)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(Ⅱ)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加辆/小时.A组基础题1.[2018长春市高三第一次质量监测,7]已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为()A.8B.9C.12D.162.[2018合肥市高三调研,11]已知a>b>0,则a++-的最小值为()A. B.4 C.2 D.33.[2018湖北省部分重点中学高三联考,9]已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是() A. B. C. D.-4.[2017湖南省湘中名校高三联考,9]若正数a,b满足:+=1,则-+-的最小值为()A.2B.C.D.1+5.[2017河北省石家庄市高三一检,14]已知直线l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)经过点(2,3),则a+b的最小值为.B组提升题6.[2018豫西南部分示范性高中联考,9]已知正项等比数列{a n}的公比为2,若a m a n=4,则+的最小值等于()A.1B.C.D.7.[2017沈阳三模,10]直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为()A.1B.-1C.+D.+18.[2017郑州市高三一测,10]设正实数x,y满足x>,y>1,不等式-+-≥m恒成立,则m的最大值为()A.2B.4C.8D.169.[2017广东五校一诊,16]两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a ∈R,b∈R且ab≠0,则+的最小值为.10.[2018天津市滨海新区八校联考]已知a>b>0,且ab=1,那么-取最小值时,b=. 答案1.B因为0<a<b,所以>,又f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,故f()<f(),即q>p,因为r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=ln =f()=p,所以p=r<q.故选 B.2.C解法一因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥２=(当且仅当a=b=2时取等号),所以≥２.又a+b≥２(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.解法二因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥２+2=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.3.D因为log4(3a+4b)=log2,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且即a>0,b>0,所以+=1(a>0,b>0),所以a+b=(a+b)(+)=7++≥７+2=7+4,当且仅当=时取等号,故选 D.4.B=-=-≤=1,当且仅当x=2y时等号成立,此时z=2y2,+-=-+=-(-1)2+1≤1,当且仅当y=1时等号成立,故选 B.5.8∵直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴+=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(+)=4++≥４+2=8,当且仅当=,即a=2,b=4时等号成立,∴2a+b的最小值为8.6.4=++,因为ab>0,所以由基本不等式可得++≥２+=4ab+≥4,当且仅当=,4ab=同时成立时等号成立.7.因为x>0,y>0,所以x y+(2y)x=-+-==(+)≥,当且仅当=,即x=y时取等号.故x y+(2y)x的最小值为.8.3(+)2=a+b+4+2·≤９+2·=9+a+b+4=18,所以+≤３,当且仅当a+1=b+3且a+b=5,即a=,b=时等号成立.所以+的最大值为3.9.30一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4(+x)≥８=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.10.(Ⅰ)1 900F=≤=1 900,当且仅当v=11时等号成立.(Ⅱ)100F=≤=2 000,当且仅当v=10时等号成立,2 000-1 900=100.A组基础题1.B由4x+y=xy得+=1,则x+y=(x+y)(+)=++1+4≥２+5=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取“=”，故选 B.2.D因为a>b>0,所以a++-=(a+b++a-b+-)≥() +(-)-=2+=3,当且仅当,--,即a=,b=时等号成立.故选D.3.D∵不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2), ∴在方程x2-4ax+3a2=0中,由根与系数的关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+=4a+.∵a<0, ∴-(4a+)≥２=,即4a+≤-,故x1+x2+的最大值为-.故选 D.4.A由a,b为正数,且+=1,得b=->0,所以a-1>0,所以-+-=-+--=-+-≥２--=2,当且仅当-=-,即a=b=3时等号成立,所以-+-的最小值为2,故选A.5.5+2因为直线l经过点(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b=->0,所以a-3>0,所以a+b=a+-=a-3+-+5≥５+2(-)-=5+2,当且仅当a-3=-,即a=3+,b=2+时等号成立.B组提升题6.C由题意知,a m a n=×2m+n-2=4=4×22=×24,故得到m+n=6,所以+=(+)(m+ n)=(++)≥(+2)=,当且仅当=,即m=2n时等号成立.故选C.7.C∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,∴圆心O(0,0)到直线ax+by+1=0的距离等于半径,即=1?a2+b2=1,易知a+b+ab的最大值一定在a>0,b>0时取得,∴a+b+ab=()+ab=+ab.令=t,则ab=-.∵ab≤=(当且仅当a=b=时取“=”）且ab>0,∴1<t≤,∴a+b+ab=+ab=t2+t-=(t+1)2-1, ∴当t=时,(a+b+ab)max=+.故选 C.8.C依题意得,2x-1>0,y-1>0,-+-=(-)-+(-)-≥(-)-+(-)-≥４×2----=8,即-+-≥8,当且仅当-,-,----,即,时取等号,即-+-的最小值是8,故m≤8,即m的最大值是8,选C.9.1将方程x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0分别配方,得(x+a)2+y2=4,x2+(y-2b)2=1, 依题意得两圆相外切,故=1+2=3,即a2+4b2=9,+=(+)·(+)=+++≥+2=1,当且仅当=,即a2=2b2时等号成立,故+的最小值为 1.10.-因为a>b>0,所以-=(-)-=(a-b)+-≥２,当且仅当a-b=时取等号,又ab=1,所以-b=,解得b=-(舍去b=--).。
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基本不等式高考题练习一．选择题（共15小题）1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A ．6+2B．7+2C．6+4D．7+42．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A ．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]3．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．34．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A ．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=5．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A ．B．4 C．D．56．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A ．1+B．1+C．3 D．47．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A ．3 B．4 C．D．8．（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A ．2 B．4 C．D．59．（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A ．2 B．C．4 D．510．（2006•浙江）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件11．（2005•福建）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值12．（2005•福建）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A ．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣13．（2004•湖北）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A ．0个B．1个C．2个D．3个14．（2004•山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A ．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+15．（2003•北京）函数f（x）=的最大值是（）A ．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_________ 17．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________．18．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为_________．19．（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为_________．20．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=_________时，取得最小值．21．（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为_________．22．（2010•安徽）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_________（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．23．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为_________．24．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是_________．25．（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为_________．26．（2005•重庆）若x2+y2=4，则x﹣y的最大值是_________．27．（2001•北京）已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于_________．28．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_________．29．（2004•重庆）已知，则xy的最小值是_________．三．解答题（共1小题）30．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．基本不等式高考题练习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A ．6+2B．7+2C．6+4D．7+4考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．2．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A ．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．解答：解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．点评：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．3．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y ，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x ，y ，z 均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．4．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A ．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v==∵0＜a＜b∴a+b＞0∴∵v﹣a===∴v＞a综上可得，故选A点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．5．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A ．B．4 C．D．5考点：基本不等式．专题：计算题．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．6．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A ．1+B．1+C．3 D．4考点：基本不等式．专题：计算题．分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．7．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A ．3 B．4 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．8．（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A ．2 B．4 C．D．5考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值．解答：解：==≥0+2+2=4当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立如取a=，b=，c=满足条件．故选B点评：本题主要考查了基本不等式的应用．主要口考查了运用基本不等式求最值的问题．9．（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A ．2 B．C．4 D．5考点：基本不等式．分析：a＞0，b＞0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式．解答：解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．故选C．点评：基本不等式a+b，（当且仅当a=b时取“=”）的必须具备得使用条件：一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值．）三等（当且仅当a=b时，才能取等号）10．（2006•浙江）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件考点：基本不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：为基本的不等式，成立的充要条件为a，b∈R且a≠b，故只要判“a＞b＞0”和“a，b∈R且a≠b”的关系即可．解答：解：由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，b∈R且a≠b．故选A点评：本题考查平方不等式和充要条件，属基础题．11．（2005•福建）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值考点：基本不等式．分析：本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．解答：解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B点评：本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．12．（2005•福建）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A ．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；函数思想．分析：首先分析由式子a2+2b2=6，可以考虑设成包含三角函数的参数方程，然后代入a+b化简求值，再根据三角函数的最值问题求解即可得到答案．解答：解：因为a，b∈R，a2+2b2=6故可设．θ⊊R．则：a+b=，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选C．点评：此题主要考查参数方程求最值的思想．对于此类题目如果应用基本不等式行不通的时候，可以考虑参数方程的方法，有一定的技巧性，属于中档题目．13．（2004•湖北）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A ．0个B．1个C．2个D．3个考点：基本不等式．分析：由＜＜0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．③显然错误．由于，，∴+＞2=2，故④正确．综上，①④正确，②③错误，故选C．点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的应用，判断b＜a＜0 是解题的关键．14．（2004•山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A ．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得解．解答：解：∵b2+c2=2，c2+a2=2，∴b2+c2=c2+a2∴b2=a2又a2+b2=1，所以当a=b=，c=﹣时ab+bc+ca有最小值为：×+×（﹣）+×（﹣）=﹣，ab+bc+ca的最小值为﹣，故选B．点评：本题解题的关键是通过已知条件求得a，b和c值，然后代入即可．15．（2003•北京）函数f（x）=的最大值是（）A ．B．C．D．考点：基本不等式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：把分母整理成=（x﹣）2+进而根据二次函数的性质求得其最小值，则函数f（x）的最大值可求．解答：解：∵1﹣x（1﹣x）=1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，∴f（x）=≤，f（x）max=．故选D点评：本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．解题的关键把分母配方成一元二次函数的形式．二．填空题（共14小题）16．（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．17．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．18．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．19．（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．考点：基本不等式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围解答：解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，9x+≥6a又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）点评：本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子20．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．考点：基本不等式．专题：压轴题；数形结合；不等式的解法及应用．分析：由于a+b=2，b＞0，从而=，（a＜2），设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．解答：解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．点评：本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．21．（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．解答：解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．点评：此题是个基础题．考查利用基本不等式求最值，注意正、定、等，考查学生利用知识分析解决问题的能力和计算能力．22．（2010•安徽）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是①，③，⑤（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．考点：基本不等式．专题：压轴题；分析法．分析：首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题②④直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．解答：解：对于命题①ab≤1：由，命题①正确；对于命题②：令a=1，b=1时候不成立，所以命题②错误；对于命题③a2+b2≥2：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=4﹣2ab≥2，命题③正确；对于命题④a3+b3≥3：令a=1，b=1时候不成立，所以命题④错误；对于命题⑤：，命题⑤正确．所以答案为①，③，⑤．点评：此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出错，属于中档题目．23．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为3．考点：基本不等式．专题：压轴题．分析：本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．解答：解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号），于是，，xy≤3．故答案为：3点评：本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．24．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．25．（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为8．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：根据对数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．解答：解：∵函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，可得A（2，1），∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，∴2m+n=1，∵m，n＞0，∴2m+n=1≥2，∴mn≤，∴（）==≥8（当且仅当n=，m=时等号成立），故答案为8．点评：此题主要考查的对数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型．26．（2005•重庆）若x2+y2=4，则x﹣y的最大值是．考点：基本不等式．专题：数形结合．分析：因为x2+y2=4表示圆心在原点，半径为2的圆，令x﹣y=b，则可表示直线，数形结合可使问题得到解决．解答：解：令b=x﹣y，则b是直线y=x﹣b在y轴上的截距的相反数，∵该直线与圆x2+y2=4有公共点，∴当直线与圆相切于第四象限时，截距取到最小值，∵，∴b=2或b=﹣2（舍去），∴b的最大值为2．故答案为2．点评：以已知圆方程为条件，求关于Ax+By的一次式的最值可转化为求直线b=Ax+By的截距的最值．27．（2001•北京）已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：根据同角三角函数基本关系，sin2α+sin2β+sin2γ=1⇒cos2α+cos2β+cos2γ=2；进而由基本不等式的性质，可得cos2α+cos2β+cos2γ≥3，将cos2α+cos2β+cos2γ=2代入，化简可得答案．解答：解：∵sin2α+sin2β+sin2γ=1，∴3﹣（cos2α+cos2β+cos2γ）=1．∴cos2α+cos2β+cos2γ=2≥3．∴cos2αcos2βcos2γ≤（）3．∴cosαcosβcosγ≤==．答案：点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．28．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是．考点：基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．解答：解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=1，∴b+c=﹣a，b2+c2=1﹣a2，∴bc=•（2bc）=[（b+c）2﹣（b2+c2）]=a2﹣∴b、c是方程：x2+ax+a2﹣=0的两个实数根，∴△≥0∴a2﹣4（a2﹣）≥0即a2≤∴﹣≤a≤即a的最大值为故答案为：．点评：本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围．29．（2004•重庆）已知，则xy的最小值是15．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知，由此可知答案．解答：解：∵，∴，∴xy≥15．答案：15．点评：本题考查基本不等式的性质，解题时要认真审题，仔细解答．三．解答题（共1小题）30．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．31。