广东省顺德市2017-2018学年高二12月月考文数试题Word版含答案

广东省顺德市2017-2018学年高二12月月考
文数试题
第I 卷
一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共600分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.)
1.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于（ ）． A ．13 B ．49 C ．63 D ．35
2.设0a >且1a ≠，则“1b
a >”是“()10a
b ->”的（ ）．
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3.在三角形ABC 中若030,2B AB AC ===．则满足条件的三角形的个数有（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
4.在ABC ∆中，已知2
2
tan tan a B b A ==，则该ABC ∆的形状为（ ）．
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰或直角三角形
5.对任意[]1,1a ∈-，函数()()2
442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（ ）．
A ．13x <<
B ．1x <或3x >
C ．12x <<
D ．12x x <>或
6.某镇人口第二年比第一年增长%m ，第三年比第二年增长%n ，又这两年的平均增长率为%p ，则p 与
2
m n
+的关系为（ ）．
A ．2m n p +>
B ．2m n p +=
C ．2m n p +≤
D ．2
m n
p +≥
7.双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 的直线与双曲线的两支分别交与
点P Q 、，若2PQF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）．
A ．．7
8.已知集合{}
{}|12,|11A x x B x x m =-<=-<<+，若x A ∈成立的一个必要不充分条件是x B ∈，则实数m 的取值范围是（ ）．
A ．[)2,+∞
B ．(],2-∞
C ．()2,+∞
D ．(),2-∞
9.若不等式2
322x ax a -≤-+≤-有唯一解，则a 的值是（ ）．
A ．2或-1
B D ．2 10.已知抛物线2C:y 8x =焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与
C 的一个交点，O 是坐标原点，若4FP FQ =
，则QO =（ ）． A ．2 B ．
32 C ．4
3
D ．3 11.已知函数()sin x 3f x x π=+-，则12340332017201720172017f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值为（ ）．
A ．4033
B ．-4033
C ．8066
D ．-8066
12.已知F 是双曲线()22
22103x y a a a
-=>的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线上的一点，则POF ∠的
大小不可能是（ ）．
A ．165°
B ．60°
C ．25°
D ．15°
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.下列命题中真命题的个数为_____________．
（1）命题“2
0,0x x x ∀>-≤”的否定是“2
0,0x x x ∃≤->” （2）若A B >，则sin sin A B >．
（3）已知数列{}n a ，则“12,,n n n a a a ++成等比数列”是“212n n n a a a ++=”的充要条件
（4）已知函数()1
lg lg f x x x
=+
，则函数()f x 的最小值为2． 14.在数列{}n a 中，若()
*
111,23n n a a a n N +==+∈，则数列的通项公式是 _____________．
15.若正数,a b 满足
111a b +=，则1411
a b +--的最小值为 _____________． 16. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一
般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为_____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知()2cos cos 0b a C c B -+=. （1）求C ；
（2
）若3c b a ==，求ABC ∆的面积.
18.（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意正整数n ，都有3
24
n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设1
1
n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
19.（本题满分12分） 已知函数()()2
2
,f x ax a R x
=+
∈为奇函数 （1）比较()()()239log 3,log 8,log 26f f f 的大小，并说明理由.（提示：2log 3 1.59≈）
（2）若0t >，且()()
22120x
f t x f x x ++--->对[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.
20.（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于,A B 两点，()()1122,,,A x y B x y ． （1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长：如果不存在，说明理由．
21. （本题满分12分）已知命题:P ：直线20mx y -+=与圆2
2
19
2404
x y x y +--+=有两个交点；命题：000:,,2sin 22cos 2646q x x x m πππ⎡⎤⎛
⎫∃∈-
++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭.
（1）若p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.
22.（本小题满分12分）
设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()2,0P 作直线,PA PB 交椭圆于,A B 两点，且满足PA PB ⊥，试判断直线AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.
广东省顺德市2017-2018学年高二12月月考试题
文数参考答案
一、选择题
二、填空题
13. 0 14. 123n n a +=- 15. 4 16. 135 三、解答题
17.解：（1）原式可化为：()sin 2sin cos sin cos 0B A C C B -+=，
即sin cos 2sin cos sin cos 0B C A C C B -+=，()sin 2sin cos B C A C +=，
∴11sin 1322S ab C =
=⨯⨯=
18.解：（1）()
*
21n b n n N =+∈；（2）23
n n
T n =
+ 19. （1）∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-，∴2
222ax ax x x ⎛
⎫-
=-+ ⎪⎝
⎭，∴220ax =，对x R ∈恒成立，∴0a =， ∴()2
f x x
=
．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵3328
log 83log 2 1.89log 3
==
≈， ∴38log 8log 3>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又983
log 26log 27 1.592
<=
<，
∴98log 26log 3<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵()2
f x x
=
在()0,+∞上递减，∴()()()923log 26log 3log 8f f f >>．．．．．．．．．．．．．7分 （2）由()f x 为奇函数可得()()
22
21x f t x f x x +>++-，
∵[]0,2,3t x >∈，∴220,210x t x x x +>++->， 又()f x 在()0,+∞上递减，
∴2
2
21x
t x x x +<++-即21x
t x <+-对[]2,3x ∈恒成立，
∵21x y x =+-在[]2,3上递增，∴2
2215t <+-=，又0t >，∴05t <<．．．．．．．．．．12分
20.设直线AB 的方程为2my x =-，
由2
24my x y x
=-⎧⎨
=⎩得2
480y my --=，∴128y y =-， 因此有128y y =-为定值．
（2）设存在直线:l x a =满足条件，则
AC 的中点
112,,2
2x y E AC +⎛⎫
=
⎪⎝⎭
因此以AC
为直径的圆的半径
12r AC ===
又E 点到直线x a =的距离12
2
x d a +=
-
， 所以所截弦长为
=
==，
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =． 21．解：∵2
2
192404x y x y +--+
=，∴()()22
1124
x y -+-=， 所以该圆的圆心为()1,2，半径为1
2
，圆心到直线的距离d ==
若p
1
2
<
，解得m <<．
若q 为真，则2sin 22cos 26m x x π⎛⎫
≥++ ⎪⎝
⎭在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上有解，
因为
2sin 22cos 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos 223cos 226663x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛
⎫++=++=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，又由,64x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，得50236x ππ≤+≤
，
所以023x π⎛
⎫
≤+
≤ ⎪⎝
⎭
即02sin 22cos 26x x π⎛⎫
≤+
+≤ ⎪⎝
⎭
q 为真，则0m ≥．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （1）若p q ∧
为真，则应满足0m m ⎧<<⎪⎨⎪≥⎩
，即03m ≤<， 故实数m
的取值范围为⎡⎢⎣⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （2）若p q ∧为真命题，p q ∧为假命题，则,p q 一真一假，
若p 真q
假，则应满足00m m m ⎧<<<<⎪⎨⎪<⎩， 若p 假q
真，则应满足m 3330m m m ⎧≤-
≥≥⎪⎨⎪≥⎩
综上所述，实数m
的取值范围为,33⎛
⎫⎫-
+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭
．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）22
142
x y += （2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得
()22
2
2
12122424
124240,,1212km m k x kmx m x x x x k k -+++-=+=-=++，
()()11221122,,2,,,PA x y PB x y y kx m y kx m =-=-=+=+
，
由()()()()1212220x x kx m kx m --+++=得2
2
4830k km m ++=，
2m k =-（舍去），22,33m k y k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以过定点2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。