八年级下册十字相乘法因式分解教案
十字相乘法分解因式_
(1) x 4 x 3;
2 2
(2) a 7 a 10
2 2
(3) y 7 y 12; (4)q 6q 8; (5) x x 20;
2 2
(6)m 7 mn 18n ;
2 2 2
(7)(p q) 5( p q) 36; (8)(t 1) 2(t 1) 8; 1 2 5 4 2 2 2 2 (9) x x (10)a b 37a b 36b 6 6
作业
• 1，教材P121，(1),(2),(3),(4) • 2，补充（见后）
补充、利用十字相乘法分解下列因式
(1) x 3 x 2
2
(2) x 7 x 6
2
(3) x 4 x 21
2
(4)n 7 n 60
2
(5)(m n) 2(m n) 15
2
(6) x 3 xy 10 y
2
2
思考题：
1、 k为何整数时，x kx 6 能分解成两个整系数的一次因式 的积？
2
2、 k为何整数时， x 6 x k 能分解成两个整系数的一次因式 的积？
2
对二次三项式 注 x2+px+q进行因式分解， 意 应重点掌握以下三个问题： 1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项． 2．符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p 的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的 因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分横积．
用十字相乘法分解下列因式：
2
2
－2 －4
－4x－2x=－6x
练习：分解因式 (x－y) ＋(x－y) －6 对于一般地二次三项式ax＋bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
初二数学十字相乘法分解因式学案
课题: 用“十字相乘”法分解因式。
姓名： 班级： 【学习目标】（1）理解“十字相乘”法的理论根据；（2）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。
【学习重点】:目标1.2 【学习难点】:目标2. 一．自主学习自学指导１.因式分解与整式乘法的关系： ；２．已有的因式分解方法： ； 自学检测３．把下列各式因式分解：(1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2(3)x 4-8x 2+16二.合作探究1．问题:我们能用“提取公因式法”.“公式法”分解下列式子吗？（1） 652++x x （2） 62--x x2．回忆：___________________))(=++q x p x （反之：___________________)(2=+++pq x q p x 3．因式分解：(1)256x x ++ (2)62--x x 观察以下过程：∴256(2)(3)x x x x ++=++ =--∴62x x （ ）( ) 思考：以上的二次三项式 256x x ++ ，62--x x 分解因式有什么规律？ （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。
把上述式子左右对调，你有什么发现？ （2）把x 2+3x+2分解因式分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项(+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数---------- 十字交叉线解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2)以上这种进行因式分解的方法称为十字相乘法。
4.试一试：因式分解（1）652--x x （2）256x x -+x x 12⨯（3）234x x +- （4）234x x --三..知识小结十字相乘法定义： 。
x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
14.3 因式分解——十字相乘法——型式子的因式分解教案 2022—2023学年人教版数学八年级
14.3 因式分解——十字相乘法——型式子的因式分解教案1. 教学目标•掌握使用十字相乘法进行因式分解的方法；•能够将给定的型式子进行因式分解；•培养学生观察、分析和解决问题的能力。
2. 教学重点•十字相乘法的具体步骤；•如何根据给定的型式子进行因式分解。
3. 教学难点•处理较复杂的型式子时的因式分解方法；•让学生理解并掌握十字相乘法的原理。
4. 教学准备•教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、教学课件；•学生准备：课本、练习册。
5. 教学过程步骤1：导入教师可通过举例、提问等方式，引导学生回顾已学过的因式分解的知识，如何将一个多项式进行因式分解，并复习求解乘法的方法。
步骤2：引入十字相乘法教师通过板书或教学课件展示十字相乘法的具体步骤：将一个多项式的乘积用十字形式表示，然后根据十字相乘法的步骤进行因式分解。
步骤3：示范与讲解教师以具体的例子，进行十字相乘法的讲解与示范。
例如，给出一个多项式的乘积，并指导学生筛选出可能的因式，并使用十字相乘法进行因式分解。
步骤4：学生练习教师提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习。
教师可以根据学生的实际情况，调整题目的难度和数量。
步骤5：巩固与拓展教师与学生共同讨论和总结使用十字相乘法进行因式分解的方法和技巧。
教师可提供一些拓展练习题，让学生进一步巩固所学内容。
步骤6：作业布置教师布置相关的作业，要求学生在课后完成。
作业可以包括练习册上的相关习题，以及设计一些探究性的问题，提高学生的解决问题的能力。
6. 教学反思本节课通过引入十字相乘法的方法，让学生掌握了因式分解的新技巧，并通过练习和讨论，促使学生理解和掌握了十字相乘法的原理和步骤。
通过教材上的习题和作业的设计，提高了学生的解决问题的能力和应用能力。
同时，教师在教学过程中注重与学生的互动和讨论，激发学生的学习兴趣，培养了学生的思维能力和分析问题的能力。
因式分解与十字相乘专题教案
因式分解与十字相乘法一、乘法公式平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2完全平方公式： (a+b)2= a 2+2ab+b 2 （完全平方和）(a-b)2= a 2-2ab+b 2 （完全平方差）立方差公式： a 3-b 3=(a-b)( a 2+ab+b 2)立方和公式： a 3+b 3=(a+b)( a 2-ab+b 2)完全立方公式： (a-b)3=(a-b) (a-b)2=(a-b)( a 2-2ab+b 2)=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3(a+b)3=(a+b) (a+b)2=(a+b)( a 2+2ab+b 2)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3二、因式分解的概念1因式分解的结果是积的形式，因式分解与整式的乘法互为逆变形2因式分解是恒等变形，不会改变代数式的值3.因式分解的基本方法4公因式应满足：系数是各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低次幂一般步骤：一提二套（需分解彻底）随堂练习1.若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
2.若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。
3.22)(n x m x x -=++则m =____n =____4.若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。
5.已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x6.()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x7.若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。
8.若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。
分解因式：（1）2633x x - （2）13-x（3）811824+-x x （4）24369y x -已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。
十字相乘法分解因式教案
十字相乘法分解因式教案教案标题：十字相乘法分解因式教案一、教学目标：1. 理解十字相乘法的概念和原理。
2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。
3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。
2. 学生准备：纸和笔。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。
b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。
2. 知识讲解（15分钟）a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。
b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。
c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。
3. 案例分析（15分钟）a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。
b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。
4. 练习与巩固（20分钟）a. 分发练习题，让学生独立完成。
b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。
5. 拓展与应用（10分钟）a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。
b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。
6. 总结与反思（5分钟）a. 总结本节课学到的知识点和方法。
b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。
四、教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。
五、教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。
2. 提供更多的练习题和挑战题，以提高学生的解题能力。
六、教学反思：本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节，有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。
然而，在教学过程中，可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题，需要教师及时解答和指导。
此外，为了增加学生的学习兴趣和参与度，可以设计一些趣味性的活动或游戏，使学生更主动地参与到教学中来。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
八年级数学十字相乘法教案 新人教版
十字相乘法一、十字相乘法分解因式的意义：利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。
（1）∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 如图（1）（2）又∵(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2∴a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2) 如图（2）二、十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。
这种方法的关健是把二次项的系数a可以分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2), 在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
三、例题分析：例1 把下列各式分解因式：(1)x2+2x-15 (2)x2-6x+8(1)分析：常数项(-15)＜0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
在分解时，可用下面的式子进行验算。
说明：在竖式验算后写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1 时，会出现错误的。
(2)分析：常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)。
其中只有-2与-4的和为-6。
解：x2-6x+8=(x-2)(x-4)例2 把下列式子分解因式：a2-5ab-24b2分析：把原式变形为式a2-(5b)a-24b2，即把-5b看作a的系数，把-24b2看作常数项，这样可将原式看成a的二次三项式，用十字相乘法试算。
初二数学最新教案-因式分解-十字相乘法(1) 精品
因式分解——十字相乘法（1） 08.10.13班级 姓名学习目标：1、加深体验“整式乘法与因式分解是互逆变形”的关系；2、掌握十字相乘法的特征，运用十字相乘法因式分解。
学习重点：利用十字相乘法对二次项系数为1的多项式进行分解因式；学习难点：根据多项式的一次项系数准确分解常数项。
学习过程：一．探究新知1．填空：整式乘法 因式分解（1）(x ＋2)(x ＋3)= x 2＋5x ＋6=（2）(x ＋2)(x －3)= x 2－x －6=（3）(x －2)(x ＋3)= x 2＋x －6=（4）(x －2)(x －3)= x 2－5x ＋6=（5）))((q x p x ++= pq x q p x +++)(2= 想一想：针对以上的二次三项式分解因式时我们是如何考虑的？需要满足什么条件？ 。
2．我们把上述这种因式分解方法称为十字相乘法．二．简单应用例1．把下列各式分解因式：（1）x 2－6x ＋8 （2）m 2＋15m ＋36（3）a 2－16a ＋60 （4）a 2＋5a －24（5）1522--x x （6）1242--x x回顾与反思：用十字相乘法对pq x q p x +++)(2型二次三项式分解因式时，如果常数项是正数，那么把它分解成两个因数的符号如何确定？如果是负数呢？三、拓展提高例2．把下列各式分解因式：（1）a 2b 2－9a b ＋20 （2）a 2－4a b －12b 2（3） x 4＋x 2－20 （4）(a －b)2＋7(a －b)＋10例3：把下列各式分解因式：（1）24822--x x （2）24)2(11)2(222+---x x x x（3）()()4454222+-+-x x x x （4）3)22)(2(22----x x x x四．当堂巩固：1．将下列各式因式分解（1）652--x x （2）562++m m（3） 432--x x （4）22158y xy x +-(5) 2432462y x y x x --- （6）()()102322----y x y x五．课堂小结：满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法分解因式？。
十字相乘法分解因式的教案
十字相乘法分解因式的教案教案标题：十字相乘法分解因式的教案教学目标：1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。
2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。
3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。
教学准备：1. 教学PPT或白板，以及相应的绘图工具。
2. 教学中使用的教材和习题。
3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。
4. 讲解板书的工具，如白板笔或彩色粉笔。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。
2. 提问学生：在学习因式分解中，如何应用乘法分配律？请举例说明。
讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤：1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例，并使用乘法分配律展示如何通过分解因式的方法化简多项式。
2. 讲解十字相乘法的概念：十字相乘法是一种用于分解因式的方法，通过将多项式的首项和尾项相乘，然后找到满足相乘结果的两个数，进而分解因式。
3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤：a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。
b. 找到两个数，使其乘积等于上一步得到的结果，同时使其和等于多项式中的线性项系数。
c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。
d. 化简和测试分解因式的正确与否。
示范和练习：1. 在白板上示范一个具体的例子，展示应用十字相乘法分解因式的步骤。
2. 指导学生根据示例进行练习，并及时给予反馈和指导。
巩固和扩展：1. 提供更多的练习题，让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解因式的理解和应用。
2. 提供一些挑战性的问题，扩展学生对于十字相乘法的运用。
总结：1. 总结十字相乘法分解因式的步骤和方法。
2. 强调理解和掌握十字相乘法分解因式对解决相关问题的重要性和实用性。
3. 鼓励学生在日常学习中主动应用并巩固所学的知识和技巧。
评估：1. 提供一组习题，让学生独立应用十字相乘法分解因式解答问题。
2. 评估学生对于十字相乘法的理解和运用能力。
备注：教案中的具体内容应根据教育阶段和学生实际情况进行相应调整和修改。
“十字相乘法”教学设计(优秀3篇)
“十字相乘法”教学设计(优秀3篇)“十字相乘法”教学设计篇一【教学内容】8．壹五十字相乘法（第一课时，课本P.49～P.51）【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式；2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质。
【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式。
【教学难点】把x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b，使a·b=q；a+b=p.【教学过程】一、复习导入1．口答计算结果：(1)(x+2)(x+1)(2)(x+2)(x－1)(3)(x－2)(x+1)(4)(x－2)(x－1)(5)(x+2)(x+3)(6)(x+2)(x－3)(7)(x－2)(x+3)(8)(x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢？[在多项式的乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab]二、探索新知1、观察与发现：等式的左边是两个一次二项式相乘，右边是二次三项式，这个过程将积的形式转化成和差形式，进行的是乘法计算。
反过来可得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).等式的左边是二次三项式，右边是两个一次二项式相乘，这个过程将和差的形式转化成积的形式，进行的是因式分解。
2、体会与尝试：①试一试因式分解：x2+4x+3；x2－2x－3将二次三项式x2+4x+3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3+1=4，恰好等于一次项系数，所以用十字交叉线表示：x2+4｛WWW.JIAOXUELA｝x+3=(x+3)(x+1).x+3x+13x+“十字相乘法”教学设计篇二教学目标：1.使学生经历整十、整百数乘整十数的口算乘法的过程，能比较正确熟练地进行口算。
2学会运用整十、整百数乘整十数的口算乘法解决简单的实际问题。
八年级数学十字相乘法因式分解学习教案
(1).因 式 分 解 竖直写;
否则，则继续尝试分解，直至 (2).交 叉相乘验中项; 口诀
十字相乘的和等于一次项。 (3).横 向 写 出 两因 式;
③横向写出各因第6页式/共19页。
第七页，编辑于星期日：十一点 三十分。
2
例1： 分解因式 x －6x＋8
因 式分解
二次三项式
两个一次二项式的积
将下列式子按上述方法因式分解。
(1) x2+3x+2
(2) X2+x-2
(3) x2-3x+2
(4) x2+5x+6
第3页/共19页
第四页，编辑于星期日：十一点 三十分。
即：x2 ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋
q上)述的过程可以抽象为：
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
第15页/共19页
第十六页，编辑于星期日：十一点 三十分。
思考2：
完全平方式也属于二次三
项式，十字相乘法能够对完全 平方式因式分解吗？是不是所 （有十字的相二乘次法的三使项用范式围都:部能分二用次十三项字式相。） 乘法进行因式分解呢？若果不 是若，x2请+m举x-1出2能反分例解。成两个整系数的一次
十字相乘法进行因式分解的难点:
（1）把二次项和常数项分解成两个因数的
积；
拆分二次项和常数项
（2）尝试其中的哪两个因数十字相乘的 和恰好等于一次项； 验证一次项
第9页/共19页
第十页，编辑于星期日：十一点 三十分。
2
例2 分解因式 3x －10x＋3
2
解：3x －10x＋
十字相乘因式分解教案
十字相乘因式分解教案教案标题：十字相乘因式分解教案教案目标：1. 理解十字相乘法在因式分解中的应用；2. 掌握使用十字相乘法分解二次多项式的技巧；3. 能够独立运用十字相乘法解决相关问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板/白板、彩色粉笔/马克笔、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔和橡皮擦。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师用简单的例子引入十字相乘因式分解的概念，例如：(x+3)(x+2)；2. 提问学生是否知道如何将上述式子进行因式分解。
二、讲解十字相乘法（10分钟）1. 教师介绍十字相乘法的步骤：将二次多项式的首项和末项的系数相乘，找出两个数的乘积等于中间项的系数；2. 通过示例演示如何使用十字相乘法分解二次多项式，例如：x^2+5x+6；3. 强调步骤的重要性，并提醒学生在计算过程中注意符号。
三、练习与巩固（15分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生独立进行因式分解，例如：2x^2+7x+3；2. 学生在课堂上完成练习题，并相互讨论解题方法；3. 教师巡视课堂，解答学生疑问，纠正他们的错误。
四、拓展与应用（10分钟）1. 教师提供一些拓展题，让学生运用十字相乘法解决实际问题，例如：已知一个矩形的长和宽之和为x，面积为x^2+3x+2，求矩形的长和宽；2. 学生独立解答拓展题，并将答案写在纸上；3. 教师选几位学生上台讲解解题思路，并与学生一同讨论。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师对十字相乘因式分解的方法进行总结，强调学生在课后需要多加练习；2. 学生反思本节课的学习情况，提出问题并与教师进行交流。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的作业，要求学生独立完成；2. 强调作业的重要性，并提醒学生将问题及时反馈。
教学反馈：1. 教师对学生的课堂表现进行评价，记录学生的掌握情况；2. 针对学生的问题进行解答和指导，帮助学生提高。
备注：教案中的时间安排仅供参考，实际教学中可根据具体情况进行调整。
十字相乘法进行因式分解(详案)
流教育——圆你成功梦十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为流教育——圆你成功梦负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；流教育——圆你成功梦（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性． 例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+流教育——圆你成功梦＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，则原式＝(y －3)(y －24)＋90＝(y －18)(y －9) )92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，则流教育——圆你成功梦 原式)5056(22-+=y y x )13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x )6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一流教育——圆你成功梦 个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则 12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】流教育——圆你成功梦一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．流教育——圆你成功梦 a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；流教育——圆你成功梦（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋1 10．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=（5） 原式)456(22--=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-= 15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x （4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x流教育——圆你成功梦（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x 18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得，a ＝－7．。
十字相乘法(多项式因式分解--教案)
十字相乘法教案教学目标：1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。
理解运用十字相乘法分解因式的关键。
2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。
3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。
教学设计思想：本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。
在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。
感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。
化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。
教学过程：一、复习引入1．回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。
x －１x －２解：x2－3x + 2 ＝ (x－１) (x－２)像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。
提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？答：不是，（反例：x2 +３x－2）。
提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？请同学总结：（板书）x2＋px＋q当q＝ab，p ＝a＋b时，x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b) （*）再提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。
应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
八年级下册十字相乘法因式分解教案
十字相乘法分解因式（1）一、教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解；3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
二、教学的重点、难点1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。
2、教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。
三、导学过程：（一）创设情境，导入新课：1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？2、你知道652++x x 怎样分解因式吗？（二）自主学习我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2，3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到（三）合作探索这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。
可以用交叉线来表示：十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（四）、展示交流：例1 把232x x ++分解因式。
分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(－1)( －2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。
例2 把276x x -+分解因式。
例3 把2421x x --分解因式。
x x +a +b例4 把2215x x +-分解因式。
分解因式十字相乘法教案
分解因式－－十字相乘法教学目标：学会用十字相乘法分解二次三项式教学过程：一、引入：计算：⑴()()32++x x ⑵()()61++-x x ⑶()()32+-x x ⑷()()61-+x x ⑸()()b x a x ++对于上述第⑸题若反过来写便得：()()b x a x ab x b a x ++=+++)(2，一般地：对于二次三项式q px x ++2，当b a p ab q +==,时，有()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22，运用这个公式，可以把某些二次项系数化为1的二次三项式分解因式.例1：把下列各式分解因式：（1）6x 5x 2++； （2）6x 5x 2-+； （3）6x 5x 2+-； （4）6x 5x 2--巩固练习：（1）2x 3x 2++； （2）6x 7x 2+-； （3）21x 4x 2--； （4）15x 2x 2-+例2：分解因式：（1）8624++x x （2）()()342++-+b a b a练习：⑴8224--x x ； ⑵91024+-a a ； ⑶6327261a a -+； ⑷()()20n m 8n m 2-+-+例3：把下列各式分解因式：⑴3722+-x x ； ⑵5762--x x ； ⑶22865y xy x -+练习：把下列各式分解因式：（1）162--x x ； （2）1202+--x x ； （3）22914b ab a +-小结：作业：讲义家作：讲义命题人：吕永红 审核：缪月红 班级 姓名1.()()()___________2x x ab x b a x =++-；()()()16_____52+-=--x x x x ； ()()_________1522x x x x =--；2．如果ab kx x +-2可以分解因式为()()b x a x ++，那么k 是 .3.如果多项式a x x +-32可以分解为()()b x x +-5，则a= ，b= .4.如果()()()5332--=-++x x b x b a x ，则a= ，b= .5.下列分解因式正确的是（ ） A.()()b a b a b a 55522-+=-B.()()b a b a b ab a 22322--=--C.()()b a b ab a --=---111D.()12+--=-+-b ab a a ab b a6.已知452-+mx x 能够分解因式，那么m 等于（ ） A.44± B.12± C.4± D.以上都可以7.把下列各式分解因式：⑴1032--x x ； ⑵1032-+x x ； ⑶1072+-x x ； ⑷21102---x x ；⑸222411b ab a +- ⑹()()3222222----x x x x ； ⑺435261222x a x a ax -+；⑻221811y xy x ++； ⑼423512mab b ma ma --； ⑽()()22225646a a a a ----；⑾()()8323222----y y y y ⑿2522++x x ； ⒀51362++x x⒂22523y xy x --； ⒃2234y xy x -+ ⒄61362+-x x ⒅1202+--x x ；命题人：吕永红 审核：缪月红 班级 姓名一、 填空题：1.()()()_____x ______x ab x b a x 2=++-； ()()()1x 6x _____x 5x 2+-=--； ()()_____x ____x 15x 2x 2=--； ()()()2x 3x 6_____x 2++=++； ()()____x ____x 32x 31x 2=-+； ()()()_____2x 8x _____x 2+=++；()()()_____2x 8x ____x 2-=-+； ()()()______3x 111x ____x 2-=-+.2.下列二次三项式①4x 4x 2++②9x x 2--③6x 7x 2+-④3a 2a 2--中，能用十字相乘法分解因式的有 个.3.如果ab k x x 2+-可以分解因式为()()b x a x ++，那么k 是 .4.如果多项式a x 3x 2+-可以分解为()()b x 5x +-，则a= ，b= .5.如果()()()5x 3x b 3x b a x 2--=-++，则a= ，b= .6.在多项式①10x 3x 2--②60x 4x 2--③100x 20x 2+-④40x 13x 2++中，含有相同因式的是 .二、 选择题：1.下列分解因式正确的是（ ）A.()()b 5a b 5a b 5a 22-+=-B.()()b 2a b a b 2ab 3a 22--=--C.()()b 11a 1b ab a --=--- D.()1b ab a a ab b a 2+--=-+-2.已知45mx x 2-+能够分解因式，那么m 等于（ ）A.44±B.12±C.4±D.以上都可以三、 把下列各式分解因式：1.10x 3x 2--；2.10x 3x 2-+；3.10x 7x 2+-；4.21x 10x 2---；5.22b 24ab 11a +-6.2324a 6b a 5b a +-；7.22n 16mn 6m -+；8.6bm 5m b 22--；9.22q 24pq 10p -+10.322b 6ab 4b a 2++-； 11.14a 5a 24=-； 12. ()()2b a b a 24-+-+四、 解答题：1. 已知矩形的面积为()3x 12x 7x 2>++，其中一边长为3x +，求表示该矩形的另一边长的代数式。
12.5.4 因式分解(4)公式法-十字相乘法 教学设计 2022-2023学年华东师大版数学八年级
12.5.4 因式分解（4）公式法-十字相乘法教学设计教学目标•理解因式分解的概念和作用；•掌握公式法-十字相乘法进行因式分解的方法；•能够运用公式法-十字相乘法解决相关的乘法与因式分解问题。
教学准备•教师：黑板、白板、彩色粉笔、课件；•学生：课本、笔、纸。
教学过程导入（5分钟）1.教师复习并引导学生回顾上一节所学的因式分解方法。
2.教师提出带入问题：“小华有43个苹果，她把这些苹果分成5堆，每堆苹果数相等。
请你设计一个行列式帮助小华计算每堆苹果有多少个。
”3.学生思考并回答问题。
4.教师引导学生注意到这个问题中有一个未知数，即每堆苹果的个数，与因式分解中的未知数有一定的联系。
规律探究（20分钟）1.教师出示示例1：“(x+3)(x+2)”，请学生观察并思考两对括号中数字的运算规律。
2.学生观察后发言，教师引导学生归纳总结。
3.教师解释：这里的数字分别为x和3，x为未知数，3为已知数。
我们可以用公式法-十字相乘法来解决这个问题。
4.教师出示示例2：“(x−4)(x+5)”，请学生运用公式法-十字相乘法进行计算。
5.学生跟随示例2的方式计算。
6.教师引导学生发现运算过程中有一项数字可合并，最终得到的结果与原式相同。
实例演练（25分钟）1.教师出示示例3：“(x−7)(x−3)”，请学生运用公式法-十字相乘法进行计算。
2.学生跟随示例3的方式计算。
3.学生向前展示他们的解法，并与其他同学的解法进行比较，找出异同之处。
4.教师指导学生将已学的知识进行整合，总结出公式法-十字相乘法的一般步骤。
进一步应用（25分钟）1.教师出示示例4：“(2x+3)(3x+4)”，请学生运用公式法-十字相乘法进行计算。
2.学生跟随示例4的方式计算。
3.学生向前展示他们的解法，并与其他同学的解法进行比较，找出异同之处。
4.教师引导学生思考：这种方法适用于有多项数的因式分解吗？为什么？5.学生进行讨论并得出结论。
总结归纳（15分钟）1.教师进行反思性提问，引导学生回忆所学的内容。
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十字相乘法分解因式（1）
一、教学目标：
1、进一步理解因式分解的定义；
2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解；
3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
二、教学的重点、难点
1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。
2、教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。
三、导学过程：
（一）创设情境，导入新课：
1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？
2、你知道652++x x 怎样分解因式吗？
（二）自主学习
我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2，3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到
（三）合作探索
这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即
()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。
可以用交叉线来表示：
十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相
乘法。
（四）、展示交流：
例1 把232x x ++分解因式。
分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的
两个因数必是同号，而2=1×2=(－1)( －2)，要
使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。
例2 把276x x -+分解因式。
例3 把2421x x --分解因式。
x x +a +b
例4 把2215x x +-分解因式。
（后三个例题鼓励学生独立完成）
（五）点拨升华
通过例1︿4可以看出，怎样对2x px q ++分解因式？
如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。
如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p 。
（六）拓展提高
例5 把下列各式分解因式：
(1) 4268x x ++ (2) ()()2
43a b a b +-++ （3）2232x xy y -+ （4）864+-x x
四、当堂检测：
1、把下列各式用十字相乘法因式分解：
（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x （4）432-+x x （5）432--x x
2、把下列各式因式分解：
（1）652+-x x （2）652--x x （3）652-+x x （4）652++x x
3、把下列各式因式分解：
（1）1272+-x x （2）1242--x x （3）1282+-x x （4）1282++x x
2、（1）若多项式m x x +-82可分解为)6)(2(--x x ，则m 的值为 .
（2）若多项式122--kx x 可分解为)6)(2(+-x x ，则k 的值为 .
选作：若多项式m x x +-22可分解为))(3(n x x -+，求m 、n 的值.
十字相乘法分解因式（2）
一、教学目标：
1、进一步理解因式分解的定义；
2、会用十字相乘法进行二次三项式，2ax bx c ++的因式分解；
3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
二、教学的重点、难点
教学重点、难点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式2ax bx c ++的因式分解。
三、导学过程：
（一）创设情境，导入新课：
1、分解因式
（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x （4）432-+x x （5）432--x x
2、分解因式 231110x x ++
（二）自主学习
()()223531110x x x x ++=++。
反过来就得到： ()()231110235x x x x ++=++。
想一想231110x x ++怎样因式分解的，有什么规律？
总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成 1 2
3 5 后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。
（三）合作探索
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解？
我们知道，
()()
()1122212122112212122112
a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++
反过来，就得到
()()()212122112
1122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
（四）点拨升华
二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：
1a 1c
2a 2c
这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，
2a ，2c 位于下一行。
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
四、当堂检测：
1、把下列各式分解因式：
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --
2、把下列各式分解因式：
（1）3522--x x （2）31032+-a a （3）3832-+b b （4）3842++m m
3、把下列各式分解因式：
（1）121752--b b (2) 2252310a b ab +- (3) 222231710a b abxy x y -+
(4) 22712x xy y -+ (5) 42718x x +- (6) 22483m mn n ++
(7) 1023522-+mn n m （8）53251520x x y xy -- (9) 9102244+-n m n m。