第0章-弹性力学、变分原理与有限元法2014

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弹性力学的变分原理

弹性力学的变分原理
ui 虚位移,位移的变分
则:uik
ui
ui
k ij
ij
ij
且:ij
1 2
(
ui
,
j
u j,i )
(V )
ui 0
(su )
由广义虚功原理:
fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
V
S
虚位移是任意的,可得
ij, j fi 0 V内
ij n j fi 0 S 上
8、虚应力原理-发生虚应力
由广义虚功原理:
fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
设:uik 真实位移
s ij
ij
ij
真实应力 虚应力
则: ij, j 0(V ) ijnj 0(s ) 另:在su上: ijnj ti
容许位移和应变不一定是真实的位移和应 变。但反之,真实的位移和应变必然是容许 的。
3、容许应力
比较
与容许应力对应的应变与位移不一定满足协 调方程和位移边界条件,不保证物体内部存 在单值连续的位移场,但真实应力对应于单 值连续的位移场。 容许应力不一定是真实的应力。但反之,真 实的应力必然是容许的。

有限元法

有限元法

有限元法

有限元法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法,它比传统解法具有理论完整可靠,物理意义直观明确,解题效能强等优点,特别是由于这种方法适应性强,形式单纯、规范,所以近年来在电子计算机的配合下,已推广应用到很多工程技术部门和某些科学领域。

本章是从应用的角度来介绍有限元法的基本知识,首先通过典型的位移法阐述有限元法的一般原理与解算过程,然后叙述了剖分单元的技巧,最后介绍与有限元法有关的弹性力学问题。

常用符号规定如下(括号内为力学术语或释例):

Ω,表示区域及其边界。

表示区域Ω的单元及其边界。

表示单元的第i个顶点,简记作节点i。

表示系数(刚度)矩阵。

()

表示单元的系数(刚度)矩阵。

(x,y,z)表示总体的直角坐标。

()表示单元的局部坐标。

(,,),(,,,)等表示单元的自然坐标。

(x,y ,)表示节点i的直角坐标。

(u,v,w)表示一组待定函数(分别为沿x,y,z方向的位移分量),其列矢量表示为u。

1

(u,v,w)表示(u,v,w

)在单元上的插值函数,其列矢量表示为

u。

(u,v,w)表示节点i的函数(位移)值。

{u,v,w}表示节点i的一组参数值,即函数直到某阶导数在节点i上的值按一定次序排成的列矢量{u}。例如

{u}= {u,v,w}

=(u,u,u,u,v,v,v,v,w,w,

w,w)式中τ表示转置。

{u,v,w}表示{u,v,w}按单元的节点序号排成的列矢量,表示为{u}。

等表示单元的型函数。

{R}表示n次多项式中含变量x,y,z各项按一定次序排成的列矢量,并以表示其中第k个分量。例如二元二次多项式

变分法与有限元—教学大纲

变分法与有限元—教学大纲

变分法与有限元—教学大纲

课程名称:变分法与有限元课程编号:08100200

英文名称:V ariational Principles and Finite Element Method

学时:56学时学分:3.5学分

开课学期:第六学期

适用专业:工程力学

课程类别:理论课

课程性质:专业方向限选课

先修课程:高等数学、材料力学、弹性力学、数值分析

教材:暂无,拟自编

一、课程的性质及任务

变分法与有限元为力学专业课,在工程问题数值分析与设计方面具有重要地位。通过本课程的学习,要求学生掌握基本的变分原理及其相关分析方法、有限元法的基本理论、常用单元的构造方法与应用、有限元分析的基本过程等,培养学生工程问题数值分析能力。

二、课程内容及学习方法

1、变分原理

变分原理的基本概念;位移变分原理(包括虚位移原理、最小势能原理)、应力变分原理(包括虚应力原理、最小余能原理)、广义变分原理(三类变量的广义变分原理和二类变量的广义变分原理)的基本理论;Ritz法和Galerkin法基本思路和应用。

2、平面问题有限元法

有限元法的基本概念;平面问题三角形单元、矩形双线性单元,有限元求解的整体过程;轴对称问题三角形单元。平面问题等参数单元法(平面8节点等参元、4节点等参元和12节点等参元简介)。

3、空间问题有限元法

空间杆系结构有限元法;空间问题的等参数单元(空间8节点和12节点等参元)。

4、工程问题的有限元分析方法

工程结构有限元模型的建立,有限元建模过程常见问题的处理方法,以及有限元分析结果的整理。

三、课程的教学要求

(1)、能基本掌握变分原理和有限元的概念与应用方法。

弹性力学-2014-26

弹性力学-2014-26
弹性力学
(第26讲)
武汉理工大学工程结构与力学系
翟鹏程
pczhai@126.com pczhai@whut.edu.cn
1
形变势能
应变能密度 U1 1 ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy ) 2 1 2 x2 y z2 2 x y y z z x 2E
对于平面应力问题:
E (1 2 ) E , 2 (1 ) 1
2 2 2 E u v 1 v u u v U 2 dxdy 2 2(1 ) x y x y 2 x y
得到:
xy y zy x yx zx x y z X u x y z Y v xz yz z x y z Z w dxdydz 0
者要求同时满足应力、位移边界条件,而后者只要求满足位移边
界条件。
15
二、位移变分法应用于平面问题
16
形变势能表达式
对于平面应变问题:
w 0,

u u ( x, y ), v v ( x, y ),
2 2 2 2 u v u v v u E U dxdy 2(1 ) 1 2 x y x y x y

弹性力学的变分法

弹性力学的变分法

取得Π 极小的状态是真实状态,虚位移原理为:
∫∫∫ − σ ij (ui )δε ij (ui )dV + ∫∫∫ X iδui dV + ∫∫ X Viδui dΣ = 0
Ω
Ω
Σ
δU (ur ) = δ ∫∫∫ W (ur )dV Ω
=
∫∫∫ Ω
∂W ∂ε ij
δε
ij
(ur )dV
= ∫∫∫ σ ij (ur )δε ij (ur )dV
=0
Ω
Σ
§8.3 虚应力原理、总余能最小原理4
将V*理解为外力场的余能
∫∫ 定义:总余能
V
*= Π*
δX Vi ui dΣ
Σ
=U* +V*
−V V:外力场的势能
( ) 虚应力原理可写作:δU * + δV * = δ U * + V * = δΠ * = 0
最小余能原理
δΠ∗=0是Π∗取得驻值的条件,可以证明, δ2Π*>0 总余能最小原理:
第八章 能量原理及其应用
变分法:
求泛函极值问题,来取代直接求解微分方程 这些泛函具有明确的物理意义——能量 变分法更适合于数值计算
参考书目
胡海昌,弹性力学的变分原理及其应用,科学出版社,1981 钱伟长,广义变分原理,知识出版社,1985 胡海昌,胡闰莓,变分学,建筑工业出版社,1987 钱伟长, 变分法与有限元,科学出版社,1980 鹫津一郎,弹性与塑性力学中的变分法,1982

弹性力学与有限元法1

弹性力学与有限元法1

材料力学 杆状构件
梁、柱等杆件在拉、压、弯、扭、剪状态下的应力和位移
理论力学 刚体
刚体的静、动力学(约束力、速度、加速度)分析
结构力学 杆系结构 塑性力学 弹塑性体
桁架、刚架等杆系结构的约束力、内力与位移的计算 结构的弹塑性分析
什么是有限元分析?
▪ 有限元分析是一种模拟在确定的荷载条件下的设计 响应的方法。
y
yx xxzy
a
yz P x zy
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A P A d x ,P B z d y ,P C d zy
x
同样,可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yzzy,zxxz,xyyx
第一章 绪论
应力张量
是对称的二阶张量
y
x x
xy y
xz yz
假想将物体截开,则截面两边有互相作用的力,称为内力。
F2

F1 — Ⅱ部分物体对Ⅰ部分物体的作用力
F1 Ⅰ
F2 — Ⅰ部分物体对Ⅱ部分物体的作用力 F1 和F2 大小相等,方向相反。
截面单位面积上的内力称为应力。
第一章 绪论
❖ 应力及应力张量(续)
t 称为作用在 P 点处以 n 为外法线的
z
Bn
Q
• 静力分析
– 用于静态荷载

有限元法基本原理及应用第1章重庆大学龙雪峰

有限元法基本原理及应用第1章重庆大学龙雪峰

1.2 有限元法的特点
5.对于各种物理问题具有广泛的应用性。 由于用单元内近似函数分片地表示全求解域的未知 场函数,并未限制场函数所满足的方程形式,也未限制 各个单元所对应的方程必须是相同的形式,所以尽管有 限元法开始是对线弹性的问题提出的,很快就发展到弹 塑性问题、粘弹塑性问题、动力问题、屈服问题等,并 进一步应用于流体力学问题、热传导问题等,而且可以 利用有限元法对不同物理现象耦合的问题进行有效的分 析。
1.3 有限元法的发展及其应用领域
2.有限元法的发展和完善 60年代末至70年代初,人们加强了对有限元 分析( FEA : Finite Element Analysis)数学基础的 研究,如大型线性方程组和特征值问题的数值方 法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等,于 是出现了大型通用有限元程序,它们以功能强、 用户使用方便、计算结果可靠和效率高而逐渐形 成新的技术商品,成为结构工程强有力的分析工 具。
1.3 有限元法的发展及其应用领域
3.有限元法的研究现状 随着研究的深入和各项技术的发展,非线性有限元技 术在固体力学领域中应用逐渐成熟,同时在其他领域,比 如压电分析、电磁场分析方面也取得了长足的进展。另一 方面,随着计算机技术的发展和软件工程的兴起,大型商 用有限元软件在更好的人机界面、更强的分析功能、更直 观结果的显示方面取得了长足的进步,给工程设计带来巨 大的变革,从而极大地提高了有限元解决实际工程问题的 效率。

弹性力学及有限元(1)

弹性力学及有限元(1)
另一种数学方法是数值方法。特别是广泛应用计算 机以后,数值方法对大量的弹性力学问题十分有效。 在数值方法中,常见的有差分法及边界元法等。目 前已广泛应用于弹性力学的各类问题的计算中。
实验方法 利用机电方法、光学方法、声学方法等来测定结 构部件在外力作用下应力和应变的分布规律,如 光弹性法、云纹法等。
弹性力学的发展初期主要是通过实践,尤其是通过实验 来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略 特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力 成正比的定律,后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立 了力学三定律。
同时,数学的发展,使得建立弹性力学数学理论的条件 已大体具备,从而推动弹性力学进入第二个时期。在这 个阶段除实验外,人们还用最粗糙的、不完备的理论来 处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指 出有或多或少的缺点,有些甚至是完全错误的。
弹性力学及有限元
上海交通大学土木工程系 吴刚
本课程的地位和作用
弹性力学作为一门基础技术学科,是近代 工程建设的必要基础之一
➢土木工程(水利、土建及采矿工程)
将弹性力学作为计算、设计和应力-应变分析的理论基础
➢船舶工程
船体结构的强度、刚度计算
➢航空及航天工程
航空航天结构的强度、 刚度计算
➢机械工程
1990. • 钱伟长,叶开源. 弹性力学. 科学出版社,1956. • S.Timoshenko & J. N. Goodier. Theory of

弹性力学及有限元

弹性力学及有限元
第一题(20分)
变分法中的符号与微积分中的符号均表示微小变化,请问二者有何关系?如何理解在理论上有了则不需要有符号。
解答:(1)二者的关系。
d是无限小的增量,是一个微分符号,表示了一个函数的局部线性近似。对于函数,dx反应的是一个函数在x=x0附近的微小变化,也就是自变量的变化。d作为一个微分符号,dx必须与其他微分符号如同dy、dt成对出现。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时,形变量即完全确定。反之,当形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程:揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
弹性力学位移法的数学模型:
随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求,许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决,必须进行非线性分析求解,例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变(几何非线性)和塑性(材料非线性);而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件,如ADINA、ABAQUS等。它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库,ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。(3)与CAD/CAM等软件的集成

变分原理与有限元素法

变分原理与有限元素法

4- 4 基于 H-R 变分原理的近似解法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … … . 75 4 -5 变分问题的康托洛维奇近似解法… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 78
习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... 98 第 二章 2-1 2-2 2- 3 2- 4 2-5 2-6 2-7 弹性力学平面问题及空间问题有限元 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 99 常应变三角形单元 … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 99 六节点三角形单元 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 105 矩形平面应力单元 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 113 等参单元 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 117 算例 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 125 计算结果的整理 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 126 空间问题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 130

弹性力学平面问题的有限元法

弹性力学平面问题的有限元法
按照形状分类
有限元可以分为一维、二维和三维有限元,分别适用于线弹性、平面应力和空间应力等问题。
按照未知量分类
有限元可以分为位移法和力法,其中位移法是最常用的一种方法。
03
CHAPTER
弹性力学平面问题的有限元法
离散化方法
弹性力学平面问题的离散化
将连续的弹性力学平面问题划分为有限个小的单元,每个单元具有特定的形状和大小。
边界条件和载荷
描述物体所受的外部力和约束条件。
弹性力学的基本概念
03
02
01
平衡方程
描述物体内部各点的应力分布情况,根据力的平衡原理建立。
几何方程
描述物体内部的应变分布情况,根据应变与位移的关系建立。
本构方程
描述应力与应变之间的关系,根据材料的弹性特性建立。
弹性力学的基本方程
只在平面内受力的情况,不考虑厚度方向的应力。
编程实现过程中,需要将连续的弹性力学问题离散化为有限个单元,并建立单元的力学模型和数学模型,然后通过编程语言实现单元分析、整体分析、边界条件处理等计算过程。
编程实现有限元法需要掌握一定的计算机编程语言和数值计算方法,同时需要具备弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元法的编程实现
有限元法的软件应用是指利用已经开发好的有限元分析软件进行弹性力学问题的求解。
软件应用有限元法需要掌握相关软件的使用方法和操作技巧,同时需要具备一定的弹性力学和有限元法的基本理论知识。

弹性力学及有限元

弹性力学及有限元
切线方向的分量。
一点的应力状态的概念 几何规律:过空间一点有无数个面。
力学特点 :即使过同一点,作用在不同面(微 分面)上的应力矢量也不同。
一点应力的要素:大小、方向、作用点 、作用
在过该点的哪个面上(作用面)
22
一点的应力状态:过物体内某一点的各个面上的
应力情况的集合称为该点的应
力状态。
xy yx
yx ()
yx ()
xy ( )
c
莫尔圆中采用的是
材料力学规定法。
28
x
b
切应力互等定理
在受力物体相互垂直的两个平面上,切应力必然 成对存在,且数值相等;两者都垂直于两平面的交线, 方向共同指向或背离这一交线。
z
zy zx
xz xy
弹力规定
yz yx
磁力。 2) 面力:分布在物体表面的力如流体压力和接触力。 体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力,所以考
虑平衡条件求合力时,须乘以相应的体积和面积。
无论那个位置的体力、那一边界面上的面力,均以正
标向为正,且斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。
16
z
V
fx
o
fz F f f y P y
一点的应力状态的分析方法:单元体法
单元体——构件内的点的代表物,是包括研究点在内

有限元法理论基础弹力变分原理教学内容

有限元法理论基础弹力变分原理教学内容

8
有限元法理论基础
虚功原理
➢ 变形体虚功原理:变形体中,任意平衡力系 在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。
➢ 虚功原理:
➢ 虚位移原理、虚应力原理
9
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 虚位移:变形体几何约束所允许的位移称为可 能位移,取其任意微小的变化量即是虚位移。
将虚位移原理表达式
V ijid j VS u iT id SVu ifidV
代入可得:
p 0
可以证明总势能的二阶变分 2p 0
14
有限元法理论基础
最小位(势)能原理
弹性系统总势能:
pV W d VS u iT id SVu ifidV
p 0
2p 0
最小势能原理:在满足几何约束的各类位移中, 实际位移使系统的总势能取最小值。
10
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 对上式体积分中的第一项进行分部积分,并 注意到应力张量是对称张量,得:
Vuiij,jdVV(uiij),jdVV1 2(ui,j uj,i)ijdV V1 2(ui,j uj,i)ijdVSuiijnjdS
注意,应用体积分化面积 分公式,即散度定理。
11
V ijid j VS u iT id SVu ifidV
13
有限元法理论基础

弹性力学

弹性力学

弹性力学网络课程

第一章绪论

内容介绍

知识点

弹性力学的特点

弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务

弹性力学的研究方法

内容介绍:

一. 内容介绍

本章作为弹性力学课程的引言,主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点;课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。

弹性力学的研究对象是完全弹性体,因此分析从微分单元体入手,基本方程为偏微分方程。

偏微分方程边值问题在数学上求解困难,使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变,物体内部所产生的位移、变形和应力分布等,为解决工程结构的强度,刚度和稳定性问题作准备,但是并不直接作强度和刚度分析。

本章介绍弹性力学分析的基本假设。弹性力学分析中,必须根据已知物理量,例如外力、结构几何形状和约束条件等,通过静力平衡、几何变形和本构关系等,推导和确定基本未知量,位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的,如果不分主次地考虑所有因素,问题是十分复杂的,数学推导将困难重重,以至于不可能求解。

课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。目前,有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。如果你没有学习过张量概念,请进入附录一学习,或者查阅参考资料。

二. 重点

1.课程的研究对象;

2.基本分析方法和特点;

3.弹性力学的基本假设;

4.课程的学习意义;

5.弹性力学的发展。

特点:

弹性力学,又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支,弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变,物体内部所产生的位移、变形和应力分布等,为解决工程结构的强度,刚度和稳定性问题作准备,但是并不直接作强度和刚度分析。

8 变分原理及有限元

8 变分原理及有限元

d 2w dx2
0
支承点上弯矩为零的力边界条件
例题2 用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度 解: (1)设位移函数为
w(x) = c1x(lx) 显然,该挠度函数满足位移边界w(0) = 0,w(l) = 0。
(2)求总势能
U V
l 1 EI w2 dx
l
qwdx
02
0
l 0
1 2
ud y
vd x
dy
v d x
d yz
v d z
wd y
dz
w d z
d zx
w d x
ud z
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
• 在位移边界Su上,满足位移边界条件
ud= u
vd= v
wd= w
• 静力可能状态(s)和变形可能状态(d)是同一 物体的两种不同的受力状态和变形状态,两者可以 彼此完全独立而没有任何关系
Ni 0
0 Ni
Nj 0 0 Nj
Nm 0
0
N
m
其中Ni称为形函数
关于单元内位移变化的假设通常称之为位移模式。
• 应变
根据上面的位移函数,应用几何方程可求得应变用矩
阵形式表达为
{}=
x
y
=[B]{u}e
x

有限元法和变分原理

有限元法和变分原理
带入试函数:
2 2 ⎧⎛ ⎫ ∂ψ i ⎞ ⎛ ∂ψ i ⎞ ⎪ ⎪ ∏(φ ) = ∫∫ ⎨⎜ ∑ Ci + ⎜ ∑ Ci − 2∑ Ciψ i f ⎬ dxdy ⎟ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎪⎝ ⎪ ⎩ ⎭
⎧⎛ ∂ψ ⎞2 ⎛ ∂ψ ⎞2 ⎫ ⎪ ⎪ = ∑ Ci 2 ∫∫ ⎨⎜ i ⎟ + ⎜ i ⎟ ⎬ dxdy ⎪⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ⎛ ∂ψ i ∂ψ j ∂ψ i ∂ψ j +2∑ CiC j ∫∫ ⎜ + ∂y ∂y i≠ j ⎝ ∂x ∂x
22
3来自百度文库 里兹法的基本思路
先假设一个试函数,试函数由一组完备的线性独立的基本函 数ψ i ( x, y ) (i = 1, 2, …,n)所组成:
φn ( x, y ) = ∑ Ciψ i ( x, y )
i =1
n
基本函数ψ i定义在整个求解区域,并满足边界条件 若精确解包含在ψ i ( x, y )中,则里玆法将给出精确解。 ∂ ∏ ⎧∂ ∏ ∂ ∏ ∂ ∏ ∂∏ ⎫ =⎨ ... ⎬ =0 ∂C ⎩ ∂C1 ∂C2 ∂C3 ∂Cn ⎭ 理论上:若n → ∞,则未知函数能达到任何精度
n
∑A C
j =1 ij
i
= hi
(i = 1, 2,…,n)
写成矩阵形式:
[ A]{C} = {h}
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0
0 x 0 y , 1 xy 2
x 1 1 y E 0 xy
1 0
x 0 y 21 xy 0
V
注: w 0
k 2 02 (外力功) 2 1 k 02 2 (弹性力的功) 2


(5-3)


特别:以弹簧的自然位置为零势点,则弹性能
V
1 2 k 2
(弹簧力做功的负值,因为外力与弹簧力反向,故弹性能相当于外力的功) 弹性能=外力做功
V
1 2 k 2
T
y z yz zx xy ( x, y , z )
T
如何计算三维弹性体的应变比能 ?先通过事例介绍二维弹性体的应变比能计算。 例题 4-1:受轴向力的线弹性直杆,见前图。应变比能有
x 1 y E z
1 1 0 0
0 x 0 y 2 xy
§0.5 弹性力学变分原理(Variational Principle of Elastic Mechanics) 一、弹性体的形变势能


q
l cosν , x , m cosν , y , n cosν , z
一.位移矢量
在外力下,P 点 P 点,P 点的位移矢
P x, y , z
u u v w x , y , z
y
T
Px u , y v, z w

r l0 为弹簧伸长量。
P (外力)

A
F (弹性力)
A2
2
1
A1
r
r1
r2
l0 原长
o
图 5-1 弹簧力 F
5
F
w12
k
0

1 2
3
弹簧从 A1 运动到 A2 位置,变形过程是静平衡状态, 弹性力做功
r2 k k 2 2 w12 F d r k r l0 dr r1 l0 r2 l0 12 22 2 2 A1 r1
2

1 2
E σ f 0
(要求 ij 可导)
1
2
二、应力边界条件
一个面上应力可分为一个正应力,二个剪应力分量 物体表面上面力分布矢(外力, N m 2 ) : P Px

Py
Pz

T
应力与外力在表面上平衡,此表面处外法线方向 ν l , m, n ,则
P x x l xy m xz n P y yx l y m yz n P E ν σ P z zx l zy m z n
0 0 0 0 1 2 21 0
1
0 0 0
0 0 0 0 1 2 21 0
D 1
1 1 E 0 0 0
1 0 0 0

A 1 F外力 dr F 弹力 dr k 02 2 A0 A0 2 A


3. 弹性杆的形变势能(应变能) 例:A 为杆截面积,L——杆长
6
P L
P

(N / m ) 合力记为N , 则N P
2
P
P 1
一般为非线性关系
0
d
1

w Pd
材料试件单向拉伸 P 曲线
§0.4 弹性力学平衡问题的微分方程提法
方程(15 个) 边界条件 未知函数(15 个) 类型 静力平衡
E σ f 0
P E ν σ (应力型,
自由边, )
σ
ε E T u
σ Dε
或 ε D 1σ
u u(位移型,u )
ε,u
几何连续性 物理性
《有限元法》课程讲稿
合肥工业大学土木与水利学院工程力学系
牛忠荣
1987-2011 年制作, 2014 年 2 月新修改
参考书:
1. 王元汉、李丽娟、李银平《有限元法基础与程序设计》 ,华南理工大学出版源自文库,2002 年, 第一版 2. 王勖成,邵敏《有限单元法基本原理和数值方法》 ,清华大学出版社,1997 年,第二版 3. 何福保,丁皓江编《弹性和塑性力学中的有限单元法》 ,机械工业出版社, 1989-年,第 二版 4.
弹性力学平衡问题 微分方程边值问题(15 个方程求解 15 个未知量,在 u , ) 解法: (1)位移法; (2)应力法; (3)混合法 弹性力学位移法定解问题:物体表面 u 取未知函数 u ,经变换
: E DE T u f 0
: u : u u ; : P E ν DE T u
对平面应变问题有
z 0, z x y
1 1 2 x E y 1 1 xy 0
1 2 1 1 2
0
0 x 0 y ; 1 xy 2
ε D 1σ
物理线性
D 称为弹性矩阵
1 1 E 1 1 D 1 1 2 0 0 0
1
1
1 1
1 0 0 0
0 0 0 1 2 21 0 0
P x, y , z
x
z
1
二、应变:P 点处在 xyz 轴的三个微段的变化,得到变状态的 6 个分量
ε x
y
z
yz
zx
xy T
几何方程(6 个) :位移、应变之关系
x
v w v u v u w u w , y , z , yz , xz , xy x y z y z z x y x
3
体力(外力, N m ) : f fx

fy
fz
T
一、平衡方程: (由微六面体平衡所致)
x xy xz fx 0 y z x y xy yz fy 0 x z y yz z xz fz 0 x y z
为梯度矢
ε E T u
(几何线性)
在单连通域中: ε u 一一对应,但多连通域中未必一一对应
§0.2 应力分析(Stress Analysis)
取 P 点处一微平行六面体与 xyz 平行,决定 P 点应力状态的 6 个分量为
σ x
y z yz zx xy T
其中矩阵
Py
Pz

Px
l 0 0 0 n m E ν 0 m 0 n 0 l 0 0 n m l 0
§0.3 本构方程(应力、应变关系)Relation of Stress and Strain
对均质各向同性线弹性体有广义 Hooke 定律
σ Dε ,
弹性杆在轴向力 P 作用下,产生均匀的轴向应力 ,轴向应变

N A,

L
(5-4)
假定:弹性体在受力的过程中始终保持平衡 外力 P 做功:
w Pd
0

(5-5)
外力功 w 以弹性应变能储存于杆中。 杆的应变能 U 等于外力功 W (例:射箭)

U W Pd
0
7
引入算子
x E 0 0
其中 i
0 y 0
0 0 z
0 z y
z 0 x
y x 0
j k ( x y z x
y
T ) z
引子: 1. 弹性力做功 一弹簧支于 O 点,弹簧原长为 l0 ,见 图 5-1。在受外力 P 作用,其弹簧(性)力
F k r l0 er k r l0
r r
(5-1)
式中 k —弹簧刚度系数 N/m ,N/mm 。弹性力大小 F k ,方向 er r / r ,r 表示 OA ,
第0章
弹性力学基本方程
弹性力学的任务:寻求弹性体在外力作用下,物体的变形、内力分布规律 外力 变形(位移)、内力(应力)
§0.1 应变分析(Strain Analysis)
取笛卡尔坐标轴 oxyz,对空间上任一点处的任一方向用矢量 表示 其单位方向矢量为 ν li mj nk



1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 21 0 0 0 21
3
物理量: ——Lame 常数,G——剪切模量,E——弹性模量, ——泊松比
G
E E , 1 1 2 21
定义:单位体积中具有的应变能称为(应变)比能,记为 对杆:
U P d d V 0A L 0


上式适用于非线性应力应变关系。特别: P , 即 为线性关系(Hooke 定律)
E

(5-6) (与路径无关) (5-7)

E d
由上解出 (位移表示的应力边界条件)
uε σ。
1 1 fx 0 1 2 x G 1 1 2v fy 0 1 2 y G 1 1 2w fz 0 1 2 z G 2u
显式:
式中
u v w 2 2 2 2 , , u, x y z x 2 y 2 z 2
A2
(5-2)
性质:
1 弹性力做功: w12 仅与弹簧初、末变形量 1 、 2 有关,与路径无关; 2 w12 可正、可否;
1 1 3 特别 1 0 时, w12 k 22 ,注:外力做功 w w12 k 22 。 2 2
2. 弹性力场中的势能:弹簧力做功的负值 以变形量为 0 处为势能零点,则在 处,弹簧力的势能 V 为
x, y, z
因此, 为一般坐标 M x, y, z 的场函数,又应力、应变也是坐标 M x, y, z 的场函数。
8
空间问题均质弹性体的应力和应变张量 σ x, y , z , ε x, y, z 分别为六个独立分量函数:
σ ( x, y, z ) x y z yz zx xy ( x, y , z ) ε ( x, y, z ) x
0
1 1 E 2 2 2
PS
PC
(如 x 轴沿杆轴向:可记
1 x x ) 2
B
4. 一般三维均质弹性体

z

M x, y , z
0
y
x
弹性体 中任一点 M x, y, z 处有微元体 B
x, y, z
UB U lim B VB VB 0 VB
对平面应力问题有
z 0, z
x y , kk x y , xy u x u y E y x
4
应力应变关系:
x E y 2 1 xy
1 0
1
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