2018年1月北京市各城区导数汇编及答案
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导数汇编 2018.1
1.DC （本小题13分） 已知函数x x x x x f ln 2
1
61)(3-+=
. （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程； （Ⅱ）若()
f x a 对),1
(e e
x ∈恒成立，求a 的最小值.
2.已知函数
. （Ⅰ）求曲线在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，都有，求实数的取值范围.
求证：“
”是“函数
有且只有一个零点” 的充分必要条件.
3. CY(本小题满分13分)
已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2
x π
=
处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值
范围.
4.FT （本小题共13分）
已知函数2
2
()=ln ()f x x ax a x a --∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
5（本小题共13分）
已知函数22()ln ()f x a x x ax a =-+∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在(1,e)上有零点，求实数a 的取值范围．
6.HD （本小题14分）
已知函数2
()222x
f x ax x =---e
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；
（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）
7. （本小题13分）
已知函数2
()(1)e x
f x x ax =-+.
（Ⅰ）求曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：“0a <”是“函数()f x 有且只有一个零点”的充分不必要条件.
8．SJS （本小题共13分）
已知函数ln()
()x a f x x
-=
． （Ⅰ）若1a = ,确定函数()f x 的零点；
（Ⅱ）若1a =-，证明：函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；
（Ⅲ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值.
9．（本小题共13分）
已知函数()32
12()32
a f x x x x a R =-
+-∈. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意(1,)x ∈+∞都有()2f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若过点1(0,)3
-可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围.
10．XC （本小题满分13分）
已知函数()e sin 1ax
f x x =⋅-，其中0a >．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．
11．（本小题满分13分）
已知函数2()ln 2f x x x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为
(2)(1)f f -；
（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．
12．TZ （本题满分13分）
已知函数()ln x a
f x x
-=
，a ∈R . （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）对任意的()1,x ∈+∞，()f x >a 的取值范围.
导数答案
1.（本题满分共13分）
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得21ln 21)('2--=x x x f ，且3
2
)1(=f . 所以0)1('=f .
所以曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为3
2
=y . （Ⅱ）设()'()g x f x =，（
1
x e e
<<） 则211
'()x g x x x x
-=-=.
令'()0g x =得1x =.
当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：
x 1
(,1)e
1 (1,)e
'()g x
-
0 +
()g x
极小
则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e
上单调递增. 又e e e f 2
161)(3-=
， 所以a 的最小值为为311
62
e e -. 2（共14分） 解：（Ⅰ）因为函数
，
所以
, .又因为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
. ………4分