高中数学模块综合检测B北师大版选修2110150466

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北师大版高中数学选修2-1模块综合测评1.docx

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若p则q”的逆命题是( )A．若q则p B．若綈p则綈qC．若綈q则綈p D．若p则綈q【解析】根据原命题与逆命题之间的关系可得：逆命题为“若q则p”，选A.【答案】 A2．已知命题p：在直角坐标平面内，点M(sin α，cos α)与N(1,2)在直线x＋y－2＝0的异侧；命题q：若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角．以下命题中为真命题的是( )A．p或q真，p且q真B．p或q真，p且q假C．p或q假，p且q真D．p或q假，p且q假【解析】∵sin α＋cos α－2≤2－2＜0，∴点M(sin α，cos α)在直线x＋y－2＝0的左下侧．又∵1＋2－2＞0，∴N(1,2)在直线x＋y－2＝0的右上侧，故命题p为真．若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角，显然为假．因为当a，b同向时，设a·b＝1＞0，但是a，b夹角为0，所以命题q为假．【答案】 B3．设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】綈p：－1≤x≤1；綈q：－2≤x≤1，显然{x|－1≤x≤1}{x|－2≤x≤1}，所以綈p是綈q的充分不必要条件．【答案】 A4．已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 等于( )A ．4B ．2C ．4或－4D ．2或－2【解析】由已知可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线的定义知2＋p2＝4，∴p ＝4.∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式得m 2＝16，∴m ＝±4. 【答案】 C5．已知E 、F 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中BB 1、DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90° 【解析】以A 1为原点，A 1B 1→、A 1D 1→、A 1A →为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，E (2,0,1)，D 1(0,2,0)，F (1,2,2)，AE →＝(2,0，－1)，D 1F →＝(1,0,2)，所以AE →·D 1F →＝0，所以AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 所成的角为90°.【答案】 D6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：32550101】A.12 B ．32C ．1D ． 3【解析】由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝32. 【答案】 B7．如图1所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →等于( )图1A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c【解析】连接ON ，由向量加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .故选B.【答案】 B8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段【解析】 ∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．【答案】 A9．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B ．y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D ．x 28－y 24＝1【解析】由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2，∴双曲线的标准方程为y 24－x 2b2＝1.根据题意，得2a ＋2b ＝2×2c ，即a ＋b ＝2c .又∵a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，⎩⎨⎧a ＋b ＝2c ，a 2＋b 2＝c 2，a ＝2，解得b 2＝4，∴适合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1，故选B.【答案】 B10．正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35 B ．45 C.34D ．55【解析】如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系．设各棱长为2，则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0，1,0)，B 1(3，0,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0,2,1)．∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n|AD →||n |＝45. 【答案】 B11．如图2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图2 A. 2 B． 3C.32D．62【解析】由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，因此对于双曲线有a＝2，c＝3，所以C2的离心率e＝ca＝62.【答案】 D12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E 相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的方程为( )A.x23－y26＝1 B．x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D．x25－y24＝1【解析】由已知得k AB ＝－15－0－12－3＝1.设E ：x 2a 2－y 2b 2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，则(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，而⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2＝1，b 2＝54a 2.①又c 2＝a 2＋b 2＝9，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“任意x ∈R ，都有x 2＋x －4＞0”的否定________．【解析】全称命题的否定为特称命题．【答案】存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0－4≤0.14．已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．【解析】 p 且q 为真命题⇒p 是真命题，q 是真命题．①p 是真命题⇒c －1＞0⇒c ＞1，②q 是真命题⇒Δ＝(－1)2－4c ＜0⇒c ＞14，故p 且q 为真命题⇒c ＞1⇒c ∈(1，＋∞)．【答案】 (1，＋∞)15．如图3所示，正方形ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________．图3【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1，1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1.设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB →＝0，且n ·BC 1→＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)．∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，又EC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC 1→·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22.【答案】2216．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．【解析】设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系知，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B2＝2k2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k，根据|FQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解出k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：不等式|x －1|＞m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【导学号：32550102】【解】由于不等式|x －1|＞m －1的解集为R ，所以m －1＜0，m ＜1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，所以5－2m ＞1，m ＜2.即命题p ：m ＜1，命题q ：m ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎨⎧m ＜1，m ≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎨⎧m ≥1，m ＜2，1≤m ＜2.故实数m 的取值范围是1≤m ＜2.18．(本小题满分12分)已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：{x |－2≤x ≤10}，綈p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，綈q ：B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以綈q ⇒綈p ，綈p 綈q .所以BA .分析知，BA 的充要条件是⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．19．(本小题满分12分)如图4所示，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：图4(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC . 【证明】如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)．因为M 、N 分别为AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)，所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD . (2)由(1)可知：P (0,0，a )，C (b ，a,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)．所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0n 1·PM →＝0⇒⎩⎨⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b2x 1－az 1＝0，所以⎩⎨⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，⇒⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC .20．(本小题满分12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →－y 2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．【解】 (1)由题意可知，PA →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程． (2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4， ∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)x 1x 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1，∴OC ⊥OD .21．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率； (2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎨⎧y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.22．(本小题满分12分)如图5①，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为AC 和BC 边上的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B ，如图5②.① ②图5(1)试判断翻折后的直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角B AC D 的余弦值； (3)求点C 到平面DEF 的距离．【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a,0,0)，A (0,0，a )，C (0，3a,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2.(1)AB →＝(a,0，－a )，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2＝12(a,0，－a )，∴EF →＝12AB →.∴EF →∥AB →.∴EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)易知DB →＝(a,0,0)是平面ADC 的一个法向量．设平面ACB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．而AB →＝(a,0，－a )，BC →＝(－a ，3a,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝xa －az ＝0，n ·BC →＝－ax ＋3ay ＝0.令x ＝1，得z ＝1，y ＝33，∴平面ACB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1. ∴n ·DB →＝a .∴cos 〈n ，DB →〉＝a a ·1＋13＋1＝217.∴二面角B AC D 的余弦值为217. (3)平面DEF 内的向量DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0.设平面DEF 的一个法向量为m ＝()x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DE →＝32ay ＋a2z ＝0，m ·DF →＝a 2x ＋32ay ＝0.令y ＝3，则z ＝－3，x ＝－3.∴平面DEF 的一个法向量m ＝(－3，3，－3)．又DC →＝(0，3a,0)， ∴DC →·m ＝3a .∴点C 到平面DEF 的距离d ＝|DC →·m ||m |3a9＋3＋9＝217a.＝。

高中数学模块综合质量评估北师大版选修22

模块综合质量评估(考试时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 解析： ∵i 2＝－1，而集合S ＝{－1,0,1}，∴i 2∈S . 答案： B2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析： ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2，∴A 错．(log 2x )′＝1x ·1ln 2＝1x ln 2，∴B 正确．故选B. 答案： B3．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N ＋)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：分别观察乘数规律、加数规律和运算结果的规律，得出猜想结果．答案： B4．由曲线y ＝x 与x 轴及x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转一周后形成的几何体的体积为( )A ．πB ．2πC ．3πD.π2解析： V ＝⎠⎛02πx d x ＝π⎠⎛02x d x ＝π2x 2|20＝2π(如图所示)．答案： B5．在用数学归纳法证明“已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证：f (2n )＜n ＋1”的过程中，由k 推导k ＋1时，原式增加的项数是( )A ．1B ．k ＋1C ．2k－1D ．2k解析： f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋…＋12k ＋1，∴f (2k ＋1)－f (2k )＝2k.答案： D 6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2解析： ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝x －1－x ＋1x －12＝－2x －12，∴在点(3,2)处切线的斜率k ＝－23－12＝－12.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2. 答案： D7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝4x －5 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝－3x ＋2解析： y ′＝3x 2－6x ，∵(1，－1)在曲线y ＝x 3－3x 2＋1上，且k ＝y ′|x ＝1＝－3.从而切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.故选D. 答案： D8．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )＞0的解集为{x |x ＞－1}，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．答案： B 9．已知复数z ＝3＋i 1－3i2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )A.14 B.12 C ．1 D ．2 解析： ∵z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i －2－23i＝3＋i －21＋3i＝3＋i 1－3i －21＋3i1－3i＝23－2i －8＝－34＋14i ， ∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.故选A. 答案： A10.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．下面四个图像中y ＝f (x )的图像大致是( )解析：当x ＜－1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＞0，f (x )为增函数；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．答案： C二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上)11．函数y ＝a sin x ＋sin 3x 在x ＝π3处取得极值，则a ＝________.解析： y ′＝a cos x ＋3cos 3x ，由题意知，y ′⎪⎪⎪x ＝π3＝0，即a cos π3＋3cos π＝0，∴a ＝6.答案： 612．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3 x ≥0，－xx ＜0，则⎠⎛－11f (x )d x ＝____________.解析：因为⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x ，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2′＝－x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝－12x 2|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x | 10＝236. 答案：23613．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，运用类比思想，对于空间中的四面体的内切球，存在一个类似的结论为_______．解析：将三角形内切圆扩展到四面体的内切球，边长扩展为四面体的各面的面积，积扩展为四面体的体积，于是可得一个类似的结论．答案：若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积为V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．复数1－i 1＋i ＋i 2 010对应的点位于复平面的第______象限．解析：原式＝1－i 21＋i 1－i＋(i 4)502·i 2＝－2i 12＋1＋i 2＝－1－i.其对应的点位于第三象限．答案：三15．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0. 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的． x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的．当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：439三、解答题(本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝5 2.求ω.解析：方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意得a －3b ＝0. ∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝－5故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．方法二：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0且k ∈R ，则ω＝k i2＋i1＋3i.∵|ω|＝5 2.∴k ＝±50.故ω＝±(7－i)．17．(本小题满分12分)已知实数a ，b ，c ，d ，满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负实数． ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴a ，b ，c ，d ∈[0,1]， ∴ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2＝1，这与已知ac ＋bd >1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．18．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ，当x ＝2时，函数f (x )有极值－163. (1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． (3)求曲线y ＝f (x )与直线x ＋y ＝0所围图形的面积．解析： f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＝－163，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4.故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x .(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值163；当x ＝2时，f (x )有极小值－163.所以函数的大致图像如图所示．故实数k 的取值范围是－163＜k ＜163.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x 3－4xx ＋y ＝0得交点坐标为(－3,3)，(0,0)和(3，－3)．∴所围图形的面积S ＝⎠⎛－30⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ＋x d x ＋⎠⎛03⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －13x 3＋4x d x ＝2⎠⎛03⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－112x 4| 3＝272. 19．(本小题满分12分)已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水而行到B 地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v 千米/小时(8＜v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v ＝12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？解析：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k ，则y 1＝kv 2.当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，解得k ＝5， ∴y 1＝5v 2. ∴全程的燃料费y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8(8＜v ≤v 0)．y ′＝2 000v v －8－1 000v2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0得v ＝16或v ＝0(舍去)．所以函数在v ＝16时取得极值，并且是极小值．当v 0≥16时，v ＝16使y 最小．即全程燃料费最省．当v 0＜16时，可得y ＝1 000v2v －8在(8，v 0]上递减，即当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8.综上，若v 0≥16，则当v ＝16千米/小时时，全程燃料费最省；若8＜v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝－x 3＋ax ，其中a ∈R ，g (x )＝－12x 32，且f (x )＜g (x )在(0,1]上恒成立．求实数a 的取值范围．解析：令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝－x 3＋ax ＋12x 32 ，即F (x )＜0在(0,1]上恒成立，所以a ＜x 2－12x 12 在(0,1]上恒成立，令h (x )＝x 2－12x 12 ，h ′(x )＝2x －14x＝2x 3－14x＝2x －14x ＋2x ＋14x，令h ′(x )＞0，又x ∈(0,1]，得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1，令h ′(x )＜0，又x ∈(0,1]得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 所以h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－316. 即a ＜－316.21．(本小题满分15分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解析：当n ＝2时，f (1)＝g (2)[f (2)－1]，得g (2)＝f 1f2－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝2. 当n ＝3时，f (1)＋f (2)＝g (3)[f (3)－1]，得g (3)＝f 1＋f 2f 3－1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3.猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算知，等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1) ＝k [f (k )－1](k ≥2)，那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤fk ＋1－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立．故存在函数g (n )＝n 使等式成立．。

模块综合测评(B)-北师大版高中数学选修2-3练习

模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.抛掷一枚质地均匀的硬币,记事件A=“出现正面”,B=“出现反面”,则有( )A.A与B相互独立B.P(AB)=P(A)P(B)C.A与B不相互独立D.P(AB)=12解析:因为事件A,B是同一试验的两个结果,所以事件A,B不相互独立,故选C.答案:C2.n·(n-1)·(n-2)·…·4等于( )A.A n4B.A n n-4C.n!-4!D.A n n-3解析:A n n-3=n·(n-1)·(n-2)·…·[n-(n-3)+1]=n·(n-1)·(n-2)·…·4.答案:D3.若随机变量X~B(n,0.6),且EX=3,则P(X=1)的值是( )A.2×0.44B.2×0.45C.3×0.44D.3×0.64解析:∵X~B(n,0.6),∴EX=np=0.6n=3,∴n=5,∴P(X=1)=C51×0.61×0.44=3×0.44.答案:C4.在一次独立性检验中,得出列联表如下:且最后发现,两个分类变量A和B没有任何关系,则a的可能值是( )A.200B.720C.100D.180解析:A和B没有任何关系,也就是说,对应的比例aa+b 和cc+d基本相等,根据列联表可得2001000和180180+a基本相等,检验可知,B选项满足条件.答案:B5.乘积(a1+a2+…+a n)(b1+b2+…+b m)展开后的项数为( )A.mB.nC.m+nD.mn解析:展开后的每一项都包含两个字母,这两个字母分别来自两个括号,根据分步乘法计数原理,知展开后共有mn 项. 答案:D6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币100次,设两枚硬币同时出现正面的次数为X,则X 的期望与方差分别为( ) A.25,18.75B.25,25C.50,18.75D.50,25解析:由题意得X~B (100,14).所以EX=100×14=25,DX=100×14×34=18.75. 答案:A 7.设a 为函数y=sinx+√3cosx(x ∈R)的最大值,则二项式(a √x -√x)6的展开式中含x 2项的系数是( ) A.192 B.182 C.-192D.-182解析:由已知得a=2,则T k+1=C 6k(a √x )6-k ·(√x )k =(-1)k C 6k a 6-k ·x 3-k . 令3-k=2,则k=1,含x 2项的系数为-C 61×25=-192.答案:C8.(2016·广东深圳宝安高三月考)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ) A.60种 B.63种 C.65种D.66种解析:由题意知本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,当取得4个偶数时,有C 44=1种结果,当取得4个奇数时,有C 54=5种结果,当取得2奇2偶时有C 42C 52=6×10=60种结果,所以共有1+5+60=66种结果. 答案:D9.某射击手射击一次击中目标的概率是0.7,连续两次均击中目标的概率是0.4,已知某次击中目标,则随后一次击中目标的概率是( ) A .710 B .67 C .47 D .25解析:记一次射击击中目标为事件B,随后一次击中目标为事件A,连续两次射击均击中目标为事件AB,所以P(A|B)=P (AB )P (B )=0.40.7=47.答案:C10.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A.6种B.9种C.11种D.23种解析:第一步,填1号格,有3种填法;第二步,假设第1格填写的数字为m(2≤m≤4,m∈Z),则填写第m格,因为剩下的3个数字没有一个是m,故有3种不同的填法;第三步,由于剩下的两个数字,至少有一个与剩下的某个方格的标号相同,故这时将两个数字填入两个方格只有1种填法.由分步乘法计数原理,得共有3×3×1=9种不同的填法.故选B.答案:B11.下表是甲、乙两个班级进行数学考试,按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表:则χ2的值为( )A.0.559B.0.456C.0.443D.0.4解析:χ2=90(12×36-9×33)2≈0.559.45×45×21×69答案:A12.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系,根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=-10x+200,则下列结论正确的是( )A.y与x具有正的线性相关关系B.若r表示变量y与x之间的线性相关系数,则r=-10C.当销售价格为10元时,销售量为100件D.当销售价格为10元时,销售量为100件左右解析:当销售价格为10元时,y=-10×10+200=100,即销售量为100件左右.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.四面体的4个顶点和各棱中点,这10个点最多可确定个四面体.解析:本题的实质是从这10个点中任取4个不共面的点,共有多少种不同取法,如图所示,所取出的4点共面的情况有以下三种.第一种:取出的四点在四面体的一个面内,共有4C64种.第二种:取出的四点是一条棱上的三点及对棱的中点,共有6种.第三种:取出的四点中三点所在平面与一组对棱平行,共3种.所以,取4个不共面点的不同取法共有C104-(4C64+6+3)=141(种),即这10个点最多可以确定141个四面体.答案:14114.一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标有数0,两个面上标有数1,一个面上标有数2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的面上的数之积的数学期望是.解析:由题意知,将这个小正方体抛掷2次,向上的面上的数之积ξ可能为0,1,2,4,P(ξ=0)=C31C31+C31C31+C31C31C61C61=34,P(ξ=1)=C21C21C61C61=19,P(ξ=2)=C21C11+C11C21C61C61=19,P(ξ=4)=C11C11C61C61=136,∴Eξ=19+29+436=49.答案:4915.(2016·江西鹰潭余江一中高三二模)若(x+1x )n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为.解析:(x+1x )n展开式的二项式系数之和为2n,所以2n=64,解得n=6.所以(x+1x )n=(x+1x)6展开式的通项为T r+1=C6r x6-2r.令6-2r=0得r=3.故展开式的常数项为C63=20.答案:2016.某射击运动员射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号).解析:“射击运动员射击1次,击中目标的概率是0.9”是指射击运动员每次射击击中目标的概率都是0.9,由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响,因此他在连续射击4次时,第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9,①正确;“他恰好击中目标3次”是在4次相互独立的重复试验中有3次击中目标,其概率是C43×0.93×0.1,②不正确;“他至少击中目标1次”的对立事件是“1次也没有击中”,而“1次也没有击中”的概率是0.14,故至少击中目标1次的概率是1-0.14,③正确.答案:①③三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)某校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第一个节目和最后一个节目已确定外,4个音乐节目要安排在二、五、七、十的位置,3个舞蹈节目要安排在三、六、九的位置,2个曲艺节目要安排在四、八的位置,共有多少种演出顺序?解第一个节目和最后一个节目已确定,因此只需要完成9个节目的排序,共需分三步: 第一步,排4个音乐节目,有A44种排法;第二步,排3个舞蹈节目,有A33种排法;第三步,排2个曲艺节目,有A22种排法.根据分步乘法计数原理,知节目的演出顺序共有A44A33A22=288种.18.(本小题满分12分)若(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求:(1)a2;(2)a1+a2+…+a10;(3)(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.解(1)(x2-3x+2)5=(x-1)5(x-2)5,(x-1)5的展开式的通项为C5r·(-1)r·x5-r(r=0,1,2,…,5),(x-2)5的展开式的通项为C5s·(-2)s·x5-s(s=0,1,2,…,5),所以(x2-3x+2)5的展开式的通项为(-1)r·C5r·C5s·(-2)s·x10-r-s(r=0,1,2,…,5;s=0,1,2,…,5).令r+s=8,得{r=3,s=5或{r=4,s=4或{r=5,s=3.所以(x2-3x+2)5的展开式中x2的系数为C53C5525+C54C5424+C55C5323=800,即a2=800.(2)令f(x)=(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a0=f(0)=25=32,a0+a1+a2+…+a10=f(1)=0,∴a1+a2+…+a10=-32.(3)(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-…+a10)=f(1)·f(-1)=0.19.(本小题满分12分)某班班主任对班内22名学生进行了作业量多少的调查,结果如下:在喜欢玩电脑游戏的12人中,有10人认为作业多,2人认为作业不多;在不喜欢玩电脑游戏的10人中,有3人认为作业多,7人认为作业不多.(1)建立一个2×2列联表;(2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系?(可能用到的数据:P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥3.841)=0.05)解(1)由题意得列联表如下:(2)由(1)得χ2=22×(10×7-3×2)212×10×13×9≈6.418,因为3.841<6.418<6.635,所以有95%以上的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关.20.导学号43944070(本小题满分12分)“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.(1)写出2×2列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关;说明你的理由.(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手,并从这6名选手中抽取2名幸运选手,求2名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间的概率. (参考公式:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(a+c )(c+d )(d+b ),其中n=a+b+c+d .)解(1)2×2列联表:则χ2=n (ad -bc )2(a+b )(a+c )(c+d )(d+b )=120×(10×70-10×30)220×40×80×100=3>2.706.所以有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.(2)设事件A 为2名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间,由已知得20~30岁之间的人数为2,设为a,b,30~40岁之间的人数为4,设为c,d,e,f,从6人中取2人的结果如下:ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef 共有15种.事件A 包含如下结果:ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf 共有9种, 则P(A)=915=35.21.导学号43944071(本小题满分12分)(2016·河南许昌、平顶山、新乡三市联考)某工人生产合格零件的产量逐月增长,前5个月的产量如表所示:(1)若从这5组数据中抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻的两个月数据的概率.(2)请根据所给5组数据,求出y 关于x 的线性回归方程y=bx+a;并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数.(附:回归方程y =bx +a ;b =∑i=1nx i y i -nxy∑i=1n x i 2-nx 2,a =y -bx)解(1)由题意知本题是一个古典概型,设抽到相邻两个月的数据为事件A,试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据,共有C 52=10种情况,每种情况都是等可能出现的,其中满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据,共有4种情况,所以P(A)=410=25.(2)由数据求得x =3,y =72,∑i=15x i y i =1200,∑i=15x i 2=55,故b=∑i=1nx i y i -nxy∑i=1nx i2-nx 2=1200-5×3×7255-5×3×3=12, 所以a=y -b x =36,所以y 关于x 的线性回归方程为y=12x+36, 当x=6时,y=108,即预测该工人第6个月生产的合格零件的件数为108.22.导学号43944072(本小题满分12分)(2016·湖北优质高中高三下学期联考)当前,网购已成为现代大学生的时尚.某大学学生宿舍4人参加网购,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝网购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物. (1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率;(2)用ξ,η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记X=ξη,求随机变量X 的分布列与均值.解(1)这4个人中,每个人去淘宝网购物的概率为13,去京东商城购物的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件A i (i=0,1,2,3,4), 则P(A i )=C 4i (13)i (23)4-i(i=0,1,2,3,4).这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率P(A 1)=C 41(13)1(23)3=3281.(2)易知X 的所有可能取值为0,3,4.P(X=0)=P(A 0)+P(A 4)=C 40(13)0(23)4+C 44(13)4(23)0=1681+181=1781, P(X=3)=P(A 1)+P(A 3)=C 41(13)1(23)3+C 43(13)3(23)1=3281+881=4081,P(X=4)=P(A 2)=C 42(13)2(23)2=2481. 所以X 的分布列是随机变量X 的均值EX=0×1781+3×4081+4×2481=83.。

高中数学模块综合检测B 北师大版选修23

模块综合检测(B)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知x ∈{2,3,7}，y ∈{－31，－24,4}，则xy 可表示的不同值的个数是( ) A ．1＋1＝2 B ．1＋1＋1＝3 C ．2×3＝6D ．3×3＝9解析：两个集合各有三个元素，且任何两个xy 都不相同，故由分步乘法计数原理得3×3＝9答案： D2．如果随机变量X 表示抛掷一个各面分别为1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X 的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4解析： P (X ＝k )＝ 16(k ＝1,2,3,4,5,6)，∴EX ＝1× 16＋2× 16＋…＋6× 16＝ 16×(1＋2＋…＋6)＝3.5.答案： C3．由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( ) A ．60个 B ．48个 C ．36个D ．24个解析：个位数有A 12种排法，万位数有A 13种，其余三位数有A 33种，共有A 12A 13A 33＝36(个)．答案： C 4．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2－i x n的展开式中第三项与第五项的系数之比为－ 314，其中i 2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为( )A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第五项或第六项解析： T 3＝－C 2n x2n －5，T 5＝C 4n x2n －10.由－C 2n ：C 4n ＝－ 314，得n 2－5n －50＝0，∴n ＝10，又T r ＋1＝C r 10(－i)rx 20－ 52r ，据此可知当r ＝0,2,4,6,8,10时其系数为实数，且当r ＝4时，C 410＝210最大．答案： C5．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤c )＝P (X ＞c )，则P (X ≤c )等于( )A ．0B ．1C ．12D ．与μ和σ的取值有关解析： ∵P (X ＞c )＝1－P (X ≤c ) 又P (X ≤c )＝P (X ＞c ) ∴P (X ≤c )＝12.答案： C6．将三颗骰子各掷一次，设事件A “三个点数都不相同”，B “至少出现一个6点”，则概率P (A |B )等于( )A ．6091B ．12C ．518D ．91216解析： P (B )＝1－P (B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫563，P (A ∩B )＝C 25A 3363＝518，所以P (A |B )＝P A ∩B P B ＝6091.答案： A7．设掷一枚骰子的点数为ξ，则( ) A ．E ξ＝3.5，D ξ＝3.52B ．E ξ＝3.5，D ξ＝3512C ．E ξ＝3.5，D ξ＝3.5D ．E ξ＝3.5，D ξ＝3516解析： E ξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5.D ξ＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16＝3512.答案： B8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5解析：因a ＝y －b x 由回归方程知0.35＝y －0.7x ＝2.5＋t ＋4＋4.54－0.7×3＋4＋5＋64，解得t ＝3.答案： A9．甲、乙、丙3人射击命中目标的概率分别为12，13，14，现在3人同时射击同一目标，目标被击中的概率是( )A ．14B ．34C ．12D ．45解析： P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1－12×23×34＝1－14＝34. 答案： B10．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是( )A ．997B ．954C ．682D ．341解析：由题图知X ～N (μ，σ2)．其中μ＝60，σ＝8， ∴P (μ－σ<X ≤μ＋σ) ＝P (52<X ≤68)＝0.682 6. ∴人数为0.682 6×1 000≈682. 答案： C二、填空题(每小题5分，共4小题，共20分，请把正确答案填在题中横线上)11．2011年国际劳动节正是星期日，某劳动就业服务中心的7名志愿者准备安排6人在周六、周日两天，在街头做劳动就业指导，若每天安排3人，则不同的安排方案共有____________种(用数字作答)．解析：先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140(种)．答案： 14012．已知(1＋x )6(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11，那么a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝____________.解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－64； ∴a 1＋a 2＋…＋a 11＝－65. 答案：－6513．(2014·九江高二检测)某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EX ＝____________(结果用最简分数表示)．解析： X 可取0,1,2，则P (X ＝0)＝ C 25C 27＝ 1021，P (X ＝1)＝ C 15C 12C 27＝ 1021，P (X ＝2)＝ C 22C 27＝ 121，∴EX ＝0× 1021＋1× 1021＋2× 121＝ 47.答案： 4714．为考虑广告费用与销售额之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：现要使销售额达到6万元，则需广告费约为____________千元．解析： x ＝7，y ＝41.6，∑i ＝15x i y i ＝1 697，∑i ＝15x 2i ＝349， b ＝1 697－5×7×41.6349－5×49≈2.3，a ＝41.6－2.3×7＝25.5.当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x＋25.5，解得x＝15千元．答案：15三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)6个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志，分成两排表演．(1)每排4人，问共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男同志站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？解析：(1)要完成这件事，必须分三步：第一步：先从8人中选4人站在前面，另4人站在后面，这共有C48C44＝C48种不同的选法．第二步：前面4人进行排列，有A44种排法．第三步：后面4人也进行排列，有A44种排法．三步依次完成，才算这件事完成，故由分步乘法计数原理有N＝C48A44A44＝40320种不同的排法．(2)除去领唱，在其余5个女同志中选2人有C25种选法；这2人与2个男同志在后排全排列，有A44种排法；领唱与其余3个女同志在前排全排列，有A44种排法；故共有N＝C25A44A44＝5760种不同的排法．16．(本小题满分12分)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用事件A、A分别表示甲、乙两厂的产品，用B表示产品为合格品．(1)试写出有关事件的概率；(2)求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率．解析：(1)依题意，P(A)＝70%，P(A)＝30%，P(B|A)＝95%，P(B|A)＝80%.进一步可得P(B|A)＝5%，P(B|A)＝20%.(2)要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的(事件A发生)，又是合格的(事件B发生)的概率，也就是求A与B同时发生的概率，有P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.17．(本小题满分12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查．结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)调查结果制成2×2列联表；(2)根据数据作出统计分析推断．解析：(1)由已知可列2×2列联表得：(2)根据列联表中的数据，由计算公式得： χ2＝－280×460×220×320≈9.638.∵9.638>6.635.因此，我们有99%的把握说40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．18．(本小题满分14分)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数．(1)求随机变量ξ的概率分布列；(2)求随机变量ξ的数学期望与方差．解析： (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4. P (ξ＝2)＝ C 12C 13C 12C 15C 14＝ 35，P (ξ＝3)＝ A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝ 310，P (ξ＝4)＝ A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝ 110.故随机变量ξ的概率分布列为(2)随机变量ξ的数学期望为E ξ＝2× 35＋3× 310＋4× 110＝ 52；随机变量ξ的方差为D ξ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－ 522× 35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－ 522× 310＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－ 522× 110＝ 920.。

2022高中数学模块综合测评B北师大版选修2_1

模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否定为“若x2≠1,则x≠1”B.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题C.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件D.命题“若x=y,则x2=y2”的逆否命题为真命题2.若a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于()A. B.- C.± D.13.“x>2”是“<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()A.B.C.1 D.5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A.B.C.D.6.(2016浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n,且e1e2>1B.m>n,且e1e2<1C.m<n,且e1e2>1D.m<n,且e1e2<17.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.8.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1·x2=-,则m等于()A.B.2 C.D.39.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.10.方程=|x+y+2|表示的曲线是()A.椭圆B.双曲线C.线段D.抛物线11.已知F1,F2为双曲线=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为()A.+4B.-4C.-2D.+212.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论错误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知p:<0,q:x2-4x-5<0,若p且q为假命题,则x的取值范围是.-∞,-1]∪[3,+∞)14.若抛物线y2=2px(p>0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为.2=4x或y2=36x15.在正四面体P-ABC中,棱长为2,且E是棱AB中点,则的值为.116.已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,且△MF1F2内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M恰好有2个,则a2=.三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知p:方程=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;q:实数t满足不等式t2-(a-1)t-a<0.(1)若p为真命题,求实数t的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.∵方程=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆,∴3-t>t+1>0.解得-1<t<1.即实数t的取值范围为{t|-1<t<1}.(2)∵p是q的充分不必要条件,∴-1<t<1是不等式t2-(a-1)t-a=(t+1)·(t-a)<0的解集的真子集.方法一:∵方程t2-(a-1)t-a=0两根为-1,a,故只需a>1.方法二:令f(t)=t2-(a-1)t-a,∵f(-1)=0,故只需f(1)<0,解得a>1,∴a的取值范围为{a|a>1}.18.(满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;(2)求点P到平面DEF的距离.解(1)如图所示,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,0,0,E,0,F.设平面DEF的法向量n=(x,y,z),则解得取z=1,则平面DEF的一个法向量n=(2,0,1).设PA与平面DEF所成的角为θ,则sin θ=,故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.(2)∵,n=(2,0,1),∴点P到平面DEF的距离d=.19.(满分12分)已知双曲线的方程为2x2-y2=2.(1)求以点A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;(2)过点B(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.设以点A(2,1)为中点的弦的两端点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有x1+x2=4,y1+y2=2,x1≠x2.由P1,P2在双曲线上,得2=2,2=2,两式相减,得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.则2×4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即=4,故中点弦所在的直线方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.(2)假设直线l存在,可利用(1)中的方法求出直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立方程,得消去y,得2x2-4x+3=0,∵Δ=16-24=-8<0,∴方程无实根.因此以B为中点的弦所在直线l是不存在的.20.(满分12分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x 轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.由题意可得,抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x,得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-,所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线,得,于是m=.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).21.(满分12分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求平面QBP与平面BPC所成角的余弦值.,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.设DA=1,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).∴=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).∴=0,=0,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⫋平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.B(1,0,1),∴=(1,0,0),=(-1,2,-1).设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则因此可取平面PBC的一个法向量为n=(0,-1,-2).同理可得平面BPQ的一个法向量为m=(1,1,1).∴cos<m,n>==-.故平面QBP与平面BPC所成角的余弦值为.22.(满分12分)已知椭圆C1:=1(a>b≥1)的离心率为,其右焦点到直线2ax+by-=0的距离为.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P的直线l交椭圆C1于A,B两点.①证明:线段AB的中点G恒在椭圆C2:=1的内部;②判断以AB为直径的圆是否恒过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.e=,∴a=c.又∵a2=b2+c2,∴c=b.∵右焦点(c,0)到直线2ax+by-=0的距离为.整理,得|2b2-1|=b,解得b=1或.∵a>b≥1,∴b=1,a2=2.故椭圆C1的方程为+y2=1.(2)C2的方程为+x2=1,当直线l垂直于x轴时,线段AB的中点为原点,显然在C2内;当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y=kx-,代入+y2=1,并整理,得(1+2k2)x2-kx-=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)-=-,∴G.∵<1恒成立,∴点G恒在椭圆C2内部.AB⊥x轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1;当AB⊥y轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+,由可得由此可知:若以AB为直径的圆恒过定点,则该定点必为Q(0,1),下面证点Q(0,1)符合题意.由①知,x1+x2=,x1·x2=-,∴=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=k·==0,故,即点Q(0,1)在以AB为直径的圆上.综上,以AB为直径的圆恒过定点(0,1).。

高中数学模块综合检测(B)北师大版选修22

模块综合检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －52．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]3．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m (x ∈R )有两个零点，并且不等式f (1－x )≥－1恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]5．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *D D ．C *D ，A *D6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－27．设a 、b ∈R ，那么“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m ，n ∈N ＋都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1，1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．09．已知函数f (x ) (x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)10．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (|x |)|的图像可能是( )11．若z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．－1－2i 或1＋2i D ．2＋i12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图像过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．15．若a ≥b >0，则a ＋42a －b b的最小值为________．16．复数z ＝x －2i (x ∈R )与其共轭复数z 对应的向量相互垂直，则x ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值，并讨论f (x )的单调性；(2)证明：当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.18．(12分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2.19.(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i (a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．20．(12分)已知f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，(1)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的取值范围； (2)试讨论y ＝f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．21.(12分)由下列各式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋ax )－x 2(a >0，x ∈(0,1])． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若不等式1＋n 2λ≥n 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n 对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．答案1．B [y ′＝3x 2－6x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝－3， ∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)， ∴y ＝－3x ＋2.]2．A [∵f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－1x，∴0<x ≤1时，f ′(x )≤0.]3．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图像上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图像，只有A 满足．]4．B [∵f (x )＝x 2－2x ＋m 有两个零点，∴4－4m >0，∴m <1，由f (1－x )≥－1得(1－x )2－2(1－x )＋m ≥－1，即x 2＋m ≥0，∴m ≥－x 2，∵－x 2的最大值为0，∴0≤m <1.]5．B [由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示B *D 和A *C .]6．D [y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1.∴y ′|x ＝3＝－2x －12|x ＝3＝－12.∴－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.∴a ＝－2.] 7．A [∵a 2＋b 2<1，∴|a |<1，|b |<1.∴ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0成立．反之：(a －1)(b －1)>0，推不出a 2＋b 2<1.]8．A [(1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3， f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7， f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1) 得f (2,1)＝f (1＋1,1)＝2f (1,1)＝2，f (3,1)＝2f (2,1)＝4，f (4,1)＝2f (3,1)＝8， f (5,1)＝2f (4,1)＝16；(3)由f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (5,6)＝f (5,5)＋2，而f (5,5)＝f (5,4)＋2，f (5,4)＝f (5,3)＋2，f (5,3)＝f (5,2)＋2，f (5,2)＝f (5,1)＋2＝16＋2＝18，则f (5,6)＝26.] 9．C [根据函数f (x ) (x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)·(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0，得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．]10．A [该题考查函数的图像变换，显然从f (x )→f (|x |)的图像是保留原函数y 轴右侧的图像，再根据偶函数的性质处理即可；从f (x )→|f (x )|的图像是保留原函数在x 轴上方的图像，把下方的图像翻折到x 轴上方去，结合原函数的特征．]11．C12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c .因为过点(0，－5)，所以c ＝－5.由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.]13．(－1,0]解析 f ′(x )＝4－4x2x 2＋12，令f ′(x )>0，得－1<x <1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m <2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1<m ≤0.14. 2解析设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.15．3解析 a ＋42a －b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＋b2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2·b2≥3，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 16．±2解析 ∵z ＝x －2i ，∴z ＝x ＋2i ，又两对应向量垂直，∴x 2－4＝0，∴x ＝±2.17．(1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1＋2ax ＋1)．由条件知，f ′(1)＝0，故a ＋3＋2a ＝0， ∴a ＝－1.于是f ′(x )＝e x (－x 2－x ＋2)＝－e x(x ＋2)(x －1)．故当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )>0.从而f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增． (2)证明由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增，故f (x )在[0,1]的最大值为f (1)＝e ，最小值为f (0)＝1.从而对任意x 1，x 2∈[0,1]，有 |f (x 1)－f (x 2)|≤e－1<2.而当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，cos θ，sin θ∈[0,1]．从而|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.18．证明 ∵1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.∴12(a ＋b )＋ab ＋14≤1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1.从而有2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4.即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4. ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＋b ＋122≤4.∴a ＋12＋b ＋12≤2.19．解 ∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离，所以|z 1－z 2|>32，即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫85，＋∞. 20．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立；∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1≤0f ′1≤0得－14≤a ≤14.(2)当a >14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14>0f ′1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上， ∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14<0，f ′1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0.∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增， ∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14<a <14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．21．解观察发现，每一个不等式左边的第一项都是1，各项的分子都是1，分母按自然数顺序排列，所以它的规律将由最后一项的分母确定．由1，13，17，115，…，猜想第n 个不等式左边的最后一项为12n －1，又由各不等式的右边可分别写成12，1＝22，32，2＝42，所以第n个不等式应为n2.猜想：第n 个不等式为 1＋12＋13＋…＋12n －1>n2 (n ∈N ＋)．用数学归纳法证明如下(1)当n ＝1时，1>12，猜想正确．(2)假设当n ＝k 时猜想正确，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k2(k ∈N ＋)，那么，当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 ＝k 2＋2k2k ＋1 ＝k 2＋12＝k ＋12. ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上可知，对于任意n ∈N ＋，不等式成立．22．解 (1)由题意得，f ′(x )＝a 1＋ax －2x ＝－2ax 2－2x ＋a1＋ax ，由－2ax 2－2x ＋a ＝0，得x ＝－1±2a 2＋12a.∵a >0，∴－1－2a 2＋12a <0，－1＋2a 2＋12a >0.又∵－1＋2a 2＋12a ＝a2a 2＋1＋1<1，而x ∈(0,1]，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 2＋1－12a .(2)不等式1n2＋λ≥ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n ，即为λ≥ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n －1n2①令1n＝x ，当n ∈N ＋时，x ∈(0,1]．则不等式①即为λ≥ln(1＋2x )－x 2.令g (x )＝ln(1＋2x )－x 2，x ∈(0,1]，由(1)知，在f (x )的表达式中，当a ＝2时，f (x )＝g (x )，又∵a ＝2时，－1＋2a 2＋12a ＝12，∴函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减．函数g (x )在x ＝12时，取得最大值ln 2－14.因此，对一切正整数n ，当n ＝2时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1n2取得最大值ln 2－14.∴实数λ的取值范围是λ≥ln 2－14.模块综合检测(C)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh等于( )A ．f ′(x 0)B ．－2f ′(x 0)C ．2f ′(x 0)D ．0 2．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A ．2B ．1C.233D ．03．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )4．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上有( )A ．f (x )<g (x )B ．f (x )>g (x )C ．f (x )≥g (x )D ．f (x )≤g (x )5．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若 △BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，阴影部分的面积为( )A ．2 3B ．2－ 3C.323D.3537．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H8.lim x →1 x x －x x －1等于( ) A.12 B.14 C.32 D.34 9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ， x ≤0，f x －1－f x －2， x >0，则f (2 009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．210．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J11．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.11212．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e－1B ．eC ．e2D.103二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________． 14．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解是______________．15．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为________万元．16．a >b >c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．18．(12分)求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .19.(12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．20．(12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率P 与日产量x 的函数关系是：P ＝3x4x ＋32(x ∈N ＋)．(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？21.(12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ，求顶点C 所对应的复数z .22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋c 在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，求a ，c 的值．答案1．C [lim h →0 f x 0＋h －f x 0－h h＝2lim h →0 f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2f ′(x 0)．] 2．A [f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x .又∵x ＝π3为最值点，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，即a 2＝1，∴a ＝2.] 3．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.故选D.]4．C [∵f ′(x )>g ′(x )，∴f (x )－g (x )单调递增．∵x ≥a ，∴f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )＝0，即f (x )－g (x )≥0.]5．C [如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.] 6．C [由图形分析阴影部分的面积为ʃ1－3(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2|1－3＝323.] 7．D [由图可知，z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i 2＝2－i ， ∴2－i 对应的点为(2，－1)．]8．A [lim x →1 x x －x x －1＝lim x →1 x x －1x ＋1x －1＝lim x →1 x x ＋1＝12.] 9．C [当x >0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )．∴f (x ＋6)＝f (x )，即当x >0时，函数f (x )的周期是6.又∵f (2 009)＝f (334×6＋5)＝f (5)，∴由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1，f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0，f (4)＝f (3)－f (2)＝0－(－1)＝1，f (5)＝f (4)－f (3)＝1.]10．C [W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．]11．C [∵(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，∴n 2＝m 2，即n ＝m ，即(1,1)，(2,2)，…，(6,6)共6种．∴所求概率P ＝66×6＝16.] 12．A [令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.] 13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13. 14．(－∞，－3)∪(0,3)解析设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．当x <0时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴ F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－F (x )，∴F (x )为奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0.∴f (x )·g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．15．45.6解析设在甲地销售m 辆车，在乙地销售(15－m )辆车，则总利润y ＝5.06m －0.15m 2＋2(15－m )＝－0.15m 2＋3.06m ＋30，所以y ′＝－0.3m ＋3.06.令y ′＝0，得m ＝10.2.当0≤m <10.2时，y ′>0；当10.2<m ≤15时，y ′<0.故当m ＝10.2时，y 取得极大值，也就是最大值．又由于m 为正整数，且当m ＝10时，y ＝45.6；当m ＝11时，y ＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元．16．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.若1a －b ＋1b －c ≥na －c 恒成立．即a －c a －b ＋a －cb －c ≥n 恒成立．a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b－cb －c＝2＋b －ca －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c ＝4.∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号．∴n 的最大值为4.17．解由f (x )>1，得ax －ln x －1>0.即a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内单调递减．∴g (x )<g (1)＝1，即1＋ln xx <1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.18．解 (1)当－a ≤－4，即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ax |3－4＝7a －72.(2)当－4<－a <3，即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x22－ax |－a－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋ax |3－a＝a22－4a ＋8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a22＋3a ＋92＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3，即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22－ax |3－4＝－7a ＋72.综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 a ≥4a 2－a ＋252 －3<a <4－7a ＋72 a ≤－3.19．证明假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0 (x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2. 这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．解 (1)由题意可知次品率P ＝日产次品数÷日产量，每天生产x 件，次品数为xP ，正品数为x (1－P )．因为次品率P ＝3x 4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x 4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品，所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8. (2)T ′＝－25·x ＋32·x －16x ＋82，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)当0<x <16时，T ′>0；当x >16时，T ′<0；所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．解设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图．∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧ 21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝－32＋42，解出⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4. ∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.22．解显然，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝4(舍去)．(1) 当a >0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋c 单调递增单调递减－16a＋c 所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以c＝3.因为f(2)＝－16a＋c，f(－1)＝－7a＋c，所以f(－1)>f(2)，故当x＝2时，函数f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2) 2f′(x)－0＋f(x)－7a＋c 单调递减单调递增－16a+c 所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以c＝－29.因为f(2)＝－16a＋c，f(－1)＝－7a＋c，所以f(－1)<f(2)，故当x＝2时，函数f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，解得a＝－2.综上所述，a＝2，c＝3或a＝－2，c＝－29.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修二模块综合检测(B)及答案解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合检测（B）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在某几何体的三视图中，主视图、左视图、左视图是三个全等的圆，圆的半径为R, 则这个几何体的体积是（）A. -Tt R3B. 2兀R3C.兀R3D. -Tt R33 3 32.已知水平放置的^ ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B' O' = C' O3=1, A O=手，那么△ ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形3.已知直线m、n与平面a、3 ,给出下列三个语句：①若m // a , n // a ,则m // n; ②若m // a , n, a ,则n± m;③若m± a , m//3,则a，3.其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34.已知两点A（—1,3）, B（3,1）,当C在坐标轴上，若/ ACB= 90° ,则这样的点C的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.三视图如图所示的几何体的全面积是（）A. 2+ 2B. 1+ 2C. 2+ 3D. 1+ 36.已知圆心为(2, — 3), 一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是(A.(x—2)2+(y+3)2=5B.(x-2)2+(y+3)2=21C.(x-2)2+(y+3)2=13D.(x-2)2+(y+3)2=527.如右图，在正四棱柱ABCD- ABC1D1中，E、F分别是AB i、BG的中点，则以下结论中不成立的是( )A. EF与BB i垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与A i C i异面8.过圆x2+y2=4上的一点（1,3）的圆的切线方程是（）A. x+S y-4=0B. \l"3x — y= 0C. x+M=0D. x-黄y—4=09.若x、y 满足x2 + y2—2x+4y—20=0,则x2+y2的最小值是（）A.器-5B. 5-V5C. 30— 10 5D.无法确定10.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x轴者B相切，则该圆的标准方程是( )A.(x-3)2+(y-7)2=13B.(x—2)2+(y—1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=13 2 2D.x—2 +(y—1) = 111.设r>0,两圆(x—1)2+(y+3)2=r2与x2+y2= 16 可能( )A.相离B.相交C.内切或内含或相交D,外切或外离12. 一个三棱锥S— ABC的三条侧棱SA、SR SC两两互相垂直，且长度分别为1,水, 3,已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A. 16 兀B. 32 兀C. 36 兀D. 64 兀二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知11：2x+my+1 = 0与12：y=3x- 1,若两直线平行，则m的值为14.如图所示，已知ABL平面BCD, BC± CD,则图中互相垂直的平面有15.已知直线5x+ 12y+a= 0与圆x2 —2x+y2= 0相切，则a的值为.16.过点P(1,/)的直线l将圆C: (x—2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10 分)已知△ ABC中，/ ACB= 90° ,SAL平面ABC, AD± SC.求证：AD,平面SBC.AC 边上的高线 BH 所在直线方程为 x- 2y —5= 0,求⑴顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程.19. (12分)已知点P(0,5)及圆得的线段长为4、/3,求l 的方程.18. (12分)已知△ ABC 的顶点 A(5,1), AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5= 0, C: x2+y2+4x-12y + 24=0,若直线l 过点P 且被圆C 截20.(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S=2TT rl,其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长.现已知一个圆锥的底面半径为R, 高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？.(12分)如图，长方体ABO ABC1D1中，AB= AD= 1, AA1=2,点P为DDi的中点. 求证：(1)直线BD1//平面PAC;(2)平面BDDi,平面PAC;(3)直线PB，平面PAC.22.(12 分)已知方程x2 + y2—2x—4y+m= 0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x+ 2y—4= 0相交于M、N两点，且OM，ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.模块综合检测(B)答案1. D [由三视图知该几何体为半径为R的球，知V= 47t R3.] 32. A3. C [①中m与n可能相交，也可能异面，・•.①错误.]4. C [由题意，点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点.以AB为直径的方程是(x+1)(x-3) + (y-3)(y-1)=0,令x= 0,解得y= 0 或4;令y = 0,解得x= 0或2.所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0), (0,4), (2,0).]5. A [由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示.故全面积S= 2+ 2J2.]6. C [该圆过原点.]7. D [连接AB, .. E是AB i 中点，・•. EC A1B,，EF是△A i BC i 的中位线，EF// AiO,故D不成立.]8. A [过圆x2+y2= r2上一点(x o, y0)的切线方程为x o x+ y o y=r2.]9. C [配方得(x—1)2+(y+2)2 = 25,圆心坐标为(1, —2),半径r = 5,所以"27了的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即 5 —、/5,故可求x2+y2的最小值为30—10\/5.]10.B [设圆心为(a, b),由题意知b=r=1,」|4a-3| p - -1.= ^2—又. a>0,…a= 2,，圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2= 1.]11.C [由于点(1, —3)在圆x2+y2=16内，所以内切或内含或相交. ]12.A [以三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4.，球半径为2, S球=4TI R2=16兀.]13.14. 平面 ABD ，平面 BCD,平面 ABC ，平面BCD,平面 ABC ，平面 ACD.15. 8 或—1816.解析当直线与PC 垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为17. 证明 •. /ACB= 90° , .BC±AC. 又SAL 平面ABC, BC 平面ABC, • .SAL BC,又 SAP AC=A, 「•BC ，平面 SAC. . AD 平面 SAC, BC± AD.又 SC AD, SCn BC= C, SC 平面 SBC, BC 平面 SBC, ADJ 面 SBC.18 .解(1)由题意，得直线 AC 的方程为 2x+ y — 11 = 0.得点C 的坐标为（4,3）.、“m+ 5(2)设 B(m, n), M ,n+ 1于是有 m + 5 — 2— — 5=0,即 2m —n —1 = 0 与 m —2n — 5= 0 联立, 解得B 点坐标为(—1, — 3), 于是有 I BC ： 6x-5y-9= 0.19 .解解析I5M + 12X0+a| .52+ 1221,解得a= 8或—18.2x — y — 5= 02x+ y- 11 = 0n+ 1 2r 因为R= H-x所以r= R一—•x.H如图所示，|AB|= 4木,设D是线段AB 的中点，则CD± AB,，|AD|= 25，|AC|= 4. 在Rt^ACD中，可得|CD|=2.设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为：v— 5=kx,即kx—y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：| 216^ 5| = 2,得k = 3,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.,'k + 1 4又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0.，所求直线l的方程为x=0或3x—4y+20=0.20.解（1）画圆锥及内接圆柱的轴截面（如图所示）.设所求圆柱的底面半径为r,它的侧面积S圆柱侧=2 71rx.所以S 圆柱侧= 2 兀Rx—(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值.H这时圆柱的高x= 2.故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.21.证明(1)设ACn BD= O,连接PO,在4 3口口中，•••P、O分别是DD1、BD的中点，PO// BD1,又PO 平面PAC, BD1 /平面PAC,・・・直线BD1//平面PAC.(2)长方体ABCD- A i B i C i D i 中，AB=AD= 1,「•底面ABCD是正方形，AC± BD.又DDL平面ABCD, AC 平面ABCD,AC± DD i,又BDA DDi= D, BD 平面BDDi,DDi 平面BDDi, •. AC,平面BDDi,. AC 平面PAC,・•・平面PAC,平面BDDi.(3)「PC2=2, PB2=3, B i C2=5,・•.PC2+ PB2=B i C2, APB i C是直角三角形，PB i^PC.同理PB iX PA,又PAn PC= P, PA 平面PAC,PC 平面PAC, •,・直线PBi,平面PAC.22.解(i)(x—i)2+(y —2)2=5—m, .. m<5.(2)设M(x i, y i), N(x2, y2),则xi=4 — 2yi, x2=4 — 2y2,则x i*= i6—8(y i+y2) + 4y i y2.OMXON, x i x2+ y i y2= 0.&知识就是力量&•• i6 — 8(y i+y?) + 5y[y2= 0 ①x= 4— 2yx2+ y2— 2x— 4y+ m= 0得5y2— 16y+ m + 8 = 016 8+myi + y2 = —, yiy2=-.5 5,.、一8代入①得，m=-.5(3)以MN为直径的圆的方程为(x— x i)(x — X2)+ (y — y i)(y — y2)= 0即x2+ y2—(x i + x2)x— (y i+ y2)y= 0「•所求圆的方程为x2+ y2—_x——y=0.5 5。

高中数学模块综合检测北师大版选修21

"【三维设计】高中数学模块综合检测北师大版选修2-1 "(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于正实数a ，b ，有a ＋b ≥2ab 成立，所以x ＋1x≥2x ·1x ，即x ＋1x≥2，以上推理过程中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．无错误解析：∵x 的正负不确定，∴小前提错误．答案：B2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则复数z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z 1z 2＝3＋i 1－i＝3＋i1＋i 1－i1＋i ＝2＋4i2＝1＋2i ，位于第一象限．答案：A3．(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ＋b i ＝a －b i ，所以当ab ＝0时，a ＋b i 不一定是纯虚数；反之，a ＋bi 为纯虚数时a ＝0，则ab ＝0.答案：B4．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法解析：由综合法与分析法的特点分析可知．答案：A5．掷一枚硬币，记事件A ＝“出现正面”，B ＝“出现反面”，则有( ) A ．A 与B 相互独立 B ．P (AB )＝P (A )P (B ) C ．A 与B 不相互独立D ．P (AB )＝14解析：由于事件A 和事件B 是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A 与B 为互斥事件．∵P (AB )＝0≠P (A )·P (B )＝14，∴A 与B 不独立答案：C6．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R)”，其反设正确的是( ) A ．a ，b 至少有一个不为0 B ．a ，b 至少有一个为0 C ．a ，b 全不为0 D ．a ，b 中只有一个为0解析：对“全为0”的否定是“不全为0”，即至少有一个不为0. 答案：A7．某单位为了了解用电量y (千瓦时)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x (℃) 18 13 10 －1 用电量y (千瓦时)24343864由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为( )A ．58千瓦时B ．66千瓦时C ．68千瓦时D ．70千瓦时解析：x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，所以a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60.所以，当x ＝－4时，y ＝bx ＋a ＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：C8．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出：“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．答案：B9．(2012·天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为( )A．－1 B．1C．3 D．9解析：由程序框图可知，该程序运行2次后退出循环，退出循环时x＝1，所以输出的x的值为3.答案：C10．(2012·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( ) A．76 B．80C．86 D．92解析：由特殊到一般，先分别计算|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数，再猜想|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.答案：知识并集交集补集 12.2＋i 1＋i 21－2i＝________.解析：2＋i 1＋i21－2i ＝2＋i ·2i·1＋2i 1－2i 1＋2i ＝2i 5i5＝－2.答案：－213．一个口袋内装有大小相同的5个白球和3个黄球，从中任取2个球，在第一次取出是黄球的前提下，第二次取出黄球的概率为________．解析：设第一次取出黄球为事件A ，第二次取出黄球为事件B ，则P (A )＝38，P (AB )＝3×28×7＝328，所以P (B |A )＝P ABP A ＝32838＝27.答案：2714．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：吃零食不吃零食总计男学生 24 31 55 女学生 8 26 34 总计325789根据上述数据分析，我们得出的χ2＝________. 解析：χ2＝89×24×26－8×31232×57×55×34≈3.688 9.答案：3.688 9三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知z 为复数，且|z |2＋(z ＋z )i ＝3－i 2＋i(i 为虚数单位)，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，代入上述方程得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，∴x 2＋y 2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－12且y ＝±32.∴复数z ＝－12±32i.16．(本小题满分12分)如图，设SA ，SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点．求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：如图，假设AC ⊥平面SOB ，连接AB .∵直线SO 在平面SOB 内，∴AC ⊥SO . 又∵SO ⊥底面，∴SO ⊥AB . 又AC ∩AB ＝A ，∴SO ⊥平面SAB . ∴SO ⊥SA ，又SO ⊥AO .这与三角形的内角和定理矛盾．∴假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，… ∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n＋1－1an＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是以1a1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n＝1a1＋n－12＝n＋12，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1.18．(本小题满分14分)在一段时间内，某种商品价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表：价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y 12]1075 3(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程，并在(1)的图形上画出它的图像；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(结果精确到0.01 t)解：(1)散点图如下图所示 .(2)x＝1.8，y＝7.4，∑i＝15x i y i＝62，∑i＝15x2i＝16.6，b＝∑i＝15x i y i－5x－y－∑i＝15x2i－5x2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－4.60.4＝－11.5，a＝y－b x＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.所以线性回归方程为y＝－11.5x＋28.1.(3)当价格定为1.9万元，即x＝1.9时，y＝－11.5×1.9＋28.1＝6.25.所以商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.。

2016-2017学年高中数学模块综合检测(B)北师大版选修2-1

模块综合检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若命题p ：任意x ∈R,2x 2＋1>0，则綈p 是( )A ．任意x ∈R,2x 2＋1≤0B ．存在x 0∈R,2x 0＋1>0C ．存在x 0∈R,2x 0＋1<0D ．存在x 0∈R,2x 0＋1≤02．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <24．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 24＝1 6．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°7．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010 D.358．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．3 2B ．2 3 C.303 D.326 9．命题p ：关于x 的不等式(x －2)x 2－3x ＋2≥0的解集为{x |x ≥2}，命题q ：若函数y ＝kx 2－kx －1的值恒小于0，则－4<k ≤0，那么不．正确的是( ) A ．“綈p ”为假命题 B ．“綈q ”为假命题C ．“p 或q ”为真命题D ．“p 且q ”为假命题10.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ) A.63 B.255 C.155 D.105二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．12．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________． 13．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率＝__________________________________________________________________.14．给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc ；②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题；③若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中正确说法的序号为________．15．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知命题p ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数，q ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的命题，并指出其真假．17．(12分)F 1，F 2是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．18.(12分)若r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.已知任意x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．19．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF 2的面积．20.(13分)已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别为AB ，PC 的三等分点，且PN＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求MN →的坐标．21．(14分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A —A 1C —B 的正切值大小．模块综合检测(B)1．D [綈p ：存在x ∈R,2x 2＋1≤0.]2．A [因为|a |>0⇔a >0或a <0，所以a >0⇒|a |>0，但|a |>0 a >0，所以a >0是|a |>0的充分不必要条件．]3．C [由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a >2.]4．C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3.]5．D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.] 6．A [(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋1＋sin 2α)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.]7．C [以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)，E (1,0,1)，∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)．∴cos 〈BE →·CD 1→〉＝0＋1＋22·5＝31010.] 8．C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ② ①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56. ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝303.] 9．D10．D [以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)．∴BC 1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1|→·|AC →|＝45·8＝105.∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105.] 11．012. 3解析焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ，焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3. 13. 5解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 14．①②解析对①a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定．故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p 且q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．15．(1,3]解析设|PF 2|＝m ，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ，2c ＝|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＝3m .∴e ＝c a ＝2c 2a≤3，又e >1， ∴离心率的取值范围为(1,3]．16．解 “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不都是实数．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∴p 真，q 假．∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假．17．解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |) ＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．18．解由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，任意x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立．∴m ≥ 2.①又对任意x ∈R ，s (x )为真命题．∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2.②故任意x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题，应有2≤m <2.19．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23， ∴|CD |＝1＋(－2)2|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910. 20．解方法一∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA ⊥面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－23AB →＋AP →＋23PC → ＝－23AB →＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB →) ＝13AP →＋23AD →＝13k ＋23(－DA →) ＝－23i ＋13k . ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13. 方法二设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E .可知NE ∥PD .∵MN →＝ME →＋EN →＝AD →＋13DP → ＝－DA →＋13(DA →＋AP →)＝－i ＋13(i ＋k ) ＝－23i ＋13k ，∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13. 21．(1)证明 ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB →＝(1,0,0)，A 1C →＝(0，3，－3)， ∴AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .(2)解如图，可取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )．则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，又BC →＝(－1，3，0)， ∴⎩⎨⎧ －l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0，∴l ＝3m ，n ＝m . 不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n | ＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋12·12＋02＋02＝155. 设二面角A —A 1C —B 的大小为θ，∴cos θ＝cos 〈m ，n 〉＝155，sin θ＝105. 从而tan θ＝63，即二面角A —A 1C —B 的正切值为63.。

高中数学模块质量检测(二)北师大版选修2_11

模块质量检测(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(¬p )或qB ．p 且qC ．(¬p )且(¬q )D ．(¬p )或(¬q ) 解析：由题知，p 真q 假，则¬p 假，¬q 真． ∴只有D 中(¬p )或(¬q )为真，故选D. 答案： D2．(2011·天津卷)设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： A ＝{x |x －2＞0}＝{x |x ＞2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x ＜0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)＞0}＝{x |x ＜0或x ＞2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．答案： C3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量A B →与A C →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析： A B →＝(0,3,3)，A C →＝(－1,1,0)，cos 〈A B →，A C →〉＝A B →·A C →|A B →||A C →|＝332×2＝12，所以〈A B →，A C →〉＝60°，故应选C.答案： C4．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析： ∵原方程可化为x 21－y 212＝1，a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴右焦点为⎝⎛⎭⎪⎫62，0. 答案： C5．在下列各结论中，正确的是( )①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分条件但不是必要条件； ②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为假的充分条件但不是必要条件； ③“p ∨q ”为真是“¬p ”为假的必要条件但不充分条件； ④“¬p ”为真是“p ∧q ”为假的必要条件但不是充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④解析： “p ∧q ”为真则“p ∨q ”为真，反之不一定，①真；如p 真，q 假时，p ∧q 假，但p ∨q 真，故②假；¬p 为假时，p 真，所以p ∨q 真，反之不一定对，故③真；若¬p 为真，则p 假，所以p ∧q 假，因此④错误．答案： B6．已知A ，B ，C ，D 是空间四点，A B →＝(1,5，－2)，B C →＝(3,1，z )，B P →＝(x －1，y ，－3)，若AB ⊥BC ，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：因为AB ⊥BC ，所以A B →·B C →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，所以B P →⊥A B →，B P →⊥B C →，又B C →＝(3,1,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －＋5y ＋6＝0，x －＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407.y ＝－157.答案： B7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63解析： ∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角即为BB 1与平面ACD 1所成的角，设其大小为θ，设正方体的棱长为1，则点D 到面ACD 1的距离为33，所以sin θ＝33，得cos θ＝63. 答案： D8．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析： y 2＝8x ，焦点F (2,0)，可知椭圆焦点落在x 轴上，排除A 、C ；且椭圆中c ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋4，2a ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝12.故选B.答案： B9．椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，那么cos ∠F 1PF 2的值是( )A.13B.23C.73D.14解析：不妨设P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点，由双曲线和椭圆定义可知：|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，∴|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝PF 1|＋|PF 22－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝24－2×3－162×3＝13.故选A.答案： A10．已知命题p ：m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2或m ＞－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2 解析：若p ∧q 为假命题则p 与q 至少有一个为假命题①若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0m 2－4＜0⇒－1＜m ＜2；②若q 假p 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤0m 2－4≥0⇒m ≤－2； ③若p 假q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0m 2－4≥0⇒m ≥2综上可知m ≤－2或m ＞－1，故选B. 答案： B11．(2011·泸州高二检测)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面C 1AB 的距离为( )A.34B.12C.32D ．1 解析：由题意知：取AB 中点E ，连结C 1E ，CE .易知∠C 1EC ＝60°，过点C 作CO ⊥C 1E .解Rt △COE ，即证CO ＝34.也可建立坐标系求解．答案： A12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，k BF ＝－bc，双曲线渐近线的斜率k ＝±ba.∵BF 与一条渐近线垂直，∴－b c ·ba ＝－1，∴b 2＝ac ，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2－ac －a 2＝0，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1±52(舍负值)∴e ＝5＋12，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知p ：α是第二象限的角，q ：sin α·tan α<0，则p 是q 的________条件．解析：由α是第二象限的角，知sin α>0，tan α<0，故sin α·tan α<0，即p ⇒q ；反之，不一定成立．例如，当α是第三象限的角时，sin α<0，tan α>0，所以sin α·tan α<0也成立．答案：充分不必要14．若{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________．解析：因为d ＝αa ＋βb ＋γc ，即e 1＋2e 2＋3e 3＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3，所以α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得α＝52，β＝－1，γ＝－12.答案： 52，－1，－1215．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．解析： |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，|AF 2|＝6－|AF 1|. |AF 22|＝|AF 21|＋|F 1F 2|－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 21|－4|AF 1|＋8(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，|AF 1|＝72.S ＝12×72×22×22＝72. 答案： 7216.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为________．解析：如右图，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系Oxyz ，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0，结合图形可知，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)，∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，∴tan 〈n ，OC →〉＝233.答案：233三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交．”q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根．”若p 或q 为真，¬p 为真，求m 的取值范围．解析： ∵p 或q 为真，¬p 为真，∴p 假q 真．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0x －2＋y 2＝1，得2x 2－2(1＋m )x ＋m 2＝0 若p 假，则Δ＝4(1＋m )2－4×2×m 2≤0. ∴m ≥1＋2或m ≤1－ 2. 若q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m －4m＜0∴0＜m ＜4.∴p 假q 真时，1＋2≤m ＜4.∴m 的取值范围是[1＋2，4)18．(12分)(2011·盐城高二检测)已知拋物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点即双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的一个焦点F ，若拋物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.(1)求拋物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及其离心率e .解析： (1)设y 2＝2px (p ＞0)，图像过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝2p ×23，p ＝2，拋物线C 1的方程y 2＝4x ，焦点F (1,0)．(2)由C 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263以及焦点F (1,0)可得：49a 2－249b2＝1.。

北师大版高二数学模块试题(有答案)(选修2-1)

北师大版高二数学模块试题(有答案)(选修2-1)（选修2-1）模块测试试题（本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是（）A.若a b <，则88a b -<-B.若88a b ->-，则a b >C.若a ≤b ，则88a b -≤-D.若88a b -≤-，则a ≤b2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．(0, +∞) B ．(0, 2) C ．(0, 1) D ． (1, +∞) 3.P:12≥-x ,Q:0232≥+-x x ，则“非P ”是“非Q ”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是（）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（） A.3 B.23 C.38 D.326．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（）7.椭圆221259x y+=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则∆PF 1F 2的面积为（） A.9 B.12 C.10 D.88．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（） 3 Ｂ．22 Ｃ．123 9．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．1210．方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)，与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（）（A ）有等长的短轴、长轴（B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线（D ）有相同的离心率12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（）Ａ．直线Ｂ．圆Ｃ．椭圆Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的（①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件，③.充要条件）14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA u u u r 与向量AC u u u r所成的角为． 15.已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线。

高中数学模块综合检测北师大版选修22

【三维设计】高中数学模块综合检测北师大版选修2-2(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z＝(1＋i)(－2＋3i)(i为虚数单位)，则z的共轭复数z＝( )A．1＋i B．1－iC．－5＋i D．－5－i解析：z＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i＝－5＋i，∴z＝－5－i.答案：D2．证明命题：“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增加的”，现给出的证法如下：因为f(x)＝e x＋1e x，所以f′(x)＝e x－1e x.因为x>0，所以e x>1,0<1e x<1，所以e x－1e x>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，使用的证明方法是( ) A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是答案：A3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，则可归纳出一般结论为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1nD．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋1答案：C4．函数y＝sin(2x＋1)的导数为( )A．cos(2x＋1) B．2cos(2x＋1)C．2cos x D．(2x＋1)sin(2x＋1)解析：y＝sin(2x＋1)是由函数y＝sin μ和μ＝2x＋1复合而成的，∴y′x＝y′μ·μ′x＝cos μ·(2x＋1)′＝2cos μ＝2cos(2x＋1)．答案：B5．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.其中的真命题为( )A．p1，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：∵复数z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．答案：C6．已知函数y＝x ln x，则这个函数的图像在点x＝1处的切线方程是( )A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2C．y＝x－1 D．y＝x＋1解析：当x＝1时，y＝0；y′＝ln x＋1，k＝1，所以切线方程为y＝x－1.答案：C7．已知数列2,5,11,20，x,47，…，合情推理出x的值为( )A．33 B．32C．31 D．30解析：∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，猜测x－20＝12，即x＝32，此时47－x＝47－32＝15.答案：B8．在区间(0，＋∞)内，函数f(x)＝e x－x是( )A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：f′(x)＝e x－1，因为x>0 ，所以e x>1，所以e x－1>0，即y′>0在(0，＋∞)上恒成立．故函数在(0，＋∞)上是增函数．答案：A9．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②③B．①③C ．①D ．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行．成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案：A10．抛物线y ＝x 2＋x 与x 轴围成的图形面积为( ) A.18 B ．1[ C.16D.12解析：令x 2＋x ＝0，则x ＝0或－1， ∴S ＝－∫0－1(x 2＋x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋12x 20－1＝16. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是______________________________________________________________．答案：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．已知平行四边形OABC 的顶点A ，B 分别对应复数1－2i,3＋i.O 为复平面的原点，那么顶点C 对应的复数是________．解析：设点C 对应的复数为x ＋y i ，则OA uuu r＝(1，－2)， OB uuu r＝(3－x,1－y )，由题意得3－x ＝1,1－y ＝－2，解得x ＝2，y ＝3，故C 对应的复数是2＋3i. 答案：2＋3i13．已知f (x )为一次函数，且f (x )＝x ＋2∫10f (t )d t ，则f (x )＝________.解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0) 则∫10f (t )d t ＝∫10(at ＋b )d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12at 2＋bt 10＝12a ＋b . 又f (x )＝x ＋2∫10f (t )d t 得ax ＋b ＝x ＋a ＋2b ，∴a ＝1，b ＝－1，即f (x )＝x －1. 答案：x －114．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或者t <3<t ＋1，得0<t <1或者2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知z 为复数，且|z |2＋(z ＋z )i ＝3－i 2＋i(i 为虚数单位)，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，代入上述方程得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ， ∴x 2＋y 2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－12且y ＝±32.∴复数z ＝－12±32i.16．(本小题满分12分)设F (x )＝∫x 0(t 2＋2t －8)d t . (1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1,3]上的最值．解：依题意得：F (x )＝∫x0(t 2＋2t －8)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t |x 0＝13x 3＋x 2－8x ，定义域是(0，＋∞)． (1)F ′(x )＝x 2＋2x －8，令F ′(x )>0得x >2或x <－4，令F ′(x )<0得－4<x <2，由于定义域是(0，＋∞)，∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0,2)． (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)，由于F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6，∴F (x )在[1,3]上的最大值是F (3)＝－6，最小值是F (2)＝－283.17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……， ∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 18．(本小题满分14分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ，因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；当x∈(0,3)时，g′(x) ＞0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x∈(3，＋∞)时，g′(x)＜0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值，g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.。

2021_2022学年高中数学模块综合测评B课后巩固提升含解析北师大版选修2_2

模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数z满足z+2i=(i为虚数单位),则等于()A.2-iB.2+iD.2+3iz+2i==2-i,所以z=2-3i,=2+3i.故选D.2.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函数,则m的取值X围是()A.(3,+∞)B.D.(-∞,0)f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函数,则f'(x)=3x2+2x+m≥0在R上恒成立, 所以(3x2+2x+m)min≥0,当x=-时,(3x2+2x+m)min=3×+2×+m≥0,得m≥.故选B.3.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N+),猜想f(x)的表达式为()A.f(x)=B.f(x)=D.f(x)=f(1)=1得f(2)=,f(3)=,f(4)=,…,猜想f(x)=.4.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()B.n=2C.n=3D.n=4n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立.5.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是()B. C. D.,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)d x=,因此所求概率为6.已知f(x)=x2+sin,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图像是()(x)=x2+cos x,∴f'(x)=x-sin x,令g(x)=f'(x),则g(x)为奇函数,排除B,D;由g'(x)=-cos x知g(x)在y轴右侧先递减,排除C.故选A.7.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=a ln x的切线,则当a>0时,实数b的最小值是()B.-1C.0D.1(x0,a ln x0),因为y'=,所以切线斜率为=1,则x0=a.又点(a,a ln a)在直线y=x+b上,所以a ln a=a+b,所以b=a ln a-a(a>0),将b视为关于a的函数,求导得b'=ln a,令ln a=0得a=1,易知b=a ln a-a在(0,1)上是减少的,在(1,+∞)上是增加的,所以当,b min=-1.8.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值X围是()A.[-,+∞)B.(-∞,-3]C.(-∞,-3]∪[-,+∞)f'(x)=x2+2ax+5,若f(x)在[1,3]上为单调函数且单调递增,则x∈[1,3]时,x2+2ax+5≥0恒成立,即2a≥-,而x∈[1,3]时,x+≥2,∴-≤-2,∴2a≥-2,a≥-,若f(x)在[1,3]上单调递减,则x∈[1,3]时,x2+2ax+5≤0恒成立,即2a≤-,而x∈[1,3]时,记h(x)=x+,h max=h(1)=6,∴-≥-6,∴2a≤-6,a≤-3,∴a的取值X围是(-∞,-3]∪[-,+∞).9.给出下面类比推理的命题,其中类比结论正确的是()A.“若a,b∈R,则a2+b2=0⇒a=0且b=0”类比推出“若z1,z2∈C,则=0⇒z1=0且z2=0”B.“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若z1,z2∈C,则z1-z2>0⇒z1>z2”C.“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”a,b,c,d∈R,则复数a+b i=c+d i⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”A,若z1,z2为虚数,由=0不能推出z1=0且z2=0,如z1=1+i,z2=1-i,=0,但z1≠0,z2≠0.同理B,C 也不正确,D正确.10.满足条件|z-2i|+|z+1|=的点的轨迹是()B.直线C.线段D.圆2i|+|z+1|=表示动点Z到两定点(0,2)与(-1,0)的距离之和为常数,又点(0,2)与(-1,0)之间的距离为,所以动点的轨迹为以两定点(0,2)与(-1,0)为端点的线段,故选C.11.若函数y1=sin 2x1+,函数y2=x2+3,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为()A.π+B.C.,其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离.∵y'1=2cos2x1,令y'1=1,∴cos2x1=,∴x1=,∴y1=,故切点为,切点到直线y2的距离为,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.12.设函数f(x),g(x)在[a,b]上均可导,且f'(x)<g'(x),则当a<x<b时,有()A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)+g(a)<g(x)+f(a)+g(b)<g(x)+f(b)F(x)=f(x)-g(x),则F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,∴F(x)在[a,b]上是减少的,∴当a<x<b时,F(b)<F(x)<F(a),即f(a)-g(a)>f(x)-g(x)>f(b)-g(b),化简可得b)>g(x)+f(b),f(a)+g(x)>f(x)+g(a).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)i是虚数单位,若复数z满足(1-i)z=2,则z的虚部为;z=.(1-i)z=2,则z==1+i,则z的虚部为1,z=(1+i)(1-i)=2.f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则实数t的取值X围是.(x)=-x+4-=-=-,所以当0<x<1或x>3时,f'(x)<0,当1<x<3时,f'(x)>0.因为f(x)在[t,t+1]上不单调,所以∴0<t<1或2<t<3.∪(2,3)f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c=.f(x)=x3-2cx2+c2x,f'(x)=3x2-4cx+c2.∵f'(2)=0,∴c2-8c+12=0,解得c=2或c=6.检验可知,当c=2时,函数在x=2处取得极小值,故c=6.16.已知a n=n,把数列{a n}的各项排列成如图所示的三角形形状:a1a2a3a4a5a6a7a8a9……记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=.前9行共有1+3+5+…+17=81个数,∴A(10,12)是第10行的第12个数,为93.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限,某某数a的取值X围.z=x+y i(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由z+2i为实数,得y=-2.∵(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i,∴由为实数,得x=4.∴z=4-2i.∵(z+a i)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,∴根据条件,可知解得2<a<6.∴实数a的取值X围是(2,6).18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b-4=4,所以a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2).令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上是增加的,在(-2,-ln2)上是减少的.从而,当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).12分)已知a>b>c,求证:.a>b>c,因为=2+≥2+2=4,所以≥4,即(当且仅当2b=a+c时取等号).20.(本小题满分12分)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=a n+1(n∈N*).(1)求a2,a3,a4的值;{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.∵a1=1,a n+1=a n+1,∴a2=3a1+1=4,a3=2a2+1=9,a4=a3+1=16,故a2,a3,a4的值分别为4,9,16.(2)由(1)猜想a n=n2,用数学归纳法证明如下:①当n=1时,a1=1,猜想显然成立;②假设当n=k时,猜想成立,即a k=k2,则当n=k+1时,a k+1=a k+1=k2+2k+1=(k+1)2,即当n=k+1时猜想也成立,由①②可知,猜想成立,即a n=n2.21.(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件,生产出一件正品,可获利200元,生产出一件次品,则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中,次品率p与日产量x的函数关系是:p=(x∈N+). (1)求该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式;,该厂的日产量应定为多少件?由题意得T=200x-100x·=25×.(2)由(1)可得T'=-25×,令T'=0得x=16或x=-32(舍去).当0<x<16时,T'>0;当x>16时,T'<0,所以当x=16时,T最大.即该厂的日产量定为16件,能获得最大盈利.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+ax-ln x,a∈R.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减少的,某某数a的取值X围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然对数的底数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;∈(0,e]时,证明:e2x2-x>(x+1)ln x.f'(x)=2x+a-≤0在[1,2]上恒成立,即a≤-2x在[1,2]上恒成立,令h(x)=-2x,x∈[1,2],则h(x)在[1,2]上是减少的,h(x)在[1,2]上的最小值为h(2)=-4=-,所以a≤-.故a的取值X围是.a,使g(x)=ax-ln x(x∈(0,e])有最小值3,g'(x)=a-.①当a≤0时,g(x)在(0,e]上是减少的,g(x)min=g(e)=a e-1=3,a=(舍去).②当0<<e时,g(x)在上是减少的,在上是增加的.∴g(x)min=g=1+ln a=3,解得a=e2,满足条件.③当≥e时,g(x)在(0,e]上是减少的,g(x)min=g(e)=a e-1=3,a=(舍去).综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,g(x)有最小值3.F(x)=e2x-ln x,由(2)知,F(x)min=3.令φ(x)=,则φ'(x)=,当0<x≤e时,φ'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上是增加的,∴φ(x)max=φ(e)==3,∴e2x-ln x>,即e2x2-x>(x+1)ln x.。

北师大版高中数学选修2-2模块综合测评

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】 B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.【答案】 B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2 <211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】 B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】 B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】 D6.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图1所示，则()图1A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点.【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )【导学号：94210089】A.94e 2B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( )A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2kB.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1C.a k －1＋a k ＋…＋a 2kD.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D.【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2D.a ≤13【解析】由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>bD.b>c>a【解析】由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪10＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项. 【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时，f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b ＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3. 【答案】－314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【导学号：94210090】【解析】由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列，∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列；当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0，S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值，必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋). 证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立.则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e . 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ). 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。