八年级下册十字相乘法因式分解教案

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14.3 因式分解——十字相乘法——型式子的因式分解教案 2022—2023学年人教版数学八年级

14.3 因式分解——十字相乘法——型式子的因式分解教案

1. 教学目标

•掌握使用十字相乘法进行因式分解的方法；

•能够将给定的型式子进行因式分解；

•培养学生观察、分析和解决问题的能力。

2. 教学重点

•十字相乘法的具体步骤；

•如何根据给定的型式子进行因式分解。

3. 教学难点

•处理较复杂的型式子时的因式分解方法；

•让学生理解并掌握十字相乘法的原理。

4. 教学准备

•教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、教学课件；

•学生准备：课本、练习册。

5. 教学过程

步骤1：导入

教师可通过举例、提问等方式，引导学生回顾已学过的因式分解的知识，如何将一个多项式进行因式分解，并复习求解乘法的方法。

步骤2：引入十字相乘法

教师通过板书或教学课件展示十字相乘法的具体步骤：

将一个多项式的乘积用十字形式表示，然后根据十字相乘法的步骤进行因式分解。

步骤3：示范与讲解

教师以具体的例子，进行十字相乘法的讲解与示范。例如，给出一个多项式的乘积，并指导学生筛选出可能的因式，并使用十字相乘法进行因式分解。

步骤4：学生练习

教师提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习。教师可以根据学生的实际情况，调整题目的难度和数量。

步骤5：巩固与拓展

教师与学生共同讨论和总结使用十字相乘法进行因式分解的方法和技巧。教师可提供一些拓展练习题，让学生进一步巩固所学内容。

步骤6：作业布置

教师布置相关的作业，要求学生在课后完成。作业可以包括练习册上的相关习题，以及设计一些探究性的问题，提高学生的解决问题的能力。

6. 教学反思

本节课通过引入十字相乘法的方法，让学生掌握了因式分解的新技巧，并通过练习和讨论，促使学生理解和掌握了十字相乘法的原理和步骤。通过教材上的习题和作业的设计，提高了学生的解决问题的能力和应用能力。同时，教师在教学过程中注重与学生的互动和讨论，激发学生的学习兴趣，培养了学生的思维能力和分析问题的能力。

十字相乘法分解因式教案

教案标题：十字相乘法分解因式教案

一、教学目标：

1. 理解十字相乘法的概念和原理。

2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。

3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。

二、教学准备：

1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。

2. 学生准备：纸和笔。

三、教学过程：

1. 导入（5分钟）

a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。

b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。

2. 知识讲解（15分钟）

a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。

b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。

c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。

3. 案例分析（15分钟）

a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。

b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。

4. 练习与巩固（20分钟）

a. 分发练习题，让学生独立完成。

b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。

5. 拓展与应用（10分钟）

a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。

b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。

6. 总结与反思（5分钟）

a. 总结本节课学到的知识点和方法。

b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。

四、教学评价：

1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。

2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。

五、教学延伸：

1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。

因式分解之十字相乘法教案

十字相乘法教学设计教师王洪学生姓名上课日期

学科数学年级教材版本

类型知识讲解□：考题讲解□:本人课时统计第（ 1 ）课时共（ 1 ）课时

学案主题复习

课时数量

（全程或具体时间）

第（ 1 ）课时授课时段

教学目标

教学内容

复习十字相乘法个性化学习问题解决十字相乘法的应用

教学重点、

难点

如何进行系数的分解

考点分析

十字相乘法主要是在解题过程中的一个重要的方法

教学过程

学生活动

教师活

动分解因式之十字相乘法

我们知道()()2

2356

x x x x

++=++，反过来，就得到二次三项式256

x x

++的因式

分解形式，即()()

25623

x x x x

++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且

这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()

x a x b x a b x ab

++=+++，反过来，就得到()()()

x a b x ab x a x b

+++=++

这就是说，对于二次三项式2x px q

++，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的

积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即

()()()

x px q x a b x ab x a x b

++=+++=++。运用这个公式，可以把某些二次项系数

为1的二次三项式分解因式。

例1 把232

x x

++分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，

要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。

解：因为2=1×2，并且1+2=3，所以()()

十字相乘法分解因式的教案

十字相乘法分解因式的教案教案标题：十字相乘法分解因式的教案

教学目标：

1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。

2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。

3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。

教学准备：

1. 教学PPT或白板，以及相应的绘图工具。

2. 教学中使用的教材和习题。

3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。

4. 讲解板书的工具，如白板笔或彩色粉笔。

教学步骤：

引入活动：

1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。

2. 提问学生：在学习因式分解中，如何应用乘法分配律？请举例说明。

讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤：

1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例，并使用乘法分配律展示如

何通过分解因式的方法化简多项式。

2. 讲解十字相乘法的概念：十字相乘法是一种用于分解因式的方法，通过将多项式的首项和尾项相乘，然后找到满足相乘结果的两个数，

进而分解因式。

3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤：

a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。

b. 找到两个数，使其乘积等于上一步得到的结果，同时使其和等

于多项式中的线性项系数。

c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。

d. 化简和测试分解因式的正确与否。

示范和练习：

1. 在白板上示范一个具体的例子，展示应用十字相乘法分解因式的

步骤。

2. 指导学生根据示例进行练习，并及时给予反馈和指导。

巩固和扩展：

1. 提供更多的练习题，让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解

因式的理解和应用。

2. 提供一些挑战性的问题，扩展学生对于十字相乘法的运用。

八年级下册十字相乘法因式分解教案

十字相乘法分解因式（1）

一、教学目标：

1、进一步理解因式分解的定义；

2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解;

3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力.

二、教学的重点、难点

1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2)的因式分解。

2、教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ,使p ab =，q b a =+。

三、导学过程:

（一）创设情境，导入新课:

1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些?

2、你知道652++x x 怎样分解因式吗？

（二）自主学习

我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2，3两个因数的积,而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到

(三）合作探索

这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即

()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。可以用交叉线来表示：

十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

(四）、展示交流：

同课异构《因式分解》十字相乘法》教案 (省一等奖)

因式分解十字相乘法

◆教学目标◆

◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；

◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.

◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.

◆教学重点与难点◆

◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式

◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式

◆教学过程◆

自主学习

一. 创设情境

1．口答计算结果：

〔1〕 (x＋2)(x＋1) 〔2〕 (x＋2)(x－1) 〔3〕(x－2)(x＋1) 〔4〕 (x－2)(x－1)〔5〕(x＋2)(x＋3) 〔6〕 (x＋2)(x－3)

〔7〕 (x－2)(x＋3) 〔8〕 (x－2)(x－3)

2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?

归纳： .

二．探索尝试

根据上面的公式试将以下多项式写成两个一次因式相乘的形式：

x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；

x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)

三．例题举例

根底题〔1〕x2＋7x＋6 〔2〕x2－5x－6 〔3〕x2－5x＋6

四.练习：

〔1〕x2－7x＋6 〔2〕a2－4a－21

〔3〕t2－2t－8 〔4〕m2＋4m－12

八年级下册初二数学《因式分解》教案

因式分解

【知识梳理】

● 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积例：111

()333

ax bx x a b +=

+ 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 (1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘； (3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解：

因式分解的方法 ● 提公因式法：

定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

---------⎧⎪

⎨⎪⎩

系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂(指数)

【例题】333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是．

【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约

数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232

a b c ．

小结提公因式的步骤：

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

十字相乘法(多项式因式分解--教案)

十字相乘法教案

教学目标：

1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。理解运用十字相乘法分解因式的关键。

2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。

3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。教学设计思想：

本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。

在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。

教学过程：

一、复习引入

1．回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤

例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。

x －１

x －２

解：

x2－3x + 2 ＝ (x－１) (x－２)

像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。

提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？

答：不是，（反例：x2 +３x－2）。

提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？

请同学总结：（板书）x2＋px＋q

因式分解法之十字相乘法教案

第7课时

§2.4.1 因式分解法——十字相乘法

教学目标

1、会对多项式运用十字相乘法进行分解因式；

2、能运用十字相乘法求解一元二次方程。

教学重点和难点

重点：运用十字相乘法求解一元二次方程

难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。

二、师生共同研究形成概念

1、复习分解因式

分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式

一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。 3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。

二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？

特点：1）二次项系数是1；

2）常数项是两个数之积；

3）一次项系数是常数项的两个因数之和。

2、十字相乘法

步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；

（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；

（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。

关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数

二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式

3、讲解例题

例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102

+-a a ；

5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。

八年级因式分解：十字相乘法

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x x p q px ＋

qx=(p ＋q)x x 2 pq a 1x

a 2x

c 1 c 2 a 1c 2+a 2c 1=b c 1c 2=c

a 1a 2=a 八年级因式分解完全导学案：十字相乘法

“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：

十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

有()()()b x a x ab x b a x ++=+++2

注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到

符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项

x 2＋(p ＋q)x ＋pq=(x+p)(x+q)

对于一般的二次三项式ax 2+bx+c (a ≠0)此法依然好用。ax 2＋bx ＋c=(a 1x+c 1)(a 2x+c 2)

例1把m ²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当

-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2

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1 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）

例2把5x²+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

八年级数学十字相乘法因式分解学习教案

第15页/共19页
第十六页，编辑于星期日：十一点三十分。
思考2：
完全平方式也属于二次三
项式，十字相乘法能够对完全平方式因式分解吗？是不是所（有十字的相二乘次法的三使项用范式围都:部能分二用次十三项字式相。）乘法进行因式分解呢？若果不是若，x2请+m举x-1出2能反分例解。成两个整系数的一次
②十字相乘后，若十字相乘的和等于一次项，说明分解成功，
(1).因式分解竖直写;
否则，则继续尝试分解，直至 (2).交叉相乘验中项; 口诀
十字相乘的和等于一次项。 (3).横向写出两因式;
③横向写出各因第6页式/共19页。
第七页，编辑于星期日：十一点三十分。
2
例1：分解因式 x －6x＋8
八年级数学十字相乘法因式分解
会计学
1
第一页，编辑于星期日：十一点三十分。
观察和思考
（1）x2+3x+2是几次几项式？二次项系数、
一次项系数、常数项分别是多少？
（2）它有公因式吗？能用平方差公式，完全平方公式分解因式吗?
（3）它该如何分解？
第1页/共19页
第二页，编辑于星期日：十一点三十分。
整式乘法中，有
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字交叉线帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。

十字相乘因式分解教案

教案标题：十字相乘因式分解教案

教案目标：

1. 理解十字相乘法在因式分解中的应用；

2. 掌握使用十字相乘法分解二次多项式的技巧；

3. 能够独立运用十字相乘法解决相关问题。

教学准备：

1. 教师准备：黑板/白板、彩色粉笔/马克笔、教学PPT；

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔和橡皮擦。

教学过程：

一、导入（5分钟）

1. 教师用简单的例子引入十字相乘因式分解的概念，例如：(x+3)(x+2)；

2. 提问学生是否知道如何将上述式子进行因式分解。

二、讲解十字相乘法（10分钟）

1. 教师介绍十字相乘法的步骤：将二次多项式的首项和末项的系数相乘，找出两个数的乘积等于中间项的系数；

2. 通过示例演示如何使用十字相乘法分解二次多项式，例如：x^2+5x+6；

3. 强调步骤的重要性，并提醒学生在计算过程中注意符号。

三、练习与巩固（15分钟）

1. 教师提供一些练习题，让学生独立进行因式分解，例如：2x^2+7x+3；

2. 学生在课堂上完成练习题，并相互讨论解题方法；

3. 教师巡视课堂，解答学生疑问，纠正他们的错误。

四、拓展与应用（10分钟）

1. 教师提供一些拓展题，让学生运用十字相乘法解决实际问题，例如：已知一个矩形的长和宽之和为x，面积为x^2+3x+2，求矩形的长和宽；

2. 学生独立解答拓展题，并将答案写在纸上；

3. 教师选几位学生上台讲解解题思路，并与学生一同讨论。

五、总结与反思（5分钟）

1. 教师对十字相乘因式分解的方法进行总结，强调学生在课后需要多加练习；

2. 学生反思本节课的学习情况，提出问题并与教师进行交流。

十字相乘法进行因式分解(详案)

流教育——圆你成功梦

十字相乘法进行因式分解

【基础知识精讲】

（1）理解二次三项式的意义；

（2）理解十字相乘法的根据；

（3）能用十字相乘法分解二次三项式；

（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．

【重点难点解析】

1．二次三项式

多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．

在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．

2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2

，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为

八年级下册十字相乘法因式分解教案

14.3 因式分解——十字相乘法——型式子的因式分解教案 2022—2023学年人教版数学八年级

十字相乘法分解因式教案

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