大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第二节课堂讲义
高等数学下册(第9章)多元函数微分学及其应用教案
高等数学教学教案
第9章多元函数微分学及其应用
授课序号01
),n x 的全体组成的集合称为{(R x n =),n x 称为n 维空间中的一个点，数维空间中任意两点(),
,n P x 与),,n Q x 之间的距离为2222(()n n PQ y x y x +-+
+- 2中的一个平面点集，如果对于每个点D y x ∈),(，变量y x y x f ∈),(),(
),n x 或),n x D ∈
授课序号02
授课序号03
授课序号04
授课序号05
授课序号06
设0M 为曲面∑上的一点，若∑上任意一条过点0M 的曲线在点0M 有切线，且这些切线均在同一平面内，则称此平面为曲面∑在点0M 的切平面，称过0M 而垂直于切平面的直线为∑在点0M 的法线. 称法线的方向向量（切平面的法向量）为∑在点0M 的法向量.
1．设曲面∑的方程为(),,0=F x y z ，()0000,,M x y z 是曲面∑上的一点，曲面∑上过点()0000,,M x y z 的 切平面的方程为()()()()()()000000000000,,,,,,0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=. 法线方程为
)
, ,() , ,() , ,(0000
00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.
2．若曲面方程为(),z f x y =，曲面在点0M 的
切平面方程为0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=， 法线方程为
厦大《高代》讲义第9章+内积空间
第九章内积空间Inner Product Space
§9.1 目的与要求
•掌握内积、内积空间的概念
•熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等
•熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用
厦门大学数学科学学院
网址:
•定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有
(1). ( x , y ) = ( y , x )
(2). ( x + y , z ) = (
x ,z ) + (y , z )
(3). ( cx , y ) = c ( x , y )
(4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间.
有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间).
R V V →⨯对称线性非负（实）内积空间
•定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有
(1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z )
(3). (cx , y ) = c ( x , y )
(4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.
则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.
•注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.•注2:在复内积空间中, (,)(,)
x y y x =a a =(,)(,)
高等数学第九章知识要点
高等数学第九章知识要点
二 重 积 分 三 重 积
分 概
念来源 1、曲顶柱体体积、曲顶柱体体积 ()()()()i
n
i i i D
i
D
n i i i u d y x M m f d x f v s h x s s h x s l l D ==D ==åòò
òòå=®=®1010,lim ,2,lim 、平面薄片质量
空间中立体的质量
()
()i
n
i i
i
i
v u dv z y x u M D ==òòò
åW
=®1
,,lim
,,z h x l
基
本性质 1、线性性质：()()[]()
()
òòòòòò+=×+×D
D
D
dxdy y x g l
dxdy y x f
k
dxdy y x g l y x f
k ,,,,
2、关于区域的可加性：
()()()21
,,,,2
1
D D
D dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f D D
D +=+=òòòòòò
3、()()()òòòò===D D D d dxdy y x f y x f 的面积时，s s ,1,
4、()()()()()
òòòò
£Þ£ÎD
D
dxdy y x g dxdy y x f y x g y x f D y x ,,,,,时，
5、
()()òòòò
£
D
D
dxdy y x f dxdy y x f ,, 6、估值定理 ：()s s M dxdy y x f m D
££òò,
7、中值定理 ：
()()()D f dxdy y x f D Î×=òòh x s h x ,,,,
三重积分有类似的性质 计
算方法
1、直角坐标系下
()()()
高校数学-讲义-第九章欧几里得空间第四节
1 , 2 , … , n ，定义线性变换 A 为
பைடு நூலகம்
A 1 = - 1 ， A i = i , i = 2, … , n .
那么， A 就是一个第二类的正交变换. 从几何上 看，这是一个镜面反射(参看本章习题 15) .
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 !! ! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , , ,, 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 , , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . . ,!, 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 .. 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 .. 请单击返回按钮 请单击返回按钮.
大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第七节(课堂讲义)PPT课件
16
4. 最小二乘解的求法
应用前面所讲的结论，设
Y = AX = x11 + x22 + … + xss
是所要求的向量，则
C = B - Y = B - AX
必须垂直于子空间 L(1 , 2 , … , s ) .
而且必须
为此只须
(C , 1) = (C , 2) = … = (C , s) = 0 .
4
垂直于每个i ( i = 1, 2, … , k) . 现在来证明向量到子空间各向量间的距离以垂
线最短.
设 是给定的一向量， 是 W 中的向量，且满
足 - 垂直于 W.
要证明 到 W 中各向量的距离
以垂线最短，就是要证明，对 W 中任一向量 ，
有
|-||-|.
我们可以画出下面的示意图：
由它们
生成的子空间为 L(1 , 2 , … , s ) .
Y 就是 L(1 ,
2 , … , s ) 中的向量.
于是最小二乘法问题可叙述
成：
a is x s ) 2找 X 使 (1 ) 最小，就是在 L(1 , 2 , … , s )
中找一向量 Y ，使得 B 到它的距离比到子空间
L(1 , 2 , … , s ) 中其他向量的距离都短.
记为 d( , ) .
不难证明距离的三条基本性质：
扬州大学高等代数北大三 第九欧几里得空间PPT学习教案
b f ( x) g ( x)dx2 ( f ( x), g ( x)) ≤ ( f ( x), f ( x))( g ( x), g ( x)) a
b f 2 ( x)dx b g 2 ( x)dx ，
a
a
即得数学分析上常用的施瓦茨不等式:
b f ( x) g ( x)dx2 ≤ b f 2 ( x)dx b g 2 ( x)dx 。
证明： 题设得 ( ,i ) 0 (i 1, , r) ( , aii ) ai ( ,i ) 0
i 1
i 1
r
aii .
□
i 1
第13页/共79页
14） 2 2 2 证明： 2 ( , ) (, ) ( , ) 2 2 . □
j1 i1
rs
aibj (i , j ) .
i1 j1
第7页/共79页
定义 2
三 向量长度
V, 定义ξ的长度为 ( , )
➢ V, 都有长度；零向量的长度为 0；非零向量的长度＞0.
➢ 例 1 中， ( x1, x2 , , xn ) R n , ( , ) x12 x22
= k (ξ,η) .
3) (ξ+η, ζ) = (x1+ y1)z1 + ··· + (xn+yn)zn = (x1z1+ ··· + xnzn ) + (y1z1 + ··· + ynzn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ).
高校数学-讲义-第九章欧几里得空间第五节
证明
设 i Vi ，i = 1, 2, … , s , 且
1+2+…+s=0.
下面来证明 i = 0 . 用 i 与等式两边作内积，利 用正交性，得 ( i , i) = 0 . 从而 i = 0 ( i = 1, 2, … , s ) . 这就是说，和 V1 + V2 + … + Vs 是直和.
证毕
二、正交补
1. 定义 定义 11 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正 交补，如果 V1 V2 ，并且 V1 + V2 = V .
显然，如果 V2 是 V1 的正交补，那么 V1 也是 V2 的正交补.
2. 正交补的性质
定理 6
n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 V1
都有唯Βιβλιοθήκη Baidu的正交补.
证毕
由定理的证明还不难得到
推论
证明略
V1 恰由所有与 V1 正交的向量组成.
由分解式
V = V1 V1 可知，V 中任一向量 都可以唯一地分解成
= 1 + 2 ，
其中 1 V1 ， 2 V1 . 称 1 为向量 在子空 间 V1 上的内射影.
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高等代数--第九章 欧几里得空间_OK
10
即对于任意的向量 , 有
| (, ) || || | .
(5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t. 由4)可知，不论t取何值，一定有
( , ) ( t , t ) 0.
即 (,) 2(, )t ( , )t 2 0. (6)
基 1,2,,n 的度量矩阵
B (bij ) ((i , j )) C' AC.
(11)
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
22
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0
X
0
0
有 (,) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
23
标准正交基
4
(1 , 1 , 1 , 1). 2 2 22
设1,2,,n与 1,2,,n是欧氏空间V中的 两组标准正交基,它们之间的过渡矩阵
是 A (aij )，
35
即
a11
(1
,2
,,n
)
(1
,
2
,,
n
)
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
an1 an2 ann
因为1,2 ,,n是标准正交基，所以
欧几里得空间的有界闭集上的连续函数有最小值
欧几里得空间的有界闭集上的连续函数有最小值
欧几里得空间是数学上一个经典的概念，在数学分析和几何学中都占
有重要地位。欧几里得空间中的有界闭集和连续函数是数学分析中常
见的概念，它们之间的关系也是数学上一个非常重要的结论。本文将
探讨欧几里得空间的有界闭集上的连续函数是否具有最小值的问题。1. 欧几里得空间的定义
我们需要明确欧几里得空间的概念。欧几里得空间是指一个具有欧几
里得度量的空间，通常我们所说的三维空间就是指欧几里得空间。在
欧几里得空间中，我们可以定义距离的概念，这个距离是满足三角不
等式和对称性的，并且在空间中满足相容性。欧几里得空间中的距离
可以用来衡量空间中两点之间的距离，这对于数学分析和几何学都是
非常重要的。
2. 有界闭集的定义
在欧几里得空间中，我们可以对集合进行分类，其中有一个重要的概
念就是有界闭集。有界闭集是指集合中的所有元素都有一个有界范围，并且集合本身的边界也被包括在内。有界闭集在数学分析中有着重要
的应用，它可以保证在一定范围内的连续函数有最小值。
3. 连续函数的概念
连续函数是指在定义域内满足连续性的函数。在欧几里得空间中，连续函数是指函数在整个定义域内都满足连续性，也就是说函数的值在定义域内任意一点的极限都存在且等于函数在该点的取值。连续函数是数学分析中的基础概念，它在微积分、实分析和复分析等领域都有着广泛的应用。
4. 有界闭集上的连续函数有最小值的结论
在数学分析中，有一个非常重要的结论是：欧几里得空间的有界闭集上的连续函数有最小值。这个结论可以通过极限的性质和有界闭集的相关定义得到证明。具体来说，我们可以利用连续函数在闭集上的性质以及闭集的有界性质，通过极限的定义和连续函数的性质得到闭集上连续函数必然有最小值的结论。这个结论在数学分析和实际问题中都有着重要的应用，它保证了有界闭集上的连续函数在一定范围内具有最小值，这对于优化问题和极值求解都是非常重要的。
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
29
本章内容
01
多元函数的概念
02
二元函数的极限
03
二元函数的连续性
二、二元函数的极限
定义 9.2
设二元函数z f ( P) 的定义域是某平面区域D ，P0 为D
的一个聚点，当D 中的点P 以任何方式无限趋于P0 时，函数值f ( P)
无限趋于某一常数A，则称A 是函数当P 趋于P0 时的（二重）极限．
7
02
偏导数与全微分
当自变量有微小改变量时，需要计算相应的函数改变量.
z f x x, y y f x, y
z Ax By+o
近似
dz df AΔx BΔy
标准形式
dz
z
z
x y
x
y
8
导学内容
01
极限与连续
偏导数与全微分
偏导数
设函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义
如果极限
lim
x 0
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y 0 )
x
存在，则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 对
x 的偏导数
一、多元函数的概念
上述邻域U ( P0 , ) 去掉中心P0 ( x0 , y0 ) 后，称为P0 ( x0 , y0 ) 的去
大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第六节课件课堂讲义
3
.
于是曲面的方程化为
其中
1x22 + 2y22 + 3z22 + d * = 0,
1 2 3 1 ,4 3 .
其次，求属于 1 的特征向量.
把 = 1 代入
x1 x2 x3 x4 0,
x1 x1
x2 x3 x2 x3
x4 x4
0, 0,
(4)
x1 x2 x3 x4 0,
单击这里求解
求得基础解系为
1 2
(1,1,0,0 ) (1,0,1,0 )
, ,
,
xn cn1y1 cn2 y2 cnn yn
的矩阵 C = ( cij ) 是正交的，那么它就称为正交的
线性替换. 正交的线性替换当然是非退化的.
用二次型的语言，
定理 7 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A， 都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使 TTAT 成对角形 .
可以叙述为：
定理 8 任意一个实二次型
的线性
实对称矩阵.
用对称变换来反映实对称矩阵，一些
性质可以看得更清楚.
引理 3 设 A 是对称变换，V1 是 A - 子空 间，则 V1 也是 A - 子空间.
证明 设 V1 ，要证 A V1 ，即
A V1 .
任取 V1 ，都有 A V1 .
V1 ，故 ( , A ) = 0 .
第9章 欧几里德空间(第1讲)
第9章 欧几里德空间（第1讲）
目标与要求
理解欧几里德空间的概念, 并会检验线性空间是否构成欧氏空间； 理解向量的长度、夹角与正交的概念;
理解度量矩阵概念, 掌握度量矩阵的性质．
重点难点
重点：理解欧几里德空间的概念, 理解向量的长度、夹角与正交的概念; 理解度量矩阵概念, 掌握度量矩阵的性质．
难点：理解欧几里德空间的定义,理解度量矩阵概念, 掌握度量矩阵的性质．
设计安排
通过归纳几何空间内积的性质，给出实数域R 上线性空间内积公里化定义以及欧几里德空间的概念，再由内积定义向量的长度、夹角与正交的概念；适当启发，循序渐进，最后对度量矩阵概念、性质进行讨论．
教学进程见幻灯片部分．（2学时） 黑板与多媒体讲授相结合．
教学内容
§1 定义与基本性质
一．欧几里得空间的概念与简单性质
线性空间的概念是从三维几何空间抽象而来，在这个抽象过程中，我们已抛弃了三维几何空间中向量的许多重要的几何性质，如：向量的长度和夹角在线性空间中没有相应地反映出来．而在几何空间中，向量的长度和夹角的理论作用是重要的、不可或缺的．如果没有这两个概念，几何空间的研究将是难以想象的．于是，自然就想到应该将向量的长度和夹角概念相应地抽象到线性空间中来，有了它们做工具，对空间的讨论研究将更加深入．那么，应如何在线性空间中引入向量的长度和夹角概念？下边回顾几何中的相关知识，以从中得到启发．
在几何空间中，向量的长度和夹角都可以用内积来表示：
),(ξξξ=，η
ξηξηξ)
,(),cos(=
∧
．
两个向量的内积是一个实数),cos(),(∧
=βαβαβα，所以它有较强的代数性质．因此，我们把内积作为基本概念引入线性空间中，然后仿照几何空间中向量长度、夹角与内积的上述关系式，定义线性空间中向量长度和夹角的概念．而线性空间中的内积自然也应该抽取几何空间中内积的本质作为其定义．几何空间中内积本质上是一个二元实函数，在它的诸多性质中下述四条是最基本的：
《高等数学》各章知识点总结——第9章
第9章多元函数微分学及其应用总结
一、多元函数的极限与连续
1、
维空间
为二元数组
的全体，称为二维空间。
为三元数组
的全体，称为三维空间。
为
元数组
的全体，称为
维空间。
维空间中两点
间的距离：
邻域: 设
是
的一个点，
是某一正数，与点
距离小于
的点
的全体称为点
的
邻域，记为
，即
空心邻域:
的
邻域去掉中心点
就成为
的
空心邻域,记为
=
。
内点与边界点：设
为
维空间中的点集，
是一个点。如果存在点
的某个邻域
，使得
，则称点
为集合
的内点。如果点
的任何邻域内都既有属于
的点又有不属于
的点，则称
为集合
的边界点,
的边界点的全体称为
的边界．
聚点：设
为
维空间中的点集，
是一个点。如果点
的任何空心邻域内都包含
中的无穷多个点，则称
为集合
的聚点。
开集与闭集: 若点集
的点都是内点，则称
是开集。设点集
, 如果
的补集
是开集，则称
为闭集。
区域与闭区域：设
为开集，如果对于
内任意两点，都可以用
内的折线（其上的点都属于
）连接起来, 则称开集
是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集
，若存在
，使得
，即
中所有点到原点的距离都不超过
，则称点集
为有界集，否则称为无界集．
如果
是区域而且有界，则称
为有界区域．
有界闭区域的直径：设
是
中的有界闭区域，则称
为
的直径。
二、多元函数
元函数就是
的一个子集
到
的一个函数，即对任意的
，都存在唯一的
，使得
。习惯上，我们用
表示一元函数，用
表示二元函数，用
表示三元函数. 一般用
或
表示
元函数．
三、多元函数的极限
设多元函数
在
有定义，
是
的一个聚点，
为常数。如果对任意给定的
，都存在
，当
时，有
则称
考研高数总复习第九章欧几里得空间第二节
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
则
xi = (i , )
( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
= (i , x11) + … + (i , xi-1i-1) + (i , xii ) + + (i , xi+1i+1) + … + (i , xnn )
那么 ( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中 的坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准
正交基都是一样的.
这说明了，所有的标准正交基
在欧氏空间中有相同的地位.
在下一节，这一点将
基. 假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
成为一组正交基.
现在来看 n - m = k + 1 的情形.
因为 m < n ，
所以一定有向量 不能被1 , 2 , … , m线性表出，
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k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + km m = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
由i
ki ( i , i ) = 0 . 0，有 ( i , i ) > 0 ，从而
ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) .
证毕
这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
则
xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
( i, n)
) = ( i , x1 1 + x2 2 + … + xn
= ( i , x1 1) + … + ( i , xi-1 i-1) + ( i , xi i ) +
m
m1 m1 (m1,i)i . i1
显然
m +1 0 , 且 (m +1 , i) = 0 ，i = 1 , 2 , … , m .
基. 假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
成为一组正交基.
现在来看 n - m = k + 1 的情形.
因为 m < n ，
所以一定有向量 不能被 1 , 2 , … , m线性表出，
因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同
于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基,
它的度量矩阵是单位矩阵.
由此可以断言，在 n 维
欧氏空间中，标准正交基是存在的.
性质 2 设 1 , 2 , … , n 是一组标 向量 准在正该交基基下的，坐标为 (x1 , x2 , … , xn ) , 即
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ， = y1 1 + y2 2 + … + yn n ，
那么
( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中 的坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准
有
( i , m +1 ) = 0 ( i = 1, 2, … , m).
由 的选择可知， m +1 0 . 因此
1 , 2 , … , m , m +1
是一正交向量组，根据归纳法假定， 1, 2 ,…, m ,
m +1 可以扩充成一正交基.
证毕
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个
具体的扩充正交向量组的方法.
如果我们从任一个
非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后
就得到一组正交基.
再单位化，就得到一组标准正
交基. 在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空
间的一组基. 对于这种情形，有下面的结果：
定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 2 , … , 1n,，都可以找到一组标准正交基 1 , 2 , … ,
节标准正交基
定义 标准正交基的求法 举例
一、定义
1. 正交向量组的定义
定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量， 果它如们两两正交，就称为一正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向
量组也是正交向量组. 组都是非空的.
当然，以下讨论的正交向量
2. 正交向量组的性质
性质 正交向量组是线性无关 的证明. 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
的非零向量不能超过 n 个.
这个事实的几何意义是
清楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非
零向量； 在空间中，找不到四个两两垂直的非零向
量.
从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性
质的讨论中有特殊的地位. 相仿的.
在欧氏空间中，Βιβλιοθήκη Baidu况是
3. 正交基的定义 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向 的正量交向组量成组称为正交基； 由单位向量组成的正交
+ (i , xi+1i+1) + … + (i , xnn )
= x1( i , 1) + … + xi-1( i , i-1) + xi( i , i ) +
+ xi+1(i , i+1) + … + xn(i , n )
= xi( i , i )
= xi .
证毕
性质 3 设 1 , 2 , … , n 是一组标 且 准正交基，
n ，使
L( 1 , 2 , … , i ) = L( 1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,n .
证明 设 1 , 2 , … , n 是一组基，我们来逐
个地求出向量 1 , 2 , … , n .
首先，可取
1
|
1
1
|
1
.
一般地，假定已经
求出 1 , 2 , … , m ，它们是单位正交的，具有性
作向量
m +1 = - k11 - k22 - … - kmm ,
这里 k1 , k2 , … , km 是待定的系数.
用 i 与 m +1 作
内积，得
( i , m +1 ) = ( , i ) - ki( i , i ) ( i = 1, 2, … , m).
取
ki (( i,, ii)) (i1,2,,m ).
质 L( 1 , 2 , … , i ) = L( 1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,m .
下一步求 m +1 .
因为 L( 1 , 2 , … , m ) = L( 1 , 2 , … , m) ,
所以 m +1 不能被 1 , 2 , … , m 线性表出. 按定
理 1 证明中的方法，作向量
正交基都是一样的.
这说明了，所有的标准正交基
在欧氏空间中有相同的地位.
在下一节，这一点将
得到进一步的说明.
下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基
的求法.
二、标准正交基的求法
定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量 能扩组充成都一组正交基.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法. 当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
基称为标准正交基.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交 基.
4. 正交基的性质
性质 1 设 1 , 2 , … , n 是一组标 则 准正交基，
1, i j ;
(
i
,
j
)
0,
i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质.
换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵.