第二章-卷积与与卷积积分
信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
卷 积 积 分
1.1 卷积积分的推导
函数分解为窄脉冲
解：将 反折，得
，如图（c）所示。由
图可见， 保持不动，将 平移 ，得
，如图（d）所示。
其计算结果如下：
1.2 卷积积分的性质 （1）卷积的代数运算 ①交换律
即：
例：
,求
。
解法一：将 反褶
由于
所以 同理可得 于是
②分配律 ③结合律 （2）卷积的微分与积分 ①卷积的微分
信号与系统
卷积积分
根据LTI系统的性质，如果将作用于LTI系 统的输入信号分解，而且每个分量作用于系统 的响应容易求得。那么，根据叠加原理，将各 个分量产生的响应求和即可得原输入信号引起 的响应。
卷积法的原理就是将信号分解成许多冲激 信号之和，借助系统的冲激响应，求解线性时 不变系统对任意激励信号的零状态响应。它也 是时域与变换域方法之间相联系的重要手段。
② 卷积的积分例：设有源自个函数分别为求这两个函数的卷积
。
利用卷积的微分得
信号与系统
卷积及其性质
f1()
f2(t
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
精选PPT
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
精选PPT
13
§2.7 卷积及其性质
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
精选PPT
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
精选PPT
12
§2.7 卷积及其性质
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
精选PPT
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
信号与系统王明泉版本~第二章习题解答
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。
； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di L t v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv C t i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解 齐次解和特解。
齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=--- 当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++= bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++ 特解的函数形式与激励函数的形式有关。
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
卷积积分的定义
卷积积分的定义卷积积分是数字信号处理中最常见的数学运算之一，其定义可以简单地描述为：将一个信号与另一个信号“褶积”在一起，以求出它们之间的关系或者产生的效果。
在实际应用中，卷积积分广泛用于信号处理、图像处理和通信工程等领域，是数字信号处理基础重要的处理运算。
首先，我们来看一下离散信号的卷积积分，以了解其定义和运算步骤。
假设有两个离散信号f[n]和g[n]，它们的长度依次为M和N。
那么它们的卷积积分定义为：s[n] = ∑(f[k]g[n-k])，k从0到M-1上式表示的是，将g[n]相对于f[n]做移位运算，按其对应的系数f[k]进行加权之后，再将所有元素相加，就可以得到卷积积分结果s[n]。
这个过程实际上是一种加权和计算，位于g[n]的每一个系数都和f[n]的相应系数进行乘积，然后将它们相加以得到最终的卷积积分结果。
卷积积分运算可以理解为一个滑动窗口，它在f[n]中移动，并将窗口大小限定为g[n]的长度。
随着滑动窗口移动，计算得到的结果被放置到s[n]中，这个过程一直持续到窗口完全移出f[n]。
在计算过程中，g[n]每移动一次，窗口中的每个元素将会和f[n]的相应元素进行乘积，然后将它们相加来得到s[n]中的一个元素。
需要注意的是，在卷积积分的定义中，n的取值是从0到M+N-2，这是因为卷积积分的长度为(M+N-1)。
如果n的取值超过了这个范围，那么最终的结果将会是无效和不必要的。
除了离散信号卷积积分之外，连续信号卷积积分也是数字信号处理中常见的一种运算。
其计算过程与离散信号相似，只是在信号中，连续时间变量t所涉及的积分替换掉离散时间变量n：s(t) = ∫ f(τ)g(t-τ)dτ，τ从负无穷到正无穷上式表示的是，将g(t)相对于f(t)做移位运算，按其对应的函数f(τ)进行加权之后，再将所有元素相加，就可以得到连续信号卷积积分结果s(t)。
这个过程和离散信号的卷积积分类似，只是积分替换了离散信号中的累加。
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
第2-16页
■
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2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
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2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
线性时不变系统--习题
dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
卷积积分与离散卷积--方波序列和方波序列的卷积及卷积过程演示
1引言信号的卷积是针对时域信号处理的一种分析方法，信号的卷积一般用于求取信号通过某系统后的响应。
在信号与系统中，我们通常求取某系统的单位冲激响应，所求得的h(k)可作为系统的时域表征。
任意系统的系统响应可用卷积的方法求得。
离散时间信号是时间上不连续的“序列”，因此，激励信号分解为脉冲序列的工作就很容易完成，对应每个样值激励，系统得到对此样值的响应。
每一响应也是一个离散时间序列，把这些序列叠加既得零状态响应。
因为离散量的叠加无需进行积分，因此，叠加过程表现为求“卷积和”。
LabVIEW是一种程序开发环境，由美国国家仪器（NI）公司研制开发的，类似于C和BASIC开发环境，但是LabVIEW与其他计算机语言的显著区别是：其他计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码，而LabVIEW使用的是图形化编辑语言G编写程序，产生的程序是框图的形式。
本课程设计就是利用LabVIEW软件来实现方波序列卷积的过程，然后对方波序列移位过程进行演示，通过卷积过程演示和卷积和的波形图可以看出，方波序列的幅值大小不会影响卷积和的宽度而方波序列的宽度大小就会影响卷积序列相交部分的范围宽度即卷积宽度。
通过labview你能直观清晰地观察卷积的过程。
2虚拟仪器开发软件LabVIEW8.2入门2.1 LabVIEW介绍LabVIEW（Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench）是一种用图标代替文本行创建应用程序的图形化编程语言。
传统文本编程语言根据语句和指令的先后顺序决定程序执行顺序，LabVIEW 则采用数据流编程方式，程序框图中节点之间的数据流向决定VI及函数的执行顺序。
VI指虚拟仪器，是 LabVIEW]的程序模块。
LabVIEW 提供很多外观与传统仪器（如示波器、万用表）类似的控件，可用来方便地创建用户界面。
用户界面在 LabVIEW中被称为前面板。
使用图标和连线，可以通过编程对前面板上的对象进行控制。
卷积积分介绍
h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法： 时域经典法： 完全解=齐次解 + 特解 双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建 立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；
第二章—离散卷积
离散卷积：1. 找出以下离散时间系统的脉冲响应： )[]0.2[1][][1]a y n y n x n x n +-=-- )[] 1.2[1]2[1]b y n y n x n +-=-)[]0.24([][1][2][3])c y n x n x n x n x n =+-+-+- )[][]0.5[1][2]d y n x n x n x n =+-+-2. 计算以下卷积，x[n]*v[n])[][][4],[]0.5[]n a x n u n u n v n u n =--=)[][1482],[][01234](n )b x n v n ==顺序均从=0开始)[][],[]2(0.8)[]n c x n u n v n u n == )[][1],[]2(0.5)[]n d x n u n v n u n =-=1. )[]0.2[1][][1]a y n y n x n x n +-=--[]0.2[1][][1]h n h n n n δδ+-=--1[0]0.2[1][0][1]1[1]0.2[0][1][0] 1.2[2]0.2[1][2][1]0.24[3]0.2[2][3][2]0.048[](0.2)( 1.2)n h h h h h h h h h n δδδδδδδδ-=--+--==-+-=-=-+-==-+-=-=--≥当n 1)[] 1.2[1]2[b y n y n x n +-=-[] 1.2[1]2[1]h n h n n δ+-=-21[0] 1.2[1]2[1]0[1] 1.2[0]2[0]2[2] 1.2[1]2[1] 1.2(2)[3] 1.2[2]2[2]( 1.2)(2)[]( 1.2)(2)n 1n h h h h h h h h h n δδδδ-=--+-==-+==-+=-=-+=-=-≥当时)[]0.24([][1][2][c y n x n x n x n x n =+-+-+-[]0.24([][1][2][3])0.24030h n n n n n n δδδδ=+-+-+-≤≤⎧=⎨⎩其它)[][]0.5[1][d y n x n x n x n =+-+-[][]0.5[1][2]100.51[]120h n n n n n n h n n n δδδ=+-+-=⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪⎩为其它值2.5450)[][][4],[]0.5[]012040.50.50.50.512n n knn n k a x n u n u n v n u n n --==--=-≤≤===-+-∑[]*[][][]([][4])0.5[]k n kk x n u n x k v n ku ku k u n k +∞=-∞+∞-=-∞=-=---∑∑如果04n ≤≤ 10120.50.5(0.52)12n nn knn k +-=-===---∑如果n>4 5450120.50.50.50.512n knn n k --=-===-+-∑)[][1482],[][01234](n )b x n v n ==顺序均从=0开始[]148200000[]0123400000123416328048122460816402[][0161934443880]x n v n y n === )[][],[]2(0.8)[]n c x n u n v n u n ==01n[]*[][]2(0.8)[]2(0.8)2(0.8)(0.8)1 1.2521 1.258[0.8 1.25],08(0.8)10,n kk nnn knkk k n n n x n v n u k u n k n n +∞-=-∞--==+=-==-=-=--≥=-+≥∑∑∑（0.8）)[][1],[]2(0.5)[]n d x n u n v n u n =-=110112[]*[][1]2(0.5)[]2(0.5)2(0.5)22(0.5)(21)122(0.5)[1]122(0.5)(22)(0.5)4,1nk nn kk nnkk nn k k n nn n n x n v n u k u n k n +∞=-∞-===++-=--===--=--=-+=-+≥∑∑∑∑连续时间卷积：1．求出以下卷积()()*()y t x t h t =，其中()()(4);()()x t u t u t h t r t =--= 2．计算以下卷积：3. 如果()sin(2)()h t t u t =，计算系统对输入()2(10)x t u t =-的响应。
第二章卷积图解计算
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
( ff1τt)) 1(
() ff22(τt)
1 1 2 2
步骤
∞
将f2 (τ )反 得f2 (− ) 折 τ
f2 (−τ)
1 2
1 1
0 0
1 1
t
f1(τ )
0 τ 0
1 1
2 2
1Байду номын сангаас
0
1 +t −3
−1+ t
τ
−1+ t
f2 (t −τ )
1 2
0
τ
平移
第二章第1讲
1
例
1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
当 −1+ t < 0 即 t < 1 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 1 2 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0 t 0 1 2 3
1 1 1× dτ = (4 − t) −3+t 2 2
1
即为重叠部分的面积。 当 −3+t ≥1 即 t ≥ 4 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0
第二章第1讲 3
f 2 (t −τ ) f1(τ)
4
f (t)
∞
f 2 (t −τ ) f1(τ)
1
−3 + t −1+ t 0
1
信号与线性系统 管致中 第2章 线性时不变系统
0
2T
t T
0
t
y(t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d
x(t )h( )d
① 当 t 0 时， y(t ) 0 ② ③ ④ ⑤
1 2 y 当 0 t T 时， (t ) 0 d t 2 t 1 2 y 当 T t 2T 时， (t ) t T d Tt 2 T 2T 1 2 y (t ) d 2T (t T ) 2 当 2T t 3T 时， t T 2 当 t 3T 时， y(t ) 0
个 t 的值，将 x( ) 和 h(t ) 对应相乘，再计算相
乘后曲线所包围的面积。
通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有
用的。
x(t )* h(t )
x( )h(t )d
要完成卷积运算的步骤： 1. 变量臵换：将x(t) ,h(t)变为x()， h() ， 以 为积分变量 ； 2. 反褶：将h()变为h(- )；
n h( n) 0
x(k )
1
0n4 otherwise
1, 0 n 6
otherwise
h(n k ) nk
k
0
k
n6
0
4
n
① n 0 时，
y ( n) 0
n n k 0 k 0
y ( n) n k n k ② 0 n 4 时， 1 ( n 1) 1 n 1 n 1 1 1
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
卷积公式
卷积公式卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。
卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。
即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。
卷积本身不过就是一种数学运算而已。
就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。
在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。
§2.4 卷积积分的性质
f1(t)*f2(t) f1(x)f2(tx)dx
R12(t)= f1(t)* f2(–t) R21(t) = f1(–t)* f2(t) 。 可见，若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相 关完全相同。
▲
■
第 11 页
3. 相关函数的图解 (0<t1<2)
f2(-τ) 2
f2(τ) 2
▲
■
第 15 页
系统级联
f ( t ) h 1 ( t ) h 2 ( t ) f ( t ) [ h 1 ( t ) h 2 ( t ) f] (t)h(t) 系统级联，框图表示：
f (t) f (t)
h1 (t )
h2 (t )
f (t ) h1(t )
y(t)
f (t ) h1(t ) h2 (t )
自相关函数：
例
R()T l i m T 1T 2T 2 f(t)f(t)dt
■ 第 13 页
求周期 ft余 E c弦 o 1ts的 信自 号相关
解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有
R
1
lim
T
T
T
2 T
2
f
tf t
dt
lim E 2 T T
T
2 T
cos
1
t
cos
1
t
dt
2
lim E 2 T T
函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
（3）利用性质。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
▲
■
第7页
卷积性质例3
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t)
卷积积分的运算
x (t ) x (t ) x2 (t ) x1 (t ) x (t )
(1) (1) 1 (1) 2
( n) ( n) ( n) x ( t ) x ( t ) x ( t ) x ( t ) x 推广到一般： 1 2 1 2 (t ) B、积分性质：若 x(t ) x1 (t ) x2 (t ) ( 1) x( 1) (t ) x1( 1) (t ) x2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) ( n) ( n) ( n) x (t ) x1 (t ) x2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) 推广到一般：
a t-2
a 0 t 1
t
t 0 1. 重合面积为零: f1 (t ) f 2 (t ) 0
b f 2 (t ) t 0t 2 2
f1 (t ) a 0 t 1
2
t-2
0 1
t-2 0 1 t
2. if 0 t 1
0 t-2 1
t
f1 f 2 f1 ( ) f 2 (t )d
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1 ) x(t t0 t1 )
4、经验公式：
x1 (t t0 ) x2 (t t1 ) x1 (t ) x2 (t ) t t t
1 0
1.图解法：
x 2 (t )
1 0
1
t
1
2 t
x1 ( )
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证明：
x(tt1)(tt2)
x(t1)(tt2)d
x(tt1t2
')(')d'
x(tt1t2)
(令tt2 ')
(4)
若x(t： )x1(t)*x2(t) 则 :x1(tt1)x2(tt2)x(tt1t2)
1. 图解法： 2. 以一个例子说明这个方法。已知：
2
x[n]
1
1
h[n] 11
012 n
012 n
求y： f[n]x[n]h[n]
（ 1）反h折 [k] ： h[k]
h[-k] 11
-2 -1 0 n
（ 2）时 h[－ 移 k] ： h[nk]
例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)
x (t)
h(t)
1
1
1 2
反折：
01t h( ) 1
-2
0
0
时移
2t
h(t )
1
-2+t
t 0
（1）
h(t )
x( )
1
（2）
-2+t
t
1 2
0
1
h(t )
1
x( )
-2+t1 20 Nhomakorabeat
1
（3）
h (t ) x ( )
2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）
3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 4、沿τ轴对x (τ） h(t－τ）积分
h(t)
1 1
x(t) t
2 1
2 4t
h(t-) t= 0
x()
t-1 t
t< 1
1< t< 2
2< t< 3
3< t< 4
4< t< 5
yf(t) x()h(t)d
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
y(t)x(t)*h(t) x()h(t)d
❖卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求
解步骤，以x(t)*h(t)为例：
1、将h(τ）反折，得h(-τ）
(5 ) x(t) '(t)x'(t)
例
h(t)
已知：h(t)1 t 2
0 t 2
-2
2
t
x(t)3 (t)(t3 )
解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式：
h (t) u (t 2 ) u (t 2 )
y(t) x(t)h(t)
(3(t)(t 3))[u(t 2)u(t 2)] 3(t)u(t 2)3(t)u(t 2) (t 3)u(t 2)(t 3)u(t 2)
h(t) L[{0},(t)] cetu(t)的形式。 这里，＝－2。即h(t) ce－2tu(t)代入方程中： －2ce－2tu(t)＋c (t) 2ce－2tu(t) 3 (t)
c 3 h(t) 3e－2tu(t)
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。
以及满足：
x[n][n]x[n] x[n][nn1]x[nn1] x[nn1][nn2]x[nn1 n2]
x1[nn1]x2[nn2]x[nn1 n2]
下面分析卷积和的几种运算方法：
从卷积和的表达式：
yf [n] x[n]h[n] x[k]h[n k] k
可知，卷积和也要经过以下四个步骤：
反 折 移 位 相 乘 求 和
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient)
重点： ❖理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； ❖掌握LTI系统的性质； 难点： ❖深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
2.1 线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。
❖微分方程的经典解。
若： 0
0 t1
tn t
tn t
n 1
x ( t) ( t t1 ) ( t t2 ) ( t tn 1 ) ( t ti)
i 1
n 1
y ( t) h ( t t1 ) h ( t t2 ) h ( t tn 1 ) h ( t ti) i 1
设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的
4.与冲激函数或阶跃函数的卷积
（1）函数x(t)与单位冲激函数δ(t)卷积的结 果仍然是x(t)本身。即：
x(t)(t)x(t)
证明：
x(t)(t)
x()(t
)d
x()(
t)d
x(t) ( t)d
x(t)
((t) (t))
(2 ) x ( t)( t t0 ) x ( t t0 )
x(t) h1(t)
h2(t) y(t)
（4）卷积的微分：
两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即：
( x ( t ) h ( t ) ) x '( t ) ' h ( t ) x ( t ) h '( t )
（5）卷积的积分：
t
t
t
( x () h ()d )x () d h ( t) x ( t) h () d
在离散系统中，由于离散信号本身就是不连续 的序列，对应每个样值序列，每一响应也是一个 离散时间序列，把这些序列叠加即得离散系统的 零状态响应。
离散单位冲激函[数 n]
[n]
1 0
n0 n0
1 [n]
-1 0 1
n
移位的单位冲激[函 n数k]
[n－k]
1 0
nk nk
1 [nk]
…-1 0 1… k
1
y(t)
1(t)dt2t3
t22
4 24
t3时y， (t)0
1 2
0
1 -2+t
t
y(t)
5
16
y(t)的时域波形如图所示：
9
16
1 2
0 13 2
2
3t
例：
x1(t) 1
x2(t) 1
-1
01t
-2
0 2t
求
y1(t)x1(t)*x1(t) y2(t)x1(t)*x2(t)
y1(t)
y2(t)
窄脉冲之和。
x (t )
x(k )
0
k
t
当 0 则： x(t)x(k)..(tk) k
设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于tk 的
冲激响应为
x(k) ..h(tk)
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：
yf(t)x(k)..h(tk) k
当： d,k 求和符号改为积分符号
x(t)x()(t)d
应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或 多重积分之运算规律：
设 y(t)x1(t)x2(t) ，则有： y(i)(t)x1 (j)(t)x2(ij)(t)
此处，当i 、j取正整数时为导数的阶次，取负 整数时为重积分的次数。 一个简单的例子为：
y ( t) x 1 '( t) x 2 ( 1 )( t) x 1 ( 1 )( t) x 2 '( t)
eat ai
Ae at
eat ai i为 i重根
i
A jt je at
j0
L
L
Cktk
A jt j
k0
j0
t
tp cost()
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
B 1 co t s) (B 2 sitn )(
❖系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
k
的响应为 x [ k ]h [ n k ]
k
即：
y f [n ] x[k ]h[n k ]
k
定义将 ： yf[n]x[n]h[n]x[k]h[nk] k 称为卷积和。
2 卷积和的性质：
与连续函数的卷积积分的性质类似，离散函数 的卷积和也满足交换律，结合律以及分配律。
（ 1 ） 交换 x [n ] 律 h [n ] h [ ： n ]x [n ]
（ 2 ） 结 （ ： x [ n ] h 合 1 [ n ] ） h 2 [ n ] ＝ x [ n ] 律 ( h 1 [ n ] h 2 [ n ] （ 3 ） 分 ： x [ n ] （ h 1 配 [ n ] ＋ h 2 [ n ] ） x [ n ] 律 h 1 [ n ] ＋ x [ ＝ n ] h 2 [ n ]
解：
2
2
-2 0
2t
-3
-1 1
3t
例：已知 x(t)eau t(t)
h(t)u(t)
a0
求： y(t)x(t)*h(t)
x（ τ ）
1
h（ τ ）
1
t
t
例：已知
x(t) e2tu(t) h(t) u(t 3)
求： y(t)x(t)*h(t)
x()e2u() h()u(3)
1 1
t
3
t
2.卷积积分运算的性质
3u(t 2)3u(t 2)u(t 1)u(t 5)
例：已知 x1(t)e3tu(t) x2(t)u(t 3)u(t 5)