【全国百强校】江苏省启东中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
2020年江苏省南通市启东中学创新班高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.当z=-时，z100+z50+1的值等于（）A. 1B. -1C. iD. -i2.（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10．则a1+a2+a3+…+a10=（）A. 1B. -1C. 1023D. -10233.从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为（）A. B. C. D. 14.设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{-1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A. 60B. 90C. 120D. 1305.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案（）A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种6.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有( )种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 3607.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是（）A. P（X=4）B. P（X≤4）C. P（X=6）D. P（X≤6）8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A. 24B. 18C. 12D. 99.在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A. B. 7 C. D. 2810.一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．12.已知a＞0，（ax-1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为______．13.计算：+++++…++=______．14.武汉臭豆腐闻名全国，某人买了两串臭豆腐，每串3颗（如图）．规定：每串臭豆腐只能至左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该人将这两串臭豆腐吃完，有______种不同的吃法．（用数字作答）15.在三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3，j=1，2，3），从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是______．16.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有______种．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），．（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．18.已知复数z=1+i（i为虚数单位）．（1）设ω=z2+3-4，求|ω|；（2）若=2-i，求实数a的值．19.7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（1）其中甲不站排头，乙不站排尾；（2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；（3）其中甲、乙中间有且只有1人；（4）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．20.已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n的值；（2）求展开式中所有二项式系数的和；（3）求展开式中所有的有理项．21.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．22.已知函数f n（x）=（1+λx）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R，n∈N．（1）若λ=-2，n=2018，求a0+a2+a4+…+a2018的值；（2）若n=8，a7=1024，求a i（i=0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ=-1，求证：x k f n-k（x）=x．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z=-得，，∴z100+z50+1=（-i）50+（-i）25+1=-1-i+1=-i，故选：D．由已知求得z2=-i，代入z100+z50+1得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i得运算性质，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．【解答】解：令x=1代入二项式（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，得（2-1）10=a0+a1+…+a10=1，令x=0得a0=，∴+a1+a2+…+a10=1，∴a1+a2+…+a10=-1023，故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，古典概型概率的求法，考查计算能力．分别求解椭圆的离心率，然后求解概率即可．【解答】解：从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则m=2时：椭圆为：，离心率为：e===，方程，表示圆；m=8时，椭圆方程，离心率为：e===，方程表示离心率为的椭圆的概率为：．故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题看似集合题，其实考查的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从-1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从-1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从-1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，故最多有种栽种方案.故选D.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的=，即可得出结论．【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的=，∴不同的排法种数共有=480种．故选B．7.【答案】A【解析】解：由可得：此为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便的概率，故选：A．由古典概型及其概率计算公式得：此概率为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属简单题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查组合与分步乘法计数原理的简单应用，属基础题．假设向上的方向为北，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段向东，另2段向北，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法有3种，利用分步乘法计数原理可得结论．【解答】解：假设向上的方向为北，从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段向东，另2段向北，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n,利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：依题意+1=5，∴n=8，二项式为（）8，其展开式的通项为，令，解得r=6，故常数项为=7，故选B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查古典概型概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先求出从5个小球中取出2个的个数，然后求出事件：取出的两个球上编号之积为奇数的个数，由概率计算公式，可得结论．【解答】解：设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A，则Ω={（1，2）,（1，3）,（1，4）,（1，5）,（2，1）,（2，3）,（2，4）,（2，5） (5)1）,（5，2）,（5，3）,（5，4）}共包含20个基本件其中事件A={（1，3）,（1，5）,（3，1）,（3，5）,（5，1）,（5，3）}包含6个基本事件，所以P（A）==.故选：B．11.【答案】1080【解析】【分析】第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，由分步与分类计数原理计算即可.本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，属于中档题.【解答】解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次、第六次或第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有=1080种.故答案为：1080．12.【答案】【解析】解：（ax-1）4（x+2）=（1-ax）4（x+2）=（1-4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为-4a+12a2=1，即12a2-4a-1=0，解得a=或a=-（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．利用二项展开式定理求出多项式的展开式，再求x2的系数，列方程求得a的值．本题考查了二项展定理的应用问题，是基础题．13.【答案】1140【解析】解：+++++…++=+++++…++，∵C n+13-C n3=C n2，∴C22+C32+C42+…+C192=C33+（C43-C33）+（C53-C43）+…+（C203-C193）=C203==1140，故答案为：1140．利用组合数公式的性质C n+13-C n3=C n2，可得C22+C32+C42+…+C192=C33+（C43-C33）+（C53-C43）+…+（C203-C193），化简得到结果．本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质C n+13-C n3=C n2，即C n2+C n3=C n+13，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法共有•=20种，故答案为20．总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法共有•种．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，学生不易找到入手点：将6口转化为顺序不变的两个3口问题，属于中档题．15.【答案】【解析】解：从9个数a ij（i=1，2，3，j=1，2，3），从中任取3个数共=84种取法，则这3个数中既不同行也不同列的取法共有=6种，即这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1-=，故答案为：．由古典概型及其概率计算公式得：这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1-=，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属中档题．16.【答案】141【解析】解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种．故答案为141．由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果．本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．17.【答案】解：（1）解法一：∵w（1+2i）=4+3i，∴，∴．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），a+bi-4=3i-2ai+2b，得，∴∴w=2-i，以下解法同解法一．（2）∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，∴（3+i）2-p（3+i）+q=0（8-3p+q）+（6-p）i=0，∵p，q为实数，∴，解得p=6，q=10．解方程x2-6x+10=0得∴实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i．【解析】（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出．（2）把z=3+i代入关于x的方程x2-px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由复数z=1+i，得．则ω=z2+3-4=（1+i）2+3（1-i）-4=1+2i-1+3-3i-4=-1-i．故|ω|=；（2）===2-i，由复数相等的充要条件得：，解得a=3．【解析】（1）把z=1+i代入ω=z2+3-4，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简左边，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．19.【答案】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有种排法，②、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有种排法，乙不能在排尾，也有5个位置可选，有种排法，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法，则此时有种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有+=3720种．（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有种情况，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有A53种情况，则共有=1440种排法．（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，有种情况，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有=1200种排法．（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有A74种排法，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A74=840种．【解析】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用．（1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，②、甲不站在排尾，依次分析甲、乙以及剩余5人的排法数目，结合乘法原理可得其排法数目，最后由分类计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．20.【答案】解：二项式（x+）n展开式的通项公式为T r+1=•x n-r•=••，（r=0，1，2，…，n）；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得•=•，即n=•，解得n=5；（2）展开式中所有二项式系数的和为+++…+=25=32；（3）二项式展开式的通项公式为T r+1=••，（r=0，1，2，…，5）；当r=0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T1=••x5=x5，T3=••x5-3=x2，T5=•x5-6=．【解析】本题考查了二项式展开式中二项式系数和的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，是综合性题目．写出二项式（x+）n展开式的通项公式，（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；（2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n，即可求出结果；（3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．21.【答案】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．【解析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．22.【答案】解：（1）λ=-2，n=2018时，=，令x=1得，（1-2）2018=a0+a1+a2+…+a2017+a2018=1，令x=-1得，（1+2）2018=a0-a1+a2-a3+，可得；（2）=，，解得λ=2，不妨设a i中a t（t=01，2，3，…8）最大，则，即，所以，5≤t≤6，则t=5或6，因此，a i的最大值为；（3）若λ=1，，=+∵，所以，==+=x[x+（1-x）]n-1=x．【解析】（1）分别令x=1，x=-1，利用二项展开式展开f（1）和f（-1），将两式相加可得出a0+a2+a4+…+a2018；（2）先由a7=1024求出λ=2，设a i中a t最大，由，求出t的取值范围，确定t的值后，可求出a i的最大值；（3）利用组合数公式计算，并在代数式x k f n-k（x）中提公因式x，再结合二项式定理可证明结论．本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题．。
江苏省启东中学数学高一下期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．23．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --=4．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）． A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 5．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．47．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．28．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π9．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β10．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32- 11．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2212．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π13．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 14．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12488]经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.17．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 19．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．20．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．21．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.22．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________23．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.24．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12623]如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12596]如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.29．(0分)[ID ：12562]如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDF ；（2）求证：PC ⊥BD .30．(0分)[ID ：12619]如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AAC C ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;（2）若四棱锥B ACMN -31A AC ∠的正弦值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．D4．C5．C6．C7．D8．C9．D10．A11．A12．A13．D14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关20．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6 021．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d 由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心22．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方23．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值24．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．2．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.4．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.6．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．7．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 8．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π. 9．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.10．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =. 又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 11．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．12．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 13．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.14．D解析：D【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】 先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-， 平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=，则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π 【解析】 试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。
江苏省南通市启东中学2019_2020学年高一数学下学期期初考试试题普通班含解析
解得 ,即
，
由面积公式可得： ，即
由余弦定理可得：
即有
解得
【点睛】本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案
16。在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（1，－1），点P为圆（x－4）2＋y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则 的最小值是________．
选项D，将(0，0）带入圆的方程，则有1+k2＝k4，不存在k∈N*使上式成立，
即所有圆不过原点，正确．
故选ABD
【点睛】本题考查圆的方程,考查两圆的位置关系，会利用反证法进行分析证明，会利用数形结合解决实际问题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13.直线 关于点 对称的直线的方程为_________。
【详解】由 ，利用正弦定理可得 ，即 ， 是等边三角形, 正确；
由正弦定理可得 , 或 ，
是等腰或直角三角形， 不正确;
由正弦定理可得 ,即 ，
则 等腰三角形， 正确；
由正弦定理可得 ，角 为锐角，角 不一定是锐角， 不正确，故选AC。
【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用,以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理,化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；(3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
【详解】由已知可得, 名运动员的年龄是总体, 名运动员的年龄是样本，总体容量为 ,样本容量为 ，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为 ，所以A、 B 错误,C、D正确。
江苏省启东中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题(普通班)(含答案)
江苏省启东中学2019-2020第二学期期初考试高一数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：产量(万件)x 234单位成本(元件)y /3a 7现根据表中所提供的数据，求得关于的线性回归方程为，则值等于( )y x ˆ21y x =-a A ．B ．C ．D ．4.55 5.562. 直线x cos α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )3A.∪ B.∪ C. D.[π6，π2][π2，5π6][0，π6][5π6，π)[0，5π6][π6，5π6]3. 掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M ＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N ＝{至少一次正面向上}．则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝，P (N )＝B ．P (M )＝，P (N )＝13121334C ．P (M )＝，P (N )＝D ．P (M )＝，P (N )＝123412124. 已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)5. 在中，，则BC 边上的中线AD 的长为 ABC ∆2,60AC BC B === ()A ．1BC ．2D 6. 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝2，3则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝07. 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m8. 已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程 f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省启东中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省启东中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试卷一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．602. 若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在 圆x 2＋y 2＝9内的概率为( )A. 19B.29C.16D. 5363. 已知△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形 4. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.235. 过点(0，－2)的直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－34B. ⎝⎛⎭⎫－24，24C. ⎝⎛⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－18，186. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重. 恩格尔系数越小，即家庭的消费支出中用于购买食物的支出所占比例越小，更多的消费用于精神追求，标志着家庭越富裕. 恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕。
下图给出了1980—2017年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，对所列年份进行分析，则下列结论正确的是（ ）A. 农村和城镇居民家庭消费支出呈下降趋势B . 农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多C . 1995年我国农村居民初步达到小康标准D . 2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6% 7. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离 水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．51米B ．251米 C.14米 D ．15米8. 已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =1，b =3， 则c 的取值范围是（ ）A. )4,2(B. ]3,22(C. )10,3[D. )10,22(二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省启东中学2020学年高一数学下学期期中试题
苏省启东中学2020学年度第二学期期中考试高一数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 在ABC ∆中，若2223c a bc b -=-，则=A ▲ ．2. 设直线l 的方程为03)1(=+++y m mx ，当直线l 垂直于x 轴时，m 的值为 ▲ ．3. 在等差数列}{n a 中，67=a ，则13S = ▲ ．4. 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，则该三角形的形状为 ▲ 三角形.5. 已知直线上一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率=k ▲ ．6. 已知数列}{n a 满足161=a ，且3441-=+n n a a ．若01<⋅+k k a a ，则正整数k ＝__▲___.7. 在1和512中插入5个数，使这7个数成等比数列，则公比q 为 ▲_ ．8. 某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是___▲___km.9. 已知),(n m P 是直线2052=+y x 在第一象限部分上的一点，则n m 2lg 5lg +的最大值为 ▲_ ．10. 已知各项不为0的等差数列}{n a 满足08276=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则=1182b b b ▲_ ．11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝__▲___. 12. 已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集是}21|{<<-x x ，则关于x 的不等式0<++b xc ax 的解集为 ▲_ ． 13. 已知α为锐角，则αα2tan 3tan 2+的最小值为 ▲_ ． 14. 已知数列}{n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧+=--为偶数，为奇数，n a n a a n n n 11212若30272018=S ，则1a = ▲_ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.（14分）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：(1)过定点)4,3( A ；(2)斜率为61．16.（14分）如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1) 求sin∠BAD ；(2) 求BD ，AC 的长．17.（14分）已知集合}023|{2≥+-=x x x A ．（1）若集合}|{t x x B ≤=，且R B A =⋃，求实数t 的取值范围；（2）若集合}0|{2≤+-=b ax x x B ，且}32|{≤≤=⋂x x B A ，求实数a 的取值范围．18.（16分）已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，2+=n S b n n ． （1）已知}{n a 是等比数列，12=a ，15133=b ，求}{n a 的通项公式； （2）已知}{n a 是公差为)0(≠d d 的等差数列，若}{n b 也是等差数列，求d a 1的值．19.（16分）如图，有一壁画，最高点A 距离地面AE 为4米，最低点B 距离地面BE 为2米．如 果在距离地面高CF 为5.1米、与墙壁距离EF 为4米的C 处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果（视角θ=∠ACB 越大，效果越好），现在有两种方案可供选择：① 与壁画距离EF 不变，调节高度CF ；② 与地面距离CF 不变，调节与壁画的距离EF 。
江苏省南通市启东市2020-2021学年高一下学期期中学业质量检测数学试卷及答案
江苏省南通市启东市2020-2021学年高一下学期期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．＝（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i2．函数f（x）＝cos2x的最小正周期为（）A．2 B．4 C．2πD．4π3．设向量＝（1，﹣1），＝（m，2m﹣3），若⊥（+），则m＝（）A．B．1 C．3 D．54．某海域有A，B，C三座小岛，经测量，B岛在A岛的正东方向，且距离A岛10海里处，C岛在A岛的北偏西30°方向，且距离A岛20海里处，则B，C两座小岛间的距离为（）A．10海里B．10海里C．10海里D．10海里5．在△ABC中，若cos（2B+C）+cos C＞0，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上皆有可能6．瑞士数学家莱昂哈德•欧拉于1748年提出了著名的公式：e ix＝cos x+i sin x，其中e是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，|e2i﹣1|＝（）A．cos2 B．sin2 C．2sin1 D．2cos17．设a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b8．设点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，向量绕着O点顺时针方向旋转θ后得到，则A′的坐标为（）A．（a cosθ﹣b sinθ，a sinθ+b cosθ）B．（a cosθ+b sinθ，b cosθ﹣a sinθ）C．（a sinθ+b cosθ，a cosθ﹣b sinθ）D．（b cosθ﹣a sinθ，b sinθ+a cosθ）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省启东中学2019_2020学年高一数学下学期期初考试试题(普通班)
江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（普通班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：现根据表中所提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ21yx =-，则a 值等于( ) A ．4.5B ．5C ．5.5D ．62. 直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π63. 掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M ＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N ＝{至少一次正面向上}．则下列结果正确的是( ) A ．P (M )＝13，P (N )＝12 B ．P (M )＝13，P (N )＝34 C ．P (M )＝12，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝124. 已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)5. 在ABC ∆中，2,60AC BC B ===o ，则BC 边上的中线AD 的长为( )A ．1B C ．2D6. 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝07. 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m8. 已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点， 则方程 f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
启东中学高一下学期期中考试试卷
启东中学高一下学期期中考试试卷1．（5分）若平面α和直线a ，b 满足a A α=I ，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ） A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面2．（5分）一枚骰子连续掷了两次，则点数之和为2或3的概率是（ ） A ．112 B ．19 C ．18 D ．163．（5分）过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是（ ） A ．210x y --= B ．230x y +-= C ．20x y -=D ．240x y +-=4．（5分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知,13A a b π===，则B =（ ） A ．3π B ．6π C ．56π D ．6π或56π5．（5分）方程()222200x y ax ay a ++-=≠表示的圆（ ） A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称6．（5分）已知曲线C 1：x 2+y 2﹣4y +3=0与y 轴交于A ，B 两点，P 为C 2：x ﹣y ﹣1=0上任意一点，则|P A |+|PB |的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．47．设锐角ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为心a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围是( )A ．2)B ．C ．D ．()0,28．（5分）如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则下列叙述正确的是（ ）A ．原图形是正方形B ．原图形是非正方形的菱形C ．原图形的面积是D ．原图形的面积是9．（5分）已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12D ．1310．（5分）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．11．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin (34A B Ck k ==为非零实数），则下列结论正确的是（ ） A ．当5k =时，ABC ∆是直角三角形 B ．当3k =时，ABC ∆是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC ∆是钝角三角形D ．当1k =时，ABC ∆是钝角三角形12．（5分）已知圆C ：2220x y x +-=，点A 是直线3y kx =-上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．113．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为________.14．（5分）在ABC ∆中，若:1:2A B ∠∠=，且ACB ∠的平分线CD 把ABC ∆分成面积比为5∶3的两部分，则cos A =________.15．（5分）在一座m 20高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为ο60，塔底俯角为ο45，则这座水塔的高度是__________．16．（5分）已知直线20mx y m -++=与圆1C ：22(1)(2)1x y ++-=相交于A ，B两点，点P 是圆2C ：22(3)5x y -+=上的动点，则PAB △面积的最大值是______．17．（12分）在 ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7a =，060A =. （1）若ABC ∆的周长为20，求,b c ； （2）求ABC ∆周长的取值范围.18．（12分）设圆的方程为22450x y x +--=（1）求该圆的圆心坐标及半径.（2）若此圆的一条弦AB 的中点为(3,1)P ，求直线AB 的方程.19．（10分）已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)． (1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． 20．（12分）如图所求扇形OPQ 的半径为1，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COPa ?.（1）当AB =时，求tan2α的值；（2）记矩形ABCD 的面积为()f α，求()f α最大值，并求此时α的值.21．（12分）在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为梯形,//BC DE .设,,,CD BE AE AD 的中点分别为,,,M N P Q .(1)求证:,,,M N P Q 四点共面;(2)若AC DE ⊥,且AC =,求异面直线DE 与PN 所成角的大小.22．（12分）已知圆C 过点(0,2),(3,1)M N -，且圆心C 在直线210x y ++=上. （1） 求圆C 的方程；（2）问是否存在满足以下两个条件的直线l :①斜率为1；②直线被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.启东中学高一下学期期中考试试卷参考答案1．D 【解析】 【分析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 故答案为D 【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型. 2．A【解析】如图所示：共有36种情况，点数之和为2或3的情况为11，12，21，共三种，所以点数之和为2或3的概率是313612=.故选A ． 考点：古典概率. 3．C 【解析】 【分析】所求直线与两点()2,1，()1,3连线垂直．由此得直线斜率，从而得直线方程． 【详解】 由题意31212-=--，所以所求直线斜率为12，直线方程为11(2)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C. 【点睛】本题考查求直线方程，解题关键是掌握性质：过P 且与点A 距离最大的直线与PA 垂直．4．B 【解析】 【分析】 【详解】由已知知b a <，所以B ＜A=3π，由正弦定理sin sin a b A B=得，sin sin b A B a =1sin π⨯12，所以6B π=，故选B考点：正弦定理 5．C 【解析】 【分析】圆的圆心为(),a a -，直线y x =-过圆心，则直线为圆的一条对称轴。
江苏省南通市启东市2020-2021学年高一下学期期中学业质量监测数学答案
2
2
2
…… 8 分 ……10 分 ……12 分
20.（12 分）
【解】（1）设 a OA (cos ，sin) ， b OB (cos ，sin ) ，
…… 2 分
2kπ AOB (k Z) ．
设 a ，b ，
当 0≤AOB≤π ，则 AOB ； π < AOB 2π ，则 2π AOB ，
2
32
解得 AD 6 111 ． 37
选②，由
b
3 ，c
4
，
A
3
，
则 (2AD)2 b2 c2 2bc cos 9+16 2 3 4 1 13 ，
3
2
所以 AD 13 ． 2
选③，由
b
3 ，c
4
，
A
3
，
则
1 2
bc
sin
A
1 2
b
AD
sin
A 2
1 2
c
AD
sin
A 2
，
即
1 2
3
4
sin
2π 3
1 2
3AD
sin
π 3
+
1 2
4AD
sin
π 3
，
解得
AD
12 7
．
19.（12 分）
【解】（1）设 BE BD ，则
……10 分 ……12 分
…… 10 分 ……12 分
……10 分
……12 分
AE AB BE AB BD AB (AD AB) (1 )AB AD ．… 3 分
，得
tan
B
3，
所以 3 a 2 3 ． 2b 3
(整理版)启东第二学期期中考试
省启东~ 度第二学期期中考试高一数学试题一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1．a 、b 、c ∈ 。
①假设a ＞b,那么ac 2＞bc 2 ②假设ac 2＞bc 2,那么a ＞b ③假设a ＜b ＜0,那么a 2＞ab ＞b 2 ④假设a ＜b ＜0,那么＜2．一直线倾斜角的正切值为43，且过点()1,2P ，那么直线方程为_____________。
3．直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，那么当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是 。
4．直线1)13()2(--=-x a y a ，为使这条直线不经过第二象限，那么实数a 的范围是 。
5．2{(,)|9,0}M x y y x y ==-≠，{(,)|}Nx y y x b ==+，假设M N ⋂≠∅，那么b 的取值范围是 _____ ．6．向量a ＝(x,2)，b ＝(1，y )，其中x ≥0，y a ·b ≤4，那么y －x 的取值范围为________． 7．圆方程02222=++++k y kx y x ,某一定点P 的坐标为(1,2),要使过点P 所作圆的切线有两条,那么k 的取值范围为________.12(0,1)x y a a a +=->≠的图象恒过定点A,假设点A 在直线01=++ny mx 上，其中0m n >、，那么nm21+的最小值为 .9．各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，那么b 6b 8＝ 。
10．在实数集R 上定义运算∽：x ∽y=x(1-y.),假设(x-a)∽(x+a)<1对任意实数x 都成立，那么实数a 的取值范围是 。
11．向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－a n 2，a n ＋122a n ，v 是直线y ＝x 的方向向量，a 1＝5，那么数列{a n }的前10项和为 。
启东中学高一下期中数学
江苏省启东中学2021-2021学年度第二学期期中考试高一数学试题（考试时间：120分钟，满分：160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．二、1．若,1,k b -三个数成等差数列，则直线y kx b =+必定经过点 。
2．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是 。
3. 12+与12-，两数的等比中项是 。
4. 设,x y 都是正数， 且191x y +=,则x y +的最小值为________。
5．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩,,,则2z x y =-的最大值是 。
6. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = 。
7. 点(,3)P a 到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式230x y +-<表示的平面区域内，则点P 的坐标是 。
8.若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为 。
9. 在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。
10. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是 。
11. 设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。
12. 已知数列{}n a 满足134n n a a ++=，且19a =，其前n 项之和为S n ，则满足不等式16125n S n --<的最小自然数n 是 .13．观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，2、3、4条直线相交，交点的个数最多分别为1、3、6个，其通项公式n a = ．（n a 为n 条直线的交点的最多个数）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标：(0,0),(3,3),(4,0)A B C ．⑴ 求边CD 所在直线的方程；⑵ 证明平行四边形ABCD 为矩形，并求其面积．16．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．17．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，已知7S =7，15S =75，n T 为数列{||n S n }的前n 项的和，求n T18.设,a b 均为正数，且1a b +=，（I ）求证：114a b+≥； 2条直线相交，最多有1个交点 3条直线相交，最多有3个交点 4条直线相交，最多有6个交点（I I ）求证：201720162016112a b +≥19．已知数列}{n a 满足212+++=n n n a a a ),3,2,1( =n ,它的前n 项和为n S ，且53=a ，366=S ．（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）已知等比数列}{n b 满足a b b +=+121，4354a a b b +=+)1(-≠a ，设数列}{n n b a ⋅的前n 项和为n T ，求n T ．20.设数列{}n a 满足：11a =，且当n N *∈时，3211(1)1n n n n a a a a +++-+= （Ⅰ）比较n a 与1n a +的大小，并证明你的结论；（Ⅱ）若2211(1)n n n n a b a a +=-，其中*∈N n ，证明：10 2.n k k b =<<∑（注：121n k n k bb b b ==+++∑）。
【生产】江苏省启东市2020学年高一数学下学期期中试题
【关键字】生产江苏省启东市2016-2017学年高一数学下学期期中试题注意事项：1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1. 经过点且在轴上截距为的直线的方程为___▲___．2. 满足约束条件的目标函数的最小值为___▲___．3. 在中,面积,则边长为___▲___．4. 若直线与平行，则实数的值为___▲___．5．在等比数列中，已知,，，则数列的前项的和等于___▲___．6. 设的内角所对的边分别为，且，，，则___▲___．7. 设是首项不为零的等差数列的前项和，且，，成等比数列，则的值为___▲___．8. 点关于直线的对称点的坐标是___▲___．9. 已知二次函数，且函数在上恰有一个零点，则不等式的解集为___▲___．10. 设数列的前项和为，若，，，则 ___▲___．11. 如果函数，，关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是___▲___．12. 已知数列，对任意的，当时，；当时，，那么该数列中的第个是该数列的第___▲___项．13. 已知的三边长依次成等差数列，，则的取值范围是___▲___．14. 已知，，则的最小值为___▲___．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本题满分14分）在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．16. （本题满分14分）根据所给条件求直线的方程：(1) 直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；(2) 直线过点(-2,1)，且到原点的距离为2.17. （本题满分15分）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足80件时，（万元）.当年产量不小于80件时，（万元）.每件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年成本（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获成本最大？18. （本题满分15分）已知数列的前项和为, 且.(1) 若还同时满足: ①为等比数列；②；③对任意的正整数,,试求数列的通项公式.(2) 若为等差数列, 且.①求该等差数列的公差；② 设数列满足,则当为何值时, 最大？请说明理由； 19. （本题满分16分）已知二次函数． （1）若，求的最小值；（2）关于实数的不等式的解集为．当时，解关于的不等式：；（3）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为-5？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．20. （本题满分16分）已知数列的前项和为，且， N*(1) 求数列的通项公式；(2) 已知 (N*)，记 (且)，是否存在这样的常数，使得数列 是常数列，若存在，求出的值；若不存在,请说明理由。
【全国百强校】江苏省高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
【全国百强校】江苏省海安高级中学【最新】高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合2{|52},{|90},A x x B x x A B =-<<=-<⋂=求（ ） A ．{|32}x x -<< B ．{|52}x x -<< C ．{|33}-<<x xD ．{|53}x x -<<2．已知,m n R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)mi i n +-=，则||m ni +的值为（ ）A ．1B C D 3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A ．1)-B ．(-C ．(1)-D ．(1,-4．将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A ．5212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．5212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．设实数，y 满足的约束条件{x −y +1≥02x −y ≤0y ≥0 ，则z =x +y 的取值范围是（ ）A ．[−1,1]B ．[−1,2]C ．[−1,3]D ．[0,4]6．若函数22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()20f a f a f >> B ．()()()02f a f f a >> C ．()()()20f a f a f >>D ．()()()20f a f f a >>7．已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间．过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分8．对于ABC ∆，若存在111A B C ∆ ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称ABC ∆为“V 类三角形”．“V 类三角形”一定满足（ ）． A ．有一个内角为30 B ．有一个内角为45︒ C ．有一个内角为60︒ D ．有一个内角为75︒9．已知()()*211()10nx x n N n x++∈，＜的展开式中没有常数项，则n 的最大值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．910．已知函数()()xxf x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3C ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题11．学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为_______（结果用数值表示）．12．已知数列{a n }为等比数列，且a 3a 11+2a 72=4π，则tan （a 1a 13）的值为______． 13．在ABC ∆ 中．已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足12CP CA mCB =+．若ABC ∆的面积为3ACB π∠=，则CP 的最小值为_______．14．设函数()f x =21,02,0x x x x ⎧-≥⎨+<⎩，若函数y =f(x)-a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______．15．设二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为实常数）的导函数为()f x '，若对任意x ∈R 不等式()()f x f x '≥恒成立，则222ba c+的最大值为_____．三、双空题16．若抛物线22(0)y px p =>的上一点(1,)M m 到其焦点的距离为3, 且抛物线的焦点是双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点,则p=_______ ,a=______．四、解答题17．已知(cos ,1),(2sin ,1)m x n x ==，设()f x m n =⋅． （1）求()f x 的最小正周期；（2）在△ABC 中，已知A 为锐角，4()23A f =，BC=4，AB=3，求sin B 的值. 18．如图，在三棱锥P -ABC 中，∠P AC =∠BAC =90°，P A =PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线DF ∥平面P AC ； （2）求证：PF ⊥AD ．19．为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年．已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x （毫米）满足关系：40()(010)35H x x x =≤≤+．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）请解释(0)H 的实际意义，并求()f x 的表达式；（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用()f x 最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20．已知椭圆C ：22x a +22y b =1（a ＞b ＞0）的离心率为3，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得过点P 引圆O ：x 2+y 2=b 2的两条切线P A 、PB 互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数()2(1)x f x x =+，给定数列{}n a ，其中1a a =,*1()()n n a f a n N +=∈.（1）若{}n a 为常数数列，求a 的值； （2）当0a ≠时，探究12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭能否是等比数列？若是，求出{}n a 的通项公式；若不是，说明理由；（3）设3n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当a=1时，求证：114(2)()2n n S n ->-+.22．已知函数f （x ）=ae x ，g （x ）=ln x -ln a ，其中a 为常数，且曲线y =f （x ）在其与y 轴的交点处的切线记为l 1，曲线y =g （x ）在其与x 轴的交点处的切线记为l 2，且l 1∥l 2． （1）求l 1，l 2之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x mf x -m 的取值范围； （3）对于函数f （x ）和g （x ）的公共定义域中的任意实数x 0，称|f （x 0）-g （x 0）|的值为两函数在x 0处的偏差．求证：函数f （x ）和g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．参考答案1．A 【分析】利用集合交集运算性质即可解得. 【详解】{|52},A x x =-<<2{|90}={|-33}B x x x x =-<<<所以{|32}A B x x ⋂=-<< 故选A 【点睛】本题主要考查集合的运算性质,属于基础题. 2．D 【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模. 【详解】()()11mi i n +-=()11m m i n ∴++-=11m nm +=⎧∴⎨=⎩ 21n m =⎧∴⎨=⎩12m ni i +=+=故选D 【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算. 3．B 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-()()333-=-故选B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 4．D 【分析】先将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D 【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换. 5．C 【解析】 【分析】先画出可行域的几何图形,再根据z =x +y 中z 的几何意义(直线在y 轴上的截距)求出z 的范围. 【详解】如图:做出满足不等式组的{x −y +1≥02x −y ≤0y ≥0的可行域,由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1; 故选C 【点睛】本题主要考查线性规划问题中的截距型问题,属于基础题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z 的几何意义求出z 的范围. 6．C 【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞ 单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增 所以()()()20f a f a f >> 故选C 【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小). 7．C 【分析】根据题意找出几何关系CAB CBA ∠=∠，得到CAB AMP ∠=∠，所以PM PB =，即可得到--3PM PC PB PC BC ===，所以点P 的轨迹是双曲线右支. 【详解】由已知条件可知AC BC = ,所以三角形是等腰三角形，CAB CBA ∠=∠ , 因为//MP AC 所以CAB AMP ∠=∠则三角形BMP 是等腰三角形， PM PB = 所以--3||4PM PC PB PC BC MC ===<= 所以点P 的轨迹是双曲线的右支． 故选C 【点睛】本题考查了几何关系的转换和双曲线的定义，是一道综合性较强的题目，属于难题，解题的关键是几何关系的转换，由角的相等得出线段相等而后得到线段的差是一个常数是本题的难点. 8．B 【分析】由对称性，不妨设1A 和1B 为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可． 【详解】解：由对称性，不妨设1A 和1B 为锐角，则12A π=-A ，12B π=-B ，所以：1A +1B ＝π﹣（A +B ）＝C ，于是：cos C ＝sin 1C ＝sin （1A +1B ）＝sin C ，即：tan C ＝1，解得：C ＝45°， 故选B ．本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题． 9．C 【分析】利用二项式通项公式1C rn rrr nT ab -+=分类讨论：当（x+1）中取x 时，式子21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中无1x -,所以n-31n 21x =C x rr r r n rr n T C x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭中x 的指数幂取不到-1,即3-1n r -≠ ； 当（x+1）中取1时, 式子21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中无常数项,所以n-n-3121x x x rr r r rr n n T C C +⎛⎫== ⎪⎝⎭中x 的指数幂取不到0即n-3r 0≠,n 要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可. 【详解】因为()*211(,10)nx x n N n x ⎛⎫++∈< ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项；由二项式展开式的通项公式n-r 1r rr n T C a b +=()*,r r 10n N N ∈∈≤，，可知(1)当（x+1）中取x 时，式子21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中无1x -, 所以n-31n 21x =C x rr r r n r r n T C x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭中x 的幂指数取不到-1,即3-1n r -≠；（2）当（x+1）中取1时,式子21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中无常数项,所以n-n-3121xx x rrrr rr nn T C C +⎛⎫== ⎪⎝⎭中x 的幂指数取不到0,即n-3r 0≠ ，选项中的n 要同时满足上面两个不等式，故选B. 【点睛】本题考查了二项式定理地应用，难度较高，解题中首先要根据题意进行分类讨论，确定后面式子中x 的指数幂，再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组，有一定的难度，解题关键是对二项式定理的深度理解. 10．A 【解析】对函数()f x 求导数，得出导数()0f x '=有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象找到临界的相切状态，通过求解切线斜率即可构造不等式，求解得a 的取值范围． 【详解】 函数()()xxf x ex ae =- ()()12xxf x x a e e'∴=+-⋅由于函数()f x 的两个极值点为1x ，2x 即1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不等实根即方程120x x ae +-=有两个不等式实根，且0a ≠，12xx e a+∴= 设()1102x y a a +=≠，2x y e =在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有2个不同的交点，应满足如图所示的位置关系 临界状态为图中虚线所示切线()1102x y a a+=≠恒过()1,0-，设与曲线2x y e =切于点(),m m e 则2xy e '= 01m me k e m -∴==+ 0m ∴= 1k ∴= 若有2个不同的交点，则112a> 解得：102a <<所以a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭本题正确选项：A 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，关键是能够将问题转化为两个函数有两个交点的问题，根据切线斜率求得临界值． 11．710【解析】 【分析】基本事件总数n 25C ==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m 112322C C C =+=7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n 25C ==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m 112322C C C =+=7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p 710m n ==． 故答案为710． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12【分析】利用等比数列的等积性可求. 【详解】因为数列{a n }为等比数列，所以23117113a a a a a ==，因为2311724a a a π+=，所以11343a a π=,所以1134tan()tan3a a π==【点睛】本题主要考查等比数列的性质，利用等积性可以简化运算，侧重考查数学运算的核心素养.13．2 【分析】利用A ，P ，D 三点共线可求出m 13=，并得到1123CP CA CB =+．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出CP 的最小值． 【详解】解∵12CP CA mCB =+ 13(2)22CA m CD CD DB =+⋅= ∵A ，P ，D 三点共线，∴13122m +=，即m 13=．∴131223CP CA CD =+⨯1122CA CD =+ 112223CA CB =+⨯ 1123CA CB =+，又∵3ABCS ACB π=∠=．∴12CA CBsin ACB ⋅∠=，即CA •CB ＝8． ∴8ab = ∴211()23CP CA CB =+ 22111CA CB CA CB =++⋅)CA b CB a ===令，=≥2==． 故答案为2． 【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用． 14．[0, 2) 【分析】先将方程()0f x a -= 变形为()f x a =,根据数形结合思想,y=a 与f(x)必须有两个交点,即可求出a 的范围. 【详解】函数()y f x a =-有两个不同的零点,即()f x a =有两个不同的交点, 所以函数()y f x =与函数y=a 有两个交点,如图所示:所以a 的范围是[0, 2) 【点睛】本题考查了数形结合和化归转化的数学思想，将函数的零点、方程的根、函数的交点的转化，再利用数形结合确定参数a 的范围，属于中档题目；解题中关键是将方程的根转化为两个函数交点的问题.15．2 【分析】由已知可得()()220ax b a x c b +-+-≥恒成立，即()()22224440b a a c b b a ac ∆=---=+-≤，且0a >，进而利用基本不等式可得22a c +的最大值．【详解】∵()2f x ax bx c =++，∴()2f x ax b '=+，∵对任意x ∈R ，不等式()()f x f x '≥恒成立， ∴22ax bx c ax b +++≥恒成立， 即()()220ax b a x c b +-+-≥恒成立，故()()22224440b a a c b b a ac ∆=---=+-≤，且0a >， 即2244b ac a -≤， ∴2440ac a -≥， ∴0c a ≥>， ∴1c a≥，可令ct a =，即1t ≥，1t =时，,0a c b ==；故1t >时，()()()()22222222244414144112121ct t b ac a a a c a c t c t t a ⋅----≤===+++-+-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭422121t t =≤=-++-，当且仅当1t =2．故答案为2. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大． 16．4【分析】利用抛物线的定义可解得p 的值；利用双曲线中222c =a +b 可解得a 的值.【详解】抛物线22(0)y px p =>的上一点()1,M m 到其焦点的距离为3所以p+1=32解得p=4 抛物线的焦点是双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点222=2a 解得【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的性质，属于基础题型，解题中要熟练掌握和应用双曲线和抛物线的性质.17．（1）T π= （2）【分析】（1）先根据向量坐标运算和正弦的二倍角公式求出f （x ）的解析式，在由周期公式即可求得函数的周期； （2）由（1）和4()23A f =可求出sinA 和cosA ，再根据正弦定理可求得sinC 和cosC ，然后根据sinB=sin （A+C ）即可求得. 【详解】（1）()2sin cos 1f x m n x x =⋅=+sin 21x =+ 所以22T ππ== ()f x 的最小正周期为π（2）因为4sin +1=23A f A ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1sin A=cos A=3， 由正弦定理得：43=sin A sin C1，sin C=cos4（）sin B=sin A+C=sin AcosC+cosAsinC=12【点睛】本题重点考查了三角函数的化简和利用正弦定理求解三角形，属于中档题目，解题中需要熟练掌握三角函数的二倍角公式、和角公式，对字母运算能力要求较高.18．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据中位线，证明DF∥AC，结合线面平行的判定定理可证；（2）利用线面垂直判定方法证明PF⊥平面ABC，从而可证结论.【详解】证明：（1）∵点D，F分别为BC，AB的中点，∴DF∥AC，又∵DF⊄平面P AC，AC⊂平面P AC，∴直线DF∥平面P AC．（2）∵∠P AC=∠BAC=90°，∴AC⊥AB，AC⊥AP，又∵AB∩AP=A，AB，AP在平面P AB内，∴AC⊥平面P AB，∵PF⊂平面P AB，∴AC⊥PF，∵P A =PB ，F 为AB 的中点，∴PF ⊥AB ，∵AC ⊥PF ，PF ⊥AB ，AC ∩AB =A ，AC ，AB 在平面ABC 内， ∴PF ⊥平面ABC ，∵AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥PF ． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 19．（1）()()()80008?601035H f x x x x =+≤≤+表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年万元，（2）90 【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f （x ）的解析式；（2）利用基本不等式得出f （x ）的最小值及对应的x 的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论． 【详解】解：（1） ()08H =表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元， 设隔热层建造厚度为x 毫米，则()()4080020660103535f x x x x x x =⨯+=+≤≤++，（2）()80061010107035f x x x ⎛⎫=++-≥= ⎪+⎝⎭当80061035x x =++，即5x =时取等号 所以当隔热层厚度为5cm 时总费用最小70万元，如果不建隔热层，20年业主将付能源费208160⨯=万元， 所以业主节省90万元. 【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．20．（1）所求椭圆方程为22194x y +=．（2）椭圆C上存在四个点----55555555⎛⎛⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，分别由这四个点向圆O 所引的两条切线均互相垂直. 【分析】(1)利用椭圆的性质可求解出a 、b ；（2）先假设存在点P,过点P 引圆O 的切线,连接OA,OB, 则四边形PAOB 是边长为b 的正方形，点P 是以O 为圆心为半径的圆与椭圆C 的交点，构造方程组即可解得P 的坐标. 【详解】(1) e == 234a b ==，, 22194x y ∴+= (2)假设存在点P,过点P 引圆O 的切线,连接OA,OB, 则四边形PAOB 是边长为b 的正方形,点P 为以O 为圆心为半径的圆与椭圆C 的交点.即22221948x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得2236x =54y =5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以点P的坐标是,55⎛- ⎝⎭,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,5555⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，属于难题，解决第二问的关键是根据已知条件分析出四边形PAOB 是边长为b 的正方形,得到点P 是以O 为圆心为半径的圆与椭圆C 的交点.21．(1)a =0或12a =-；（2）①见解析；(3)见详解. 【分析】(1)数列是常数数列即有n a =a ,再利用()1n n a f a +=可得关于a 的等式; (2)由()()*1n n a f a n N+=∈可得数列{}na 的递推关系式,然后取倒数,化解为111222n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,讨论首项a 是否为零,确定数列是否为等比数列; (3)由(2)求得数列{}n b ,通过放缩法将数列1132n n n b na n -⎛⎫=> ⎪⎝⎭再利用错位相减法即可证明.【详解】（1）{}n a 为常数列，则n a =a ，由()1n n a f a +=得a=f(a) 即()()aa 2a 1f =+解得：a =0或12a =-.（2）12(1)nn n a a a +=+,当10a a =≠时，0n a ≠，得1122n n aa +=+ 111222n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭①当12a =-时，12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭不是等比数列. ②当12a ≠- 时，12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比，以12a +为首项的等比数列， 所以1112(2)2n na a -+=+，111222n n a a -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （3）当1a =时，111111111,332232322n n n n n n n a b na n ----⎛⎫⎛⎫=>=⋅=> ⎪⎪⋅-⋅⎝⎭⎝⎭,2112111123()()222n n n S b b b n -=+++>+⋅+⋅++⋅设 21111T 123()()222n n n -=+⋅+⋅++⋅①231111111123(1)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②得211111112222211112•2(2)12212n nn nn nT n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以114(2)2n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以114(2)()2n n S n ->-+【点睛】本题考查等比数列的判断,关键在于其首项是否为0,比值是否为常数,同时还考查了放缩法及错位相减法求数列的和,属于难题, 突破题目的关键是利用放缩法求将复杂数列表达式通过放缩转化为可以利用错位相减法求和的数列.22．（1；（2）()0-∞，；（3）见解析【分析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l 1，l 2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h （x ）=x e x 的最大值即可； （3）根据偏差的定义，只需要证明()()f x g x -的最小值都大于2． 【详解】（1）f ′（x ）=ae x ，g ′（x ）=1x， y =f （x ）的图象与坐标轴的交点为（0，a ），y =g （x ）的图象与坐标轴的交点为（a ，0），由题意得f ′（0）=g ′（a ），即a =1a， 又∵a ＞0，∴a =1．∴f （x ）=e x ，g （x ）=ln x ，∴函数y =f （x ）和y =g （x ）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x -y +1=0，x -y -1=0，∴.（2）由()x m f x -xx m e -，故m ＜x x 在x ∈[0，+∞）有解，令h （x ）=x e x ，则m ＜h （x ）max ，当x =0时，m ＜0；当x ＞0时，∵h ′（x ）=1-）e x ， ∵x ＞0，，e x ＞1，∴e x ，故h ′（x ）＜0，即h （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，故h （x ）max =h （0）=0，∴m ＜0，即实数m 的取值范围为（-∞，0）．（3）解法一：∵函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差为：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， ∴F ′（x ）=e x -1x，设x =t 为F ′（x ）=0的解， 则当x ∈（0，t ），F ′（x ）＜0；当x ∈（t ，+∞），F ′（x ）＞0，∴F （x ）在（0，t ）单调递减，在（t ，+∞）单调递增，∴F（x）min=e t-ln t=e t-ln 1t e=e t+t，∵F′（1）=e-1＞0，F′（12）＜0，∴12＜t＜1，故F（x）min=e t+t=12+12=2，即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．解法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=e x-ln x，x∈（0，+∞），令F1（x）=e x-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-ln x，x∈（0，+∞），∵F1′（x）=e x-1，F2′（x）=1-1x=1xx，∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1，∴F（x）=e x-ln x=F1（x）+F2（x）＞2，即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.。
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【点睛】
本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题．
9．C
【解析】
【分析】
若已知三角形的一边及该边的对角，且三角形形状唯一，求另一边，则该三角形是直角三角形或钝角三角形，然后再进一步确定另一边 的长度。
【详解】
由题中已知 中， ， ，则角 所对的高线长可表示为 ，因为三角形形状唯一，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，则 或 ，所以 或
A． B．
C． D．
7．在 中，若 ， ，且 ，则 =（）
A．30°B．90°C．150°D．30°或150°
8．下列四个命题中正确的是（）
①如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；
③过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；
④过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．
【详解】
当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线方程是
当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，设方程为 ，
因为直线经过点
所以 ， ，故方程是
当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且都不为0时，设方程为
因为直线经过点
所以 ， ，故方程是
经过点 ，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条
故选D.
【点睛】
12．若直线 与直线 平行，则实数 的值为____．
13．如果用半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高等于____．
14．在 中， ，则 是____三角形.
15．设集合 ， ，当 时，则实数 的取值范围是__
16．若不等式 对任意 都成立，则实数 的最小值为____．
三、解答题
17．如图，在正方体 中， 为棱 的中点．
20．在直角坐标系中，已知射线 ， 过点 作直线分别交射线 于点 .
（1）当 的中点为 时，求直线 的方程；
（2）当 的中点在直线 上时，求直线 的方程.
21．已知四边形 是圆 的内接四边形， ， ， ，求四边形 的面积.
22．在平面直角坐标系 中，已知圆 经过 、 、 三点， 是直线 上的动点， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交 轴于点 ， 交圆 于 、 两点．
A．①④B．②③C．①②③D．①②③④
9．已知 中， ， ，若 仅有一解，则 （）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系 中，圆 ，圆 ，若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次交于点 ， ，满足 ，则半径 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多共可确定____个平面．
【全国百强校】江苏省启东中学【最新】高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 的倾斜角的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．设 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
6．C
【解析】
到两直线 及 的距离都相等的直线方程为 ，联立方程组 ，解得 .两平行线之间的距离为 ，所以，半径为 ，从而圆 的方程为 .选 .
7．D
【解析】
【分析】
由三角形的面积计算公式求出 ，从而求出角 .
【详解】
由题可知 ，因为 ，
所以 ，即 为 或 .
故选D.
【点睛】
本题考查解三角形问题，解题的关键是求出 ，属于简单题。
2．B
【分析】
根据正弦定理求解即可得到所求结果．
【详解】
由正弦定理得 ，
∴ ．
又 ，
∴ 为锐角，
∴ ．
故选B．
【点睛】
在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．
3．D
【解析】
【分析】
利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线 与直线 没有公共点.
3．平面 平面 ，直线 ， ，那么直线 与直线 的位置关系一定是（）
A．平行B．异面C．垂直D．不相交
4．经过点 ，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）
A．0条B．1条C．2条D．3条
5．在 中，若 ， ， ，则 （）
A．19B．-19C．38D．-38
6．已知圆M与直线 和 都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为（）
【详解】
由题平面 平面 ，直线 ，
则直线 与直线 的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.
故选D.
【点睛】
本题考查空间中两条直线过原点时，截距相等且等于0，当直线不过原点时，截距的绝对值相等，设直线方程为截距式，将点 代入即可求得方程，从而得到答案．
本题考查求直线方程，解题的关键是考虑到截距等于零的情况，属于简单题．
5．B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边长，求出三角形内角 的余弦值，所求角与两向量的夹角互补，然后求向量的数量积．
【详解】
在 中，若 ， ， ，
所以
又因为两向量的夹角与角 互补，所以
【点睛】
本题考查解三角形问题与数量积，解题的关键是注意三角形中所求角与两向量的夹角互补，属于简单题．
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若 是使 恒成立的最小正整数，求三角形 的面积的最小值．
参考答案
1．B
【分析】
由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．
【详解】
解：直线 的斜率为 ，
，
根据正切函数的性质可得
倾斜角的取值范围是
故选： ．
【点睛】
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
8．B
【分析】
①可由空间中直线与平面的位置关系判断；② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断．
【详解】
空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内①错误，直线还可能与平面相交
②正确
③正确因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．
④不一定正确,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.
求证：（1） ∥平面 ；
（2）平面 ⊥平面
18．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 的外接圆直径为1，求 的取值范围．
19．如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？