平方根和立方根知识点总结及练习
中考数学《平方根和立方根》知识点及练习题
平方根和立方根
一.知识梳理：
1.平方根
定义1：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的
平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。 a 叫做被开方数。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
定义2：正数a 的正的平方根叫做a a ”， 性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 性质2：算术平方根a 的双重非负性：
①a ≥0 ； ②0≥a
定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根
定义1：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方
根。即如果x 3=a ，那么x 叫做a 3a x =。
性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 性质2：33a a -=-，三次根号内的负号可以移到根号外面。 定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方
3. 实数大小的比较
（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
（2）实数大小比较的几种常用方法
①作差法：设a 、b 是实数，
,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-
b a b a <⇔<-0.
②作商法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b a b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ③平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22
④近似值法：记住这些数值：
236.25732.13414.12≈≈≈；；
平方根与立方根练习题及答案
平方根与立方根练习题及答案
平方根与立方根练习题及答案
数字是数学世界中最基本的元素，它们无处不在，无论是日常生活还是学术研究都离不开数字的存在。其中，平方根和立方根是我们常见的数学概念之一。平方根表示一个数的平方等于该数的正平方根，而立方根则表示一个数的立方等于该数的正立方根。在这篇文章中，我们将介绍一些关于平方根和立方根的练习题，并提供相应的答案。
练习题一：求平方根
1. 求下列数的平方根：
a) 4
b) 9
c) 16
d) 25
e) 36
答案：
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
解析：对于一个数的平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于给定的数。例如，对于4来说，2的平方等于4，所以4的平方根为2。同样地，
9的平方根为3，16的平方根为4，25的平方根为5，36的平方根为6。
练习题二：求立方根
2. 求下列数的立方根：
a) 8
b) 27
c) 64
d) 125
e) 216
答案：
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
解析：与求平方根类似，对于一个数的立方根，我们需要找到一个数，使得这个数的立方等于给定的数。例如，对于8来说，2的立方等于8，所以8的立方根为2。同样地，27的立方根为3，64的立方根为4，125的立方根为5，216的立方根为6。
练习题三：混合练习
3. 求下列数的平方根和立方根：
a) 1
b) 64
c) 100
d) 729
e) 1000
答案：
a) 平方根为1，立方根为1
b) 平方根为8，立方根为4
c) 平方根为10，立方根为5
d) 平方根为27，立方根为9
e) 平方根为31.62（保留两位小数），立方根为10
平方根立方根知识点及练习题
“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。
2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a （a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）64；（2）2)3(-； （3）49151
； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）
259； （4）2)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）49
25±
（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ 102
27-； ⑶ 0.729
二、巧用被开方数的非负性求值.
当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.
例4、若,622=---
-y x x 求y x 的立方根.
平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a ±”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“
a ”。 2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、a 本身为非负数，即a ≥0；a 有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴(
a )2=a （a ≥0）；⑵3a -=3a -（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）64；（2）2)3(-； （3）49151
； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ 10227
-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值.
(完整版)平方根和立方根知识点总结和练习
【基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：
如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3
（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算
（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；
正数a 的负的平方根可用-a 表示．
（6）a x =2 <—> a x ±=
a 是x 的平方 x 的平方是a
x 是a 的平方根 a 的平方根是x
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2
个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号
a”，a 叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；
当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =
实数知识点总结及练习题
复习：实数
知识点总结
一、平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。记作a x ±=
性质：（1）平方根号里的数是非负数，即0≥a
（2）正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
例 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 .
2、如果102=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 .
3、=22 ，()23-= ，213= ，()=-225 ，20= ， 综上所述，=2a .
4、()=29 ，()=236 ，()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-227 ，()=20 ， 综上所述，()=2a .
二、立方根：如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根）。记作3a x =
性质：（1）立方根号里的数是任意实数
（2）任意实数的立方根只有一个，且符号相同
例 1、8的立方根是 ；327-＝ .
2、=-3343 ，=-3343 ，则3343
3a
3、37-的相反数是 .
4、=33a ，
()=3
3a .
三、实数分类
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ 0无限不循环小数负无理数正无理数无理数无限不循环小数有限小数或负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数
说明：（1）实数与数轴上的点一一对应。
（2）相反数：a ，b 是实数且互为相反数b a b a -==+⇔,0
（3）绝对值：设a 表示一个实数，则
⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0 0
00 a a a a a a
例 1、把下列各数分别填入相应的集合里：
(完整版)平方根和立方根知识点总结和练习
【基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：
如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3
（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算
（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；
正数a 的负的平方根可用-a 表示．
（6）a x =2 <—> a x ±=
a 是x 的平方 x 的平方是a
x 是a 的平方根 a 的平方根是x
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2
个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号
a”，a 叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；
当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =
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=5，=50
、的平方根是、=±1 、是
______________________，___________.
，即，那么这个正数
，那么
，那么
的平方根的符号表达为。
的立方根，用表示，其中
的立方根是。
平方根立方根知识点总结归纳及常见题型
平方根立方根知识点总结归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根:
⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“a ±”
(a 称为被开方数)。⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“
a ”。 2、立方根:
⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作“3a ”
(a 称为被开方数)。⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3、a 本身为非负数,即a ≥0;a 有意义的条件是a ≥0。
4、公式:⑴(
a )2=a (a ≥0);⑵3a -=3a -(a 取任何数)。 5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
(1)64;(2)2)3(-; (3)49151
; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值
(1)81±
; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-.
(5)
44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-
例3、求下列各数的立方根:
⑴ 343; ⑵
平方根立方根练习题及答案
平方根立方根练习题及答案
1. 计算下列各数的平方根：
- √9
- √16
- √25
2. 计算下列各数的立方根：
- ∛8
- ∛27
- ∛64
3. 判断下列说法是否正确，并给出理由：
- √144 = 12
- ∛-8 = -2
4. 计算下列表达式的值：
- √(2^2)
- ∛(3^3)
5. 解下列方程：
- √x = 4
- ∛y = 5
6. 一个数的平方根是2，求这个数。
7. 一个数的立方根是3，求这个数。
8. 一个数的平方根是它本身，求这个数。
9. 一个数的立方根是它本身，求这个数。
10. 计算下列表达式的值：
- √(√81)
- ∛(∛125)
答案
1. √9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
2. ∛8 = 2
∛27 = 3
∛64 = 4
3. √144 = 12 是错误的，因为√144 = 12 的平方根是√12，而不是 12。
∛-8 = -2 是错误的，因为负数没有实数立方根。
4. √(2^2) = √4 = 2
∛(3^3) = ∛27 = 3
5. √x = 4 时，x = 4^2 = 16
∛y = 5 时，y = 5^3 = 125
6. 一个数的平方根是2，这个数是 2^2 = 4。
7. 一个数的立方根是3，这个数是 3^3 = 27。
8. 一个数的平方根是它本身，这个数是0或1。
9. 一个数的立方根是它本身，这个数是0，1，或-1。
10. √(√81) = √9 = 3
∛(∛125) = ∛ 5 = 5
请注意，这些练习题和答案仅供学习和练习之用，实际应用中可能需要更复杂的计算和理解。
平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a ±”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“
a ”。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、a 本身为非负数，即a ≥0；a 有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴(
a )2=a （a ≥0）；⑵3a -=3a -（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0
例1求下列各数的平方根和算术平方根
（1）64；（2）2)3(-；（3）49151
；⑷21(3)- 例2求下列各式的值
（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴343；⑵10227
-；⑶0.729 二、巧用被开方数的非负性求值.
平方根和立方根知识点总结和练习
平方根和立方根知识点总结和练习
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：
如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；
正数a 的负的平方根可用-a 表示．
（6）a x =2 <—> a x ±=
a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正
数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
也就是,在等式a x =2 (x≥0)中,规定a x =
。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；
当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说,被开放数扩大（或缩小）a 倍,算术平方根扩大（或缩小）a 倍,例如
=5,
=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。 2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）64；（2）2)3(-； （3）49151
； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值
（1）81±
； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.
（5）
44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵
10227-； ⑶ 0.729
二、巧用被开方数的非负性求值.
当a ≥0时，a 的平方根是±
a ，即a 是非负数. 例4、若
,622=----y x x 求y x 的立方根.
平方根和立方根知识点总结和练习
平方根和立方根知识点总
结和练习
Prepared on 22 November 2020
【基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的
平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3
（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算
（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；
正数a 的负的平方根可用-a 表示．
（6）a x =2 <—> a x ±=
a 是x 的平方 x 的平方是a
x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术
平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；
当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环
小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。
经典实数知识点总结及习题练习
实数知识点总结
平方根、算数平方根和立方根（3—10分）
1、平方根
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“…a ”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“、a
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
■■■■■■ a _ 0
a （a工0）厂
；注意va的双重非负性:
-a （a <0）-
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：3，P-a=-Va，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习
思维启动
如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？
综合探究
探究一由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围
1. ______________________ J2X中被开方数为 ______________________ ，根号下的被开方数必须是_____________________ 才有意义,
因此可列出不等式_______________ , x的取值范围是 _________________.
2 .要使1 -X . X有意义，需要列出不等式组为________________________ . x的取值范围是_______________ .
X
3•若^=有意义，则x的取值范围是 _______________________ .
平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a ±”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“
a ”。 2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、a 本身为非负数，即a ≥0；a 有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴(
a )2=a （a ≥0）；⑵3a -=3a -（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）64；（2）2)3(-； （3）49151
； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ 10227
-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值.
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数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
丨 学
丨 学
学丨【典型学例丨题分析学】丨
丨 学
丨 学
丨
丨
丨
丨
学 ③ | 学3 2 | + | 学3 2 |- | 2 学1 |
即
即
可B、－2 和 3 可8
C、－ 可1 与即2
即
即
D、︱可－2︱和 2 可
即 可
即 知识点三：即利用平方根即和立方根解方即程
即
可
可
可
可
可
即 可
即 可
即 可
即 可
可
也
也
也
也
也2
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
望 可
可知望识点二：计可算望类题型
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
可1、望（1） 2x 1可2望169 0
即
即
即
可
可（4）夹值法及可估计一个（无可理）数的大小可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
学丨- 1 -
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
望
望
望
望
望
望
望
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
学丨- 2 -
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
学 数要使
1
学 有意数义，必须满足
学 数a 0.
学 数
学 数
a
可 丨 学 数
可 丨 学 数
可 丨 学 数
可 丨 学 数
即
即
即
即
即
即
即
即
即
1、若 即a 的算术平方即根有意义，则 a即的取值范围是即（ ） 即
即
即
即
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
望
望
望
望
望
望
望
望
望
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
学
学
学
学
学
数 3、下列说法数中：① 3 都数是 27 的立方根数，② 3
y3
学 y ，数③
64
学 的立方数根是
2，④
3
数学82
学 4 。其数中正确的
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
也 望
可
可 丨 学
可 丨 学
可
可
学x 叫丨做 a 的平方学根丨．
可 丨 学
可 丨 学
可 丨 学
可 丨 学
可 丨 学
可 丨
a （ a丨可0）
学
学
可 丨 学
可 丨 学
a 丨0可 学
可 丨 学
可 丨 学
可 丨 学
数
（2数）开平方的定义数：求一个数的平数方根的运算，数叫做开平方．开数平方运算的被数开方数必须是非数负数才有意义数。
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
望 可
可平望 方根可、望 立方可根望 单元可复望习巩固可望
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
丨 学 数
丨 学 数
丨
丨
丨
学 数
【基础数学知识巩固数学】
望
望
望
望
望
可 也 望
可
可
可
可
也 望
（5）望x也3 a
<—望>也
x
3
a
也 望
可 也 望
可 也 望
可 也 望
可 也 望
可 也 望
望
可
（可3）当被开方数可扩大时，它的可算术平方根也扩可大；
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨 a 是 x 的立丨方
丨 x 的立方是丨a
丨
丨
丨
丨
丨
学
学
当被学开方数缩小时与学它的算术平方学根也缩小。 学
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
学 2、下列语学句中，正确的学是（ ） 学
数
数
数
数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
4、（1）数3学 27 ＋
(数3)学2 － 3 1
学 数
（数2）学3 27
数0 学
1 4
3
0.1数25学 3
1
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
可 丨
丨
学 数
数学A．
0.7
学 数
B．数学0.7
数学C． 0.7
学 数
D．数0学.49
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
学 数
5、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
即 可
即 A、－2可与 (2)2
a 2数 a
数
；注数意 a 的双重数非负性： 数
数
数
数
数
即
即 （3）平方即与开平方互为逆即运算： 3 的平即方等于 9，9 的即平方根是 3即
即
即
即
即 - a （ a <即0）
即
即 a 0 即
即
即
即
可 也
（4）也一可个正数有两个也平可方根，即正也数可进行开平方运也算可有两个结果也；可
可
可
可
a 的即算术平方根是即x
可
可
即 可
即 可
即 可
即 可
可
也 望
也
也
也
望（1）平方根的望定义：如果一望个数
x
也
也
的平方等望于 a，那么这望个数 x
就叫做
也
也
a望的平方根．即望：如果
x
2
也 a ，望那么
（也6）正数和零的也算术平方根都只也有一个，零的也算术平方根是零也。
望
望
望
望
望
也 望
也 望
Fra Baidu bibliotek也 望
数
即
（2） a 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， a 是一个有限数；
即
即
即
即
即
即
即
即
即
求负数即的立方根，可即以先求出这个负即数的绝对值的即立方根，再取其即相反数，即 3 即a 3 a a 即0 。
即
可 也 望
可 也 望
也可当 a 不是一个也完可全平方数时也，可 a 是一个无也限可不循环小数也。可
可 也
可 也
可 （7）平方可根和算术平方可根两者既有区别可又有联系： 可
也
也
也
也
也
可 也
可 也
可 也
可 也
望 可
望 可
一个负数没可有望平方根，即可负望数不能进行开可平望方运算
望 可
望 可
望 可
望 可
区别望在于正数的平望方根有两个，而望它的算术平方望根只有一个；望
可
可
可
可
可
望 可
望 可
望 可
望 可
丨
丨
望； 3 (6)3 望
； ( 望196)2 = 望. 3 8 = 望 .
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
可 丨 学
可
可
可
丨
丨
丨
数学3、① 2数+3学 2 —5 2数学
可 丨 学 数
可
可
丨 学② 数
7 ( 数17学-丨7 )
可 丨 学 数
可 丨 学 数
a丨本可身为非负数，丨有可非负性，即丨可a ≥0； a 有丨意可义的条件是丨a≥可0。
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨联系在于正数丨的正平方根就是丨它的算术平方丨根，而正数的丨负平方根是它的丨算术平方根的丨相反数。 丨
丨
学
学 （5）符号学：正数 a 的正的学平方根可用 学a 表示， a 也学是 a 的算术平方学根；
学
学
学
学
学
学
学
学
学
学
学
数
数
数
数
数
数
数
数
数3、立方根 数
数
数
数
数
数
数
数
即
正数 a 的负的平方根可用- a 表示．
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
可
可知识点五：有可关平方根的可解答题 可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
学 1、一个学正数 a 的平方学根是 3x―4 与学2―x，则 a学是多少？ 学
学
学
学
学
学
学
学
学
学
即
即
即
即
即
即
即
即
（即1）立方根的定即义：如果一个数即x 的立方等于 即a ，这个数叫做即a 的立方根（也叫即做三次方根）即，即如果 x3 a即，
即
可
可（6） x2 a可 <—> x可 a
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也 那么 x 叫做也a 的立方根 也
也
也
也
也
也
望 可 丨 学
学 数
有（
）
（3） （3 9）2 （3 10）2
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
可
A可、1 个 B、可2 个
C可、3 个 D、可4 个
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
也
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
可 丨
4、 0丨.7可2 的平方根丨是可（
丨）可
丨 学
2、数要使 2x 6数有意义，x 应满数足的条件是 数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
即
即
可 3、当 x可=
也
也
即 时，可式子 也
xx21也有可意即义。
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
即 可 也
可 也
望
望
也
也
也
也
也
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
望
可 A、一切丨数
学
可 B、丨正数 学
可
可
可
C、丨非负数 丨D、非零数 丨
学
学
学
可 丨 学
可 丨 学
可 丨 学
可
可
4、若 学a、丨b、c 满足 a学丨3
(5
可 b)学2 丨 c
1
可 0学，丨求代数式
b
a学c丨的可值。
可 丨 学
可 丨 学
可 丨 学
63 64
学 数
学 数
数
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
即
即B．负数没有立即方根
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
可
也 望
C．一个望实也数的立方根望不也是正数就是负望数也
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
也 望
望
可 丨
D丨．可立方根是这个丨数可本身的数共丨有可三个
丨 学
数
2、数算术平方根 数
数
数
数
数
数
数
数 其中 a 叫被数开方数，3 叫数根指数，不能省数略，若省略表数示平方。 数
数
数
数
即
（1）即算术平方根的定即义： 一般地，即如果一个正数即x 的平方等于即a，即 x2 a ，即那么这个正数即x 叫做 a 的算 即
（3） 一个正数有一个正的立方根；
即
即
即
即
望
可
可
可
可
望 可
望 可
望 可
望 可
望 可
丨 学
丨 学
丨 也学就是，在等式
x学2 丨
a
丨 (x≥0)中学，规定
x
丨 a学。
丨 学
丨 学
丨
任何丨数都有唯一的立丨方根。
丨
学
学
学
学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
数
数
数
数
数
数
数
数
数
（4）数利用开立方和数立方互为逆运算数关系，求一个数数的立方根，就数可以利用这种数互逆关系，检验数其正确性， 数
丨 学 数
丨 学 数
丨 学 数
（5学）丨x2 a (x≥0学) 丨 <—> 学x丨 a
丨 学
数
数
数
数
丨 学 数
丨 学 数
丨 学 数
丨 学 数
丨 学 数
一、平方根、算数平方根和立方根
a 是 x 的平方
x 的平方是 a
即 可
1、平方可根即
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
即
x 是 a即的算术平方根即
学 数
学 数
数
即
即 可
2
1 4
=
_____即______， 可
即169 可
=
______即_____， 可
3
可287即_________可_即_.
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
即 可
也
也
也
也
也
也
也
也
也 知识点四：也关于有意义也的题
也
也
也
也
也
也
望 2、 (望4)2
a可是望x 的平方
望 可
学丨x 是 a 的平学方根丨
x可的望平方是 a
望 可
学丨a 的平方根学是丨x
望 可 丨 学
望 可 丨 学
望 可 丨 学
望
望
望
望
望
望
可 丨
（2）丨一可个数 a 的立丨方可根，记作 3 a丨，可读作：“三次丨根可号 a ”，
可 丨
学
学
学
学
学
学
望 可 丨 学
望 可 丨 学
望 可 丨 学
学
学
学
学
学
学
学
学
学
学
学
学
数
数
数
数
数
数
数
数
数
x 是 a数的立方根 数
a 的立数方根是 x 数
数
数
数
数
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小） a 倍，例如 25 =5， 2500 =50。
即
即
即
即
即
即
即
即
即
（即6） 3 a 3即a ，这说明三次即根号内的负号即可以移到根号外即面。
丨 学④
丨 3 8 学(2)2
1
丨 学
丨 学
丨 学
丨 学
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
数
4数
数
数
数
知识点一：有关概念的识别
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
即
可 也
1、也下可列说法中正也确可的是（
）可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
望 可
可A望、 81 的平可方望根是±3 可B望、1 的立方可根望是±1 C、可望1 =±1 D可、望 5 是 5 的可平望方根的相反可望数
即
即
即
即
可 也
可 也
也可术平方根．也a 可的算术平方根也记可为 a ，读作也“可根号 a”，a 叫也做可被开方数．也可
可 也
可0 有一个立方根可，是它本身；可
也
也
也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
可 也
望 可
望 可
望 可
规定：可0 望的算术平方根可是望0.
望 可
望 可
望 可
望 可
望 一个负数有望一个负的立方望根；
望 可
（可2望） 4x2 12可1 望
望 可
（3可）望(x 2)3 1可25望
望 可
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
丨
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学 数
1、25数的学算术平方根数是学_______；数平学方根是___数__学. -27
立方根数是学_______.
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