通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练十九圆锥曲线综合问题2文
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
即 (x1, y1 2) (x2 , y2 2), x1 x2 ，
于是 x1 x2
x22 , x1
x2
(1
)
x2
,
(
x1 1
x2
)2
x1 x2
，……………⑤
( 4k )2
3
1 k2
1 k2
将③④代入⑤得 2
2
，
(1 )2
16
整理得
3(1 )2 , 1 1
则 16k 2m2 4 2k 2 1 2m2 4 0 ，即 m2 4k 2 2 0
又 x1
x2
4km 2k 2 1
，
x1 x2
2m 2 2k 2
4 1
9分
∴ y1 y2 kx1 mkx2 m k 2 x1x2 kmx1 x2 m2
…………11 分
(2 x1, y1) 3(2 x2 , y2 )
∴ 2yx1133y(22 x2 )
由
y1
y2
3 y2
y2
2 y2
12t 3t2 1
得
y2
6t 3t2 1
由
y1 y2
(3y2 ) y2
3 y22
9 3t2 1
得
y22
y2
1
消去 y得(1 k 2 )x 2 4kx 3 0,由 0得k 2 3 .
2
2
设 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ，则
(完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=（O 为坐标原点），2120AF F F ⋅=2, 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 （ ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ） A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点，21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点，||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ）B. C.D. 29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．1) B．(0 C．1) D．(030．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点，则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为（ D ） ABC ．12D33．以O 为中心，12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（ ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ ）A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF ∠的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点，(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴，且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ ）A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．的离心率2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2 D43P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD44F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2| ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）A ． 147A 、F ，点B （0，b ）则该双曲线离心率e 的值为（ ）A B C D 48．直线l 是双曲线O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ． 49的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则与a b -的大小关系为A BCD ．不确定．50．点P 为双曲线1C ：和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为( )ABCD ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P ，则曲线r 的离心率等于A B 2 C D 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ）AB C ．b a D ．ab二、填空题：53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点，12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= .61．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PC +的最小值为 ．62．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB △的面积为 ． 63．已知直线1l :4360x y -+=和直线2:0l x =，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．三、解答题：64．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12F F ，，点P 在椭圆C 上，且12PF PF ⊥，14||3PF =，214||3PF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 过点M (21)-，，交椭圆C 于A B ，两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程． 65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 66．已知抛物线22(0)x py p =>．（Ⅰ）已知P 点为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影是点M ，点A 的坐标是(42)-，，且||||PA PM +的最小值是4．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A B ，两点，连接AO BO ，并延长分别交抛物线的准线于C D ，两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．67．如图所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12A A ，分别为椭圆C 的左、右顶点．（Ⅰ）设12F F ，分别为椭圆C 的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，1||PF 取得最小值与最大值；（Ⅱ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的标准方程；（Ⅲ）若直线l :y kx m =+与（Ⅱ）中所述椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左、右顶点），且满足22AA BA ⊥，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．68．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =12的交点F 恰好是该椭圆的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆222:3O x y +=的切线l 与椭圆相交于A B ，两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果时，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．。
2020高考—圆锥曲线(解答+答案)
2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。
人教版2020高考数学三轮冲刺 专题 圆锥曲线中的综合问题练习(含解析)
圆锥曲线中的综合问题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. 2B. 3C.D.（正确答案）B解：设直线AB的方程为：，点，，直线AB与x轴的交点为，由，根据韦达定理有，，，结合及，得，点A，B位于x轴的两侧，，故．不妨令点A在x轴上方，则，又，，．当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3，故选B．可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．2. 已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E 于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A. B. C. D.（正确答案）A解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，，．取，点M到直线l的距离不小于，，解得．．椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 已知点是椭圆C：的左顶点，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则的值是A. 12B. 13C. 14D. 15（正确答案）C解：由题意，．过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，，，，，，故选C．由题意，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得，即可求出的值．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A 点，，垂足为K，则的面积为A. 4B.C.D. 8（正确答案）C解：由抛物线的定义可得，则的斜率等于，的倾斜角等于，，，故为等边三角形．又焦点，AF的方程为，设，，由得，，故等边三角形的边长，的面积是，故选：C．先判断为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边的边长的值，的面积可求．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键．5. 已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若为直角三角形，其中F为直角顶点，则A. B. C. D. 6（正确答案）A【分析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．【解答】解：由题设知抛物线的准线为，代入双曲线方程解得，由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，，，，即，故选A．6. 若抛物线上恒有关于直线对称的两点A，B，则p的取值范围是A. B.C. D.（正确答案）C解：设，，因为点A和B在抛物线上，所以有得，．整理得，因为A，B关于直线对称，所以，即．所以．设AB的中点为，则．又M在直线上，所以．则．因为M在抛物线内部，所以．即，解得．所以p的取值范围是故选C．设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围．本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于p的不等式，是中档题．7. 已知点，A，B是椭圆上的动点，且，则的取值是A. B. C. D.（正确答案）C解：，可得，设，则，时，的最小值为；时，的最大值为9，故选：C．利用，可得，设，可得，即可求解数量积的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8. 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是A. B. C. D.（正确答案）C解：直线l：与渐近线：交于，l与渐近线：交于，，，，，，，，，，故选C．分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，进而根据，求得a和c的关系，则离心率可得．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的公共点，若，则的离心率是A. B. C. D.（正确答案）C解：由题意，是双曲线与椭圆的公共焦点可知，，，，，，的离心率是．故选：C．利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10. 已知双曲线C：与抛物线的准线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为，点F是抛物线的焦点，且是正三角形，则双曲线C的方程为A. B. C. D.（正确答案）B解：抛物线的焦点为，其准线方程为，为正三角形，，将代入双曲线可得，双曲线的一条渐近线方程是，，，，双曲线的方程为．故选：B．抛物线的焦点为，其准线方程为，利用为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程．本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．11. 抛物线：的焦点F是双曲线：的右焦点，点P为曲线，的公共点，点M在抛物线的准线上，为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D.（正确答案）C解：抛物线：的焦点F是双曲线：的右焦点，，，则，P在双曲线上，满足：，解得，，所求双曲线的离心率为：．故选：C．求出抛物线以及双曲线的焦点坐标，利用已知条件推出P的坐标，代入双曲线方程，然后求解a、c，即可求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 已知P是双曲线上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是A. B. C. D. 不能确定（正确答案）A解：设，则，即，由双曲线的渐近线方程为，则由解得交点；由解得交点，，则．故选：A．设，则，即，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则 ______ ．（正确答案）解：抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，可得，，解得．故答案为：．求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件求出b即可．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为______．（正确答案）6解：双曲线的方程，，，可得，因此双曲线的右焦点为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，，解之得．故答案为：6．根据双曲线的方程，可得，从而得到双曲线的右焦点为，再根据抛物线的简单几何性质，可得，解之即可得到实数p的值．本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．15. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于______．（正确答案）3解：设，，则，，，即有，由直线l倾斜角为，则直线l的方程为：，即，联立抛物线方程，消去y并整理，得，则，可得，，则，故答案为：3．设出A、B坐标，利用焦半径公式求出，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．16. 过双曲线右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为______．（正确答案）解：由题意过双曲线，右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率，，，双曲线离心率的取值范围为故答案为：先确定双曲线的渐近线斜率小于2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离心率的关系，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知曲线C：，直线l：为参数Ⅰ写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．Ⅱ过曲线C上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．（正确答案）解：Ⅰ对于曲线C：，可令、，故曲线C的参数方程为，为参数．对于直线l：，由得：，代入并整理得：；Ⅱ设曲线C上任意一点．P到直线l的距离为．则，其中为锐角．当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．Ⅰ联想三角函数的平方关系可取、得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C上任意一点由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以进一步得到，化积后由三角函数的范围求得的最大值与最小值．本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．18. 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，．当时，求的面积当时，证明：．（正确答案）解：由椭圆E的方程：知，其左顶点，，且，为等腰直角三角形，轴，设M的纵坐标为a，则，点M在E上，，整理得：，或舍，；设直线的方程为：，直线的方程为：，由消去y得：，，，，，又，，整理得：，设，则，为的增函数，又，，．依题意知椭圆E的左顶点，由，且，可知为等腰直角三角形，设，利用点M在E上，可得，解得：，从而可求的面积；设直线的方程为：，直线的方程为：，联立消去y，得，利用韦达定理及弦长公式可分别求得，，结合，可得，整理后，构造函数，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．19. 如图，已知四边形ABCD是椭圆的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点，．Ⅰ若直线AC的方程为，求AC的长；Ⅱ求平行四边形ABCD面积的最大值．（正确答案）本小题满分14分Ⅰ解：由，消去y可得：，解得，分所以A，C两点的坐标为和，分所以分Ⅱ解：当直线AD的斜率不存在时，此时易得，，，，所以平行四边形ABCD的面积为分当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为，将其代入椭圆方程，整理得分设点，，，则，分连结，，则平行四边形ABCD的面积分又分又，所以．综上，平行四边形ABCD面积的最大值是分Ⅰ通过，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可．Ⅱ当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积．当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为，与椭圆方程联立，设点，，，利用韦达定理，连结，，表示出面积表达式，然后求解最值．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。
(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(二)
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（二）1.椭圆C 1：()22210x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410.过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2：()()22240x y r r -+=>相切于点N .（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）若43AN MN =u u u r u u u u r，求直线l 的方程和圆C 2的半径r .2.已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ⋅λ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.3.已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切； （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=•MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且212d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程； （3）对于直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22116x y m m +=+（m ＞0）的离心率为45，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点． （1）求m 的值及椭圆的准线方程；（2）设过点B 且与x 轴的垂直的直线交AP 于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．7.如图，在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点.（1）求椭圆的标准方程； （2）若AF FC =，求BFFD的值； （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为12,k k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点6(2,). （1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直与轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .①设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.9.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于AB 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.10.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点在直线l30y --=上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为14-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线t 经过点(10)P ，，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中02x >）使得A ，B 到0l 的距离A d ，B d 满足||||A B d PA d PB =恒成立？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.11.已知点11(,)A x y ，22(,)(D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C ，且||2BC =.（I ）当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；（II ）记△OAD 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：1214S S <.12.已知点C 在圆()22116x y ++=上，A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，线段BC 的垂直平分线交线段AC 于点M . （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设圆222x y r +=与点M 的轨迹E 交于不同的四个点D ，E ，F ，G ，求四边形DEFG 的面积的最大值及相应的四个点的坐标.13.已知椭圆C 1：2214x y +=，曲线C 2上的动点(),M x y 满足：16=.（1）求曲线C 2的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点A ，B 分别在C 1和C 2上，2OB OA =u u u v u u u v，求线段|AB |的长.14.已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点12⎫⎪⎪⎝⎭，离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程.15.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ，求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积；（2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥，证明：点M 在定直线上.16.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AB ：y =k （x +1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x =m 于点M ，设直线P A 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数t ，使得k 1+k 2=tk 3？若存在，求出实数t 的值以及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．17.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为(1,0),F左顶点为(2,0).A-（1）求椭圆E的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M,N两点.试判断直线MN与x轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.参考答案1.（Ⅰ）由题意知，c a =，即22234a b a-=，∴224a b =，∵由椭圆1C 截直线y x =所得的弦长为5，∴弦在第一象限的端点的坐标为⎝⎭，∴2244155a b +=，将224a b =代入上式，解得2,1a b ==.∴椭圆1C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2,0A -，设()()1122,,,M x y N x y ，∵43AN MN =u u u r u u u u r ，∴14AM AN =u u u u r u u u r，∴214y y =，设直线l 的方程为()20x y =-≠λλ，联立22214x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩λ，得()22440y y +-=λλ，∴1244y =+λλ；联立()22224x y x y r=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩λ，得()222112360y y r +-+-=λλ，∵0∆=，∴22361r =+λ，且2261y =+λλ；∴2264414=+⋅+λλλλ，解得245=λ，∴220r =，∴:5100,l x r ±+==2.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ， 又CQ BC 1λ=，所以111λλ++=PQPB同理：由2λ=，得：221λλ++=PD又23=，所以11123λλ++=PC又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=•λλ（2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q由CQ BC 1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 同理：由DA QD 2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx同理可得：96244843020202+-+=x y x λ又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+•-+++x y x y x y x 整理得：0200=+-y x 即点Q 在定直线02=+-y x 上.3.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ， 又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ， 所以122:=+yx AP ，即2=+y x ， 所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径， 所以直线AP 与圆222=+y x 相切.（2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ， 而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式， 得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d所以直线EQ 与圆222=+y x 相切.4.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行，设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -， 所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=， 因为3||||=•MB AM ，所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ， 所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ， 所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ； 若14≥m ，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f .5.解：设()P x y ，，则1|2|d x =+，2d21d d ==，化简得：2212x y +=.∴椭圆C 的方程为：2212x y +=（2）解：∵(01)A ，，(10)F -，， ∴1010(1)AF k -==--，180OFA OFB ∠+∠=︒，∴1BF k =-，BF ：1(1)1y x x =-+=-- 代入2212x y +=，得：2340x x +=，∴0x =，或43x =-，代入1y x =--得01x y =⎧⎨=-⎩（舍），或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴4133B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11134203ABk -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴AB ：112y x =+ （3）证明：由于180OFA OFB ∠+∠=︒，所以B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.设11()A x y ，，22()B x y ，，122()B x y -，设直线AF 方程：(1)y k x =+，代入2212x y +=，得：222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2122212k x x k +=-+，2122112k x x k -=+，1212AB y y k x x -=-，AB ：121112()y y y y x x x x --=--， 令0y =，得122112111212x x x y x y x x y y y y y --=-=--，11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，()22222112211212122121212212211(1)(1)22222(1)12212k k k k x y x y x k x x k x x x x x x k y y k x k x x x k -⨯-++-⨯++⨯+++=====--+++++-+∴直线l 总经过定点(20)M -，6.解：（1）因为椭圆的离心率为45．所以16161625m =+，解得9m =． 所以椭圆的方程为221259x y += ……3分准线方程为254x =±……5分（2）由题可知()()()5,0,5,0,4,0A B F -，设()00,P x y ．由椭圆的对称性，不妨设00y > ①若04x =，则94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PF 方程为4x =， AP 方程为15xy =+，()5,2D 以BD 为直径的圆的圆心(5,1)，半径为1与直线PF 相切； ……8分②若04x ≠，则AP 方程为()0055y y x x =++ 令5x =，得00105y y x =+，则00105,5y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭以BD 为直径的圆的圆心0055,5y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，半径为0055y x + ……11分 直线PF 方程为()0044y y x x =--，即()000440y x x y y ---=圆心M到直线PF的距离d=……13分=＝()002545455x yxx-+=-＝055yx+所以圆M与直线PF相切……15分综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．…………16分7.（1）设椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意知：22121914caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2ab=⎧⎪⎨⎪⎩22143x y+=（2）若AF FC=，由椭圆对称性，知3(1,)2A，所以3(1,)2B--，此时直线BF方程为3430x y--=，由223430,1,43x yx y--=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x--=，解得137x=（1x=-舍去），故1(1)713317BFFD--==-．（3）设00,)A x y（，则00(,)B x y--，直线AF的方程为0(1)1yy xx=--，代入椭圆方程22143x y+=，得2220000(156)815240x x y x x---+=，因为x x=是该方程的一个解，所以C点的横坐标08552Cxxx-=-，又(,)c CC x y在直线0(1)1yy xx=--上，所以00003(1)152C cy yy xx x-=-=--，同理，D点坐标为085(52xx++，03)52yx+，所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．8.解：（1）由题意椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2，且过点， 所以223221,1c a b=+=，解得2,a b ==， 所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）①设000(,)(0)P x y y ≠，则直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++， 令2x =得004(2,)2y M x +，因为01022y k x =+，因为0202y k x =-， 所以212202y k k x =-，因为000(,)(0)P x y y ≠在椭圆上，所以2200143x y +=， 所以1232k k =-为定值， ②直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=， 则直线m 的方程为1111011112242(2)(2)(1)2x x y x y x y x x y y x y ---=-+=-+=++， 所以直线m 过定点(1,0)-.9.由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ P . ......5分（2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分10.解：（1）设椭圆焦距为2c （0c >），右焦点 为(0)c ，，∵直线l 与x 轴的交点坐标为0)∴c =.设椭圆上任意一点()Q x y ，和关于原点对称的两点()M m n ，，()N m n --，， 则有22221m n a b +=，22221x y a b +=∴2222220x m y n a b --+=又∵14y n y n x m x m -+⋅=--+即222214y n x m -=--∴2214b a = 又2223c a b =-=，∴24a =，21b =.∴椭圆的方程为2214x y +=.（2）存在04x =符合题意，理由如下：当直线t 的斜率存在时，设直线t 的方程为(1)y k x =-，设11()A x y ，，22()B x y ，联立22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=2222(8)4(41)(44)0k k k =--+->△恒成立2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+ 不妨设121x x >>，∴012021||||||1||||1|]A B d PB d PA x x x x x x -=-⋅---⋅-001212(1)()2]0x x x x x x =-+++=∴2200228(1)8(1)204141x k k x k k +--+=++，整理得0280x -=，即04x =满足条件当直线t 的斜率不存在时，显然04x =满足条件 综上，04x =时符合题意.11.解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y 代入24y x =，得到12y = …………………1分 又||2BC =，所以212x x -=，所以23x = …………………2分 代入24y x =，得到123y = …………………3分 所以212123231AD y y k x x --===-- …………………4分（Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+.则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………6分 由24y kx my x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………8分 所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++=,…………………10分 又1204kmy y =>，所以0,0k m >>，所以12124S m km S y y ==+， 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………12分 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+. 由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………6分 2221212||1|1|21AD k x x k x x k =+-=+-=+点O 到直线AD 的距离为d =, 所以||||211m d AD S ==…………8分 所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++= …………………10分 又1204kmy y =>，所以0,0k m >> 因为16160km ∆=->，所以01km << 所以12124S m km S y y ==+41<…………………12分12.解：（1）由已知得：4MA MB AC +==，而24AB =<，所以点M 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长24a =的椭圆，设(,)M x y ，所以点M 的轨迹E 的方程：22143x y +=．………4分（2）由对称性可知，四边形DEFG 为矩形，不妨设()11,D x y 为椭圆E 上第一象限的点， 则11=4DEFG S x y 矩形，而10x >，10y >，且2211143x y +=，所以2211111=42243DEFG x x y S x y ⎫=⋅≤+=⎪⎭矩形当且仅当12x =1x =， 1y =“=”，所以矩形DEFG 的面积的最大值为四个点的坐标为：,⎭，,⎭，,⎛ ⎝⎭，,⎛- ⎝⎭．………12分13.解：（1）由已知，动点M 到点()0,-P，()0,Q 的距离之和为8，且8<PQ ，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4=a ，=c ，所以2=b ，故椭圆2C 的方程为221164y x +=.………3分（2）解：,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =u u u v u u u v及（1）知，,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k =+， 又由2OB OA =u u u v u u u v ，得224B A x x =，即22164414k k=++，解得21,=易得k A B ，故||==AB 分14.解：（1）设椭圆E 的方程为：22221x y a b +=(0)a b >>， 由已知：222221261144⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b a a b 得：22a =，21b =，所以，椭圆E 的方程为：2212x y +=. ………3分（2）由已知直线l 过左焦点()1,0F -．①当直线l 与x轴垂直时，1,2A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时AB =则112OAB S ∆==②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：()1y k x =+由()22112=++⎧⎨⎪⎩=⎪y k x x y 得()2222124220k x k x k +++-=所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+， 而12121122OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-， 由已知23OAB S ∆=得1243y y -=，所以()22222441612912k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±， 所以直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=．………12分15.（1）由题设知：22312b a b a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得2a =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=……2分∴1F MN ∆的周长11122148;F M MN NF F M MF F N NF a =++=+++==……………3分由12(1,0),(1,0)F F -知直线l 的方程为13x +=，得(4,33)P -， ∴1F MP ∆的面积1213(33)432F F =--=.………………………………………6分（2）【证明】设220(,),0,(0,),M x y x y Q y c a b >=-且,由题设知：12(,0),(,0)F c F c -.由2,,M F Q l ∈知22//F M F Q u u u u r u u u u r ，220(,),(,)F M x c y F Q c y =-=-u u u u r u u u u r ，则有0()y x c cy -=-；由11F M FQ ⊥知11FM FQ ⊥u u u u r u u u r ，110(,),(,)FM x c y FQ c y =+=u u u u r u u u r ，则有0()0c x c y y ++=； ∴两式联立消去0y 点得(,)M x y 满足2()()x c x c y +-=，即222x y c -=； ……………9分又点M 在椭圆C 上，即有12222=+by a x ， 即222222b x a y a b +=， ∴两式联立得44222222,a b x y a b a b ==++； 又224a b +=，即22,22a b x y ==………11分 ∴点(,)M x y 满足222a b x y ++=，即点M 在定直线2x y +=上. ……………………12分16.解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=c ， b 2=a 2﹣c 2=c 2，将P 代椭圆方程：，则，解得：c=1， 则a=，b=1，∴椭圆的方程：； （2）由题意可知：k 显然存在且不为0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1=k （x 1+1），y 2=k （x 2+1），则，整理得：（1+2k 2）x 2+4k 2x+2k 2﹣2=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，当x=m 时，y=k （m+1），则k 1=，k 2=，则k 3=，则k 1+k 2=+===2k+，由k 1+k 2=tk 3，2k+=t×=tk ﹣，则当t=2，m=﹣2，∴当直线l ：x=﹣2，存在实数t=2，使得k 1+k 2=tk 3成立．17.解：（1）由已知得1,2,c a ==222 3.b a c =-=…………（3分）所以椭圆E 的方程为221.43x y +=…………（4分） （2）①当直线MN 与x 轴垂直时,直线AM 的方程为2,y x =+联立2223412y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640,x x ++=解得22().7x x =-=-或舍去 此时直线MN 的方程为2.7x =-直线MN 与x 轴的交点为2(,0).7- …………（6分）②当直线MN 不垂直于x 轴时,设直线MN 的方程为.y kx m =+ 联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(43)84120.k x kmx m +++-= 设1122(,),(,),M x y N x y 则2221212122228412312,,,434334km m m k x x x x y y k k k--+=-==+++ 且222(8)4(43)(412)0,km k m ∆=-+->即224 3.m k <+…………（8分）而1122(2,),(2,),AM x y AN x y =+=+u u u u r u u u r 由题意知,,AM AN ⊥u u u u r u u u r 即22121212271642()40,43m km k AM AN x x x x y y k -+⋅=++++==+u u u u r u u u r 解得27m k =或2().m k =舍去…………（10分） 当27m k =时,满足224 3.m k <+直线MN 的方程为2(),7y k x =+此时与x 轴的交点为2(,0).7-故直线MN 与x 轴的交点是定点,坐标为2(,0).7-…………（12分）。
高考数学专题十九圆锥曲线综合练习题
培优点十九圆锥曲线综合1．直线过定点2xxF轴的离心率为且垂直于，过左焦点例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C2P两点，且，的直线交椭圆于．Q2?2PQ C（1）求的方程；C??22MM作椭是直线处的切线，点（2）若直线是圆上任一点，过点上的点2,28??yx ll ABMAMBAB过定点，，切点分别为，设切线的斜率都存在．求证：直线圆的切线，，C并求出该定点的坐标．22yx??．2）证明见解析，；【答案】（1）（2,11??8422yx??， 1）由已知，设椭圆的方程为【解析】（0?b??1?a C ??，不妨设点，代入椭圆方程得因为，1??22PQ?2?c,P22ba22ab22cc212222，，，所以，又因为，所以8ba??b2?4?e?cb?1??2a22b22yx所以的方程为．1??C 84??，即，（2）依题设，得直线的方程为2x???y?204?x?y?l??????，，，设yxABx,y,Mx,y210120??MA，由切线的斜率存在，设其方程为xxk?y?y?11??xxy?k??y?11???2????22，联立得，0?28y?xkx?4ky?kx?x?2k1??22yx1111?1??48???22??????22?0?8k2y?1?Δ?16kkx?ykx4?，由相切得??1111??2??2222，即，化简得4?8?y?kxk04yk?y?x?8?kx?2111111xyxyx11111MA???k?的方程为因为方程只有一解，所以，所以切线??1xx?yy???，11y21xx?2yy?8xx?2yy?8MB，同理，切线即的222yyx2?8?111x方程为，2211．8y??2yxx???0011AB的方程为，所以直线，所以又因为两切线都经过点yx,M?008y??2yxx?02208y??2yxx，00??4y??xAB的方程可化为，所以直线，又82y4?x?xx?00000??2yx2?x????，，令即，得08y?x8x?2y????00?y?881?y????AB所以直线．恒过定点2,1．面积问题222yxb??FF直线，焦距为、4例2：已知椭圆，的左、右焦点分别为0a?b?1??x?:yl 21122baclFlEAB1?与线段两点，的直线关于直线与椭圆相交于、在椭圆上．斜率为的对称点221PABD相交于点两点．，与椭圆相交于、C1）求椭圆的标准方程；（）求四边形面积的取值范围．（2ACBD223232yx??,；．2）【答案】（1）（1????3948?????????EFFEF【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，连结，，，设2,0F?2,0F21121bcb222???c??ab，，又，得则，?tan?cos?sin aacFF2csin90?1ac21，??????e???bc??b?|?|EFsin?sin??ca90EF2a?21aa22yx222a?bc?c?b?c?2a?8，所以椭圆方程为解得．，1??84????m+?y?xlyx,D,Cxy方程：、2（）设直线，，22211．4?m??xx22?yx?213???1?22，所以，由，得08?x3?4mx?2m??48?28m?2??m?y??x?xx??213?222238????x?y?A6,66,?6Bl，，得：，代入椭圆得由（，1）知直线?AB????133333????44???6m?6,lPAB，得由直线相交于点与线段，??233??????2，28m4?22416m2xx?2??m?+12x2CD?x???8xx2?211221393116321??1kk?l?l，，，知与而+12mAB??S?CD??12ACBD ll291232443232163??????22?m???,06,6?m,+12m??由，得，，所以??????333993??????3232??,?．面积的取值范围四边形ACBD??93??3．参数的值与范围??????20?2px?pC:yF的上，过焦点3例：已知抛物线的焦点在抛物线，点1,2F1,0A C M，两点．交抛物线于直线NCl（1）求抛物线的方程以及的值；AF C22??xFNMF?B（2）记抛物线的准线与的值．轴交于点，，若，求40BN?BM?C2?3??2（），；1【答案】（．）22AF?x?y4????20p??2:Cypx，的焦点【解析】（1）抛物线1,0F p2；，则，抛物线方程为42p?xy4?1??2p??1,2A．点在抛物线上，C2???AF?12??????，设）依题意，（2、，设，y,MxyF1,0Nx,1?xl:my?2211．2?x4?y2x，得联立方程，消去．0my?4?y?4?1my?x??1my?4mx?y?y???1112①，且，所以??1my??4x?yy???2212???????y?y?FNMF?，即，则又，y1?x,?y,??1x2121122??4???y1?????m4y?1???2??????，则，，22?y得，代入①得，消去2?4m???21,0B?yBN?,BM?xx?1,y?121122222????2222y?x?1y?1?BM?|BN?|x?BM?BN?则2121??2222yy??2?x??2?xx?x??????2228?y?y???m4?1myy2112????4222，222111??2222y??2??2my?my?(?my?1)2?(my?1)y21112216m?16m??16m40?84?4m?m?m??18124?2?2?3．当，解得，故40?m?16?40m16?m2．弦长类问题4222xyx??2的顶点，的左右顶点是双曲线4：已知椭圆且椭圆例1?ya?b?0?:?C:?1C 2122ab33CC．的上顶点到双曲线的渐近线的距离为212C（1）求椭圆的方程；1QMCMCQ5?OQ?OQ?，求，两点，与相交于两点，且与（2）若直线，相交于l22111221的取值范围．MM??2．；（2）【答案】（1）212x1??y100,?3??2C3a?b0,）由题意可知：1（【解析】，，又椭圆的上顶点为1．3C，双曲线的渐近线为：0y?x?x?y??323?3b23x2．由点到直线的距离公式有：，∴椭圆方程1??b?1??y2232x2y并整理，代入）易知直线，消去的斜率存在，设直线（2的方程为m??kxy1?y?3得：??222，033mx???6kmx?k1?32?1?3k?02?1?3k?0??C相交于两点，则应有：，要与? ??????22222220m?3??41?3k?336k?mm?1?3k????????，设，yQxx,yQ,2112122?m3?36km则有：，．?xx???xx212122k?31k?31????????22．又m?km?m??x1?k?x?OQOQ??xx?yy?xxxkx?mxkx211121*********????????2222225?OQ?OQ?，又：，所以有：?k?5?6km?m1?331?k?m?3??212k?3122k?1?9m?，②??2222y，将，代入并整理得：，2x消去my?kx?1??y0m??x3?6kmx?1?3k33????222222．③要有两交点，则m?1?04??1?3k3k3m??Δ?36k3m12．由①②③有?0?k92?33m?6km????．有，设，、yxMMx,y,??xx??xx????2222k3413m??36k3m?414332434322k31?k31???22k31???22k?3m9??432?MM?1k?21??22k1?312k2k14422222．?k?1?kMM???1?k1?MM?k??19m代入有将．2112??22k3?12k3?1．??11??2t?0,，，，令kt?12??MM??21??29??2k1?3??t1t?1?t1??????t?0,?'tf?tf?．，令??32????9??t1t?331?11????????t??0,0,t内单调递增，内恒成立，故函数在所以在t0tff'?????99????5??????10M?0,?0,?Mft．故???2172??5．存在性问题??222yx??????A1,点例5：已知椭圆，，的左、右焦点分别为1,0?1,0FF0C:??1?ab?????21222ab??在椭圆上．C（1）求椭圆的标准方程；C M，有两个不同交点时，能在，使得当直线）是否存在斜率为2的直线与椭圆（2NCll5PM?NQP？若存在，求出直线，在椭圆上找到一点直线，满足上找到一点的Q Cl?y3方程；若不存在，说明理由．2x2；（2））不存在，见解析．【答案】（11?y?2【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，1?cCc2??A1,，在椭圆∵上，∴??1???221AF2a??AF C 2????2222????????21222????2x22222a?1c?b?a?．的方程为，故椭圆，∴1?y?C2（2）假设这样的直线存在，设直线的方程为，t2x??y l5??????????,Pxy,xyD,xQ,x,MxyNy，，，，的中点为设，MN??3004242113??y?2x?t?22x，得由，消去，0?8?tty?9y2??22x?2y?2?yy?tt2??22，且∴，，故且123t??3??y?y?y?0t?36?Δ?4t8?012929NQ?PM为平行四边形，由，知四边形PMQNDD的中点，因此的中点，而为线段为线段PQ MN5y?t15?2t43?y?，，得∴?y 049297不在椭圆上，，可得，∴点又Q3?t??31?y???43．故不存在满足题意的直线l对点增分集训一、解答题2????2PP过点相外切，动圆圆心并且与圆1．已知动圆．的轨迹为2,0F4??x?2F:y C21的轨迹方程；（1）求曲线C1????lBA，直线、，设点与轨迹交于（2）过点两点，设直线的直线1,0F2,0?D C?xl:122ADBMM于，求证：直线经过定点．交l2y??2；（1）（2）见解析．【答案】0?1x??x3，1）由已知，【解析】（2??|PF ?|PF ?2PF| |PF2211P，，轨迹为双曲线的右支，，42c??|FF 2C2a?2?a?1c212y??2?．标准方程曲线0x???1x C3xBM必过）由对称性可知，直线（2轴的定点，31????????,MlBM1,02,?2,33BPA经过点，的斜率不存在时，，，，知直线当直线??122????????ly,By,2ky:l?x?Axx的斜率存在时，不妨设直线当直线，，，122111． ??y3y31y1??111y?,M1?AD:y?x时，，，当，直线?x????????M1?x1x?212x?22??111??2?x?y?k22k?43?4k?????2222，得，，?xx??xx0k?33?kx?4kx??4???21k?kBM，经过点，即下面证明直线，即证?1,0P 2121223k?k3?223x?y?3???3yyPBPM x?1x?121?3yx?3y?xy?yy?kx?2ky?kx?2k，即，，由2121122211??234?k22k3k4?4??4???0?5?，即整理得，045xx???4xx?????BMBM．经过点过定点即证，直线1,0P1,0223yx????1,AB分别为椭圆的左顶2211222?3?3kk?3k点、下顶点，在椭圆，上，设2．已知点0bE:??1?a???222ba??221AB．原点到直线的距离为O7E1）求椭圆的方程；（yxEPDPBPA两点，求分别交轴于在第一象限内一点，直线轴、，，（2）设为椭圆C的面积．四边形ABCD22yx23．2）；）【答案】（1（1?? 4392231yx??4??1,1??）因为椭圆，有经过点，【解析】（10E:a??1b????22222baba??221ab?AB，的距离为由等面积法，可得原点到直线O722a?b22yx b?3E的方程为联立两方程解得，．，所以椭圆1??E:2a?4322xy????2200?1?0?x?P0,x,yy．，则（，即2）设点12??4x3y00000043y2y??00?2y?yPA:?x．直线，令，得0x?D x?2x?20032?x2y?2232yx?y?3300000从而有．，同理，可得?BD???AC32x?x2?y3?000．x110000所以四边形的面积为??AC?BD?2?22x3?y0022x383y3xy?12x?xy?12x?83y12?12?4?4y?12?43110000000000????223y?2y?3x?2?xy?3x?2y23x00000000 y?433xy?6x12?20000．32??3y?2xy?3x?2000032所以四边形的面积为．ABCD2??2P上，且有点的圆心，在圆的半径3．已知点为圆是圆上的动点，点Q8??yx?1CPC??0?MQ?APAPM，满足．和，上的点1,0AAM2AP?P在圆上运动时，判断（1）当点点的轨迹是什么？并求出其方程；Q22F，1）若斜率为的直线与圆中所求点的轨迹交于不同的两点相切，与（（2）Q1yx??kl43H的取值范围．（其中是坐标原点），且，求kO??OFOF?542x222A）2；，长轴长为（2【答案】（1）是以点，的椭圆，为焦点，焦距为1??y C2????2233,?,?．????3223????AP的垂直平分线，）由题意是线段【解析】（1MQ所以，2?22?CAQC?QP?QC?QA?CP?22A的椭圆，为焦点，焦距为2所以点的轨迹是以点，，长轴长为Q C222a?，∴，，1ab???c1c?2x2．故点的轨迹方程是Q1??y2????，，，）设直线（2：yHy,xF,xbkx??y l2112b22221??1b?k与圆直线，，即相切，得1?xy?l21?k ??222y得：联立，消去，0?4kbx?2b??1?2k2x2??b?kx?y???????2222222，得，2?x21?y??0k?02b1?1??8?2k8??Δ16kbbk?4?1?2k22?2bkb4，，?xx?x?x?????22??2k?2b1?kb4?????222b?kb?OF?OH?xx?yy?1?kb?xx?kb?x?x∴212122k21?k21?2121212122k1?21?2k????22221k41?kk2k?2k?12?1???k?，222k1k?2k?121?22431?k112，所以，得???k?25k241?23322233，∴，解得或?k????kk???322323????2332,??,故所求范围为．????2323????22yx1??222AA，的焦距为，离心率为已知椭圆，圆，．4c??O:xy0bC:??1?a?c22122ba2ABA△AB．是椭圆的左右顶点，面积的最大值为是圆的任意一条直径，2O1的方程；1）求椭圆及圆（OC PE，求，）若为圆的任意一条切线，与椭圆的取值范围．交于两点（2PQQ Oll??2264yx223,，）．；1【答案】（）（21?yx?1????334??1xABB，易知当线段轴距离为，（【解析】1）设则点到h h?a2??AO??h??S2S1AAAB△OB△211?a?c??S2ycBO??h，，轴时，在AB△Amax1c1b?3，，，，，1?a?c2c?2?a??e?a222yx22．，圆的方程为所以椭圆方程为1x?y?1??432b2LL的方程为，此时）当直线2；的斜率不存在时，直线（3PQ??1x??a m221d???L，，直线为圆的切线，设直线，方程为：1?k?m?mkx?y?2k?1y?kx?m????222直线与椭圆联立，，得，0?4m?4k??3x12?8kmx22?yx??1? 43??8km?x?x??21234k????2，由韦达定理得：，判别式0?k?Δ?4823?24m?12??x?x ?212?34k?22?23?kk?43?122，，令所以弦长3?3?t?4k??xxPQ?1?k2123k?42??1624??所以；3,???3PQ?3???????t3t??????64PQ?3,，综上，??3??22yx????FF经、．如图，己知的左、右焦点，直线是椭圆51xy?k?:l01a?b?G:??2122ab 43ABF△FBA．过左焦点交，且与椭圆，的周长为两点，G21（1）求椭圆的标准方程；G △ABFI为等腰直角三角形？若存在，求出直线）是否存在直线的方程；若不，使得（2l2存在，请说明理由．??xc，故与，因为直线．轴的交点为22yx；2（1））不存在，见解析．（【答案】1??23【解析】（1）设椭圆的半焦距为1,0?1?Gcl ABF△34a?3，所以，的周长为，即又，故3?AFAB??BF4a?4222222?3?1ab??c?2．22yx因此，椭圆的标准方程为．1??G32（2）不存在．理由如下：AB不可能为底边，即．先用反证法证明BFAF?22??????，假设，，设，则由题意知BFB?x,Fy1,0,yAAFx222121222????22?1x?1?y?yx?，????222112．又得：，，代入上式，消去，?1???10?6x?x?x?xyy21122222xyxy2121213322xx?xx?x?6．轴，所以，故因为直线斜率存在，所以直线不垂直于ll2211?3xx?x?2x3?3?6矛盾）与，，(2211??2222，所以矛联立方程，得：6?x??x?0?6?3k?26x?kx?3k23?22?yx?1?2k6???1?xy?k?盾．2123k?2?故．BF?AF22AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．再证明△ABFA为直角顶点．为等腰直角三角形，不妨设假设2??22F△AF，此方设，在中，由勾股定理得：，则m?AF m?2?AF343m?2??m2112程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题
解几综合题1.如图，()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.（Ⅰ）求m n ⋅的值；（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程.2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=⋅MN OP（1）求动点P 的轨迹W 的方程（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满足QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值3. 已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. ① 设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；② 若直线l 的倾斜角为060，求1||PF4. 在双曲线1131222=-x y 的上半支有三点A ，B ，C ，其中B 是第一象限的点，F 为双曲的上焦点.若线段AC 的中点D 在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （Ⅰ）求点B 的坐标；（Ⅱ）若直线l 经过点D ，且在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得 ||||(CP AP +=λ证明：直线l 必过定点，并求出该定点的坐标。
5. 如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为.12-（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=||DN DM ，求λ的取值范围.6. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F （1）求此椭圆的方程；（2）设A 、B 是这个椭圆上的两点，并且满足]31,51[,∈=λλ当NB NA 时，求直线AB 的斜率的取值范围.7. 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程； （Ⅱ）点0(,)2mP y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m 的范围．8. 已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角； （II ）试探求点O 到直线PQ 的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.9. 设不等式组⎩⎨⎧x ＋y >0，x －y >0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的长．10. 如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==︒=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF内的动点，且满足0=⋅OF SE ，),(R ∈=λλ向量PE c PF a +与PE c PF a -垂 直。
2020版高考数学 圆锥曲线的综合问题(第2课时)定点、定值、探索性问题教案(文)(含解析)北师大版
第2课时 定点、定值、探索性问题考点一 定点问题【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上． (1)求椭圆的离心率；(2)若C 的长轴长为4且斜率为12的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．解 (1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0x 0－c＝－1且x 0＋c 2－y 02＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ，y 0＝a ＋c ，即M (－a ，a ＋c )．∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.(2)存在．由(1)及题设得c a ＝12且2a ＝4，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1，设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2－3＝0.依题知Δ＞0，即t 2－4(t 2－3)＞0，t 2＜4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－3，如果存在P (m ，n )使得k PA ＋k PB 为定值，那么k PA ＋k PB 的取值将与t 无关，k PA ＋k PB ＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3，令⎝ ⎛⎭⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3＝M ，由Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2M －3M －2mn ＋3＝0，由题意可知该式对任意t 恒成立，其中t 2＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧M ＝0，n ＝32m ，2mn ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－32， 综上可知，满足条件的定点P 是存在的，坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.规律方法 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x ，y 看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点．【训练1】 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.(1)解 若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1，2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1，2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y .综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明 因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x . 易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)， 将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.设P (x 1，y 1)，则x 1＝（k ＋2）2k2，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫（k ＋2）2k2，2k ＋4k . 用－2k替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为2k ＋4k－2＋2k（k ＋2）2k2－（k －1）2＝2k 3＋4k －k 4＋2k 3＋4k ＋4＝2k －k 2＋2k ＋2， 故直线PQ 的方程是y －2＋2k ＝2k －k 2＋2k ＋2·[x －(k －1)2].在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3，2). 考点二 定值问题【例2】 (2019·河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由. (1)证明 ∵k 1，k 2均存在，∴x 1x 2≠0. 又m ·n ＝0，∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，即x 1x 24＝－y 1y 2，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)解 ①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0. 又∵点P (x 1，y 1)在椭圆上，∴x 214＋y 21＝1，∴|x 1|＝2，|y 1|＝22.∴S △POQ ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1. ②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b .联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1， 消去y 并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，其中Δ＝(8kb )2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(1＋4k 2－b 2)>0，即b 2<1＋4k 2. ∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1(满足Δ>0).∴S △POQ ＝12|b |1＋k 2|PQ |＝12|b |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2|b |4k 2＋1－b 24k 2＋1＝1. 综合①②，△POQ 的面积S 为定值1.规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引起变量法：其解题流程为变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 ↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 ↓定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值【训练2】 (2019·长春质量监测)已知直线l 过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (2，2)，过点(－2，4)的直线m 与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为k 1和k 2.求证：k 1k 2为定值，并求出此定值.(1)解 由题意可知，2p ＝2，解得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝2y .(2)证明 由题易知直线m 的斜率存在，设直线m 的方程为y －4＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－2x 1－2＝k （x 1＋2）＋2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2＝k （x 2＋2）＋2x 2－2， k 1k 2＝[k （x 1＋2）＋2][k （x 2＋2）＋2]（x 1－2）（x 2－2）＝k 2[x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4]＋2k （x 1＋x 2＋4）＋4x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4，联立抛物线x 2＝2y 与直线y －4＝k (x ＋2)的方程消去y 得x 2－2kx －4k －8＝0，其中Δ＝4(k 2＋4k ＋8)>0恒成立，可得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－4k －8，则k 1k 2＝－1. 因此k 1k 2为定值，且该定值为－1. 考点三 探索性问题【例3】 (2019·福州四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b2a＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 垂直于x 轴时，显然x 轴上任意一点T 都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称. 当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t ，0)满足条件，设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，① 其中Δ>0恒成立，由TS 与TR 所在直线关于x 轴对称，得k TS ＋k TR ＝0(显然TS ，TR 的斜率存在)， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0.②因为R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上， 所以y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②得k （x 1－1）（x 2－t ）＋k （x 2－1）（x 1－t ）（x 1－t ）（x 2－t ）＝k [2x 1x 2－（t ＋1）（x 1＋x 2）＋2t ]（x 1－t ）（x 2－t ）＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③ 将①代入③得8k 2－24－（t ＋1）8k 2＋2t （3＋4k 2）3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0，④则t ＝4，综上所述，存在T (4，0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称. 规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【训练3】 (2019·上饶检测)已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与AB 相交于一点(交点位于线段AB 上，且与A ，B 不重合).(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.解 (1)设点P (x ，y )，由题意，可得（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，得x 22＋y 2＝1.∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由条件可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，显然不合题意.当m ≠0时，∵直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切， ∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1，消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0，则Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，x 1＋x 2＝－4mn 2m 2＋1，x 1x 2＝2（n 2－1）2m 2＋1， S 四边形ACBD ＝12|AB |·|x 1－x 2|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，因为直线l与线段AB有交点，所以当m＝22时，n＝－62；当m＝－22时，n＝62.经检验可知，直线y＝22x－62和直线y＝－22x＋62都符合题意.[思维升华]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.[易错防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM→＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125.答案 B2.(2018·陕西重点中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( )A.2B.3C. 3D. 6解析 由题意知，e ＝ca＝1＋b 2a2＝2⇒b 2＝3a 2，则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x 0，y 0)(x 0≠±m )，则B (－m ，－n )，k 1·k 2＝y 0－n x 0－m ·y 0＋n x 0＋m ＝y 20－n2x 20－m 2＝3x 20－3a 2－3m 2＋3a 2x 20－m 2＝3. 答案 B3.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A.(－3，0)B.(0，－3)C.(3，0)D.(0，3)解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.设直线l ：x ＝my ＋b ，代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点为(－3，0). 答案 A4.(2019·成都诊断)设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作抛物线C ：y 2＝4x 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，F 是抛物线的焦点，直线QF 的斜率为k 0，则下列结论正确的是( ) A.k 1－k 2＝k 0 B.k 1k 2＝2k 0 C.k 1－k 2＝2k 0D.k 1＋k 2＝2k 0解析 设点Q (－1，t )，由过点Q 的直线y －t ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －t ＝k （x ＋1），整理得k 2x 2＋2(k 2＋kt －2)x ＋(k ＋t )2＝0，则Δ＝4(k 2＋kt －2)2－4k 2(k ＋t )2＝0，化简得k 2＋tk －1＝0.显然k 1，k 2是关于k 的方程k 2＋tk －1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－t .又k 0＝－t2，故k 1＋k 2＝2k 0.答案 D5.已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( ) A.1B.2C.4D.12解析 如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.答案 A 二、填空题6.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.答案 37.(2019·东北三省四校模拟)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e＞1，∴1＜e ≤2. 答案 (1，2]8.(2019·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由FA →＋FB →＋FC →＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p＋y 2＋y 32p＝0. 答案 0 三、解答题9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |＝8611. (1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0， 判别式Δ＝4(1＋p )2－4＝4p 2>0恒成立， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1x 2＝1. 因为|AB |＝8611，所以2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝8611， 所以121p 2＋242p －48＝0，所以p ＝211或p ＝－2411(舍去).故抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设弦AB 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎪⎫1311，－211.假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0，0). 因为△ABC 为正三角形， 所以CD ⊥AB ，所以x 0＝1511，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫1511，0，所以|CD |＝2211.又|CD |＝32|AB |＝12211， 与上式|CD |＝2211矛盾，所以x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形.10.(2019·江西九校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. (1)解 由题意知，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.因为c ＝a 2－b 2＝3， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32. (2)证明 设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4. 因为A (2，0)，B (0，1)， 所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2） ＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2， 所以四边形ABNM 的面积为定值2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，FA →＋FB →＋FC →＝0，O 为坐标原点，且△OFA ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21＋S 22＋S 23等于( ) A.2B.3C.6D.9解析 由题意可知F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3)，由FA →＋FB →＋FC →＝0，得(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 23＝4x 3，又S 1＝12·|OF |·|y 1|＝12|y 1|，S 2＝12|OF |·|y 2|＝12|y 2|，S 3＝12|OF |·|y 3|＝12|y 3|，所以S 21＋S 22＋S 23＝14(y 21＋y 22＋y 23)＝14×(4x 1＋4x 2＋4x 3)＝3. 答案 B12.(2019·郑州调研)已知直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的值为( ) A.3 B.4C.5D.与P 的位置有关解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 20－4y 20＝4，则直线l 的方程是x 0x4－y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x 24－y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON →＝3.②当y 0≠0时，直线l 的方程是y ＝14y 0(x 0x －4).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14y 0（x 0x －4），x 24－y 2＝0，得(4y 2－x 20)x 2＋8x 0x －16＝0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝34x 1x 2＝3.综上所述，OM →·ON →＝3. 答案 A13.(2019·合肥模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________. 解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案 614.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →·EB →为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a ＝|0＋0－2|2，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1， 则椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0恒成立，∴x A ＋x B ＝4k 21＋2k 2，x A x B ＝2k 2－21＋2k2.假设在x 轴上存在定点E (x 0，0)，使得EA →·EB →为定值. 则EA →·EB →＝(x A －x 0，y A )·(x B －x 0，y B ) ＝x A x B －x 0(x A ＋x B )＋x 20＋y A y B＝x A x B －x 0(x A ＋x B )＋x 20＋k 2(x A －1)(x B －1) ＝(1＋k )2x A x B －(x 0＋k 2)(x A ＋x B )＋x 20＋k 2＝（2x 20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k2. ∵EA →·EB →为定值，∴EA →·EB →的值与k 无关， ∴2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，此时EA →·EB →＝－716为定值，定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0， 当直线的斜率不存在时，也满足EA →·EB →＝－716为定值，且定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得EA →·EB →为定值，且定值为－716.。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案解几综合题答案1.解：（Ⅰ）由已知得()(,) 11 22OA OB m n mn ?=?=-=-分14m n ∴?= …………4分（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+- …………5分∴)x m ny m n =+=-?? 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn = 8分∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支…………9分（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-=即 22(31)1290t y ty -++=易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又22214436(31)36(1)0t t t ?=--=+>设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧12122121222222(2)(2)2()491224313134031x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=?+?+--+=->-∴ 2310t -<，即2103t <<又由 120x x +>同理可得 2103t << …………11分由3ME EN =得1122(2,)3(2,)x y x y --=- ∴121223(2)3x x y y -=-??-=?由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得 22631t y t =-由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得 222331y t =--消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t << …………13分故所求直线l 存在，其方程为：15250x y --=或15250x y +-= 2. （I ）由已知()y M ,0，()y x N -, 2分则()()422,,22=-=-?=?y x y x y x MN OP ，即12422=-y x 4分（II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得()()()()022,2,221212211=+--=-?-=?y y x x y x y x QB QA 5分①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，24||||2121-==x y y此时()()()02422221212121=---=+--x x y y x x ，则0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则=-+=4222y x m kx y ()042412222=+++-m kmx x k 则()()>+--=?≠-0421241601222222m k m k k ，即>+-≠-024012222k m k又124221--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分∴()()()22121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=124122124124222222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-?-=?()=+++-=21212142y y x x x x 01241248128124222222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则012822=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41141|4|22<+=+-=k k k d 13分由①②可得，4max =d 14分3. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+?=+121222x x x y y y +?=+?=??..........1’由222x x y y +=?+=，易得右焦点(1,0)F ......................2’ 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R ........3’ 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ?=+>2122421k x x k +=+....................................................5’于是(,):R x y x =21222221x x k k +=+ (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=..................8’②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ?中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m = 由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-??m ?=.............10’同理，在'QF F ?，设||QF n =，则|'|QF m = 也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-??n ?=’于是1111||||PF QF m n +=+=+=..........................14’ 4. 解：（I ）设B(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)∵双曲线1131222=-x y 的离心率为125，∴F 对应的准线方程为512=y ,由双曲线的定义得|,512|125||,125|512|||11-=∴=-y AF y AF …………（12分）又A 在双曲线的上半支，∴y 1≥12，)4().512(125||),512(125||)3().512(125||201分分 -=-=-=∴y CF y BF y AF∵|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴26113126)(21022210==-=+=x x y y y y 得代入，∴点B 的坐标为)6,26(.…………………………（6分）（II ）∵在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得(+=λ，∴在∠APC 的角平分线上，………………………………（7分）∵线段AC 的中点为D 点，∴△APC 是等腰三角形，PD 是线段AC 的垂直平分线，………………（8分）∴设直线l 的方程为),2(6212121x x x y y x x y +----=-),(13,11312,11312,)(2621222122221212122212121y y x x x y x y y y x x x y y x x y -=-∴=-=---+---=-∴作差得又,21362121+---=-∴x y y x x y l 的方程为直线………………（11分）故直线l 恒过点（0，225）.…………………………（12分） 5. 解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，因B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b=c ，又a 2= b 2+ c 2，所以b a 2=，…………①由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=-c a ，②由①②知1,2===c b a ，∴椭圆的标准方程为：.1222=+y x （II ）当直线的斜率存在，设直线MN 的方程为2+=kx y 解方程组=++=122y x kx y消去.230,034)21(222>>?=+++k kx x k y 得由得设),(),,(2211y x N y x M ，则221214k k x x +-=+……………… ③ .213221k x x +=………………④又因M 在DN 之间，所以DN DM λ=，即212211),2,()2,(x x y x y x λλ=∴-=-，于是λλλλ212212212221)1(,)1(,x x x x x x x x x x =+++=+=，……………⑤ 将③④代入⑤得λλ2222213)1()214(k k k +=++-，整理得.)1(316121,)1(3121162222λλλλ++=+∴+=+k k …………………………8分 .331,34)1(3161,341211,23222<<<+<∴<+<∴>λλλ由此解得kk又.131,10<<∴<<λλ …………………………………………………………10分当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为x 31,0==这时，.31=∴λ ……………………………………………………………………………11分综上所述，λ的取值范围是.1,31??∈λ …………………………………………12分 6. 解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF caF F c 解得==1222b a ，从而所求椭圆的方程为.1222=+y x （4分）（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.由=++=12),2(22y x x k y 消去x 得22)21(22=+-y y k ，即.02412222=+-+y k y kk 根据条件可知??≠<+?-=?.0,0128)4(222k kk k 解得.22||0<<="">设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得+=+=+.122,1242221221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而+=+=+.122,124)1(222222k k y k k y λλ 消去.128)1(222+=+k y λλ得（8分）令3151],31,51[,)1()(212≤<≤∈+=λλλλλλφ任取，则22212121)1()1()()(λλλλλφλφ+-+=-.0)11)((2121>--=λλλλ（10分）]31,51[)(是区间λφ∴上的减函数，从而)51()()31(φλφφ≤≤，即536)(316≤≤λφ， 5361283162≤+≤∴k ，解得.22||0,21626221<<≤≤-≤≤-k k k 适合或因此直线AB 的斜率的取值范围是].2 1,62[]62,21[ -- （12分）7. 解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，∴ ||||2||ME MF m EF +=>， (4)分∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =，∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．……………………………6分（Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(,)2mP y ，PF FQ λ=，∴ 1011(1),2.m x y y λλ?-=--=? ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ?=+-=-??……………………………8分由点P 、Q 均在椭圆W 上，∴ 22220222211,411(1) 1.2(1)y m y m m m λλλ?+=?-+-+=?-?……………………………10分消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-，由221121m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤．……………………………14分8. 解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM A M 即即………（2分）.544212221=+?=?∴y y y y OM …………………………………………………（3分）设∠POM =α，则.5cos ||||=??α.5sin ||||,25=??∴=αS ROM 由此可得tanα=1.……………………（5分）又.45,45),,0(??=∴∈与故向量απα……………………（6分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)9(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++?∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（10分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（12分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.故存在定一点 E （1，－4），使PE ∥.QF …………………………………………（14分）9. （Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2?|x －y |2＝1，即|x 2－y 2|＝2．………………………………4分∵P ∈D ．∴x ＋y ＞0，x －y ＞0，即x 2－y 2＞0．∴x 2－y 2＝2(x ＞0)．即曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)．…………6分（Ⅱ）解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴以线段AB 为直径的圆的圆心Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴半径r ＝12|AB |＝x 1＋x 22．即|AB |＝x 1＋x 2．①……………………………………………………………………8分∵曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线方程为x ＝1，离心率e ＝2．根据双曲线的定义可得， |AF |x 1－1＝|BF |x 2－1＝2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2(x 1－1)＋2(x 2－1)＝2(x 1＋x 2)－22．②…………………12分由①，②可得，x 1＋x 2＝2(x 1＋x 2)－22．由此可得x 1＋x 2＝4＋22．∴线段AB 的长为4＋22．……………………………………………………………14分（Ⅱ）解法二：∵曲线C 的方程为x 22－y 2＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线为l ：x ＝1，离心率e ＝2．分别过A ，B 作AA '⊥l ，BB '⊥l ，垂足分别为A '，B '．设AB 中点Q ，过Q 点作QQ '⊥y 轴，垂足为Q '．由双曲线的定义可得，|AF ||AA '|＝|BF ||BB '|＝2，∴|AF |＝2|AA '|，|BF |＝2|BB '|．…………………10分 |AB |＝|AF |＋|BF |＝2(|AA '|＋|BB '|) 根据梯形中位线性质可得 |AA '|＋|BB '|＝2(|QQ '|－1)．∴|AB |＝2?2(|QQ '|－1)．①…………………………12分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴|QQ '|＝12|AB |．②把②代入①得|AB |＝22(12|AB |－1)，解得|AB |＝4＋22．……………………………………………………………………14分（Ⅱ）解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线AB 过点F (2，0)，当AB ⊥x 轴时，|AB |＝22，以线段AB 为直径的圆与y 轴相离，不合题意．∴设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．代入双曲线方程x 2－y 2＝2得，x 2－k 2(x －2)2＝2，即(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0，∵直线与双曲线交于A ，B 两点，∴k ≠±1．∴x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2k 2－1．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]……………………………………………………9分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴圆的半径12|AB |与圆心到y 轴的距离12(x 1＋x 2)相等．即12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12(x 1＋x 2)．∴12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12?4k 2k 2－1．………………………………………12分化简得k 4 －2k 2－1＝0，解得k 2＝1＋2（k 2＝1－2不合，舍去）．经检验，当k 2＝1＋2时，直线与曲线C 有两个不同的交点。
圆锥曲线的综合问题 强化训练-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
冲刺2023年高考二轮 圆锥曲线的综合问题强化训练（原卷+答案）考点一 证明问题——等价转化，直击目标圆锥曲线中证明问题的两种常见类型圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点．对点训练已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程；(2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二 定点问题——目标等式寻定点解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 例 2 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点P (2，0)，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，当1k 1+1k 2＝1时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由．对点训练已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，S (t ，4)为C 上一点，直线l 交C 于M ，N 两点(与点S 不重合)．(1)若l 过点F 且倾斜角为60°，|FM |＝4(M 在第一象限)，求C 的方程；(2)若p ＝2，直线SM ，SN 分别与y 轴交于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝8，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由．考点三 定值问题——巧妙消元寻定值定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等．二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，若是能整体约分也可以)．三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值．例 3 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝3上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1.(1)求双曲线C 的方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点．求证：△OMN 的面积为定值．对点训练已知F 1(－√3，0)，F 2(√3，0)分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为双曲线在第一象限的点，△AF 1F 2的内切圆与x 轴交于点P (1，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)设圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点Q 处的切线l ，若l 与双曲线C 左、右两支分别交于点M 、N ，问：QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．考点四 圆锥曲线中的最值、范围问题——巧设变量，引参搭桥圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F 1，F 2为椭圆x 2a2+y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有：①|OP |∈________；②|PF 1|∈________；③|PF 1|·|PF 2|∈________；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：①|OP |≥________；②|PF 1|≥________． (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥________；②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值；③点N (a ，0)是抛物线的对称轴上一点，则|PN |min ＝{|a |(a ≤p )，√2pa −p 2(a ＞p)．例 4如图，已知椭圆x 212＋y 2＝1.设A ，B 是椭圆上异于P (0，1)的两点，且点Q (0，12)在线段AB 上，直线P A ，PB 分别交直线y ＝－12x ＋3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD |的最小值．对点训练已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．[典例] 已知圆(x ＋√3)2＋y 2＝16的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点N (√3，0)，点G 在线段MP 上，且满足(GN⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )． (1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点T (4，0)作斜率不为0的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．(1)因为(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0，即GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－GP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝0， 所以|GP |＝|GN |，所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4>2√3＝|MN |， 所以点G 在以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝4，2c ＝2√3，即a ＝2，c ＝√3，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以点G 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意可设直线l ：x ＝my ＋4. 由{x =my +4，x 24+y 2=1消去x ，得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)＝16(m 2－12)>0，得m 2>12. ①且y 1＋y 2＝－8mm 2+4，y 1y 2＝12m 2+4.②因为点A 关于x 轴的对称点为D ， 所以D (x 1，－y 1)， 可设Q (x 0，0)，所以k BD ＝y 2+y 1x 2−x 1＝y 2+y 1m (y 2−y 1)， 所以BD 所在直线的方程为y －y 2＝y 2+y 1m (y2−y 1)(x －my 2－4)． 令y ＝0，得x 0＝2my 1y 2+4(y 1+y 2)y 1+y 2. ③将②代入③， 得x 0＝24m−32m−8m＝1， 所以点Q 的坐标为(1，0)．因为S △ABQ ＝|S △TBQ －S △TAQ |＝12|QT ||y 2－y 1|＝32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝6√m 2−12m 2+4，令t ＝m 2＋4，结合①得t >16， 所以S △ABQ ＝6√t−16t＝ 6√−16t 2+1t ＝6√−16(1t −132)2+164.当且仅当t ＝32，即m ＝±2√7时，(S △ABQ )max ＝34. 所以△ABQ 面积的最大值为34.参考答案考点一[例1] 解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得{4n =1，94m +n =1，解得{m =13，n =14. 所以椭圆E的方程为x 23+y 24＝1. (2)证明：方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2)．联立得方程组{x −1=t (y +2)，x 23+y 24=1. 消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2+8t 4t 2+3，y 1y 2＝16t 2+16t−84t 2+3.设T (x 0，y 1)．由A ，B ，T 三点共线，得y 1+2x 0＝y 1+1x 0−32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′)． 由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1， 所以直线HN 的斜率k ＝y 2−y ′x 2−x ′＝y 2−y 1x 2+x 1−(3y 1+6)＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(x －x 2)．令x ＝0，得y ＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(－x 2)＋y 2＝(y 1−y 2)(ty 2+2t+1)t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＋y 2＝(2t−3)y 1y 2+(2t−5)(y 1+y 2)+6y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＝(2t−3)·16t 2+16t−84t 2+3+(5−2t )·16t 2+8t4t 2+3+6y 1−t(16t 2+8t)4t 2+3−3y 1+4t−4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2)．方法二 由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2. a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23+y 24＝1，可得N (1，2√63)，M (1，－2√63)． 将y ＝－2√63代入y ＝23x －2，可得T (3－√6，－2√63)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (5－2√6，－2√63)． 此时直线HN 的方程为y ＝(2＋2√63)(x －1)＋2√63，则直线HN 过定点(0，－2)． b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立得方程组{kx −y −(k +2)=0，x 23+y 24=1. 消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4，x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，则{y 1+y 2=−8(2+k )3k 2+4，y 1y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4， 且x 1y 2＋x 2y 1＝−24k3k 2+4.①联立得方程组{y =y 1，y =23x −2，可得T (3y 12＋3，y 1)． 由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (3y 1＋6－x 1，y 1)． 则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1−y 23y 1+6−x 1−x2(x －x 2)． 将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2)．对点训练解析：(1)将y ＝3代入x 2＋2py ＝0，得x 2＝－6p . 当p ≥0时，不合题意；当p <0时，x ＝±√−6p ，则2√−6p ＝4√6， 解得p ＝－4，故C 的方程为x 2＝8y .(2)证明：由(1)可知C 的准线方程为y ＝－2， 不妨设P (m ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设过点P 且与C 相切的直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －m )－2，且k ≠0，联立{y =k (x −m )−2，x 2=8y ，得x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝0，则Δ＝64k 2－32(km ＋2)＝0，即k 2－12mk －1＝0，由题意知，直线P A ，PB 的斜率k 1，k 2为方程k 2－12mk －1＝0的两根， 则k 1＋k 2＝m2，k 1k 2＝－1，故k 1·k 2为定值． 又x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝(x －4k )2＝0， 则x 1＝4k 1，同理可得x 2＝4k 2，则k 0＝y 1−y 2x 1−x 2＝18x −1218x 22x 1−x 2＝x 1+x 28，因此k 0＝4(k 1+k 2)8＝k 1+k 22，故k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二[例2]解析：(1)因为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b 2a＝2，所以a ＝2，c ＝√2，b ＝√2，所以椭圆M 的方程为x 24+y 22＝1. (2)设直线l 的方程为m (x －2)＋ny ＝1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由椭圆的方程x 2＋2y 2＝4，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)．联立直线l 的方程与椭圆方程，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)[m (x －2)＋ny ]， 即(1＋4m )(x －2)2＋4n (x －2)y ＋2y 2＝0，(1＋4m )(x−2y )2＋4n x−2y＋2＝0， 所以1k 1+1k 2＝x 1−2y 1+x 2−2y 2＝－4n 1+4m＝1，化简得m ＋n ＝－14，代入直线l 的方程得m (x －2)＋(−14−m)y ＝1，即m (x －y －2)－14y ＝1，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l恒过定点(－2，－4)．对点训练解析：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，因为l 过点F 且倾斜角为60°，所以l ：y ＝√3(x －p2)， 联立y 2＝2px (p >0)，可得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x ＝32p 或x ＝p6，又M 在第一象限，所以x M ＝32p ，因为|FM |＝4，所以32p ＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；(2)由已知可得抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点S (4，4)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，点M (y 12 4，y1)，N (y 22 4，y2)，将直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立得y 2－4my －4n ＝0， 所以Δ＝16m 2＋16n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n (*)，直线SM 的方程为y －4＝y 1−4y 12 4－4(x －4)，令x ＝0求得点A 的纵坐标为4y 1y 1+4，同理求得点B 的纵坐标为4y 2y2+4， 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝16y 1y 2y 1y 2+4(y 1+y 2)+16＝8，化简得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)＋16，将上面(*)式代入得－4n ＝16m ＋16，即n ＝－4m －4， 所以直线l 的方程为x ＝my －4m －4，即x ＋4＝m (y －4)， 所以直线l 过定点(－4，4)．考点三[例3] 解析：(1)不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0), 因为A (a ，0)， 从而AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−c −a ，0)，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(c －a ，0) ，故有 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a 2－c 2＝－1, 又因为a 2＋b 2＝c 2, 所以 b ＝1，又因为A (a ，0) 在圆 O ：x 2＋y 2＝3 上， 所以 a ＝√3，所以双曲线C的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)证明：设直线l 与x 轴交于D 点，双曲线的渐近线方程为y ＝±√33x ，由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点， 且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，当动直线l 的斜率不存在时， l ：x ＝±√3，|OD |＝√3，|MN |＝2，S △OMN ＝12×√3×2＝√3，当动直线l 的斜率存在时， 且斜率k ≠±√33， 不妨设直线 l ：y ＝kx ＋m,故由{y =kx +m x 23−y 2=1⇒(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0， 依题意，1－3k 2≠0且m ≠0，Δ＝(－6mk )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝0, 化简得 3k 2＝m 2＋1，故由{y =kx +my =√33x ⇒x M ＝√33−k ， 同理可求，x N ＝－√33+k， 所以|MN |＝√1+k 2|xM−x N |＝2√3|m|√k 2+1|1−3k 2|，又因为原点O 到直线l ：kx －y ＋m ＝0的距离d ＝√k 2+1，所以S △OMN ＝12|MN |d ＝√3m 2|1−3k 2|，又由3k 2＝m 2＋1，所以S △OMN ＝√3|m|√k 2+1|1−3k 2|＝√3，故△OMN 的面积为定值，定值为√3.对点训练解析：(1)如图，设AF 1，AF 2与△AF 1F 2的内切圆分别交于G ，H 两点， 则2a ＝|AF 1|−|AF 2|＝|F 1P |−|PF 2| ＝(1＋√3)－(√3－1)＝2，所以a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝2， 则双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由题意得，切线l 的斜率存在．设切线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 因为l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，所以√1+k 2＝√2，即m 2＝2k 2＋2.联立{y =kx +m ，x 2−y 22=1，消去y 并整理得(2－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝2km2−k 2，x 1x 2＝−m 2−22−k 2.又QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|ON ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QON －|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QOM ＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |+ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2. 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(k 2+1)(−m 2−2)2−k 2+2k 2m 22−k2＋m 2＝m 2−2k 2−22−k 2，将m 2＝2k 2＋2代入上式得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0.所以QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝－2. 综上所述，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，且QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2.考点四(1)[b ，a ] [a －c ，a ＋c ] [b 2，a 2] (2)a c －a (3)p2[例4] 解析：(1)设M (2√3cos θ，sin θ)是椭圆上一点，P (0，1)，则|PM |2＝12cos 2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin 2θ－2sin θ＝14411－11(sin θ＋111)2≤14411.故|PM |的最大值为12√1111.(2)由题意，知直线AB 的斜率存在，故设直线AB 的方程为y ＝kx ＋12.将直线方程与椭圆方程联立，得{y =kx +12，x 212+y 2=1.消去y 并整理，得(k 2＋112)x 2＋kx －34＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－kk 2+112，x 1x 2＝－34(k 2+112).直线P A ：y ＝y 1−1x 1x ＋1与直线y ＝－12x ＋3交于点C ，则x C ＝4x 1x1+2y 1−2＝4x 1(2k+1)x 1−1. 同理可得，x D ＝4x 2x 2+2y 2−2＝4x 2(2k+1)x 2−1，则|CD |＝ √1+14|x C －x D | ＝√52|4x1(2k+1)x1−1−4x2(2k+1)x2−1|＝2√5|x 1−x 2[(2k+1)x1−1][(2k+1)x 2−1]|＝2√5|x 1−x 2(2k+1)2x 1x 2−(2k+1)(x 1+x 2)+1|＝3√52·√16k 2+1|3k+1|＝6√55·√16k 2+1· √916+1|3k+1| ≥6√55，当且仅当k ＝316时等号成立．故|CD |的最小值为6√55.对点训练解析：(1)由题意知M (0，－4)，F (0，p2)，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p2＋4－1＝4，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ， 由题意可知直线AB 的斜率存在，设A (x 1，x 12 4)，B (x2，x 22 4)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立得{y =kx +bx 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0， 则Δ＝16k 2＋16b >0(※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝√1+k 2|x 1－x 2|＝√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4√1+k 2·√k 2+b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x12，在点A 处的切线方程为y −x 12 4＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x −x 12 4，同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x −x 22 4，联立得{y =x 12x −x 124y ＝x22x －x 22 4，则{x =x 1+x 22=2ky =x 1x 24=−b ， 即P (2k ，－b )．因为点P 在圆M 上，所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①，且－1≤2k ≤1，－5≤－b ≤－3，即－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※)． 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝2√1+k 2，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝4√(k 2+b )3.由①得，k 2＝1−(4−b )24＝−b 2+8b−154， 令t ＝k 2＋b ，则t ＝−b 2+12b−154，且3≤b ≤5. 因为t ＝−b 2+12b−154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max ＝5，此时k ＝0，所以△P AB 面积的最大值为20√5.。
2019-2020年高考数学二轮复习-二十九-概率作业专练2-文
2019-2020年高考数学二轮复习二十九概率作业专练2 文A. B. C. D.1.随机变量X的概率分布列为，() 其中为常数，则的值为（）A. B. C. D.2.某机械加工零件由两道工序组成，第一道的废品率为a，第二道的废品率为b，假定这道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A. B. C. D.3.用红.黄.蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，3个矩形颜色都不同的概率是( ）A. B. C. D.4.先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( )A. B. C. D.5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则log2X Y＝1的概率为( ).A. B. C. D.6.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).A.至少有1个白球；都是白球B.至少有1个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；恰有2个白球D.至少有一个白球；都是红球7.下列四种说法：①命题“若或，则”的否命题是“若或，则”；②四面体的外接球球心在棱上，且，，则在外接球球面上.两点间的球面距离是；③若，则复数在复平面内对应的点位于第三象限；④在某项测量中，测量结果服从正态分布（）.若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为0.4；其中说法正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个8.设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（）A. B. C. D. 一、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）9.在边长为2的正方形内部任取一点，则满足的概率为______ _；10.设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程+px+1=O有实数根的概率为____________．11.某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）12.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.二、解答题（本大题共2小题，共24分）13. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联（1）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一当女生的概率．（3）为了研究喜欢打篮球是否与性别有关，计算出K2≈8．333，你有多大的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？14.某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。
2020届通用高考数学大二轮复习能力升级练十九圆锥曲线综合问题文
能力升级练(十九) 圆锥曲线综合问题(2)1.(2019广西南宁市第三中学、柳州市高级中学联考)如图,椭圆C :x 2x 2+x 2x2=1(a>b>0)的顶点为A 1,A 2,B 1,B 2,左右焦点分别为F 1,F 2,|A 1B 1|=√3,x ▱x 1x 1x 2x 2=√2x ▱x 1x 1x 2x 2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,试探究在x 轴上是否存在定点Q ,使得xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.由|A 1B 1|=√3,得a 2+b 2=3.①由x ▱x 1x 1x 2x 2=√2x ▱x 1x 1x 2x 2,得12·2a ·2b=√22·2c ·2b ,即a=√2c , ②又a 2-b 2=c 2,③由①②③,得a 2=2,b 2=1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)①当直线l 的斜率不为0或不存在时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x 0,0),直线l 的方程为x=my+1,由{x =xx +1,x 22+x 2=1,得(m 2+2)y 2+2my-1=0,∴{x 1+x 2=−2xx 2+2,x 1·x 2=−1x 2+2.∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(my 1+1)·(my 2+1)-x 0(my 1+my 2+2)+x 02+y 1y 2=(m 2+1)y 1·y 2+m (y 1+y 2)(1-x 0)+x 02-2x 0+1=(m 2+1)·-1x 2+2+m ·-2xx 2+2(1-x 0)+x 02-2x 0+1=(2x 0-3)x 2-1x 2+2+x 02-2x 0+1,由2x 0-31=-12,得x 0=54,故此时点Q54,0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-716. ②当直线l 的斜率为0时,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-54)2−(√2)2=-716.综上所述,在x 轴上存在定点Q 54,0,使得xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值.2.如图,A (-√3m ,m ),B (√3n ,n )两点分别在射线OS ,OT 上移动,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,O 为坐标原点,动点P 满足xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求点P 的轨迹C 的方程.(2)设Q (x 0,12),过Q 作(1)中曲线C 的两条切线,切点分别为M ,N ,①求证:直线MN 过定点;②若xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-7,求x 0的值.由已知得xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3mn+mn=-12,即mn=14.设点P 坐标为(x ,y )(y>0),由xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x ,y )=(-√3m ,m )+(√3n ,n )=(√3(n-m ),m+n ).∴{x =√3(x -x ),x =x +x ,消去m ,n ,可得y 2-x 23=1(y>0), ∴轨迹C 的方程为y 2-x 23=1(y>0).(2)由(1)知,y=√1+x 23,即y'=3√1+3.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则k QM =13√1+x123=x13x 1,k QN =23√1+x 223=x23x 2.∴l QM :y=x13x 1(x-x 1)+y 1,即l QM :x 1x-3y 1y+3=0.∵Q 在直线QM 上,∴x 0x 1-32y 1+3=0,①同理可得x 0x 2-32y 2+3=0.②由①②可知,l MN :x 0x-32y+3=0,∴直线MN 过定点(0,2).由以上可知,设直线MN 的方程为y=kx+2,易知k=2x 03,且|k|<√33,将直线MN 的方程代入曲线C 的方程得(3k 2-1)x 2+12kx+9=0.∴x 1+x 2=-12x 3x 2-1,x 1x 2=93x 2-1.又xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(k 2+1)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=5−3x 23x 2-1=-7,即k=±13,∴x 0=±12.3.(2019辽宁沈阳高三教学质量监测(三))已知抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,M (-2,y 0)是抛物线C 上一点,且|MF|=2.(1)求抛物线C 的方程;(2)过点F 的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,分别过A ,B 两点作抛物线C 的切线l 1,l 2,两条切线相交于点P ,点P 关于直线AB 的对称点Q ,判断四边形PAQB 是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.根据题意知,4=2py 0,① 因为|MF|=2,所以y 0+x2=2. ②联立①②解得y 0=1,p=2. 所以抛物线C 的方程为x 2=4y. (2)四边形PAQB 存在外接圆.设直线AB 方程为y=kx+1,代入x 2=4y 中, 得x 2-4kx-4=0,设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则Δ=16k 2+16>0, 且x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4,所以|AB|=√1+x 2|x 1-x 2|=4(k 2+1),因为C :x 2=4y ,即y=x 24,所以y'=x2.因此,切线l 1的斜率为k 1=x 12,切线l 2的斜率为k 2=x 22,由于k 1k 2=x 1x 24=-1,所以PA ⊥PB ,即△PAB 是直角三角形,所以△PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点,线段AB 是圆的直径, 所以点Q 一定在△PAB 的外接圆上,即四边形PAQB 存在外接圆. 又因为|AB|=4(k 2+1),所以当k=0时,线段AB 最短,最短长度为4, 此时圆的面积最小,最小面积为4π.4.已知椭圆G 的离心率为√22,其短轴两端点为A (0,1),B (0,-1). (1)求椭圆G 的方程;(2)若C ,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC ,BD 与x 轴分别交于点M ,N.判断以MN 为直径的圆是否过点A ,并说明理由.由已知可设椭圆G 的方程为x 2x 2+x 21=1(a>1).由e=√22,可得e2=x 2-1x 2=12,解得a 2=2,所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)方法一:设C (x 0,y 0),且x 0≠0,则D (-x 0,y 0).因为A (0,1),B (0,-1),所以直线AC 的方程为y=x 0-1x 0x+1. 令y=0,得x M =-x 0x-1,所以M (-x 0x0-1,0).同理,直线BD 的方程为y=x 0+1-x 0x-1,求得N (-x 0x0+1,0).xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 01−x 0,-1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x01+x,-1),所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 021−x 02+1,由C (x 0,y 0)在椭圆G :x 22+y 2=1上,所以x 02=2(1-x 02),所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1≠0,所以∠MAN ≠90°,所以以线段MN 为直径的圆不过点A. 方法二:因为C ,D 关于y 轴对称,且B 在y 轴上, 所以∠CBA=∠DBA. 因为N 在x 轴上,又A (0,1),B (0,-1)关于x 轴对称, 所以∠NAB=∠NBA=∠CBA ,所以BC ∥AN ,所以∠NAC=180°-∠ACB ,设C (x 0,y 0),且x 0≠0,则x 02=2(1-x 02).因为xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0,1-y 0)·(-x 0,-1-y 0)=x 02+(x 02-1)=12x 02>0,所以∠ACB ≠90°,所以∠NAC ≠90°,所以以线段MN 为直径的圆不过点A.。
2020版高考数学大二轮培优理科通用版能力升级练：(十九) 圆锥曲线综合问题(1)
能力升级练(十九) 圆锥曲线综合问题(1)1.(2019河南开封三模)已知椭圆C :=1(a>b>0)的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为的x 2a 2+y 2b 23等边三角形.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过C 的右焦点F 作斜率为k 的直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l :x=4与x 轴交于点E ,M 为线段EF 的中点,过点B 作直线BN ⊥l 于点N.证明:A ,M ,N 三点共线.记椭圆C 的焦距为2c ,则{a =2c ,12×2c ×b =3,a 2=b 2+c 2,解得a=2,b=,3∴椭圆C的方程为=1.x 24+y 23(2)F (1,0),设直线l 1的方程为y=k (x-1),代入椭圆C 的方程,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=,x 1x 2=,8k 23+4k24k 2-123+4k 2易知M,0,N (4,y 2),k AM =,k MN =,52y 1x 1-522y 23∵2y 2x 1--3y 1=2k (x 2-1)x 1--3k (x 1-1)5252=k [2x 1x 2-5(x 1+x 2)+8]=k+8=0,8k 2-243+4k 2‒40k 23+4k 2∴k AM =k MN ,∴A ,M ,N 三点共线.2.(2018全国Ⅰ,理19)设椭圆C :+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标x 22为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.由已知得F (1,0),l 的方程为x=1.由已知可得,点A 的坐标为.(1,22)或(1,-22)所以AM 的方程为y=-x+或y=x-.2222(2)当l 与x 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y=k (x-1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1<,x 2<,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =,22y 1x 1-2+y 2x 2-2由y 1=kx 1-k ,y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =.2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k(x 1-2)(x 2-2)将y=k (x-1)代入+y 2=1得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0,x 22所以,x 1+x 2=,x 1x 2=.4k 22k2+12k 2-22k 2+1则2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k==0.4k 3-4k -12k 3+8k 3+4k2k 2+1从而k MA +k MB =0,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.3.(2019山东日照联考)已知抛物线E :y 2=2px (p>0)上在第一象限内的点H (1,t )到焦点F 的距离为2.(1)若M -,0,过点M ,H 的直线与该抛物线相交于另一点N ,求|NF|的值;14(2)设A 、B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点,且(其中O 为坐标原点).OA ·OB =94①求证:直线AB 必过定点,并求出该定点Q 的坐标;②过点Q 作AB 的垂线与该抛物线交于D 、G 两点,求四边形AGBD 面积的最小值.∵点H (1,t )在抛物线y 2=2px (p>0)上,∴1+=2,解得p=2,p2故抛物线E 的方程为y 2=4x ,所以当x=1时t=2,∴直线MH 的方程为y=x+,联立y 2=4x可得,x N =,|NF|=x N ++1=.8525116p 2=1161716(2)①证明:设直线AB :x=my+t ,A ,y 1,B ,y 2,y 214y 224联立抛物线方程可得y 2-4my-4t=0,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4t ,由,得+y 1y 2=,解得y 1y 2=-18或y 1y 2=2(舍去),OA ·OB =94(y 1y 2)21694即-4t=-18⇒t=,所以直线AB 过定点Q,0.9292②由①得|AB|=|y 2-y 1|=,1+m 21+m 2·16m 2+72设D (x 3,y 3),G (x 4,y 4),则同理,得|GD|=|y 4-y 3|=.1+(-1m) 21+1m 272+16m 2则四边形AGBD 面积S=|AB|·|GD|=12121+m2·16m 2+72·1+1m 2·72+16m 2=4.[2+(m 2+1m2)]·[85+18(m 2+1m 2)]令m 2+=μ(μ≥2),则S=4是关于μ的增函数,故当μ=2时,S min =88.1m 218μ2+121μ+170当且仅当m=±1时取到最小值88.4.(2019豫南九校联考)设椭圆=1(a>)的右焦点为F ,右顶点为A.已知|OA|-|OF|=1,其中O 为x 2a 2+y 233原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程及离心率e 的值;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H.若BF ⊥HF ,且∠MOA ≤∠MAO ,求直线l 的斜率的取值范围.由题意可知|OF|=c=,又|OA|-|OF|=1,所以a-=1,解得a=2,所以椭圆的方程为a 2-3a 2-3=1,离心率e=.x 24+y 23c a =12(2)设M (x M ,y M ),易知A (2,0),在△MAO 中,∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ,即(x M -2)2+,y 2M ≤x 2M +y 2M 化简得x M ≥1.设直线l 的斜率为k (k ≠0),则直线l 的方程为y=k (x-2).设B (x B ,y B ),由消去y ,整理得{x 24+y 23=1,y =k (x -2)(4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0,解得x=2或x=.8k 2-64k2+3由题意得x B =,从而y B =.8k 2-64k2+3-12k4k 2+3由(1)知F (1,0),设H (0,y H ),则=(-1,y H ),=.FH BF 9-4k 24k 2+3,12k4k 2+3由BF ⊥HF ,得=0,即=0,解得y H =,BF ·FH 4k 2-94k2+3+12ky H4k 2+39-4k 212k 所以直线MH 的方程为y=-x+.1k 9-4k 212k 由{y =k (x -2),y =-1kx +9-k 212k 消去y ,得x M =.20k 2+912(k2+1)由x M ≥1,得≥1,解得k ≤-或k ≥,所以直线l 的斜率的取值范围为-∞,-∪,+∞20k 2+912(k 2+1)64646464.。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习2
又直线 AF1 的方程为 y＝x＋c.④ 联立③④，得 x2＋2(x＋c)2＝2c2，即 3x2＋4cx＝0，
4 ∴x＝0 或 x＝－3c.
直线 AF1 的斜率为 1 且 A 在 x 轴上方，∴xA＝0， ∴A 的坐标为(0，b)． ∴|AF1|＝ c2＋b2＝a，∴a＝ 2，又 a＝ 2b＝ 2c， ∴b＝c＝1.
x2 y2 椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的长轴长为 2 2，P 为椭圆 C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A2
1 为椭圆 C 的右顶点，点 M 为线段 PA2 的中点，且直线 PA2 与直线 OM 的斜率之积恒为－2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线
2
∴△F1A′B 面积的最大值为 4 .
2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线
该双曲线的离心率为（ ）24.已知抛物线 y 2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M ，N 两 uuur 点, 若 PF uuuur 3MF，则 MN（）16 A ． 3B ．8C ．16D ．83 35.知双曲线 2x2 a 2b y 2 1(ab0,b 0) ， A 1、A 2 是实轴顶点， F 是右焦点，B （0,b ） 是虚轴端点，若在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 P i i 1,2 ，使得 P i A 1A 2 i 1,2 构成 以 A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）2019-2020 年高考数学专题练习圆锥曲线（一）、选择题 2 x 1.设双曲线 C: 2 a 2 y 2 1 a 0,b b 10 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 1 且斜率为3的直线与双曲线的两渐近线分别交于点 A ，B ，并且 F 2A F 2B ,则双曲线的离心率为A ． 52B ． 2 D ．2 x 2.设 F 1，F 2 分别为双曲线 C ： 2 a 2 b y 2 1(ab 0,b 0） 的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点，以 F 1F 2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、N 两点，且满足：MAN 120o ，则 7A ．3B ． 19 321 C ．3D ． 7333.双曲线 2x2a 2y2 1 a 0,bb0 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于 A ， B 两点，若点 A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是 A ． 3B ． 2+ 3 C. 2 D ． 2 1B ．( 2, 52 1) 51D ． ( 52 126.已知过抛 物线 y 2 2px(p 0)的 焦点 F 的 直线与 抛物线 交于 A ，B 两点，且 uuur uuurAF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C ， AA 1 l 于点 A 1，若四边形 AA 1CF 的面积 为12 3 ，则准线 l 的方程为A ． x2 B ． x 2 2 C ． x 2 D ． x 17.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90 °的正角 .已知双曲线22 E： a x 2 b y 21(a ab0,b 0) ，当其离心率e [ 2,2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( )A ．[0, 6]B ． [ , ]63C ．[ 4, 3]D ．[3, 2]8.已知直角坐标原点22xy O 为椭圆 C ： 2 2ab 1(a b 0) 的中心，F 1，F 2 为左、右焦点，在区间 (0,2)任取一个数 e ，则事件 “以 e 为离心率的椭圆 C 与圆 O ： x 2 y 2 a 2 b 2 没有 交点 ”的概率为( )A ．2442 B ． 4C ．2 2 D ．22 29.已知直线 y 1x 与双曲线 ax 2 by 21(a 0， b 0 )的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为3， a则()2b23 A ．3 B ．C ． 93D ． 2327223210.过双曲线 x 22 y1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A ，B 两3点，则AB)A．4 33B．2 3 C．6 D．4 311.已知抛物线C：4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B 两点，点A在第一象限，P（0,6），O 为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（7 A．4 13B．4C．3D．412.若双曲线2x3m1的一条渐近线方程为2x 3y 0 ，则m 的值为（）233C．2213.已知双曲线a x2 b y2 1 的左右焦点分别为F1，F2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I 与x 轴相切于点A，过F2作直线PI 的垂线，垂足为B，若 e 为双曲线的离心率，则（）A．|OB | e|OA| C．|OB| |OA| B．|OA| e|OB|D．|OA|与|OB |关系不确定14.已知 F 是椭圆C：2y1 的左焦点，5P为C上一点，A（1,4），则|PA| |PF |的3最小值为（）10 A．3 11B．3C．4 D．13315.已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A．4 3 B．2 3C．3 D．22216.双曲线x2y21（a a2b2A（. 1，2）b 0）离心率的范围是（）B（. 1，）C（. 2，）D（. 1，22）17.如图，过抛物线 y 2px（p 0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A ，B ，交其准线于点8 C ． 3为（ ）2x 2 2 py 的焦点，点 F 2为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，过 F 2 作抛物线 C 的切线，切点为 A ，若点 A 恰好在以 F 1，F 2 为焦点的双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ▲ ）两点， MN 中点的横坐标为 1，则此椭圆的方程是（ ）2A ． y32 B． 2 x32 2y1 522yx C. 1 36 92 xD ． 362y1 921. 已知双曲线 C ：2 x 2 ay 2 b 21a 0,b 0 的虚轴长为 8 ，右顶点 （a ，0）到双曲线的一16D ．318.已知过椭圆 2x 2a2y2 1(a b 0)b 2的左焦点且斜率为 a 的直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点 .若椭圆上存在一点 P ，满足 OA OB OP 0 （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率A ． 22B ．C. 321D ．219.已知点 F 1 是抛物线 C ：A ．6 22B ． 2 1C ． 2 1D ．6 2220.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为 F(0 ，3 3) ，直线 4x3y 13 0 与其相交于 M 、N34，则 p 为（条渐近线的距离为 12，则双曲线 C 的方程为（2 x A ． 9 2 y 216 x 2C. 25 y 2 16 22. 已知圆C ： x 2 y 2 2x 2 3y 线相切，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 6 3 B ．23323.设双曲线2 x 2 a 2 y b 2 1(a 0， b 0) 2x 2y2 16 92 2xy 216 2522yx2ab 243 F ， 过点 B． D．1(a C ． 的右焦点为0,b 0） 的一条渐近D ． 7 作与 x 轴垂直的直线 l 交 且与双曲线在第一象限的交点为P ， 设 O 为坐标原点，若 uu ur OP uur OA uuur OB( , R)， A ． 23B ． 3 5 35 两渐近线于 A ，B 两点， 2 x 2 y3 16 ，则双曲线的离心率为（ C.3 2 2 9 D ． 8 2 24.设 F 为双曲线 C ： ab 21（a 0,b 0） 的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x y a 交于 P ，Q 两点.若 PQ OF ，则 C 的离心率为（ A ． 2 B ． 3．C 2）25.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 22C ： x 2 y 21 |x| y 就是其中之一 （如图） .给出下列三个结论： ① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③ 曲线 C 所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①②D.①②③、填空题26.过点Mx20,1 的直线l交椭圆x81于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为27.已知F1，F2 分别为双曲线2C:x242 y12 1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I 分别为F1PF2的重心、内心，若GI∥x 轴，则F1PF2 的外接圆半径R=2 28.已知点P在离心率为2 的双曲线x2 a2y2 1(a 0,b 0) 上，F1，F2为双曲线的两个buuur 焦点，且PF1uuuurPF20 ，则PF1F2的内切圆半径r 与外接圆半径R之比为29.已知双曲线2C:x2a2yb2 1 a 0,b 0 的实轴长为16，左焦点为F，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且OM MF ，O为坐标原点，若S OMF 16 ，则双曲线C的离心率2 x 30.设点M 是椭圆2 a 2 yb2 1(a b 0) 上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M 与y 轴相交于不同的两点P、Q，若PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为2 31. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2 a2by2 1( a b 0 )的离心率e23，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为a，过点A2 作圆A1的切线，切点为P，在x 轴的上方交椭圆于点Q.则P P A Q232.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为椭圆的右顶点和上顶点，当FB515 1，此类椭圆被称为“黄金椭圆”2算出“黄金双曲线 ”的离心率 e 等于 .22C: x 2 y 21(a b 0)33.已知椭圆 a b，A ，B 是 C 的长轴的两个端点，点 M 是 C 上的一点，满足 MAB 30 , MBA 45 ，设椭圆 C 的离心率为 e ，则 e 2 ________________________ .234.已知抛物线 y 2 2px(p 0)的焦点为 F ，O 为坐标原点，点 M ，N 为抛物线准线上相 异的两点，且 M ，N 两点的纵坐标之积为 - 4，直线 OM ， ON 分别交抛物线于 A ， B 两点，若A ， F ，B 三点共线，则 p ______________ .235.已知抛物线 y 2 8x 上有一条长为 9 的动弦 AB ，则 AB 中点到36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率 e= .等腰三角形，则 M 的坐标为 __________22x 2y 2 139.已知椭圆 9 5 的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 ________ .240. 设抛物线 y 2px(p 0)的焦点为 F,已知 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足| MN |AFB60,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 |AB| 的最大值为41. 已知 F 为抛物线 C: y 2 4x 的焦点， E 为其标准线与 x 轴的交点，过 F 的直线交抛物线37.已知双曲线 C ：2x2 a的两条渐近线分别交于2y21(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线与 C buuur uuur uuur uuuurA ，B 两点．若 F 1A AB ， F 1B F 2B 0，则C 的离心率为38.设 F 1，F 2 为椭圆1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限 .若△MF 1F2为C:36 20C 于 A ，B 两点， M 为线段 AB 的中点，且 |ME | 20，则|AB|参考答案0,易知F (1,0)，设直线AB : x my 1x my 1 2由 2y 2 4my 4 0, 所以 y 1 y 2 4 y 2y 2 4x易知 f (x) 在 0,1 上为减函数，所以当12. A22双曲线 x y1的一条渐近线方程为 2x 3y 0 ，可得3 m m 1(3 m)(m 1) 0 ，解得 m ( 1,3)，因为 m 1x 3 m y3 解得 m ，故选A.13，内切圆与 x 轴的切点是A ，∵ ，由圆切线长定理有 ， 设内切圆的圆心横坐标为x ，则，即3y 12 4 1 2y 12( y 1 0) y1f (x) 3 x2 1 2 3x3 x 2 24 ( x 1)(3x 24x 4)2 x 2 2x 22x 2设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)且x 1,y 1S OPABS OPASOFA SOFB32 1 2f ( x) x x (x 0)4 2 x4y 1y 1 1时， ( S OPAB )min 13,故选4B0 是双曲线的渐近线方程，所以∴ ，即 A 为右顶点，在中，由条件有，在中，有∴.设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以22e2 ，由焦点三角形面积公式得b12 3b22，即设椭圆离心率e1 ，双曲线离心率a12 3a22 4c2，即1232e12 e22 4 ，设1 12 2 m ,n 即m 3n 4 ，e1 e2由柯西不等式得m n最大值为43 3设的中点，由题意知两式相减得，而，所以所以直线的方程为，联立，解得又因为，所以所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选 A.，易得：∴此椭圆的方程是 故选： C∵ |PQ| |OF | c ，∴ POQ 90o , 又|OP| |OQ | a ，∴a 2 a 2 c 2 解得 c 2，即 e 2.a由题意，得 ，设过 的抛物线 的切线方程为 ，联立，令，解得 ， 即 ，不妨设 ，由双曲线的定义得.故选 C.，则该双曲线的离心率为设椭圆方程为联立方程： ，整理得：， ，则，即 ，化简得：1,0),(-1,1)六个整点,结论① 正确.22由x2y21 x y 得,x2y2, 1x y,解得x2点的距离都不超过2 . 结论② 正确.如图所示,易知A 0, 1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D心形”区域的面积大于3,说法③ 错误.由x2y21 x y得,y2x y 1 x2, |x|y234x2 ,1423x2 2 4厔0,x243所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2y21 x y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-4 1026.3628.229. 526230.2 , 所以曲线C 上任意一点到原0,1 ,四边形ABCD 的面积S ABCD 11 123,很明显2心形”区域的面积大于2 S ABCD ,即231.37如图所示，设，，椭圆方程为圆的方程为，直线与圆相切，则：，直线是斜率为，直线方程为：联立直线方程与椭圆方程：整理可得：即，由弦长公式可得：，在中，，故5132.2“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，22则，，∵， ∴， ∴， ∴，解得 或 （舍去），∴黄金双曲线 ”的离心率 e 等于1333. 35 35.2易知抛物线 的准线方程为 ，设 ，且 的中点为 ，分别 过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则 ，由抛物线定义，得 （当且仅当 三点共线时取等号），即 中点 到 轴的最短距离为 .36. 3 1OA 为中位线且 OA BF 1 ，所以 OB OF 1 ，因此 F 1OA BOA ，又根据两渐近线对uuur uuur uuur uuuur由F 1A AB, F 1B F 2B 0知 A 是 BF 1的中点， uuu r F Buuuur F 2B ，又 O 是 F 1, F 2的中点，所称， F 1OA F 2OB ，所以 F 2OB 60 ， e1 (b )21 tan2 60 2.39. 15方法 1：由题意可知 |OF|=|OM |= c = 2，由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4，设 P(x,y)可得 (x 2)2 y 2 16，2联立方程 xy 2519 可解得 x32,x 21 2 (舍)，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，1515求得 P3, ，所以 k P F 2152 2F 138. (3, 15)22已知椭圆 C ：x y36 20 1可知， a 6，c 4，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角形 MF 1F 2中 MF 1 F 1F 2 8，MF 2 2a MF 1 4 , sin F 1F 2M4 , y MMF 2 sin F 1F 2 M 15 ，22代入C ：3x6 2y0 1可得 x M3.故 M 的坐标为 (3, 15 ) .82方法 2：焦半径公式应用解析 1：由题意可知 |OF |=|OM |= c= 2 ， 由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4 ，即 aex p 4 x p15求得 P 3, 15 ，所以 k PF215 . 2 2 PF 12F （1，0）为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，E （-1，0）为其准线与 x 轴的交点， 设过F 的直线为 y=k （x-1）， 代入抛物线方程 y 2=4x ，可得 k 2x 2-（ 2k 2+4） x+k 2=0，设 A （ x 1， y 1）， B （x 2，y 2），解得k 2=1，则 x 1+x 2=6，由抛物线的定义可得 |AB|=x 1+x 2+2=8.。
2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：6.3圆锥曲线的综合问题版含解析
考点 1 圆锥曲线中的范围、最值问题 x2 y2
[例 1] [2019 ·辽宁沈阳质监 ] 如图，椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1，F2，离心率为 23，过焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线被 椭圆 C 截得的弦长为 1.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)点 P(x0，y0)(y0≠ 0)为椭圆 C 上一动点，连接 PF1，PF2，设∠ F1PF2 的平分线 PM 交椭圆 C 的长轴于点 M(m,0)，求实数 m 的取值范围．
元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求
其值域 .
『对接训练』
1．[2019 ·江西五校协作体联考 ]在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 x2 y2 M：a2＋b2＝1(a>b>0)右焦点的直线 x＋y－ 3＝0 交 M 于 A，B 两点，
且椭圆 M 的离心率为
y＝ kx＋m，
由 Δ＝ 64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－ 12)＝48(4k2－ m2＋ 3)>0，得 4k2＋ 3>m2，
8km
4m2－12
x1＋x2＝－ 4k2＋3， x1x2＝ 4k2＋3 .
由
k1k2＝
y1y2 x1＋ 2 x2＋2
1 ＝－ 4，
可得 4y1y2＋ (x1＋2)(x2＋ 2)＝0，
，
1
4－t
3－ m
在△ PF2M
中，
sin∠PMF 2＝sin∠ MPF
，
2
因为 ∠PMF 1＋ ∠PMF2＝π， ∠MPF1＝ ∠ MPF2，
t
3＋ m
1
所以 4－t＝
2020届高考数学二轮复习圆锥曲线的综合问题学案Word版含解析
第3讲圆锥曲线的综合问题年份卷别考查内容及考题位置命题分析卷Ⅰ直线与椭圆的位置关系·T19解析几何是数形结合2018卷Ⅱ卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、弦长问题·T的典范，是高中数学19直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算、的主要知识板块，是证明问题·T高考考查的重点知识2020172016卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系·T20点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综合问题·T20直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T20定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的位置关系及范围问题·T20直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T20证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T20之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线的位置关系．(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解．(3)轨迹方程及探索性问题的求解.定点问题(综合型)[典型例题]x y已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等a b差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重→→→→合且满足P M＝λMQ，PN＝λNQ.12(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ＋λ＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．12【解】(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，2222又 a 2＝b 2＋c 2，所以 a 2＝3.所以椭圆的方程为 ＋y 2＝1.3(2)由题意设 P (0，m )，Q (x，0)，M (x ，y )，N (x ，y)，直线 l 的方程为 x ＝t (y －m )，由P M ＝λ MQ ，知(x ，y －m )＝λ (x －x ，－y )，所以 y －m ＝－y λ，由题意 y ≠0，11 11所以 λ ＝ －1.1 y1同理由P N ＝λ NQ 知 λ ＝ －1.2 2 y2因为 λ ＋λ ＝－3，所以 －1＋ －1＝－3，1 2 y y 1 2所以 y y ＋m (y ＋y )＝0，①x 2＋3y 2＝3，联立x ＝t （y －m ），得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知 Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，②2mt 2 t m 2－3且有 y ＋y ＝ ，y y ＝ ，③ t 2＋3 t 2＋3③代入①得 t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，所以(mt )2＝1，由题意 mt <0，所以 mt ＝－1，满足②，故直线 l 的方程为 x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即 Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的 2 种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与 参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2x 0 1 1 2 2 → →1 1 1 1 0 1 1 m→ → mm m1 2 1 2 21 2 1 2[提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于 0 即可．如直线 y ＝kx ＋b ，若 b 为常量，b b 则直线恒过点(0，b )；若 为常量，则直线恒过点 － ，0 . k(2) 一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，f (x ， y ) ＋ λf (x ， y ) ＝ 0(λ 为参数 )．解方程组12[对点训练]已知抛物线 C ：y ＝2px (p >0)的焦点 F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点．(1)求抛物线 C 的方程；1(2)若直线 OA ，OB 的斜率之积为－ ，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点．2解：(1)因为抛物线 y 2＝2px(p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以 ＝1，即 p ＝2.所以抛物线 C 的方程为 y 2＝4x .(2)证明：①当直线 AB 的斜率不存在时，4 4.因为直线 OA ，OB 的斜率之积为－ ，2－t所以 ＝－ ，化简得 t 2＝32.t t 2 4 4所以 A (8，t )，B (8，－t)，此时直线 AB 的方程为 x ＝8. ②当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y ＝kx ＋b ，A (x ，y )，B(x ，y )， y 2＝4x ，联立方程组y ＝kx ＋b ，消去 x 得 ky 2－4y ＋4b ＝0.由根与系数的关系得 y y ＝ ，A B k因为直线 OA ，OB 的斜率之积为－ ，2＝－ ，即 x x ＋2y y ＝0.k 即得定点坐标．2p2 t t 2 2 设 A ，t ，B ，－t 1t 1 2 2 A A B B4b 1所以 A By y 1即 A B ＋2y y ＝0，4 4 A B解得 y y ＝0(舍去)或 y y ＝－32.A BA B所以 y y ＝ ＝－32，即 b ＝－8k ，A B k所以 y ＝kx －8k ，即 y ＝k (x －8)．综合①②可知，直线 AB 过定点(8，0)．定值问题(综合型)[典型例题]x y (2018· 沈阳教学质量监测(一))设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 ＋ ＝1 上，过9 4→ →M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足N P ＝ 2NM .(1)求点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过 F (1，0)的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A ，B 两点，过 F (1，0)作与 l 垂直的直线 l1121 1与点 P 的轨迹交于 C ，D 两点，求证： ＋ 为定值．|AB | |CD |【解】 (1)设 P (x ，y )，易知 N (x ，0)，NP ＝(0，y )，→ 1 → y y 2 2 2x 2 xy 又点 M 在椭圆上，所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1.9 4 9 8所以点 P 的轨迹 E 的方程为 ＋ ＝1.9 8(2)证明：当直线 l 与 x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝ 3，所以 ＋ ＝ .|AB | |CD | 48当直线 l 与 x 轴垂直时，|AB |＝ ，|CD |＝6，1 3所以 ＋ ＝ .|AB | |CD | 48当直线 l 与 x 轴不垂直也不重合时，可设直线 l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线 l 112的方程为 y ＝－ k(x －1)，2 2y y 4b2 2 →又N M ＝ NP ＝ 0， ，所以 M x ， ，y 2 2 2 2 2 2 xy 1 161 1 17161 1 171设 A (x ，y )，B (x，y )，C (x ，y )，D (x ，y)，y ＝k （x －1），联立直线 l 与曲线 E 的方程2 2＋ ＝1，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，可得2）2－4（8＋9k 2）（9k 2－72）＝2 304（k 2＋1）>0，18k2 x ＋x ＝，8＋9kx x 1 29k 2－72 ＝ ， 8＋9k所以|AB |＝1＋k 248（1＋k 2）（x ＋x ）2－4x x ＝ ， 1 2 1 2y ＝－ （x －1），联立直线 l 与曲线 E 的方程得＋ ＝1，9 89 8＋ 2 x －18 92 x ＋ 2－72＝0， 同理可得|CD |＝1＋k48（1＋k 2）（x ＋x ）2－4x x ＝ .9＋8k1 1 8＋9k 9＋8k17所以 ＋ ＝ ＋ ＝ .|AB | |CD | 48（k 2＋1） 48（k 2＋1） 48综上可得 ＋ 为定值． |AB | |CD |求定值问题常见的 2 种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关．这符合一般与特殊的思维辩证 关系．简称为：特殊探路，一般论证．(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]x y 3已知椭圆 C ： ＋ ＝1，A 为椭圆 C 上的一点，其坐标为 1， ，E ，F 是椭圆 C 上的4 3两动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数．求证：直线 EF 的斜率为定值，并 求出该定值．3解：设直线 AE 的方程为 y ＝k (x －1)＋ (k ≠0)，1 1 2 2 3 3 44x y 1 98 Δ＝（－18k1 2 228＋9k 21 k2 x y 2 2 2 k k k 12343 42 221 1 222 2＋ ＝1， 4 3 联立消去 y ， y ＝k （x －1）＋得(4k 2＋3)x 2＋(12k －8k 222 －12＝0，24k则 x ＝＝，①（4k 2＋3）x 4k 2＋3A又直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，4k 2＋12k －3故以上 k 用－k 代替得 x ＝ ，②4k 2＋3所以 k ＝ EFy －yF Ex －xFE＝－k （x －1）＋ － F 2x －xFEk （x －1）＋＝－k （x ＋x ）＋2kF E x －xFE把①②两式代入上式，得 k ＝ ，为定值．EF 2最值和范围问题(综合型)[典型例题]命题角度一 构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式x y已知圆 x ＋y ＝1 过椭圆 ＋ ＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点， a bx y → →直线 l ：y ＝kx ＋m 与圆 x ＋y ＝1 相切，与椭圆 ＋ ＝1 相交于 A ，B 两点．记 λ＝OA ·OB ，a b2 3 且 ≤λ≤ .3 4(1)求椭圆的方程；(2)求 k 的取值范围．【解】 (1)由题意知 2c ＝2，即 c ＝1.2 2 x y323 －k )x ＋43 2 －k －12 42－12k －3EF3 3 2 E .12 22 2222 22 222故所求椭圆方程为＋y2＝1.2y＝kx＋m，(2)由直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，得m2＝k2＋1.由2＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设A(x，y11－4km2m2－2)，B(x，y)，则x＋x＝，x x＝，λ＝OA OB＝1＋2k1＋2kx x＋y y＝(1＋k2 1212)x x12＋km(x＋x12k2＋1)＋m2＝.1＋2k由231≤λ≤≤k342≤1，即k的取值范围是－1，－∪，1.2223先通过直线与圆相切得到k，m的关系，然后利用已知条件中的不等关系≤λ≤，结34合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k，m的不等式，再由k，m的关系，消元，得到关于k的不等式，通过解不等式达到目的．方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式x y已知A是椭圆E：＋＝1(t>3)的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两t 3点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．【解】(1)由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x 轴对称，由MA⊥NA，可得直线AM的斜率k为1.因为t＝4，所以A(－2，0)，所以直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程E：4＋＝1，可得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－，所以M－，，N－，－，3777771242144××.2749(2)由题意知t>3，k>0，A(－t，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2ttk2x＋t k2－3t＝0.设M(x，y11)，则x1(－t)＝t2k2－3t t（3－tk2），即x＝，3＋tk3＋tk故|AM|＝|x＋t|161＋k2＝t（1＋k2）1.由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋t)，故同3＋tk2xx2→→221212222，得222222x 2y2212212则△AMN的面积为－＋2＝722x yt 32122k2理可得|AN |＝6k t （1＋k 2） .由 2|AM |＝|AN |得3k 2＋t＝ ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当 k 3＋tk 2 3k 2＋t＝ 33k （2k －1）2时上式不成立，因此 t ＝ .k 3－23k （2k －1） k 3－2k 2＋k －2 （k －2）（k 2＋1） k －2由 t >3，得 >3，所以 ＝ <0，即 <0.k 3－2 k 3－2 k 3－2 k 3－2k －2>0， k －2<0，3 3由此得 或 解得 2<k <2.因此 k 的取值范围是( 2，2)．k 3－2<0 k 3－2>0，(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题．(2)本题通过已知条件 2|AM |＝|AN |得到新参数 k 与已知参数 t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件 t >3 建立关于 k 的不等式．方法三：利用判别式构建目标不等式xy 已知点 F 为椭圆 E ： ＋ ＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构a bx y成一个等边三角形，直线 ＋ ＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M .4 2(1)求椭圆 E 的方程；x y(2)设直线 ＋ ＝1 与 y 轴交于点 P ，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A ，B ，4 2若 λ|PM | ＝|PA |·|PB |，求实数 λ 的取值范围．【解】 (1)由题意，得 a ＝2c ，b ＝ 3c ，则椭圆 E 为 2＋ 2＝1.＋ ＝c 2， 4 3 由 消去 y ，得 x 2－2x ＋4－3c 2＝0.＋ ＝1 4 2因为直线 ＋ ＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M ，4 2所以 Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得 c 2＝1，所以椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.4 32 k2 2 2 22 2 2 x y 4c 3c 2 2x y x yx y2 2x y3 (2)由(1)得 M 1，，因为直线 ＋ ＝1 与 y 轴交于 P(0，2)，4 2所以|PM |2＝ ，4①当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA | |PB |＝(2＋ 3)×(2－ 3)＝1，所以 λ|PM |2＝|PA |·|PB | λ＝ ，5②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋2， A (x ，y )，B (x ，y )，y ＝kx ＋2，由消去 y ，3x 2＋4y －12＝0整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则 x x ＝ ，且 Δ＝48(4k 2－1)>0，k 2 3＋4k1> . 4所以|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x x 1 2＝(1＋k 2 )·4 3＋4k＝1＋ ＝ 3＋4kλ ，1 所以 λ＝ 1＋ 5 3＋4k ，因为 k 2> ，所以 <λ<1. 4 5综上所述，λ的取值范围是 ，1 .5此题抓住直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A ，B 这一条件，利用判别式 Δ>0 构建关于 k的不等式，从而求得 λ 的取值范围．方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点 A (－1，0)，且以直线 x ＝1 为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程；1(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M ，N ，且线段 MN 恰被直线 x ＝－ 平分，设弦22 x y541 12 22 4 1 2 2 2 15 424 2 1 4 4MN 的垂直平分线的方程为 y ＝kx ＋m ，试求 m 的取值范围．【解】 (1)设抛物线的顶点为 G (x ，y )，则其焦点为 F (2x －1，y )，由题意可知点 A 到直线 x ＝1 的距离为 2，则|A F |＝2，所以4x 2＋y 2＝2，所以轨迹 C 的方程为 x 2＋ ＝1(x ≠1)．4(2)设弦 MN 的中点为 P－ ，y 2 0，M(x ，y )，N (x ，y)，则由点 M ，N 为椭圆 C 上的点，可知 4x 2 ＋y 2 ＝4，4x 2 ＋y 2 ＝4，两式相减，MMNN得 4(x －x )(x ＋x M N M N)＋(y －y )(y ＋y)＝0，①将 x ＋x ＝2×－1＝－1，y ＋y ＝2y ，y M －y N ＝－1，2 x －x kM N代入①式得 k ＝－ 0.2又点 P － ，y 2以 m ＝y ＋ k ＝ y .在弦 MN 的垂直平分线上，所以 y ＝－ k ＋m ，所由点 P － ，y 2在线段 BB ′上(B ′(x ′ ，y ′ )，B (x ，y )为直线 x ＝－与椭圆的交点，如图所示)，所以 y ′ <y <y ，即－ 3<y B 0 B 03 3 3 3< 3.所以－ <m <，且 m ≠0.故 m 的取值范围为 －，0 ∪ 0，.利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式．命题角度二 构建函数模型求最值或范围若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后 根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、 多项式型函数等．方法一：构建二次函数模型x y 3已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)的离心率为 ，F ，F 分别为椭圆 C 的左、右焦 ab 3 1 2点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A ，B 两点，△F △ AB 的周长为 4 3.21(1)求椭圆 C 的方程；→ → → →2y1 M M N NM N M N M N M N 0 y11 2 0 1 3 2 4 0 0112 B B B B 4 43 3 3 34 4 222 210【解】 (1)由离心率 e ＝，可知 ＝ ，由△F △ 3 a 3AB 的周长为 4 3，得 4a ＝4 3，所以 a ＝ 3，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.3 22 3 2 3(2)当直线 l 的斜率不存在，即λ＝－1 时，设A 在 x 轴上方，则A 1， 1，－又 T (2，0)，所以|TA ＋TB |＝－1， ＋ －1，－ ＝2.3 3当直线 l 的斜率存在，即 λ∈[－3，－1)时，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －1)．y ＝kx －k ， 由2 2 得(2＋3k 2)x 2－6k 2 ＋ ＝1 x ＋3k 2－6＝0，设 A (x ，y )，B (x ，y)，显然 y ≠0，y26k 23k 2－6≠0，则由根与系数的关系可得 x ＋x ＝ ，x x ＝ ，y ＋y ＝k (x ＋x 1 2 1 2 1 2 1 2－4k )－2k ＝ ， 2＋3ky y ＝k 2[x x －(x ＋x 1 2 1 2 1 2－4k 2 )＋1]＝ . 2＋3kA B (1，0)，所以 ＝λ，λ<0.2－4k2易知 λ ＋ ＋ 2 ＝ ＝ ＝ ，由 λ∈[ － 3 ，－ 1) ，得 λ ＋ ∈ λ y 1y 2 －4k 2 2＋3k λ2＋3k－ ，－2 ，3即 λ＋ ＋2∈ － ，0 ，3故－ 3－4 ≤ <0，解得 k ≥ . 2＋3k→ → )，TB)，所以T A ＋TB ＝(x ＋x －4，y ＋y 1212)＝6k 2＋8 －4k － ， 2＋3k 2＋3k，113 c 3 1 2 2 xy ，B ，3 3 → → 2 3 2 3x y 3 21 12 2 1 2＋3k 2＋3k 2 2 22因为F ＝λF ，F → → y 1y 2 2 2 21 （y＋y ）2 2＋3k －4 1 1 2 2 210 1 4 λ 4 12 3 2因为T A ＝(x －2，y ＝(x －2，y1122 → → 2 2故 | TA ＋ TB |6k 2＋8＝－2＋3k2＋－4k2＋3k2＝36k 4＋112k 2＋64（2＋3k 2）2＝4（2＋3k 2）2＋ （2＋3k 2）＋（2＋3k 2）264 1 16 2＝4＋ ＋ .3 2＋3k 3 2＋3k1 1 1 1 ≥ ≤ 2＋3k 2＋3k ，即 t ∈ 0， ，所以|TA ＋TB |2＝4＋ 643t ＋16 16 52 316 t (t ＋2) 4，→ → 2 237|∈ 2， .→ → 2 237|的取值范围为 2， .本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等．其中难点是代数化后，目标函数比较复杂，若直接计算则相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数中有相同的式子1 1，此时可把式子 看成一个整体，用一个变量去代替它，从而将函数转化成一个 2＋3k 2＋3k 简单的二次函数．b方法二：构建双曲线型函数y ＝a ＋ (b ≠0) xx y已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F ，a b 1F ，以 F F 为直径的圆与直线 ax ＋2by － 3ab ＝0 相切．21 2(1)求椭圆 C 的离心率 e ；→ →(2)如图，过 F 作直线 l 与椭圆分别交于 P ，Q 两点，若△PQF 的周长为 4 2，求F P ·F Q1 2 2 2 的最大值．【解】 (1)由题意知|－ 3ab | a 2＋4b 2＝c ，则 3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，即 3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]，所以 a 2＝2c 2，所以 e ＝22.(2)因为△PQF的周长为 4 2，所以 4a ＝4 2，即 a ＝ 2.12→ → 22264 16 33122令 t ＝ ，因为 k 2 ，所以 0<3 3 2 2 1 3 → → 2＝ 2－ ∈ ，27 3 3 3所以|TA ＋TB9综上，|TA ＋TB9222 2 222由(1)知 b 2＝c 2＝1，故椭圆方程为 ＋y 2＝1，2且焦点 F1(－1，0)，F (1，0)．①若直线 l 的斜率不存在，则可得 l ⊥x 轴，方程为 x ＝－1，P －1，，Q －1，－ ，2 2→ 2 → 2 → → 7 F P Q Q 2 2 2 2 2 2 2.y ＝k （x ＋1），②若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，由 消去 y ，得x 2＋2y 2＝2(2k 2＋1)x 2＋4k 2 x ＋2k 2－2＝0.设 P (x ，y )，Q (x ，y )，4k 22k 2－2则 x ＋x ＝－ ，x x ＝ .2k 2＋1 2k 2＋1P F Q ＝(x －1，y )·(x －1，y 2 2 1 1 2 2)＝(x －1)·(x －1)＋y y ＝(k 2＋1)x x＋(k 2－1)(x ＋ 12k 2－24kx )＋k 2＋1＝(k 2＋1) ＋(k 2－1)2k 2＋17k 2－1 7 9＋k 2＋1＝ ＝ － ，2k 2＋1 2 2（2k 2＋1）2→→ 7 9 →→ 72 2 2 t 222结合①②，得F P F Q ∈ －1， ，所以F P F Q 的最大值是 .2 2 2 2 2→ →本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到F P ·F Q 的目标函数，2 2 b然后分离参数，构建 y ＝a ＋ (b ≠0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围．注意当目x标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理．b方法三：构建双曲线型函数 y ＝ax ＋ (ab ≠0)xx y已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， ab直线 3x ＋4y ＋6＝0 与圆 x ＋(y －b )＝a 2相切．(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l ，l 分别交椭圆 C 于 M ，N 两点，且 l ⊥l ，1212求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下 △求AMN 面积的最大值．2x 222＝ －2， ，F ＝ －2，－ ，故F ＝P F 1 1 2 2 121 2所以F→ →1 2 1 2 1 2 2－ 2＋1 2k 2F ∈ －1， 令 t ＝2(2k ＋1)，则F F ＝ －P Q (t >2)，所以F P Q . → → 7 → → 72 222 2 2213【解】a ＝2b ，a ＝2， x 2 (1)由题意，得 解得 故椭圆 C 的方程为 ＋y ＝1.＝a ，b ＝1，(2)由题意得直线 l ，l 的斜率均存在且均不为 0，又 A (－2，0)，故可设 l ：x ＝my －2，l ：x ＝－ y －2.x ＝my －2，由得(m 2＋4)y 2－4my ＝0，所以Mx 2＋4y 2－4＝0，2－8m4m同理 N ，－.4m 2＋14m 2＋12m 2－8 4m，.m 2＋4 m 2＋4①当 m ≠±1 时，k ＝ ，l ：y ＝4（m 2－1） 4（m 2－1）－ ，0 . 565，此时直线 MN 过定点②当 m ＝±1 时，l ：x ＝－ ，此时直线 MN 过点 － ，0 .MN 5 5综上，直线 MN 恒过定点 － ，0 . 5(3) 设 M (x ， y ) ， N (x ， y ) ， 则 S △ AMN ＝1 42 × 5 |y MN 4m 4m ＋5＝8m ＋m8m＋m＝ ＝4m ＋m ＋9令 t ＝m ＋，则 S ＝ △AMN，且 t ≥2，当且仅当 m ＝±1 时取等号． 9 4t ＋又 y ＝4t ＋ 在[2，＋∞)上单调递增，所以 S≤ ，当且仅当 m ＝±1 时取等号．故(St25△ AMN16 max25.本题的难点是第 (3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以 m2，然后同时除以 m ＋，再进行换元就可以看出其分母m9为双曲线型函数结构 y ＝4t ＋ ，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二定t2|4b ＋6| 4 5 1 21m 1 225m5mMNMNx ＋6666 M M N N－ y | 2＋4 4m ＋1 ＝ m 2 2 34 4m ＋17m 2＋41 121m 8 t9 16 △ A MN) ＝114三相等”，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值．[对点训练]x y 1．(2018· 豫南九校联考)设椭圆 ＋ ＝1(a > 3)的右焦点为 F ，右顶点为 A .已知|OA |－a 3 |OF |＝1，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程及离心率 e 的值；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B (B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H .若 BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线 l 的斜率的取值范围．解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝a 2－3，又|OA |－|OF |＝1，所以 a －a 2－3＝1，解得 a＝2，所以椭圆的方程为 ＋ ＝1，离心率 e ＝ ＝ .4 3 a 2(2)设 M (x ，y )，易知 A (2，0)， △在MAO 中，∠MOA ≤∠MAO MA ≤MO ，即(x －2)2 ＋y 2 ≤x 2 ＋y 2 ，化简得 x ≥1.MMMM设直线 l 的斜率为 k (k ≠0)，则直线 l 的方程为 y ＝k (x －2)．设B (x ，y )，由＋ ＝1， y ＝k （x －2）消去 y ，整理得(4k ＋3)x －16k 2x ＋16k 2－12＝0，8k 2－6解得 x ＝2 或 x ＝ .4k 2＋38k 2－6 －12k由题意得 x ＝ ，从而 y ＝ .4k 2＋3 4k 2＋3由(1)知 F (1，0)，设 H (0，y H)，→ → 9－4k 12k)，BF4k 2＋3 4k 2＋3.→ → 4k 2－9 12ky9－4k 4k 2＋3 4k 2＋3 12k1 9－4k所以直线 MH 的方程为 y ＝－ x ＋ .y ＝k （x －2）， 20k由 2消去 y ，得 x ＝ .12（k 2＋1）k 12k2 22 2 2 x y c 1M M M B B2 2x y 4 32 2 B B2＝ ， 则F H ＝(－1，yH2由 BF ⊥HF ，得B F FH ＝0，即 ＋H ＝0，解得 y ＝，H2k 12k 2＋99－4k1 M y ＝－ x ＋1520k 2＋9由 x ≥1，得 ≥1，解得 k ≤－ 12（k 2＋1）或 k ≥ ，所以直线 l 的斜率的取值范围 4 4为 －∞，－6 6 4 42．如图，已知抛物线 x11 3 9 ＝y ，点 A － ， ，B ， ，抛物线上的点 P (x ，y ) 13－ <x < ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q .(1)求直线 AP 的斜率的取值范围；(2)求|PA |·|PQ |的最大值．x 2－134 1解：(1)由题可知 P (x ，x )，－ <x < ，所以直线 AP 的斜率 k ＝ ＝x － ∈(－1，1)，x ＋故直线 AP 的斜率的取值范围是(－1，1)．(2)由(1)知 P (x ，x213 )，－<x <，所以P A ＝ － －x ， －x 2 2 4.①当直线 AP 的斜率为 0 时，P， ，Q ， ，|PA | |PQ |＝1.2 42 4－x 21 1 1 3 9 4②当直线 AP 的斜率不为 0 时，设直线 l ：y ＝kx ＋ k ＋ ，l ：y ＝－ x ＋ ＋ ，由－ －x2＝k ，整理得 x ＝k ＋ ，23＋4k －k联立直线 AP 、直线 BQ 的方程可得 Q， 2k 2＋29k 2＋8k ＋14k 2＋4，故P Q ＝1＋k －k 2－k 3 －k 4－k 3＋k 2＋k ，1＋k 1＋k，又P A ＝(－1－k ，－k 2－k )，故 |PA |·|PQ | ＝ AP PQ ＝（1＋k ）3（1－k ） 1＋k ＋k 2（1＋k ）3（1－k ） 1＋k＝ (1 ＋ k )3 (1 － k )( －1<k <1，且 k ≠0)．令 f (x )＝(1＋x )3(1－x )，－1<x <1，且 x ≠0，则 f ′(x )＝(1＋x )21(2－4x )＝－2(1＋x ) (2x －1)，由于当 x ∈(－1，0)和 x ∈ 0，时 f ′(x )>0，M 6 6 ∪ ，＋∞ .22 4 2422 122 2 1 22 2 2 →111 13 112 4k2k 41APBQ1 2→22→→ → 2 22216f (x )单调递增，当 x ∈ ，1 时 f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以 f (x )＝f max＝ ，2 16故|PA |·|PQ |的最大值为 16 .综上，|PA| |PQ |的最大值为 .16存在性问题(综合型)[典型例题]命题角度一 点、线的存在性问题x y (2018· 贵阳模拟)如图，椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)的左顶点a b与上顶点分别为 A ，B ，右焦点为 F ，点 P 在椭圆 C 上，且 PF ⊥x 轴，若 AB ∥OP ，且|AB |＝2 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)Q 是椭圆 C 上不同于长轴端点的任意一点，在 x 轴上是否存在一点 D ，使得直线 QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意得 A (－a ，0)，B (0，b )，可设 P (c ，t )(t >0)，c t b b 2＋ 2＝1，解得 t ＝ c ，，b2由 AB ∥OP 得 ＝ ，即 b ＝c ，a c所以 a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，①又 AB ＝2 3，所以 a 2＋b 2＝12，②由①②得 a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.8 4(2)假设存在 D (m ，0)使得直线 QA 与 QD 的斜率乘积恒为定值，设 Q (x ，y )(y≠0)，则x y 08 4＝1，③设 k ×k QAQD＝k (常数)，因为 A (－2 2，0)，y y × x ＋2 2 x －m 0 012 1 2727272 22 2 2 2 2 2 所以 ，即 P a a b ab a2 2x y 0 0 02 2＋ 0 所以 0＝k ，④1 2.，⑤由③得 y 2＝4 1－ 0将⑤代入④，得8－x . k ＝2[x 2＋（2 2－m ）x －2 2m ]0 022－m ＝0， 所以所以 m ＝2 2，k ＝－ ，所以存在点 D (2 2，0)，使得 k ×k2 QA QD22m ＝8，命题角度二 字母参数值的存在性问题已知动圆 C 与圆 x ＋y ＋2x ＝0 外切，与圆 x ＋y －2x －24＝0 内切．＝－(1)试求动圆圆心 C 的轨迹方程．(2)过定点 P (0，2)且斜率为 k (k ≠0)的直线 l 与(1)中轨迹交于不同的两点 M ，N ，试判断 在 x 轴上是否存在点 A (m ，0)，使得以 AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 实数 m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由 x 2＋y 2＋2x ＝0 得(x ＋1)2＋y 2＝1，由 x 2＋y 2－2x －24＝0 得(x －1)2＋y 2＝25，设动圆 C 的半径为 R ，两圆的圆心分别为 F (－1，0)，F (1，0)，则|CF |＝R ＋1，|CF |＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF |＝6，根据椭圆的定义可知，点 C 的轨迹为以 F，F 为焦点的椭12圆，所以 c ＝1，a ＝3，所以 b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心 C 的轨迹方程为 ＋ ＝9 81.(2)存在．设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋2，设 M (x ，y )，N (x ，y)，MN 的中点为 E (x ，y)．假设存在点 A (m ，0)，使得以 AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AE ⊥MN ，y ＝kx ＋2，由2 2 得(8＋9k 2 ＋ ＝1，)x 2＋36kx －36＝0，－18kx ＋x ＝－ ，所以 x ＝ ， 9k 2＋8 9k 2＋8y ＝kx ＋2＝ ， 0 0因为 AE ⊥MN ，所以 k ＝－ ，AE k2x 0 8 212 2 2 2 1 2 12 22 2 xy 1 1 2 2 0 0x y 98 36k1 2 0162＋89k 1即－09k 2＋8 －2k －2 ＝－ ，所以 m ＝ ＝ ， －18k k 9k 2＋8 8－m k9k 2＋882≥2 9×8＝12 2，所以－ ≤m <0； 8 2k 12因此，存在点 A(m ，0)，使得以 AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数 m 的取值范围为 － ，0 ∪ 0，.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确， 则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[对点训练]1 1已知圆 C ：(x －1) ＋y ＝ ，一动圆与直线 x ＝－ 相切且与圆 C 外切．4 2 (1)求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程．(2)若经过定点 Q (6，0)的直线 l 与曲线 T 交于 A ，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N ，试问是否存在直线 l ，使得 NA ⊥NB ，若存在，求出 直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设 P (x ，y )，分析可知：动圆的圆心不能在 y 轴的左侧，故 x ≥0，因为动圆与直线 x ＝－ 相切，且与圆 C 外切，2所以|PC |－x ＋ ＝ ，所以|PC |＝x ＋1，所以 （x －1）2＋y 2＝x ＋1， 化简可得 y 2＝4x .(2)设 A (x ，y)，B (x ，y )，由题意可知，当直线 l 与 y 轴垂直时，显然不符合题意，故x ＝my ＋6，可设直线 l 的方程为 x ＝my ＋6，联立 并消去 x ，可得 y 2－4my －24＝0，y 2＝4x161 9k ＋当 k >0 时，9k ＋ k 12 当 k <0 时，9k ＋ ≤－12 2，所以 0<m ≤ .22 12 12 2 2 11 12 21 12 2显然 Δ＝16m 2＋96>0，y 1＋y 2＝4m ，由根与系数的关系可知 ①y 1y 2＝－24，又因为 x ＋x ＝(my ＋6)＋(my ＋6)，1212所以 x ＋x ＝4m 2＋12，②12因为 x x ＝ 1 2，所以 x x ＝36，③ 1 2 4 4 1 2假设存在 N (x ，y 0)，使得NA NB ＝0，y ＋y 由题意可知 y ＝ ，所以 y ＝2m ，④0 2 0由 N 点在抛物线上可知 x ＝ 0 0 4，即 x ＝m 2，⑤→ → )，NB )，若N A NB ＝0，则 x x －x (x ＋x 1 2 0 1 2)＋x 2＋y y －y (y ＋y )＋y 2＝0，由①②③④⑤代入上式化简可得：3m 4＋16m 2－12＝0，即(m 2＋6)(3m 2－2)＝0，所以 m 2＝ ，故 m ＝± ，3 3所以存在直线 3x ＋ 6y －18＝0 或 3x － 6y －18＝0，使得 NA ⊥NB .x 1．(2018· 高考全国卷Ⅰ)设椭圆 C ： ＋y ＝1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，2B 两点，点 M 的坐标为(2，0)．(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .解：(1)由已知得 F (1，0)，l 的方程为 x ＝1.由已知可得，点 A 的坐标为 或 2 2所以 AM 的方程为 y ＝－2 2x ＋ 2或 y ＝ x － 2.(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .2 2 y y → →12 2y 又N A ＝(x －x ，y －y ＝(x －x ，y －y1122→ →0 1 2 0 1 2 0 2 622 2 21，－ . 1， 2 2当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x ，y 11)，B (x ，y)，则 x 1< 2，x < 2，直线 MA ，MB 的斜率之和为 k ＋k ＝ 1 ＋ 2 .x －2 x －212由 y ＝kx －k ，y ＝kx －k 得1122k ＋k ＝ MAMB2kx x －3k （x ＋x ）＋4k 1 2 1 2（x －2）（x －2） 12将 y ＝k (x －1)代入 ＋y 2＝1 得2(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.4k 22k 2－2所以，x ＋x ＝ ，x x ＝ . 2k 2＋1 2k 2＋14k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 则 2kx x －3k (x ＋x )＋4k ＝ ＝0. 1 2从而 k ＋k ＝0，故 MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .MAMB综上，∠OMA ＝∠OMB .x y 2．(2018· 福州模拟)已知 F 为椭圆 C ： ＋ ＝1 的右焦点，M 为 C 上的任意一点．4 3(1)求|MF |的取值范围；3(2)P ，N 是 C 上异于 M 的两点，若直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为－ ，证明：M ，N4 两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得 a ＝2，b ＝ 3，所以 c ＝a 2－b 2＝1，所以椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(1，0)，设椭圆 C 上的任意一点 M 的坐标为(x ，y )，则 M ＋ M ＝1，4 3所以|MF |2＝(x －1)2＋y 2 ＝(x －1)2＋3－ x 2 ＝ x 2 －2x ＋4＝ (x －4)2，M M M 4 M 4 M M 4 M又－2≤x ≤2，所以 1≤|MF | ≤9，所以 1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．2 2 y y2 MA MB .2x 1 2 1 2 1 2 2＋1 2k2 2 M M 2 2x y 3 1 1 2 M(2)证明：设 P ，M ，N 三点的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，(x ，y)，设直线 PM ，PN 的斜率分别为 k ，k ，则直线 PM 的方程为 y －y ＝k 1 2 P 1(x －x )，＋ ＝1， 联立方程，得消去 y ，得＝k （x －x ），P1P(3＋4k )x 2－8k (k x －y )x ＋4k 2x 2 －8k x y ＋4y 2 －12＝0，由根与系数的关系可得 x ＋x ＝ M P8k （k x －y ）1 1 P P 3＋4k ，8k （k x －y ） 4k 2x －8k y －3x 所以 x ＝ －x ＝ ，M P 1 1同理可得 x ＋x＝ NP又 k k ＝－ ，1 2 48k （k x －y ）2 2 P P 3＋4k ，8k （k x －y ） 8 故 x ＋x ＝ ＝ 3＋4k－4k －4kx P －y P 6x ＋8k y ＝ ， 3 2 4k 2＋3 4k16x ＋8k y 4k x －8k y －3x 则 x ＝ －x ＝－ ＝－x， 4k 2＋3 3＋4k从而 x ＋x ＝0，NM即 M ，N 两点的横坐标之和为常数．x y 3．(2018· 潍坊模拟)已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)上动点 P 到两焦点 F ，F 的距离之a b 1 2和为 4，当点 P 运动到椭圆 C 的一个顶点时，直线 PF 恰与以原点 O 为圆心，以椭圆 C 的1离心率 e 为半径的圆相切．(1)求椭圆 C 的方程．(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A ，B ，若 PA ，PB 交直线 x ＝6 于不同的两点 M ，N . 问以线段 MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知 2a ＝4，a ＝2，若点 P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线 P F 与圆一定相交，故点 P 只能在椭圆的上、1下顶点，不妨设点 P 为上顶点(0，b )，F 为左焦点(－c ，0)，1P P M M NN P 2 2x y 4 3 y －y 2 1 1 1 P P 1 P 1 P P P2 11 1 P P 1 P 1 P P3＋4k 3＋4k 2 22 232 2 P P N P 2 233P 1 P 1 1 －3＋4 1 2P 1 P 1 P1 P PN P M 2 1 1222 2则直线 PF ：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点 O 到直线 PF 的距离等于椭圆 C 的离心率11e ，所以bc b 2＋c 2＝ ， a解得 b ＝1，故椭圆 C 的方程为 ＋y 2＝1.4(2)由题意知直线 PA ，PB 的斜率存在且都不为 0.设 k ＝k ，点 P (x ，y )，x≠±2，又 A(－2，0)，B (2，0)，x 1－ y y y1 1 x ＋2 x －2 x 2－4 x 2－4 4 4k 0 0 0 0直线 PA 的方程为 y ＝k (x ＋2)，令 x ＝6，得 y ＝8k ，故 M (6，8k )；1 1 4k k1 ，故 N 6，－ .因为 y y ＝8k ·M N－ ＝－8<0，所以以线段 MN 为直径的圆与 x 轴交于两点，设为 G ， kH ，并设 MN 与 x 轴的交点为 K ，在以线段 MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK | |HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·－ ＝8，k因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝2 2，从而以线段 MN 为直径的圆恒过两个定点 G (6－2 2，0)，H (6＋2 2，0)．x y 4．(2018· 高考全国卷Ⅲ)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： ＋ ＝1 交于 A ，B 两点，4 3线段 AB 的中点为 M (1，m )(m >0)．1(1)证明：k <－ ；2→ → → → → →(2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且F P ＋FA ＋FB ＝0.证明：|FA |，|FP |，|FB |成等 差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设 A (x ，y)，B(x ，yx y x y 4 3 4 3y －y x ＋x y ＋y 两式相减，并由 ＝k 得 ＋ k ＝0.x －x 4 3 1 2x ＋x y ＋y 3 由题设知 ＝1， ＝m ，于是 k ＝－ .①c2x PA 0 0 0 20 42 所以 k k ＝ 0 0 ＝ 0 ＝ ＝－ ，得 k ＝－ ， PA PB PB直线 PB 的方程为 y ＝－ (x －2)，令 x ＝6，得 y ＝－ k 1 1 2 21 12 2 2 2 2 2 ＋ 1 ＝1， 2 ＋ 2 ＝1. 1)，则 1 2 1 2 12 1 2 1 22 2 4m由题设得 0＜m ＜ ，故 k ＜－ .2 2(2)由题意得 F (1，0)．设 P (x ，y )，则(x －1，y 由(1)及题设得 x ＝3－(x ＋x＝－(y ＋y )＝1，y 3121 2)＋(x －1，y＝－2m ＜0.)＋(x－1，y 2)＝(0，0)．又点 P 在 C 上，所以 m ＝ ，从而 P 43 1，－，|FP |＝ .于是|FA |＝ （x－1）2＋y 2＝ 1x （x －1）2＋3 1－ 1 ＝2－ 1 2 .→ x|＝2－ .所以|FA |＋|FB |＝4－ (x ＋x)＝3.→ → → → → →|＝|FA |＋|FB |，即|FA |，|FP |，|FB |成等差数列． 设该数列的公差为 d ，则→ → 1 2|d |＝||FB |－|FA ||＝|x |＝1 2（x ＋x ）2－4x x .②将 m ＝ 代入①得 k ＝－1.4所以 l 的方程为 y ＝－x ＋ ，代入 C 的方程，并整理得 7x 2－14x ＋ ＝0.4 41 3 21x .1 2 1 2 28 28所以该数列的公差为 或－ .28 283 13 3 3 3 1 1 2 3 3 2 → 32 → 121 4 x 同理|FB2 2 → → 12 1 2 故 2|FP －x 2 1 2 1 2 1 2 37 1＝ ，代入②解得|d |＝ 故 x ＋x ＝2，x 3 21 3 21。
2020—2021年最新高考总复习数学二轮复习圆锥曲线专题强化练习题.docx
第一部分 一 15一、选择题1．(2015·四川文，7)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB|＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3[答案] D[解析] 由题意，a ＝1，b ＝3，故c ＝2， 渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝2代入渐近线方程，得y 1,2＝±23，故|AB|＝43，选D.2．设P 是椭圆x 29＋y25＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值，最大值分别为( )A ．4,8B ．2,6C ．6,8D ．8,12[答案] A[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝6，连接PA，PB，分别与两圆相交于M、N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝4；连接PA，PB并延长，分别与两圆相交于M′、N′两点，此时|PM′|＋|PN′|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分别为4、8.[方法点拨] 涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题，及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义．3．(文)(2015·唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a<0)，则抛物线的标准方程是( )A．y2＝2ax B．y2＝4axC．y2＝－2ax D．y2＝－4ax[答案] B[解析] 设抛物线方程为y2＝mx，由焦点为F(a,0)，a<0知m<0，∴m4＝a，∴m＝4a，故选B.(理)(2015·河北衡水中学一模)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，，那么抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x[答案] C[解析] 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x.[方法点拨] 求圆锥曲线标准方程时“先定型，后计算”，即先确定是何种曲线，焦点在哪个轴上，然后利用条件求a 、b 、p 的值．4．(文)(2015·南昌市一模)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2[答案] B[解析] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，由题意知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，所以b ＝3a ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，故双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2a a＝2；(2)当双曲线的焦点在y 轴上时，由题意知双曲线C ：y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，所以a ＝3b ，c ＝a 2＋b 2＝2b ，故双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2b3b＝233. 综上所述，双曲线C 的离心率为2或233.(理)(2015·东北三省三校二模)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线x a ＋yb ＝1截得的弦长为6a ，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C. 3D. 2 [答案] D[解析] 由已知得：O(0,0)到直线xa＋yb＝1的距离为：d＝aba2＋b2，由题意得：⎝⎛⎭⎪⎪⎫62a2＋d2＝r2即⎝⎛⎭⎪⎪⎫62a2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫aba2＋b22＝c2整理得：c4－52a2c2＋a4＝0，即e4－52e2＋1＝0，解得：e2＝2或e2＝12(舍)，∴e＝ 2.[方法点拨] 1.求椭圆、双曲线的离心率问题，关键是根据已知条件确定a、b、c的关系，然后将b用a、c代换，求e＝ca 的值；另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系．2．注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用．5．(文)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为( )A.23B．1C.43D.53[答案] C[解析] 由条件知，|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2， ∴|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AB|＝43.(理)(2014·河北名师名校俱乐部模拟)设抛物线x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60°，那么|PF|等于( )A ．2 3B ．4 3 C.83 D ．4[答案] C[解析] 在△APF 中，|PA|＝|PF|，|AF|sin60°＝4，∴|AF|＝833，又∠PAF ＝∠PFA ＝30°，过P 作PB ⊥AF 于B ，则|PF|＝|BF|cos30°＝12|AF|cos30°＝83. [方法点拨] 圆锥曲线的性质常与等差、等比数列、三角函数、不等式等问题联系在一起，一般先利用条件转化为单一知识点的问题求解．6．(文)从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( )A ．5 6B ．6 5C．10 2 D．5 2[答案] A[解析] 抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2.设P(m，n)，则|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入抛物线方程得n2＝24，故|n|＝26，则S△PFM＝12|PM|·|n|＝12×5×26＝5 6.(理)若双曲线x2a－y2b＝1(a>0，b>0)和椭圆x2m＋y2n＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2| ( ) A．m2－a2 B.m－ aC.12(m－a) D. m－a[答案] D[解析] 不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，故|PF1|·|PF2|＝m－a.7．(文)(2015·湖南文，6)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53[答案] D[解析] 考查双曲线的几何性质．由题设利用双曲线的渐近线方程经过的点(3，－4)，得到a 、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53，故选D.(理)(2015·重庆文，9)设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2[答案] C[解析] 考查双曲线的几何性质．由已知得右焦点F(c,0)(其中c 2＝a 2＋b 2，c>0)，A 1(－a,0)，A 2(a,0)；B(c ，－b 2a )，C(c ，b 2a )；从而A 1B ―→＝(c ＋a ，－b 2a )，A 2C →＝(c －a ，b2a )，又因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B ―→·A 2C ―→＝0，即(c－a)·(c ＋a)＋(－b 2a )·(b 2a )＝0；化简得到b 2a 2＝1⇒ba ＝±1，即双曲线的渐近线的斜率为±1；故选C.8．(2015·新课标Ⅰ理，5)已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，233 [答案] A[解析] 考查向量数量积；双曲线的标准方程．由题知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1―→·MF 2―→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33，故选A.二、填空题9．(文)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．[答案] a ≥1[解析] 显然a>0，不妨设A(a ，a)，B(－a ，a)，C(x 0，x 20)，则CB→＝(－a －x 0，a －x 20)， CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°.∴CA →·CB →＝(a －x 0，a －x 20)·(－a －x 0，a －x 20)＝0.∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，且x 20－a ≠0. ∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0. ∴x 20＝a －1，又x 20≥0.∴a ≥1.(理)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b(a<b)，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px(p>0)经过C 、F 两点，则ba＝________.[答案]2＋1[解析] 由题可得C(a 2，－a)，F(a2＋b ，b)，∵C 、F 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )，∴ab＝2＋1，故填2＋1. 10．(文)(2015·湖南理，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．[答案] 5[解析] 考查双曲线的标准方程及其性质．根据对称性，不妨设F(c,0)，短轴端点为(0，b)，从而可知点(－c,2b)在双曲线上，∴c2a2－4b2b2＝1⇒e＝ca＝ 5.(理)(2015·南昌市二模)过原点的直线l与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左右两支分别相交于A，B两点，F(－3，0)是双曲线C的左焦点，若|FA|＋|FB|＝4，FA→·FB→＝0，则双曲线C的方程是________．[答案] x22－y2＝1[解析] 由已知得：c＝3，FA⊥FB，设右焦点为F1，则四边形FAF1B为矩形，∴|AB|＝2c＝23且|FA|2＋|FB|2＝(|FA|＋|FB|)2－2|FA|·|FB|＝16－2|FA|·|FB|，|AB|2＝|FA|2＋|FB|2，∴|FA|·|FB|＝2，∴(|FA|－|FB|)2＝(|FA|＋|FB|)2－4|FA|·|FB|＝8，∴||FA|－|FB||＝22，即||AF|－|AF1||＝22，∴a＝2，∴b2＝1，∴双曲线标准方程为x22－y2＝1.三、解答题11．(文)(2015·湖南文，20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x2b 2＝1(a>b>0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC→与BD →同向． (1)求C 2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率．[分析] 考查直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质和转化思想，设而不求、整体代换思想及运算求解能力等．(1)由F 也是椭圆C 2的一个焦点及C 1与C 2的公共弦长列方程组求解；(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，根据AC →＝BD →，可得，(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果．[解析] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1 ①；又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±6，32)，∴94a 2＋6b2＝1②， 联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为 y 29＋x28＝1. (2)如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，因AC→与BD →同向，且|AC|＝|BD|， 所以AC→＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2，于是 (x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，由x 1，x 2是这个方程的两根， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4 ④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0， 而x 3，x 4是这个方程的两根，x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2 ⑤将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2. 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(理)(2015·洛阳市期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b2a 2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(2)设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m.得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2. ∵x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k2，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2. 由k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即3(m 2－4k 2)3＋4k 2＝－34·4(m 2－3)3＋4k 2，化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0.由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·48(4k 2－m 2＋3)(3＋4k 2)2＝24(1＋k 2)3＋4k2. 又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m|1＋k2，所以S △AOB ＝12·d ·|AB|＝1224(1＋k 2)3＋4k 2·|m|1＋k2 ＝1224m23＋4k2＝3·2m23＋4k2 ＝3·(3＋4k 2)3＋4k2＝3， 故△AOB 的面积为定值 3.12．(文)(2014·东北三校二模)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E.(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．[解析] (1)⊙O 的圆心M(0,2)，半径r ＝1，设动圆圆心P(x ，y)，由条件知|PM|－1等于P 到l 的距离，∴|PM|等于P 到直线y ＝－2的距离，∴P 点轨迹是以M(0,2)为焦点，y ＝－2为准线的抛物线．方程为x 2＝8y.(2)设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)将直线AB 的方程代入到x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b ，又因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b＝4所以直线BC 恒过定点(0,4)．(理)(2014·山东理，21)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA|＝|FD|.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， (ⅰ)证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意知F(p2，0)，设D(t,0)(t>0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0)．因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋p 2＝|t －p2|，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)， 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x. (2)(ⅰ)由(1)知F(1,0)．设A(x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D(x D,0)(x D >0)，因为|FA|＝|FD|，得|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D(x 0＋2,0)． 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32by 0＝0，得b ＝－2y 0，设E(x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，故直线AE 恒过点F(1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F(1,0)．所以直线AE 过定点F(1,0)． (ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过焦点F(1,0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x 0＋1)＋(1x 0＋1)＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1， 因为点A(x 0，y 0)在直线AE 上， 故m ＝x 0－1y 0.设B(x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝|4x 0＋x 0＋4＋m (y 0＋8y 0)－1|1＋m2＝4(x 0＋1)x 0＝4(x 0＋1x 0)．则△ABE 的面积S ＝12×4(x 0＋1x 0)(x 0＋1x 0＋2)≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16. [方法点拨] 定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x 、y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x 、y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．13．(文)(2014·甘肃省三诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且k OA ·k OB＝－b 2a 2，试判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．[解析] (1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，△＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0,3＋4k 2－m 2>0. x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k2.y 1·y 1＝(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2. k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，y 1y 2＝－34x 1x 2，3(m 2－4k 2)3＋4k 2＝－34·4(m 2－3)3＋4k 22m 2－4k 2＝3， |AB|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k248(4k 2－m 2＋3)(3＋4k 2)2＝24(1＋k 2)3＋4k 2. d ＝|m|1＋k2＝1－14(1＋k 2)≥1－14＝32，S＝12|AB|d＝1224(1＋k2)3＋4k2|m|1＋k2＝1224(1＋k2)m2(3＋4k2)(1＋k2)＝1224m2(3＋4k2)＝12243＋4k2·3＋4k22＝ 3.[方法点拨] 定值问题的求解策略(1)在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．(2)求解定值问题的三个步骤①由特例得出一个值，此值一般就是定值；②证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；③得出结论．(理)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：2m－k为定值．[解析] (1)因为e ＝32＝ca ，所以a ＝23c ，b ＝13c.代入a ＋b ＝3得， c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：因为B(2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0，k ≠±12)．①①代入x 24＋y 2＝1，解得P(8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1)．直线AD 的方程为：y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M(4k ＋22k －1，4k2k －1)，由D(0,1)，P(8k 2－24k 2＋1，－4k4k 2＋1)，N(x,0)三点共线知－4k 4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N(4k －22k ＋1，0)． 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．(2)方法二：设P(x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为：y ＝12(x ＋2)．直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N(－x 0y 0－1，0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12(x ＋2)，y ＝y0x 0－2(x －2).解得M(4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2)，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值)． 14．(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋t(t ≠0)与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－14，求△MON(O 为坐标原点)面积的最大值．[解析] (1)∵e ＝33，∴a 2＝3c 2＝3a 2－3b 2，∴2a 2＝3b 2将x ＝－c 代入椭圆方程得：y 2＝b 4a 2，y ＝±b 2a ，由题意：2b 2a ＝433，∴2a ＝3b 2，解得：a 2＝3，b 2＝2∴椭圆C 的方程为：x 23＋y22＝1(2)联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝kx ＋t 消去y 整理得：(3k 2＋2)x 2＋6ktx＋3t 2－6＝0 ①∴Δ＝36k 2t 2－4(3k 2＋2)·(3t 2－6)＝24(3k 2＋2－t 2)>0，∴3k 2＋2>t 2②设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个解，由韦达定理得：x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋2， y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝－6k 2t 3k 2＋2＋2t ＝4t3k 2＋2设MN 的中点为G(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 3k 2＋2，y 0＝y 1＋y 22＝2t 3k 2＋2∴线段MN 的垂直平分线方程为：y －2t 3k 2＋2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3kt 3k 2＋2 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－14代入得：14＋2t 3k 2＋2＝3t 3k 2＋2 化简得：3k 2＋2＝4t代入②式得：4t>t 2，∴0<t<4|MN|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·26·3k 2＋2－t 23k 2＋2＝1＋k 2·26·4t －t 24t＝1＋k 2·6·4t －t 22t设O 到直线MN 的距离为d ，则d ＝t 1＋k2∴S △NOM ＝12·|MN|·d ＝12·1＋k 2·6·4t －t22t·t 1＋k2＝64·4t －t 2＝64·－(t －2)2＋4≤62(当且仅当t ＝2，k ＝±2时取“＝”号)∴△MON 面积的最大值为62，此时直线l 的方程为：y ＝±2x ＋2.(理)(2015·浙江理，19)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．[分析] 考查直线与椭圆的位置关系；点到直线的距离公式；求函数的最值及运算求解能力、函数与方程的思想．(1)可设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消元化为一元二次方程，由AB的中点在已知直线上知方程有两个不同的解，由此可得到关于m的不等式，从而求解；(2)令t＝1m，可将△AOB表示为t的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而获解．[解析] (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1 m x＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b 消去y ，得(12＋1m 2)x 2－2b mx ＋b 2－1＝0，∵直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，∴Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①，将AB 中点M(2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2)代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m2，②.由①②得m ＜－63或m ＞63.(2)令t ＝1m ∈(－62，0)∪(0，62)，则|AB|＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1，设△AOB 的面积为S(t)，∴S(t)＝12|AB|·d ＝12－2(t 2－12)2＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，故△AOB 面积的最大值为22.15．(2014·福建理，19)已知双曲线E ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x.(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1、l 2于A ，B 两点(A 、B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，∴ba＝2， ∴c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C ，当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 只有一个公共点，则|OC|＝a ，|AB|＝4a ，又∵△OAB 的面积为8，∴12|OC|·|AB|＝8， 因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1，若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能是x 24－y 216＝1. 以下证明：当直线l 与x 轴不垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意得k>2或k<－2，则C(－m k，0)，记A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k.由S △OAB ＝12|OC|·|y 1－y 2|得12|－m k |·|2m 2－k －2m 2＋k|＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 24－y 216＝1得， (4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0，∵4－k 2<0∴Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)，又∵m 2＝4(k 2－4)，∴Δ＝0，即直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1. [方法点拨] 1.求曲线的轨迹方程时，先看轨迹的形状是否预知，若能依据条件确定其形状，可用定义法或待定系数法求解；若动点P 与另一动点Q 有关，Q 在已知曲线上运动，可用代入法求动点P 的轨迹方程；否则用直译法求解．2．存在性问题主要体现在以下几方面：(1)点是否存在；(2)曲线是否存在；(3)命题是否成立．解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不存在，其一般步骤为：。
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所以△PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点,线段 AB 是圆的直径,
所以点 Q 一定在△PAB 的外接圆上,即四边形 PAQB 存在外接圆.
又因为|AB|=4(k2+1),所以当 k=0 时,线段 AB 最短,最短长度为 4,
此时圆的面积最小,最小面积为 4π.
2
4.已知椭圆 G 的离心率为 2 ,其短轴两端点为 A(0,1),B(0,-1).
所以x20=2(1-y20),
所以AM·AN=-1≠0,所以∠MAN≠90°,所以以线段 MN 为直径的圆不过点 A. 方法二:因为 C,D 关于 y 轴对称,且 B 在 y 轴上, 所以∠CBA=∠DBA. 因为 N 在 x 轴上, 又 A(0,1),B(0,-1)关于 x 轴对称, 所以∠NAB=∠NBA=∠CBA, 所以 BC∥AN,所以∠NAC=180°-∠ACB, 设 C(x0,y0),且 x0≠0,则x20=2(1-y20).
且 x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以|AB|= 1 + k2|x1-x2|=4(k2+1),
x2
x
因为 C:x2=4y,即 y= 4 ,所以 y'=2.
x1
x2
因此,切线 l1 的斜率为 k1= 2 ,切线 l2 的斜率为 k2= 2 ,
x1x2
由于 k1k2= 4 =-1,所以 PA⊥PB,即△PAB 是直角三角形,
(1)求椭圆 G 的方程;
(2)若 C,D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 AC,BD 与 x 轴分别交于点 M,N.判断以 MN 为 直径的圆是否过点 A,并说明理由.
x2
解(1)由已知可设椭圆 G 的方程为a2
+
y2
1 =1(a>1).
2
a2 - 1 1
=
由 e= 2 ,可得 e2= a2 2,解得 a2=2,
方程得(3k2-1)x2+12kx+9=0.
12k
9
∴x1+x2=-3k2 - 1,x1x2=3k2 - 1.
又OM·ON=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)
5 - 3k2
=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4=3k2 - 1=-7,
1
1
即 k=±3,∴x0=±2.
3.(2019 辽宁沈阳高三教学质量监测(三))已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,M(-2,y0)是抛物线 C 上一点,且|MF|=2.
2
2 ·2c·2b,即
a=
2c,
②
又 a2-b2=c2,
③
由①②③,得 a2=2,b2=1,
x2
∴椭圆 C 的方程为 2 +y2=1.
(2)①当直线 l 的斜率不为 0 或不存在时,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,0),直线 l 的方程为 x=my+1,
{x = my + 1,
x2 + y2 = 1,
能力升级练(十九) 圆锥曲线综合问题(2)
x2
y2
+
1.(2019 广西南宁市第三中学、柳州市高级中学联考)如图,椭圆 C:a2 b2=1(a>b>0)的顶点为
A1,A2,B1,B2,左右焦点分别为 F1,F2,|A1B1|= 3,S▱A1B1A2B2 = 2S▱B1F1B2F2.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,试探究在 x 轴上是否存在定点 Q,使得QA·QB为 定值?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由.
解(1)由|A1B1|= 3,得 a2+b2=3.
①
由S▱A1B1A2B2 =
2S▱B1F1B2F2,得12·2a·2b=
由2
得(m2+2)y2+2my-1=0,
2m
{y1 + y2 = y1·y2 = ∴
-,
m2 + 2 1
-.
m2 + 2
∴QA·QB=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=(my1+1)·(my2+1)-
x0(my1+my2+2)+x20+y1y2=(m2+1)y1·y2+m(y1+y2)(1-x0)+x20-2x0+1=(m2+1)·m2
OM·ON=-7,求 x0 的值.
1
解(1)由已知得OA·OB=-3mn+mn=-2,
1
即 mn=4.
设点 P 坐标为(x,y)(y>0),由OP = OA + OB,得(x,y)=(- 3m,m)+( 3n,n)=( 3(n-m),m+n).
{x = 3(n - m),
x2
∴ y = m + n, 消去 m,n,可得 y2- 3 =1(y>0),
+
1
-
2+m·m2
2m
+ 2(1-x0)+x20-
2x0+1
(2x0 - 3)m2
= m2 + 2
-
1
+
x20-2x0+1,
2x0 -
由1
3
=
-1
5
2 ,得 x0=4,
5
7
故此时点 QBiblioteka 4,0 ,QA·QB=-16.( ) ②当直线 l 的斜率为 0 时,QA·QB =
-52-(
4
2)2=-176.
( ) y0 + 1
- x0 ,0
同理,直线 BD 的方程为 y= - x0 x-1,求得 N y0 + 1 .
( ) ( ) AM = x0 , - 1 ,AN = - x0 , - 1
1 - y0
1 + y0
,
AM·AN = - x20
所以
1 - y20+1,
x2
由 C(x0,y0)在椭圆 G: 2 +y2=1 上,
解(1)根据题意知,4=2py0,
①
p
因为|MF|=2,所以 y0+2=2.
②
联立①②解得 y0=1,p=2. 所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.
(2)四边形 PAQB 存在外接圆.
设直线 AB 方程为 y=kx+1,代入 x2=4y 中,
得 x2-4kx-4=0,
设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 Δ=16k2+16>0,
5
综上所述,在 x 轴上存在定点 Q 4,0 ,使得QA·QB为定值.
2.
1
如图,A(- 3m,m),B( 3n,n)两点分别在射线 OS,OT 上移动,且OA·OB=-2,O 为坐标原点,动点 P 满
足OP = OA + OB.
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程.
( )1
(2)设 Q x0,2 ,过 Q 作(1)中曲线 C 的两条切线,切点分别为 M,N,①求证:直线 MN 过定点;②若
x2
∴轨迹 C 的方程为 y2- 3 =1(y>0).
x
(2)由(1)知,y=
1
x2
+ 3 ,即 y'=3
x2
1 + 3.
x1
= x1
x2
= x2
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 kQM=3
1 + x21
3
k = , 3y1
3 1 + x22
QN
3
3y2
.
x1
∴lQM:y=3y1(x-x1)+y1,
因为CA·CB=(-x0,1-y0)·(-x0,-1-y0)=x20+(y20-1)=12x20>0,所以∠ACB≠90°,所以∠NAC≠90°, 所以以线段 MN 为直径的圆不过点 A.
即 lQM:x1x-3y1y+3=0.
3
∵Q 在直线 QM 上,∴x0x1-2y1+3=0,
①
3
同理可得 x0x2-2y2+3=0.
②
3
由①②可知,lMN:x0x-2y+3=0,
∴直线 MN 过定点(0,2).
2x0
3
由以上可知,设直线 MN 的方程为 y=kx+2,易知 k= 3 ,且|k|< 3 ,将直线 MN 的方程代入曲线 C 的
(1)求抛物线 C 的方程;
(2)过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点,分别过 A,B 两点作抛物线 C 的切线 l1,l2,两条切线相 交于点 P,点 P 关于直线 AB 的对称点 Q,判断四边形 PAQB 是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面 积的最小值;如果不存在,请说明理由.
x2
所以椭圆的标准方程为 2 +y2=1.
(2)方法一:设 C(x0,y0),且 x0≠0,则 D(-x0,y0).
y0 - 1
因为 A(0,1),B(0,-1),所以直线 AC 的方程为 y= x0 x+1.
( ) - x0
- x0 ,0
令 y=0,得 xM=y0 - 1,所以 M y0 - 1 .