循环小数

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什么叫循环小数

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在数学中，循环小数是一种有限小数或无限小数中的一种特殊形式。循环小数可以被表示为一个整数部分和一个叫做循环节的无限重复

的数字串。循环小数常常和无理数联系在一起，它们的无限数字序

列不具有循环结构。

循环小数可以通过将一个分数用十进制形式表示来得到。分数是一

个有理数，可以表示为两个整数之间的比值。例如，1/3 =

0.3333333333...，0表示整数部分，33表示循环节的数字序列。

为了更好地理解循环小数，我们可以通过一些例子来进行说明。考

虑一个分数4/7。我们可以使用长除法来将这个分数转化为十进制

的循环小数。

我们将4除以7，得到的商是0，余数是4。将余数乘以10，再除

以7，得到的商是5，余数是5。再将余数乘以10，再除以7，得

到的商是7，余数是1。以此类推，可以得到一个无限的数字序列：0.57142857142857...。在这个例子中，循环节是142857，这个数字序列无限重复。

在数学中，循环小数可以用括号来表示循环节。对于上述例子，我们可以用括号来表示循环节：0.571(428571)。

可以通过将循环小数转化为分数来得到原始有理数。以前面的例子为例，我们可以将0.57142857142857...转化为分数。假设这个循环小数为x，我们可以得到以下方程：

7x = 5.7142857142857...

接下来，我们通过变换来消除循环节。我们将10倍的循环小数减去原始的循环小数：

10x - x = 5.7142857142857... - 0.57142857142857...

循环小数的分类

循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。一个数的小数部分从某一位起，一个或几

个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。

两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，

得到无限小数。

从小数点后某一位已经开始依次不断地重复发生前一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数，如 2....*（搭循环小数），35....（循环小数），20.…（循环小数）等，其中依次循环不断重复发生的数字叫做循环节。

循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两

位上方各添一个小点。

循环小数可以利用等比数列议和公式的方法化成分数，所以循环小数均属有理数。

将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。

将搭循环小数重写成分数，分子就是不循环部分与第一个循环节连成的数字共同组成

的数，乘以不循环部分数字共同组成的.数之差；分母的头几位数字就是9，末几位数字就是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不能循环部分的数位相同。

无限循环小数的两种写法

无限循环小数的表示方法有：一、循环节的表示方法。二、分数表示法，分数表示法又分为两种，分别是：1、纯循环小数小数部分化成分数；2、混循环小数小数部分化成分数。

找到小数部分的循环小数，如果它是一个数字循环，就在这个数字的上面点一个点；如果2个数字循环，就在这两个数字上面分别点一个点；如果出现2个以上数字的，就在第一个数字和最后一个数字的上面点一个点。

循环小数的简写法就是将第一个循环节以后的数字全部省略，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

例如：35.…缩写为 35.23（2,3上面加一个点），它读作“三十五点二三，二三循环”。

二、分数则表示

把循环小数的小数部分化成分数的规则：

1、氢铵循环小数小数部分化为分数：将一个循环节的数字共同组成的数做为分子，分母的各位都就是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分后。

2、混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

循环小数知识要点

分类

有限小数

无限循环小数

小数的分类

无限不循环小数

无限小数的分类有限小数无限循环小数无限小数

无限不循环小数

小数

循环节：

①、循环节只能看小数部分：

13.781378137813·这样的循环小数的循环节很容易错写成是1378，循环节只能看小数部分，13.781378137813·所以它的循环节应该是7813。 ②、只有循环小数才有循环节：

0.878787这样的数其实是有限小数，有限小数是没有循环节的，只有循环小数才有循环节，所以87不是0.878787的循环节，因为0.878787根本没有循环节，

1、尾巴式：写出2-3组完整的循环节，然后点上3个点（带上尾巴），【写出2组带尾巴】

例：17.563563…，0.10666…

例：0. 313313… 313是循环节，3个数字的循环节

0. 3133131…31是循环节，2个数字的循环节

这是两个完全不同的循环小数，下面的书写只比上面的多了一个1，但意义完全不同。

2、帽子式：写出1个完整的循环节，然后在循环节的第一个和最后一个数字头上点上点（戴帽子）【只写一组戴帽子】

例：

∙

01.3

∙

914.0

注意：

例：

∙

914.0不能写成

∙

914.0419，也不能写成

∙

914.0419…，

写成

∙

914

419

.0也不行，啰嗦、也不规范

∙

7 01.3和

∙

01.3是不同的循环小数，

∙

01.3的循环节是07，

∙

01.3的循环节是107

3、“帽子式”与“尾巴式”的互换

（1）帽子式尾巴式口诀：【写出2组循环节，脱掉帽子带尾巴】

例：

循环小数的概念

循环小数是一种特殊的小数表达式，它以相同的数字或组合开头，通过无限循环结尾。循环小数这种循环结构使其有几个显著的数学特性，如无穷性、极限性、对称性及有趣的图形特性等。

例如，循环小数0.9，其中0.9是小数点后的三位数字。它的数学特性是永不终止的无限循环，每三位就会重复自身的这三位小数。这意味着，即使字数无限增加，其整体意义仍然相同。此外，它也具有不变性，即在数值范围之内它总是0.9。

而另一个循环小数的例子是0.142857，一个非常熟悉的数字，它经过无限循环从第一位到最后一位，都是142857或者重复下去。这种循环性表示它也具备不变性，即无论小数字数字有多少，它总是按142857结尾。

总之，循环小数是一种特殊小数表达式，其有一些显著特性，如无穷性、极限性、对称性及具有有趣的图形性质等。它也具有独特的数学价值，以及给教室带来了更多有趣的思考和讨论。

循环小数

循环小数
城西完小王敏
学习目标
1、理解循环小数的含义，能正确地读写循环小数。 2、能用简便方法表示循环小数，准确找到循环节。 3、认识有限小数和无限小数。
(1)32÷6=
(2)58.6÷11=
(3)40÷7.4=
(4)
一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数．
哪些是循环小数？
0.666…
是
1.48383… 是
4.2525
不是
0.1875875… 是
3.1415926… 不是
0.54774589… 不是
0.666… 1.48383… 0.7222… 25.41694694… 0.163576357…
一个循环小数依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。
五、哪些是有限小数，哪些是无限小数
2.08333… 3.1666 0.12121
4.2319 2.746746… 33.137
有限小数：
无限小数：
六、比较下面两个数的大小。
4.55 ＜ 4.5
1.62 ＞1.6222
2.35 ＜ 2.53
1.12 ＜1.12
当两个循环小数不能直接比出大小的时候，可以先把循环小数写成一般形式后再比。
四、判断
（1）一个小数从某一位数起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫做循环小数。（）

循环节是什么,怎么表示

循环节是什么？

1. 循环节是指从无限小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。

2. 循环小数写成一项和一个无限比例数列的和的形式后，可以转换成分数。

循环节怎么表示？

1. 循环节的表示方法：循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

2. 循环节的表示：找到小数部分的循环小数，如一个数字循环，就在这个数字的上面点一个点（例如：6.23333……是无限循环小数，它的循环节是3，表示为6.23）；如两个数字循环，就在这两个数字上面分别点一个点（例如：6.2363636……是无限循环小数，它的循环节是36，表示为6.236）；如果出现2个以上数字的，就在第一个数字和最后一个数字的上面点一个点。（例如：6.2363363363……是无限循环小数，它的循环节是363，表示为6.2363）。

• • • • •

循环小数概念

现代数学：循环小数的定义一般有如下两种：

①从小数点后某一位开始不断地重复出现一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数或无限循环小数：被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。如

3.258258258……=3.258(2和8上添一个小点)。

循环小数分为两大类：混循环小数和纯循环小数。

混循坏小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数，如3. 258(5和8上添一个小点)。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，如

3.258(2和8上添一个小点)。

②公理化定义：

循环小数是无限小数的一种特殊形式。对一个无限小数0.a1a2…an。…，若能找到两个正整数s≥0，t>0，使得as+i=as+kt+i。（i=1，2，…，t;k=l，2，…）成立，则称此无限小数为循环小数，记为0.a1a2…ass+1…s+t。对于一个循环小数而言，满足上式的s,t值有无数多个，如果取其中最小的s,t值，则称as+1as+2…as+t为这个循环小数的循环节，t称为循环节的长度；若最小的s=0，则这个循环小数称为纯循环小数；如果最小的s>0，则相应的循环小数称为混循环小数，并把小数点之后至循环节之前的部分a1a2…as称为非循环节。任何一个循环小数必可化为分数。

从数学的观点看，第一个定义通俗易懂，小学数学教材的表述与其相似。第二个定义科学严谨，体现了循环小数的本质。

小学数学：2005年人教版教材五年级下册的第28页明确指出：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作循环小数。

循环小数点

1. 什么是循环小数点？

循环小数点是指一个无限循环的小数，它的小数部分会一直重复出现。循环小数点通常以一个带有括号的数字序列来表示，括号内的数字是会无限重复的。

例如，1/3（读作1除以3）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的

0.3333…，可以用1/3=0.3(3)来表示。

2. 循环小数点的表示方法

循环小数点可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种方式：

2.1 带括号表示法

在带括号表示法中，循环小数点的循环部分用括号括起来，括号内的数字表示会无限重复。

例如，2/7（读作2除以7）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的

0.285714285714…，可以用2/7=0.(285714)来表示。

2.2 省略号表示法

在省略号表示法中，循环小数点的循环部分用省略号表示，省略号前面的数字是循环部分的起始位置。

例如，1/6（读作1除以6）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的

0.166666…，可以用1/6=0.1(6)来表示。

3. 循环小数点的性质

循环小数点有一些特殊的性质，下面我们来介绍一些常见的性质：

3.1 循环节的长度

循环小数点的循环部分的长度称为循环节的长度。循环节的长度可以通过以下方法来求得：

•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列，那么循环节的长度就是这个数字序列的长度；

•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列加上一个非循环部分，那么循环节的长度就是这个数字序列的长度。

例如，1/7（读作1除以7）是一个循环小数点，它的循环部分是142857，循环节的长度是6。

循环小数的简单表示方法

一、简介

循环小数是一种不定小数，也称作无限循环小数，它是一种复杂的数学概念，它在数学实

践中，一般用简记方式来表示。

二、简记法

简记法是用一个符号来代表复杂的数字，帮助人们快速记忆。简记法常用来表示循环小数，它由三部分组成：比特率，循环节以及权数。

1.比特率：比特率是指循环小数的位数，它的取值范围一般为2到16。

2.循环节：循环节是指位数形成的圈，表征循环小数的最小单位。其中从右边开始的第一

个不同的数字为该循环节的第一位，第二个不同的数字为第二位，以此类推。

3.权数：权数即对应其小数部分权值，由2位16进制数字表示，其范围为00-FF。

简记法中的三部分组成，比特率、循环节以及权数都可以根据实际情况自行确定，但循环节和权数要搭配使用，所确定的比特率不能超过循环节，权数不能大于比特率。

三、示例

考虑一个循环小数，它的比特率为3，循环节为其小数部分的第一位即多少位数以及最后

一位的十六进制标识，权数为第一位和最后一位之间数字的十六进制标识，即可表示为：

3-n-m。

四、表示法

如果以循环小数的格式进行表示，则可以用一个词语表示，表示法由比特率、小数部分和权数组成，其形式为：m比特率置n，权m，如3比特率置3，权6，表示小数0.123456循环。

五、转换法

例如，一个循环小数a=0.125，比特率=4，可以先转换成十进制，即a=0.125=1/8=0.0001，然后按照四比特率进行编码，即 0000 1000 0000 0000，将其转换成二进制约分，可以转

换成 0000 1000 0000 0000=0.1000=8/16，即a=0.125=8/16，再把8换算成十六进制表示，可以得出，a=4-8-8，表示4比特率置8，权8表示循环小数0.125。

循环小数的读法

循环小数的读法：先读出这个小数，在读循环节，例如

2.966666... 读作“二点九六，六循环”； 35.232323…读作“三

十五点二三，二三循环”

循环小数：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次

重复出现的无限小数；循环小数会有循环节（循环点），并且可以

化为分数。

定义：两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。

循环小数的缩写法：将第一个循环节以后的数字全部略去，而在

第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

循环小数可以利用等比数列求和公式的方法化为分数，所以循环

小数均属于有理数。

循环小数知识点总结

一、循环小数的定义

循环小数是指小数部分有周期性地重复出现的一种数。它可以用无限不循环小数的形式表示，比如0.666666...，或者用有限不循环小数的形式表示，比如0.363636...。循环小数可

以用数字上方加上一条线来表示循环节，如0.1212...可写成0.12，或者用括号将循环节括

起来表示，如0.1212...可写成0.(12)。

二、循环小数的性质

1. 循环小数是有理数：循环小数是有理数的一种，因为它们可以表示为两个整数的比值，

比如3/7=0.428571428571...。

2. 循环小数的循环节长度：对于一个循环小数，它的循环节的长度可以通过算法得到。考

虑一个循环小数a/b，其中a和b都是整数，我们可以通过长除法的形式得到循环节的长度。设商为q1，余数为r1，计算出r1，然后再用r1除以b，再将商设为q2，余数为r2，以此类推，直到余数重复出现为止，此时所得的商就是循环节的长度。

3. 循环小数的周期长度：循环小数的周期长度是循环节的长度的整数倍。比如0.428571...

的循环节长度为6，周期长度为6×1=6。

4. 循环小数的转化：对于循环小数可以通过适当的乘除法，将其转化为分数形式。比如

0.4444...可以写成4/9，0.121212...可以写成4/33。

5. 循环小数与无限不循环小数的关系：任何一个无限不循环小数都可以写成有限不循环小

数与循环小数之和。比如

0.123456...=0.123+0.000456...=123/999+456/999000=123/999+152/111000。

循环小数的知识

循环小数是数学中一个重要的概念，它常常出现在除法运算或计算无理数时。循环小数指的是一个无限不循环的小数，即小数部分存在一定的规律重复出现的情况。本文将从循环小数的定义、性质以及应用等方面进行介绍。

一、循环小数的定义

循环小数是指小数部分存在一定的规律重复出现的无限小数。它可以用一个带括号的数字串表示，括号中的数字表示循环的部分。例如，0.3333...可以表示为0.(3)，0.142857142857...可以表示为0.(142857)。循环小数可以用有限小数表示，例如1/3=0.3333...可以表示为1/3=0.3。

二、循环小数的性质

1. 循环小数是无理数。循环小数是无限不循环的，它不能被有限小数表示，所以它是无理数。

2. 循环小数可以通过有理数表示。循环小数可以通过一个有限小数和一个无限循环小数相加得到。例如，0.25=0.2+0.05，其中0.2是有限小数，0.05是无限循环小数。

3. 循环小数可以通过分数表示。循环小数可以通过一个整数和一个循环节相除得到。例如，1/3=0.3333...，其中1是整数，3是循环节。

4. 循环小数可以通过无理数表示。循环小数可以通过一个无理数和

一个无限循环小数相加得到。例如，π=3.1415926535...可以表示为3+0.1415926535...，其中3是无理数，0.1415926535...是无限循环小数。

三、循环小数的应用

1. 循环小数的除法运算。循环小数可以通过长除法进行计算，找到循环节的规律，从而将循环小数转化为有限小数。

无限循环小数有哪些？

无限循环小数分为什么和什么

无限循环小数可以分为循环节是从小数点后第一位开始的和不是从小数点后第一位开始的两类

什么叫无限循环小数？什么叫无限不循环小数

一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫无限循环小数。

无限不循环小数指小数点后有无限个数位,但没有周期性的重复,或者说没有规律的小数。所以数学上又称无限不循环小数为无理数

无限循环小数的概念

小数的一种，内部包含循环小数（有循环节，如：0.123123……，123就是循环节，循环符号用点表示,如果循环节只有一个数字，就在这个数字上点一个点，如果有多个，就在循环节的首尾数字上各点一个点.）和不循环小数

意义编辑

可从分数的意义着手，分数的意义可从子分割及合成活动来解释，当一个整体（指基准量）被等分后，在集聚其中一部份的量称为「分量」，而「分数」就是用来表示或记录这个「分量」。例如：2/5是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的「分量」。当整体被分成十等分、百等分、千等分……等时，此时的分量，就使用另外一种纪录的方法－小数。例如1/10记成0.1、2/100记成0.02、5/1000记成0.005……等。其中的「.」称之为小数点，用以分隔整数部分与无法构成整数的小数部分。整数非0者称为带小数，若为0则称纯小数。由此可知，小数的意义是分数意义的一环。

基本性质编辑

小数末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，但计数单位变了。而且，小数点向左移动一位、两位、三位，原来的数就缩小10倍、100倍、1000倍，小数点向右移动一位、两位、三位，原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍,.

数字的循环小数表示

数字是我们生活中经常接触到的概念，而数字的表达形式也多种多样。其中，循环小数是一种特殊的表示方式。本文将介绍数字的循环小数表示以及相关的概念和运算。

一、循环小数的定义

循环小数是指在十进制表示下，分数的小数部分是有限位数的数字和无限重复的数字组成的，其中有限位数的数字称为循环节。

例如，1/3 的十进制表示为 0.3333...，其中循环节为 3；1/7 的十进制表示为 0.142857142857...，其中循环节为 142857。

二、循环小数的表示方法

在数字的循环小数表示中，可以使用括号将循环节括起来，以明确表示循环的部分。例如，1/3 可以表示为 0.(3)；1/7 可以表示为

0.(142857)。

三、循环小数的运算

在进行循环小数的运算时，我们需要注意一些特殊的规则。

1. 加法和减法：

当两个循环小数作加法或减法运算时，我们可以先将循环小数的循环节对齐，然后将非循环部分相加或相减，并保持循环节的循环不变。

循环小数的乘法操作可以通过先将循环小数转化为分数，然后进

行分数的乘法运算，最后再将结果转化为循环小数形式。

3. 除法：

循环小数的除法运算可以使用长除法的方法来进行，然后找出循

环节。

四、循环小数的性质和应用

循环小数具有一些特殊的性质，这些性质不仅在数学中有应用，而

且在物理、工程等领域也有广泛的应用。

1. 有理数：

循环小数属于有理数的范畴，即可以表示为两个整数的比值。这

在实际计算中有着重要的意义，能够方便地进行数值计算和精确表示。

2. 近似值：

对于循环小数，我们可以截断它的循环部分，得到一个有限长度

循环小数的计算

循环小数指的是小数部分中的某一段数字在不断重复出现。在计算循环小数时，我们需要确定循环节的长度和循环节的数值。

首先，我们来考虑如何确定一个小数是循环小数。当我们进行除法运算时，如果出现了重复的余数，就意味着开始了循环。举个例子，我们将1除以3，得到的结果是0.3333333...，可以发现小数部分中的3无限重复。这意味着1/3是一个循环小数，循环节是3。

对于确定循环节的长度，有一个简单的方法。首先，我们用除数去除以被除数，并取得商的小数部分。然后，将商的小数部分乘以10，再次进行上述操作，同样取得商的小数部分。如

此重复操作，直到商的小数部分开始重复为止。循环节的长度即为两次重复之间的除数的个数。

举个例子，我们计算2/7，得到商的小数部分为

0.2857142857...，可以发现循环节是142857，长度为6。所以，2/7是一个循环小数。

当我们遇到一个循环小数时，如何将其转化为分数呢？我们可以利用代数的方法来处理。设循环小数为x，循环节的长度为n。我们将x乘以10的n次方，然后减去x，即可将循环节移

到小数点前面。这样，我们可以得到一个与x相等的数，但其循环节被移动到小数点前面。接下来，我们将这两个数相减，即可消去循环节。最后，我们将结果除以一个由n个9组成的数，即可得到原循环小数的分数形式。

举个例子，我们将0.2857142857...转化为分数。设

x=0.2857142857...，循环节长度为n=6。将x乘以10的6次方

得到285714.2857142857...，然后减去x得到285714。接下来，我们将这两个数相减，得到285714-0.2857142857...=285714-2x。将其化简为285712=2x，即x=285712/2=142856。最后，将142856除以一个由6个9组成的数999999，得到