金属塑性加工技术 4-金属塑性变形力学解析方法

d
2

d
2
，
忽略高阶微分，整理得：
d r 2 k r 0
dr h
r
对于均匀变形， r ，上式即为：dr 2k 0 dr h
将近似的塑性条件 d r d z
代入上式得：d z 2 k 0 dr hLeabharlann Baidu
金属塑性加工原理与技术
金属塑性加工原理 金属塑性加工原理与技术
Principle of Plastic Deformation in Metals Processing
第四篇 金属塑性变形力学解析方法
金属塑性加工原理与技术
解析对象
主要是求解变形力，此外可以求解变形量和变形速度等
解析方法
金属塑性加工时，加工设备可动工具使金属产生塑性 变形所需加的外力称为变形力。变形力是确定设备能 力、正确设计工模具、合理拟订加工工艺规程和确定
接触面上正应力 z 的分布规律 1．滑动区
k f z
d z
2f
z
0
dr
h
上式积分得：
z
C1
exp
2 fr h

当r=R时， r 0 ，将近似塑性条件 z T
代入上式，得积分常数C1
C1

T
exp
2
f h
R

作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡 微分方程和塑性条件。 这些简化和假设如下：
1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平 面应变问题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧 制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等。
2．假设变形体内的应力分布是均匀的，仅是一 个坐标的函数。这样就可获得近似的应力平衡微 分方程，或直接在变形区内截取单元体切面上的 正应力假定为主应力且均匀分布，由此建立该单 元体的应力平衡微分方程为常微分方程。
方向有塑性流动，即为
平面应变问题，适用于 直角坐标分析。
矩形工件的平锤压缩
金属塑性加工原理与技术
单元体x方向的力平衡方程为：
整理后得： x h ( x d x )h 2 k dx 0
由近似塑性条件
d x 2 k 0
dx h
x y k f
或
dx dy 0 ，得：
于是 C

K f
exp
fW h

因此接触面上正应力分布规律

y
K f
exp

2
f
(0.5W h

x)
最后求得板坯单位长度（Z向单位长度）上的变形
力P可求得为：
W /2
P 2 0
( y )dx K f

h f
exp
f
W h


1

3
2 zr


2 T
可简化为
d r d z 0
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4．简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系 库仑摩擦定律： k f n （滑动摩擦）
常摩擦定律： k k 式中：
（粘着摩擦）
k——摩擦应力 k——屈服切应力（ k s / 3 ） —n —正应力 f ——摩擦系数
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§7.3 圆柱坐标轴对称问题
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体 时变形力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和 接触表面状态没有方向性，则内部的应力应变状态 对称于圆柱体轴线（z轴），即
在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐 标无关，仅与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体 坐标轴对称问题。
圆柱坐标 轴对称问题
工件的受力情况如 右图所示。分析它的 一个分离单元体的静 力平衡条件，得：
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r h rd
( r
d r )h(r
dr)d
2 k
rddr 2 h drsin
d
2

0
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由于很小d，sin
d y dx
2 k h
将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
k f y 代入上式得： d y 2 f y
dx
h
上式积分得：
y
C1
exp 2 f h
x
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在接触边缘处，即 x W / 2 时， x 0 ，
由近似塑性条件得 y k f
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§7.1 工程法及其要点
求解原理
P Sn ds p S
n ——工作应力，一般它在工作面上是不均匀的， 常用单位压力 p 表示
S——工作面积 ，按“工作面投影代替力的投影”
法则 求解
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求解要点 工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态
因此：
z
T
exp

2f h
(R r)
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2．粘着区
将
k T /
3
代入平衡方程得：ddrz

2 T
3h
0
上式积分得： z
2 T 3h
r C2
设滑动区与粘着区分界点为rb。
由 k f Zb / 3 ，得此处 zb T / 3 f
5．其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为 均质和各向同性等。
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§7.2 直角坐标平面应变问题解析
例题一
1. 滑动摩擦条件下的薄板平锤压缩变形（直角坐标平 面应变问题 ）
高为b，宽为W，长为l
的薄板，置于平锤下压
缩。如果l 比b大得多，
则板坯长度方向几乎没
有延伸，仅在x方向和y
毛坯形状尺寸的必要的基本力学参数。
工程法（slab法，主应力法） 滑移线法（slip line） 上限法（upper bound）（下限法）、上限单元法 有限单元法（FEM,Finite Element Method）
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第7章 金属塑性加工变形力的工 程法解析
§7.1 工程法及其要点 §7.2 直角坐标平面应变问题解析 §7.3 圆柱坐标轴对称问题 §7.4 极坐标平面应变问题解析 §7.5 球坐标轴对称问题的解析
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3. 采用近似的塑性条件。工程法把接触面上的正应力 假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条件
( x

y )2

4
2 xy
4k 2
可简化为
x y 2k
x y 0

或
d x d y
对于轴对称问题，塑性条件
( r
z )2