不定积分的概念.ppt

注
的积分
曲线族是 f (x) 的 所有积分曲线组成
y F(x)
的平行曲线族.
o
x0
x
例1 求 x d x
解
(2
3
x 2 )
1
x2
x
3
原式
2
3
x2
C
3
例2求 1 d x
1 x2
解
(arcsin x)
1 1 x2
原式 arcsin x C
例3
求
1 x
d
x
解
x >0时
(ln x) 1 x
(运动速度) 再由此求 x(t)
x x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
x0 x(0)
o
先由此求 v(t)
(2) 求
由
知
x
v(t) ( g )d t g t C1
由 v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) g t v0
由
知
x x(t)
x0 x(0)
o
x(t)
是f ( x) 原函数的一般表达式 ( C ：任意常数 ) .
问题: 原函数存在的条件?
4. 原函数存在定理 定理 存在原函数 .
初等函数在定义区间上连续则必有原函数
5. 不定积分定义
定义2 在区间 I 上， f ( x) 的含有任意常数项的
原函数 F ( x) C
上的不定积分,
记作 f ( x)dx , 即
dx
即 d ( f ( x)d x) f ( x) dx
亦即 d( f ( x)d x) f ( x)d x
d 与 抵消
(2) F( x)d x F ( x) C, (F( x) f ( x))
dF(x) F(x) C.
2. 线性运算性质
与 d 抵消,
相差一个常数
性质2 （1） k f ( x)dx k f ( x)dx
问题: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ?
m （ sin x C） cos x, （ e2x C ） e2x ,
2
2. 原函数定义 定义 1 若函数 F (x) 及 f (x)在区间 I 上满足
则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的原函数 .
3. 原函数的个数及原函数之间的关系
（或 arccot x C） （或 arccos x C）
（arctan
x）
1
1 x
2
sin xdx cos x C （tan x） sec2 x
(5)
不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f ( x)
第4章
第22讲 不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念 二 、不定积分的性质 三 、基本积分表（Ⅰ）
一、 原函数与不定积分的概念
1.引例 一质点(质量为 m) 在变力
沿直线运动 , 求质点运动速度 由牛顿第二定律, 加速度
？ (F( x) C) f ( x)
如 sin xdx cos x C
(cos x C) sin x
6. 不定积分的几何意义 f ( x)d x F( x) C
原函数的图形 y F ( x)：
的积分曲线.
y F ( x) C的图形：
的积分曲线族.
y y F(x) C
(g
t
v0
)d
t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 ,
故运动规律为
x(t)
1 2
g
t2
v0t
x0
二、不定积分的性质
1.不定积分运算与导数 （或微分）运算的互逆关系
性质1 （互逆运算） f ( x)d x F( x) C
(1) d F ( x) C f ( x),
（2）[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)d x
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线性运算推论 若
则
n
f ( x)dx ki fi ( x)dx
i 1
例6 设 F ( x)为 f ( x)的原函数，F ( x) 0, F (0) 1,
当x 0时，有 f ( x)F ( x) 1 cos x, 求 f ( x). 解 依题设，知 F( x) f ( x) 2 代入 f ( x)F ( x) 1 cos x, 得
积分号
f ( x) d x F ( x) C 积分常数
( C 为任意常数 ).
积分变量 被积表达式
被积函数
注 求 f ( x)dx，只需求 f ( x)的一个原函数F ( x),
即若 F ( x) f ( x) , 则
f ( x)dx F( x) C
不可丢 !
所求不定积分的结果是否正确，只需检验：
（1）若 F (x) 为f (x) 的原函数，则 F (x) +C亦然； （2）若 F (x)、G(x) 均为f (x) 的原函数，则
G(x)=F (x) +C
证 [G( x) F( x)] G( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0
故
G(x) F(x) C
结论
F(x) C
∴在（0, +∞）内，有：
1 dx ln x C
x <0时
[ln( x)]
1
x
(1)
1
x
x
∴在（0, +∞）内，有：
1 x
dx
ln(
x)
C
原式 ln x C
例4 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程 y f ( x). 解
2 2F( x)F ( x) cos x 即 [F 2( x)] cos x,
F 2( x) cos x d x sin x C
由 F (0) 1, 得 C 1, 又 F ( x) 0
F( x) sin x 1 故 f ( x) cos x . 2 sin x 1
三、 基本积分表（Ⅰ）
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
y (1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
例5 质点在距地面 x0 处以初速 v0 垂直上抛 ,不计阻 力, 求它的运动规律.
解 (2) 建坐标系. 取 x轴 （向上）：运动轨迹处，
初时刻:
初位移: 初速：
设时刻 t 质点位置：
x 则
dx v(t) dt
(1) kdx k x C ( k 为常数)
(2)
x μdx
1 μ1
x μ1
C
dx
x
ln
x
C
x ( ln
0时 x )
[ln( x)]
1
x
( μ 1) x μ ( x μ1 ) μ1
积分表（Ⅰ）续1
(3) (4)
dx
1 x2
arctan
x
C
dx arcsin x C 1 x2
cos xdx sin x C