河南省商丘市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学理试题 含答案 精品

2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）
命题人： 审题人：
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150
分．
第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡
上．
２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦干
净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,|，则集合B 的子集个数为（ ）
A .3
B .4
C . 7
D .8
2．若322
->m x 是41<<-x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）
A .[]3,3-
B .(][)+∞-∞-,33,
C . (][)+∞-∞-,11,
D .[]1,1-
3．命题“[)+∞-∈∀,2x ，13≥+x ”的否定为( )
A .[),,20+∞-∈∃x 130<+x
B .[),,20+∞-∈∃x 130≥+x
C .[)+∞-∈∀,2x ，13<+x
D .()2,-∞-∈∀x ，13≥+x
4．已知函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11-=f ，则满足
()121≤-≤-x f 的x 的取值范围是( ）
A .[]2,2-
B .[]1,1-
C .[]4,0
D .[]3,1
5．已知函数()x
x f 5=，()x ax x g -=2
，若()[]11=g f ，则=a ( )
A .1
B .2
C .3
D .1-
6．已知函数()⎩
⎨⎧>+≤+-=2,log 3,
2,6x x x x x f a ，()1,0≠>a a 且的值域是[)+∞,4，则实数a 的取值
范围是( )
A .[]1,1-
B .(]2,1
C .[]4,0
D .[]3,1
7．已知函数()a
x f x x -+=21
2 是奇函数，则使()3>x f 成立x 的取值范围是 ( )
A .()1,-∞-
B .()0,1-
C . ()1,0
D .()+∞,1
8．若0>>b a ，10<<c ，则 ( )
A .c c b a log log <
B .b a c c log log <
C .c c b a <
D .a b c c >
9．已知函数()12
-=-m
x x f 为偶函数，记()3log 5.0f a = ，()5log 2f b = ，()m f c 2=，
则c b a ,,的大小关系为 ( )
A .c b a <<
B .b c a <<
C . b a c <<
D .a c b <<
10．已知函数()342
1312
3-+-=x mx x x f 在区间[]2,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）
A .[]5,4
B .[]4,2
C . (][)+∞-∞-,11,
D .(]4,∞-
11．已知函数()|1|23,0,21,0
x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程()[]()()012
=--+a x f a x f 有7
个不等实根，则实数a 的取值范围是( )
A .()1,2-
B .[]4,2
C . ()1,2--
D .(]4,∞-
12. 已知函数()a x x f ++-=13
，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈e e
x ,1 与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的
点，则实数a 的取值范围是( )
A .[]
4,03-e B .⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+21,03e C . ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+4,2133e e
D .[)
+∞-,43e
第II 卷（非选择题，共90分）
注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；
2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知函数()()2
'11f x f x x =++，则
()=⎰1
dx x f .
14．函数()()x x f cos sin lg =的定义域为_______________． 15．若(
)
02
222
222≥++---x x x
x a 在区间[]2,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 ______．
16．设()'f x 是奇函数()x f 的导函数，()02=-f ，当0>x 时，()()'0xf x f x ->，则使
()0>x f 成立的x 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)
在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且ab c b a 32
2
2
+=+.
（1）求角C 的值；
（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1=c ,求b a -3的取值范围. 18．(本小题满分12分)
从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布
如下表：
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；
（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；
（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ；其中μ
近似为样本平均值x ，2
σ近似为样本方差2
S ，经计算得2
22.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 19.(本小题满分12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB AC =，1AA AB =，
1
60=∠BAA （1）证明：C A AB 1⊥；
（2）若平面⊥ABC 平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值．
20. (本小题满分12分)
已知三点()1,2-A ，()1,2B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足
||()2M A M B O M O A O B
+=++． （1） 求C 的方程；
（2） 动点()00,y x Q ()220<<-x 在曲线C 上，l 是曲线C 在Q 处的切线．问：是否存在
定点()t P ,0()0<t 使得l 与PB PA ,都相交，交点分别为E D ,，且ABQ ∆与PDE ∆的面积之比为常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题满分12分）
已知函数()x x f ln =，()x
e x g =．
（1）求函数()x x f y -=的单调区间；
（2）求证：函数()x f y =和()x g y =在公共定义域内， ()()2>-x f x g 恒成立； （3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足
()()a x x f x x f ==2
211，求证：1221>e x x ．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.
22.(本小题满分10分)
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

已知点A 的极坐标为⎪⎭
⎫
⎝
⎛4,
2π，直线L 的极坐标方程为a =⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
4cos πθρ，且点A 在直线L 上． （1）求a 的值及直线L 的直角坐标方程；
（2）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=α
α
sin cos 1y x （α为参数），试判断直线L 与圆C 的位置关系．
23. (本小题满分10分)
已知函数()12-+-=x a x x f ，R a ∈.
（1）若不等式()2|1|f x x ≤--有解，求实数a 的取值范围； （2）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值． （2）当2<a 时，函数()x f 的最小值为3，求实数a 的值.
高二年级数学答案及评分标准（理数）
1--12CDCA ABCB DDAD
13、
67 14、Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,22,22ππππ 15、⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-,1217 16、()()+∞-,20,2 17. 解:(Ⅰ)
,即
,
,
为三角形内角,
; -------6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,即,又为锐角三角形,
,解得:,
,,
由正弦定理得:,即,,
,,
,则. ---------12分
18. 解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.。

4分
（2）样本平均数
.。

8分
（3）依题意.
而，，则.
.
.
.即为所求. --------8分
19.（Ⅰ）取的中点，连接。

因为，所以。

由于，，故为等边三角形，所以。

因为，所以平面，又平面，故-------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知。

又平面平面，交线为，所以平面，故两两互相垂直。

以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题设知，
则，
设是平面的法向量，则，即。

可取，故，所以与平面所成角的正弦值为---------12分20.（1）依题意可得，
，
由已知得，化简得曲线C的方程： -----4分
（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为:,它与y轴的交点为，由于，因此
①当时，，存在，使得，即l与直线
平行，故当时与题意不符
②当时，，所以l 与直线一定相交，分别联立方程组，
解得的横坐标分别是
则，又，
有，
又于是
对任意，要使与的面积之比是常数，只需t满足
，
解得，此时与的面积之比为2，故存在，使与的面积之比是常数2。

--------12分
21.解:(1)函数的定义域为,,
故当时,,当时,,
故函数的单调增区间为,单调减区间为;-------4分
(2)证明:函数和的公共定义域为,
,
设,则在上单调递增,故;
设,当时有极大值点,
;故;
故函数和在公共定义域内,. ---------8分(3)证明:不妨设,由题意得,
,;所以;
而要证,只需证明;
即证明;即证明;
即证明,;令,则;
即证明;设;则
,故函数在区间上是增函数,
所以,即;所以不等式成立.----------12分
22.（1）由点在直线上，可得，所以直线的方程可化为，从而直线的直角坐标方程为--------5分（2）根据圆的参数方程可以得到对应的直角坐标方程为，所以圆心为，
半径，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交---------10分23.（Ⅰ）由题，即为．
而由绝对值的几何意义知，
由不等式有解，∴，即．
实数的取值范围．--- 5分
（Ⅱ）函数的零点为和，当时知
------- 7分
如图可知在单调递减，在单调递增，
，得（合题意），即．----10分。