2018-2019年人教A版高中数学选修4-5练习：第三讲 二 一般形式的柯西不等式 Word版含解析
人教版高中数学选修4-5练习：第三讲 复 习 课 Word版含解析
复习课整合·网络构建]警示·易错提醒]1．柯西不等式的易错点．在应用柯西不等式时，易忽略等号成立的条件．2．排序不等式的易错点．不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用传递性来解决的，由a＞m，b＞m，推出a＞b是错误的．专题一柯西不等式的应用柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来证明不等式，还可以用来求参数的取值范围、方程的解等，而应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且注意等号成立的条件．例1] 已知|x |≤1，|y |≤1，试求x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值． 解：由柯西不等式，得x 1－y 2＋y 1－x 2≤x 2＋（1－x 2）2·y 2＋（1－y 2）2＝1，当且仅当xy ＝1－x 2·1－y 2， 即x 2＋y 2＝1时，等号成立，所以x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值为1. 归纳升华柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件．变式训练] 若n 是不小于2的正整数，求证：47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. 证明：因为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以原不等式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22.由柯西不等式，有：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]≥n 2.因为n 是不小于2的正整数， 所以等式1n ＋1＝1n ＋2＝ (12)不成立，于是1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞n 2（n ＋1）＋（n ＋2）＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47. 由柯西不等式，得1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜ （12＋12＋…＋12）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（n ＋1）2＋1（n ＋2）2＋…＋1（2n ）2＜n ·12n ＝22.所以原不等式成立． 专题二 排序不等式的应用应用排序不等式可以比较方便地证明一类不等式，但在应用排序不等式时，要抓住它的本质含义：同向时乘积之和最大，反向时乘积之和最小．例2] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a22b≥a ＋b ＋c .证明：设a ≥b ≥c ＞0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ，①a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.② ①＋②，得2⎝⎛⎭⎪⎫a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ＋a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b，则2(a ＋b ＋c )≤a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ，所以a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b≥a ＋b ＋c 成立．归纳升华应用排序不等式的关键在于构造两个数组．而数组的构造需要考虑条件和结论间的关系，因此需要对式子观察分析，给出适当的数组.变式训练] 已知a ，b ，c ∈R ，求证a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc.证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则有a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc .由排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b . 又a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c ，由排序原理，得a 3c ＋ab 3＋bc 3≤a 4＋b 4＋c 4，所以a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc.专题三 转化与化归思想转化与化归思想是指在解决问题时，将问题通过变换使之化繁为简，化难为易的一种解决问题的思想．例3] 求使lg(xy )≤lg a ·lg 2x ＋lg 2y 对大于1的任意x 与y 恒成立的a 的取值范围．解：因为lg 2x ＋lg 2y ＞0，且x ＞1，y ＞1，所以原不等式等价于lg a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y max .令f (x ，y )＝lg x ＋lg ylg 2x ＋lg 2y＝（lg x ＋lg y ）2lg 2x ＋lg 2y＝1＋2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y (lg x ＞0，lg y ＞0)．因为lg 2x ＋lg 2y ≥2lg x lg y ＞0， 所以0＜2lg x lg ylg 2x ＋lg 2y≤1，所以1＜f (x ，y )≤2，即lg a ≥2， 所以a ≥102.归纳升华解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过求解新问题，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“化归与转化的思想”．本讲常见的化归与转化的问题是通过换元或恒等变形把命题的表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式．变式训练] 已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n （n ＋1）(n ∈N *)，求证：n （n ＋1）2＜a n ＜n （n ＋2）2.证明：因为n （n ＋1）＝ n 2＋n ，n ∈N *， 所以n （n ＋1）＞n ，所以a n ＝1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）＞1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.因为n （n ＋1）＜n ＋（n ＋1）2，所以a n＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n＋（n＋1）2＝12＋(2＋3＋…＋n)＋n＋12＝n（n＋2）2.综上得n（n＋1）2＜a n＜n（n＋2）2.。
新人教A版高中数学(选修4-5)《二维形式的柯西不等式》word教案
选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii ini i i b a a b a 21)(.当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式习题课件新人教A版选修4_5
解析：选 A.因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2 ≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21 ＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1， 当且仅当 ai＝kxi (i＝1，2，…，n)时，等号成立， 所以 a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最大值是 1.故选 A.
3．已知 x2＋3y2＋4z2＝2，则|x＋3y＋4z|的最大值为( )
)
A．1
B．4
C．6
D．9
解析：选 C.由柯西不等式得
(a＋b＋c)1a＋4b＋9c
＝[( a)2＋( b)2＋( c)2]·
1a2＋
4b2＋
92 c
≥
a·1a＋
b·2b＋
c·3c2＝36.
即 61a＋4b＋9c≥36.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二 一般形式的柯西不等式
[A 基础达标]
1．设 a，b，c 为正数，且 a＋b＋4c＝1，则 a＋ b＋ 2c的最
大值为( )
A．
10 2
B． 10
C．2 10
D．3 10
解析：选 A.由柯西不等式，得( a＋ b＋ 2c)2
≤12＋12＋
222[(
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选 B.由柯西不等式知(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y
＋4z)2，
又 x2＋3y2＋4z2＝2 所以 2×8≥(x＋3y＋4z)2.
所以|x＋3y＋4z|≤4.
当且仅当 x＝ 33y＝22z，即 x＝y＝z＝12时取等号．
4．设 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝6，则1a＋4b＋9c的最小值为(
)
人教版数学高二A版选修4-5课后导练3.2一般形式的柯西不等式
课后导练基础达标1设A=a 2+b 2+c 2,B=ab+bc+ca(a,b,c ∈R ),则A 、B 的大小关系是( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B解析:(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.答案:C2若a,b,c>0且ab+bc+ca=1,则a+b+c 的最小值为( )A.1B.2C.3D.3解析:(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2=1.∴a 2+b 2+c 2≥1.从而(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)≥1+2=3.∴a+b+c≥3.答案:D3若a≠b,则a 2+3b 2与2b(a+b)的大小关系为( )A.a 2+3b 2>2b(a+b)B.a 2+3b 2<2b(a+b)C.a 2+3b 2≥2b(a+b)D.a 2+3b 2≤2b(a+b)解析:(a 2+3b 2)2=(a 2+b 2+2b 2)(b 2+a 2+2b 2)>(ab+ba+2b 2)2=4b 2(a+b)2(∵a≠b,∴“=”不取),∴a 2+3b 2>2b(a+b).答案:A4若a,b ，c ＞0，则M=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2),N=9abc 的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M≥ND.M≤N解析:∵(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ac)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.∴(a+b+c)(a 2+b 2+c 2)≥(a+b+c)(bc+ac+ab) ≥(ab c ac b bc a •+•+•)2 =(abc 3)2=9abc.∴M≥N.答案:C5设a,b,c>0，M=ab+bc+ca+c 2,N=ab+a+b+1,P=16abc,则MN 与P 的大小关系是( )A.MN>PB.MN≤PC.MN≥PD.MN<P解析:MN=(ab+bc+ca+c 2)·(ab+a+b+1)=abc(c 1+a 1+b 1+ab c )(1+a+b+ab)≥abc(c 1+1+1+c )2=abc(c 1+1+1+c )(c +1+1+c 1)≥abc(1+1+1+1)2=16abc.答案:C综合运用6已知A 、B 、C 是三角形三内角的弧度数，则C B A 111++与π9的大小关系为( ) A.C B A 111++≥π9 B.C B A 111++≤π9 C.C B A 111++>π9 D.C B A 111++<π9 解析:∵A ＋B ＋C ＝π,∴(A+B+C)(CB A 111++)≥(1+1+1)2=9. ∴C B A 111++≥π9. 等号当且仅当A ＝B ＝C=π3时取得. 答案:A7a 、b 、c ∈R +，求证：)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++. 证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a),∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［ac c b b a +++++111］≥(1+1+1)2=9. ∴)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++. 等号当且仅当a=b=c 时取得.8a ∈R ，求证:(1+a+a 2)2≤3(1+a 2+a 4).证明:3(1+a 2+a 4)=(1+1+1)(1+a 2+a 4)≥(1+a+a 2)2.9设a 、b 、c ∈R +，求证：abc ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2. 证明:(bc+ac+ab)(abc ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2. 又bc+ac+ab≤a 2+b 2+c 2,∴(a 2+b 2+c 2)(abc ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2, 即abc ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2.拓展探究10设n 是不小于2的正整数，证明2221211174<+++++≤n n n . 证明:∵(nn n 212111+++++ )·［(n+1)+(n+2)+…+2n ］≥(1+1+…+1)2=n 2, n n n 212111+++++ ≥1322)2()1(2+=+++++n n n n n n 742323211=+≥+=--n 由柯西不等式,nn n 212111+++++ ≤])2(1)2(1)1(1)[111(222222n n n ++++++++ 22)211(])2)(12(1)2)(1(1)1(1[=-=-++++++•<n n n n n n n n n n 备选习题11已知非负数x i (i=1,2,3,…,n)满足x 1+x 2+…+x n =1, 求证：n x x x n ≤+++21(n ∈N *). 证明:))(1111()(12121n n x x x x x x n n +++++++=+++=• 221)(n x x x +++≥ =n x x x +++ 21∴原不等式成立.12设三角形三边分别为a,b,c,半周长为p. 求证：p c p b p a p 3≤-+-+-. 解析:设z c p y b p x a p =-=-=-,,, 记c p b p a p -+-+-=s,则x+y+z=s,x 2+y 2+z 2=p.（注:a+b+c=2p ）由柯西不等式得s 2=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3p ⇒s≤p 3, 即p c p b p a p 3≤-+-+-13(第18届美国数学奥林匹克试题)试确定方程组x+y+z=3...(1)x 2+y 2+z 2=3 (2)x 5+y 5+z 5＝3…（3）的一切实数解.解析:由已知并根据柯西不等式得32=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3×3, 上式等号成立的充要条件是111z y x ==,代入(1)，得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解，经验证也是（3）的解，所以原方程组的唯一实数解是(1,1,1). 14设x i ∈R +（i=1,2,…,n ），试证(x 1+x 2+…+x n )［n x x x 11121+++ ］≥n 2. 证明:［(1x )2+(2x )2+…+(n x )2］ ［(11x )2+(21x )2+…+(nx 1)2］ ≥［1x ·11x +2x ·21x +…+n x ·nx 1］2 =(1+1+…+1)2.15设a,b,c ∈R +，试证2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 证明:［(c b a+)2+(a c b +)2+(ba c +)2］ ［(cb +)2+(ac +)2+(b a +)2］≥(a+b+c)2,即(ba c a cbc b a +++++222)(b+c+c+a+a+b)≥(a+b+c)2. 故2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 16设a,b,c,d ＞1，且log a (bcd)≤9,试证log b a+log c a+log d a≥1.证明:［(a b log )2+(a c log )2+(a d log )2］［(b a log )2+(c a log )2+(d a log )2］ ≥(log b a·log a b+log c a·log a c+log d a·log a d)2=(1+1+1)2=9, log b a+log c a+log d a ≥)(log 9log log log 9bcd d c b a a a a =++≥1.。
【人教A版】高中数学选修4-5课后习题解答
新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题解答第一讲 不等式和绝对值不等式 习题1.1 （P9）1、（1）假命题. 假如32>，但是3(1)2(1)⋅-<⋅-. （2）假命题. 假如32>，但是223020⋅=⋅. （3）假命题. 假如12->-，但是22(1)(2)-<-.（4）真命题. 因为c d <，所以c d ->-，因此a c a d ->-. 又a b >，所以a d b d ->-. 因此a c b d ->-. 2、因为22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=> 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+3、（1）因为a b >，10ab >，所以11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>，即11a b <； （2）因为a b >，0c <，所以ac bc <. 因为c d <，0b >，所以bc bd <. 因此ac bd <.4、不能得出. 举反例如下：例如23->-，14->-，但是(2)(1)(3)(4)-⨯-<-⨯-.5、（1）因为,a b R +∈，a b ≠，所以22a b ≠，即b aa b ≠. 所以2b a a b +>=.（2）因为0a b +>>，所以1a b <+所以122ab ab a b ⨯<=+2aba b <+6、因为,,a b c 是不全相等的正数所以a b +≥b c +≥，c a +≥，以上不等式不可能全取等号.所以（1）()()()8a b b c c a abc +++>=（2）()()()a b b c c a +++++>所以a b c ++>7、因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥ 所以22222222()()()()2()a b b c c d d a ab bc cd da +++++++≥+++ 即2222a b c d ab bc cd da +++≥+++8、因为2211112a x a x +≥，2222222a x a x +≥，……，222n n n n a x a x +≥ 所以22222212121122()()2()n n n n a a a x x x a x a x a x +++++++≥+++即112222()n n a x a x a x ≥+++，所以11221n n a x a x a x +++≤9、因为2222222222(2)()()02244x y x y x y x y xy x y +++-++--==≥， 所以222()22x y x y ++≥. 10222=≥=22≥11、因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222222()()()()222()()1a b b c c a a b c a b b c c a a b ca b c =++++++++≥+++++=++=所以22213a b c ++≥12、（1）因为,,a b c R +∈，所以3a b c b c a ++≥，3b c a a b c ++≥= 所以()()9a b c b c ab c a a b c++++≥（2）因为,,a b c R +∈，所以0a b c ++≥>，2220a b c ++≥所以222()()9a b c a b c abc ++++≥= 13、设矩形两边分别为,a b ，对角线为定值d ，则222a b d +=∴222222()22()2a b a b ab a b d +=++≤+=∴a b +≤，2()a b +≤ ∴当且仅当a b =时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为因为22222a b d ab +≤=，当且仅当a b =时等号成立 所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为22d14、因为222()2h r R +=，所以22244r h R +=.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得2222422R r r h =++≥所以，球内接圆柱的体积2V r h π=≤当且仅当222r h =，即r =，h R =时，V 取最大值.15、因为222a b ab +≥，所以2212ab a b ≤+，即2212b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+，22220min{,}b bh a a b a b <=≤++所以22212b h a a b ≤⨯≤+，从而h ≤习题1.2 （P19）1、（1）()()22a b a b a b a b a a ++-≥++-==（2）2()2a b b a b b a b -+≥-+=+，所以2a b a b b +--≤2、证法一：2212112x xx x x x x x+++==≥=. 证法二：容易看出，无论0x >，还是0x <，均有11x x x x+=+所以112x x x x +=+≥3、（1）()()x a x b a x x b a x x b a b -+-=-+-≥-+-=- （2）因为()()a b x b b a x b b a x b x a -+-=-+-≥-+-=- 所以x a x b a b ---≤-另证：()()x a x b x a x b a b ---≤---=-4、（1）()()()()22A B a b A a B b A a B b εεε+-+=-+-≤-+-<+=（2）()()()()22A B a b A a b B A a b B A a B b εεε---=-+-≤-+-=-+-<+=5、4646(4)(6)2y x x x x x x =-+-=-+-≥-+-= 当且仅当(4)(6)0x x --≥，即[4,6]x ∈时，函数y 取最小值2.6、7、8、（1）5235x -<-< 228x -<< 14x -<<∴原不等式的解集为(1,4)-（2）251x -≤-或251x -≥ 24x ≤或26x ≥ 2x ≤或3x ≥∴原不等式的解集为(,2][3,)-∞+∞ （3）13132x -<+< 1422x -<<84x -<<∴原不等式的解集为(8,4)-（4）2418x -≥ 414x -≥414x -≤-或414x -≥ 43x ≤-或45x ≥ 34x ≤-或54x ≥ ∴原不等式的解集为35(,][,)44-∞-+∞（1）6341x -≤+<-或1346x <+≤ 1035x -≤<-或332x -≤≤ 10533x -≤<-或213x -≤≤ ∴原不等式的解集为1052[,)(1,]333---（2）9523x -<-≤-或3529x ≤-< 1428x -<-≤-或224x -≤-< 47x ≤<或21x -<≤ ∴原不等式的解集为(2,1][4,7)-（1）令30x -=，50x -=得3x =，5x = ①当3x <时354x x -+-+≥9、(1,)a ∈+∞第二讲 证明不等式的基本方法 习题2.1 （P23）1、因为a b >，所以0a b ->. 因此33()a b ab a b ---222222()()()()()()()0a b a ab b ab a b a b a ab b ab a b a b =-++--=-++-=-+>所以33()a b ab a b ->-2、因为ad bc ≠，所以22222()()()a b c d ac bd ++-+（2）令20x -=，30x +=得2x =，3x =- ①当3x <-时234x x -+--≥ 52x ≤-∴3x <-②当32x -≤<时234x x -+++≥ 54≥ ∴32x -≤< ③当2x ≥时234x x -++≥32x ≥∴2x ≥∴原不等式的解集为R（3）令10x -=，20x -=得1x =，2x = ①当1x <时122x x -+-+<12x >∴112x << ②当12x ≤<时 122x x --+< 12< ∴12x ≤< ③当2x ≥时122x x -+-<52x <∴522x ≤<∴原不等式的解集为15(,)22222222222222()(2)()0a c a dbc bd a c a b c d b da dbc =+++-++=->所以22222()()()a b c d ac bd ++>+3、因为a b ≠，所以42242264()a a b b ab a b ++-+4224222222222222424()4()2()(2)(2)(2)()0a ab b a b ab a ba b a b a b a b a b a b a b =++-++=+-+⋅+=+-=->所以42242264()a a b b ab a b ++>+ 4、因为,,a b c 是正数，不妨设0a b c ≥≥>，则()1a b a b -≥，()1b c b c -≥，()1c a ca -≥因为0b c c aaa bc+++>，且222222()()(a b c a bcbcab ccaaba bc a babca bcbc a---------+++==≥所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥ 习题2.2 （P25）1、因为222252(2)(2)(1)0a b a b a b ++--=-+-≥，所以2252(2)a b a b ++≥-.2、（1）因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++16c a b c ≥⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥（2）因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+222()(2)()()0a b a a b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+，33()b c b c bc +≥+，33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 3、略.4、要证明1110a b b c c a ++>---，即证明111a b b c a c+>--- 因为a b c >>，所以0a c a b ->->，从而110a b a c>>-- 又因为10b c >-，所以111a b b c a c +>---，所以1110a b b c c a ++>---5、要证2m m n +≥()2m nn m m n m n ++≥.因为2()()2m n m n m nm n mn ++++≥= 只需证2()m n n m mn m n +≥，即证22()m n n m mn m n +≥，只需证()1m n mn -≥，不妨设m n ≥，则0m n -≥所以()1m n mn -≥. 所以，原不等式成立.6、要证明()()f a f b a b -<-，即a b <-，即a b <-因为a b ≠，所以只需证a b +<∵a b a b +≤+<∴a b +<，从而原不等式成立.7、22log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+21l o g (1)l o g 1a a xx x -=-+ 又因为01x <<，所以2011x <-<，1011xx-<<+. 所以21log (1)log 01a axx x -->+ 所以22log (1)log (1)0a a x x --+>，即22log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+8、因为0n >，所以2244322n n n n n +=++≥= 9、因为22221(1)(1)0ab a b a b ---=-->，所以1ab a b ->-习题2.3 （P29）1、因为0,,1a b c <<，根据基本不等式2(1)10(1)()24a a a a -+<-≤= 2(1)10(1)()24b b b b -+<-≤=，2(1)10(1)()24c c c c -+<-≤= 所以31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->这与31(1)(1)(1)()4a ab bc c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于14.2、一方面，222211111111234233445(1)n n n ++++>++++⨯⨯⨯+1111111111()()()()233445121n n n =-+-+-++-=-++ 另一方面，222211111111234122334(1)n n n++++<++++⨯⨯⨯-111111111(1)()()()1223341n n n n n-=-+-+-++-=-=-所以，2222111111121234n n n n --<++++<+3、当1n =时，不等式12n++<1<.当2n ≥<<<<所以1<，<-，<，……，<所以11(3nn++4、假设2211(1)(1)9x y --<. 由于,0x y >且1x y += 所以2222221111(1)(1)x y x y x y----=⨯2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111291x x y y x y x y y x x y x y x y x x x x+-+-=⨯++=⨯++=⨯+-=⨯<-得2(21)0x -<，这与2(21)0x -≥矛盾，所以2211(1)(1)9x y--≥ 5、因为2r h V π=（定值）所以，圆柱的表面积222S r rh ππ=+22r rh rhπππ=++≥== 当且仅当22r rh rh πππ==时，等号成立.所以，当2h r =，即h r ==. 6、2(1π 第三讲 柯西不等式与排序不等式 习题3.1 （P36）1、函数定义域为[5,6]，且0y ≥5y=≤=当且仅当=13425x=时，函数有最大值5.2、三维柯西不等式2222222123123112233()()()a a ab b b a b a b a b++++≥++三维三角不等式2221)(z x+≥-3、因为22236x y+≤，所以2x y+≤=.因此2x y+4、因为221a b+=，所以cos sin1a bθθ+≤5、因为1a b+=，所以2212121212()()(()ax bx bx ax a b x x x x++≥=+=6、222()(14)(2)1x y x y++≥+=，即2215x y+≥当且仅当12,55x y==时，22x y+有最小值157、2119()(2)22a bb a++≥=当且仅当21ab=（,a b R+∈）时，函数有最小值928、12()()pf x qf x+=12()f px qx=+9、3sin3siny x x=++≤=当且仅当tan x=习题3.2 （P41）1、22111111()()39a b ca b c a b c++=++++≥==推广：若12,,,nx x x R+∈，且121nx x x+++=，则212111nnx x x+++≥.证：121212111111()()n n nx x x x x x x x x +++=++++++221x n x ≥+⋅= 2、因为2222222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++ 222(1111)()11a b c d a b c d ≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++==所以222214a b c d +++≥ 3、22121212111111()()()n n n x x x x x x n x x x x x x ++++++≥⋅+⋅++⋅= 4、2221112()a b b c ca ab bc c a++=++++++++222111()()9a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c aa b c+++=+++++++++++++≥+===++上式中等号不成立，这是由于,,a b c 是互不相等的正数， 所以111:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a+++≠≠+++++++++.5、因为2222222()(234)(234)10100x y z xy z ++++≥++==，所以22210029x y z ++≥.当且仅当203040,,292929x y z ===时，222x y z ++有最小值10029. 6、因为2221212()(1)111n nx x x n x x x +++++++222121212212()[(1)(1)(1)]111()1n n nn x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥+++=所以222121211111n n x x x x x x n +++≥++++ 习题3.3 （P45） 1、由加法交换律及12,,,n c c c 的任意性，不妨假设12n a a a ≤≤≤，这不影响题意.由排序不等式，等222112212n n na c a c a c a a a +++≤+++. 2、由于要证的式子中,,a b c 是轮换对称的，所以不妨假设a b c ≤≤. 于是222a b c ≤≤.由排序不等式，得222222a a b b c c a b b c c a ++≥++222222a a b b c c a c b a c b ++≥++两式相加，得3332222()()()()a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 3、由于要证的式子中123,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设123a a a ≥≥. 于是123111a a a ≤≤，233112a a a a a a ≤≤ 由排序不等式，得122331233112231312312111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥⋅+⋅+⋅=++ 即122331231312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 4、用柯西不等式证明如下：因为2222212123112231()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++≥+++所以222212112231n n n n a a a aa a a a a a a -++++≥+++.用排序不等式证明如下： 设120n i i i a a a ≥≥≥>，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列则12222ni i i a a a ≥≥≥，12111ni i i a a a ≤≤≤.由排序不等式知，反序和最小，从而12122222222121231111n nn n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a -++++≥⋅+⋅++⋅1212n i i i n a a a a a a =+++=+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++习题4.1 （P50）1、（1）当1n =时，左边=1，右边=1， 所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2135(21)k k ++++-=.当1n k =+时，22135(21)2(1)12(1)1(1)k k k k k ++++-++-=++-=+.所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，2135(21)n n ++++-=2、（1）当1n =时，左边=1，右边11(11)(211)16=⨯⨯+⨯+=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21149(1)(21)6k k k k ++++=++.当1n k =+时，2221149(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++21(1)(276)61(1)(2)[2(1)1]6k k k k k k =+++=++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21149(1)(21)6n n n n ++++=++3、（1）当1n =时，左边144=⨯=，右边2124=⨯=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21427310(31)(1)k k k k ⨯+⨯+⨯+++=+.当1n k =+时，1427310(31)(1)[3(1)1]k k k k ⨯+⨯+⨯+++++++2(1)(1)[3(1)1]k k k k =+++++ 22(1)(44)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+4、（1）当1n =时，因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除，所以命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时， 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+2122212122212212212212121222212121()()()()()k k k k k k k k k k k k x x y y x x x y x y y y x xyyy x x x y yy x y x------------=+=+-+=++-=+++-上式前后两部分都能被x y +整除，所以，当1n k =+时命题成立. 由（1）（2）知，2121n n x y --+能被x y +整除.5、凸n 边形有1(3)2n n -条对角线. 下面证明这个命题.（1）当3n =时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即凸k 边形有1(3)2k k -条对角线.当1n k =+时， 凸(1)k +边形的对角线条数为2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，凸n 边形有1(3)2n n -条对角线.6、这样的n 条直线把平面分成的区域数目为1(1)2n nf n =++. 下面证明这个命题.（1）当1n =时，平面被分为112+=个区域，111(11)22f =++=，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即有1(1)2k kf k =++.当1n k =+时， 第1k +条直线与前面k 条直线有k 个不同交点即，它被前面k 条直线截成1k +段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加1k +.于是11(1)1(1)(1)1(2)22k k k k f f k k k k ++=++=++++=++ 2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，对任意正整数n ，命题都成立. 习题4.2 （P53）1、（1）当3n =时，左边11(123)(1)1123=++++=，右边233111=+-=所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即211(12)(1)12k k k k++++++≥+-. 当1n k =+时，111(121)(1)21k k k k ++++++++++ 22222111111(12)(1)(12)(1)(1)2121111111111(1)(1)(1)2121211111111(1)(1)(1)21223413251221231(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++>++=+++-所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立. 2、（1）当17n ≥时，有42n n >.①当17n =时，17421310728352117=>=，命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时，命题成立，即42k k > 当1n k =+时，14422221k kk k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当3n ≥时，有1(1)n n n+<.①当3n =时，3164(1)3327+=<，命题成立. ②假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即1(1)k k k+<当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k <+++<++<+ 所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.3、（1）当2n =时，212122-<，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222111123k k k-+++< 当1n k =+时，2222211111123(1)(1)k k k k k -++++<+++3232221(1)1(1)(1)1k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立. 4、不妨设a b c <<，a b d =-，c b d =+.（1）当2n =时，2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即2k k k a c b +> 当1n k =+时，1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+1()()()2222()22()22k k k k k k kkkkkk k a a c c c a a a c d ca b d c b d b d cb d b d b b+=++-=++>+=-+>-+= 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当1n =时，212(11)22⨯+<，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时，2(1)(1)22k k k k a +++<+<21(1)(1)23(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 21(1)(2)(2)22k k k k a ++++<<所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当2n =时，12121212sin()sin cos cos sin sin sin αααααααα+=+<+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即1212sin()sin sin sin k k αααααα+++<+++当1n k =+时，121sin()k k αααα+++++121121121121sin()cos cos()sin sin()sin sin sin sin sin k k k k k k k k αααααααααααααααα++++=+++++++≤++++<++++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当2n =时，2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222222212121122()()()k k k k a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当1n k =+时，22222222121121()()k k k k a a a a b b b b ++++++++++2222222222222222121212111211()()()()k k k k k k k k a a a b b b a a a b a b b b a b ++++=+++++++++++++++22222222211221111121222221122111111222112211()2()()()2()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++≥+++++++++++≥++++++++=+++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.8、（1）21212111()()n na a a n a a a ++++++≥ （2）①当1n =时，21111aa ⋅=，命题成立. ②假设当(2n k k =≥时，命题成立，即21212111()()k ka a a k a a a ++++++≥ 当1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++ 12121121122221111111()()()()11)()1(1)k k k kk kk a a a a a a a a a a a a a a k a a a a k k ++=+++++++++++++++≥+++++++≥+++所以，当1n k =+时，命题成立. 由①②知，命题对一切正整数成立。
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 复习 素材 精品
柯西不等式应用例析柯西不等式(11a b ＋22a b ＋…＋n n a b )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )(等号当且仅当11a b =22a b =……=n na b 时成立)结构简单，在证明有些不等式时十分奏效．下面介绍几例．例1 已知a 、b 、c R +∈，求证：(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )≥9． 证明：由柯西不等式得 (a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c) = [2＋2＋2][2＋2＋2]≥)2= (1＋1＋1)2= 9． 例2 在△ABC 中，设其各边长为a 、b 、c ，外接圆半径R ，求证：(2a ＋2b ＋2c )(21sin A ＋21sin B ＋21sin C)≥236R ． 证明：∵sin a A =sin b B =sin c C=2R ，∴由柯西不等式得 (2a ＋2b ＋2c )(21sin A ＋21sin B ＋21sin C ) = (sin a A ＋sin b B ＋sin c C)2= (2R ＋2R ＋2R )2=236R ．例3 已知a 、b 、c ∈R +，a ＋b ＋c = 1，求证：113+a ＋113+b ＋113+c ≤43．证明：∵a ＋b ＋c = 1，∴由柯西不等式得 (113+a ＋113+b ＋113+c )2= (11＋1)2≤(12＋12＋12)(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1) = 3[13(a ＋b ＋c)＋3] = 48， ∵113+a ＋113+b ＋113+c ＞0，∴ 113+a ＋113+b ＋113+c= 43．例4 设a 、b 、c ∈R +，a ＋b ＋c = 1，求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c )2≥1003． 证明：∵a ＋b ＋c = 1，∴由柯西不等式得 (a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c)2 =13(12＋12＋12)[(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c)2] ≥13[1·(a ＋1a )＋1·(b ＋1b )＋1·(c ＋1c)]2 =13[( a ＋b ＋c)＋(1a ＋1b ＋1c)]2 =13[1＋( a ＋b ＋c)(1a ＋1b ＋1c )]2 =13{[1＋2＋)2＋2)2＋2＋)2]}2 ≥13[1＋2]2 =13(1＋32)2 =1003． 例5 设1x ，2x ，3x ，…，n x 为正数，求证：212x x ＋223x x ＋234x x ＋…＋21n n x x -＋21n x x ≥1x ＋2x ＋3x ＋…＋n x ．证明：由柯西不等式得 (212x x ＋223x x ＋234x x ＋…＋21n n x x -＋21n x x )(2x ＋3x ＋…＋n x ＋1x ) ≥)2 = (1x ＋2x ＋3x ＋…＋n x )2， ∴212x x ＋223x x ＋234x x ＋…＋21n n x x -＋21n x x ≥21221()n n x x x x x x ++++++ =1x ＋2x ＋3x ＋…＋n x ． 例6 已知1x ，2x ，3x ，…，n x 为两两不相等的正整数，求证：对任何正整数n ，不等式121x ＋222x ＋...＋2n x n ≥11＋12＋ (1)成立． 证明：∵1x ，2x ，3x ，…，n x 是两两不相等的正整数， ∴11＋12＋...＋1n ≥11x ＋21x ＋ (1)x ， 由柯西不等式得 (121x ＋222x ＋...＋2n x n )(11x ＋21x ＋ (1)x ) ≥·2 = (11＋12＋ (1))2， ∴121x ＋222x ＋…＋2n x n ≥212111()12111nn x x x ++++++ ≥1212111111()()12111n n n x x x x x x +++++++++ =11＋12＋ (1)．。
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[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．已知x 2＋y 2＋z 2＝1，则x ＋2y ＋2z 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由柯西不等式得
(x ＋2y ＋2z )2≤(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)＝9，
所以－3≤x ＋2y ＋2z ≤3.
当且仅当x ＝y 2＝z 2时，等号成立．
所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3.
答案：C
2．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( )
A ．1
B ．n
C ．n 2
D ．1n 解析：设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ，
由柯西不等式，得
(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥⎝
⎛⎭⎪⎫x 1×1x 1＋x 2×1x 2＋…＋x n ×1x n 2＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号．
答案：C
3．设a 、b 、c 为正数，则(a ＋b ＋c )·(4a ＋9b ＋36c )的最小值为( )
A ．11
B ．121
C ．49
D ．7 解析：(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c ≥⎝ ⎛ a ·4a
＋b · ⎭
⎪⎫9b ＋c ·36c 2＝121. 答案：B
4．设a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝9，则4a ＋9b ＋16c 的最小值为( )
A ．81
B ．9
C ．7
D ．49 解析：考虑以下两组向量：
u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a
，3b ，4c ，v ＝(a ，b ，c )． 由(u ·v )2≤|u |2·|v |2得
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ·a ＋3b ·b ＋4c ·c 2 ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋9b ＋16c (a ＋b ＋c )， 当且仅当a 24＝b 29＝c 2
16，即a ＝2，b ＝3，c ＝4时取等号，
可得⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋9b ＋16c ·9≥(2＋3＋4)2＝81， 所以4a ＋9b ＋16c ≥819＝9.
答案：B
5．设非负实数α1，α2，…，αn 满足α1＋α2＋…＋αn ＝1，
则y ＝22－α1＋22－α2＋…＋22－αn
－n 的最小值为( ) A.n 2n －1
B ．n 2n ＋1 C.n ＋12n －1
D ．2n 22n －1
解析：为了利用柯西不等式，注意到 (2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn )＝2n －(α1＋α2＋…＋αn )＝2n －1，
所以(2n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn ＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn )]·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn ≥⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2－α1·12－α1＋2－α2·12－α2＋…＋2－αn ·12－αn 2＝n 2，
所以y ＋n ≥2n 22n －1，y ≥2n 22n －1－n ＝n 2n －1
. 等号当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝1n 时成立，从而y 有最小值
n 2n －1
. 答案：A
6．同时满足2x ＋3y ＋z ＝13,4x 2＋9y 2＋z 2－2x ＋15y ＋3z ＝82的实数x 、y 、z 的值分别为______，______，________.
解析：可令x 1＝2x ，x 2＝3y ＋3，x 3＝z ＋2，
则x 1＋x 2＋x 3＝18且x 21＋x 22＋x 23＝108，
由此及柯西不等式得182＝(x 1＋x 2＋x 3)2≤(x 21＋x 22＋x 23)(12＋12＋12)＝108×3， 上式等号成立的充要条件是x 11＝x 21＝x 31⇒x 1＝x 2＝x 3＝6⇒x ＝3，y ＝1，z ＝4.
所以3,1,4是所求实数x ，y ，z 的值．
答案：3 1 4
7．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________．
解析：4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥(a ＋b ＋c ＋d )2， 即4(16－e 2)≥(8－e )2，即64－4e 2≥64－16e ＋e 2.
∴5e 2－16e ≥0，故0≤e ≤165.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，165 8．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，
ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z
＝________. 解析：由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，
当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝k 时取等号．
由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56.
所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.。