(完整版)线段最值(垂线段最短)
垂线段最短求最值专题
垂线段最短求最值专题【专题说明】初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决【方法技巧】类型一：一动一定型如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值。
通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．类型二：两动一定型如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小．解题思路：一找：第一步：作点M关于AC的对称点M；第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；二证：证明MP+PN的最小值为M′N．类型三：一定两动型（胡不归问题）“胡不归”问题即点P 在直线l 上运动时的“PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ”型最值问题.问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P 为∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点 A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB ”的值最小时，点P 的位置如何确定？解题思路：过点P 作PQ⊥BN 于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋k·PB ”的最小值转化为求“PA＋PQ ”的最小值( 如图②)，∴当A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小( 如图③)，此时AQ⊥BN .【典例分析】【典例1】模型分析问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小．解题思路：一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；二证：证明AP是点A到直线l的最短距离．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【解答】解：如图所示：∵AP⊥l于点P，∴AP是点A到直线l的最短距离．【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP．（1）线段BP的最小值为；（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为．【答案】（1）2（2）【解答】（1）当BP⊥AC时，BP取最小值，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝4，∴BP最小＝AB•sin30°＝2；故答案为：2；（2）根据题意，作图如下：∵四边形APBQ是平行四边形，∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值，∴OP＝AO•sin30°＝，∴PQ的最小值为．故答案为：．【变式1-2】如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．【答案】【解答】解：设∠C＝n°，∵Rt△ABC与⊙C重合的面积为，∴＝，解得n＝60，即∠C＝60°，∵Rt△ABC斜边AC的长为4，∠C＝60°，∴BC＝AC＝2，连接CQ，CP，如图，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ＝＝，∴当CP最小时，PQ最小，∵当CP⊥AB时，CP最短，此时CP＝CB＝2，∴PQ的最小值为＝．故答案为：．【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为．【答案】【解答】解：取PQ的中点O，过O点作OD⊥AC于D，过B点作BH⊥AC于H，连接OB，如图，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BH•AC＝AB•CB，∴BH＝＝，∵∠PBQ＝90°，∴PQ为⊙O的直径，∵⊙O与AC相切，OD⊥AC，∴OD为⊙O的半径，∵OB+OD≥BH（当且仅当D点与重合时取等号），∴OB+OD的最小值为BH的长，即⊙O的直径的最小值为，∴线段PQ的最小值为．故答案为：．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．【答案】4【解答】解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点，∴CD是∠ACB的平分线，∴点N关于CD的对称N′在AC上，过点B作BH⊥AC于点H．∵AC＝6，S△ABC＝12，∴×6•BH＝12，解得BH＝4，∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，∴BM+MN的最小值为4．故答案为：4．【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC 于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为．【答案】【解答】解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42，∴x＝，∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4，∴CJ＝，∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠PBD，∴∠PBD＝∠PBC，∵EK⊥BC，EK⊥BP，∴EF＝EK，∵EG⊥CD，∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，∴四边形EFCG是矩形，∴FG＝EC，∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，∴EF+FH的最小值为．故答案为：．【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E 是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为．【答案】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴CD＝＝＝5，在CD上取一点N′，使得CN＝CN′，连接MN′，过点A作AH⊥CD于点H．∵菱形ABCD的面积＝•AC•BD＝CD•AH，∴AH＝＝＝，∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN＝MN′，∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，∴ME+MN的最小值为．故答案为：．【变式2-3】如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【答案】4【解答】解：将x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，∴点C坐标为2，令0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，∴点A关于直线BC的对称点A'坐标为（1，4），∵BC是AA'的垂直平分线，∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，∴当A'N⊥x轴时，AM+MN的最小值为A'N的长度，故答案为：4．【典例3】模型分析问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．解题思路：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长．请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程．【解答】解：如图，在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作∠NAP′，使sin∠NAP'＝k，过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，点P即为所求的位置，理由如下：∵BE⊥AN，∴∠AEP＝90°，∴sin∠NAP′＝＝k，∴PE＝kAP，∵BE⊥AN，∴点B到AN的最短线段为BE，∵BE＝PE+BP，即BE＝kAP+BP，∴此时，kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为．【答案】3【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB•sin60°＝3，∠ACB＝60°，∴FH＝CF•sin60°＝CF，∴EF+FC＝EF+FH≥EH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，EF+FC＝EF+FH＝EH＝AM＝3的值最小，故答案为：3．【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD+CD 的最小值为．【答案】10【解答】解：延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE，过点D作DF⊥CE，连接AF，∵∠ABC＝∠CBE＝90°，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴∠ACB＝∠ECB＝30°，AC＝BC，∴△AEC为等边三角形，DF＝CD，∴AD+CD＝AD+DF≥AF，当A、D、F三点依次在同一直线上，且AF⊥BC时，AD+CD＝AD+DF＝AF＝AC•sin60°＝5的值最小，∴2AD+CD＝2（AD+CD）的最小值为5＝10．故答案为：10．【变式3-3】如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO 的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为．【答案】【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，AB＝10∴AC＝AB＝10，∠ACB＝∠CBD＝45°，∴OA＝OC＝5，∵E是OA的中点，∴AE＝OE＝，∴CE＝，∵FH＝BF•sin45°＝BF，∴EF+BF＝EF+FH≥EH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，EF+BF＝EH＝CE•sin45°＝的值最小，故答案为：．。
知识点248垂线段最短
1．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．点评：本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．2．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．3．如图，AB⊥BC，则AB ＜AC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是垂线段最短．考点：垂线段最短。
分析：把BC看作直线，点A为直线BC外一点，根据垂线段定理进行判断．解答：解：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知AB＜AC，其理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．4．如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，则能使所打开的水渠最短，这种方案的设计根据是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：这种方案的设计根据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．点评：本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．5．如图，现有一条高压线路沿公路l旁边建立，某村庄A需进行农网改造，必须要从这条高压线上架接一条线路去村庄A，为了节省费用，请你帮他们规划一下，并说明理由．理由是从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型—2024学年八年级数学上册(解析版)
最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型模型一垂线段最短模型典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【思路引领】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．【解答】解：如图：当PQ⊥OA时，PQ有最小值，∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，∴PH＝PQ＝3，∴PQ长的最小值为3，故选：C．【总结提升】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对练习1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F 分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．3√2C．3√3D．3【思路引领】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，根据直角三角形的性质得到BD=12CD，根据已知条件得到BB′＝BC，推出△CDB≌△BB′F，于是得到B′F＝CD=√32BC＝3√3．【解答】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∴BD=12CD，∵BD=12BB′，∴BB′＝BC，在△CDB与△B′FB中，{∠CDB=∠B′FB ∠B′BF=∠CBD CD=BB′，∴△CDB≌△BB′F，∴B′F＝CD=√32BC＝3√3．故选：C．【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明BE+EF的最小值为B′F的长度．2．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD ＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）A．1B．2C．2.5D．√5【思路引领】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．3．（2023•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB 上，则BE+EF的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．5.4【思路引领】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出BE+EF＝BM，根据垂线段最短得出BE+EF≥4.8，即可得出答案．【解答】解：作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，∴M在AC上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√52−32=4，∴S△ABC=12×BC×AD=12×AC×BN，∴BN=BC×ADAC =6×45=4.8，∵F关于AD的对称点M，∴EF＝EM，∴BE+EF＝BE+EM＝BM，根据垂线段最短得出：BM≥BN，即BE+EF≥4.8，即BF+EF的最小值是4.8，故选：B．【总结提升】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出BE+EF＝BM的长是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．4．（2023春•鄄城县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝．【思路引领】分两种情况讨论，当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．【解答】解：当点P 在∠ABC 内部时，∵BP 为定长，∴当BP +PQ 的值最小时，PQ 最小，此时PQ ⊥BC ，∴∠PQB ＝90°，∵∠ABC ＝60°，∠ABP ＝20°，∴∠PBQ ＝40°，∴∠BPQ ＝90°﹣40°＝50°，当点P 在∠ABC 外部时，同理可求∠BPQ ＝10°，故答案为：50°或10°．【总结提升】本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．5．（2022秋•东港区校级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝15°，点P 为AC 边上的动点，点D 为AB 边上的动点，若AB ＝6cm ，则PB +PD 的最小值为 cm ．【思路引领】如图所示，延长BC 到E 使得CE ＝BC ，连接EP ，AE ，证明△ACB ≌△ACE ，得到AE ＝AB ＝6cm ，∠CAE ＝∠BAC ＝15°，则∠BAE ＝30°，再证明△BCP ≌△ECP ，得BP ＝EP ，推出当D 、P 、E 三点共线且ED ⊥AD 时PD+PE 有最小值即PB+PD 有最小值(PB +PD)最小值=DE 最小值=12AE =3cm ． 【解答】解：如图所示，延长BC 到E 使得CE ＝BC ，连接EP ，AE ，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，又∵AC＝AC，BC＝EC，∴△ACB≌△ACE（SAS），∴AE＝AB＝6cm，∠CAE＝∠BAC＝15°，∴∠BAE＝30°，同理可证△BCP≌△ECP（SAS），∴BP＝EP，∴PB+PD＝PD+PE，∴当D、P、E三点共线且ED⊥AD时，PD+PE有最小值，即PB+PD有最小值，∴(PB+PD)最小值=DE最小值=12AE=3cm，故答案为：3．【总结提升】本本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．模型二将军饮马模型类型一一直线同侧两定点典例2 （2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（）A ．7B ．3.5C ．5D ．2.5【思路引领】利用将军饮马模型找出使BP+EP 取得最小值时的点P 的位置即可求得结论．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AD 为BC 的垂直平分线，∴B ，C 关于AD 对称，∴连接EC 与AD 的交点即为使BP+EP 取得最小值时的点P ，∴BP+EP 的最小值＝EC ＝5，故选：C ．【总结提升】本题主要考查了轴对称的性质，最短线路问题，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质和将军饮马模型找出使BP+EP 取得最小值时的点P 的位置是解题的关键．类型二 两射线一顶点两动点典例3（2021秋•颍东区期末）如图，∠AOB ＝30°，点P 是∠AOB 内的定点且OP ＝3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．43D ．6【思路引领】作点P 关于OB 的对称点P'，点P 关于OA 的对称点P''，连接P'P''与OA ，OB 分别交于点M 与N ，则P'P''的长即为△PMN 周长的最小值；连接OP'，OP''，利用已知条件可以证明∠P ′OP ″＝60°即可求出P'P''；【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，连接OP'，OP''，∵OP＝3，∠AOB＝30°，由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°，∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°，∴OP′＝OP''＝P'P''，∴P'P''＝3；故选：A．【总结提升】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为P'P''的长是解题的关键．针对练习1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7B．6C．9D．10【思路引领】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值．【解答】解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D．【总结提升】本题考查了轴对称—最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．2．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【思路引领】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．【总结提升】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．3．（2020秋•西城区校级期中）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE P点的位置在（）A．△ABC三条中线的交点处B．AD的中点处C．A点处D．D点处【思路引领】由点D是等边三角形ABC的中点得到AD所在的直线是△ABC的中垂线，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，即可得到△PCE的最小周长．【解答】解：∵点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC的中点，∴CE长度不变，AD所在的直线是△ABC的对称轴，∴当△PCE的周长最小时，PE+PC最小，如图，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，∴点F是AB的中点，∴CF⊥AB，此时，CF即为PE+PC的最小值，点P是△ABC的三条中线交点，∴当△PCE的周长最小时，P点是△ABC的三条中线的交点．故选：A．【总结提升】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质与垂线段最短找到△PCE周长最小的点P位置．模型三造桥选址模型类型一异侧两定点一定长典例1（2021春•奉化区校级期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A．B．【思路引领】虽然P，Q两点在河两侧，但连接P，Q的线段不垂直于河岸．关键在于使PM+NQ最短，但PM与QN未连起来，要用线段公理就要想办法使M与N重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．【解答】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选：C．【总结提升】考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．类型二同侧两定点一定长典例2（2019•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为（）A．10B．12C．14D．16【思路引领】因为PQ和AB是定长，所以要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；在AB【解答】解：四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB，∴AB＝5，BC＝4，PQ＝2，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ，要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；在AB上截取AM＝PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值；∴BQ＝CQ，∴MB＝3，BC＝4，∴MC＝5，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ＝12；故选：B．【总结提升】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将四边形的周长转化为AP+BQ的最小值是解题的关键；针对练习1．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距离．【总结提升】本题考查了轴对称确定最短路线问题，是此类题目的第二种类型，难度较大，利用的原理为平行四边形的对边相等．2．（2023•浠水县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．2√2【思路引领】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG 与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．【解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，故选：B．【总结提升】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．3．（2022秋•离石区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）【思路引领】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短．【解答】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交直线b于点P，∴BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最小，过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，∴B'M＝CD，∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p+q）m，∴AM＝（p+q）m，∴∠CAP＝45°，【总结提升】此题主要考查了最短路线问题，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键．4．如图，某条护城河在CC'处直角转弯，河宽不变，从A处到达B处，须经两座桥，如何恰当地架桥才能使从A地到B地的路程最短？【思路引领】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D′F、E′B'，即可得到桥所在位置．【解答】解：如图，作AF⊥CM，作BB'⊥CN，截取AF＝BB'，连接B'F交两河岸为D'，E'，作D'D⊥CM于D，作E'E⊥CN于E，连接AD，BE，则折线ADD′E′EB的长度等于折线AFD′E′B′B的长度，等于折线FD′E′B′的长度+AF+BB′．而折线FD′E′B′以线段FB′最短，∴确定两座桥的位置是线段DD'和BB'．【总结提升】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，。
人教版七年级数学下册5.1.2《垂线段最短》讲义(PDF版 )
释义图示垂线段线段PO点P 为直线l 外一点，点O ，1A ，2A ，3A ，…，在直线l 上，其中l PO ⊥公理：垂线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.【简单说成，垂线段最短】点P 与直线l 各点的连线中，线段PO 最短点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度．．，叫做点到直线的距离.线段PO 的长度即为点P 到直线l 的距离：点到直线的距离是一个正的数值，并非图形，所以不能说．．．垂线段是距离名称定义性质图示点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度垂线段最短两点之间的距离连接两点线段的长度两点之间，线段最短ii1、如图所示，ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，下列说法正确的是（）A.点B 到AC 的垂线段是线段ABB.点C 到AB 的垂线段是线段ACCABD2、【2017北京】如图所示，点P 到直线l 的距离是（）A．线段PA 的长度B．线段PB 的长度C．线段PC 的长度D．线段PD 的长度3、如图所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，CE BD ⊥于M .说法正确的是（填序号）①BM 的长度是点B 到CE 的距离；②CE 的长度是点C 到AB 的距离；③BD 的长是点B 到AC 的距离；④CM 的长是点C 到BD 的距离.CEM A BD4、点到直线的距离是（）A 、点到直线上一点的连线B 、点到直线的垂线C 、点到直线的垂线段D 、点到直线的垂线段的长度5、如图所示，︒=∠90AOB （1）、AB BO （填“>”，“<”或“=”），判断理由是（2）、若m OA 2=，cm OB 3=，则点A 到OB 的距离是cm ；点B 到OA 的距离是cm ；ABO6、如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是()A ．2.5B ．3C ．4D ．5P7、点P 为直线l 外一点，A 、B 、C 为直线l 上三点，cm PA 4=，cm PB 5=，cm PC 2=，则P 到直线l 的距离（）A．不小于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．不小于5cm 8、如图，点M ，N 分别在直线1l ，2l 上，画出三条线段，使它们的长分别是：（1）、M ，N 两点间的距离；（2）、点M 到直线2l 的距离；（3）、点N 到直线1l 的距离.∙MN∙1l 2l 9、如图，计划把河水引到水池A 中，先引CD AB ⊥，垂足为B ，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_______________________________________.10、如图，修一条公路将村庄A ，B 与公路MN 连接起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由.A BM N∙∙答案：1、D 2、B ；3、①④4、D 5、（1）、>；垂线段最短；（2）、2；36、A7、C8、EF ∙M N∙1l 2l 答案：（1）、图中线段MN 为所求（2）、图中线段ME 为所求（3）、图中线段NF 为所求9、垂线段最短10、连接AB ，作MN BC ⊥于C ，沿AB ，BC 修公路长度最短.理由：①两点之间，线段最短；②垂线段最短A BCMN∙∙。
(完整版)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
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初中数学［最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用.理论依据：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图".教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”.考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短",“垂线段最短”,“点关于线对称"，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题"，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例:已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P,使得PA+PB最小。
解:连接AB，线段AB与直线L的交点P ,就是所求。
（根据：两点之间线段最短。
）二、两点在一条直线同侧例:图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解:只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道"的对称点A′,然后连接A′B，交“街道"于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形,使三角形周长最小。
解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A。
B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2.连接AE交河对岸与点M，则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
最短路径问题最短路径(完整版)4
3.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上 有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 解:如图，依题意,分别作点P关于ON、OM的 对称点P1、P2,连接P1P2交ON于点B，交OM于
点A，依次连接A、B、P，此时△PAB的周长为
最小值.
祝你学业有成
角形，就是最短路径。
求解原理 两点之间，线段最短
A1
m
B A
C
n
A2
探索新知
知识点1 将军饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点
，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
E BF
EF B
E BF
探索新知
知识点1 将军饮马问题
l
A
问
题
将两地抽象为A、B两个 点，将河抽象为直线l ．
B 数 学 问 题
引例
将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ．
A
问题一 你能用自己的语言把问题抽象为
l
数学问题吗？
C B
连接AB，与l 交于C点
在直线l 上找一点C，使AC+BC最短
问题二 点C应该在哪里？ 为什么呢？
两点之间线段最短
知识点1 将军饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点
，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴
线段最值问题
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
，P是⊙O上一点，求AP简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。
先确定线段A'B'的运动轨迹是，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F到圆环的最短和最长路径。
E到圆环的最短距离为=EC+CF=3+6=9，其差为简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段在OA、OB的内侧。
所以本题的关键是动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径折得P1、P2，△PMN的周长转化为点P1、P2之间的路径，从而转化为求小值为线段P1P2＝OP＝6。
例5.如图，在锐角△ABC中，ABN分别是AD和AB上的动点，则简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC 时，最小值为2√2。
【平移变换类】典型问题：“造桥选址”。
例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。
如下图：思路是把动线AM平移至A'M，A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。
本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。
【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题 两点之间线段最短和垂线段最短综合
两点之间线段最短和垂线段最短综合1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．答案与解析1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释【答案】C【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．【详解】解：现象1：测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，可用“垂线段最短”来解释；现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，故选：C．【点睛】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线【答案】C【分析】垂线段的性质：垂线段最短，根据垂线段的性质解答即可．【详解】解：∵CE⊥AB，根据垂线段的性质可知，CE＜CP，同理，DF＜DP，∴方案一更节省材料．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．【答案】①【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，可以“两点之间线段最短” 来解释②，可以用“两点确定一条直线” 来解释③，故答案为：①．【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短【分析】根据两点之间线段最短以及垂线段最短即可判断．【详解】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是正确两点之间线段最短以及垂线段最短，本题属于基础题型．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．【答案】两点之间线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得到答案．【详解】解：由题意得可知：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和两点之间线段最短，熟知二者的定义是解题的关键．三、解答题6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．【答案】（1）连接AB，两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，垂线段最短．【分析】（1）连接AB，根据两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，根据垂线段最短．【详解】解：如图所示：（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BC走，垂线段最短．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段的性质和垂线段的性质．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用两点之间距离线段最短，进而得出答案；（2）利用点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．【详解】解答：解：（1）如图所示：由两点之间，线段最短，连接AC、BD交点即为P点，（2）如图所示：由垂线段最短，过P作PQ⊥河道l，垂足即为Q点．【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握点与点以及点到直线的距离定义是解题关键．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）连接AB交直线l于点C，点C即为所求作．（2）根据两点之间线段最短解决问题．（3）作AA′//CD，且AA′＝1，连接BA′得到点C，作线段CD⊥河岸即可．【详解】（1）如图，点C即为所求作．理由：两点之间，线段最短.（2）如图，点C即为所求作．（3）如图，线段CD可即为所求作．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，点到直线的距离垂线段最短；（3）图见解析，两点之间线段最短．【分析】（1）根据题意画图即可；（2）①借助网格作CE⊥AB，根据点到直线距离垂线段最短可得符合条件的E点；+++=+．②连接AD和CE交于P点，根据两点之间线段最短可得AP DP CP EP AD CE【详解】（1）连接AB如下图所示；（2）①如图所示CE为最短路径，理由是点到直线的距离垂线段最短，故答案为：点到直线的距离垂线段最短；②如图所示P点为AP DP CP EP+++最短，理由是：两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题考查两点之间的距离，垂线段最短和根据要求画线段．理解点到直线的距离垂线段最短和两点之间线段最短是解题关键．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交l于点C即可；（2）根据BO＋CO=BC为定长，故需保证AO最小即可，根据垂线段最短，过点A作AO⊥BC于O 即可；（3）根据两点之间线段最短，故连接AC、BD交于点O即可．【详解】解：（1）连接AB，交l于点C，此时AC＋BC=AB，根据两点之间线段最短，AB即为AC＋BC的最小值，如下图所示：点C即为所求；（2）∵点O在BC上∴BO＋CO=BC∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC为定长，∴当AO+BO+CO最小时，AO也最小过点A作AO⊥BC于O，根据垂线段最短，此时AO最小，AO+BO+CO也最小，如下图所示：点O 即为所求；（3）根据两点之间线段最短，若使AO＋CO最小，连接AC，点O应在线段AC上；若使BO＋DO 最小，连接BD，点O应在线段BD上，∴点O应为AC和BD的交点如下图所示：点O即为所求．【点睛】此题考查的是两点之间线段最短和垂线段最短的应用，掌握根据两点之间线段最短和垂线段最短，找出最值所需点是解决此题的关键．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ【答案】（1）见解析；（2）5；两点之间，线段最短；垂线段最短.【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点按要求作图即可；（2）根据两点之间，线段最短和点到直线的距离垂线段最短回答即可．【详解】（1）如图所示.+的最小值为点A到直线BC的距离，所以是5.（2）AP PQ依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短.【点睛】本题考查直线、射线、线段以及两点之间，线段最短，点到直线的距离，解题关键是掌握直线、射线、线段的特点，牢记两点之间，线段最短，垂线段最短．12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；（2）垂线段最短．【分析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．（2）过点H作直线EF的垂线段即可．【详解】解：()1连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置．()2理由是：垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和垂线段最短在生活中的应用，解题时要注意它们的综合应用．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．【答案】垂线段最短两点之间，线段最短【分析】(1)过A作AC⊥MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．【详解】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短；＞【分析】根据题目要求直接连接AB，以及分别过A，B向直线l作垂线即可，利用直角三角形中斜边大于直角边进而得出答案即可．【详解】解：方案一、连接AB交直线l于点P，依据是两点之间，线段最短；方案二、分别过A，B向直线l作垂线即可，如图，AM、BN即为所求，依据是垂线段最短；方案一中m=AP+PB，方案二中n=AM+BN，在Rt∆AMP与Rt∆BNP中，AM<AP，BN<BP，∴AM+BN<AP+BP，即m>n，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短；>．【点睛】题目主要考查两点之间线段最短及垂线段最短，直角三角形斜边大于直角边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．【答案】见解析；两点之间线段最短；垂线段最短【分析】由两点之间线段最短；垂线段最短即可作出图形：连接AB；过点B作l的垂线段．【详解】解：如图所示：AB、BC为所求．作图理由：两点之间线段最短；垂线段最短．【点睛】此题考查了作图能力，掌握：两点之间线段最短、垂线段最短是解题的关键．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点；（2）连接MN交直线AB于点R，点R就是所求．【详解】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点．如图所示：（2）连接MN交AB于点R，点R就是所求的点．如图所示：．【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，记住这两个性质是解题的关键．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.【详解】解；如图所示：连接AB，是两点之间线段最短；作BC垂直于河岸，是垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．【答案】（1）沿线段AB走，见解析，两点之间，线段最短；（2）沿垂线段BD走，见解析，垂线段最短【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题即可．（2）根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）如图，沿线段AB走，理由：两点之间，线段最短．（2）如图，沿垂线段BD走，理由：垂线段最短．【点睛】本题考查了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个知识，熟知两个知识点并正确作图是解题关键．。
利用垂线段最短解决最值问题
利用垂线段最短解决最值问题模型一垂线段最短如图，已知直线l 外一定点A 和直线l 上一动点B，求A、B 之间距离的最小值 .通常过点A 作直线l 的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．【典型例题】1.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是AB 上任意一点．若AD＝5，AC＝4，则DE 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A .当DE⊥AB 时，DE 最小，此时DE = CD，在Rt△ACD 中，根据勾股定理易得CD = 3 .2. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC 边上高AD＝4，若点P 在边AC 上( 不含端点) 移动，则BP 长的最小值为________．答案：24/5 .如图，延长CA，过点B 作BP'⊥CA 于点P'，此时BP' 的长最小 .在等腰△ABC 中根据“三线合一”的性质可知BD = CD = 3 ,S△ABC = 1/2 ×BP' ×AC = 1/2 ×AD ×BC，可得BP' = 24/5 . （等积求距）3. 如图，点A 坐标为(－2，0)，点B 在直线y＝x－4 上运动，当线段AB 最短时，点B 坐标为________．答案：（1，-3）.如图，当AB'⊥直线y＝x－4 时，此时线段AB 最短 .设直线AB' 的解析式为y = kx + b （k ≠0）,∵AB'⊥BB'，K BB' = 1，（KBB' 为直线y＝x－4 的斜率）∴K AB' ×K BB' = - 1 ，（两条直线垂直斜率乘积为-1）∴K AB' = - 1 ，即k = -1 ,∴直线AB' 的解析式为y = -x + b ,∵点A（-2,0）在直线AB' 上，∴0 = 2 + b , 解得b = -2 ,∴直线AB' 的解析式为y = -x - 2 .联立直线y = x - 4 , 解方程可得B'（1，-3）.模型二胡不归问题“胡不归”问题即点P 在直线l 上运动时的“PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ”型最值问题 .问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P 为∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB ”的值最小时，点P 的位置如何确定？解题思路：本题的关键在于如何确定“k·PB ”的大小 .过点P 作PQ⊥BN 于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋k·PB ”的最小值转化为求“PA＋PQ ”的最小值( 如图②)，∴当A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小( 如图③)，此时AQ⊥BN .【典型例题】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB＝6，且∠ABC＝60°，M 为对角线BD ( 不与点B 重合) 上任意一点，则AM＋1/2 BM 的最小值为________．答案：3√3 .如图，过A 点作AE⊥BC 于点E，交AB 于点M' ，则AM＋1/2 BM 的最小值为AE .在Rt△AEB 中，AB = 6，∠ABC = 60°，∴AE = AB ▪sin∠ABC = 6 ×√3 / 2 = 3√3 .拓展应用：对于求“m·PA＋k·PB”的最值，若m > k ≥1，可转化为“m ( PA + k/m ·PB ) ”的最值, 此时0< k/m < 1.(1) 本题若要求“2AM＋BM ”的最小值，你会吗？请求解．答案：6√3 .(2) 本题若要求“AM＋BM＋CM”的最小值，你会吗？请求解．答案：6√3 .AM＋BM＋CM 最小时，此时点M 为△ABC 的“费马点”，所以AM＋BM＋CM = BD = 2 ×√3 / 2 ×6 = 6√3 .2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2 + bx＋c 的图象经过点A(－1，0)、B(0，－√3 )、C(2，0)，其对称轴与x 轴交于点D .若P 为y 轴上的一个动点，连接PD，则1/2 PB＋PD 的最小值为_______．答案：3√3 / 4 .如图1/2 PB＋PD = PD + 1/2 PB 的最小值为DE，则∠PBE = 30°，可解得DE = 3√3 / 4 .。
(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
人教版七年级数学下册第五章《垂线段最短》优课件
解决问题
在灌溉时，要把河中的水引到 农田P处，如何挖渠能使渠道 最短？
垂线段最短
C
例1
在下列语句中，正确的是（ C ）． A、在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B、在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条 C、在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直 线的直线有且只有一条 D、在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离
A
答：不能。
B
D EC
例3
已知直线a、b，过点a上一点A作AB⊥a，交b于点B， 过B作BC⊥b交a于点C。请说出哪一条线段的长是 哪一点到哪一条直线的距离？ 并且用刻度尺测量 这个距离。
课堂检测
1、如图,AC⊥AB,A为垂足,AD⊥BC,D为垂足,AB=8,
CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离
谢谢观赏
You made my day但是非常忠实。2022年2月17日星期四2022/2/172022/2/172022/2/17 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/172022/2/17February 17, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17
课堂检测
5、如图所示,能表示点到直线(线段)的距离的A 线
段有( C )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
考查知识点----两点之间线段最短,垂线段最短,点关
小结
E? F!
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长 最小，请求出点△PBC的周长.
第一步 寻找、构造几何模型 要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE 的周长最小？
08福州22
把三条线段转移到同 一条直线上就好了！
第二步 计算——勾股定理
E' F' 32 42 5 EF 12 22 5
因此四边形 MNFE的周长的最小值为 5 5.
小结
经典模型：台球两次碰壁问题 经验储存：没有经验，难有思路
1、（点，点P为对 角线AC上一动点，连接PB、PQ，则 △PBQ周长的最小值为____________㎝ （结果不取近似值）.
2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在 BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中 边AP上的高为____________________.
两条线段和的最小值 两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
当P运动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型 第二步，计算
09内江27 对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值 .
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “点关于线对称”，“线段的平移”。
(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，
BD=2 ,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
最小值为__________.
变式训练1-3
如图，已知直线y= x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.
典型例题1-1
【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，
如图，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为 △CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.
垂线段最短的说理
垂线段最短的说理
垂线段最短，是说当从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段是最短的。
这是因为垂线段是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中最短的一条。
根据垂线段的性质，当两条线段都与同一条直线垂直时，较短的线段长度一定小于较长的线段长度。
因此，垂线段是最短的。
为了证明这个性质，我们可以考虑以下步骤：
第一步，设点A是直线L外一点，点B是直线L上的一点，从点A到直线L可以作无数条线段，其中垂线段AB是最短的。
第二步，假设存在另一条线段AC（AC>AB），且AC垂直于直线L于点C。
现在我们需要证明线段AB的长度小于或等于线段AC 的长度。
第三步，根据勾股定理，在直角三角形ABC中，有AB² = BC² + AC²。
如果AC>AB，那么AC² > AB²，进而BC² < AC² - AB²。
第四步，由于点C位于直线L上，所以BC的长度至少为d（d 为点B到直线L的最短距离），因此有BC² ≥ d²。
结合第三步的结论，我们得到d² < AC² - AB²，这意味着d < AC - AB。
第五步，由于d是点B到直线L的最短距离，所以d是所有点到直线L距离中最短的。
因此，我们有AB + d < AC。
第六步，由于AB是垂线段的长度，而AB + d < AC证明了垂线段的长度是最短的，所以我们可以得出结论：垂线段是最短的。
专题09 三角形中的垂线段最短模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题09三角形中的垂线段最短模型【模型1】垂线段最短如图，已知点P 是直线l 外一点，过点P 作l PB ⊥，则PB 是直线外一点P 与直线l 上各点的连线中最短的线段。
【模型2】两条线段的和最小值问题如图，已知点P 是AOB ∠内任意一点，点E 、F 是OB ，OA 上的动点，求EF PE +的最小值，通常作P点关于OB 的对称点'P ，过点'P 作OA F P ⊥'于点F ，交OB 于点E 。
此时EF PE +的值最小。
【例1】如图，AD 是等边△ABC 的BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上动点，当EF +CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°【例2】如图Rt △ABC ，90ACB ∠=︒，AB =5，BC =3，若动点P 在边AB 上移动，则线段CP 的最小值是_______．【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=8cm ，点D 为线段AB 上的一个动点，从点A 出发沿线段AB 向点B 运动，速度为2cm/s ．(1)求AB ，AC 的长度；(2)如图，连接CD ，线段CD 是否有最小值；若有最小值，请求出这个最小值及此时时间t 的值；若没有最小值，请说明理由；(3)若点E 为线段AC 的中点，连接DE ，当△ADE 为等腰三角形时，求时间t 的值．一、单选题1．如图，AP 平分∠CAB ，PD ⊥AC 于点D ，若PD ＝6，点E 是边AB 上一动点，关于线段PE 叙述正确的是（）A ．PE ＝6B ．PE ＞6C ．PE ≤6D ．PE ≥62．如图，从位置O 到直线公路l 有四条小道，其中路程最短的是（）A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD3．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，AD 是BAC ∠的平分线，若P ，Q 分别是AD 何AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是（）A ．2.4B ．4C ．4.8D ．54．如图，l 是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A ，小球从B 到C 从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（）A ．从大变小B ．从小变大C ．从小变大再变小D ．从大变小再变大5．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，10AB =，BD 平分ABC ∠，如果点M ，N 分别为BD ，BC 上的动点，那么CM MN +的最小值是（）A ．4B ．4.8C ．5D ．66．如图，BD ⊥CD ，垂足为D ，∠ABD ＝30°，∠A ＝90°，且AD ＝4，DC ＝6，点P 是边BC 上的一动点，则DP 的最小值是（）A ．7.1B ．6.5C ．4.8D ．3.2二、填空题7．如图，90ADB ABC ∠=∠=︒，DAB BAC ∠=∠，4BD =，P 为AC 上一动点，则BP 的最小值为______．8．在△ABC 中，50A ∠=︒，40B ∠=︒，E 是AB 边上的中点，且12CE AB =，点D 是AB 上一个动点，当CD 取最小值时，∠DCE =________．9．如图，已知AM 是ABC ∆的中线，点P 是AC 边上一动点，若ABC ∆的面积为10，4AC =，则MP 的最小值为_______10．如图，菱形ABCD 中，2AB =，120D ∠=︒，E 是对角线AC 上的任意一点，则12BE CE +的最小值为______．11．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，BC ＝3，点M 为BC 上一定点且BM ＝1，在BC 上有一动点Q ，在BD 上有一动点P ，则PM +PQ 的最小值为_______．12．如图，45AOB ∠=︒，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，MN =6，△OMN 的面积为12，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为1P ，点P 关于OB 对称的点为2P ，当点P 在直线NM 上运动时，12OP P 的面积最小值为______．三、解答题13．如图，点A 在直线l 外，点B 在直线l 上，连接AB ．选择适当的工具作图．(1)在直线l 上作点C ，使90ACB ∠=︒，连接AC ；(2)在BC 的延长线上任取一点D ，连接AD ；(3)在AB ，AC ，AD 中，最短的线段是______________，依据是______________．14．如图，已知点P 在∠AOC 的边OA 上，(1)过点P 画OA 的垂线交OC 于点B ；(2)画点P 到OB 的垂线段PM ；(3)测量P 点到OB 边的距离：cm ；(4)线段OP 、PM 和PB 中，长度最短的线段是；理由是．15．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，AD 平分∠BAC ，点P 、Q 分别是AD 、AC 上的动点（点P 不与A 、D 重合，点Q 不与A 、C 重合），求PC ＋PQ 的最小值16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A 、B ，其中AB ＝BC ，由于某种原因，由C 到B 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D （A 、D 、B 在同一条直线上），并新修一条路CD ，测得CA ＝750米，CD ＝600米，AD ＝450米．(1)问CD 是否为从村庄C 到河边最近的路？请通过计算加以说明；(2)求原来的路线BC 的长．17．如图所示，∠AED =80°，EF 平分∠AED 交AD 于点F ，∠1=40°(1)写出判定EF ∥BD 的推理过程．(2)当∠ADE =50°时，线段EA 、EF 、ED 中最短的是哪段？并说出理由．18．在Rt ACB 中，3AC BC ==，90C ∠=︒，D 是AC 边上一点，2CD AD=，直线DE 交BC 于点E ．(1)如图1，若45CDE ∠=︒，则CD =______，EB =______；(2)如图2，在（1）的条件下，点M 在直线DE 上运动，且满足90MCN ∠=︒，MC NC =，连接ND ，请判断ND 与ME 的数量关系和位置关系，并说明理由．(3)如图3，若30∠=︒CDE ，点M 在直线DE 上运动，且满足90MCN ∠=︒，MC NC =，连接AN ，请求出AN 的最小值．19．(1)如图1，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 、AC 边上的点．若B 、E 、F 在一条直线上，且45ABE BAC ∠=∠=︒，探究BD 与AE 的数量之间有何等量关系，并证明你的结论．(2)为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练．如图2所示，体育老师在地面画了一块ABC 场地，已知17AB AC ==米，16BC =米，D 为BC 的中点，测得AD 的长为15米，受训练的两名同学E 和F 分别在AD 和AC 边上移动，老师站在C 点位置给同学传球，先把球传给E 同学，E 同学再传给F 同学，请求出所传球的运动路径最小值（即EC EF +的最小值）．20．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 、AC 边上的点．（1）如图①，连接BE 、EF ，若∠ABE ＝∠EFC ，求证：BE ＝EF ；（2）如图②，若B 、E 、F 在一条直线上，且∠ABE ＝∠BAC ＝45°，探究BD 与AE 的数量之间有何等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若AB ＝13，BC ＝10，AD ＝12，连接EC 、EF ，直接写出EC +EF 的最小值．。
yic一次函数线段最值
yic一次函数线段最值
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
对于一次函数线段最值问题，主要有两种方法：
- 将军饮马模型：求线段和最小，一般点$A$、点$B$为定点，点$P$为动点，在某条直线上运动，可过任意一个定点作动点所在直线的对称点，然后将对称点与另外一个定点相连接，与直线的交点即为所求点$P$。
- 垂线段最短：点到直线的距离，垂线段最短，由此可以求单条线段最值。
在解决此类问题时，需要灵活运用所学知识，并注意数形结合，以找到解决问题的最佳方法。
(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
5.搭桥模型 已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定
点，（直线AB不与m垂直）
要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.
分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”，转化为基本模型
解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），
OB=4 ，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短
时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1， ）C．（ ， ）D．（ ， ）
要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小
分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点
关于l的对称点，转化为上述模型3
解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l
的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B
交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段
PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.
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中考数学压轴题突破
线段最值探索（斜大于直思想）
一、相关知识点:
1、点到直线的距离：
（1）.通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（2）.经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
即我们今天所要讲的内容“斜大于直”问题。
“斜大于直”问题在中考线段最值中考察较为广泛，即点到线的最短距离问题，常见的有:
1.单线段的最值;
2.线段和的最小;
3.系数不为1的线段和的最值（胡不归问题）.
二、例题精选
基本模型：点P到直线MN的最短距离为线段PA的长.
变式1：“隐点型”----（对称隐藏定点型）
变式2：“隐点型”----（运动轨迹隐藏定点型）
反思：①本题的关键在于确定△PEF的外心，利用等边三角形的特殊性将垂直平分线的交点转化为角平分线的交点，寻找到外心.②发现外心为一定点，则转化为求定点到直线的最短距离问题，即垂线段最短（斜大于直）.
变式3：“隐点型”----（运动轨迹隐藏定点型）
反思：①看起来是“点到点”实质为“点到线”.
②本题关键在于发现△ABQ为固定的直角三角形.
③由矩形对角线相等将MN转化为PQ，则转化为求定点Q到直线的最短距离问题，即垂线段最短（斜大于直）.
变式4：“隐线型”----（运动隐藏直线轨迹型）
变式5：“隐线型”----（运动隐藏直线轨迹型）
反思：①找到点T，N的轨迹是本题的首要任务，直线型轨迹的寻找常用方法都是定点定角寻找，即找到过某一定点的定角，点的轨迹即为直线.本题中∠PAN，∠TAC 均为定值，又经过定点A，则轨迹不难发现为是直线.
②再利用“斜大于直”思想，迅速解答此题.
变式6：“隐线型”----（运动隐藏直线轨迹型）
变式7：“隐线型”----（运动隐藏直线轨迹型----胡不归问题型）
总结：
由上述题组可以发现“斜大于直”问题考察题型较为广泛，可以是单一线段最值，也可是多条线段最值，还能是含系数的线段和的最值问题，不管是其中那种类型，都可以利用转化思想对问题进行巧妙处理。
①单线段的最值常见于直接型的点到直线距离问题，当然也可以将定点隐藏“隐点”或将动点形成的直线型轨迹隐藏“隐线”，题目难度就会大大加深。
②多线段和的最值始终遵循“同化异，折化直”的解题思路来进行，如遇线段带系数，思考能否运用三角函数将系数转化。
不管是“隐点”还是“隐线”最终都会转化为点到线的距离问题，即始终抓住“斜大于直”思想找出最短距离即可。