基于小波变换的脉冲激光测距

基于小波变换的脉冲激光测距孙玉祥314113002432摘要：从原理上分析了小波变换算法检测脉冲激光测距中信号奇异点的可行性，介绍了Mallat算法及小波基的选取等内容，在理论上验证了了小波变换算法可应用于高精度脉冲激光测距中。

1 引言随着激光的出现以及激光技术的发展，激光测距因激光方向性好、亮度高、波长单一、测程远、测量精度高而渐渐取代传统测距方式。

激光测距方法大体可分为三类：相位激光测距法、脉冲激光测距法、干涉测距法。

脉冲激光以其同等总发射平均光功率情况下，测距量程较大以及测距速度较快且无需合作目标的优点，目前获得了比较广泛的应用。

目前，虽然脉冲激光测距系统的原理和结构已十分成熟，但还存在着一定的不足。

在平行激光测距中，确定回波到达时刻的方法有很多，文献[1]列举了常用的几种方法，并对其确定回波到达时刻的效果进行了仿真,但结果都达不到很高的精度。

众所周知，小波变换已经成功地应用于许多研究领域，如时频分析，子带编码，多速率信号处理，计算机图形和降噪等[2]。

在时频分析领域，相对于传统的傅里叶变换方法，小波变化在时域或频域上都具有良好的局部特性，可以聚焦到分析对象的任意细节，被誉为“信号的显微镜”[3]。

小波变换能够把信号分解到一系列在对数意义上具有相同带宽的频率通道，因此能表示各种不同频率分量的信号。

利用信号与突变的奇异信号的小波系数幅值大小以及在小波域的分布不同，同时利用信号与突变的奇异信号的小波模极大值随尺度的变化快慢不同，可以得到突变的奇异信号在小波域中的位置以及小波系数大小，从而使得小波有着良好地检测奇异信号的优势。

基于小波变换能准确检测脉冲激光测距中回波信号奇异点的特性，可以讲小波变换算法应用于脉冲激光测距，计算出回波信号的奇异点，就可以确定回波的到达时刻。

2 小波变换理论基础2.1 小波变换设f (t )∈L 2 R ,ψ(t )为母小波函数，则称[4]：W f a ,b =1 a f t ψ∗ t −b a dt =<f t ,ψa ,b (t )> , a >0 为函数f(t)的小波变换。

式中星号表示取共轭，<x,y >表示x 与y 的内积。

ψa ,b t = a ∗ t−ba 称为母小波ψ(t )的位移与尺度伸缩。

式中，a 称为尺度因子；b 称为平移因子.小波具有窗函数的作用，可以用小波ψ(t )研究以t=b 为中心半径与a 有关的领域内信号f(t)的局部情况。

当f(t)在t =b 1附近波形平缓时，可以增大尺度a ，用伸展了的小波ψa ,b 1(t )去观察f(t)。

若f(t)在t =b 2附近波形变化激烈，减下a ，用压缩的小波ψa ,b 2(t )去观察f （t ）。

随着b 的变化，小波沿时间轴移动，随f(t)波形变化，改变尺度a ，就像用“显微镜”一样通过调焦来观察f(t)的局部信息[5]。

在实际应用中，为了方便用计算机进行分析、处理，信号f （t ）都要离散化为离散序列，a 和b 也必须离散化，成为离散小波变换。

将尺度和位移进行离散化后，小波变换则可表示为：WT f a 0j ,kb 0 = f t ψa 0,kb 0j ∗ t dt j =0,1,2,…,k ∈Z 如果取a 0=2 ,b 0=0 ，即相当于连续小波只在尺度a 上进行量化，平移参数仍然连续变化不被离散，这类小波成为二进小波，表示为：ψ2k ,b t =2−k 2ψ(t −b 2k ) 二进小波介于连续小波和离散小波之间，由于它只是对尺度参量进行离散化，在时间域上的平移量仍然保持着连续的变化，所以二进小波变换具有连续小波变换的时移共变性，也正因为如此，它在奇异性检测、图像处理方面都十分有用。

2.2 小波奇异性检测原理通常，我们用李普西兹指数（Lipschitz ）来描述函数的局部奇异性，则有如下定义[6]：设n是一非负整数，n<α≤n+1，如果存在两个常数A和 0( 0>0)，及n次多项式P n( )，使得对任意的 ≤ 0，均有f x0+ −P n( )≤A α则称f（x）在点x0为李氏指数а。

如果上式对所有x0∈(a,b)均成立，且x0+ ∈(a,b)，称f（x）在（a,b）上时一致Lipschitzа。

显然Lipschitzа指数越大，函数越光滑；函数在一点连续、可微，则在该点的α指数为1；在一点可到，而导数有界但不连续时，李氏指数仍为1；如果f(x)在x0的Lipschitzα<1，则称函数在x0点是奇异的；一个在x0点不连续但有界的函数，该点的Lipschitzα为0。

可以看出，函数的奇异程度表现为Lipschitzα的大小。

假设小波函数ψ(t)是连续可微的，则f（t）的小波变换满足[5]:W f(s,b)≤Ksα（1）其中，K是一个与所用小波函数ψ(t)有关的常数。

若t0是f(t)的奇异点，则 W f(s,b)在b=t0处取极大值，即为小波变换的模极大值。

在二进小波变换情况下，对（1）式两边取对数，得到：log2 W f(2j,b)≤log2K+jα信号的小波变换在奇异点处会产生模极大值，且信号经小波变换后产生的模极大值随着尺度的增大而增大或者不变，而噪声产生的模极大值随着尺度的增大而减小。

因此，在地尺度，模极大值点主要被噪声控制，在较高尺度上，模极大值点主要被信号控制，据此可以在较高尺度上通过小波变换的模极大值点把信号的奇异点找出来。

2.2 Mallat算法基于多分辨分析的思想，Mallat系统提出了信号的塔式多分辨分解与重构的著名算法，俗称Mallat算法。

Mallat算法的基本思想可以归纳如下：设H j f为能量有限信号f(t)∈L2R在分辨率2j下的近似，则H j f可以进一步分解为f在分辨率2j−1下的近似H j−1f（通过低通滤波器得到），以及位于分辨率2j−1与2j之间的细节D j−1f（通过高通滤波器得到）之和，其分解过程如下图所示：假设已知初始序列 c0,n，低通滤波器 n和高通滤波器g n=(−1)1−n 1−n∗(星号表示取共轭)，由分解公式：c j+1,k=c j,nn∈Z n−2k∗ ,k∈Zd j+1,k=c j,nn∈Z g n−2k∗ ,k∈Z就可以一步步算出所有尺度系数 c j,k和小波系数{d j,k}。

在已知分解后的系数 c j,n及{d j,n}时，要重建分解前的系数 c0,n，则由上面的逆过程容易得到重构公式：c j+1,k=c j+1,nn∈Z k−2n+d j+1,nn∈Zg k−2n ,k∈Z信号重构可以用如下流程图来表示：2.3 小波基的选取在实验中，有众多小波基可供选择，然而不同的小波基对信号奇异点的检测效果区别很大。

例如，常用的Daubechies小波不适合用来检测奇异点。

文献[7]中对不同小波基的奇异性检测效果进行了详细的研究，发现1阶消失矩的二次样条小波对奇异点的检测效果最好，其特点是指示奇异点位置的脉冲峰既高又窄，而且其计算的突变点Lipschitz 指数最为接近理论值，因此选用该小波来检测信号的奇异点。

2.4 算法实现步骤（1）令c 0 n ={f 0 ,f 1 ,…,f [L −1]}，置j =0。

（f[n]为输入信号）（2）由公式c j +1 k = c j k −2j n H [n ]l H −1n =0 算出低通分量c j +1 k ，直至j =J -1。

（3）由公式d j +1 k = c j k −2j n G [n ]l G −1n =0算出高通分量d J k ，即为所要求的第J 层小波系数。

3 小波在脉冲激光测距中的应用3.1 脉冲激光测距原理脉冲激光测距基本原理是：首先，脉冲激光测距机在测距处对准目标。

然后，向被测目标发射一束短而强的脉冲激光。

部分脉冲激光能量在传输过程中损失，当脉冲激光遇到目标后，剩余脉冲激光反射到脉冲激光测距机内。

由于光的传播速度为常数，只要测出脉冲激光从发射到收到回波的渡越时间，即可算出目标距离。

假定脉冲激光在测距处和被测目标间脉冲激光从发射到收到回波的渡越时间为T ，则目标距离S 为：S =CT 2式中，C 为激光在空气中的传播速度。

当认为光速一定时（忽略大气中光速传播时的微小变化），则测距精度为：∆S =C ∆T 式中，∆S 为测距机距离分辨率，∆T 为时间分辨率。

3.2 算法在脉冲激光测距中的应用在脉冲激光测距中，由于信号中不规则的突变部分往往带有十分重要的信息，它是信号的重要特征之一，所以可以选择回波波形上的孤立奇异点所在的时刻作为接受时刻。

在足够小的尺度下，小波变换的模极大值点的位置是与信号孤立奇异点的位置相一致的[1]。

通过对回波信号作二进小波变换，获取小波变换的模极大值点的位置来获取渡越时间，从而计算出与被测目标间的距离。

4 结论小波变换算法是基于多分辨分析的思想及对Mallat算法的改进，选取二次样条小波作为小波基，能很好地检测出脉冲激光测距回波信号中的奇异点，大大提高了脉冲激光测距的精度，有很好的应用前景。

参考文献[1] Xing Rong. Digital algorithm research based on wavelet transformation of laser proximity fuze[D].Harbin:Harbin Institute of Technology, 2007.[2] Feng Zhen, Ma Qishuang. Research on infrared image nonlinear enhancement algorithm based on wavelet analysis[J]. Laser & Infrared, 2010,40(3):315-318.[3] Zhu Yisheng, Xie Yongzhe, Zhou Yi. Analysis and application of quadratic spline wavelet filter[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 1996,1(2):30-35.[4] Tang Haifeng, Sun Degang. The error analysis and research on measuring distance pulsed-semiconductor laser[J]. Laser Journal, 2005,26(2):79-80.[5] Zhang Guohua, Zhang Wenjuan, Xue Pengxiang. Wavelet analysis and foundation of appliance[M]. Xi’an: Northwest Institute of Technology Press,2006:15-51,112-113.[6] 倪明，张仁和，胡永明，等.关于光纤水听器灵敏度的讨论[J].应用声学，2002,21（6）：18-21.[7] Zhao Xuezhi, Lin Ying, Chen Wenge. The choice of wavelet base for singular signal detection[J]. Journal of South China University of Technology, 2000,28(10):75-80.。