北京市大兴区2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

北京市大兴区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题，共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）集合M={x|x＞0}，集合N={x|1﹣x＞0}，则M∩N等于（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，1）2．（5分）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则z1z2等于（）A．﹣2+i B．﹣1+2i C．2﹣i D．1+2i3．（5分）在△ABC中，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或4．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=log2（x+1）B．y=﹣C．y=D．y=（）x﹣15．（5分）已知等比数列{a n}的公比q≠1，a3=4，a4+a5=2a3，则{a n}前5项和S5等于（）A．4B．11 C．20 D．316．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④7．（5分）已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A．B．C．1D．28．（5分）设双曲线C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心与C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取一个点，将其坐标记录如下：x 1 2 3y 2 2 4 2则在C1和C2上点的个数分别是（）A．1，4 B．2，3 C．4，1 D．3，3二、填空题，共6小题，每题5分，共30分．9．（5分）已知f（x）=xe x，则f′（1）=．10．（5分）函数y=cos22x﹣sin22x的最小正周期是．11．（5分）若实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为．12．（5分）已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，若⊥，则θ=．13．（5分）已知圆M：x2+y2=4，在圆M上随机取一点P，则P到直线x+y=2的距离大于2的概率为．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且在上f（x）=，则=；若方程f（x）=k在三、解答题，共6小题，共80分．15．（13分）已知cos（﹣θ）=，θ∈（，π）．（Ⅰ）求cosθ的值；（Ⅱ）求函数f（x）=sinxcosx﹣sinθcos2x的增区间．16．（13分）已知数列{a n}为等差数列，a5=11，且a4+a8=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设b n=2an﹣a n，求数列{b n}的前n项和S n．17．（13分）某校2015届高三年级共有300人参加数学期2015届中考试，从中随机抽取4名男生和4名女生的试卷，获得某一道题的样本，该题得分的茎叶图如图．（Ⅰ）求样本的平均数；（Ⅱ）设该题得分大于样本的平均数为合格，根据样本数据估计该校2015届高三年级有多少名同学此题成绩合格；（Ⅲ）在这4名男生和4名女生中，分别随机抽取一人，求该题女生得分不低于男生得分的概率．18．（14分）如图，已知边长为2的菱形ABCD与菱形ACEF全等，且∠FAC=∠ABC，平面ABCD⊥平面ACEF，点G为CE的中点．（Ⅰ）求证：AE∥平面DBG；（Ⅱ）求证：FC⊥BG；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BGD的体积．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点是（0，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知矩形ABCD的四条边都与椭圆C相切，设直线AB方程为y=kx+m，求矩形ABCD 面积的最小值与最大值．20．（13分）定义函数G（x，y）=x y，其中，x＞0，y＞0．（Ⅰ）设函数f（x）=G（1，x3﹣3x），求f（x）的定义域；（Ⅱ）设函数h（x）=G（2，log2（x3+ax2+bx+1））的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x（x∈）处有斜率为﹣8的切线，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈N*，y∈N*且x＜y时，试比较G（x，y）与G（y，x）的大小（只写出结论）．北京市大兴区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题，共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）集合M={x|x＞0}，集合N={x|1﹣x＞0}，则M∩N等于（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的定义和不等式的性质求解．解答：解：∵集合M={x|x＞0}，集合N={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：A．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2．（5分）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则z1z2等于（）A．﹣2+i B．﹣1+2i C．2﹣i D．1+2i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由图可知：z1=i，z2=2﹣i．再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵z1=i，z2=2﹣i．∴z1z2=i（2﹣i）=1+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得：sinA==，由a=＜b=，根据三角形中大边对大角可得A为锐角，即可求得A的值．解答：解：由正弦定理可得：sinA===，∵a=＜b=，∴A为锐角，∴A=．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．4．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=log2（x+1）B．y=﹣C．y=D．y=（）x﹣1考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用常见函数的单调性，结合函数的图象，即可得到在（0，+∞）上为减函数的函数．解答：解：对于A．y在x＞﹣1上递增，则在x＞0上递增，则A错误；对于B．y在x＞﹣1上递增，则在x＞0上递增，则B错误；对于C．由幂函数的单调性可得y在x＞0上递增，则C错误；对于D．函数y在R上递减，则在x＞0上递减，则D正确．故选D．点评：本题考查函数的单调性的判断，考查常见函数的单调性，考查判断能力，属于基础题．5．（5分）已知等比数列{a n}的公比q≠1，a3=4，a4+a5=2a3，则{a n}前5项和S5等于（）A．4B．11 C．20 D．31考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知数据和等比数列的通项公式可得a1和q，代入求和公式计算可得．解答：解：∵等比数列{a n}的公比q≠1，a3=4，a4+a5=2a3，∴a3q+a3q2=2a3，∴q2+q﹣2=0，解得q=﹣2，∴a1==1，∴{a n}前5项和S5==11故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．解答：解：已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，对于①，若α∥β，得到直线l⊥平面β，所以l⊥m；故①正确；对于②，若α⊥β，直线l在β内或者l∥β，则l与m的位置关系不确定；对于③，若l∥m，则直线m⊥α，由面面垂直的性质定理可得α⊥β；故③正确；对于④，若l⊥m，则α与β可能相交；故④错误；故选C．点评：本题考查了线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟练掌握定理的题设和结论是解答的关键．7．（5分）已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A．B．C．1D．2考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由于=+，可得：PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．即可得出．解答：解：如图所示，∵=+，∴PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．∴=1．故选：C．点评：本题查克拉向量的平行四边形法则、平行四边形的性质，考查了推理能力，属于基础题．8．（5分）设双曲线C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心与C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取一个点，将其坐标记录如下：x 1 2 3y 2 2 4 2则在C1和C2上点的个数分别是（）A．1，4 B．2，3 C．4，1 D．3，3考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有=2p，可知（1，2）、（2，4），（3，2）在抛物线上，可得方程；再设双曲线方程，代入点（，）、（，2），解得即可．解答：解：设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有=2p，据此验证5个点中有（1，2）、（2，4），（3，2）在抛物线上，易求C2：y2=8x，设C1：﹣=1，把点（，）、（，2）代入得，解得∴C1方程为x2﹣=1．故选B．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程的求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题，共6小题，每题5分，共30分．9．（5分）已知f（x）=xe x，则f′（1）=2e．考点：导数的乘法与除法法则．专题：计算题．分析：先对函数求导，然后把x=1代入导函数中即可求解解答：解：由题意可得，f′（x）=e x+xe x∴f′（1）=e+e=2e故答案为：2e点评：本题主要考查了函数的导数的求导，解题的关键是利用函数的积的导数的求导法则，属于基础试题10．（5分）函数y=cos22x﹣sin22x的最小正周期是．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用二倍角的余弦将y=cos22x﹣sin22x转化为y=cos4x即可求得其最小正周期．解答：解：∵y=cos22x﹣sin22x=cos4x，∴其最小正周期T==．故答案为：．点评：本题考查二倍角的余弦，考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题．11．（5分）若实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z 在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=﹣2x+z经过点C时，z最小由，可得C（0，1），此时z=1故答案为：1．点评：本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义12．（5分）已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，若⊥，则θ=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量数量积之间的关系，建立方程即可得到结论．解答：解：∵向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），其中0＜θ＜π，∴若⊥，则•=0，即sinθ+cosθ=0，即tanθ=﹣1，∴，故答案为：点评：本题主要考查平面向量的应用，利用向量垂直与向量数量积之间的关系是解决本题的关键．13．（5分）已知圆M：x2+y2=4，在圆M上随机取一点P，则P到直线x+y=2的距离大于2的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出．解答：解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=2的距离为，故到直线x+y=2距离为的点在直线x+y=2关于原点对称的直线AB：x+y+2=0上，满足P到直线x+y=2的距离大于2的点位于劣弧AB上，且∠AOB=90°．故概率P=．故答案为．点评：熟练掌握点到直线的距离公式及几何概型的计算公式是解题的关键．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且在上f（x）=，则=1；若方程f（x）=k在专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系式求出结果．（Ⅱ）对三角函数关系式进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数函数的单调区间．解答：（Ⅰ）解：由，得，又sin2θ+cos2θ=1，所以因为，所以（Ⅱ）===由得，所以，函数f（x）的增区间是．点评：本题考查的知识要点：同角三角恒等式的应用，三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求三角函数的单调区间，属于基础题型．16．（13分）已知数列{a n}为等差数列，a5=11，且a4+a8=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设b n=2an﹣a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a n=2n+1．（Ⅱ）由﹣a n=22n+1﹣（2n+1），由此利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：（本题满分13分）解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，则a5=a1+4d=11，a1+3d+a1+7d=26解得a1=3，d=2…（4分）所以a n=2n+1…（5分）（Ⅱ）∵﹣a n=22n+1﹣（2n+1）…（2分）S n=b1+b2+…+b n=（23+25+…+22n+1）﹣…（4分）=…（6分）=…（8分）点评：本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．17．（13分）某校2015届高三年级共有300人参加数学期2015届中考试，从中随机抽取4名男生和4名女生的试卷，获得某一道题的样本，该题得分的茎叶图如图．（Ⅰ）求样本的平均数；（Ⅱ）设该题得分大于样本的平均数为合格，根据样本数据估计该校2015届高三年级有多少名同学此题成绩合格；（Ⅲ）在这4名男生和4名女生中，分别随机抽取一人，求该题女生得分不低于男生得分的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）直接利用公式即可；（Ⅱ）由茎叶图提供的数据可得合格率，从而可估计2015届高三年级有多少名同学此题成绩合格；（Ⅲ）利用列举法确定基本事件，即可求得结论．解答：解（Ⅰ）样本平均数是=9；（Ⅱ）由茎叶图提供的数据，在8人的样本数据中有4人分数大于（9分），所以，样本中超过（9分）的人数占样本总数的，据此估计，2015届高三年级300人中，估计有=150人超过（9分）．（Ⅲ）设从8人中随机抽取男、女生各一人的得分用（x，y）表示，其中x表示男生得分，y表示女生得分，则所有不同的情况是（5，4），（5，8），（5，12），（5，13），（7，4），（7，8），（7，12），（7，13），（11，4），（11，8），（11，12），（11，13），（12，4），（12，8），（12，12），（12，13）共16种，其中，女生成绩不低于男生的有（5，8），（5，12），（5，13），（7，8），（7，12），（7，13），（11，12），（11，13），（12，12），（12，13）共10种，所以，女生得分不低于男生得分的概率．点评：本题考查由茎叶图求数据的平均数及古典概型的概率计算，熟练掌握茎叶图是解答问题的关键．18．（14分）如图，已知边长为2的菱形ABCD与菱形ACEF全等，且∠FAC=∠ABC，平面ABCD⊥平面ACEF，点G为CE的中点．（Ⅰ）求证：AE∥平面DBG；（Ⅱ）求证：FC⊥BG；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BGD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AE∥平面DBG，可利用线面平行的判断，连结OG，由题意证明OG 为三角形△ACE的中位线，则结论得到证明；（Ⅱ）要证明FC⊥BG，可证明CF⊥平面BGD，由四边形ABCD是菱形，得AC⊥B D．再由平面ABCD⊥平面ACEF，利用面面垂直的性质得到BD⊥平面ACEF，进一步得到BD⊥CF，然后结合线面垂直的判断证得CF⊥平面BGD；（Ⅲ）由题知，AB=BC=AC=2，故∠ABC=60°，然后通过解三角形得到△FCA是等边三角形，得到，进一步得到S△BGD，再求出点C到面BDG的距离，利用等积法由V E﹣BDG=V A﹣BDG=V C﹣BDG得答案．解答：（Ⅰ）证明：连结OG，∵四边形ABCD是菱形，∴CO=OA，又CG=GE，∴OG为三角形△ACE的中位线，则OG∥AE．又OG⊂平面DBE，AE⊄平面DBE，∴AE∥平面DBE；（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又平面ABCD⊥平面ACEF，且交线为AC，∴BD⊥平面ACEF，又∵FC⊂平面ACEF，∴BD⊥CF∵在菱形ACEF中，AE⊥CF，OG∥AE，∴OG⊥CF，∵BD∩OG=O，BD，OG⊂平面BGD，∴CF⊥平面BGD，则CF⊥BG；（Ⅲ）解：由题知，AB=BC=AC=2，故∠ABC=60°，在三角形DAB中，AD=AB=2，∠DAB=120°，∴BD=．又∠ABC=∠FAC，∴∠FAC=60°，则△FCA是等边三角形，∴，∴，又CF⊥面BDG，∴点C到面BDG的距离，故．点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点是（0，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知矩形ABCD的四条边都与椭圆C相切，设直线AB方程为y=kx+m，求矩形ABCD 面积的最小值与最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点是（0，1），离心率为，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，确定直线方程与椭圆方程联立，表示出面积，即可求矩形ABCD面积的最小值与最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆的一个顶点是（0，1），所以b=1…（1分）又，离心率为，即，a2=b2+c2解得a=2，…（3分）故椭圆C的方程是…（4分）（Ⅱ）当k=0时，椭圆的外切矩形ABCD面积为8．…（1分）当k≠0时，椭圆的外切矩形ABCD的边AB所在直线方程为y=kx+m，所以，直线BC和AD的斜率均为．由，消去y得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0…（2分）△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0化简得：m2=4k2+1…（3分）所以，直线AB方程为直线DC方程为直线AB与直线DC之间的距离为…（5分）同理，可求BC与AD距离为…（6分）则矩形ABCD的面积为由均值定理8＜S≤10…（9分）仅当k2=1，即k=±1时S有最大值10．因此，当k=±1时S有最大值10；当k=0时，S有最小值8．…（10分）点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）定义函数G（x，y）=x y，其中，x＞0，y＞0．（Ⅰ）设函数f（x）=G（1，x3﹣3x），求f（x）的定义域；（Ⅱ）设函数h（x）=G（2，log2（x3+ax2+bx+1））的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x（x∈）处有斜率为﹣8的切线，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈N*，y∈N*且x＜y时，试比较G（x，y）与G（y，x）的大小（只写出结论）．考点：函数的最值及其几何意义；函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）化简f（x）=G（1，x3﹣3x）=1，则有x3﹣3x＞0；从而求函数的定义域；（Ⅱ）化简h（x）=G（2，log2（x3+ax2+bx+1））=x3+ax2+bx+1；从而可得x3+ax2+bx＞0；求导h′（x）=3x2+2ax+b=﹣8得b=﹣3x2﹣2ax﹣8，从而化为存在x∈使﹣2x3﹣ax2﹣8x＞0，从而化为最值问题．（Ⅲ）由定义写出当x∈N*，y∈N*，x≤2时，x=1，y=2，或x=2，y=3时，G（x，y）＜G（y，x）；x≥3时，G（x，y）＞G（y，x）．解答：解：（Ⅰ）因为G（x，y）=x y，x，y∈（0，+∞）由f（x）=G（1，x3﹣3x），则有x3﹣3x＞0；所以函数的定义域为；（Ⅱ）因为G（x，y）=x y，x，y∈（0，+∞），所以，log2（x3+ax2+bx+1）＞0，得x3+ax2+bx+1＞1．即x3+ax2+bx＞0，因为g′（x）=3x2+2ax+b=﹣8，得b=﹣3x2﹣2ax﹣8．所以x3+ax2+bx=x3+ax2+x（﹣3x2﹣2ax﹣8）=﹣2x3﹣ax2﹣8x＞0；存在x∈使﹣2x3﹣ax2﹣8x＞0．所以2x2+ax+8＜0，存在x∈使a＜﹣2x﹣，所以，由于在x∈上单调递减，所以当x=4时，有最大值为﹣10．所以，a的取值范围是（﹣∞，﹣10）．（Ⅲ）当x∈N*，y∈N*，x≤2时，x=1，y=2，或x=2，y=3时，G（x，y）＜G（y，x）；x≥3时，G（x，y）＞G（y，x）．点评：本题考查了抽象函数的应用及存在性问题的应用，同时考查了多元函数的应用，属于中档题．。