河北省石家庄市2021届高三上学期质量检测(一)数学试题

2021 届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时 ，选出每小题答案后，用铅笔 把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题： 本题共8小题，每小题5 分，共, 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A = {-1,0,l,2}, B = {x |-1≤ x ≤1}, 则A ⋂B =()A. {-1,1}B. {-1,0,1}C. {0,1}D. {0,1,2}2. 若z (1-2i) = 2 +i , 则复数z =()A. -1B. -iC. 1D. i3. 北京冬奥会将于 2022年 2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《 北京 申办 2022年冬奥会成功纪念 》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃" 、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5 枚邮票中任取 3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ） A.310B.12C.35D.7104. 已知过点(1,1)的直线 l 与圆 x 2 + y 2 - 4x =0交 于 A , B 两 点，则 |AB |的 最小值 为（ ）A.2B.2C.2 2D.45. 在边长为2的等边三角形ABC 中，若2BD DC = ,则AD AB ⋅= ()A. 83 B. 2· 1 ·C.103· · D.4 6. 原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α 、β 、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N (单位:贝克)与时间t (单位:天)满足函数关系N (t )=2402t N -,其中N 0为t =0时钍234的含量．已知t = 24时，钍234含量的瞬时变化率为-81n 2, 则N (120) =( )A.12 贝克B.12ln 2贝克C.6 贝克D.6 ln2贝克7. 已知F 1,F 2分别为双曲线C : 22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点，点 A 在双曲线上，且∠ F 1AF 2= 60°, 若 ∠ F 1AF 2 的角平分线经过线段OF 2(O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）2402tN -A.7B.72C.14 D .1428. 已知直三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该 棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A. 25:1B. 1: 25C. 1:5D. 5:1二、选择题：本 题共4小题，每小题5分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分． 9. 设非零实数a > b > c , 那么下列不等式中一定成立的是( )A. a 2 >b cB. ac 2 > bc 2C. (a -b )c > (a -c )cD. ln a -b a -c ＜0 10. 记函数f (x ) = x + ln x 的零点为x 0，则关于x 0的结论正确的为( )A. 0 ＜ x 0＜12B. 12＜x 0＜ 1 C.00e x x --=0 D. 00e x x -+=011. 2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大 型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ） A.该超市这8个月中 ，线上收入的平均值高 于线下收入的平均值B.该超市这 8个月中 ，线上收入与线下收入 相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈 现负相关D.从这 8个月的 线上收入与线下收入对比来 看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比 较愿意线下消费高三数学 第2 页（共 4 页）12. 动点P (x , y ) 在单位圆x 2 + y 2 = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24秒旋转一周．已知时间 t =0时，点P 坐标为(32，12)，当t ∈ [0, 24 ] 时，记动点P 的横、纵坐标之和x + y 为关于t (单位：秒）的函数g (t ), 则关千函数g (t ) 描述正确的是()A. g (5) = 2B. g (t ) 在[5,17]上单调递减C. g (13) = g (21)D. g (t ) 在区间[0 ,24 ] 上有3个零点三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．13 已知实数x, y 则1,20,20,x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则z =2x - y 的最 大值为 .14. 已知 α∈(π2,π) , 2 sin 2α + 1 = cos 2α, 则c _o s α =..15、 设抛物线y 2 = 2px (p > 0)的焦点为F ,点A (0, 2 ) , 线 段 F A 与 抛物线交 于点 B , 且2FB BA =, 则|BF |= .16 . 设数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n + a n =1, 记b m 为数列{a n }中能使a n ≥12m +1 (m ∈N • )成立的最小项，则数列{a n }的前 99 项之和为 .四、解答题：本 题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题10分）在①cos C =217,②a sin C = c cos(A -π6)，这两个条件中任选一个，补充 在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , B =π3 , D 是边BC 上一点，BD =5, AD =7, 且，试判断CD 和 BD 的 大小关系．注：如果选择多个条件分别解答，按笫一个解答计分．18. (本小题12 分）公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和记为S n . 若a 1 =1 , 且S 1,2S 2 .4S 4 成等比数列.(1)求{a n }的通项公式 ；(2)求 数 列{a n +1S n S n +1}的前 n 项和 T n . 19. (本小题12分）中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件，是新 时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件．《见意》强调，坚持“五育”并举 ，全面发展素质教育其中特别指出强化体育锻炼，坚持健康第一 ．刁r l某校为贯彻落实《意见》精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到如下频率分布直方图：(1)求这1000名学生满意度打分的平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2) 如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200 的样本，得到如下 2 ⨯ 2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99% 的把握认为满意度与学生性别有关．:20. ( 本小题12分)在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD为平行四边形M 为AA 1的中点，BC =BD =l,AB =AA 1= 2. , (1)求证 ：MD ⊥平面BDC 1 ; (2)求二面角M -BC 1-D 的余弦值．"21. (本小题12分）已知椭圆E : 22221x y ab +=(a >b >0)过点(0,1)，离心率为22.(I) 求椭圆方程 ；(2)巳知不过原点的直线l : y = kx +t (k ≠0)与椭圆E 相交于A ,B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M , 直线AB ,MB 分别与x 轴相交于点P,Q , 求|OP |•|OQ |的值．22. (本小题12 分）已知函数f (x )=[x 2+(a -1)x +1]e x，其中e 为自然对数的底数．(1) 若a = 2, 求函数f (x ) 在(0,f (0))处的切线方程；(2) 若函数f (x )+e 2≥0恒成立，求实数a 的取值范围；;;性别 打分不满意满意总计男生100 女生60总计．，，）2002021届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）数学答案一、单选题二、多选题 三、填空题：（本答案提供了一种或两种给分标准，其他解法请各校教研组参照给分标准研究商定）13. 1 14. 14. 9 16. 10532四、解答题17．解：设AB=x ，在ABD ∆中由余弦定理可得：22492525cos2553π=+-⋅⋅⋅=+-x x x x ………………2分即2524=0x x --，解得=8x ， ………………4分 方案一：选条件①． 由721cos =C 得772sin =C ，………………5分 π=++C B A,14757722172123)sin(sin =⨯+⨯=+=∴C B A………………7分 在ABC ∆中由正弦定理可得：,77281475=BC 解得：10=BC ， ………………9分.5==∴BD CD ………………10分方案二：选条件②．由正弦定理可得：=2sin ,=2sin ,a R A c R C 代入条件sin cos()6a C c A π=-得：1sin sin sin sin )2A C C A A =⋅+1sin sin sin 2A C A C =+，………………6分1sin sin sin 2A C A C ∴=， ………………7分 因为A 为三角形内角，所以3tan =A ，故3π=A ，………………8分 所以ABC ∆为等边三角形， (9)分所以8=BC ，，3=∴CD 所以CD<BD ．………………10分18．解：（1）由已知可得：221444S S S =⨯， ………………2分即：2(2)1(46)d d +=⨯+， ………………3分解得0d =（舍）或2d = ………………4分 所以21n a n =-，………………5分（2）由（1）可得2n S n =，………………7分所以1222212111(1)(1)n n n a n S S n n n n +++==-⨯++；………………9分所以22222222221111111111()()()...()()122334(1)(1)nT n n n n =-+-+-++-+--+………………10分 222121(1)(1)n nn n +=-=++ ………………12分19.解：（1）根据统计数据，计算平均数为：10.0330.11+50.16+70.39+90.31=⨯+⨯⨯⨯⨯x .................2分=6.68.................4分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：女生 40 60 100 总计60140200则22(20604080)20010010060140⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯K ...............9分9.524≈..............11分经查表，得K 2≈9.524>6.635，所以有99%的把握认为满意度与性别有关. ..............12分 20. 证明：（1）因为BC =BD =1，CD =AB =√2.可得BC 2+BD 2=CD 2, ∴BD ⊥BC ,又∵ AD ∕∕BC ， ∴BD ⊥AD . 又∵ABCD -A 1B 1C 1D 1 是直四棱柱, ∴DD 1⊥平面ABCD . ∴DD 1⊥BD . 1=DD AD D ， ∴BD ⊥平面ADD 1A 1, ∴BD ⊥MD . ………………………….2分取BB 1中点N ，连接NC ，MN ，//MN DC 且MN DC =，MNCD ∴为平行四边形，//∴MD NC ,∵NB BC=BC CC 1=√22 ,∴∆NBC~∆BCC 1, ∴∠C 1BC +∠BCN =900 , ∴BC 1⊥CN,又∵ MD ∕∕NC , ∴MD ⊥BC 1 . ……………………………4分 又BC 1∩BD =B , ∴MD ⊥平面BDC 1. ……..……………………..5分 （2）解法一：以DA 为x 轴，DB 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的坐标系，则B(0,1,0), C 1(-1 , 1, √2) , M (1,0,√22) ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1, -1, √22), BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1 , 0, √2) ………………………6分由（1）可知DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDC 1的一个法向量，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√22)……………………………8分设平面C 1BM 的一个法向量为n =（x ,y ,z ）10,0,⎧=⎪⎨=⎪⎩BC BM nn 0,0,2⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩x x y z 可取n =（√2,3√22, 1）…….....10分 设二面角M -BC 1- D 为θ 所以10cos 5θ==DM DM n n即二面角M -BC 1- D 的余弦值为√105.………………………………..12分 解法二：∵直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 ∴CC 1⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ， ∴CC 1⊥BD ， 又∵BD ⊥BC ， CC 1∩BC =C ， ∴ BD ⊥平面BCC 1B 1 ， ∴BD ⊥BC 1 …… ………7分 又∵MD ⊥平面BDC 1， ∴MD ⊥BC 1 ，MD ∩BD =D ， ∴BC 1⊥平面MBD ， MB ⊂平面MBD ， ∴MB ⊥BC 1 …… ………9分∴∠MBD 为二面角M-BC 1- D 的平面角 …… …………… ………10分 在Rt △MBD 中，cos ∠MBD =DBMB =+(√2)=√105即二面角M -BC 1- D 的余弦值为√105.………………………………..12分 21.解：（I ）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1），所以1b =； ………………2分又222c e a b c a ===+，所以22a =. ............................ 4分即椭圆方程为2212x y +=. ………………5分（II ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)M x y -由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4220k x ktx t +++-=， ………………6分 所以22221222122164(12)(22)04122212k t k t kt x x k t x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩， ………………7分 在直线:(0)l y kx t k =+≠中，令0y =，则t x k =-，即(,0)tP k-， ………9分直线212221:()MB y y l y y x x x x +-=--，令0y =，则1221121212122()42()22x y x y kx x t x x k k x y y k x x t t t +⋅++-====-+++，即2(,0)k Q t-，………11分 所以2()2t kOP OQ k t⋅=-⋅-=， 即2OP OQ ⋅= …………………12分（II ）法二：设(,),(,),(,),(,0),(,0)A m n B s t M m n P p Q q -，则(,),(,)AB s m t n AP p m n ，(s m,t n),(,)MB MQ q m n……………………………………………………………6分由A,B,P 三点共线，则有//AB AP ，即n t nm s m p-=-- 所以()n m s ns mtp m n t n t--=-=--； ………………7分由B,M,Q 三点共线，则有//MB MQ ，即t n ns m q m+=-- 所以()n s m mt nsq m t n t n-+=+=++ ………………8分 所以222222(1)ns mt mt ns n s m t OP OQ p q n t t n n t -+-⋅=⋅=⋅=-+- ………9分因为A ，B 在椭圆E 上，所以2212m n +=，所以2222m n =-，同理2222s t =-，………………10分代入（1）中，得222222222222(22)(22)2n s m t n t n t OP OQ n t n t----⋅===-- 即2OP OQ ⋅= ……………………………………………12分 22.（1）解：由已知得2()(1)x f x x x e ，(0)1f ，...................2分 22()(21)(1)(32)(1)(2)x xx x f x x e x x e x x e x x e ，由()02f '=,则函数在（0，1）处的切线斜率为2，切线方程为21y x ；..........4分（2）21(1)()x x fxx a x a e x x a e .........................5分当1a 时， ()0'≥f x ，()f x 单调递增，且2()(1)0xf x x e 恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；...............................6分 当1a 时当x a ≤-时，2(1)1()10x a x x x a x 恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当xa 时，1min()(1)(3)f x f a e ，即12(3)a e e --≥-，即33a e ≤+，313a e ∴<≤+；.............................8分 当1a 时，当1x ≤-时， 2(1)1(1)0x a x a x +-+>-≥恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当1x时，min()()(1)a f x f a a e ，即2(+1)a a e e -≥-，....................10分令,h()(1),(1),()aaa a e a h a ae ， 则函数()h a 在(,0)-∞单调递增，在(0,1)单调递减，且当0a ≥时，h()(1)0aa a e恒成立；当0a 时，2h(2)e ；即2(+1)2aa ee a -≥-⇒≥-21a ∴-≤<；................................11分综上:实数a 的取值范围是323a e -≤≤+.............................................12分•: ' · .,()x ()x ()x0 负 0 ()x。