高中数学求导练习题
高中数学导数的运算精选题
导数的运算精选题32道一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知，则＝（）A．B．C．D．7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣49．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．21511．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．19．若函数，则f'（1）＝．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝，＝．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．导数的运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据条件构造函数g（x）＝，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）＝，则g′（x）＝，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）＝2，∴g（0）＝，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3【分析】可先求出导函数，把x换上﹣1即可求出f′（﹣1）的值．【解答】解：；∴f′（﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：C．【点评】考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法．3．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝2a+b＝2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由f（x）＝ax2+bx，得f′（x）＝2ax+b，又f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）＝2a+b＝2，即．则＝．当且仅当，即时“＝”成立．所以的最小值是9．故选：B．【点评】本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e【分析】首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．【解答】解：由关系式f（x）＝2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）＝2f'（e）+，令x ＝e得f'（e）＝2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）＝﹣e﹣1；故选：C．【点评】本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝代入导函数中，列出关于f'（）的方程，进而得到f'（）的值，再求出f′（）即可．【解答】解：，则f′（x）＝﹣f′（）sin x﹣cos x，∴f′（）＝﹣f′（）sin﹣cos，∴f′（）＝0，∴f′（x）＝﹣cos x，∴f′（）＝﹣，故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f'（）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，属于基础题．6．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】对f（x）进行求导，再将x＝代入f′（x），进行求解，从而求出；【解答】解：∵，∴f′（x）＝﹣×cos x+，∴f′（）＝﹣×cos+＝﹣，∵f（π）＝＝﹣，∴＝﹣﹣＝﹣，故选：D．【点评】此题主要考查导数的运算，解决此题的关键是能否对f（x）进行求导，是一道基础题；7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1得到关于f′（1）的方程，解方程求出f′（1），求出f′（x）；令x＝0求出f′（0）．【解答】解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．【点评】在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值．9．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e【分析】可求出导函数f′（x）＝2+3f′（0）•e x，然后即可求出f′（0）＝﹣1，从而得出f′（x）＝2﹣3e x，然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）＝2+3f′（0）•e x，∴f′（0）＝2+3f′（0），解得f′（0）＝﹣1，∴f′（x）＝2﹣3e x，∴f′（1）＝2﹣3e．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．215【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a2a3…a8＝（a1a8）4＝212．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．11．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e【分析】由题意求导f′（x）＝lnx+1，从而得lnx0+1＝2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1；故f′（x0）＝2可化为lnx0+1＝2；故x0＝e；故选：D．【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可．【解答】解：，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，．故选：BC．【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 【分析】根据题意，依次求出选项中函数的导数，分析其导函数的奇偶性，据此分析可得的答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3cos x，其导数f′（x）＝﹣3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x3+x，其导数f′（x）＝3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f（x）＝x+，其导数f′（x）＝1﹣，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f（x）＝e x+x，其导数f′（x）＝e x+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；故选：BC．【点评】本题考查导数的计算，涉及函数奇偶性的分析，属于基础题．三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为3．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：∵f（x）＝（2x+1）e x，∴f′（x）＝2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）＝2e0+（2×0+1）e0＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e．【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．【解答】解：函数f（x）＝e x lnx，则f′（x）＝e x lnx+•e x；∴f′（1）＝e•ln1+1•e＝e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为1．【分析】利用求导法则：（sin x）′＝cos x及（cos x）′＝﹣sin x，求出f′（x），然后把x 等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x＝代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）＝﹣f′（）•sin x+cos x所以f′（）＝﹣f′（）•sin+cos解得f′（）＝﹣1故f（）＝f′（）cos+sin＝（﹣1）+＝1故答案为1．【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝1．【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝，求得a的值．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，f′（1）＝＝，∴＝，则a＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．【分析】由f（x）＝sin x+cos x，利用导数的运算法则，再令x＝，即可得出．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x，∴f′（x）＝cos x﹣sin x，令x＝，则＝cos﹣sin，解得：＝．故答案为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．若函数，则f'（1）＝．【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导得出f′（x），然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝2020．【分析】先求出导函数f'（x），再令x＝2021求解即可．【解答】解：∵，∴，∴f'（2021）＝﹣2021+2f'（2021）+1，∴f'（2021）＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见导数的求导公式的应用以及导数的四则运算的应用，属于基础题．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝﹣4．【分析】先根据导数的运算法则求出f′（x），再求f'（﹣1）．【解答】解：∵，∴，∴f'（﹣1）＝﹣3﹣1＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝5．【分析】求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），∴f′（x）＝2x+3f′（1），令x＝1，则f′（1）＝2+3f′（1），即f′（1）＝﹣1，则f（x）＝x2﹣3x﹣f（1），令x＝1，则f（1）＝1﹣3﹣f（1），则f（1）＝﹣1，即f（x）＝x2﹣3x+1，则f（4）＝42﹣3×4+1＝16﹣12+1＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据导数的公式求出f（1），f′（1）的值以及函数的解析式是解决本题的关键．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝1，＝．【分析】令x＝0，可得到a0＝1，先求导数对比得到2a n＝（n+1）a n+1，再把数列裂项求和即可．【解答】解：令x＝0，则a0＝e0＝1，∵e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴（e2x）′＝2e2x＝a1+2a2x+…+na n x n﹣1+（n+1）a n+1x n+…，∴2a n＝（n+1）a n+1，∴＝，∴＝＝2（﹣），∴＝2（1﹣++•+﹣）＝．故答案为：1；．【点评】本题主要考查导数的基本运算，数列裂项求和的应用，属于中档题．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝2．【分析】先求出f′（x），然后将代入解出即可．【解答】解：，所以，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要是考查了导数的计算以及利用方程思想解决问题的能力．属于较易题．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝﹣2．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x＝2，则f′（2）可求．【解答】解：由f（x）＝x2+3xf′（2），得：f′（x）＝2x+3f′（2），所以，f′（2）＝2×2+3f′（2），所以，f′（2）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】（1）f′（x）＝6x+cos x﹣x sin x；（2）∵∴．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）函数y＝（2x2+3）（3x﹣1），所以y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x•（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9；（2）函数f（x）＝，所以；（3）函数y＝ln，所以．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．【分析】（1）利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（2）令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．可得h′（x）＝≤0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）＝0，即可得出大小关系．【解答】解：（1）（x＞0）．∴g（x）＝lnx+（x＞0）．∴＝，令g′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g （x）单调递增．∴当x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）＝1．综上可得：函数g（x）单调递减区间为（0，1）；函数g（x）单调递增区间为[1，+∞），最小值为1．（2）g（x）＝lnx+（x＞0），＝﹣lnx+x．令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．∴h′（x）＝﹣﹣1＝≤0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．当x＝1时，h（1）＝0，此时g（x）＝．当0＜x＜1时，h（x）＞0，此时g（x）＞．当1＜x时，h（x）＜0，此时g（x）＜．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y′＝18x2+4x﹣3；（2）y′＝（e x cos x）′＝（e x）′cos x+e x（cos x）′＝e x cos x﹣e x sin x＝e x（cos x﹣sin x）；（3）y′＝＝＝．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．【分析】（1）直接利用常见导数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可；（2）利用常见函数的求导公式结合复合函数的求导法则进行求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx+xa x，所以；（2）因为，所以．【点评】本题考查了导数的运算，涉及了常见函数的求导公式的运用、导数的求导法则的运用、复合函数求导法则的应用，属于基础题．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．【分析】（1）（2）（3）根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：（1）方法一：y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9，方法二：∵y＝（2x2+3）（3x﹣1）＝6x3﹣2x2+9x﹣3，∴y'＝18x2﹣4x+9．（2）＝，（3）y′＝3（1+cos 2x）2•（1+cos 2x）′＝3（1+cos 2x）2•（﹣sin 2x）•（2x）′＝﹣6sin 2x•（1+cos 2x）2＝﹣6sin 2x•（2cos2x）2＝﹣6sin 2x•4cos4x＝﹣48sin x cos5x．【点评】本题考查了导数的运算，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，是基础题．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．【分析】（1）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可；（2）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y'＝18x2+4x﹣3；（2）＝．【点评】本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握常见函数的导数公式以及导数的运算律，属于基础题．。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学导数练习题在高中数学学习中，导数是一个重要的概念和工具。
它不仅在微积分中起着重要的作用，也在其他数学领域中有广泛的应用。
为了加深对导数的理解和掌握，我们可以通过练习题来提高自己的能力。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数。
解答：根据导数的定义，我们可以通过求函数的斜率来求导数。
对于f(x) = 3x²+ 2x，我们可以使用求导法则来求导数。
根据常数乘法法则和幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导数。
解答：对于g(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以使用三角函数的求导法则来求导数。
根据三角函数的导数公式，我们可以得到g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = e^x的导数。
解答：对于h(x) = e^x，我们可以使用指数函数的求导法则来求导数。
根据指数函数的导数公式，我们可以得到h'(x) = e^x。
二、应用练习题1. 求函数y = x³ - 2x² + 3x的极值点。
解答：对于函数y = x³ - 2x² + 3x，我们需要先求导数，然后令导数等于零来求得极值点。
求导得到y' = 3x² - 4x + 3。
令y' = 0，我们可以解方程得到x = 1和x = 3/2。
将这两个x值代入原函数，我们可以得到对应的y值。
所以，极值点为(1, 2)和(3/2, 9/8)。
2. 求函数y = x² - 4x的拐点。
解答：对于函数y = x² - 4x，我们需要求二阶导数，然后令二阶导数等于零来求得拐点。
求二阶导数得到y'' = 2。
由于二阶导数恒大于零，所以该函数没有拐点。
3. 求函数y = ln(x)的渐近线。
高中数学导数典型题
关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数），且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h 。
.01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x e x g x f x其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。
（1) 求);(x f '（2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 （1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22x e x x g x g x x e x g e x g x x f xx x ---++-'=+-+'='当0=x 时，用定义求导数，有.21)0()(lim)0(20-''=-='-→g x e x g f xx 二次洛⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x(2） 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f xx xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明:若022=++++c y b x a y x(圆),其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则=+xd y d dx dy 22232])(1[定数。
高三数学：2024届高考数学导数大题精选30题(解析版)(共31页)
2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。
求导练习题高中
求导练习题高中1. 求下列函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 4x + 2解析：对于多项式函数，求导时可以将指数乘到系数上，并将指数减1。
f'(x) = 2 * 3x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1) + 0= 6x - 4b) g(x) = (2x + 1)^3解析：使用链式法则，先对内部函数求导再乘以外部函数的导数。
g'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2= 6(2x + 1)^2c) h(x) = cos(x^2)解析：对于三角函数，使用复合函数求导法则，先对内部函数求导再乘以外部函数的导数。
h'(x) = -sin(x^2) * 2x= -2x*sin(x^2)2. 求下列函数的高阶导数：a) f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 3x - 1解析：对于多项式函数，求高阶导数时可以重复使用求导公式。
f'(x) = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) + 1 * 3x^(1-1)= 15x^2 - 4x + 3f''(x) = 2 * 15x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1)= 30x - 4f'''(x) = 1 * 30x^(1-1)= 30b) g(x) = e^x解析：对于指数函数，高阶导数仍为指数函数。
g'(x) = e^xg''(x) = e^xg'''(x) = e^x由此可见，指数函数的高阶导数始终等于自身。
3. 求下列函数的导数并求其在给定点的导数值：a) f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f'(2)解析：先求导再代入给定点进行计算。
f'(x) = 3 * 2x^(3-1) + 2 * 3x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1)= 6x^2 + 6x - 4f'(2) = 6 * 2^2 + 6 * 2 - 4= 24 + 12 - 4= 32b) g(x) = sin(x) + cos(x)，求g'(π/4)解析：先求导再代入给定点进行计算。
高中数学专题练习《基本初等函数的导数》含详细解析
5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数基础过关练题组一 利用导数公式求函数的导数1.(2020浙江绍兴稽山中学高二下期中)已知f(x)=cos30°,则f'(x)的值为( )A.-12B.12C.-32D.02.已知函数f(x)=1x2,则 )A.-14B.-18C.-8D.-163.函数y=1x在x=4处的导数是( )A.116B.-116C.18D.-184.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)'=sin xB.(3x)'=3x log3eC.(lg x)'=1x ln10D.(x-2)'=-2x-15.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 019(x)=( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x6.(多选)下列求导运算正确的是( )'=1x2B.(x)'=12xC.(x a)'=ax a-1D.(log a'=1x ln a 7.求下列函数的导数.(1)y=1x5;(2)y=x2x;(3)y=lg x;(4)y=5x-x.题组二 导数公式的应用8.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=1x在点A(-1,-1)处的切线方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x-y-2=09.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=010.(2020福建三明第一中学月考)以正弦曲线y=sin x上一点P为切点作切线l,则切线l的倾斜角的范围是( )A.0,πB.[0,π), D.0,,11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.若曲线y=x-12在点(m,m-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=( )A.64B.32C.16D.813.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )A.f(x)=x2B.f(x)=e-xC.f(x)=ln xD.f(x)=1x14.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线,计算a1+a2+a3+…+a2019.与x轴交点的横坐标为x n,令a n=lg1x n答案全解全析基础过关练1.D ∵f(x)=cos 30°=32,∴f'(x)=0.2.D f'(x)=-2x -3=-2x 3,则故选D.3.B y'=-12x -32,∴y'x=4=-12×4-32=-116,故选B.4.C (cos x)'=-sin x,故A 不正确;(3x )'=3x ·ln 3,故B 不正确;(lg x)'=1x ·ln10,故C 正确;(x -2)'=-2x -2-1=-2x -3,故D 不正确.故选C.5.D f 0(x)=sin x,f 1(x)=f 0'(x)=(sin x)'=cos x,f 2(x)=f 1'(x)=(cos x)'=-sin x,f 3(x)=f 2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f 4(x)=f 3'(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,故f 2 019(x)=f 3(x)=-cos x.6.BCD 在A 中-1)'=-1x 2,故A 错误;在B 中,(x )'=(x 12)'=12×x -12=12x ,故B 正确;在C 中,(x a )'=ax a-1,故C 正确;在D 中,(log a '=1x ln a ,故D 正确.故选BCD.7.解析 (1)∵y=1x 5=x -5,∴y'=-5x -6.(2)∵y=x 2x =x 2x 12=x 32,∴y'=32x 12.(3)∵y=lg x,∴y'=1x ln10.(4)∵y=5x ,∴y'=5x ln 5.(5)∵-x =sin x,∴y'=cos x.8.C 由y=1x 得y'=-x -2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C.9.A ∵直线x+4y-8=0的斜率为-14,∴直线l 的斜率为4,又y'=4x 3,∴4x 3=4,得x=1,又当x=1时,y=x 4=1,∴直线l 的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.10.A ∵y=sin x,∴y'=cos x,∵cos x ∈[-1,1],∴切线斜率的范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是0,,π,故选A.11.B 由f(x)=ln x,得f'(x)=1x ,则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-1x .易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-12=ln 2-ln e >0,所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.12.A 因为y'=-12x -32,所以曲线y=x -12在点(m,m -12)处的切线方程为y-m -12=-12·m -32(x-m),令x=0,得y=32m -12,令y=0,得x=3m,由题意可得,12×32m -12×3m=18,解得m=64.13.ACD 在A 中,若f(x)=x 2,则f'(x)=2x,则x 2=2x,这个方程显然有解,故A 符合要求;在B 中,若f(x)=e -x ,则ln 1e =-e -x ,即e -x =-e -x ,此方程无解,故B 不符合要求;在C 中,若f(x)=ln x,则f'(x)=1x ,由ln x=1x ,数形结合可知该方程存在实数解,故C 符合要求;在D 中,若f(x)=1x ,则f'(x)=-1x 2,由1x =-1x 2,可得x=-1,故D 符合要求.故选ACD.14.解析 因为y=x n+1,所以y'=(n+1)x n ,所以曲线y=x n+1(n ∈N *)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x=n n +1,即x n =n n +1,所以a n =lg 1x n =lg(n+1)-lg n,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.。
高中 导数 练习题
高中导数练习题1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 的导数。
2. 求函数 g(x) = e^x + ln(x) 的导数。
3. 求函数 h(x) = sin(x) + cos(x) 的导数。
4. 求函数 i(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 的导数。
5. 求函数 j(x) = sqrt(x) / x 的导数。
解答：1. 对于函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5，使用幂函数的求导法则，可得到导数 f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 对于函数 g(x) = e^x + ln(x)，使用指数函数和对数函数的求导法则，可得到导数 g'(x) = e^x + 1/x。
3. 对于函数 h(x) = sin(x) + cos(x)，使用三角函数的求导法则，可得到导数 h'(x) = cos(x) - sin(x)。
4. 对于函数 i(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1)，使用除法的求导法则，可得到导数 i'(x) = (8x - 1) / (x - 1)^2。
5. 对于函数 j(x) = sqrt(x) / x，使用根式函数和倒数的求导法则，可得到导数 j'(x) = (1 - sqrt(x)) / (2x^2 * sqrt(x))。
通过解答以上导数练习题，可以帮助我们熟悉和掌握导数的求法。
在高中数学中，导数是一个重要的概念，它代表了函数在某一点的瞬时变化率。
对于一个函数而言，如果我们知道了它的导数，就可以利用导数来研究函数的性质，如函数的增减性、极值点以及函数图像的形状等。
在求导的过程中，我们需要掌握一些基本的求导方法和公式。
常见的求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、求导法则的运算性质等。
对于复杂的函数，我们可以利用这些基本的求导法则，通过逐步求导的方法来求得它们的导数。
高中数学选择性必修二 5 2 导数的运算(精练)(含答案)
5.2 导数的运算【题组一 初等函数求导】1．（2018·全国高二课时练习）求函数()2y f x x x==+在下列各点处的导数． （1）0x x =； （2）1x =； （3）2x =-．【答案】(1) 2021x -+ (2)-1 (3) 12【解析】∵()2f x x x =+，∴()221f x x=-'+． （1）当0x x =时，()02021f x x =-'+． （2）当1x =时，()221111f '=-+=-． （3）当2x =-时，()()2212122f -=-+=-'．2．求下列函数的导数：(1)y =；(2)cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；(3)xy =.【答案】（1）1232x ；（2）cos x ；（3）1ln 32x【解析】(1)y′＝(32x )′＝1232x(2)∵y ＝cos ＝sin x ，∴y′＝(sin x)′＝cos x.(3)y′＝[()x]′＝()xln＝()13ln32x.3．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数：(1)cos y x=； (2)2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）（2）2332x x-【解析】(1)y′＝′＝′cos x ＋ (cos x)′＝′cos x －sin x ＝－x －cos x －sin x ＝－－sin x ＝－.(2)∵y ＝x ＝x 3＋1＋，∴y′＝3x 2－.4．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数. (1)()3411632f x x x =-+； (2)f(x)=(5x -4)cos x; (3)()ln xf x x=. 【答案】（1）232x x -；（2）5cos 5sin 4sin x x x x -+；（3）21ln xx- 【解析】(1)∵()3411632f x x x =-+，∴()23'2f x x x =-． (2)∵f(x)=(5x -4)cos x ，∴()()'5x 4cos?x '5cos 5sin 4sin f x x x x x ⎡⎤=-=-+⎣⎦．(3)∵()ln xf x x =，∴()()221ln x lnx lnx x f x x x '--==，． 【题组二 复合函数求导】1．（2020·宁县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数：（1）cos3xy = （2）n xy x e =【答案】（1）'1sin33x y =-；（2）()'1x n y e x x n -=+ 【解析】（1）cos 3x y =，∴''1sin sin 3333x x xy ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭. （2）n x y x e =，∴()'11n x n x x n y nx e x e e x x n --=+=+2．（2020·江苏徐州·高二月考）求下列函数的导数. （1）()ln xf x x=（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭（3）()()2ln 51xf x x =+-【答案】（1）()'21ln x fx x -=；（2）()'222736f x x x =++；（3）()'52ln 251xf x x =+- 【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x⋅-⋅-==；（2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x ++； （3）()()''12ln 25151x fx x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）求下列函数的导函数. （1）()521y x =+（2）1log 32ay x =+ 【答案】（1）410(21)y x '=+；（2）3(32)ln y x a'=-+【解析】（1）445(21)210(21)y x x '=+⨯=+；（2）log (32)a y x =-+，133(32)ln (32)ln y x a x a'=-⨯=-++．4．（2020·陕西泾阳·高二期中（理））求下列函数的导数： （Ⅰ）2sin y x x =；（Ⅱ）)22y =.【答案】（Ⅰ）22sin cos y x x x x '=+（Ⅱ）1y'= 【解析】（Ⅰ）()()222sin sin 2sin cos y x x x x x x x x '''=+=+.（Ⅱ）))222221y ''===-. 5．（2020·长春兴华高中高二期末（文））求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭； （3）sincos 22x y x x =-； 【答案】（1）y ′＝e x sinx ＋e x cosx .（2）y ′＝3x 2－32x.（3）y ′＝1－12cosx . 【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x ＋1，所以y ′＝3x 2－32x. （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx . 6．（2020·江西南昌·高二期末（理））求出下列函数的导数． （1）tan xy e x ＝ （2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝【答案】（1）'2tan cos x xe y e x x=+；（2）'1245y x =+；（3）'2332x y x =-； （4）'1cos sin n x x n x y x+-=；（5）()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣ 【解析】（1）由tan xy e x =，则()''2'tan tan t cos ()an x x xxe y e x e x e x x+==+， 即'2tan cos xxe y e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332xy x =-， （4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x+-=， （5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣． 【题组三 求导数值】1．（2020·四川高二期中（理））已知()sin 2f x x =，则()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．cos2xB ．cos2x -C ．2cos2xD ．2cos2x -【答案】C【解析】由()()()()0limcos 222cos 2x f x x f x f x x x x∆→+∆-'==⋅=∆.故选：C.2．（2020·江西高二期末（理））若函数()f x 的导数()f x '满足()()121ln f x f x x '=+，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．eB ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】∵()()121ln f x f x x'=+，∴()()21121f x f x x ''=⨯-，令1x =，可得(1)2(1)1f f ''=-，解得(1)1f '=，因此()221f x x x '=-，14402f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，故选：D 3．（2020·四川省南充市白塔中学高二开学考试（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232x f x x xf e '=++，则()2f '的值等于（ ）A ．2-B ．222e -C ．22e -D ．222e --【答案】D【解析】依题意()()''232xf x x f e =++，令2x =得()()''22432f f e =++，()2'222e f =--，故选D.4．（2020·四川棠湖中学高二月考（文））若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．－1【答案】C 【解析】依题意()()'3'211fx x f x =--，令1x =得()()''11211f f =--，解得()'10f =，故选C.5．（2020·河南商丘·高二期末（理））已知函数()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()1f =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【解析】因为()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()()1321f x f x x''=-+， 所以()()'1132'1f f =-+，则()12f '=，所以()2ln 32f x x x x =-+，所以()1ln1321f =-+=-.故选：D.6．（2020·江西高二期末（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2322f x x xf '=+，则()2f '=______. 【答案】12-【解析】因为()()2322f x x xf '=+，所以()()622f x x f ''=+，将2x =代入得()()21222f f ''=+，解得()212f '=-，故答案为：12-.7．（2020·四川内江·高二期末（文））已知2()x f x e x =+，则(1)(1)f f '+=________．【答案】23e +【解析】因为2()xf x e x =+，所以()2xf x e x '=+所以(1)1,(1)2f e f e '=+=+所以(1)(1)23f f e '+=+.故答案为：23e +. 【题组四 求切线方程】1．（2020·湖南高二期末）曲线sin x xy e=在点()0,0处的切线方程为______.【答案】0x y -=【解析】因为()cos sin x xxe x xef x e-'=，所以切线斜率()01k f '==，所以曲线()sin xf x e x =在点()0,0处的切线方程为：0x y -=.故答案为：0x y -=2．（2020·江西高二期末（理））已知函数()xxf x e ae -=+为偶函数，则()f x 在其图象上的点()()ln3,ln3f 处的切线的斜率为______．【答案】83【解析】函数()xxf x e ae -=+为偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x x e ae e ae --+=+，解得1a =，则'()x x f x e e -=-，∴()f x 在点()()ln3,ln3f 处的切线的斜率ln3ln318'(ln 3)333kf e e.故答案为：83.3．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（文））曲线(sin )e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为________.【答案】2y x =【解析】0(sin cos 1)e ,|2xx y x x x y =''=+++=,所以切线方程为2y x =.故答案为:2y x =.4．（2020·重庆八中高三月考）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，3()ln =- f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))-- f 处的切线方程为________.【答案】210x y -+=【解析】∵函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， 当0x >时，3()ln =- f x x x ，不妨设0x <，则0x ->， 故()3()ln () f x xx f x -=---=-，故0x <时，()3()ln f x x x +=-，故'2()31 f x x x=+，故(1)1ln11 f -+=-=-，'(1)312 f -=-=，故切线方程是：2(1)1y x =+-，整理得：210x y -+=，故答案为：210x y -+=．5．（2020·重庆高三期中（文））曲线()2ln 2f x x x =-在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________.【答案】16【解析】()2ln 2f x x x =-，()()'14,0f x x x x∴=->， ()'13f ∴=-，12f ，∴切线方程为：()231y x +=--即31y x =-+，当0x =，时1y =，当0y =，时13x =， ∴三角形面积为：1111236⨯⨯=.故答案为：16. 6．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））曲线()21ln y x x =+在()1,0处的切线方程为______.【答案】220x y --=【解析】2n '12l x x x xy +=+，当1x =时，切线斜率'2k y ==，故切线方程为()21y x =-，即220x y --=.故答案为：220x y --=7．（2020·江西高三月考（理））1()e x f x -=+的图像在1x =处的切线方程为________．【答案】210x y -+=【解析】112()e 2x f x x -=+，则()112x f x e x --'=+，且()12f '=()13,f =∴切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=故答案为：210x y -+=8．（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））过原点与曲线ln y x =相切的切线方程为______． 【答案】x y e= 【解析】设切点坐标为()00,x y ，切线方程为y kx =，由ln y x =，则1y x'=，则001|x x y x ='=， 则0001y x x =，即000ln 1x x x =，即0ln 1x =，解得0x e =，所以01|x x k y e='==， 所以原点与曲线ln y x =相切的切线方程为x y e=． 故答案为：x y e= 9．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末（文））已知()2f x x =，则曲线()y f x =过点()1,0P -的切线方程是______．【答案】0y =或440x y ++=【解析】设切点为(,)m n ，2()f x x =的导数为()2f x x '=，可得切线的斜率为2k m =， 又20211n m m m m -==++，解得0m =或2m =-， 当0m =时，0k =；2m =-时，4k =-；曲线()y f x =过点(1,0)P -的切线方程为(1)y k x =+，则切线的方程为0y =或44y x =--．故答案为：0y =或44y x =--．10．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中（文））过函数()33f x x x =-上的点()2,2M --的切线方程是_________.【答案】2y =-或9160x y -+=【解析】因为()233f x x ='- 设切点为00,x y ，则()20033k f x x '==-， 所以切线方程为：()()()320000333y x x x x x --=--， 因为()2,2M --在切线方程上，所以()()()32000023332x x x x ---=---，解得：01x =或02x =-. 当01x =时，20330k x =-=，此时切线方程为2y =-；当02x =-时，20339k x =-=，此时切线方程为9160x y -+=.所以，切线方程为：2y =-或9160x y -+=.故答案为：2y =-或9160x y -+=.11．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（文））过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】【解析】由ln f x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>， 则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上， 则0002ln 12x x x +=，得0x =，则切点坐标为.故答案为：.12．（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.【答案】21y x =+.【解析】设切点坐标为()000,e x x x +， 由x y e x =+得e 1x y '=+，∴切线方程为()()0000e 1e x x y x x x =+-++， 切线过点()1,1--，∴()()00001e 11e x x x x -=+--++，即00e 0x x =， ∴00x =，即所求切线方程为21y x =+.故答案为：21y x =+.13．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））过点()1,1作曲线3y x =的切线，则切线方程是______.【答案】3410x y -+=和320x y --=【解析】设切点坐标为()3,t t ，对函数3y x =求导得23y x '=，则所求切线的斜率为23t ， 所以，曲线3y x =在点()3,t t 处的切线方程为()323y t t x t -=-，由于该直线过点()1,1，即()32131t t t -=-，整理得()()22110t t +-=，解得12t =-或1t =. 当12t =-时，所求切线的方程为131842y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即3410x y -+=； 当1t =时，所求切线的方程为()131y x -=-，即320x y --=.故答案为：3410x y -+=和320x y --=.【题组五 利用切线求参数】1．（2020·辽宁高二期末）已知函数()21f x ax x =-+，若()()011lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2- 【答案】A 【解析】根据题意，函数()21f x ax x =-+，其导数()21f x ax ='-，则()121f a '=-，又由()()011lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，即()1213f a '=-=，解可得2a =； 故选：A.2．（2020·湖北省天门中学高二月考）曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ）A ．(1, 0)B ．(2, 8)C ．(1, 0)和(-1, -4)D ．(2, 8)和(-1, -4)【答案】C 【解析】依题意,令2()314f x x '=+=，解得1x =±(1)0,(1)4f f =-=-故0P 点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，故选：C3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（文）） 设函数f (x )＝24x －a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( ) A ．4B ．－4C ．2D ．－2 【答案】B【解析】f ′(x )＝－，故f ′(2)＝－＝3，因此a ＝－4.4．（2020·唐山市第十一中学高二期末）设()ln f x x x =，若()3f a '=，则a =（ ） A ．eB ．ln 2C ．2eD ．ln 22【答案】C 【解析】对()f x 求导得()ln +1f x x '=将a 带入有()2ln +13f a a a e '==⇒=． 5．（2020·陕西新城·西安中学高二期末（理））如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B 【解析】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-， 由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+， ()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．。
高中数学导数训练题含答案
导数训练一、单选题（共33题；共66分）1.曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.2.若，则等于（）A. 0B. 1C. 3D.3.下列各式正确的是（）A. (a为常数)B.C.D.4.函数+e的导函数是（）A. B. C. D.5.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.6.曲线在点（1,1）处的切线方程为（）A. B. C. D.7.函数的导函数（）A. B. C. D.8.某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为,则该物体在秒时的瞬时速度为（）A. 1米／秒B. 2米／秒C. 3米／秒D. 4米／秒9.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B. 3C. 4D. －10.函数的导数为（）A. B. C. D.11.设函数，若，则等于（）A. B. C. D.12.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )．A. 4B. 16C. 8D. 213.曲线在处的切线的斜率为（）A. -1B.C.D. 114.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B.C.D.15.已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A. 1B. ln2C. 2D. e16.一物体做直线运动，其位移(单位: )与时间(单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.17.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.18.已知函数的值为（）A. B. C. D.19.已知函数，则（）A. B. C. D.20.函数= 的极值点为( )A. B. C. 或 D.21.已知函数,直线过点且与曲线相切,则切点的横坐标为( )A. B. 1 C. 2 D.22.函数在点处切线方程为（）A. B. C. D.23.若有极大值和极小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.24.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D. ＝25.设，若，则（）A. B. C. D.26.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.27.曲线在点处的切线方程是A. B. C. D.28.已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（）A. B. C. D.29.一物体在力F(x)＝2x＋3(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝4处，求力F(x)所做的功．（）A. 24B. 25C. 26D. 2730.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.31.已知函数，则其导数（）A. B. C. D.32.曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.33.已知函数，且，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（共10题；共11分）34.函数的单调递增区间是________.35.已知函数为的导函数,则的值为________.36.已知函数，则函数的图像在点处的切线方程为________.37.函数在处的切线方程是，则________.38.设函数可导，若，则________．39.已知函数的导函数为，若，则的值为________.40.若函数,则的值为________．41.已知，则________．42.已知函数( 为常数)，若为的一个极值点，则________.________.43.曲线在点处的切线方程为________．三、解答题（共7题；共55分）44.已知函数，当时，有极大值3.（1）求该函数的解析式；（2）求该函数的解析式；（3）求函数的单调区间.（4）求函数的单调区间.45.如果函数f(x)= (a＞0)在x=±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求函数f(x)的解析式.46.已知函数.(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；(II)若,求的单调区间.47.已知（1）判断单调性（2）判断单调性（3）当时，求的最大值和最小值（4）当时，求的最大值和最小值48.已知函数，求曲线在点处的切线方程；49.已知在与时都取得极值．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的单调区间和极值。
高中数学导数专题常考练习题
高中数学导数专题常考练习题高考数学中，导数是一个常考的题型。
下面介绍几道典型的导数题目。
1.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)$满足以下条件：①当$f'(x)>0$时，$x2$；②当$f'(x)<0$时，$-1<x<2$；③当$f'(x)=0$时，$x=-1$或$x=2$。
则函数$f(x)$的大致图象是什么？2.已知直线$2x-y+1=0$与曲线$y=ae^{x}$相切（其中$e$为自然对数的底数），则实数$a$的值是多少？3.已知函数$f(x)=ax+(1-a)x^3$是奇函数，则曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线的倾斜角为多少？4.已知函数$f(x)=x+ax+bx^2+a$在$x=1$处的极值为10，则数对$(a,b)$为什么？5.函数$f(x)=x^3-4x^2+mx$在$[0,3]$上的最大值为4，则$m$的值为多少？6.已知函数$f(x)=x-mx^3+4x^2-3$在区间$[1,2]$上是增函数，则实数$m$的取值范围为什么？7.已知偶函数$f(x)(x\neq0)$的导函数为$f'(x)$，且满足$f(1)=0$。
当$x>0$时，$xf'(x)0$成立的$x$的取值范围是什么？8.已知曲线$y=x+\ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线$y=ax^2+(a+2)x+1$相切，则$a$等于多少？9.若函数$f(x)=x^3+x^2-3$在区间$(a,a+5)$上存在最小值，则实数$a$的取值范围是什么？10.已知$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，$f(1)=e$，$x\in\mathbb{R}$，且$2f(x)-f'(x)>0$。
则不等式$f(x)<e^{2x}-1$的解集是什么？11.已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+b$，讨论 $f(x)$ 的单调性。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，用于描述函数的变化率。
掌握导数的计算方法对于理解数学的应用问题以及解决实际问题非常关键。
本文将为大家提供一些高中数学导数的练习题，以帮助巩固相关知识。
1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 的导函数。
解析：为了求函数的导函数，需要对函数进行求导运算。
对于多项式函数，求导时只需要按照幂次递减的规则，将各项的系数与幂次相乘即可。
因此，对于 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导函数为 f'(x) = 6x - 2。
2. 计算函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 的导数。
解析：对于三角函数的求导，可以利用导数的性质和基本公式来计算。
根据基本求导公式，sin(x) 的导数为 cos(x)，cos(x) 的导数为 -sin(x)。
因此，函数 g(x) 的导数为 g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 设 h(x) = (x^2 + 1)^2 ，求 h'(x)。
解析：对于复合函数的求导，可以使用链式法则来计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)。
对于给定的函数 h(x) = (x^2 +1)^2，可以将其分解成两个复合函数：f(g(x)) = g^2(x) 和 g(x) = x^2 + 1。
首先求 g(x) 的导数，g'(x) = 2x。
然后求 f(g(x)) 的导数，f'(g(x)) = 2g(x)= 2(x^2 + 1)。
综合链式法则，得到 h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 2(x^2 + 1) *2x = 4x(x^2 + 1)。
4. 求函数 y = e^x 的导数。
解析：指数函数 e^x 的导数等于其本身，即 e^x 的导数为 e^x。
因此，函数 y = e^x 的导数为 y' = e^x。
高中数学 导数 试题及解析
高中数学导数试题一．选择题（共25小题）1．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x＝0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x＝2处取得最小值2．如果某物体的运动方程为S＝2（1﹣t2）（S的单位为m，t的单位为S），那么其在1.2S 末的瞬时速度为（）A．﹣4.8m/S B．﹣0.88m/S C．0.88m/S D．2.8m/S3．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f（x ）在区间内单调递增；②当x＝﹣2时，函数y＝f（x）有极小值；③函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增；④当x＝3时，函数y＝f（x）有极小值．则上述判断中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．③4．已知函数f（x）＝（x3﹣2x）e x ，则的值为（）A．﹣e B．1C．e D．05．若函数f（x）＝x2由x＝1至x＝1+△x的平均变化率的取值范围是（1.975，2.025），则增量△x的取值范围为（）1A．（﹣0.025，0.025）B．（0，0.025）C．（0.025，1）D．（﹣0.025，0）6．设函数f（x）＝1+sin2x ，则等于（）A．﹣2B．0C．3D．27．一个物体的运动方程为s＝t2﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在t＝4秒的瞬时速度是（）A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒8．若小球自由落体的运动方程为s（t ）＝（g为常数），该小球在t＝1到t＝3的平均速度为，在t＝2的瞬时速度为v2，则和v2关系为（）A ．＞v2B ．＜v2C ．＝v2D．不能确定9．已知函数f（x）在x＝x0处可导，若＝1，则f'（x0）＝（）A．2B．1C ．D．010．一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是s＝5t﹣t2，则该物体在t＝3s时的瞬时速度是（）A．﹣1m/s B．1m/s C．2m/s D．6m/s11．一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为_____m/s，在t＝1时的瞬时速度为_____m/s．（）A．12，3B．10，5C．14，6D．16，6 12．若函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+8存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，0）∪（0，3]D．（﹣∞，0）∪（0，3）13．在函数y＝x2图象上取一点（1，1）及附近一点（1+△x，1+△y），则为（）A．4△x+2△x2B．4+2△x C．△x+2D．4+△x 14．对于函数，当△x＝2.018时，△y的值是（）A．2018B．﹣2018C．0D．不能确定15．函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率为（）A．3B．3﹣e C．3+e D．e16．若函数f（x）＝2lnx+4x2+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b的取2值范围是（）A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣8，+∞）C．（﹣∞，8）D．（8，+∞）17．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设k ＝，则下列不等式正确的是（）A．k＜f'（x1）＜f'（x2）B．f'（x1）＜k＜f'（x2）C．f'（x2）＜f'（x1）＜k D．f'（x1）＜f'（x2）＜k18．曲线在x＝1处的切线的倾斜角为α，则的值为（）A ．B ．C ．D ．19．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，下列数值排序正确的是（）A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜0B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜0C．f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜f′（2）＜0D．f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜020．已知函数f（x）的图象如图，设f′（x）是f（x）的导函数，则（）A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）3B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）C．f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2））21．已知函数f（x）在R上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是（C．f'（a）＜f'（c）＜f'（b）D．f'（c）＜f'（a）＜f'（b）22．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则＝（）A．﹣4B．4C．﹣36D．3623．已知函数，则＝（）A．4B．2C．﹣2D．﹣424．下列函数中，当x＞0时，随x的增大，增长速度最快的是（）A．y＝x B．y＝2x C．y＝3x D ．25．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．4二．填空题（共25小题）26．已知函数f（x）可导且f′（1）＝﹣2，则＝．27．已知函数f（x）是可导函数，且f'（a）＝1，则等于．28．函数f（x）＝3x2在[2，6]内的平均变化率为．29．函数f（x）＝sin x在[﹣，]上的平均变化率是．30．质点运动的速度v＝（18t﹣3t2）m/s，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是．31．若某物体运动规律是S＝t3﹣6t2+5（t＞0），则在t＝时的瞬时速度为0．32．某汽车启动阶段的路程函数S＝2t3﹣3t2（t的单位是s，S的单位是m），则t＝2时，汽车的瞬时速度为m/s．33．已知一质点的运动方程为s＝2﹣t2，则该质点在一段时间[0，2]内的平均速度为．34．设函数f（x）在x＝1处存在导数为2，则＝．35．某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在t＝2的瞬时速度为．（单位：米/秒）36．已知函数y＝x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是．37．某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为（t的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为米/秒．38．若曲线y＝x3﹣x2在点P处的切线l与直线y＝﹣x垂直，则切线l的方程为．39．已知函数f（x）＝sin x，则＝40．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝x3+f′（）x2﹣x，则f′（1）＝．41．曲线f（x）＝3﹣，在点（0，3）处的切线方程为．42．已知P为函数y＝lnx图象上任意一点，点Q为圆x2+（y﹣e2﹣1）2＝1上任意一点，则线段PQ长度的最小值为．43．函数f（x）的图象在x＝2处的切线方程为2x+y﹣3＝0，则f（2）+f'（2）＝．44．已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则＝．5645．如图函数f （x ）的图象在点P 处的切线为：y ＝﹣2x +5，则f （2）+f ′（2）＝ ．46．函数y ＝（x ﹣1）e x 的图象在点（1，0）处的切线的斜率是 ． 47．若曲线y ＝e x +e﹣x的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 ．48．已知曲线f （x ）＝ax 2﹣lnx 在点（2，f （2））处的切线斜率为，则f （x ）的最小值为 ．49．已知函数y ＝f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y ＝x +2，则f （1）+f ′（1）＝ ．50．一个物体的位移s （米）和与时间t （秒）的关系为s ＝4﹣2t +t 2，则该物体在3秒末的瞬时速度是 ．参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x＝0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x＝2处取得最小值【分析】结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值．【解答】解：当0＜x＜2或x＞4时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，2），（4，+∞）上单调递减，当2＜x＜4或x＜0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（2，4）（﹣∞，0）上单调递增，∴当x＝0或x＝4时函数取的极大值，∴函数f（x）最大值为，max{f（0），f（4）}，无最小值，故选：C．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题．2．如果某物体的运动方程为S＝2（1﹣t2）（S的单位为m，t的单位为S），那么其在1.2S 末的瞬时速度为（）A．﹣4.8m/S B．﹣0.88m/S C．0.88m/S D．2.8m/S【分析】根据瞬时变化率和导数的关系求解即可．【解答】解：∵S′＝﹣4t，∴在1.2S末的瞬时速度为S′|t＝1.2＝（﹣4）×1.2＝﹣4.8，故选：A．【点评】本题考查了瞬时变化率和导数，考查常见函数的导数，考查计算能力，属于基础题．3．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：7①函数y＝f（x ）在区间内单调递增；②当x＝﹣2时，函数y＝f（x）有极小值；③函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增；④当x＝3时，函数y＝f（x）有极小值．则上述判断中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．③【分析】利用使f′（x）＞0的区间是增区间，使f′（x）＜0的区间是减区间，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值分别对①②③④进行逐一判定【解答】解：对于①，函数y＝f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正确；对于②，当x＝﹣2时，函数y＝f（x）有极小值，故②正确；对于③，函数y＝f（x）当x∈（﹣2，2）时，恒有f′（x）＞0，则函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增，故③正确；对于④，当x＝3时，f′（x）≠0，故④不正确．故选：B．【点评】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题．4．已知函数f（x）＝（x3﹣2x）e x ，则的值为（）A．﹣e B．1C．e D．0【分析】先求导，根据导数的定义可得＝f′（1），代值计算即可．【解答】解：∵f（x）＝（x3﹣2x）e x，∴f′（x）＝（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，8∴＝f′（1）＝（1+3﹣2﹣2）e＝0，故选：D．【点评】本题考查了导数的定义和求导法则，属于基础题．5．若函数f（x）＝x2由x＝1至x＝1+△x的平均变化率的取值范围是（1.975，2.025），则增量△x的取值范围为（）A．（﹣0.025，0.025）B．（0，0.025）C．（0.025，1）D．（﹣0.025，0）【分析】利用平均变化率的意义即可得出．【解答】解∵函数f（x）在区间[1，1+△x]上的增量△y＝f（1+△x）﹣f（1）＝（△x+1）2﹣12＝△x2+2△x∴f（x）在区间[1，1+△x]上上的平均变化率为＝△x+2∵△x+2∈（1.975，2.025），∴△x∈（﹣0.025，0.025），故选：A．【点评】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．6．设函数f（x）＝1+sin2x ，则等于（）A．﹣2B．0C．3D．2【分析】利用导数的定义，即可得出结论．【解答】解：∵f′（x）＝2cos2x，∴．故选：D．【点评】本题考查导数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．7．一个物体的运动方程为s＝t2﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在t＝4秒的瞬时速度是（）A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒【分析】根据导数的物理意义，求出函数在t＝4处的导数即可．【解答】解：∵s＝s（t）＝t2﹣t+2，∴s'（t）＝2t﹣1，∴根据导数的物理意义可知物体在4秒末的瞬时速度为为s'（4），即s'（4）＝2×4﹣1＝7（米/秒），故选：B．9【点评】本题主要考查导数的物理意义，根据导数的公式直接进行计算即可，比较基础．8．若小球自由落体的运动方程为s（t ）＝（g为常数），该小球在t＝1到t＝3的平均速度为，在t＝2的瞬时速度为v2，则和v2关系为（）A ．＞v2B ．＜v2C ．＝v2D．不能确定【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可．【解答】解：平均速度为＝＝＝2g，∵s（t ）＝，∴s′（t）＝gt，t＝2的瞬时速度为v2，∴v2＝s′（2）＝g×2＝2g，∴＝v2故选：C．【点评】本题主要考查导数的计算和函数的变化率，比较基础．9．已知函数f（x）在x＝x0处可导，若＝1，则f'（x0）＝（）A．2B．1C ．D．0【分析】根据题意，由极限的性质分析可得＝2×，由导数的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，若＝2×＝2f′（x0）＝1，则f'（x0）＝，故选：C．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．1010．一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是s＝5t﹣t2，则该物体在t＝3s时的瞬时速度是（）A．﹣1m/s B．1m/s C．2m/s D．6m/s【分析】根据题意，求出s＝5t﹣t2，令t＝3计算可得答案．【解答】解：根据题意，位移s与时间t的关系是s＝5t﹣t2，其导数s′（t）＝5﹣2t，则有s′（3）＝5﹣2×3＝﹣1，即该物体在t＝3s时的瞬时速度是﹣1m/s；故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及变化率的计算，属于基础题．11．一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为_____m/s，在t＝1时的瞬时速度为_____m/s．（）A．12，3B．10，5C．14，6D．16，6【分析】根据题意，由变化率公式可得在时间段[1，2]内的平均速度为＝，计算可得答案，求出函数的导数，进而可得s′（1）的值，由瞬时变化率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为＝＝14m/s，其导数s′（t）＝6t2，则s′（1）＝6，则在t＝1时的瞬时速度为6m/s故选：C．【点评】本题考查变化率的计算，关键是掌握变化率与瞬时变化率的定义，属于基础题．12．若函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+8存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，0）∪（0，3]D．（﹣∞，0）∪（0，3）【分析】由函数的极值得：①当a＝0时，x ＝为函数的极值点，②当a≠0时，函数存在极值点，则△＝36﹣12a＞0，解得a＜3且a≠0，综合①②得：实数a的取值范围是a＜3，得解．【解答】解：因为f（x）＝ax3﹣3x2+x+8，所以f′（x）＝3ax2﹣6x+1，11又f（x）＝ax3﹣3x2+x+8存在极值点，①当a＝0时，x ＝为函数的极值点，②当a≠0时，函数存在极值点，则△＝36﹣12a＞0，解得a＜3且a≠0，综合①②得：实数a的取值范围是a＜3，故选：A．【点评】本题考查了函数的极值，属简单题．13．在函数y＝x2图象上取一点（1，1）及附近一点（1+△x，1+△y），则为（）A．4△x+2△x2B．4+2△x C．△x+2D．4+△x【分析】先算出函数值的变化量与自变量的变化量的比值，再化简即可求得．【解答】解：△y＝（1+△x）2﹣1＝（△x）2+2△x，∴＝△x+2，故选：C．【点评】本题主要考查变化的快慢与变化率．通过计算函数值的变化来解，比较简单．14．对于函数，当△x＝2.018时，△y的值是（）A．2018B．﹣2018C．0D．不能确定【分析】根据函数的变化率即可判断．【解答】解：∵函数y ＝，∴△y ＝﹣═∵△x＝2.018，∴△y ＝，不确定，故选：D．【点评】本题考查了变化量的概念，属于容易题，难度不大．15．函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率为（）A．3B．3﹣e C．3+e D．e【分析】根据题意，求出函数的导数，即可得f′（1）的值，由导数的几何意义分析可得答案．12【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣e x，其导数f′（x）＝3x2﹣e x，则f′（1）＝3﹣e，即函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率k＝3﹣e；故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．16．若函数f（x）＝2lnx+4x2+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8）B．（﹣8，+∞）C．（﹣∞，8）D．（8，+∞）【分析】根据题意，分析函数的定义域，求出其导数，由导数的几何意义分析可得f′（x ）＝+8x+b＞0在（0，+∞）上恒成立，变形可得b ＞﹣（+8x）在（0，+∞）上恒成立，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2lnx+4x2+bx+5，其定义域为（0，+∞），其导数f′（x ）＝+8x+b，若函数f（x）的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则有f′（x ）＝+8x+b＞0在（0，+∞）上恒成立，变形可得b ＞﹣（+8x）在（0，+∞）上恒成立，又由+8x≥2×＝8，当且仅当x ＝时等号成立，即+8x有最小值8，若b ＞﹣（+8x）在（0，+∞）上恒成立，必有b＞﹣8，即b的取值范围为（﹣8，+∞）；故选：B．【点评】本题考查函数导数的几何意义，涉及函数的最值，属于基础题．17．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设k ＝，则下列不等式正确的是（）A．k＜f'（x1）＜f'（x2）B．f'（x1）＜k＜f'（x2）C．f'（x2）＜f'（x1）＜k D．f'（x1）＜f'（x2）＜k【分析】根据图象及导数的几何意义即可判断．13【解答】解：函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，∴f′（x1）＜k＜f′（x2）．故选：B．【点评】本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题．18．曲线在x＝1处的切线的倾斜角为α，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】曲线在x＝1处的切线的倾斜角为α，所以y′|x＝1＝tanα，所以＝﹣sin2α＝﹣＝﹣，将tanα代入即可．【解答】解：依题意，y ′＝+，所以tanα＝＝3，所以＝﹣sin2α＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，故选：D．【点评】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题．19．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，下列数值排序正确的是（）A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜0B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜0C．f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜f′（2）＜0D．f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜0【分析】根据题意，设M（2，f（2））、N（3，f（3））为函数的上的点，由导数的几何意义分析可得f′（3）与f′（2）的几何意义，又由f（3）﹣f（2）＝，为直线MN的斜率，结合图象分析可得答案．【解答】解：根据题意，设M（2，f（2））、N（3，f（3））为函数的上的点，则f′（2）为函数f（x）在x＝2处切线的斜率，14f′（3）为函数f（x）在x＝3处切线的斜率，f（3）﹣f（2）＝，为直线MN的斜率，结合图象分析可得f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜0；故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率大小比较，属于基础题．20．已知函数f（x）的图象如图，设f′（x）是f（x）的导函数，则（）A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）C．f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）【分析】由题意，分析f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）所表示的几何意义，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，由导数的几何意义：f′（3）表示函数在x＝3处切线的斜率，f′（2）表示函数在x＝2处切线的斜率，f（3）﹣f（2）＝，为点（2，f（2））和点（3，f（2））连线的斜率，结合图象可得：0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率比较，属于基础题．21．已知函数f（x）在R上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是（）15A．f'（a）＜f'（b）＜f'（c）B．f'（b）＜f'（c）＜f'（a）C．f'（a）＜f'（c）＜f'（b）D．f'（c）＜f'（a）＜f'（b）【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（a）、f′（b）、f′（c）分析函数在x＝a、x＝b和x＝c处切线的斜率，结合函数的图象分析可得答案．【解答】解：根据题意，f′（a）、f′（b）、f′（c）分析函数在x＝a、x＝b和x＝c 处切线的斜率，则有f'（a）＜0＜f'（b）＜f'（c），故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义，注意比较函数的切线的斜率，属于基础题．22．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则＝（）A．﹣4B．4C．﹣36D．36【分析】根据题意，由极限的性质可得则＝×，结合导数的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则＝×＝＝4；故选：B．【点评】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于基础题．23．已知函数，则＝（）A．4B．2C．﹣2D．﹣4【分析】根据函数的导数的极限定义进行转化求解得2f′（0），然后求函数的导数即可．【解答】解：＝2＝2f′（0），16∵，∴f′（x）＝3x﹣2e x，则f′（0）＝0﹣2e0＝﹣2，则2f′（0）＝﹣4，故选：D．【点评】本题主要考查函数的导数的计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．24．下列函数中，当x＞0时，随x的增大，增长速度最快的是（）A．y＝x B．y＝2x C．y＝3x D ．【分析】根据题意，依次计算函数的导数，比较导数的大小，由导数的几何意义分析可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x，其导数y′＝1，对于B，y＝2x，其导数y′＝2x ln2，对于C，y＝3x，其导数y′＝3x ln3，对于D，y＝log3x，其导数y ′＝，分析可得：随x的增大，增长速度最快的是y＝3x，故选：C．【点评】本题考查函数单调性的性质以及判定，注意导数的几何意义，25．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能为（）A ．B ．17C ．D ．【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由f（x）的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y轴左侧先增，再减，在y轴的右侧，函数单调递减，∴导函数y＝f′（x）的图象可能为区间（﹣∞，0）内，先有f′（x）＞0，再有f′（x）＜0，在（0，+∞）再有f′（x）＞0．故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题二．填空题（共25小题）26．已知函数f（x）可导且f′（1）＝﹣2，则＝1．【分析】先根据导数定义得出f'（x o）＝，再计算即可．【解答】解：根据导数的定义，＝＝﹣f'（x ）＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了导数的定义，属于基础题．27．已知函数f（x）是可导函数，且f'（a）＝1，则等于3．【分析】根据题意，由极限的运算公式可得＝3×＝3f'（a），计算即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）中，f'（a）＝1，＝3×＝3f'（a）＝3；故答案为：3．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的运算，属于基础题．28．函数f（x）＝3x2在[2，6]内的平均变化率为24．18【分析】根据题意，由平均变化率的计算公式可得＝，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x2，其在区间[2，6]内的平均变化率＝＝＝24；故答案为：24．【点评】本题考查变化率的计算，关键是掌握变化率的计算公式，属于基础题．29．函数f（x）＝sin x在[﹣，]上的平均变化率是．【分析】利用平均变化率的定义即可求出．【解答】解：函数f（x）＝sin x在[﹣，]上的平均变化率为：＝＝故答案为：【点评】本题考查了平均变化率的定义及其求法问题，是基础题．30．质点运动的速度v＝（18t﹣3t2）m/s，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是108．【分析】由速度为0求出t的值为0和6，求出速度函数在[0，6]上的定积分即可．【解答】解：由18t﹣3t2＝0，得t＝0或t＝6．当t∈[0，6]时，质点运动的路程为S＝（18t﹣3t2）dt＝＝﹣63+9×62＝108；故答案为：108．【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的物理意义，关键是对题意的理解，是基础题．31．若某物体运动规律是S＝t3﹣6t2+5（t＞0），则在t＝4时的瞬时速度为0．【分析】利用导数的几何意义即可得出．【解答】解：∵质点按规律S＝t3﹣6t2+5运动，∴S′＝3t2﹣12t，令S′＝3t2﹣12t＝0，解得t＝4，∴质点在4s时的瞬时速度为0．19故答案为：4【点评】本题考查的知识点是变化的快慢与变化率，其中根据质点位移与时间的关系时，求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．32．某汽车启动阶段的路程函数S＝2t3﹣3t2（t的单位是s，S的单位是m），则t＝2时，汽车的瞬时速度为12m/s ．【分析】根据导数的物理意义，计算函数s（t）＝2t 3﹣3t2的导数，将t＝2代入其中，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，位移s与时间t的关系是s（t）＝2t3﹣3t2，则s′（t）＝6t2﹣6t，则s′（2）＝24﹣12＝12，即t＝2s时，汽车的瞬时速度为12m/s，故答案为：12．【点评】本题主要考查导数的物理意义，以及导数的基本运算，属于简单题．33．已知一质点的运动方程为s＝2﹣t2，则该质点在一段时间[0，2]内的平均速度为﹣2．【分析】别求出经过0秒种的位移与经过2秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．【解答】解：由题意＝＝﹣2，故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了函数的平均变化率公式，注意平均速度与瞬时速度的区别，属于基础题．34．设函数f（x）在x＝1处存在导数为2，则＝．【分析】利用极限概念直接求解．【解答】解：＝＝f′（1）＝故答案为：【点评】本题考查函数的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限定义的合理运用．35．某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在t＝2的瞬时速度为．（单位：米/秒）20【分析】根据题意，求出s＝t2+的导数，分析可得该物体在2秒末的瞬时速度就是t＝2时的导数值，将t＝2代入导数即可得答案．【解答】解：根据题意，s＝t2+，则其导数s′＝2t﹣，该物体在3秒末的瞬时速度就是t＝3时的导数值，即s′|t＝2＝4﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查导数的意义，关键明确导数的意义．36．已知函数y＝x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是2+△x．【分析】利用平均变化率的意义即可得出．【解答】解：函数y＝x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：＝2+△x．故答案为：2+△x．【点评】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．37．某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为（t的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为米/秒．【分析】物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．【解答】解：，∴S′＝1+，∴它在4秒末的瞬时速度为1+＝，故答案为：．【点评】本题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．38．若曲线y＝x3﹣x2在点P处的切线l与直线y＝﹣x垂直，则切线l的方程为y＝x ﹣1或．【分析】根据题意可设P，并且可据题意得出y＝x3﹣x2在点P 处的切线斜率为1，从而可得出，解出x0，从而可得出点P的坐标，根据直线的点斜式方程进而求出切线的方程．【解答】解：据题意设P，且y＝x3﹣x2在点P处的切线斜率为1，y′＝3x2﹣2x，∴，解得，或1，∴，或P（1，0），∴切线l的方程为或y＝x﹣1．故答案为：或y＝x﹣1．【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率的关系，导数的几何意义，直线的点斜式方程，考查了计算能力，属于基础题．39．已知函数f（x）＝sin x，则＝﹣2【分析】根据题意，由极限的运算性质可得＝2×＝2f′（π），结合导数的计算公式求出f′（π）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，＝2×＝2f′（π），又由f（x）＝sin x，则f′（x）＝cos x，则有f′（π）＝cosπ＝﹣1，则＝﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查导数的计算以及导数的定义，涉及极限的计算，属于基础题．40．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝x3+f′（）x2﹣x，则f′（1）＝0．【分析】根据题意，求出函数的导数f′（x）＝3x2+2f′（）x﹣1，令x＝可得：f′（）＝3（）2+2f′（）x﹣1，解可得f′（）的值，即可得f′（x）的解析式，将x＝1代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x3+f′（）x2﹣x，其导数f′（x）＝3x2+2f′（）x﹣1，令x＝可得：f′（）＝3（）2+2f′（）•﹣1，解可得f′（）＝﹣1，则f′（x）＝3x2﹣2x﹣1，故f′（1）＝3﹣2﹣1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．41．曲线f（x）＝3﹣，在点（0，3）处的切线方程为x+y﹣3＝0．【分析】由导数的几何意义得：f′（0）＝﹣1，所以在点（0，3）处的切线方程为y﹣3＝﹣x，即x+y+3＝0，得解．【解答】解：由f（x）＝3﹣，则f′（x）＝，所以f′（0）＝﹣1，所以在点（0，3）处的切线方程为y﹣3＝﹣x，即x+y﹣3＝0，故答案为：x+y﹣3＝0．【点评】本题考查了导数的几何意义，属简单题．42．已知P为函数y＝lnx图象上任意一点，点Q为圆x2+（y﹣e2﹣1）2＝1上任意一点，则线段PQ长度的最小值为e﹣1．【分析】圆x2+（y﹣e2﹣1）2＝1的圆心坐标为：C（0，e2+1）．y＝lnx对x求导可得：y′＝．设与曲线y＝lnx相切的切点为M（x0，lnx0），且满足CM与切线垂直．可得•＝﹣1，解得x0，进而得出答案．【解答】解：圆x2+（y﹣e2﹣1）2＝1的圆心坐标为：C（0，e2+1）．y＝lnx对x求导可得：y′＝．设与曲线y＝lnx相切的切点为M（x0，lnx0），且满足CM与切线垂直．则•＝﹣1，化为：lnx0+﹣e2﹣1＝0，令g（x）＝lnx+x2﹣e2﹣1在（0，+∞）上单调递增，且g（e）＝0．∴x0＝e．∴切点为：（e，1）．∴线段PQ长度的最小值＝﹣1＝e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查了导数的几何意义、直线与圆的位置关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．43．函数f（x）的图象在x＝2处的切线方程为2x+y﹣3＝0，则f（2）+f'（2）＝﹣3．【分析】先将x＝2代入切线方程可求出f（2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（2）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（2）＝﹣1，切点处的导数为切线斜率，所以f'（2）＝﹣2，所以f（2）+f′（2）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．44．已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则＝1．【分析】求导数得出f′（x）＝3ax2+2bx+c，由图象可看出，x＝﹣1，2是f（x）的两个极值点，从而得出x＝﹣1，2是方程3ax2+2bx+c＝0的两实数根，根据韦达定理即可得出，从而得出，从而得到．【解答】解：f′（x）＝3ax2+2bx+c；根据图象知，x＝﹣1，2是f（x）的两个极值点；∴x＝﹣1，2是方程3ax2+2bx+c＝0的两实数根；根据韦达定理，；∴2b＝﹣3a，c＝﹣6a；∴．故答案为：1．【点评】考查基本初等函数的求导，函数极值点的定义，根据函数导数求极值点的方法．45．如图函数f（x）的图象在点P处的切线为：y＝﹣2x+5，则f（2）+f′（2）＝﹣1．【分析】根据导数的几何意义和切线方程求出f′（2），把x＝2代入切线方程求出f （2），代入即可求出f（2）+f′（2）的值．【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣2x+5，∴f′（2）＝﹣2，f（2）＝﹣4+5＝1，∴f（2）+f′（2）＝﹣2+1＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查导数的几何意义，以及切点在切线上的灵活应用，属于基础题．46．函数y＝（x﹣1）e x的图象在点（1，0）处的切线的斜率是e．【分析】根据在函数图象上某点的切线的斜率是该函数在该点的导数值，从而只需求函数y＝（x﹣1）e x在点（1，0）处的导数即可．【解答】解：y′＝xe x，∴x＝1时，y′＝e，∴y＝（x﹣1）e x的图象在点（1，0）处的切线的斜率为e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的几何意义，基本初等函数积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．47．若曲线y＝e x+e﹣x的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为ln2．【分析】设切点的横坐标为x0，求导数由题意可得x0的方程，解方程可得．【解答】解：∵f（x）＝e x+e﹣x，∴f′（x）＝e x﹣e﹣x，设切点的横坐标为x0，可得e x0﹣e﹣x0＝整理可得2（）2﹣3﹣2＝0，解得＝2，或＝（舍去）∴x0＝ln2故答案为：ln2【点评】本题考查导数值与切线斜率的关系，涉及一元二次方程的求解，属基础题．48．已知曲线f（x）＝ax2﹣lnx在点（2，f（2））处的切线斜率为，则f（x）的最小值为．【分析】求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．【解答】解：f′（x）＝2ax﹣，f′（2）＝4a﹣＝，解得：a＝，故f（x）＝x2﹣lnx，f′（x）＝x﹣＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）min＝f（1）＝，故答案为：．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．49．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x+2，则f（1）+f′（1）＝3．【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f（1）的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′（1）的值，把f（1）和f′（1）代入即可．【解答】解：∵点M（1，f（1））是切点，∴点M在切线上，∴f（1）＝+2＝，∵函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线的方程是y＝x+2，∴切线斜率是，即f′（1）＝，∴f（1）+f'（1）＝+＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系，属于导数的几何意义的应用，属于基础题．50．一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s＝4﹣2t+t2，则该物体在3秒末的瞬时速度是4米/秒．【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求s＝4﹣2t+t2的导数，再求得t＝3秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．【解答】解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s＝4﹣2t+t2，∴s′＝2t﹣2∴该物体在3秒末的瞬时速度是s′|x＝3＝2×3﹣2＝4米/秒，故答案为4米/秒．【点评】本题主要考查了变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是理解导数的物理意义，属于基础题．。
高中数学导数练习题含答案
高中数学导数练习题含答案一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．求下列函数的导数： (1)221()(31)y x x =-+； (2)2321xy x -=+； (3)e cos x y x =3．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 4．已知函数()e 1x f x ax =--，a ∈R ． (1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 5．已知函数2()ln f x x x ax =-．(1)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，证明：()1212ln ln 10ln 2x x x x ⋅<<．6．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()ag x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1[,3]2上的最值.7．已知函数()()()()e 0=+->xf x x b a b 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=．(1)求a ，b 的值；(2)若方程()f x m =有两个实数根12,x x ， ①证明：12m >-；②当0m <时，2121x x m ->+是否成立？如果成立，请简要说明理由．8．已知函数2()e 1)(x f x ax x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； (2)若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围； (3)若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围. 9．已知函数2()ln (2)(R)f x a x x a x a =+-+∈. (1)若1a =，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值； (2)求()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a .10．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】 【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>， 由()0f x '>得20x a <<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤， 因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>.所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)21843x x +-；(2)222262(1)x x x --+；(3)e (cos sin )x x x -. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）由基本初等函数的导数公式，结合求导的乘除法则求各函数的导函数. (1)2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843y x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=+-.(2)2222222222(32)(1)(32)(1)2(1)2(32)262(1)(1)(1)x x x x x x x x x y x x x ''-+--+-+----'===+++.(3)(e )cos e (cos )e (cos sin )x x x y x x x x '''=+=-.3．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=， 所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点 （ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥， 所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意.综上，a 的取值范围是0,1. 【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.4．(1)2a = 时，函数 () f x 的单调增区间是(ln2,)+∞ ，递减区间为 (,ln2)-∞ ; (2)a 的取值范围为 (], 0-∞ 【解析】 【分析】（1）将2a =代入，对()f x 求导，根据导数正负，确定函数增减即可； （2）()x f x e a '=-，根据题意函数单调增，所以需要()0f x '≥在R 上恒成立，利用参变分离即可求解. (1)当2a = 时，()e 21x f x x =--，()e 2x f x '∴=-.令()0f x '> ，即e 20x -> ，解得 : ln 2x > ； 令()0f x '< ，即e 20x -< ，解得 :ln 2x < ；()f x ∴ 在ln 2x =时取得极小值，亦为最小值，即(ln 2)12ln 2f =- .∴ 当2a = 时，函数()f x 的单调增区间是(ln2,)+∞，递减区间为(,ln2)-∞.(2)()e 1x f x ax =-- ()e .x f x a ∴-'=()f x 在R 上单调递增，()e 0x f x a ∴='-≥ 恒成立，即e x a ≤在x ∈R 恒成立，x ∈R时,e (0,)x ∈+∞，0a ∴≤.即 a 的取值范围为(],0∞-.5．(1)1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）()0f x ≤恒成立，等价于ln xa x ≥恒成立，即max ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()ln x g x x=，利用导数求出函数()g x 的最大值，即可得出答案；（2）()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，即()1212,0x x x x >>为函数ln 2y x ax =-的两个零点，即()1212,0x x x x >>为方程ln 2x a x =的两个根，由（1）知102ea <<，且1201x x <<<，则要证()1212ln ln 10ln 2x xx x ⋅<<，只需证()1212ln 2ln ln x xx x >⋅，即证2122112212ln x x x x x x ->，令12,1x t t x =>，则要证22n 1l t tt ->，令()()12ln 1t t t t t ϕ=-->，利用导数证明()min 0t ϕ>即可. (1)解：因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ≤恒成立， 等价于ln xa x ≥恒成立，所以maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 令()ln x g x x =，则()21ln x g x x-'=， 当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以()()max 1e eg x g ==，故1ea ≥，即实数a 的取值范围是1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；(2)证明：()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>， 即()1212,0x x x x >>为函数ln 2y x ax =-的两个零点， 即()1212,0x x x x >>为方程ln 20x ax -=的两个根， 即()1212,0x x x x >>为方程ln 2xa x=的两个根， 由（1）知102ea <<，即102ea <<，且1201x x <<<， 由11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，得()1212ln ln 2x x a x x -=-， 所以1212ln ln 2x x a x x -=-， 要证()1212ln ln 10ln 2x x x x ⋅<<，只需证()1212ln 2ln ln x x x x >⋅，即证121212ln ln 112ln ln ln ln x x x x x x +=+>⋅，即1211222ax ax +>， 即12114a x x +>，也就是121212ln ln 112x x x x x x -+>⨯-，整理得221211222ln x x x x x x ->，即证2122112212ln x x xx x x ->， 令12,1x t t x =>，则要证2112ln t t t t t -=->， 令()()12ln 1t t t t tϕ=-->，则()()222221122110t t t t t t t tϕ--+'=+-==>， 所以()t ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=， 所以当t >1时，12ln t t t->，故原结论成立，即()1212ln ln 10ln 2x x x x ⋅<<．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和不等式的证明问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了分离参数法，考查了转化思想，考查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大.6．(1)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞(2)min ()2g x =，max 10()3g x =【解析】 【分析】（1）求导之后，分别令()0f x '>，()0f x '<即可求出()f x 的单调区间； （2）由有相同的极值点求出a 的值，再利用对勾函数的单调性求出()g x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. (1)()f x 的定义域：()0,∞+()()22122x f x x x x--'=-+=，由()0f x '>得01x <<，由()0f x '<得1x >， ∴()f x 的单增区间为()0,1，单减区间为()1,+∞. (2)()21ag x x ='-，由（1）知()f x 的极值点为1.∵函数()f x 与()g x 有相同的极值点， ∴()10g '=，即10a -=，∴1a =，从而()1g x x x =+，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上递增,又1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1033g =,∴在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()min 12g x g ==，()max 103g x =.7．(1)1a =，1b =(2)①证明见解析，②成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，再根据导数的几何意义及切点即在切线上又再曲线上，解出方程，解之即可；（2）①，由（1）求得函数的解析式及导数，利用导数求出函数()f x 的单调区间，从而可求得函数()f x 的最值，再根据方程()f x m =有两个实数根12,x x ，可得函数()f x 的最值m 的关系，即可得证；②，分别求出当直线过()1,0-，()()00,x f x 时和直线过()0,0，()()00,x f x 时割线方程，从而得1243x x x x ->-结合①即可得出结论. (1)解：()()1e xf x x b a =++-'，因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=，所以()111e eb f a '-=-=-，()()1110ef b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，∴1a =，1b =或1e=a ，2e b =-（舍）， 所以1a =，1b =； (2)①证明：由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，()()2e 1xf x x '=+-， 令()()()2e 1xg x f x x '==+-，则()()3e xg x x '=+，令()0g x '=，得3x =-，所以函数()g x 在(),3-∞-上递减，在()3,-+∞上递增， 所以()()min 3g x g =-，即()()3min 3e 10f x f -''=-=--<，又x →+∞，()f x '→+∞，3x <-，()0f x '<， 且()010f '=>，()1110ef '-=-<，∴()01,0x ∃∈-，使得()00f x '=，即()002e 10xx +-=，即01e 2x x =+，当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在()0,x -∞上递减，在()0,x +∞上递增，所以()()()()()0000min011e 1112x f x f x x x x ⎛⎫==+-=+- ⎪+⎝⎭()()()()()22000000211122222x x x x x x +-⎡⎤+⎡⎤⎣⎦=-=-=-++-⎢⎥+++⎣⎦， ∵()01,0x ∈-，∴()021,2x +∈， 令()()1,1,2h x x x x=+∈， 则()()2110,1,2h x x x '=->∈ ， 所以函数()h x 在()1,2上递增， 故()001522,22x x ⎛⎫++∈ ⎪+⎝⎭，所以()001122,022x x ⎡⎤⎛⎫-++-∈-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦， 即()min 12f x >-， ∴12m >-；②解：成立，理由如下：当直线过()1,0-，()()00,x f x 时割线方程为()()()00112x y x mx +=-+=+， 得()()030211m x x x -+=-+，当直线过()0,0，()()00,x f x 时割线方程为()()200012x y x m x x -+==+， 得()()0042021mx x x x -+=+，∴()()()0124320002112111222m x mx x x x m x x x +->-=+=+>++++-+.【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了利用导数解决方程的根的问题，考查了不等式的证明问题，，考查了数据分析和处理能力，考查了转化思想，计算量比较大，属于难题.8．(1)1y = (2)1(,)2-∞ (3)10,4⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先求导后求出切线的斜率'(0)0f =，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.(1)解：由题意得：22'e 121)e 2)()((x x ax x a f x ax x x ax =-++-=+-'(0)0f =，(0)1f = 故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程1y =.(2)由（1）得要使得()f x 在0x =处取得极大值，'()f x 在0x <时应该'()0f x >，'()f x 在0x >时应该'()0f x <，'e 2(1)()x x x ax f a =+-故①0a <且120a a -<，解得0a < ②0a >且120a a->，解得102a << 当0a =时，'()e x f x x =-，满足题意； 当12a =时，'21(e )2x f x x =，不满足题意； 综上：a 的取值范围为1(,)2-∞.(3)可以分三种情况讨论：①0a ≤②102a <<③12a ≥若0a ≤，()f x 在12(,)a a --∞上单调递减，在12(,0)a a -单调递增，在(0,)+∞上单调递减，无最小值； 若102a <<时，当0x <时，x 趋向-∞时，()f x 趋向于0；当0x > ，要使函数取得存在最小值121221212112()[(41)0e ()]e a a a a a a a f a a a a a a -----=-=-≤+，解得104a <≤，故 12a x a -=处取得最小值,故a 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 若12a ≥时，()f x 在x 趋向-∞时，()f x 趋向于0，又(0)1f =故无最小值；综上所述函数()f x 存在最小值， a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 9．(1)2e 3e 1-+(2)()()221,2ln ,22e 241e e 2e,2e a a a a g a a a a a a --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩ 【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 在区间[]1,e 上的最大值.（2）由()'f x 对a 进行分类讨论，由此求得()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a .(1)当1a =时，()()2ln 31e f x x x x x =+-≤≤，()()()'123123x x f x x x x--=+-=， 所以()f x 在区间()()'31,,0,2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'3,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增. ()()212,e e 3e 10f f =-=-+>，所以()f x 在区间[]1,e 上的最大值为2e 3e 1-+.(2)2()ln (2)(R,1e)f x a x x a x a x =+-+∈≤≤，()()()()'1222x x a a f x x a x x --=+-+=， 当1,22aa ≤≤时，()f x 在区间()()()'1,e ,0,f x f x >递增，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()()1121f a a =-+=--. 当1e,22e 2a a <<<<时，()f x 在区间()()'1,,0,2a f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()',e ,02af x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()f x 递增. 所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()22ln 2ln 222224a a a a a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当e,2e 2a a ≥≥时，()f x 在区间()()()'1,e ,0,f x f x <递减，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()()()22e e 2e 1e e 2e f a a a =+-+=-+-. 所以()()221,2ln ,22e 241e e 2e,2e a a a a g a a a a a a --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩. 【点睛】利用导数求解函数的单调性、最值，若导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，可以考虑利用导函数的零点分布来进行分类. 10．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-(2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案.(1)解：（1）()226f x x ax '=+-， 因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-， 令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<，所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；(2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-， ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-， 所以()max 312f x =，()min 163f x =-．。
高中数学求导练习题及讲解
高中数学求导练习题及讲解### 高中数学求导练习题及讲解#### 练习题1. 基本函数求导求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数。
2. 复合函数求导已知 \( g(x) = (x^3 + 1)^2 \)，求 \( g'(x) \)。
3. 链式法则应用若 \( h(t) = \sin(2t + 1) \)，求 \( h'(t) \)。
4. 高阶导数求函数 \( f(x) = x^3 \ln(x) \) 的一阶和二阶导数。
5. 隐函数求导若 \( xy = x^2 + y^2 \)，求 \( y' \)。
6. 参数方程求导给定参数方程 \( x = t^2 \) 和 \( y = t^3 \)，求 \( dy/dx \)。
7. 反函数求导若 \( y = \sqrt{x + 1} \)，求 \( \frac{dx}{dy} \)。
8. 乘积法则与商法则求函数 \( f(x) = (x^2 + 1)(3x - 1) \) 和 \( g(x) =\frac{x^2}{x + 1} \) 的导数。
9. 应用问题某物体的位移函数为 \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 4t \)，求其在\( t = 2 \) 时的瞬时速度。
10. 最优化问题若 \( C(x) = 100x + 0.02x^2 \) 是生产成本函数，求使成本最小化的 \( x \) 值。
#### 讲解1. 基本函数求导\( f'(x) = 6x + 2 \)，根据幂函数的导数规则 \( (x^n)' =nx^{n-1} \)。
2. 复合函数求导\( g'(x) = 2(x^3 + 1)(x^3)' = 2(x^3 + 1)(3x^2) = 6x^2(x^3+ 1) \)，应用链式法则。
3. 链式法则应用\( h'(t) = \cos(2t + 1) \cdot (2t + 1)' = 2\cos(2t + 1) \)。