两角和与差的正切公式

第4课时 两角和与差的正切公式

【教学目标】

1、掌握用同角三角函数关系式推导出两角和与差的正切公式.

2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值.

3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明. 【教学重点与难点】

重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用.

难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点. 【教学过程】

导入

我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan 75︒.

在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan 75︒的值. 问题引入

两角和、差的正弦公式：

=+)sin(βα________________________，=-)sin(βα_________________________

两角和、差的余弦公式：

=+)cos(βα_______________________，=-)cos(βα_______________________

构建新知 推导过程

sin()

tan()cos()

αβαβαβ++=

+

sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβ

αβαβ

+=

-

分子分母同时除以cos cos αβ，得 tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

++=-

两角和、差的正切公式：

=+)tan(βα________

tan tan 1tan tan αβ

αβ

+-________________________

用β-代替β，就可得到

=-)tan(βα___________

tan tan 1tan tan αβ

αβ

-+_____________________

例题分析 例1 求值

（1）0

75tan ；（2）0

00043tan 17tan 143tan 17tan -+ ；(3) 00

75tan 175tan 1-+

解 （1）0

tan 75tan(4530)=︒+︒

tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒

=

-︒︒

=

（2）

00

00

tan17tan 43tan(1743)1tan17tan 43+=︒+︒=-

（3）00

1tan 75tan 45tan 75tan(4575)1tan 751tan 45tan 75+︒+︒

==︒+︒=--︒︒

特殊角的三角函数值

例2 已知7

tan ,5)tan(==

-ββα，求αtan . 解 []tan tan ()ααββ=-+ tan()tan 1tan()tan αββ

αββ

-+=

--

1=

随堂训练 1．填空：

（1）=0

105tan

___________________

（2）

=+-12

tan

125tan 112tan 125tan

πππ

π

________tan 3

π=（3）0

15tan 115tan 1+-

=_________tan 303︒=______________

（4）=-+115tan 1

15tan 00

_____00

tan1511tan15+-=-__________________

2．已知5

3

)tan(,23tan =-=

βαα，求βtan . 解 []tan tan ()βααβ=-- tan tan()

1tan tan()

ααβααβ--=

+-

919

=

3．ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，且B A tan ,tan 是方程0282532

=+-x x 的两个实根，求角C.

解 因为B A tan ,tan 是方程0282532

=+-x x 的两个实根 根据韦达定理 25tan tan 3A B +=

，28

tan tan 3

A B ⋅= []tan tan ()C A B π=-+tan()A B =-+ tan tan 1tan tan A B

A B

+=-

-1=

所以4

C π

=

课堂小结

本节课后，我们系统的学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，对于公式我们要熟记，用途就是要会求非特殊角的三角函数值。一些问题的解决需要借助一些技巧，如拆角，例2的()ααββ=-+，随堂2的()βααβ=--，这要根据已知条件去选择.