新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.4.1.1 含解析
2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.4.1.2 含解析
第2课时对数性质的应用课时过关·能力提升12log510+log50.25=()A.0B.1C.2D.4解析:2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.答案:C2若log32=a,则log38-2log36用a表示为()A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.3a-2-a2解析:log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.答案:A3设a=log310,b=log37,则3a-b=()A. B. C. D.解析:3a-b=.答案:A4方程log3(x-1)=log9(x+5)的解为()A.x=-1B.x=4C.x=-1或x=4D.x=-1且x=4解析:由题意可知,--解得x=4,故选B.答案:B5若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则的值为() A.2 B. C.4 D.解析:=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a lg b=22-4×=2.答案:A6已知2x=9,log2=y,则x+2y的值为.解析:由2x=9,得log29=x,所以x+2y=log29+2log2=log29+log2=log264=6.答案:67(lg 5)2+lg 2·lg 50=.解析:(lg 5)2+lg 2·lg 50=(lg 5)2+lg 2(lg 5+lg 10)=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:18已知log54=a,log53=b,用a,b表示log56=.解析:∵log54=a,log53=b,∴log56=log52+log53=log54+log53=a+b.答案:a+b9计算:log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0.解原式=log3+lg(25×4)+2+1=+lg 102+3=+2+3=.10已知f(x)=x2+(lg a+2)x+lg b,f(-1)=-2,方程f(x)=2x至多有一个实根,求实数a,b的值.解由f(-1)=-2得,1-(lg a+2)+lg b=-2,所以lg =-1=lg ,所以,即a=10b.又因为方程f(x)=2x至多有一个实根,即方程x2+(lg a)x+lg b=0至多有一个实根,所以(lg a)2-4lg b≤0,即(lg 10b)2-4lg b≤0,所以(1-lg b)2≤0,所以lg b=1,b=10,从而a=100.故实数a,b的值分别为100,10.★11设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程log a x+log a y=3,求a的取值范围.解∵log a x+log a y=3,∴log a xy=3.∴xy=a3.∴y=.∵函数y=(a>1)在(0,+∞)上是减少的,又当x=a时,y=a2,当x=2a时,y=,∴ ⊆[a,a2].∴≥a.又a>1,∴a≥2.∴a的取值范围为[2,+∞).★12已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值是3,求a的值.解∵二次函数f(x)有最大值,∴lg a<0.又f(x)max=--=3,∴4lg2a-3lg a-1=0.∴lg a=1或lg a=-.∵lg a<0,∴lg a=-.∴a=1-.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数 3.4.1 对数及其运算素材1 北师大版必修1
3.4.1 对数及其运算
学情分析
对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四单元第一节，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念及其性质,教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。
常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊——一般——特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。
因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。
经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。
北师大版必修1数学教学练习课件第三章指数函数和对数函数第二节指数扩充及其运算性质
第三章 指数函数和对数函数
〔跟踪练习 4〕 (1)设|x|<3，化简 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9； (2)如果 m<－5，化简：|6－m|－|2m＋1|＋ m2＋10m＋25； (3)已知 y＝ 3x－2＋ 2－3x＋ 26，求实数 x 及 y 的值．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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A．－1
B．14
C．12 [解析]
因为 f(－2)＝2－2＝14，
D．32
数 学 必
所以 f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝1－12＝12，故答案选 C．
修
①
北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
3．若 b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则 b＝_5_－__3m_n___.
[解析] 若 bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则 b＝amn ，所以由 b－3n＝5m 知 b
数 学
3x－2≥0 2－3x≥0
，解得xx≥≤2323
.
必
修 ① 北
∴x＝23，从而 y＝ 26.
师
大A
版
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第三章 指数函数和对数函数
空间
典例 5 已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10，
∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18.解得 x＝10.
数
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x x 的取值范围为 8≤x≤10.
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·
第三章 指数函数和对数函数
『规律总结』 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、迅速地化简、 求值的条件．
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数本章整合2
)
A. -∞,
C.
1 3
,
2 2
1
2
B. -∞,
D.
1
2
∪
3
,+∞
2
3
,+∞
2
解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∴由 f(2 )>f(- 2)=f( 2)可得 2 < 2 =
对数计算、化简、证明常用的技巧.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用(1)若log34·log48·log8m=log42(m>0),求m的值;
1
(2)计算:
1 -2
4
·
( 4-1 )3
1(a>0,b>0).
0.1-2 (3 -3 )2
提示:(1)中对数的底数不同,应先利用换底公式化为同底的对数
再求解;(2)是关于指数的运算,要把握指数幂的运算性质.
∴f(6-a)=f(-1)=2
1
7
-2= -2=- .
4
4
-1-1
答案:A
1
2
3
4
5
பைடு நூலகம்
6
7
5
2
7(2016 浙江高考)已知 a>b>1,若 logab+logba= ,ab=ba,则
a=
,b=
.
解析:设logba=t,由a>b>1,知t>1.
1
5
2
由题意,得 t+ = ,解得 t=2,则 a=b2.
高中数学课本目录(北师大版)
必修1第一章集合集合的含义与表示集合的基本关系集合的基本运算第二章函数生活中的变量关系对函数的进一步认识函数的单调性二次函数性质的研究简单的幂函数第三章指数函数和对数函数正整数指数函数指数概念的扩充指数函数对数对数函数指数增长，幂增长，对数增长的比较第四章函数应用函数与方程实际问题的函数建模必修2第一章立体几何初步简单几何体直观图三视图空间图形的基本关系与公理平行关系垂直关系简单几何体的面积和体积第二章解析几何初步直线与直线的方程圆与圆的方程空间直角坐标系必修3第一章统计从普查到抽样抽样方法统计图表数据的数字特征用样本估计总体统计活动：结婚年龄的变化相关性最小二乘估计第二章算法初步算法的基本思想算法框图的基本结构与设计几种基本语句第三章概率随机时间的概率古典概型模拟方法---概率的应用必修4第一章三角函数周期现象角的概念的推广弧度制正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数的性质与图像与弦函数的性质与图像正切函数函数()ϕω+=xAy sin的图像三角函数的简单应用第二章平面向量从位移、速度、力到向量从位移的合成到向量的加法从速度的倍数到数乘向量平面向量的坐标从力做的功到平面向量的数量积平面向量数量积的坐标表示向量应用举例第三章三角函数恒等变换两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数的简单应用必修5第一章数列数列等差数列等比数列数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例第三章不等式不等关系一元二次不等式基本不等式简单线性规划选修I系列（文史）1—1第一章常用逻辑用语（命题充分条件与必要条件全称量词与存在量词逻辑连接词“或”“且”“非”）第二章圆锥曲线与方程（椭圆抛物线双曲线）第三章变化率与导数（变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义计算倒数导数的四则运算法则）第三章导数的应用（函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用）1—2 第一章统计案例（回归分析独立性检验）第二章框图（流程图结构图）第三章推理与证明（归纳与类比数学证明综合法与分析法反证法）第四章数系的扩充与复数的引入（数系的扩充与复数的引入复数的四则运算）选修II系列（理工）2—1第一章常用逻辑用语（命题充分条件与必要条件全称量词与存在量词逻辑连接词“或”“且”“非”）第二章空间向量与立体几何（从平面向量到空间向量空间向量的运算向量的坐标表示和空间向量基本定理用向量讨论垂直于平行夹角的计算距离的计算）第三章圆锥曲线与方程（椭圆抛物线双曲线曲线与方程）2—2第一章推理与证明（归纳于类比综合法与分析法反证法数学归纳法）第二章变化率与导数（变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义计算导数导数的四则运算法则简单复合函数的求导法则）第三章导数的应用（函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用）第四章定积分（定积分的概念微积分基本定理定积分的简单应用）第五章复数（数系的扩充与复数的引入复数的四则运算）2—3第一章计数原理（分类加法计数原理和分步乘法计数原理排列组合简单计数问题二项式定理）第二章概率（离散型随机变量及其分布列超几何分布条件概率与独立事件二项分布离散型随机变量的均值与方差正态分布）第三章统计案例（回归分析独立性检验）选修III系列（不做高考内容）文化类：选修3-1 数学史选讲代数类：选修3-6 三等分角与数域扩充选修3-4 对称与群几何类：选修3-3 球面几何选修3-5 欧拉公式与闭曲面分类应用类：选修3-2 信息安全与密码选修IV系列（有高考内容）代数类：选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲选修4-6 初等数论初步几何类：选修4-1 几何证明选讲选修4-2 矩阵与变换分析类： 选修4-3 数列与差分应用类： 选修4-7 优选法与试验设计初步选修4-8 统筹法与图论初步选修4-9 风险与决策选修4-10开关电路与布尔代数*代表模块， 代表专题，其中2个专题组成1个模块.选修3-6 选修3-5选修3-4 选修3-3 选修3-2 选修3-1 选修4-10选修4-4选修4-3选修4-2选修4-1……（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数
§4对数知识点一对数的有关概念[填一填](1)一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lg N.(3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作ln N.[答一答]1．对数概念的理解？提示：(1)对数是一种数，对数式log a N可看作一记号，表示关于x的方程a x＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．(2)对数符号log a N只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝log a N，可以为任意的实数．知识点二对数的运算性质[填一填]如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n·log a M(n∈R)．[答一答]2．如何正确运用对数的运算法则？ 提示：(1)运算中常见的错误有： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n .log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．(2)注意前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价．(3)要注意运算法则的逆用． 知识点三 换底公式[填一填]log b N ＝log a N log a b(a 、b >0，a 、b ≠1，N >0)．[答一答]3．如何准确的应用换底公式？提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①log a b ＝1log b a ，②log am b n ＝nmlog a b .1．对数log a N 中规定a >0，a ≠1的原因2.对对数的三点说明(1)对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即a b ＝N ⇔b ＝log a N .(2)对数通过符号log a N 表达，log a N 是一个整体，不是表示log a 和N 的乘积，字母a 和N 都有相应的意义和范围要求．(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.类型一 对数式与指数式的互化【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；【解】 (1)log 319＝－2.规律方法 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式log a N ＝x 与指数式a x ＝N (a >0，且a ≠1)的互化过程中，要特别注意a ，x ，N 的对应位置．将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625; (2)；(3)3a ＝27; (4)log 101 000＝3. 解：(1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(3)∵3a ＝27，∴log 327＝a . (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000. 类型二 利用对数的运算法则进行计算【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)(lg5)2＋lg2·lg50.【思路探究】 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg2＋1－lg2＝1.(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝1.规律方法(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．解：类型三换底公式的应用【例3】已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)【思路探究】(1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．【解】 解法1：因为18b ＝5，所以log 185＝b ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .解法2：因为log 189＝a ，所以18a ＝9.又因为18b ＝5， 所以45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b .令log 3645＝x ， 则36x ＝45＝18a ＋b ，即36x ＝(183×183)x ＝18a ＋b ，所以(1829)x ＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 规律方法 用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．(1)log 916·log 881的值为( C ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.解析：＝lg2lg3＋lg5lg3＝1lg3＝log 310. (3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． 解：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39·⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28＝⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32·⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54. 类型四 对数方程的解法 【例4】 解下列方程： (1)log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1； (2)3lg x －2－3lg x ＋4＝0；【思路探究】 根据对数方程的特点，将对数方程化为一般代数方程并求解． 【解】 (1)由原方程得log 2(x ＋1)＝log 4(x ＋4)＋1， ∴log 2(x ＋1)2＝log 2[4(x ＋4)]，∴(x ＋1)2＝4(x ＋4)，解得x ＝5或x ＝－3， 经检验x ＝－3为增根，应舍去． 故原方程的解为x ＝5. (2)设3lg x －2＝y ，则原方程可化为y －y 2＋2＝0，解得y ＝－1或y ＝2. ∵3lg x －2≥0，因此，y ＝－1为增根，应舍去． 由3lg x －2＝2，得lg x ＝2，∴x ＝100.经检验，x ＝100为原方程的解．(3)等式两边取常用对数得[(lg x )3－2lg x ]lg x ＝lg0.1，(lg x )4－2(lg x )2＋1＝0，∴[(lg x )2－1]2＝0，(lg x )2＝1，lg x ＝±1， ∴x ＝10或x ＝110.规律方法 解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的，必须把所求的解代入原方程进行检验．对数方程的题型与解法： 名称 题型解法基本型 log a f (x )＝b 将对数式转化为指数式f (x )＝a b 同底数型 log a f (x )＝log a φ(x ) 转化为f (x )＝φ(x )(必须验根)需代换型F (log a x )＝0换元，令t ＝log a x 转化为关于t 的代数方程解下列关于x 的方程： (1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )； (2)12(lg x －lg3)＝lg5－12lg(x －10)； 解：(1)由log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )得2x ＋1＝3x ， 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x ＋1>0,3x >0.故x ＝1. (2)原方程可化为lgx3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0， 解得x ＝15或x ＝－5，检验：当x ＝－5时，x3<0，x －10<0，此时根式无意义，舍去；当x ＝15时，满足题意，故x ＝15.——易错误区—— 因忽略真数的范围致误【错解】 0或4或2【正解】 4 由已知得lg(xy )＝lg(x －2y )2， 从而有xy ＝(x －2y )2整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 但由x >0，y >0，x －2y >0① 得x >2y >0.所以x ＝y 应舍去，故xy ＝4.【错因分析】 1.在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0. 2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误． 【防范措施】 1.注意对数运算法则的适用条件对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零，如本例中真数“x －2y >0”，隐含着x >2y .2．熟练掌握对数的运算法则已知2log 3x －y 2＝log 3(xy )(x >y >0)，则xy＝3＋2 2. 解析：由题意有x >y ，xy >0且(x －y2)2＝xy .所以x 2－6xy ＋y 2＝0，所以(x y )2－6(x y )＋1＝0.所以xy ＝3±2 2.因为x >y >0，所以x y >1，所以xy＝3＋2 2.一、选择题1．当a >0，a ≠1时，下列结论正确的是( C ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①② B ．②④ C ．②D ．①②③④解析：①M ≤0时不对；②正确；③应为M ＝±N ；④M ＝0时不对． 2．已知x ，y 为正实数，则( D )解析：10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y 故A 错，B 、C 公式不对，D 项10ln x y ＝10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y .选D.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析：log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A.二、填空题4．2log 525＋3log 264－8ln1＝22.解析：原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 5．log 6[log 4(log 381)]＝0.解析：log 6[log 4(log 381)]＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.三、解答题6．求下列各式的值．(1)log 1627·log 8132； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)． 解：(1)原式＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516.。
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高中数学北师大版目录北师大版《数学 (必修 1)》§ 5 平行关系全书目录：§ 6 垂直关系第一章集合§ 7 简单几何体的面积和体积§ 1 集合的含义与表示§ 8 面积公式和体积公式的简单应用§ 2 集合的基本关系阅读材料蜜蜂是对的§ 3 集合的基本运算课题学习正方体截面的形状阅读材料康托与集合论第二章解析几何初步第二章函数§ 1 直线与直线的方程§ 1 生活中的变量关系§ 2 圆与圆的方程§ 2 对函数的进一步认识§ 3 空间直角坐标系§ 3 函数的单调性阅读材料笛卡儿与解析几何§ 4 二次函数性质的再研究探究活动 1 打包问题§ 5 简单的幂函数探究活动 2 追及问题阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算必修 3全书目录第三章指数函数和对数函数第一章统计§ 1 正整数指数函数§ 1 统计活动：随机选取数字§ 2 指数概念的扩充§ 2 从普查到抽样§ 3 指数函数§ 3 抽样方法§ 4 对数§ 4 统计图表§ 5 对数函数§ 5 数据的数字特征§ 6 指数函数、幂函数、对数函数增长§ 6 用样本估计总体的比较§ 7 统计活动：结婚年龄的变化阅读材料历史上数学计算方面的三大§ 8 相关性发明§ 9 最小二乘法阅读材料统计小史第四章函数应用课题学习调查通俗歌曲的流行趋势§ 1 函数与方程§ 2 实际问题的函数建模第二章算法初步阅读材料函数与中学数学§ 1 算法的基本思想探究活动同种商品不同型号的价格问§ 2 算法的基本结构及设计题§ 3 排序问题§ 4 几种基本语句必修 2 课题学习确定线段 n 等分点的算法全书目录：第一章立体几何初步第三章概率§ 1 简单几何体§ 1 随机事件的概率§ 2 三视图§ 2 古典概型§ 3 直观图§ 3 模拟方法――概率的应用§ 4 空间图形的基本关系与公理探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值 1.2 数列的函数特性§ 2 等差数列必修 4 全书目录： 2.1 等差数列2.2 等差数列的前ｎ项和第一章三角函数§ 3 等比数列§ 1 周期现象与周期函数 3.1 等比数列§ 2 角的概念的推广 3.2 等比数列的前ｎ项和§ 3 弧度制§ 4 书雷在日常经济生活中的应§ 4 正弦函数用§ 5 余弦函数本章小节建议§ 6 正切函数复习题一§ 7 函数的图像课题学习教育储蓄§ 8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章解三角形课题学习利用现代信息技术探究的图§ 1 正弦定理与余弦定理像 1.1 正弦定理1.2 余弦定理第二章平面向量§ 2 三角形中的几何计算§ 1 从位移、速度、力到向量§ 3 解三角形的实际应用举例§ 2 从位移的合成到向量的加法本章小结建议§ 3 从速度的倍数到数乘向量复习题二§ 4 平面向量的坐标§ 5 从力做的功到向量的数量积第三章不等式§ 6 平面向量数量积的坐标表示§ 1 不等关系§ 7 向量应用举例 1.1 不等关系阅读材料向量与中学数学 1.2 比较大小§ 2 一元二次不等式第三章三角恒等变形 2.1 一元二次不等式的解法§ 1 两角和与差的三角函数 2.2 一元二次不等式的应用§ 2 二倍角的正弦、余弦和正切§ 3 基本不等式§ 3 半角的三角函数 3.1 基本不等式§ 4 三角函数的和差化积与积化和差 3.2 基本不等式与最大（小）§ 5 三角函数的简单应用值课题学习摩天轮中的数学问题§ 4 简单线性规划探究活动升旗中的数学问题 4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划必修 5 4.3 简单线性规划的应用全书共三章：数列、解三角形、不等式。
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4函数的应用3.4.2函数模型及其应用第1课时函数模型
12/9/2021
第二十一页，共三十九页。
数据如下表
2.四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 的变化的
x 1 5 10 15
20
25
y1 2 y2 2
26 101 226 401 1.05×
32 1 024 32 768 106
626 3.36×
107
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644
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解：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 0<x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时，g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x＝x2 时，f(x)＝g(x)．
1
x2，曲线 C3 对应的函数是 g(x)＝ln x＋1. 由题图知，当 0<x<1 时，f(x)>h(x)>g(x)； 当 1<x<e 时，f(x)>g(x)>h(x)； 当 e<x<a 时，g(x)>f(x)>h(x)； 当 a<x<b 时，g(x)>h(x)>f(x)； 当 b<x<c 时，h(x)>g(x)>f(x)； 当 c<x<d 时，h(x)>f(x)>g(x)； 当 x>d 时，f(x)>h(x)>g(x)．
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【解】 建立生产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1， 8)，(2，18)，(3，30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入，
新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.4.1.1
§4对数4.1对数及其运算第1课时对数及其运算课时过关·能力提升1如果=b(a>0且a≠1),则()A.2log a b=1B.log a=bC.lo a=bD.lo b=a解析:由题意,=b(a>0且a≠1),则=b,由对数的定义得,=log a b,即2log a b=1.故选A.答案:A2若102x=25,则x等于()A.lgB.lg 5C.2lg 5D.2lg解析:∵102x=25,∴2x=lg 25=2lg 5,即x=lg 5.答案:B3已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为()A.1B.-1C.5D.答案:A4已知,则x=()A. B.C.2D.解析:因为,所以=3-1,即2log2x=-1,所以log2x=-,解得x=,故选B.答案:B5已知(x-2)2+(y-1)2=0,则log x(y x)的值是()A.1B.0C.xD.y解析:因为(x-2)2+(y-1)2=0,所以x-2=0,y-1=0,所以x=2,y=1.所以log x(y x)=log2(12)=log21=0.答案:B6有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e=ln x,则x=e2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是()A.①②B.①②③C.①②④D.②③④解析:可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化,对各结论进行判断.由于1的对数等于0,底数的对数等于1,所以可判断①②均正确;③中应得到x=e e,故③错误;④中由于lg 1=0,而0没有对数,所以④式不成立.综上可知,正确的结论是①②.故选A.答案:A7已知函数f(3x)=log2,那么f(1)的值为()A.log2B.2C.1D.解析:∵f(3x)=log2=log2,∴f(1)=log2=log22=1,故选C.答案:C。
第三章《指数函数和对数函数》试题(北师大版必修1)
高中数学第三章测试题1、若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ）A 、m mnna a a ÷= B 、m n m n a a a ∙∙= C 、()nm m n a a += D 、01n n a a -÷=2、已知(10)x f x =，则(5)f = （ ）A 、510B 、105C 、lg10D 、lg 5 3、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ ） ①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =；④若M N =则22log log a a M N =。
A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 4、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、∅ B 、T C 、S D 、有限集 5、函数22log (1)y x x =+≥的值域为 （ ）A 、()2,+∞B 、(),2-∞C 、[)2,+∞D 、[)3,+∞6、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 7、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ ）A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a << 8、计算()()22lg 2lg 52lg 2lg 5++∙等于 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 9、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+D 、 231a a --10、若21025x =，则10x -等于 A 、15 B 、15- C 、150D 、162511、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 A 、减少7.84% B 、增加7.84% C 、减少9.5% D 、不增不减12、若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）A 、4 B 、2C 、14D 、1213、化简22log (1log (1+= 。
高中数学 3.3.1、2指数函数的概念 指数函数y=2x和y=(12)x的图像和性质课件 北师大版必修1
• 通过本节课的学习，你就会理解这一有趣的现象.
1.指数函数定义 函数__y_＝__a_x__叫作指数函数，其中_a_>_0_且__a__≠_1__，定义域为 __R____，值域为_(_0_，__＋__∞_)__． 2．指数函数 y＝2x 和 y＝(12)x 的图像与性质 两个函数图像的相同点：都位于___x_轴____的上方，都过点 __(_0_,_1_) __；不同点：函数 y＝2x 的图像是_上__升__的___；函数 y＝(12)x 的图像是_下__降__的___．
1
(1)y＝2x-4
；(2)y＝(23)－|x|；(3)y＝4x＋2x＋1＋1.
[思路分析] 先求定义域→分解原函数→考虑单调性→求
出值域
[规范解答] (1)由 x－4≠0 得 x≠4.∴定义域为{x|x≠4}．
又x－1 4≠0，∴2x1-4
1
≠1.∴y＝2x-4
的值域为{y|y>0 且 y≠1}．
1.若指数函数 y＝ax 经过点(－1,3)，则 a 等于( )
A．3
1 B.3
C．2
1 D.2
[答案] B
[解析] 依题意有 a－1＝3，
即1a＝3.所以 a＝13.
1
1
1
2．若 a＝0.52 ，b＝0.53 ，c＝0.54 ，则 a，b，c 的大小顺
序是( )
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a<c<b
(2)定义域为 R.∵|x|≥0，∴－|x|≤0. ∴(32)－|x| ≥1，∴y＝(23)－|x|的值域为{y|y≥1}． (3)定义域为 R. 令 t＝2x，则 t>0，从而函数可化为 y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2>1. ∴y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为{y|y>1}． [规律总结] 对于函数 y＝af(x)
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4对数3.4.1对数及其运算课件北师大版必修1
4．对数的运算性质 条件
性质
a>0，a≠1，且 M>0，N>0
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN (2)logaMn＝nlogaM(n∈R) (3)logaMN ＝logaM－logaN
第六页，共31页。
|自我尝试| 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数 log39 和 log93 的意义一样．( × ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( × ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( √ ) (4)logaMN＝llooggaaMN( × ) (5)log3(－2)2＝2log3(－2)( × )
第七页，共31页。
2．如果 a＝b(a>0 且 a≠1)，则( )
A．2logab＝1
B．loga12＝b
C．log 1 a＝b
D．log 1 b＝a
2
2
【解析】 将四个选项中的对数式转化为指数式，依次为 2logab ＝1⇒ a＝b；
loga 1 ＝b⇒ab＝12；log 1 a＝b⇒21b＝a；log 1 b＝a⇒21a＝b.选 A.
第十七页，共31页。
【解析】 (1)因为 log2(log3x)＝0， 所以 log3x＝1， 所以 x＝3. (2)因为 log5(log2x)＝1， 所以 log2x＝5， 所以 x＝25＝32. (3) 32－1＝2 32＋1＝ 3＋1， 所以 log( 3＋1) 32－1＝log( 3＋1)( 3＋1)＝1， 所以 x＝1.
跟踪训练 1 将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32；(2)21－2＝4； (3)log381＝4；(4)log134＝m.
【解析】 (1)log232＝5； (2)log 1 4＝－2；
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学
3.5 对数函数第1课时 对数函数的概念 对数函数y ＝log2x 的图像和性质[核心必知]1．对数函数的概念 (1)对数函数的定义：一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数． (2)两种特殊的对数函数：我们称以10为底的对数函数y ＝lg_x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln_x 为自然对数函数．2．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数． 3．函数y ＝log 2x 的图像和性质图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x ＝1，y ＝0 (4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 (5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数[问题思考]1．函数y ＝log 3x (x >0)，y ＝log 12x (x >0)，y ＝2log 2x ，y ＝log 12x 2都是对数函数吗？为什么？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．因此y ＝log 3x (x ＞0)，y ＝log 12x (x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，y＝log 12x2等都不是对数函数．2．函数y ＝log a x 2与y ＝2log a x (a ＞0且a ≠1)是同一个函数吗？为什么？提示：不是，因为定义域不同． 3．对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x有何关系？提示：(1)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称；(2)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的定义域与值域互换，即y ＝log 2x 的定义域(0，＋∞)是y ＝2x的值域，而y ＝log 2x 的值域R 恰好是y ＝2x 的定义域．(3)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的单调性一致，即都是增函数．讲一讲1．求下列函数的定义域．(1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x)．[尝试解答] (1)要使函数有意义， 需有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，log 2(1－x )≤0，解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0.∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2)．求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log 2x <1，有人常由此得到x <2，而忘记x >0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．练一练1．求下列函数的定义域． (1)y＝1－log 2x ；(2)y ＝lg(x ＋1)＋1log 2(－x )＋1.解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－log 2x ≥0，即0<x ≤2，∴所求函数的定义域为(0,2]． (2)要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x ＞0，log 2(－x )＋1≠0.即－1＜x ＜0且x ≠－12.∴所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.讲一讲2．写出下列函数的反函数． (1)y ＝log 0.13x ；(2)y ＝3.05x. [尝试解答] (1)y ＝log 0.13x 的反函数是y ＝0.13x .(2)y ＝3.05x的反函数是y ＝log 3.05x .函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x(a ＞0，a ≠1)；函数y ＝a x 的反函数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)．练一练2．写出下列函数的反函数．(1)y ＝lg x ；(2)y ＝ln x ；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.解：(1)y ＝lg x 的反函数为y ＝10x. (2)y ＝ln x 的反函数为y ＝e x. (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数为y ＝log 13x .讲一讲3．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题．(1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围；(2)y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最值．[尝试解答] 函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数， 若f (a )＞f (2)， 即log 2a ＞log 22， 则a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x ≤14， ∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227. ∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.(1)研究函数y ＝log 2x 的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．(2)函数y ＝log 2x 的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．练一练3．(1)比较log 245与log 234的大小；(2)若log 2(2－x )＞0，求x 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，又∵45＞34，∴log 245＞log 234.(2)log 2(2－x )＞0即log 2(2－x )＞log 21，∵函数y ＝log 2x 为增函数，∴2－x ＞1，即x ＜1.∴x 的取值范围为(－∞，1)．当m 为何值时，关于x 的方程|log 2(x －1)|＝m 无解？有一解？有两解？[巧思] 将关于x 的方程解的问题转化为函数y ＝|log 2x －1|的图像与直线y ＝m 的交点个数问题，利用数形结合法求解．[妙解] 在同一坐标系，分别作出函数y ＝|log 2(x －1)|和y ＝m 的图像，如图所示．由图像得：当m <0时，方程无解，当m ＝0时，方程有一解，当m >0时，方程有两解．1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝lg(10x) C ．y ＝log a (x 2＋x ) D ．y ＝ln x 解析：选D 形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数为对数函数，所以只有y ＝ln x 符合此形式．2．函数y ＝log 2x (1≤x ≤8)的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[0,3]解析：选D ∵y ＝log 2x 在[1,8]上为增函数，∴log 21≤y ≤log 28，即y ∈[0,3]．3．图中所示图像对应的函数可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x的反函数 C ．y ＝2－xD ．y ＝2－x 的反函数解析：选D 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y ＝的图像．4．若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a 的值是________．解析：依题意，f (x )的图像过点 (－1,2)，∴a －1＝2，即a ＝12.答案：125．函数y ＝log 2(3x －1＋1)的定义域为________，值域为________．解析：由已知得x －1≥0，得x ≥1，故定义域为[1，＋∞)．又x －1≥0得3x －1≥30＝1，∴3x －1＋1≥2.∴y ＝log 2(3x －1＋1)≥log 22＝1.∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞) [1，＋∞)6．已知对数函数f (x )＝log 2(x ＋3)－1. (1)求此对数函数的定义域；(2)若f (a )＞f (1)，求a 的取值范围． 解：(1)由题意知x ＋3＞0，即x ＞－3， ∴函数的定义域为(－3，＋∞)． (2)f (a )＝log 2(a ＋3)－1，f (1)＝log 2(1＋3)－1＝1，∵f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0log 2(a ＋3)－1＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0a ＋3＞4∴a ＞1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．一、选择题1．(重庆高考)函数y ＝lg(x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.2．函数y ＝log 2|x |的图像大致是( )解析：选Ay ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，log 2(－x ) (x <0)，分别作图知A 正确．3．已知函数y ＝log 2x ，其反函数y ＝g (x )，则g (x －1)的图像是( )解析：选C 由已知g (x )＝2x，∴g (x －1)＝2x －1，故选C.4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )等于( )A ．－log 2xB ．log 2(－x )C ．log x 2D ．－log 2(－x ) 解析：选 D ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )．又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－log 2(－x )． 二、填空题5．集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝yy＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则(∁R A )∩B ＝________. 解析：∵x ＞1，∴log 2x ＞log 21＝0，∴A＝{y |y ＞0}．而当x ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫121，∴B ＝y 0＜y ＜12.∴(∁R A )∩B ＝{y |y ≤0}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0＜y ＜12＝∅.答案：∅6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：∵y ＝f (x )的图像过点(a ，a )， ∴其反函数y ＝a x的图像过点(a ，a )，∴a a＝a ＝，∴a ＝12，∴f (x )＝.答案：7．若log 2a ＜log 2b ＜0，则a ，b,1的大小关系是________．解析：log 2a ＜log 2b ＜0⇔log 2a ＜log 2b ＜log 21，∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＜b ＜1.答案：a ＜b ＜18．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上的最大值与最小值之差为________．解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：1 三、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg(x ＋1)＋2x 2－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，∴函数的定义域为(－1,2)．(2)要使函数有意义．需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝log 2(1－x )．(1)若函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围；(3)判断函数F (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)由题意知，3≤x ≤63，∴4≤x ＋1≤64，∵函数y ＝log 2x 是增函数，∴log 24≤log 2(x ＋1)≤log 264，∴2≤f (x )≤6，∴f (x )的最大值为6，最小值为2. (2)f (x )－g (x )＞0⇔f (x )＞g (x )， 即log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，得：0＜x ＜1，∴x 的取值范围为(0,1)．(3)要使函数F (x )＝f (x )＋g (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ＞0，即－1＜x ＜1，∴定义域为(－1,1) 又F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)＝f (x )＋g (x )＝F (x )， ∴F (x )为偶函数．第2课时 对数函数的图像和性质[核心必知]对数函数的图像和性质底数a ＞1 0＜a ＜1图 像性质定义域 (0，＋∞) 值域(－∞，＋∞)过定点恒过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0有界性当x ＞1时，y >0；当0＜x ＜1时，y <0当x ＞1时，y <0； 当0＜x ＜1时，y >0 单调性在定义域内是增函数在定义域内是减函数[问题思考]对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的底数变化对图像位置有何影响？提示：在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x ，y ＝log 5x ，y ＝log 12x ，y ＝log 15x 的图像如图所示：观察这些图像，可得如下规律： (1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较(比较图像与y ＝1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．讲一讲1．比较大小(1)log23.4，log28.5;(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log67，log76;(4)log3π，log20.8；(5)log712，log812.[尝试解答] (1)考察对数函数y＝log2x，∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．∴log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，∵0＜0.3＜1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.31.8＞log0.32.7.(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76.(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8.(5)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log7 12＞log8 12.法二：log7 12log 8 12＝lg 12lg 7lg 12lg 8＝lg 8lg 7＝log78＞1.∵log812＞0，∴log712＞log812.比较对数值大小的类型及相应方法：[注意] 当底数为字母时要分类讨论．练一练1．比较下列各组中两个值的大小 (1)ln 0.3，ln 2； (2)log 23，log 0.32； (3)log a π，log a 3.141；解：(1)(单调性法)因为y ＝ln x 在(0， ＋∞)上是增函数，所以ln 0.3＜ln 2.(2)(中间量法)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜0，所以log 23＞log 0.32.(3)(分类讨论)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数，则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有log a π＜log a 3.141.综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141. (4)(图像法)借助y ＝log 14x 及y ＝log 15x的图像，如图，在(1，＋∞)上，y ＝log 14x的图像在y ＝log 15x 图像的下方，∴log 143＜log 153.讲一讲2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|log 12x |.[尝试解答] (1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增加的；(2)y＝|log12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0＜x ≤1，log 2x ，x ＞1，其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的．把例2(2)变为y ＝，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性．解：y ＝＝其图像如图所示．其定义域为{x |x ≠0}，为偶函数． 在(－∞，0)为增加的，在(0，＋∞)上为减少的．(1)与对数函数有关的一些对数型函数，如y ＝log a x ＋k ，y ＝log a |x |，y ＝|log a x ＋k |等，其图像可由y ＝log a x 的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到．(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解．练一练2．已知函数f (x )＝|log 2(x ＋1)|. (1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；(2)若方程f (x )＝k 有两解，求实数k 的取值范围．解：(1)函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像如图．由图像知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是[0，＋∞)．(2)由(1)的图像知，k ＞0即可．讲一讲3．已知f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数f (x )－g (x )的定义域； (2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明；(3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[尝试解答] (1)要使函数f (x )－g (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞01－x ＞0，解得－1＜x ＜1，所以f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)． (2)任取x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[f (x )－g (x )]，所以f (x )－g (x )在(－1,1)上是奇函数． (3)由f (x )－g (x )＞0得log a (1＋x )＞log a (1－x )，①当a ＞1时，则①可化为⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞1－x－1＜x ＜1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x－1＜x ＜1，解得－1＜x ＜0.所以当a ＞1时，x 的取值范围是(0,1)， 当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,0)．(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．而对于类似于f (x )＝log a g (x )的函数，利用f (－x )±f (x )＝0来判断奇偶性更简捷．(2)判断函数的单调性有两种思路，①利用定义；②利用图像．练一练3．已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)要使函数f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)有意义，则a x－1＞0.当a ＞1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＞0，故函数的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＜0，故函数的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时， 设0<x 1<x 2，则∴f (x 1)－f (x 2)＝＝，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上也是增函数．设函数y ＝f (x )，且log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，求f (x )的值域．[错解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )，∴y ＝23x (3－x )．∵3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274≤274， ∴函数的值域为(－∞，2274]．[错因] 产生错解的原因在于未掌握对数函数、指数函数需满足真数大于0，a x＞0(a ＞0，且a ≠1)．此题因在未确定定义域前求值域，从而把值域扩大了．[正解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )， ∴y ＝23x (3－x )，且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，3－x ＞0，log 2y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞1.而－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.∵0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，.1．已知函数f (x )＝log (a ＋1)x 是(0，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0，＋∞)解析：选D 由题意得a ＋1>1，解得a >0. 2．函数y ＝1＋log 3x 的图像一定经过点( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,1)解析：选D ∵y ＝log 3x 一定过定点(1,0)．∴y ＝1＋log 3x 的图像一定过点(1,1)． 3．(天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析：选A a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a .4．函数y ＝lg(4－x )x －3的定义域是________．解析：要使该函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4，x ≠3.∴x ∈(－∞，3)∪(3,4)． 答案：(－∞，3)∪(3,4)5．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －3)＜1，那么x 的取值范围为________． 解析：a log b (x －3)＜1即a log b (x －3)＜a 0. ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴log b (x －3)＞0， 又∵0＜b ＜1，∴y ＝log b x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0＜x －3＜1，解得3＜x ＜4.答案：(3,4)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤1，log 3x 3·log 3x9，x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值． 解：(1)∵log 232<log 22＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，即f (x )min ＝12.当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)， 令log 3x ＝t ，则t >0，∴f (x )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14.∵t >0，∴当t ＝32时，f (x )min ＝－14<12.∴f (x )的最小值是－14.一、选择题1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a解析：选A a ＝log 3π＞log 33＝1，log 71＜b ＝log 76＜log 77， ∴0＜b ＜1，c ＝log 20.8＜log 21＝0，∴a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )解析：选A 依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.3．函数y ＝log a (x －3)＋2的图像恒过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,2) C ．(4,0) D ．(4,2)解析：选D 令x ＝4，则y ＝log a (4－3)＋2＝2， ∴函数的图像恒过定点(4,2)． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(－x )，x ＜0，log 12x ， x ＞0，若f (m )＜f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 当m ＞0时，－m ＜ 0，f (m )＜f (－m )⇒log 12m ＜log 2m ⇒log 21m ＜log 2m ⇒1m ＜m ，可得m ＞1；当m ＜0时，－m ＞0，f (m )＜f (－m )⇒log 2(－m )＜log 12(－m )⇒log 2(－m )＜log 2(－1m )⇒－m ＜－1m，可得－1＜m ＜0.故m 的取值范围是－1＜m ＜0或m ＞1. 二、填空题5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是________．解析：由题意知－1≤2log 12x ≤1，即－1≤－2log 2x ≤1.∴－12≤log 2x ≤12，即log 222≤log 2x ≤log 22， ∴22≤x ≤ 2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 6．已知f (x )＝|lg x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (2)的大小关系为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝lg 14＝－lg 4＝lg 4， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 13＝－lg 3＝lg 3，f (2)＝|lg 2|＝lg 2，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.答案：f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 7．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |＝|log 13x |的根的个数为________．解析：同一坐标系中作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |与y ＝|log 13x |的图像，可知有两个交点，故有两解．答案：28．已知函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有以下命题：(1)h (x )的图像关于原点(0,0)对称； (2)h (x )的图像关于y 轴对称； (3)h (x )的最小值为0；(4)h (x )在区间(－1,0)上单调递增．其中正确的是________．解析：∵函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，∴f (x )与g (x )互为反函数，∴f (x )＝log 3x ；∴h (x )＝f (1－|x |)＝log 3(1－|x |)． 由1－|x |＞0得－1＜x ＜1. ∵h (x )的定义域关于原点对称，且h (－x )＝log 3(1－|－x |)＝log 3(1－|x |)＝h (x )． ∴h (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，(2)正确； 又当x ∈(－1,0)时，h (x )＝log 3(1＋x )， 显然h (x )在(－1,0)上是递增的，∴(4)正确；利用特殊点验证可知，(1)不正确；由于h (x )在(－1,0)上单调递增，且h (x )为偶函数， ∴h (x )在[0,1)上单调递减，∴h (x )在(－1,1)上有最大值，h (0)＝log 31＝0，无最小值，故(3)不正确． 答案：(2)(4) 三、解答题9．(1)已知函数f (x )＝log 3(3x＋1)＋12ax 是偶函数，求a 的值；(2)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a ＞0且a ≠1)． ①求函数的定义域和值域；②若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值． 解：(1)函数的定义域是R ，由于f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即对任意x ∈R ，总有log 3(3－x ＋1)－12ax ＝log 3(3x＋1)＋12ax ，∴log 3(3－x＋1)－log 3(3x＋1)＝ax ，即(a ＋1)x ＝0，由于x 是任意实数，∴a ＝－1.(2)①由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0得－3＜x ＜1.∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)．设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， ∴t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为(－∞，log a 4]． 当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为[log a 4，＋∞)； ②由题意及①知，当0＜a ＜1时，函数有最小值． ∴log a 4＝－2.∴a ＝12.10．设函数f (x )＝x 2－x ＋b ，且满足f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a >0，a ≠1)，求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．解：由f (log 2a )＝b 可得，(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1或log 2a ＝0.∴a ＝2或a ＝1(舍去)． 又∵log 2[f (a )]＝2，即log 2(2＋b )＝2， ∴2＋b ＝4，b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2. ∴f (log 2x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，y min ＝74.。
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§4对数
4.1对数及其运算
第1课时对数及其运算
课时过关·能力提升1如果√a=b(a>0且a≠1),则()
A.2log a b=1
B.log a1
2
=b
C.lo g1
2a=b D.lo g1
2
b=a
解析:由题意,√a=b(a>0且a≠1),则a 1
2=b,由对数的定义得,
1
2
=log a b,即2log a b=1.故选A.
答案:A
2若102x=25,则x等于()
A.lg1
5
B.lg 5
C.2lg 5
D.2lg1
5
解析:∵102x=25,∴2x=lg 25=2lg 5,
即x=lg 5.
答案:B
3已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则a
b
的值为() A.1 B.-1
C.5
D.1
5
答案:A
4已知9log2x=1
3
,则x=()
A.1
2B.√2
2
C.2
D.√2
解析:因为9log2x=1
3
,所以32log2x=3-1,
即2log 2x=-1,所以log 2x=-12,
解得x=√22,故选B .
答案:B
5已知(x-2)2+(y-1)2=0,则log x (y x )的值是( )
A.1
B.0
C.x
D.y
解析:因为(x-2)2+(y-1)2=0,
所以x-2=0,y-1=0,所以x=2,y=1.
所以log x (y x )=log 2(12)=log 21=0.
答案:B
6有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e =ln x ,则x=e 2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是
( )
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.②③④ 解析:可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化,对各结论进行判断.由于1的对数等于0,底数的对数等于1,所以可判断①②均正确;③中应得到x=e e ,故③错误;④中由于lg 1=0,而0没有对数,所以④式不成立.综上可知,正确的结论是①②.故选A .
答案:A
7已知函数f (3x )=log 2√9x+52,那么f (1)的值为( )
A.log 2√7
B.2
C.1
D.12 解析:∵f (3x )=log 2√9x+52=log 2√
3(3x )+52, ∴f (1)=log 2√
3×1+52
=log 22=1,故选C . 答案:C 8若log 2[lg(ln x )]=0,则x= .
解析:因为log 2[lg(ln x )]=0,
所以lg(ln x )=20=1,
所以10=ln x ,所以x=e 10.
答案:e 10
★9若正数a ,b 满足2+log 2a=3+log 3b=log 6(a+b ),则1a +1b 的值为 .
答案:108
10求31+log 36−24+log 23+103lg 3+(19)log 34
的值.
解原式=31·3log 36-24·2log 23+(10lg 3)3+3-2·log 34
=3×6-16×3+33+(3log 34)-2
=18-48+27+116=-47
16.
11解下列关于x 的方程:
(1)log 2(2x+1)=log 2(3x );
(2)log 5(2x+1)=log 5(x 2-2).
解(1)由log 2(2x+1)=log 2(3x ),
得2x+1=3x ,
解得x=1.
经检验,当x=1时,满足2x+1>0,3x>0,
故x=1.
(2)由log 5(2x+1)=log 5(x 2-2),
得2x+1=x 2-2,
即x 2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3.
经检验,当x=-1时,2x+1<0,x 2-2<0,不满足真数大于0,应舍去;
当x=3时,2x+1>0,x 2-2>0,故x=3.
★12设M={0,1},N={lg a ,2a ,a ,11-a },问是否存在a ,使得M ∩N={1}? 解不存在a ,使得M ∩N={1}成立.
理由如下:若lg a=1,则a=10,此时,11-a=1=lg a ,这与集合中元素的互异性矛盾; 若2a =1,则a=0,此时lg a 无意义;
若a=1,则lg a=0,此时M ∩N={0,1},与题设不符;
若11-a=1,则a=10,lg a=1=11-a ,这与集合中元素的互异性矛盾.
综上所述,不存在a ,使得M ∩N={1}.。