2.实数基本定理的等价性证明
实数连续性等价命题的证明与应用
实数连续性等价命题的证明与应用摘要实数连续性理论是高等数学中的主要内容,实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.本文主要研究实数连续性等价命题的证明问题,对于实数连续性的7个等价性命题:确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则,采用循环论证的方法,先证明确界定理成立，再从确界定理出发,依次证明下一命题,直至致密性定理证明柯西收敛准则,最后由柯西收敛准则证明确界定理,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.在实数连续性等价命题的证明过程的同时,本文还给出了实数连续性的应用.关键词: 实数的连续性;等价证明;应用The proof and application for equivalent propositions of the real continuityABSTRACTThe paper discusses demonstration and application of the equal propositions on real number continuity. Equivalence of these seven theorems can be demonstrated by a circular. From the case 1 on, this paper demonstrate the next one in turn down, at the last, the proposition that extends from 7 to 1 to form a road that their equivalence.Keywords：The continuity of real number; equivalence demonstration; application目录一、实数连续性 1二、确界定理 1三、单调有界定理 3四、区间套定理 4五、有限覆盖定理 6六、聚点定理 7七、致密性定理 8八、柯西收敛定理 8参考文献 11一、实数的连续性实数连续性反映了实数集的一种特性，也称作实数的完备性. 实数连续性理论在高等数学中占有重要地位，广泛应用于极限理论方面,连续函数理论方面乃至整个数学分析,因此,实数连续性等价命题的内容,证明方法及应用是大学生应该掌握的重要学习内容. 实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.实数连续性的基本定理有七个,这七个定理在实数理论的研究乃至整个数学分析的学习中都至关重要，它们是:确界定理,数列的单调有界定理,区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛定理.在下面的几节中，采用循环论证的方法,先证明确界定理成立,再从确界定理出发,利用确界定理证明数列的单调有界定理成立,再利用单调有界定理证明区间套定理成立,接下来利用区间套定理证明有限覆盖定理成立,再接下来利用有限覆盖定理证明聚点定理成立,然后利用聚点定理证明致密性定理成立,再然后利用致密性定理证明柯西收敛准则成立,最后由柯西收敛准则证明确界定理成立,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.二、确界定理定义2.1.1 设是非空数集.若满足则称是数集的上确界，记作定义2.1.2 设是非空数集.若满足则称是数集的上（下）确界，记作定理2.1(确界定理) 若非空数集有上界（下界）,则数集一定存在唯一的上确界（下确界）;若非空数集有下界,则数集一定存在唯一的下确界.证明只证明关于上确界的结论，下确界的结论可以类似地证明.不妨设含有非负数.由于有上界,故可找到非负整数,使得对于任何;存在,使.对半开区间作10等分,分点为则存在中的一个数,使得对于任何有;对于.在随半开区间作10等分,则存在中的一个,使得对于任何有;对于.继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间,可知对任何存在中的一个数,使得对于任何有;对于.将上述步骤无限地进行下去,得到实数.以下证明.为此只需证明:对一切;对任何.倘若结论不成立,即存在,则可找到的位近似不足,使,从而得,但这与不等式相矛盾.于是得证.现设则存在使的位近似不足,即.根据数的构造,存在使从而有,即得到.这说明成立.说明（1）:数集的上（下）界可能属于,也可能不属于,例如,则,而.说明（2）:数集的上（下）界可能不存在.例如:,则,而下确界不存在.例2.1 设、为非空数集,满足:对一切和有.证明:数集有上确界，数集有下确界,且.证明由假设,数集中任一数都是数集的上界,中任一数都是的下界,故由确界原理推知数集有上确界,有下确界.对任意,是数集的一个上界,而由上确界的定义知,是数集的最小上界,故有.而此式又表明数是数集的一个下界,故由下确界定义证得.三、单调有界定理定义3.1.1 若数列的各项满足关系式,则称为递增数列.定义3.1.2 若数列的各项满足关系式,则称为递减数列.定理3.1(单调有界定理) 若数列递增（递减）有上界（下界）,则数列收敛,即单调有界函数必有极限.证明利用确界定理（定理2.1）证明,不妨设为有上界的递增数列.有确界原理,数列有上确界,记.下面证明就是的极限.事实上,任给,按上确界的定义,存在数列中某一项,使得.又由的递增性,当时有.另一方面,由于是的一个上界,故对一切都有.所以当时有,这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.例3.1 设，, 其中实数.证明数列收敛.证明显然是递增的,下证有上界.事实上,于是由单调有界定理,收敛.四、区间套定理定义4.1 设闭区间套具有如下性质:,,则称为闭区间套,或简称区间套.定理4.1（区间套定理）若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得,,即,证明利用单调有界定理(定理3.1)证明,由闭区间套满足条件：各闭区间的端点满足如下不等式：.则为递增有界数列,依单调有界定理,有极限,且有,.同理,递减有界数列也有极限,并由区间套的条件得,且.综合即得最后证上式中的是唯一的.设数则由有由区间套条件得故有,即是唯一的.说明(1):若将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.如:开区间列满足区间套定理,但不存在数属于所有的开区间.说明(2):若将闭区间列换为严格的开区间列,即存在数列与,使得,则定理仍成立.说明(3):若将数轴上的原点0去掉,则区间套定理不一定成立,例如闭区间列满足区间套定理,但不存在属于所有的.例4.1 设是一个严格开区间套,即满足,且.证明:存在唯一的一点,使得.证明因为满足闭区间套,所以存在唯一的点,使得因为,所以即.又由于具有唯一性,于是得证.五、有限覆盖定理设是一区间（或开或闭）,并有开区间集（的元素都是开区间）.定义5.1 若有,则称开区间集覆盖区间，若中区间个数是有（无）限的,则称为的一个有（无）限覆盖,若中的区间都是开区间,则称为的一个开覆盖.定理5.1（有限覆盖定理）若开区间覆盖闭区间,则从中可选出有限个开区间来覆盖.证明利用闭区间套定理(定理4.1)证明,假设定理5.1结论不成立,即不能用中有限个开区间来覆盖.将等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.再将等分为两个子区间,同样,其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,它满足,即是区间套,且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖.由区间套定理,存在唯一的一点,.由于是上的一个开覆盖,故存在开区间H,使.这表明只须用中的一个开区间就能覆盖,与挑选时的假设“不能用有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖.说明:有限覆盖定理与闭区间套定理,确界定理等不同,它是着眼于一点的局部,而有限覆盖定理则是着眼于区间的整体.它的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中选出有限个开区间也覆盖闭区间.正是通过这种方法,可以将闭区间上每点具有的局部性质转化为整个区间上的整体性质.其基本步骤是:首先根据要证明的整体性质,在闭区间上每一点找性质,然后构造开区间集使.且在每一个开区间上性质成立.则由有限覆盖定理,存在有限个开区间,使,在证明在上性质成立.例5.1为闭区间上的连续函数列,在上收敛于函数,如果对,为单调递减数列,则在上一致收敛.解由已知,有,由及的连续性,有,所以对上述使当时,有,因单调递减,所以当时,有,在上成立.又,由有限覆盖定理得,设,则时,对,有,所以在上一致收敛于.六、聚点定理定义6.1 设为数轴上的点集,为定点（它可以属于,也可以不属于）.若的任何邻域内都含有中无穷多个点,则称为点集的一个聚点.定义6.2 对于点集,若点的任何邻域内都含有中异于的点,即,则称为为点集的一个聚点.定义6.3 如存在各项各异的收敛数列,则其极限称为的一个聚点.定理6.1（聚点定理）实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.证明利用有限覆盖定理(定理5.1)证明，对直线上的有界无限点集,存在,使得.假设中不含的聚点.则对,则存在相应的,使得内之多包含的有限多个点,令=则是的一个开覆盖,从而中存在有限个,覆盖了,从而也覆盖了.因为每个邻域中至多含的有限个点,故这个邻域的并集也至多含有的有限个点,于是为有限点集,这与题设矛盾.因此在中至少有一点是的聚点.说明:并不是所有的点集都有聚点,如自然数集N.例6.1 设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的.证明设递增,假设都是的聚点,且,则取,由于是的聚点,故必存在.又因递增,故时恒有于是,在中至多含有的有限多项,这与是的聚点相矛盾.七、致密性定理定理7.1（致密性定理）有界数列必含有收敛子列.证明利用聚点定理（定理6.1）证明,设为有界数列.若中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.若数列不含有无限多个相等的项,则在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集至少有一个聚点,记为.由聚点定义（若存在各项各异的收敛子列,则其极限）,存在的一个收敛子列（以为极限）.八、柯西收敛准则定理8.1（柯西收敛准则）实数列有极限的充要条件是：对任意给定的，有一正整数，当时，有成立.证明利用致密性定理（定理7.1）证明，设数列满足柯西条件.先证明是有界的.为此,取,则存在正整数N,当及时有.由此得.令,则对一切正整数均有.于是由致密性定理,有界数列必有收敛子列,设.对任给的,存在,当时,同时有（由柯西条件）,(由).因而当取时,得到.这就证明了.例8.1 证明任一无限十进小数的位不足近似所组成的数列满足柯西条件（即收敛），其中为中的一个数,.证明记.不妨设,则有对任给的,取,则对一切有.这就证明了所给数列满足柯西条件.利用柯西收敛准则（定理8.1）也可以证明确界定理（定理2.1）,下面给出证明.证明设是非空有上界的数集,由实数的阿基米德性,对任意的,存在整数,使得为的上界,而不是的上界,即存在,使得.分别取,,则对每一个正整数,存在相应的,使得为的上界,而存在不是的上界,故存在,使得.又对正整数,是的上界,故有,结合得;同理有,从而得.于是对任意的,存在,使得时有.由柯西收敛准则，数列收敛.记.现在证明是的上确界.首先,对任意和正整数,有,由式得,即是的一个上界.其次对任意的,由及式,对充分大的同时有,.又因不是的上界，故存在，使得,结合上式得.这说明是的上确界.同理可证若为非空有下界数列，则必存在下确界.在上面八节中,我们首先证明了确界定理（定理2.1）,由它证明单调有界定理（定理3.1）,接着用单调有界定理证明区间套定理（定理4.1）,接着用区间套定理证明有限覆盖定理（定理5.1）,然后用有限覆盖定理证明聚点定理（定理6.1），然后又用聚点定理证明致密性定理（定理7.1）,然后用致密性定理证明柯西收敛准则（定理8.1）,最后用柯西收敛准则证明了最前面的确界定理（定理2.1）.则这样构成了一个循环,证明了在实数系中,这7个命题是等价的,即由任意一个命题都可推出其余的命题.对此我们可用下面顺序表示:2.13.14.15.16.17.18.12.1.在上面的八节中,我们也给出了若干代表性的例题,目的是对实数连续性定理进行应用.通过这篇论文,我们可以更好得掌握实数连续性等价命题的证明与应用.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2007:7-38.[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2007: 161-168.[3]同济大学应用数学系,华东师范大学数学系.数学分析同步辅导[M].北京:航空工业出版社,2005:182-194.[4]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.76-84.[5]欧阳光中.简明数学分析[M].上海:复旦大学出版社,1988.4-16.[6]田菊蓉，智功献，晁翠华.实数性完备定理的等价性[J].西安联合大学学报,1999(2):49-53.[7]李莲洁.实数连续性等价命题的证明与应用[J].淮北煤师院学报,2002(6):73-78。
实数的基本定理
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。
实数完备性定理的等价性证明及其应用
实数完备性定理的等价性证明及其应用一、实数完备性定理的等价性证明：1.柯西收敛准则证明实数完备性：我们假设存在一个无穷序列{an}，满足对于任意的正实数ε，都存在正整数N，使得当m > n > N时，有，am - an，< ε。
由于{an}是有序序列，它必然有上确界和下确界。
我们将上确界记为A，下确界记为B。
首先，我们来证明A和B是相等的。
假设A > B，那么A - B > 0，根据柯西收敛准则，我们可以找到正整数N1，使得当p > q > N1时，有，ap - aq， < A - B。
由于A是上确界，所以存在一个正整数n1，使得an1 > A - (A - B) = B。
同样地，我们可以找到正整数N2，使得当r >s > N2时，有，ar - as， < A - B。
由于A是上确界，所以存在一个正整数n2，使得an2 > A - (A - B) = B。
由于n1和n2是正整数，所以我们可以取N = max{N1, N2}，使得当p > q > N时，有，ap - aq， < A- B。
但是，同时存在正整数n1和n2，使得an1 > B和an2 > B，与前面所述矛盾。
因此，A和B必然相等，记为C。
接下来，我们证明C是这个序列的极限。
假设对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n > N时，有，an - C，< ε。
我们取ε =ε/2，那么根据柯西收敛准则，必然存在一个正整数N，使得当p > q >N时，有，ap - aq，< ε/2、由于C就是上确界和下确界，所以必然存在正整数n > N，使得，an - C，< ε/2、根据三角不等式，我们有，ap - C，≤ ，ap - aq， + ，aq - C，< ε/2 + ε/2 = ε。
因此，C就是这个序列的极限，这就证明了实数完备性。
实数完备性六个定理的互相证明
0 ， x S ，使得 x ，
记为 xn a ( n ) 。如果不存在实数 a，使 xn 收敛于 a，则称数列 xn 发散。
lim xn a 0 ， N N ， n N ，有 xn a 。
二、一些基本概念
1.有界集： 设 S 是一个非空数集，如果 M R ，使得 x S ，有 x M ，则称 M 是 S 的
一个上界；如果 m R ，使得 x S ，有 x m ，则称 m 是 S 的一个下界。当数集 S 既有上界，又有下界时，称 S 为有界集。
a1 b1 a b a b , b1 S ，则记 a2 , b2 = 1 1 , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 2 2 2 an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b an1 , bn1 二等分为 , bn 1 ，若 n 1 n 1 , bn 1 S ， an 1 , 、 2 2 2
则记 a2 , b2 =
a1 b1 a b , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 an 1 , bn 1 二等分为 2 2
an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b , bn 1 ，若 n 1 n 1 非 s 的上界，则记 、 an 1 , 2 2 2 an 1 bn 1 a b an , bn = , bn 1 否则记 an , bn = an 1 , n 1 n 1 ；...，得到一列闭区间 2 2
上界，则记 a2 , b2 =
关于实数完备性的6个基本定理
其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。
故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。
6. 柯西收敛准则
在实数系中， {an}收敛
0,N ,m,n N ,有an am .
反例： {(1 1 )n }是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e. 即柯西收敛准则在有理数域不成立。
任取H的有限个元素，构成集合H *,
H * {( x1 r1, x1 r1 ),( x2 r2 , x2 r2 )( xn rn , xn rn )}
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数， 设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r, 则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。 即H的任意有限覆盖不能盖住[1,2]Q .
n 但其极限是无理数e.
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点
,使 [an,bn],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an},使an 2, 取单调递减有理数列{bn},使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
在有理数系中这六个命题不成立 。
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集
必有上（下）确界。
反例：S {x | x2 2, x Q},sup S 2, inf S 2, 即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
2. 单调有界定理； 在实数系中，单调有界数列必有极限。 反例：{(1 1)n }是单调有界有理数列，
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
实数基本定理的等价性证明
Ｊ １２ ０ ｕ． Ｏ１
实数基本定理 的等价性证 明
包 丙 寅
（ 内蒙古师范大学 数 学科学学院 内蒙古 呼和浩特 ００ １） １００
摘 要 ：实数基本定理 的 内容及其等价性证 明是数 学分析课 程 中的难 点和重点． 本文全方 面的给 出了确界原理、 单调有
界 原理 、 区间套定理、 有限覆盖定理 、 致密性定理 、 西收敛原理这六个实数基本定理的等价性证 明． 柯
第２ ６卷 第 ７期
２１ ０ ０年 ７月
赤 峰 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌｆ ｈ ｅｇ ｎ ｅｓｙ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ ｄ ｉ ） ｏｒａ ｉｎ ｉ ｒｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｉｏ ｏＣ ｆ Ｕ ｖ ｉ ｕ ｅ Ｅ ｔｎ
Ｖ０． ６ Ｎ ． １２ ｏ７
ｎ— 蕾
（ Ｂ ∈｛ ） ，） △所覆盖． 与 ，ｎ ｂ】 的本性矛盾． １ 利用区间套定理证明致密性定理 ． ２ 证【： ｙ】 ｌ 设｛ 为有界数列 ， １ 】 ｎ 即 ａｂ使 ａ ． 分区间 ｔ ， ≤ｙ≤ｂ 等 ［， 为两个 区间 ， ａ］ ｂ 则至少有一个 区间含有｛ ｙ 中的无穷个数 ． Ｊ
１１ 利用 区间套定理证明有限覆 盖定理 ． 证【 假设某一闭区间［ｂ的某个开覆盖（ ） １ ： ａ】 ， △ 无有限子覆
盖 ， ， Ｚ等分 ， 将ｂｂ ｌ 则至少有 一“ 区间” 它不能用 ｛｝ 半 ， △ 的有
限子集覆盖 ，将 此半 区间记为 【ｉ 如果两个半区问都如 ａｂ （ ，】
（ ）致密性定理 ） ４（ 有界序列必有收敛 的子序列．
限进行下去 ， 便得一区间套｛ ｝ ， 、 ｂ ａ ． （ 一 ， ： ａ ｂ ，广 ｎｊ ｂ ｎ Ｉ ＝Ｉ ＿
数学分析第四讲 实数系的6个定理的等价证明
(1) [ak1, bk1] [ak , bk ], k 1, 2,
(2)
lim
k
|
bk
ak
|
0
(3){[ak , bk ]}中每个区间都含有E的无穷多个点
由闭区间套定理存在唯一 [ak , bk ].
k 1
实数的连续不完备性讨论
根据
lim
n
an
lim
n
bn
,得到
0, N1 N * ,k N1 : ak
N2 N * ,k
N2
:
bk
0, N1 N * ,k N1 : ak +
N2 N * ,k N2 :
单调有 界定理
确界 定理
闭区间 套定理
柯西 收敛定理
列紧性 定理
有限覆 盖定理
聚点 定理
实数的连续不完备性讨论
定理：用闭区间套定理证明柯西收敛定理
证明充分性： 0, k N * ,n, m k : xm xn . 0, N k 1,m N : xm xN xN xm xN
用数列极限观点分析
实数集=有理数集+无理数集 有理数集在实数集稠密 无理数集在实数集稠密
著名数学家希尔伯特说:“无穷是人类最伟大的朋友，也是人类心 灵最宁静的敌人”说明极限是数学最重要的概念.
希尔伯特（David Hilbert, 1862－1943）德国数学家, 19世 纪和20世纪初最具影响力的数学家之一. 1900年在巴黎第二界国际 数学家大会上提出的23个数学问题(称希尔伯特问题)，激发了整个 数学界的想象力. 现在这些问题约有一半已得到囿满解决. 其中第八 个问题,就是广为人知的“哥德巴赫猜想”他的杰出工作在整个数学 版图上留下了巨大显赫的名字：希尔伯特空间，希尔伯特丌等式， 希尔伯特算子，被尊为数学世界的亚历山大.
关于实数七个基本定理等价性的证明
关于实数七个基本定理等价性的证明从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是： ○1戴德金连续性准则 ○2单调有界有极限定理 ○3确界定理 ○4区间套定理 ○5Borel 有限覆盖定理 ○6Bolzano-Weierstrass 定理 ○7Cauchy 收敛原理 书上证明各定理的思路是：从○1出发证明○2及○3，并证明○1、○2、○3相互等价，此过程中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。
由○2及此加强结论可证出○4，再由○4分别证出○5及○6，由○6证出○7。
下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：⇔⇔⇒⇔⇒⇒⇒①④⑦②⑥②③⑤④详细证明如下： ⇒①④已知有区间套[]{},n n a b 满足()lim 0n n n b a →∞-=，[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀。
要证存在唯一的[]1,n n n r a b ∞=∈，且lim lim n n n n b a r →∞→∞== 记{}n a 全体上界组成的集合为B ，\A =B R 。
由[][]()11,,n n n n ab a b n ++⊂∀，知121n n a a a b b ≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅。
显然11a -∈A ，11b +∈B ，且{}n b ⊂B ，故知A B 、不空；由A =B R \知A B 、不漏；,a b ∀∈A ∀∈B ，由于a 不是{}n a 的上界，因此存在{}0n n a a ∈，使0n a a <。
而b 是{}n a 上界之一，所以0n a b ≤，故0n a a b <≤，即a b <，故不乱，因此|A B 构成实数的一个分划。
由①知，存在唯一的r ，,a b ∀∈A ∀∈B ，有a b ≤。
下证[]1,n n n r a b ∞=∈，即,n n n a r b ∀≤≤若∃N ，使n a r >，则2n n a r a +<，因此2n a r +∈A ，而2n a r r +>，与,a a r ∀∈A ≤矛盾。
实数系完备性基本定理的等价性分析
实数系完备性基本定理的等价性分析实数系完备性基本定理是数学中有重要意义的定理，它证明了实数系是完备的，也就是说，任何一个实数系中的任何一个非零多项式都有唯一的根。
本文将从实数系完备性基本定理的等价性出发，来分析它的意义和印象。
首先，实数系的完备性基本定理的等价性指的是：任何一个给定的非零多项式都有唯一的根，而这一特性决定了实数系的特殊性质以及它在数学上的重要性。
只有当实数系满足它的所有要求时，它才能够满足一系列结果，包括但不限于：实数系是一个完整的结构，可以容纳任意复杂的数学问题，并且只有它可以产生有效的数学解答；实数系也可以实现几何学上的许多特别复杂的性质，有助于提供几何学上十分有用的信息，从而使得它有可能用来解决几何应用问题。
其次，实数系完备性基本定理的等价性也可以推广到其他数学结构中，如实数的子结构实数点系列、实数的延伸结构复数系列以及数学的抽象结构域系列，他们在所有的情况下都保留了实数系完备性基本定理的等价性。
例如，在实数点系列中，任何一个给定的多项式都有唯一的实数点根，这也是实数系完备性基本定理的等价性，这一定理有助于证明实数的有效性，而在进行数学计算时，它也是必不可少的。
同样的，在复数系列中，任何一个给定的复数都有唯一的虚数根，而在域系列中，任何一个有限的基本元素和有限的操作都可以确定出唯一的域，从而证明实数系完备性基本定理的等价性。
另外，实数系完备性基本定理在其他数学研究领域也有其重要性，例如非线性动力系统的研究、矩阵计算与特征值分析、信号与系统理论等。
它们都依赖于实数系完备性基本定理的等价性，它们需要实数系满足其完备性，才能够得出有效且精确的解决方案。
总之，实数系完备性基本定理的等价性对于数学的发展具有重要的意义，它证明了实数系是完备的，且有助于证明实数的有效性，这也是实数系在数学上的重要性。
它的等价性也可以被推广到其他数学结构中，它不仅为实数系提供有效的解决方案，而且也为其他数学研究领域提供有助的信息。
§2 实数完备性的基本定理
§2 实数完备性的基本定理实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。
实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。
因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。
本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。
我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。
2.1 实数基本定理的陈述简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。
区间套还可表达为, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。
例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 11 , 1 [ {+-都不是。
推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e Ì。
推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。
根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。
据此，令12ε=，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。
实数完备性定理相互等价的证明
易证。
因此，有。
由于 bn 都为 S 的上界，所以也为 S 的上界。
从而可知，。
即，故为 S 的上确界。
(38 定理定理 2(Cauchy 收敛准则单调有界定理证不妨设 {xn } 为单增有上界数列。
假设 {x n } 无极限，Cauchy 收敛准则可知，但是。
由 N 的任意性，不难得到 {x n } 的一个严格单增的子列 {xn k } ，满足。
由于时，有，故 {x n } 收敛。
所以当。
这与 {x n } 为有界数列矛盾， (39 定理定理 3(Cauchy 收敛准则区间套定理证设 {[ a n , bn ]} 是 Cantor 区间套。
则由可知，时，有。
由于{a n } 单调递增，{bn } 中的每一个元素都为 {a n } 的上界。
故，则有。
故由 Cauchy 收敛准则可知 {a n } 收敛，记其极限为。
由(3.1 易证。
由 {a n } ， {bn } 的单调性可知有n , bn ] 。
(40 定理定理 4(Cauchy 收敛准则-Borel 有限覆盖定理证(反证法假设闭区间 [ a, b] 有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。
定义性质 P ：不能用中有限个开区间覆盖。
仿(9的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 P 的区间套 {[ a n , bn ]} 。
仿(39的证明可知，，从而，，有 [a n , bn ]，这与 [a n , bn ] 具有性质 P 矛盾。
这就证明了 Heine–Borel 有限复盖定理。
(41 定理定理 5(Cauchy 收敛准则聚点原理证设 S 为直线上有界点集，则使得 S 。
定义性质 P : 至少含有 S 中的无限多个点。
利用二等分法容易构造出具有性质 P 的区间套 {[ a n ,bn ]} 满足(3.1 。
由性质 P 任意挑选 S 中不同的点构成的数列 {x n } 使得n , bn ] 。
，由(3.1和极限定义知，由定义知 {x n } 是 Cauchy 列。
实数完备性定理的等价性证明及其应用
实数完备性定理的等价性证明及其应用实数理论是数学分析的基础理论之一，微分学、积分学理论的建立与发展都以实数理论为基础． 在实数系内，作为公理，确界原理成立．确界原理描述了实数集的连续性，单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则，与确界原理之间是等价的．六个定理在数学形式上不同，但是它们都是描述了实数集的连续性．它们之间的等价性称为实数完备性定理的等价性．本文给出实数完备性6个定理的另一种循环证明及部分应用．为学生学习这部分内容提供帮助．1 预备知识实数完备性其本定理定理1(确界原理)[1](7)P 设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理2(柯西收敛准则)[1](38)P 数列{}n a 收敛的充要条件是:对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有||n m a a ε-<．定理3(单调有界定理)[1](35)P 在实数系中，有界的单调数列必有极限．定理4(有限覆盖定理)[1](165)P 设H 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b ．定理5(聚点定理)[1](164)P 实轴上的任何有界无限点集S 至少有一个聚点．定理6(区间套定理)[1](161)P 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[,],1,2,n n a b n ξ∈=L 即,1,2,n n a b n ξ≤≤=L ．2 实数完备性定理的等价性证明2.1 用确界定理证明柯西收敛准则证明 设{}n a 是柯西数列，即0ε∀>，∃正整数N ，,n m N ∀>，有||n m a a ε-<．取1m N =+，1ε=，因此11||||||1n N n N a a a a ++-≤-<，故而1||||1n N a a +<+．设121max{||,||,,||,||1}N N M a a a a +=+L 可见||n a M <，即{}n a 必有界，由确界定理知inf{}n a 存在，记为a ．1）若min{}n a a ≠，则0ε∀>，N ∃，使N a a a ε<<+．设12k ε=，存在k N n =(1k k n n ->)使12kn ka a a <<+．令k →∞，得k n a a →． 所以对于0ε∀>，K ∃，当k K >时有k n a a ε-<．取1max{,}N N K =，当1,k n N >时2k n n n n n a a a a a a ε-≤-+-<，所以lim n n a a →∞=．２）若min{}n a a =，作集合{|{},}n P x a x M x M =-<<中有有限项小于，P 显然为非空有界集合，故sup P 存在，记为sup b P =．由P 的性质，0ε∀>，必然有b P ε+∉，所以{}n a 中有无限项小于b ε+．,N ε∀∃，使n b a b ε-<<．设12k ε=，存在k N n =(1k k n n ->)使12k n k b a b -<<．令k →∞，得k n a b →．所以对于0ε∀>，K ∃，当k K >时有k n a b ε-<． 取1max{,}N N K =，{}n a 是柯西数列，当1,k n N >时，便有||||||2k n n n n n a b a a a b ε-≤-+-<，所以lim n n a b →∞=．2.2 用柯西收敛准则证明单调有界定理证明 设{}n a 递增且有上界M 的数列．若{}n a 不收敛，必为非柯西收敛数列，即0ε∃>，N ∀，n N ∃>，所以n N a a ε-≥．取11=N ，必11N n >∃使ε≥-11a a n 即ε+≥11a a n ． 取12n N =，必22N n >∃使21n n a a ε-≥即21n n a a ε≥+．L L L如此继续下去，一般地取1k k N n -=，必k k n N ∃>使1k k n n a a ε--≥．把上述不等式相加得1k n a a k ε-≥即1k n a k a ε≥+．当1M a k ε->时，可使k n a M >．这与M是{}n a 的上界矛盾，所以{}n a 收敛．2.3 用单调有界定理证明有限覆盖定理 证明 设H 是闭区间[,]a b 的一个开覆盖．若H 不存在[,]a b 的有限开覆盖，把[,]a b 一分为二，至少有一个闭区间不能被H 有限开覆盖（若否则[,]a b 能被H 有限开覆盖，矛盾）取出记为11[,]a b ，满足11[,][,]a b a b ⊂且111()2b a b a -=-，把11[,]a b 一分为二，至少有一个闭区间不能被H 有限开覆盖取出记为22[,]a b ，满足2211[,][,][,]a b a b a b ⊂⊂且2211211()()22b a b a b a -=-=-，如此继续下去得到闭区间列{[,]}n n a b 满足下面两条：（1）11[,][,]n n n n a b a b --⊂且1()2n n n b a b a -=-（1,2,n =L ）（2）每个闭区间[,]n n a b 都不能被H 有限覆盖．因为{}n a 递增且有上界，由单调有界定理可知，ξ∃ ，使lim n n a ξ→∞=，又因为0n n b a -→(n →∞)于是lim lim()lim n n n n n n n b b a a ξ→∞→∞→∞=-+=，即lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．0ε∀>，,N n N ∃∀>，使得n a ξεξε-<<+，n b ξεξε-<<+，从而[,](,)n n a b ξεξε⊂-+即开区间(,)ξεξε-+覆盖了闭区间[,]n n a b ，这与[,]n n a b 的作法矛盾，于是有限覆盖定理成立．2.4 用有限覆盖定理证明聚点定理证明 设{}S x =是有界无限点集，必存在a 、b 使a x b <<．若S 不存在聚点，则在闭区间[,]a b 中任一点x 都不会是S 的聚点，从而x 的x δ邻域(,)x U x δ至多只含S 的有限个点，让x 取遍[,]a b ，使得开覆盖{(,)|[,]}x U x x a b H δ∈=．由有限覆盖定理知H 必存在有限子覆盖~12{,,,}[,]k H U U U a b S =⊃⊃L ．因为每个(1,2,)i U i k =L 只含S 的有限个点，~H 只含S 的有限个点，这与~H S ⊃且S 是无限集矛盾，所以S 至少有一个聚点．2.5 用聚点定理证明区间套定理证明 设{[,]}n n a b 是一个闭区间列，121n n a a a b b ≤≤≤≤≤≤L L L ．因为数列{}n a 有界 ，记有界无限点集{|}n E a n N +=∈，根据聚点定理，E 至少有一个聚点ξ．根据聚点定义，取1ε=，1(,1)n a U ξ∃∈． 取12ε=，21(,)2n a U ξ∈，要求12n n <． L L取1k ε=，1(,)k n a U k ξ∈，要求1k k n n -<． L L如此无限继续下去，构造了数列{}n a 的子数列{}k n a ．因为k N +∀∈，有1k n a kξ-<．当k →∞时，有10k→，所以lim k n k a ξ→∞=，即子列{}k n a 收敛于ξ．又因为{}n a 单调递增，必然有1k k n n n a a a +≤≤．当k →∞时，n →∞．由迫敛性可以知道lim n n a ξ→∞=．又由于()n n n n b b a a =-+，n →∞，所以lim n n b ξ→∞=．又因为n k >时，有k n n k a a b b ≤≤≤，及{}n a 与{}n b 的单调性保证[,],1,2,n n a b n ξ∈=L ，即,1,2,n n a b n ξ≤≤=L ．最后证明ξ是唯一的．设'ξ也满足',1,2,n n a b n ξ≤≤=L ，则'||,1,2,n n b a n ξξ-≤-=L ．由区间套的条件得'||lim()0n n n b a ξξ→∞-≤-=，故有'ξξ=．2.6 用区间套定理证明确界定理证明 设M 为集合S 的上界，即x S ∀∈，有x M ≤．假设S 无最大值，即M S ∉，对于0x S ∀∈，将0[,]x M 二等分，若右半区间含有S 中的点，则右半区间记为11[,]a b ，否则就记左半区间为11[,]a b ．将11[,]a b 再二等分，用同样的方法选作22[,]a b ．如此继续下去，便得到闭区间套{[,]}n n a b ，使得n b 总是S 的上界，n a 总不是S 的上界．na 为单调递增的，nb 为单调递减的，当n →∞时，01()02n n nb a M x -=-→．根据区间套定理，可知存在唯一公共点[,],1,2,n n a b n ξ∈=L ．于是有lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．因为n b 总是S 的上界，即x S ∀∈，有n x b ≤．令n →∞时，得x ξ≤．又由于lim n n a ξ→∞=，即0,,,N n N ε>∃∀>有n a ξεξε-<<+．而n a 总不是S 的上界，于是一定存在1x S ∈使1n a x <，从而1x ξε-<，于是得sup S ξ=．同理可以证若S 为非空下界数集，则S 必存在下确界．3 实数完备性定理的应用区间套定理只是着眼于一点，凡属于整体到局部的问题常用此定理，但应用此定理时常常采用反证法．有限覆盖定理着眼于闭区间的整体，把每点近旁的局部性质推广到整个闭区间，从而证得闭区间上应满足的性质．例1 若函数()f x 定义在区间(,)a b 内，(,)x a b ∀∈，存在邻域(,)x x x x δδ-+使()f x 在(,)x x x x δδ-+内单调增加，则函数()f x 在(,)a b 内也单调增加．证法一（反证法，用区间套定理） 假设函数()f x 在(,)a b 内不是单调增加的，即11,(,)x y a b ∃∈，且11x y <，有11()()f x f y >．将11[,]x y 二等分，分别为111[,]2x y x +与111[,]2x yy +． 当111()()2x y f x f +>时，令11122[,][,]2x yx x y +=有22()()f x f y >，或者111()()2x y f f y +>时令11122[,][,]2x yy x y +=有22()()f x f y >．再将22[,]x y 二等分，记为222[,]2x y x +与222[,]2x y y +．当222()()2x y f x f +>时，令22233[,][,]2x y x x y +=有33()()f x f y >，或者222()()2x y f f y +>时令22233[,][,]2x y y x y +=有33()()f x f y >．如此继续下去，得闭区间列{[,]}n n x y 且1122[,][,][,]n n x y x y x y ⊃⊃⊃⊃L L ;111lim()lim02n n n n n y x y x -→∞→∞--==，且()(),1,2,n n f x f y n >=L ． 根据区间套定理，存在(,)a b α∈，使[,],1,2,n n x y n α∈=L ．已知存在邻域(,)αααδαδ-+，函数()f x 在(,)αααδαδ-+内单调增加．当0n 充分大时．有00[,](,)n n x y αααδαδ⊂-+而00()()n n f x f y >．这与函数()f x 在(,)αααδαδ-+内单调递增矛盾．于是()f x 在(,)a b 内必是单调递增．证法二（用有限覆盖定理） ,(,)c d a b ∀∈，c d <，求证()()f c f d <．[,]x c d ∀∈存在x 的邻域(,)(,)x x x U x x x δδδ=-+，使()f x 在(,)x U x δ内单调增加，所有(,)x U x δ，[,]x c d ∀∈覆盖了闭区间[,]c d ．由有限覆盖定理，在这些邻域内可取有限个邻域1212(,),(,),,(,)n x x n x U x U x U x δδδL 且（12n x x x <<<L ）覆盖[,]c d 且去掉任一个都不能覆盖[,]c d ．()f x 在每个邻域(,)i i x U x δ（1,2,,i n =L ）内单调增加．取11(,)(,)i i i i x i x y U x U x δδ++∈⋂．由(,)i i x U x δ的定义知1122()()()()()()()n f c f x f y f x f y f x f d <<<<<<<L ，由,c d 的任意性知函数()f x 在(,)a b 内也单调增加．例2 设f 是n 维欧氏空间中连通区域D 内定义的函数，对于D 内每一点，都有一个邻域，使得f 在该邻域内等于常数，证明f 在D 内等于常数．[2](116)P证明 设1x 与2x 是D 内任意两点，因为D 是n 维欧氏空间中连通区域，因此有在D 连接1x 与2x的折线L ．可以证明组成折线L 的每一条线段的两个端点处的函数值相等，因此可知12()()f x f x =．设这两个端点是1x 与2x ，连接1x 与2x 的线段L 为D 的闭集，L 上的每一点x 都有一个属于D 的邻域(,)x U x δ，在该邻域内f 等于常数，所有的(,)2xU x δ，x L ∈覆盖了闭集L ，由有限覆盖定理，在这些开邻域内可取有限个开邻域1212(,),(,),,(,)222nxxxn U x U x U x δδδL 覆盖L ．f 在每一个邻域(,)2ixi U x δ(1,2,,i n =L )内等于常数．取12min{,,,}222nxx xδδδδ=L ．把L 等分m 份，使每一小段的长度小于δ，分点为1122,,,m x a a a x ==L ，由于1121,(,)2xx a U x δ∈，所以12()()f x f a =，又由2a L ∈则存在一个i ，1i n ≤≤，使2(,)2ixi a U x δ∈且有3(,)2ixi a U x δ∈，于是23()()f a f a =．如此继续下去可得，1232()()()()()m f x f a f a f a f x =====L ，即f 在D 内等于常数． 例3 举例说明有限覆盖定理的结论在有理数集Q 中不成立．[3](38)P解 闭区间[1,2]中所有有理数的集合记为[1,2]r ．需要构造[1,2]r 的一个开覆盖，使它的任何有限覆盖都不能盖住[1,2]r ．[1,2]r x ∀∈，可取到正有理数x r (,)x x x r x r -+，这样就得到了[1,2]r 的一个开覆盖{}O α．任意的取{}O α的一个有限开覆盖，设为1111(,),,(,)n n x x n x n x x r x r x r x r -+-+L ．由于这些，且其2n 个端点都是有理数．故若设这2n 最靠近的为r ，则在rn 个开区间外．这表明{}O α的任一有限开覆盖都不能盖住[1,2]r ．例4 设函数f 在(,)-∞+∞上满足李普希兹条件:12,(,)x x ∀∈-∞+∞，1212()()f x f x L x x -≤-，其中01L <<，求证:存在唯一的0(,)x ∈-∞+∞，使00()f x x =(这种0x 称为f 的不动点)．[4](101)P证明 1(,)x ∀∈-∞+∞，按照1()n n x f x -=(1,2,n =L )构造的数列{}n x 满足柯西收敛准则的条件．由条件知:111()()n n n n n n x x f x f x L x x +---=-≤- 211221n n n L x x L x x ---≤-≤≤-L (1,2,n =L )又m n ∀>231112121()m m n m n m m m m n n x x x x x x x x x x L L L ------+-≤-+-++-≤-+++L L1211n L x x L-≤--．而1lim 0n n L-→∞=故{}n x 满足满足柯西收敛准则的条件．因而收敛，设0lim n n x x →∞=，再由1()n n x f x -=及f 在点0x 连续得: 00()f x x =．最后证唯一性．反证法，若10x x ≠也是f 的不动点， 则101010100()()x x f x f x L x x x x <-=-≤-<- 矛盾．。
实数系的基本定理
a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是
2
， xm a
2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n
实数连续性的八个等价定理证明
开区间所复盖，在此基础上再加σ β ，便知[ a ,c]也被∑中有限个开区所复盖，所
以 c∈E
(3) c＝ b ，事实上，若 c＜ b ，取 x ∈ (c,b) ∩ (c,bβ ) ，易知[ a, x ]被∑中有
递减的实数列 {an }发散于-∞的充分必要条件是 {an }无下界。
证明：仅证的推论的前半部分，后半部分可完全类似地得到。 必要性由极限的定义可得。
充分性：由条件，对任意 M＞0，M 不是 {an }的上界， 因此存在 n0 ∈ N ，使
an0 ＞M，从而 n ≥ n0 时，有 an ≥ an0 ＞M, 此即
无限开复盖，若∑中开区间的个数是有限的，则称∑是 E 的有限开复盖。
例 如 开 区 间 集 {(n −1, n + 1) : n ∈ Z} 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 ，
5
{(2n −1,2n + 3) : n ∈ Z} 也 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 。 又 如 开 区 间 集
第一章 实数系与不等式
§1.1 实数系连续性的基本定理
实数系连续性的八大基本定理： (1) Cauchy 准则
(2) Weierstrass 单调有界定理
(3) Cauchy－Cantor 闭区间套定理 (4) Dedekind 分割定理 (5) 确界存在定理 (6) Heine－Borel 有限复盖定理 (7) Weierstrass 聚点定理 (8) Bolzano－Weierstrass 致密性定理 是数学分析的基础，本节我们证明这八大基本定理的等价性，其顺序是:
n, m > N 时，恒有 an − am ＜ε.
若不然，即存在 ε 0 ＞0，对任意自然数 N ，存在 n > m > N ，使
实数基本定理
第七章 实数基本定理［教学目标］通过教学使学生掌握反映实数连续性的六个基本定理，能准确加以表述，并深刻理解其实质意义；明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的方法，提高分析论证的能力。
［教学重难点］实数完备性基本定理的证明和应用。
［教学方法］讲授。
［教学时间］讲授8学时，习题课4学时，共计12学时。
［教学内容］实数完备性基本定理及其等价性证明，闭区间上连续函数性质及证明，*上极限与下极限。
［考核目标］ 1. 区间套、聚点、确界、覆盖、子列及一致连续等概念的理解；求点集的聚点、确界； 2. 对六个基本定理的理解和准确表述，明确其等价性； 3. 应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性； 4. 函数一致连续性的判别及有关问题的证明。
§ 1 实数基本定理的陈述一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界。
. 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor 闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件} ] , [ {n n b a ⅰ> 对n ∀, 有 , 即 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ> ,0→−n n a b . 即当)(∞→n ∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤L L L L ,0→−n n a b .)(∞→n 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, } {n a } {n b } {n a } {n b 递减. 例如 } ] 1 , 1 [ {n n −和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +−+、 } ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +−都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.例1 验证以下两数列为Cauchy 列 :⑴ n nn x 9.0sin 9.09.0sin 9.09.0sin 9.02+++=L . ⑵ 12) 1 (513111−−+−+−=+n a n n L . 解 ⑴ ≤++=−+++++ | 9.0sin9.09.0sin 9.0| ||11p n p n n n n p n x x L<++≤++ 9.09.01p n n L L L +++++ 9.09.01p n n 119.0109.019.0++×=−=n n ; 对0>∀ε，为使 ε ||<−+n p n x x ，易见只要 9.0lg 10lg 1ε>+n . 于是取 .L L =N ⑵ 1)(2)1(32)1(12)1(||132−+−+++−++−=−+++++p n n n a a p n n n n p n L 1)(2)1(3211211−+−+++−+=+p n n n p L . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(21721521321121≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+p n p n n n n n L , 又=−+−++−+1)(21321121p n n n L ≤−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=1)(213)(215)(21521321121p n p n p n n n n L 121+≤n . 当为奇数时 ,p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(215)(21321121≥−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=p n p n p n n n L , =−+−++−+1)(21321121p n n n L121 1)(213)(21521321121+≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=n p n p n n n n L . 综上 , 对任何自然数p , 有 121 1)(2)1(32112101+≤−+−+++−+≤+n p n n n p L n1 <. …… Cauchy 列的否定:例2 ∑==n k n k x 11 . 验证数列不是Cauchy 列. }{n x 证 对, 取n ∀n p =, 有 212 12111||=>++++++=−+n n n n n n x x n p n L . 因此, 取210=ε ,…… 2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy 准则，并以Cauchy 收敛原理为依据，利 用Heine 归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点, 但; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设Q 是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.0E ∉0) 1 , 0 (] 1 , 0 [] 1 , 0 [Q ] 1 , 0 [1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine–Borel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义( 复盖 ) 设E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对∋Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E U 若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为λI G } , , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM .定义( 开复盖 ) 数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖, 简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间, 但不能复盖;) 1 , 0 (] 1 , 0 [} ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈−+−−=复盖, 但不能复盖. ) , [b a ] , [b a 2. Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.§ 2 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ ⇒确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ;⇒⇒Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .⇒⇒ 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).⇒1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .证系1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则对} ] , [ {n n b a 0>∀ε, ,N ∃当时, 总有N n >] , [n n b a ) , (εξU ⊂.系2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则有} ] , [ {n n b a n a ↗ξ, ↘n b ξ, .) (∞→n 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取不是1a E 的上界, 为1b E 的上界. 对分区间, 取, 使不是] , [11b a ] , [22b a 2a E 的上界, 为2b E 的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘} ] , [ {n n b a } {n b } {n b } {n a n b n b β.有↗ n a β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ：Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.→→} {n a 三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:§ 3 闭区间上连续函数性质的证明一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上] , [b a )(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上取得最大值和最小值. )(x f ] , [b a ( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ).三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 ,0)(>a f 0)(<b f .令, 则} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=E 非空有界, ⇒E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取>n x ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ.由在点)(x f ξ连续和0)(≤n x f , ⇒0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ, ⇒ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∋∈∃n t E t n n ξ. 由在点)(x f ξ连续和,0)(>n t f ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用列紧性 ).§4. 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现。
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§ 2 实数基本定理等价性的证明
证明若干个命题等价的一般方法.
本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则
确界原理 ;
Ⅱ: 区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则 ;
Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 .
一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ).
1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:
定理 1 单调有界数列必收敛 .
2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
定理 2 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.
推论1 若是区间套确定的公共点, 则对,
当时, 总有.
推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, .
3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:
定理 3 数列收敛是Cauchy列.
引理Cauchy列是有界列. ( 证 )
定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅
读 . 现采用三等分的方法证明,
该证法比较直观.
4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：
定理5 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .
证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确
界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是
的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy收敛准则,
收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.
下证.用反证法验证的上界性和最小性.
二. “Ⅱ”的证明:
1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:
定理6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
证（突出子列抽取技巧）
定理7 每一个有界无穷点集必有聚点.
2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：
定理8 数列收敛是Cauchy列.
证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.
“Ⅲ”的证明:
1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:
2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理”证明“区间套定理”:。