2018版高中数学第1讲坐标系二极坐标系练习新人教A版选修4_4

合集下载

(新)高中数学第一讲坐标系二极坐标系成长训练新人教A版选修4-41

二极坐标系主动成长夯基达标1.点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)解析:因为点P (-2,2)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础. 答案:B2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( ) A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(-ρ0,θ0+π)解析:由ρ取负值时点的确定方法即可. 答案:A3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:方程ρ2cos2θ=c 2⇒ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2⇒x 2-y 2=c 2. 答案:C4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:将方程aρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以ρ,aρ2cos 2θ+bρcos θ-ρsin θ=0⇒ax 2+bx -y =0⇒y =ax 2+bx ,是抛物线. 答案:D 5.点P 1(2,4π),P 2(-3,-4π),则|P 1P 2|的值为( ) A.13B.5C.2613+D.2613-解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ12212221cos 2(ρ1、ρ2≥0). 其中P 2(3,43π),代入可得. 答案:A6.已知点A(-2,-2π),B(2,43π),O (0,θ),则△ABO 为( ) A.正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.等腰直角三角形解析:点A (-2,-2π)即为A (2,2π), ∴∠AOB =4π,且|OB |=2,|OA |=2. ∴△ABO 为等腰直角三角形. 答案:D7.直线l 过点A (3,3π)、B (3,6π),则直线l 与极轴夹角等于________. 解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO |=|BO |=3,∠AOB =3π-6π=6π, ∴∠OAB =26π-π=125π. ∴∠ACO =π-3π-125π=4π.答案：4π8.极坐标方程ρ=θθsin cos 22+所对应的直角坐标方程为________.解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin,cos,⎪⎩⎪⎨⎧≠+=,0,tan,222xxy=yxρθ将ρ、θ消去,换成字母x、y即可.因为ρ=θθ2sincos22+可化为ρ=θθ2cos1)cos1(2-+,即ρ=θcos12-,去分母,得ρ=2+ρcosθ,将公式代入得x2+y2=(2+x)2,整理可得.答案：y2=4(x+1)说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.9.已知下列各点的极坐标为A(5,3π),B(2,0),C(6,-65π),D(-4,6π),E(0,3π),画出这些点,并求出它们的直角坐标.解:这些点如图.利用公式⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin,cos即可求出它们的直角坐标为A(0,5),B(2,0),C(-33,-3),D(-23,-2),E(0,0).10.在极轴上求与点A(42,4π)距离为5的点M的坐标.解析:题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M的坐标来.解:设M(r,0),∵A(42,4π),∴4πcos28)24(22rr-+=5,即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ21212221cos 2,此式可直接利用余弦定理得证.11.舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.解析:先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段BC 的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解:对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,23). 由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P ,则|PB |=|PC |. 于是P 在BC 的中垂线l 上,易求得其方程为3x -3y +73=0.又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB |-|PA |=4,于是知P 应在双曲线5422y x -=1的右支上. 直线l 与双曲线的交点P (8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线P A 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|P A|=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π).走近高考1.(经典回放)极坐标方程4ρsin 22θ=5表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析:利用半角公式把原方程化为4ρ2cos 1θ-=5,即4ρ-4ρcos θ=10,∴4ρ=4x +10.∵ρ=,22y x +∴16(x 2+y 2)=(4x +10)2.整理,得4y 2-20x -25=0.∴为抛物线. 答案:D2.(经典回放)极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是( ) A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin 2θ=3ρ2,即4y 2=3(x 2+y 2),即y =±3x .∴所表示的曲线是两条相交直线. 答案:B3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos4πcos θ+sin 4πsin θ. 两边同乘以ρ,得ρ2=22ρcos θ+22ρsin θ, 即x 2+y 2=22x +22y , 即为x 2+y 2-22x -22y =0表示圆.答案:D4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+4π)=22,则极点到该直线的距离是________. 解析:∵ρsin(θ+4π)=22,∴ρsin θcos 4π+ρcos θsin 4π=22,即x +y =1.∴原点到直线x +y =1的距离为d =2221. 答案:22 5.在极坐标系中,O 是极点,设点A (4,3π),B (5,-65π),则△OAB 的面积是________.解析:如图,|OA |=4,|OB |=5,∠AOB =2π-3π-65π=65π.∴S △OAB =21×4×5×sin 65π=5. 答案:5。

人教版高中数学选修4-4 第一讲坐标系二极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为直0)角坐标方程的形
式是（）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

高中数学第一讲坐标系二极坐标系达标训练新人教A版选修44

二极坐标系更上一层楼基础·巩固1点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)思路解析：因为点P(2,2-)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π.故选B. 答案：B2图1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.图1-2-8思路分析：如图所示,以AB 所在直线为极轴,点A 为极点建立极坐标系.找AB 、AC 、AD 、AE 的距离为各点的极径,分别以x 轴为始边,AB 、AC 、AD 、AE 为终边找在0到2π之间的极角.解：教学楼点A(0,0),体育馆点B(60,0),图书馆点C(120,3π),实验楼点D(360,2π),办公楼点E(50,43π). 3已知过曲线⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 3y x (θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( ) A.(3,4) B.(223,22)C.(-3,-4)D.(512,512) 思路解析：因为点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，即点P 的极角θ=4π，直接代入已知曲线方程，即可求出点P 的直角坐标来. 答案：B4极坐标系中，点A 的极坐标是(3,6π)，则 (1)点A 关于极轴对称的点是_______________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是_______________； (3)点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ>0,θ∈［0,2π］）思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极角是以x 轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案：(1)(3,611π) (2)(3,67π) (3)(3,65π) 5直线l 过点A(3,3π)、B(3,6π)，则直线l 与极轴夹角等于_______________. 思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=3π-6π=6π, ∴∠OAB=分 π-12526πππ=-. ∴∠ACO=π-3π-125π=4π.答案：4π6极坐标方程ρ=θθ2sin cos 22+所对应的直角坐标方程为__________. 思路解析：因为ρ=θθ2sin 2cos 2+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 2(1-+,即ρ=θcos 12-,去分母,得ρ=2+ρcos θ.将公式代入得x 2+y 2=(2+x)2.整理可得.答案：y 2=4(x+1)7在极轴上求与点A(24,4π)距离为5的点M 的坐标_________. 思路分析：题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M 两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M(r,0), ∵A(24,4π),∴4cos 28)24(22πr r -+=5, 即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)cos(221212221θθρρρ--+,此式可直接利用余弦定理证得. 8已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5,6π),B(5,2π),C(34-,3π),判断△ABC 的形状，并求出它的面积.（提示：对于点M(ρ,θ)，当极径小于零时，此时M 点在极角θ终边的反向延长线上，且OM=|ρ|）思路分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解：∵∠AOB=3π,∠BOC=65π,∠AOC=65π,又∵|OA|=|OB|=5,|OC|=34,∴由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos ∠AOC =52+(34)2-2×5×34·cos65π=133. ∴|AC|=133.同理,|BC|=133. ∴|AC|=|BC|.∴△ABC 为等腰三角形.又|AB|=|OA|=|OB|=5,∴AB 边上的高h=2313|)|21(||22=-AB AC . ∴S △ABC =21×436552313=⨯.综合·应用9二次方程x 2-ax+b=0的两根为sin θ、cos θ，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|θ|≤4π）. 思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件. 解：由已知,得⎩⎨⎧∙=+=,cos sin ,cos sin θθθθb a .①②①2-2②,得a 2=2(b+21). ∵|θ|≤4π,由sin θ+cos θ=2sin(θ+4π),知0≤a ≤2. 由sin θ·cos θ=21sin2θ,知|b|≤21.∴P(a,b)的轨迹方程是a 2=2(b+21)（0≤a ≤2）.10舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解：对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,32).由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P 在BC 的中垂线l 上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=33,设此直线为y=33x+b,将B,C 的中点(-4,3)代入上式,得b=337,则求得其方程为3x-3y+37=0. 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A 、B 的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴549=-.于是知P 应在双曲线4422y x -=1的右支上.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03733,14422y x y x 得直线l 与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=7525)035()38(22+=-+-=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π). 11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与x 轴正向相同的极坐标系下直角坐标与极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与x 轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点的极坐标来呢？(1)极坐标系的极点在直角坐标系的O′(-3+32,3)，极轴的方向与x 轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P(-3,3)的极坐标是____________.(2)极点在点O′(3,5)处，极轴与y 轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点M(9,-1)的极坐标.思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点与点P 的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到OP 所得到的角.解：(1)如图(1),在Rt △PAO ′中,O ′A=-3+3-（-3）=3,AP=32-3=3.则tan α=33=1,α=4π,θ=∠x ′O ′P=π+4π=45π, ρ=|O ′P|=6)332()]3()33[(22=-+--+-.在极坐标系O ′x ′中,P 点的极坐标是(6,45π).(2)利用定义求出点的极坐标.如图(2),过O ′点作O ′A ∥Ox 轴,过M 点作MA ∥Oy 轴,与O ′A 交于A 点,连结O ′M,则ρ=|O ′M|=26)51()39(22=--+-,在Rt △MAO ′中,|O ′A|=9-3=6,cos ∠AO ′M=22, ∴∠AO ′M=4π.∴θ=23π-4π=45π.（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的） ∴M(45,26π).12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O 为极点，OA 所在直线为极轴，已知A 点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D 点向目标C 发射防空导弹，D 点坐标为(35,2π)，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E 点)，在地面O 、A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，tan α=289，tan β=83，不考虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.图1-2-9思路分析：能否击中C 点，关键是看一下C 点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x 轴，以点D 向地面作的垂线为y 轴,并且求出C 点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.解：A 点化为(1,0)，D 点化为(0,35)，由已知E 点为(4,3), 设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0,35)，求得a=121-.所以y=121-(x-4)2+3=121-x 2+32x+35.设C 点坐标为(x 0,y 0)，过C 作CB ⊥Ox 于B ，tan α=28900=x y ,tan β=83100=-x y ,则289x 0=83(x 0-1). 解得x 0＝7，求出y 0＝49,即C 点坐标为(7,49)，经计算121-x 02+32x 0+35=121-·72+32·7+35=49.所以C 点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.。

高中数学第一讲极坐标系与平面直角坐标系的互化同步测试新人教A版选修4-4

极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。

例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ．圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是。

2018版数学人教A版选修4-4课件：第一讲坐标系二第2课时精品

2π y ，tan θ＝＝1，θ∈[0,2π). 2 x
3π 3π 由于点 2 ， 2 在第一象限，所以
π θ＝4.
2π π ， . 2 4
3 3π 3π ， ∴点的直角坐标化为极坐标为 2 2
解答
引申探究
1.若规定θ∈R，上述点的极坐标还惟一吗？
许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.
5 跟踪训练 2 已知点的直角坐标分别为 A(3， 3)，B(0，－ 3 )，C(－2，－2 3)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解 y π 5 3π 4π 根据 ρ ＝x ＋y ，tan θ＝x，得 A(2 3，6)，B( 3 ， 2 )，C(4， 3 ).
2 2 2
解答
类型三极坐标与直角坐标互化的应用
例3
π 4π 已知 A，B 两点的极坐标为(6，3)和(8， 3 )，求线段 AB 中点的直
角坐标.
解答
引申探究
1.若本例条件不变，求线段AB中点的极坐标.
1 3 解由例 3 知，AB 的中点的直角坐标为(－，－ )， 2 2
∴ρ2＝x2＋y2＝1，∴ρ＝1.
∴点 M 的直角坐标为(－3 3，3).
解答
反思与感悟
x＝ρcos θ，由极坐标化直角坐标是惟一的.由公式惟一确定. y＝ρsin θ
跟踪训练 1 已知点的极坐标分别为
π D－4，2，求它们的直角坐标.
π 2π A3，－4，B2， 3 ，C
解 2π (1)(4， 3 ＋2kπ).
11π (2)(2 2， 6 ＋2kπ).
3 2π π (3)( 2 ，4＋2kπ).极坐标不惟一.

2018版数学人教A版选修4-4学案：第一讲坐标系二第1

第1课时极坐标系的概念学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性．知识点极坐标系思考1某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的？答案能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的．思考2类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？答案选一个点O为基点，射线OA为参照方向．梳理极坐标系的概念(1)极坐标系的定义①取极点：平面内取一个定点O；②作极轴：自极点O引一条射线Ox；③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)．(2)点的极坐标①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)；②意义：ρ＝|OM|，即极点O与点M的距离(ρ≥0)．θ＝∠xOM，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角．类型一由极坐标画出点例1 根据下列极坐标作出各点． (1)A (1，π3)，B (2，π3)，C (3，π3)；(2)D (2，π6)，E (2，π2)，F (2，2π3)，G (2，－π3)．解如图，反思与感悟由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置．通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”．跟踪训练1 根据下列极坐标，作出各点． A (5,0)，B (3，π6)，C (4，3π2)，D (2，－3π2)．解在极坐标系中，点A ，B ，C ，D 的位置是确定的．类型二求点的极坐标例2 设点A ⎝⎛⎭⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．解如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎫2，－π3. 关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎫2，2π3.关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎫2，－2π3. 引申探究1．若将极角θ限定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标．解 B ⎝⎛⎭⎫2，5π3，C ⎝⎛⎭⎫2，2π3，D ⎝⎛⎭⎫2，4π3. 2．若将极角θ改为θ∈R ，求例2中的点的极坐标．解 B ⎝⎛⎭⎫2，5π3＋2k π，C ⎝⎛⎭⎫2，2π3＋2k π，D ⎝⎛⎭⎫2，4π3＋2k π，(k ∈Z )．反思与感悟 (1)设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．(2)点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的． (3)写点的极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．跟踪训练2 在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．解作出图形，可知A ⎝⎛⎭⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是(3，5π6)．类型三极坐标系中两点间的距离例3 在极坐标系中，点O 为极点，已知点A ⎝⎛⎭⎫6，π6，B ⎝⎛⎭⎫6，2π3，求|AB |的值．解如图∠AOB ＝2π3－π6＝π2，∴△AOB 为直角三角形， ∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝6 2. 引申探究在本例条件不变的情况下，求AB 的中点的极坐标．解取AB 的中点M ，连接OM ，在△AOB 中，∠AOB ＝π2，OA ＝OB ，∴∠AOM ＝π4，∴∠xOM ＝π4＋π6＝5π12.又|OM |＝6×cos π4＝32，∴M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π12. 反思与感悟在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)的两种特殊情形为①当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； ②当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.跟踪训练3 (1)在极坐标系中，两点A ⎝⎛⎭⎫－5，5π4，B ⎝⎛⎭⎫7，7π12间的距离是________．答案39解析 |AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)＝39.(2)在极坐标系中，若△ABC 的三个顶点为A ⎝⎛⎭⎫5，5π2，B ⎝⎛⎭⎫8，5π6，C ⎝⎛⎭⎫3，7π6，判断三角形的形状．解因为|AB |2＝52＋82－2×5×8×cos ⎝⎛⎭⎫5π2－5π6＝49， |AC |2＝52＋32－2×5×3×cos ⎝⎛⎭⎫5π2－7π6＝49， |BC |2＝82＋32－2×8×3×cos ⎝⎛⎭⎫5π6－7π6＝49. 所以△ABC 是等边三角形．1．极坐标系中，下列与点(1，π)相同的点为( ) A ．(1,0) B ．(2，π) C ．(1,2 016π) D ．(1,2 017π)答案 D2．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3 B.⎝⎛⎭⎫2，－π3 C.⎝⎛⎭⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 C3．点⎝⎛⎭⎫2，π6关于极点的对称点为________．答案 ⎝⎛⎭⎫2，7π6 解析如图，易知对称点为⎝⎛⎭⎫2，7π6.4．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 答案5解析 |AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝ 5.1．极坐标系的四要素①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置． 3．确定点的极坐标的方法点P 的极坐标的一般形式为(ρ，θ＋2k π)，k ∈Z ，则 (1)ρ为点P 到极点的距离，是个定值．(2)极角为满足θ＋2k π，k ∈Z 的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP 的任意一个角，一般取绝对值较小的角．课时作业一、选择题1．在极坐标系中，下面点与M ⎝⎛⎭⎫1，π4相同的点为( ) A.⎝⎛⎭⎫1，3π4 B.⎝⎛⎭⎫1，5π4 C.⎝⎛⎭⎫1，7π4 D.⎝⎛⎭⎫1，9π4 答案 D2．极坐标系中，极坐标⎝⎛⎭⎫2，4π3对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析因为极坐标⎝⎛⎭⎫2，4π3对应的点的极径大于0，极角的终边在平面直角坐标系中的第三象限，所以点在第三象限．3．在极坐标系中，已知点A (4,1)，B ⎝⎛⎭⎫3，1＋π2，则线段AB 的长度是( ) A ．1 B. 1＋π24C ．7D ．5答案 D解析设极点为O ，因为点A (4,1)，B ⎝⎛⎭⎫3，1＋π2，所以OA ⊥OB ，所以AB ＝OA 2＋OB 2＝5.4．已知极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫2，3π4，若O 为极点，则△OAB 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰锐角三角形 D ．等腰直角三角形答案 D解析由题意，得∠AOB ＝π4，|AB |＝22＋(2)2－2×2×2×cos π4＝2，所以|OB |2＋|AB |2＝|OA |2且|AB |＝|OB |＝2，故△OAB 为等腰直角三角形．5．在极坐标系中，如果等边三角形的两顶点是A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，54π，那么顶点C 的坐标可能是( ) A.⎝⎛⎭⎫4，34π B.⎝⎛⎭⎫23，34π或⎝⎛⎭⎫23，－π4 C ．(23，π) D ．(3，π) 答案 B解析由图可知，C 应有两个解，故选B.6．已知极坐标系中，极点为O ，若等边三角形ABC (顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极坐标分别是⎝⎛⎭⎫2，π6，⎝⎛⎭⎫2，7π6，则顶点C 的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫23，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4 C.⎝⎛⎭⎫23，2π3 D.⎝⎛⎭⎫22，2π3 答案 C解析如图所示，由于点A ⎝⎛⎭⎫2，π6，B ⎝⎛⎭⎫2，7π6，故极点O 为AB 中点，故等边△ABC 的边长|AB |＝4，则CO ⊥AB ，|CO |＝23，则点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6＋π2，即⎝⎛⎭⎫23，2π3. 二、填空题7．在极坐标系中，若两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3，⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．答案 3解析由题意知，∠AOB ＝π6，AO ＝3，OB ＝4，所以△AOB (其中O 为极点)的面积为12×3×4×sinπ6＝3. 8．已知在极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫7，π3或⎝⎛⎭⎫1，4π3 解析在射线OM 上符合条件的点为⎝⎛⎭⎫7，π3，在射线OM 反向延长线上符合条件的点为⎝⎛⎭⎫1，4π3. 9．在极坐系中，已知两点P ⎝⎛⎭⎫5，5π4，Q ⎝⎛⎭⎫1，π4，则线段PQ 的长度为________．答案 6解析 P ，Q 在过极点且与极轴成π4角的直线上，它们位于极点的两侧，因此PQ ＝5＋1＝6.10．已知在极坐标系中，△AOB 为等边三角形，A ⎝⎛⎭⎫2，7π6，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则点B 的极坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫2，3π2或⎝⎛⎭⎫2，5π6 解析设B (ρ，θ)，由∠AOB ＝π3，得θ－7π6＝±π3＋2k π，k ∈Z ，即θ＝7π6±π3＋2k π，k ∈Z .由|OA |＝2，得ρ＝2，又因为θ∈[0,2π)，所以θ＝3π2或5π6.所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π2或⎝⎛⎭⎫2，5π6. 三、解答题11．在极坐标系中，分别求下列条件下点M ⎝⎛⎭⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标． (1)ρ≥0，θ∈[0,2π)； (2)ρ≥0，θ∈R .解 (1)当ρ≥0，θ∈[0,2π)时，点M ⎝⎛⎭⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，5π3. (2)当ρ≥0，θ∈R 时，点M ⎝⎛⎭⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，2k π＋5π3，k ∈Z . 12．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫2，π3，B ()2，π，C ⎝⎛⎭⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解 (1)如图所示，由A ⎝⎛⎭⎫2，π3，B ()2，π，C ⎝⎛⎭⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. ∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ，故△ABC 为等边三角形． (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3.∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3. 13．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ，建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．解以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系．由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝300 2 m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)， C (600，π6)，D (300，π2)，E (3002，3π4)，F (300，π)，G (1502，3π4)．四、探究与拓展14．已知两点的极坐标A (3，π2)，B (3，π6)，则|AB |＝________，AB 与极轴正方向所夹的角为________．答案 35π6解析 ∵|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3，∴|AB |＝3.∠ADx ＝π－∠ADO ＝5π6.15．已知定点P ⎝⎛⎭⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎫23，π6处，极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2.。

2018-2019学年高中数学第一讲坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化学案新人教A版选修4-4

第2课时极坐标和直角坐标的互化学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．知识点极坐标和直角坐标的互化思考1 平面内的一个点M 的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？答案可以．思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？答案 ①直角坐标的原点为极点；②x 轴的正半轴为极轴；③单位长度相同．梳理互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位． (2)互化公式①极坐标化直角坐标：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.②直角坐标化极坐标：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).类型一点的极坐标化直角坐标例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4；(3)M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6.解由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得(1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，∴点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－322，∴点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.(3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π6＝3，∴点M 的直角坐标为(－33，3)．反思与感悟由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ惟一确定．跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．解根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A (－1，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C (0，－4)．类型二点的直角坐标化极坐标例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)．由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.(3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x ＝1，θ∈[0,2π)．由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.引申探究1．若规定θ∈R ，上述点的极坐标还惟一吗？解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3＋2k π(k ∈Z )．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6＋2k π(k ∈Z )． (3)⎝⎛⎭⎪⎫32π2，π4＋2k π(k ∈Z )．极坐标不惟一．2．若点的直角坐标为(1)(0,23)，(2)(0，－2)，(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解结合坐标系及直角坐标的特点知， (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0.反思与感悟 (1)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532的距离为1且与原点距离最近的点N 的极坐标．解把点M 的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532化为极坐标，得ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5322＝5，tan θ＝－53252＝－ 3. 因为点M 在第四象限，所以θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，则点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3＋2k π，k ∈Z .依题意知，M ，N ，O 三点共线，则点N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3＋2k π，k ∈Z .类型三极坐标与直角坐标互化的应用例3 已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，求线段AB 中点的直角坐标．解因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)，同理可得B (－4，－43)．设线段AB 的中点为M (m ，n )，由线段中点的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4＋32＝－12，n ＝－43＋332＝－32，所以线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.引申探究1．若本例条件不变，求线段AB 中点的极坐标．解由例3知，AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ρ2＝x 2＋y 2＝1，∴ρ＝1.又tan θ＝y x ＝3，∴θ＝4π3，∴极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3. 2．若本例条件不变，求AB 的直线方程．解因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)．又因为直线AB 的倾斜角为π3，故斜率k ＝3，故直线AB 的方程为y －33＝3(x －3)，即3x －y ＝0. 反思与感悟应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．跟踪训练3 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．解对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2.∴B (－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形，故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1或tan θ＝6－6＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)答案 A2．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4答案 B解析设点P 的极坐标为(ρ，θ)， ∵ρ2＝x 2＋y 2＝4，∴ρ＝2，又tan θ＝y x ＝－1，且点P 在第二象限，∴θ＝3π4.3．若M 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，则M 点的直角坐标是( )A ．(－3，1)B ．(－3，－1)C ．(3，－1)D ．(3，1) 答案 A解析由公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，∴M 点的直角坐标为(－3，1)．4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 答案 C解析以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝y x ＝－31＝－ 3.∵点P 在第四象限，结合选项知，θ可以是－π3，∴点P 的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 5．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3解析 ρ＝(－3)2＋(－33)2＝6，由6cos θ＝－3，得cos θ＝－12，又0≤θ<2π，且M (－3，－33)在第三象限， ∴θ＝4π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sin θ＝y ρ，cos θ＝x ρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)．一、选择题1．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－5π3答案 A2．直角坐标为(－2,2)的点M 的极坐标可以为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4 答案 C解析易知ρ＝(－2)2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，因为点M 在第二象限，所以可取θ＝3π4，则点M 的极坐标可以为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4.3．若点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－3,4) 答案 D4．点M 的直角坐标是(3，3)，则点M 的极坐标可能为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫23，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 答案 B解析 ρ＝x 2＋y 2＝23，tan θ＝yx ＝33，又θ的终边过点(3，3)，所以θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以M 的极坐标可能为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 5．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A ．(32，42) B ．(－32，42) C ．(－32，－42) D ．(32，－42)答案 C解析设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)．二、填空题6．把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，π6化为直角坐标为________．答案 (－53，－5)7．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为________．答案5π6解析点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎪⎫332，32，故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6.8．将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________．答案 (－1，－3)解析由于M (－1，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3)．9．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是________．答案125解析点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23，即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10．在极轴上与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为________．答案 (1,0)或(7,0)解析设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．三、解答题11．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)解 (1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y <0，∴ρ＝15，θ＝3π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 12．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，7π6.(1)求|AB |的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点)．解如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB |2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB |＝93.(2)S △AOB ＝12OA ·OB sin∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3.13．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3)．方法一因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线．方法二因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线．四、探究与拓展14．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π 解析 ∵点P (x ，y )在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2. 又tan θ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π. 因此，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，54π. 15．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解如图所示．设M 在直角坐标系x ′O ′y ′中的坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ′＝ρsin θ＝4sin π6＝2，又M 在原坐标系中的坐标为(x ，y )，则x ＝x ′＋2＝23＋2，y ＝y ′＋3＝5，∴点M 的直角坐标是(23＋2,5)．。

高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=，所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。

2019-2020学年人教A版高中数学选修4-4练习：第1讲坐标系二极坐标系 Word版含答案

二极坐标系一、基础达标1.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，则点P 的直角坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2)D.(－2，2)解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，－π2解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.答案 C3.下列各点与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3表示极坐标系中同一点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3B.(2，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3 D.(2，2π)解析与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3适合.答案 C4.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B5.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.解析由公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2），得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.答案56.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.答案 37.在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标.解设M (r ，0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴（42）2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫4，7π4D.⎝⎛⎭⎪⎫4，17π4解析建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π4在极轴下方，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4在极轴上方，故选D.答案 D9.点M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________.解析依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 310.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________.解析如图，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝⎛⎭⎪⎫1，4π311.(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2，－2)，D (23，－2).(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ，故△ABC 为等边三角形. (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位). 三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系. 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，34π.。

新课标人教版高二数学选修4-4_坐标系_练习题①②(附答案)

第一讲测试题①一、选择题1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )．A ．(4，32π)B ．(－4，32π)C ．(－4，3π)D ．(4，3π) 2．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆3．极坐标方程θρcos ＋12＝化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )4．点P 在曲线 ρcos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ．圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段5．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为A ．2B ．1C ．3D ．06．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．圆7．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )． A ．22B ．2C ．52D ．328．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )． A ．(－1，4π3) B ．(1，4π7) C ．(2，4π)D ．(1，4π5) 9．极坐标方程为lg ρ＝1＋lg cos θ，则曲线上的点(ρ，θ)的轨迹是( )． A ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆B ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点C ．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆D ．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆10．方程θθρsin ＋ cos 11＝－表示的曲线是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题11．在极坐标系中，以(a ，2π)为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为．12．极坐标方程 ρ2cos θ－ρ＝0表示的图形是． 13．过点(2，4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是． 14．曲线 ρ＝8sin θ 和 ρ＝－8cos θ(ρ＞0)的交点的极坐标是．15．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ cos θ ＝3，ρ＝4cos θ (其中0≤θ＜2π)，则C 1，C 2交点的极坐标为． 16．P 是圆 ρ＝2R cos θ上的动点，延长OP 到Q ，使|PQ |＝2|OP |，则Q 点的轨迹方程是．第一讲测试题②一．选择题1．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（）A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ6、已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为A 、正三角形B 、直角三角形C 、锐角等腰三角形D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是 A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与有关，不确定 9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二．填空题（每题5分共25分）11、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 12．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是13．圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为14．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。

新高中数学第1讲坐标系二极坐标系练习新人教A版选修4_4

新高中数学第1讲坐标系二极坐标系练习新人教A 版选修4_4一、基础达标1.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，则点P 的直角坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2)D.(－2，2)解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，－π2解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.答案 C3.下列各点与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3表示极坐标系中同一点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3B.(2，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3 D.(2，2π)解析与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3适合.答案 C4.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B5.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.解析由公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2），得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.答案56.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.答案 37.在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标.解设M (r ，0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴（42）2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫4，7π4D.⎝⎛⎭⎪⎫4，17π4解析建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π4在极轴下方，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4在极轴上方，故选D.答案 D9.点M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________.解析依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 310.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________.解析如图，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝⎛⎭⎪⎫1，4π311.(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2，－2)，D (23，－2).(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ，故△ABC 为等边三角形. (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位). 三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系. 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，34π.。

高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4

将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2，又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ，解：由变换公式y＝ρsin θ，得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2，故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．

高中数学人教A版选修4-4课后训练：1.2极坐标系 Word版含解析

课后训练1．下列各点中与极坐标π57⎛⎫⎪⎝⎭，表示同一个点的是( )． A ．6π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．15π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．6π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2．在极坐标系内，点π32⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于直线π6θ＝(ρ∈R )的对称点的坐标为( )． A ．(3,0) B ．π32⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．2π33⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．11π36⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3．已知点M 的极坐标为π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．4π53⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．2π53⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．5π53⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 4．已知A ，B 的极坐标分别是π33⎛⎫ ⎪⎝⎭，和⎝⎛⎭⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )．A ．2B ．2C ．2D ．25．写出与直角坐标系中的点(－表示同一个点的所有点的极坐标__________．6．直线l 过点π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π36B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线l 与极轴的夹角等于________． 7．已知A ，B 的极坐标分别为2π83⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π63⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求线段AB 的中点的极坐标． 8．在极轴上求与点π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离为5的点M 的坐标． 9．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标：①π4⎫⎪⎭；②π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；③(5，π)． (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)：①；②(－1，－1)；③(－3,0)．10．△ABC 的顶点的极坐标为4π43A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π66B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π86C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积；(3)求△ABC 的边AB 上的高．参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：A解析：化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：C解析：A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知13ππ5π1246AOB ∠＝－＝. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，所以，由余弦定理，得 |AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos5π6＝9＋9－2×9×2⎛- ⎝⎭＝2918(12＋＝.∴||AB 5. 答案：2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＋(k ∈Z )解析：4ρ，tan 2y x θ-＝＝ ∴2π3θ＝.∴点(－用极坐标表示为2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(k ∈Z )． 6. 答案：π4解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， πππ 366AOB ∠＝－＝，所以ππ5π6212OAB ∠－＝＝，所以π5πππ3124ACO ∠＝－－＝. 7. 解：A ，B两点的直角坐标分别为(－，．线段AB的中点的直角坐标为12⎛- ⎝⎭.则ρtan θ-＝所以线段AB的中点的极坐标为)θ，其中tan θ＝－8. 解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)．因为π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则A 的直角坐标为(4,4)，5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．9.解：(1)①πcos 14x＝， πsin 14y ＝，所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)． ②x ＝6·cos π3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3， y ＝6·sin π3⎛⎫-⎪⎝⎭＝－所以点π3⎫-⎪⎭的直角坐标为(3，－． ③x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．(2)①ρtan θ又因为点在第一象限，所以π3θ＝.所以点的极坐标为π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，.②ρtan θ＝1．又因为点在第三象限，所以5π4θ＝.所以点(－1，－1)的极坐标为5π4⎫⎪⎭.③3ρ，极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10. 解：4π5ππ362AOB ∠＝－＝，7π5ππ663BOC ∠＝－＝，4π7ππ366COA ∠＝－＝.(O 为极点)(1)||AB |BC |＝＝|AC |＝＝∴△ABC 是等腰三角形．(2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝ S △COA ＝12|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △COA －S △AOB ＝ 4.(3)设AB 边上的高为h ，则2||13ABC S h AB ∆＝＝.。

高中数学第1讲坐标系二极坐标系第2课时极坐标和直角坐标的互化练习新人教A版选修4-4-

第二课时极坐标和直角坐标的互化课时跟踪检测一、选择题1．下列直角坐标表示的点在极轴上的是( ) A ．(1,2) B ．(0，π) C ．(π，0)D ．(π，2π)解析：画出各点的位置可知，(π，0)在极轴上．答案：C2．(2019·某某月考)设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫32，34π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，54πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54πD ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，34π 解析：∵点P 对应的复数为－3＋3i ，∴点P 的直角坐标为(－3,3)．∴ρ＝(－3)2＋32＝32，tan θ＝3－3＝－1，又点P 位于第二象限，∴θ＝3π4，∴点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4，故选A ．答案：A3．把点M 的直角坐标(1,1)化成极坐标形式为(ρ≥0，－2π≤θ＜0)( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B ．⎝⎛⎭⎪⎫2，π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－π4 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－74π解析：∵ρ＝12＋12＝2，tan θ＝1，又(1,1)为第一象限的点，∴θ＝－74π，故选D ．答案：D4．在极坐标系中，极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π化为直角坐标为( ) A ．(1,1) B ．(－1,1) C ．(1，－1)D ．(－1，－1)解析：∵x ＝2cos 54π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝2sin 54π＝－1.∴将⎝⎛⎭⎪⎫2，54π化为直角坐标为(－1，－1)．答案：D5．(2019·资阳期末)以平面直角坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，则直角坐标为(－2,2)的点的极坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，π4B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫2，π4D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4解析：依题意，ρ＝(－2)2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵点(－2,2)位于第二象限，∴θ可取34π，∴直角坐标为(－2,2)的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4，故选B ．答案：B6．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，∴|OA |＝|OB |＝2，∠AOB ＝π3， ∴△AOB 是等边三角形，∴|AB |＝2. 答案：B 二、填空题7．(2019·鄂尔多斯一中调研)点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0,0≤θ＜2π的条件下，它的极坐标是________．解析：∵点M 的直角坐标为(3，－1)，∴ρ＝32＋(－1)2＝2，tan θ ＝－13＝－33，∵点M 位于第四象限，且0≤θ＜2π，∴θ＝11π6，∴点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6 8．(2019·某某期中)已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，则它化成直角坐标为________．解析：∵点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，∴x ＝5cos π3＝52，y ＝5sin π3＝532.∴点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5329．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π8，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π8，则△AOB 的形状为_______．解析：∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π8，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π8， ∴|OA |＝2，|OB |＝2， |AB |＝(2)2＋22－2×2×2co s ⎝⎛⎭⎪⎫5π8－3π8＝ 2＋4－4＝2，∴|OA |＝|AB |，且|OA |2＋|AB |2＝|OB |2， ∴△AOB 是等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形三、解答题10．把下列各点的极坐标化成直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π3；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π.解：(1)∵ρ＝4，θ＝－π3∴x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－23，∴点A 的直角坐标为(2，－23)．(2)∵ρ＝2，θ＝54π，∴x ＝ρcos θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，y ＝ρsin θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，∴点B 的直角坐标为(－2，－2)． 11．将点A (－3,2)按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y得到点A ′，求点A ′的极坐标．解：∵x ＝－3，y ＝2，x ′＝2x ＝－6，y ′＝3y ＝6， ∴A ′(－6,6)在第二象限，且tan θ＝6－6＝－1，∴θ＝34π.又ρ＝x 2＋y 2＝62，∴A ′的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，34π. 12．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，AB ，BC ，CD ，AD 的中点分别为E ，F ，G ，H ，以菱形的中心为极点O 为坐标原点，OA 的方向为极轴方向与x 轴正方向，建立极坐标系与平面直角坐标系，如图，限定ρ≥0，θ∈[0,2π)．(1)求点E ，F ，G ，H 的极坐标与直角坐标； (2)判断四边形EFGH 的形状．解：(1)由于菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，所以|OB |＝1，|OA |＝3，菱形的顶点的直角坐标分别为A (3，0)，B (0,1)，C (－3，0)，D (0，－1)，所以菱形各边中点的直角坐标分别为E ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，菱形各边中点的极坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π6，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11π6.(2)由上述菱形各边中点的直角坐标，得EF →＝HG →＝()－3，0，EF →∥HG →，故四边形EFGH 为平行四边形，又GF →＝(0,1)，GF →·EF →＝0，故GF →⊥EF →，所以四边形EFGH 为矩形．13．(2019·东城区模拟)在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，O 是极点，则△AOB的面积等于________．解析：由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3知，|OA |＝1，|OB |＝2，∠AOB ＝2π3－π3＝π3. ∴△AOB 的面积S ＝12|OA |·|OB |sin π3＝12×1×2×32＝32. 答案：32。

数学人教A版选修4-4课后导练第一讲二极坐标系含解析

课后导练基础达标1.点P 的直角坐标为(2,2-)，那么它的极坐标可表示为（） A.(2,4π) B.(2,43π) C.(2,45π) D.(2,47π) 解析:因为点P(2,2-)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一讲知识的基础.答案：B2.点P(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( )A.(-ρ0,θ0)B.(ρ0,-θ0)C.(-ρ0,-θ0)D.(-ρ0,θ0+π)解析:利用ρ取负值时点的确定方法即可知A 正确.答案:A3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:方程ρ2cos2θ=c 2⇒ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2⇒x 2-y 2=c 2.答案:C4.曲线的极坐标方程为aρcos 2θ+bcosθ-sinθ=0(a≠0),则曲线是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:将方程aρcos 2θ+bcosθ-sinθ=0各项都乘以ρ,aρ2cos 2θ+bρcosθ-ρsinθ=0⇒ax 2+bx-y=0⇒y=ax 2+bx,是抛物线.答案:D5.点P 1(2,4π),P 2(-3,-4π),则|P 1P 2|的值为…( ) A.13 B.5 C.2613+ D.2613-解析:应用极坐标系中两点间的距离公式|P 1P 2|=)cos(212212221θθρρρρ--+(ρ1、ρ2≥0).其中P 2(3,33π),代入可得.答案:A6.已知点A(-2,-2π),B(2,33π),O(0,θ),则△ABO 为( )A.正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.等腰直角三角形解析:点A(-2,-2π)即为A(2,2π),∴∠AOB=4π,且|OB|=2,|OA|=2.∴△ABO 为等腰直角三角形.答案:D7.极坐标方程ρ=θθ2sin cos 22+所对应的直角坐标方程为____________. 解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧==,0,tan ,,sin ,cos 222x x y y x y x θρθρθρ将ρ,θ消去,换成字母x,y 即可.因为ρ=θθ2sin cos 22+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 1(2-+,即ρ=θcos 12-, 去分母,得ρ=2+ρcosθ,将公式代入得x 2+y 2=(2+x)2,整理可得.答案：y 2=4(x+1)8.已知下列各点的极坐标为A(5,2π),B(2,0),C(6,-65π),D(-4,6π),E(0,3π),画出这些点,并求出它们的直角坐标.解:这些点如图.利用公式⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x 即可求出它们的直角坐标为A(0,5),B(2,0),C(33-,-3),D(32--2),E(0,0).9.极坐标方程4ρ·2cos 1θ-=5表示的曲线是…( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:把原方程4ρ2cos 1θ-=5化为4ρ-4ρcosθ=10, ∴4ρ=4x+10.∵ρ=22y x +,∴16(x 2+y 2)=(4x+10)2.∴4y 2=20x+25.答案:D综合运用10.极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是( )A.两条射线B.两相交直线C.圆D.抛物线解析:原方程两端同乘以ρ2,则得4y 2=3(x 2+y 2),∴所表示的曲线是两条相交直线.答案:B11.极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是 …( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos 4πcosθ+sin 4πsinθ. 两边同乘以ρ,得ρ2=22ρcosθ+22ρsinθ, 即x 2+y 2=22x+22y, 即为x 2+y 2-22x-22y=0,表示圆. 答案:D12.已知直线的极坐标方程为ρ·sin(θ+4π)=22,则极点到该直线的距离是___________. 解析:∵ρsin(θ+4π)=22, ∴ρsinθcos4π+ρcosθsin 4π=22, 即x+y=1. ∴原点到直线x+y=1的距离为d=21=22. 答案:22 13.在极坐标系中与点A(3,-3π)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.(3,32π) B.(3,3π) C.(3,34π) D.(3,65π) 解析:极坐标中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k ∈Z ),利用这一规律即可.答案:B温馨提示一般地,在极坐标系中点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k ∈Z );点(ρ,θ)关于极点对称的点的极坐标为(ρ,2kπ+π+θ)(k ∈Z );点(ρ,θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ+π-θ)(k ∈Z ). 拓展探究14.在极坐标系中,O 是极点,设点A(4,3π),B(5,-65π),则△AOB 的面积是_________. 解析:如图,|OA|=4,|OB|=5,∠AOB=2π-3π-65π=65π. ∴S △OAB =21×4×5×sin 65π=5.答案:5。

2018高中数学人教a版选修4-4学案：第一讲二极坐标系含答案

_坐_标_系[对应学生用书P4] 1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM长度，用θ表示射线Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(3)极坐标与直角坐标的区别与联系2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；，⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)..[对应学生用书P4][例1] 已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标． (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点；(2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．[解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)．(2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)，所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)．设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．在极坐标系中，画出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4. 解：如图所示．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．解：作出图形，可知A(3，π6)关于直线θ＝π2的对称点是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，5π6.。

2018-2019学年高中数学第一章坐标系二极坐标系高效演练新人教A版选修4-4

二、极坐标A 级基础巩固一、选择题1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则它的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 解析：ρ＝2，tan θ＝－3，因为点P (1，－3)在第四象限，故取θ＝－π3，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 答案：C2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)解析：x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0，所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．答案：A3．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫32，34πB.⎝⎛⎭⎪⎫－32，54πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54πD.⎝⎛⎭⎪⎫－3，34π 解析：点P 的直角坐标是(－3，3)，极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π4. 答案：A4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M (ρ1，θ1)与点N (ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点与极轴垂直的直线对称D ．重合解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M ，N 位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．答案：B 二、填空题5．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________．解析：由公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2），得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.答案：56．已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为________．解析：因为A ，B 两点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，所以A ，B 两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)，所以线段AB 中点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－327．在极坐标系中，O 为极点，若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，7π6，则△AOB 的面积等于________．解析：点B 的极坐标可表示为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，则∠AOB ＝π3－π6＝π6，故S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4·sin π6＝3.答案：38．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.答案：3三、解答题9．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．解：对于点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，所以x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，所以x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－ 2.所以B (－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形，故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.所以⎩⎨⎧（x －2）2＋（y －2）2＝16，（x ＋2）2＋（y ＋2）2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.所以点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．当x ＝6，y ＝－6，即点C 在第四象限时，有ρ＝23，tan θ＝－1，所以ρ＝23，θ＝74π.当x ＝－6，y ＝6，即点C 在第二象限时，有ρ＝23，θ＝34π.故点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4. 10.如果对称点的极坐标定义如下：当已知M (ρ，θ)(ρ＞0，θ∈R)时，点M 关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)．例如，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3关于极点O 的对称点M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3，就是说⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3＋π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3表示的就是同一点．已知A 点的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π3，分别在下列给定条件下，写出A 点的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π. (2)ρ＜0，0≤θ＜2π. (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.解：如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6，∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即点A 与A ′关于极点O 对称．由极坐标的定义知(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3. (2)当ρ＜0，0≤θ＜2π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，2π3. (3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－4π3.[B 级能力提升]1．已知两点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．解析：在极坐标系Ox 中作出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2和B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，如图所示，则|OA |＝|OB |＝3， ∠AOx ＝π2，∠BOx ＝π6，所以∠AOB ＝π3.所以△AOB 为正三角形，从而|AB |＝3，直线AB 的倾斜角为π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝5π6.答案：35π62．已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0，2π)时，点P 的极坐标为________．解析：因为点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，所以x ＝－2，且y ＝－2，所以ρ＝x 2＋y 2＝22，又tan θ＝y x ＝1，且θ∈[0，2π)，所以θ＝5π4.因此点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，5π4 3．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，B ()2，π，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解：(1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3，所以△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，所以AB ＝BC ＝CA ，故△ABC 为等边三角形． (2)由(1)可知，|AC |＝2|OA |sin π3＝2×2×32＝2 3.所以S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.本文档仅供文库使用。

「精品」高中数学第一章坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化优化练习新人教A版选修4_4

二第二课时极坐标和直角坐标的互化[课时作业] [A 组基础巩固]1．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(2,0)D ．(－2,0)解析：由题意可知，x ＝2cos 3π2＝0，y ＝2sin 3π2＝－2.答案：B2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( ) A ．ρ＝3，θ＝4 B ．ρ＝5，θ＝4 C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－43解析：由公式得ρ＝ x 2＋y 2＝ 32＋－2＝5，tan θ＝y x ＝－43，θ∈[0,2π)．答案：D3．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：方法一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标分别为(3，1)与(3，－1)，于是|AB |＝3－32＋＋12＝2.方法二由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6知， |OA |＝|OB |＝2，∠AOB ＝π3，于是△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝2. 答案：B4．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，则线段AB 的中点的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫4，π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4解析：由题易知点A ，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB 的中点的直角坐标为(2,2)．由ρ2＝x 2＋y 2，得ρ＝2 2.因为tan θ＝22＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝π4.故线段AB 的中点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.答案：A5．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12B.⎝⎛⎭⎪⎫1，5π12C.⎝⎛⎭⎪⎫22，5π12 D.⎝⎛⎭⎪⎫22，π3 解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB |＝22×2＝1，设线段AB 的中点为C ，则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π12，所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.答案：A6．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________．解析：直角坐标为(1，－3)的点在第四象限， tan θ＝－3，所以θ＝2k π－π3(k ∈Z)．答案：2k π－π3(k ∈Z)7．极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫6，7π3的直角坐标为________．解析：∵x ＝ρcos θ＝6cos 7π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin7π3＝33， ∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫6，7π3化为直角坐标为(3,33)．答案：(3,33)8．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π6|＝3.答案：39．已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标．解析：根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(－1,1)；(2)(4，－43)； (3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2；(4)(－6，－2)．解析：(1)∵ρ＝－2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－1,1)在第二象限，所以θ＝3π4，∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. (2)∵ρ＝42＋－432＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0,2π)，由于点(4，－43)在第四象限．所以θ＝5π3，∴直角坐标(4，－43)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.(3)∵ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2， tan θ＝3π23π2＝1，θ∈[0,2π)，由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，∴直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.(4)∵ρ＝－62＋－22＝22，tan θ＝－2－6＝33，θ∈[0,2π)，由于点(－6，－2)在第三象限，所以θ＝7π6，∴直角坐标(－6，－2)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6. [B 组能力提升]1．在极坐标系中，若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π6，求△ABO 的面积(O 为极点)为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由题意可知，在△ABO 中，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△ABO 的面积为S ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×3×4×sin 5π6＝12×3×4×12＝3.答案：B2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.18＋62 B.18－62 C.36＋322D.36－322解析：A ，B 两点在极坐标系中的位置，如图．则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6.在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，所以由余弦定理得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝18＋93＝92(1＋3)2.所以|AB |＝36＋322.答案：C3．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ＞0,0≤θ＜2π时，则点P 的极坐标为________．解析：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∵点P 的直角坐标为(3，－3)， ∴ρ＝ 32＋－32＝23，tan θ＝－33.∵0≤θ＜2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π64．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O为极点)的面积为________．解析：如图所示，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×3×4×12＝3.答案：35．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解析：将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3)．方法一因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线．方法二因为MN →＝NP →＝(1，3)．所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线．6．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解析：以极点O ′为坐标原点，极轴方向为x ′轴正方向，建立新直角坐标系x ′O ′y ′，设点M 的新直角坐标为(x ′，y ′)，于是x ′＝4cos π6＝23，y ′＝4sin π6＝2，由O ′(x ′，y ′)＝O ′(0,0)，O ′(x ，y )＝O ′(2,3)，易得O ′(x ′，y ′)与O ′(x ，y )的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3，于是点M (x ，y )为⎩⎨⎧x ＝23＋2，y ＝2＋3＝5，所以点M 的直角坐标为(23＋2,5)．。