高中数学必修2《立体几何初步》教材解读之一

高中数学必修2《立体几何初步》教材解读之一永安一中吴强一．义务教育阶段（7-9年级）已经学习过的与立体几何有关的内容在“空间与图形”部分要求：（1）要求会画几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

（2）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体图形。

（3）了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。

（4）观察与现实生活中的有关图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。

（5）通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光下，观察手的阴影或人的身影）。

（6）了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。

因为，有许多高中教师并不担任初中数学的教学任务，了解初中阶段学生已有的知识结构对于组织高中数学教学是十分重要和必要的。

二．认真研读课标，站在一个整体、全局的高度把握好教学的深浅度．从整套教材来看，几何教学、学习的要求不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度的．一共分为三个阶段：第一阶段必修课程: 数学2：立体几何初步、解析几何初步．第二阶段选修系列1：圆锥曲线与方程系列2 ：空间向量与立体几何．第三阶段选修系列3：球面上的几何、对称与群、欧拉公式与封闭曲线、三等分角与数域扩充选修系列4：几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程。

三．高中数学2新课程中“立体几何”部分的教学内容结合《标准》的学习和教科书的编写，概括一下，高中数学新课程中“立体几何”部分的教学内容：“空间几何体”教科书内容及课时分配1．1 空间几何体的结构约2课时1．2 空间几何体的三视图和直观图约2课时1．3 空间几何体的表面积与体积约2课时实习作业约1课时小结约1课时2．点、直线、平面之间的位置关系知识结构2．教科书内容及课时分配2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系约3课时2．2 直线、平面平行的判定及其性质约3课时2．3 直线、平面垂直的判定及其性质约3课时小结约1课时四．知识编排方面与传统的对比在内容安排上，通过研读课标和作新旧教材的如上对比，我们发现新课程《数学2》中立体几何初步的内容体现了从整体到局部，从具体到抽象的原则．而旧教材这部分的内容遵循的是从局部到整体的原则．同时在内容的难度要求上,《数学2》与旧教材比较，难度进行了降低，并且引入了合情推理．立体几何削弱的内容：逻辑推理能力的要求（如判定定理的证明）；三垂线定理与逆定理及其应用；简单几何体的面积与体积公式的推导等.立体几何增加的内容：三视图；简单几何体的面积和体积（球除外）及其应用.立体几何删除的内容：多面体欧拉定理的发现.五．与大纲的比较，有哪些变化（1）安排体系发生变化，更符合人们的认识规律传统的教材是先学习空间点、线、面，再研究由它们组成的几何体，而《课程标准》是先展示大量的几何体的结构，再剖析组成几何体的点、线、面。

这种安排的特点是由整体到部分，由具体到抽象，更加符合人们的认知规律。

我们生活在三维世界中，对于一个物体，首先感受的是它的轮廓，之后才会对它的侧面、边角感兴趣。

（2）重视联系，强调应用传统的立体几何强调综合方法，强调逻辑推理，这种单一的处理方法使学生孤立地学习立体几何，从而学习难度较大，许多中学生惧怕立体几何，解答立体几何问题总是不理想（立体几何一直是高考中的难点，位于承上启下的位置），在《课程标准》中，比较初步的，不是太难的用综合方法处理，以培养空间想象能力和逻辑推理能力，而较难处理的问题则采用代数的方法。

从而有利于改变学生对立体几何的态度，建立起学生学好立体几何的信心。

更重要的是加强了几何与代数的联系，培养数形结合的思想，完善数学的认知结构。

加强立体几何与现实生活的联系，强调应用是立体几何课程改革的又一特色。

立体几何课程从空间几何体开始，利用实物模型、计算机软件观察大量的空间图形，使学生归纳出“柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构”。

这也就是从生活中来，到生活中去，善于从生活中获取知识，也善于将学到的知识应用于生活，培养学生用数学视角观察世界和用数学思维思考世界的习惯。

（3）加强直观，侧重空间想象能力的培养高中立体几何历来以培养逻辑思维能力为主要目标。

而新课程更加强调空间想象能力的培养，空间观念的建立，逻辑思维能力的培养退至次要地位。

立体几何的基础是平面几何《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）将合情推理引入课程，强调几何直观，在给出大量的平面图形的基础上，引导学生归纳、概括出若干定理，整个教学过程只要求证明8个定理，目的是让学生感受公理化思想和了解证明的含义。

立体几何课程改革同样引入大量的实物模型，计算机模拟与演示，加强学生的直观感受。

在数学2的立体几何初步中只给出4个公理、9个定理，其中只有4个定理需要证明，其余4个判定定理在选修2-1中用向量方法给出证明（比如三垂线定理也用向量方法证明），而选修课程并不是要求所有学生都掌握的。

由此可见，立体几何的教学目的由重点培养逻辑思维能力转向培养几何直观能力和空间想象能力。

然而大量削减逻辑证明会不会影响学生的数学能力，尤其是思维能力和推理能力的提高，有待于实践的检验和进一步研究。

（4）加强动手操作方面的要求2002年数学教学大纲要求学生能够“用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系”，“会画直棱柱的直观图。

”，“会画正棱锥的直观图”。

《课程标准》要求“能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图”，“用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图”，“画出某些建筑的视图与直观图”。

同学们在动手实践的过程中体会、感受、经历，从而增加对几何体的认识和对客观世界的认识，学生动手还体现在让学生参与知识形成过程。

以往的大纲只给出终极目标，到达目标的途径没有做明确的要求，而《课程标准》不但明确知识的终极目标，而且明确了到达终极目标的途径。

如“通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理”，“通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理”，“通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法”，等等。

综合以上，可见《课程标准》立体几何部分从内容到要求，从形式到结构都较以往的大纲有较大的改动。

六、必修二教学说明与建议（一）棱柱、棱锥、棱台这些空间几何体要求到什么程度？按照《标准》的要求，教材首先通过实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。

结构特征是这些空间几何体的本质特征，我们需要抽象概括出这些空间几何体的概念。

以棱柱为例，抽象出它的本质特征后，要不要讲斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及棱柱的一些性质？由于《标准》在选修2-1“空间向量与立体几何”中有“参考案例”例1，例1中明确提出“直三棱柱……”，所以必须讲。

棱锥也有类似的问题，正棱锥怎么讲？在何处讲？（二）关于三视图与几何直观能力、空间想象能力视图和投影是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》新增的内容，作为与初中数学课程内容的衔接，“空间几何体”包括视图和投影的内容。

要求到什么程度？1．三视图是不是要求到“长对正、高平齐、宽相等”？与初中阶段的相关内容如何衔接？2．对于平行投影和中心投影下的视图与直观图，如果只是“通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式。

”，是不是要求太低了？3．如果不明确给出直棱柱、正棱柱、斜棱柱等的概念，棱柱的三视图能否讲清楚？因为棱柱的三视图涉及棱柱的高等概念。

增加三视图的有关内容，对于进一步培养学生的空间想象能力和几何直观能力具有重要的促进作用。

过去的“立体几何”内容相对来说，这方面比较薄弱。

三视图的有关内容在一定程度上改善了这种状况。

对图形既需要直观地感觉，也需要思辨地论证。

我们要求学生能够画出空间几何体的三视图和直观图，能够从空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图等等。

使得学生能通过“实物模型—三视图—直观图”这样一个相互转化的过程认识空间几何体。

这些数学活动是培养学生空间想象能力的有效途径。

只有这样，立体几何的教学目标才更加全面。

基于以上原因，我们认为，教师和学生应该知道正视图、侧视图、俯视图的“摆放”位置，以及“长对正、高平齐、宽相等”的要求，但尺寸、线条、具体怎么画不作严格要求。

这部分内容是初中“投影与视图”的基础上的发展。

一个现实情况是，“空间几何体”8个课时的容量，留给“空间几何体的三视图和直观图”仅有2个课时的时间，很多内容无法展开。

要想说的很清楚，势必冲破2个课时的限制，这显然违背《标准》的要求。

因此，很多内容“点到为止”，要求不高，像上面提到点在平面的射影、空间几何体的高，平行投影和中心投影下的视图和直观图等几个问题，必须明确提到，但要求较低。

（三）高中数学新课程中“立体几何”部分的教学内容是不是过去“直线、平面、简单几何体”内容的真子集？单从课时上看，容易产生这种印象：高中数学新课程中“立体几何”部分的教学内容是过去“直线、平面、简单几何体”内容的真子集。

实际是这种情况吗？答案是否定的。

从《标准》和《普通高中课程标准实验教科书·数学2》A版（以下简称《数学2》）看，高中数学新课程中“立体几何”部分新增加了一些内容：平行投影、中心投影，三视图。

这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，而“直线、平面、简单几何体”没有这部分内容。

增加这部分内容的主要目的是进一步认识空间图形，通过三视图以及空间几何体与其三视图的互相转化，对空间图形有比较完整的认识，培养和发展学生的空间想象能力、几何直观能力，更全面地把握空间几何体。

投影是视图的基础，投影分为平行投影和中心投影。

立体几何中研究的图形都是平行投影下的图形。

中心投影在日常生活中非常普遍，但不是高中“立体几何”研究的主要内容。

有了投影，才有视图。

除了“平行投影、中心投影，三视图”的内容外，其他内容是“直线、平面、简单几何体”的真子集。

（四）教学过程注意事项①备每堂课前要在通读教材内容基础上，做完课后练习，以便更好地把握重、难点，例题的选择、课堂练习的安排；②教学时必须留足时间让学生操作确认，并用自然语言表述出来；③时时注意以长方体中的点、线、面为载体，引导学生学会自然语言转化为图形语言和符号语言；④始终把握数学教学的特点：问题中心、设计自然（即数学知识发生发展的原过程），引导学生自己概括出数学本质，保持高水平的数学思维活动；⑤注重数学思想方法蕴含其中的道理，课堂必须经常留时间总结好数学思想，体会数学思维规律；⑥严格按照模块本身内容要求教学，不得随意补充知识，理解好螺旋上升设计；⑦教材中有大量的旁白，有的是画龙点睛，有的是一般性概括，也有的是方法指要，教学时不可忽视这部分内容的点拨。