江苏省海安高级中学高一数学上学期期中试题
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1．下列关系中正确的是( )A.π∈QB.{}0∅⊆C.{}(){}0,10,1⊆D.(){}(){},,a b b a = 2．设a ,b ∈R ,则“2a >且1b >”是“3a b +>且2ab >”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3．已知13a a -+=,则1122a a -+=( )A.5B.4．已知函数()2411f x x -=+,则函数()y f x =的解析式是( )A.()222f x x x =++,0x ≥B.()222f x x x =++,1x ≥-C.()222f x x x =-+,0x ≥D.()222f x x x =-+,1x ≥-5．已知()13A x f x x ⎧==⎨-⎩,{}28150B x x x =-+≤．则A B =( ) A.[2,5] B.[3,5] C.(3,5] D.(2,)+∞6．若两个正实数x ,y 满足x y xy +=且存在这样的x ,y 使不等式248x y m m +<+有解,则实数m 的取值范围是( )A.()1,9-B.()9,1-C.()(),91,-∞-+∞D.()(),19,-∞-+∞ 7．中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信通带宽信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,由于技术提升,带宽W（附：lg50.6990≈）A.22%B.33%C.44%D.55%8．若函数()5,1,,1x x a x f x a x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围为( ) A.[]3,2-- B.[]3,1-- C.[)2,0- D.()0,+∞二、多项选择题9．设0a b c >>>,则( )A.ac bc >B.c a c b -<-C.2ab c >D.11a c b c -->10．下列命题正确的是( )A.集合{},,a b c 有6个非空子集B.m ∃∈NC.“4m <”是“3m <”的必要不充分条件D.已知23a <<,21b -<<-则2a b +的范围为225a b <+<11．下列命题中为真命题的是( )1>的解集为[]0,3; B.若函数2()4f x x ax =-++有两零点,一个大于2,另一个小于1-,则a 的取值范围是(0,3);C.函数()f x =2()1g x x =-为同一个函数;D.若()f x 的定义域为[2,2]-,则(21)f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 12．早在西元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算中项,几何中项以及调和中项.毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中,算术中项,几何中项的()0,02a b a b +≤>>叫做基本不等式,下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )A.若0a >,0b >,2a b +=14b ≥B.若实数0a >,0b >满足21a b +=,则24a b +C.若0a >,b >b +=D.若0a >,0b >,a b +=三、填空题13．命题“1x ∀≥,21x ≥”的否定为__________.14．已知集合{}240A x x =-=,{}20B x ax =-=,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,则实数a 的所有可能取值构成的集合为__________．15．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,且满足1()25f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 的最小值为___________．16．若对任意x ∈R ,2222224x ax bx c x x +≤++≤-+ 恒成立,则ab 的最大值为_________．四、解答题17．数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养,因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．lg8lg16lg9lg 27⎫+⎪⎭的值;（2）已知x ,y ,z 为正数,若346x y ==18．已知集合()(){}110A x x a x a =---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,{}13B x x =-≤≤.（1）若2a =,求A B ;（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19．已知函数()f x =()2,2x ∈-,满足条件()00f =,且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a ,b 的值;（2）用单调性定义证明：函数()f x 在区间()2,2-上单调递增;（3）若()()1210f a f a +-->,求实数a 的取值范围.20．函数2(3)f x x ax =++（1）当[2,2]x ∈-时()f x a ≥恒成立,求实数a 的取值范围;（2）当[4,6]a ∈时()0f x ≥恒成立,求实数x 的取值范围;21．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为()y f x =时,该公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时,①()f x 是增函数;②()90f x ≤恒成立;③()f x ≤(1)现有两个奖励函数模型：①1()1015f x x =+;②()6f x =.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数()10(2)f x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a 的取值范围.22．已知定义在R 的函数()f x 满足：①对x ∀,y ∈R ,()()()1f x y f x f y +=+-;②当0x >时,()1f x <;③()12f =-.（1）求()0f ,判断并证明()f x 的单调性;（2）若[]1,1x ∃∈-,使得()225f x m am ≤--,对[]11a ∀∈-，成立,求实数m 的取值范围; （3）解关于x 的不等式()()()226f ax f a x <++.参考答案1．答案：B解析：π是无理数,所以A 选项错误.空集是任何集合的子集,所以B 选项正确.集合{}0,1与集合(){}0,1的元素不相同,所以没有包含关系,所以C 选项错误. ()(),,a b b a ≠,所以D 选项错误.故选：B.2．答案：A解析：若2a >且1b >,由不等式的同向可加性可得3a b +>,由不等式的同向同正可乘性可得2ab >,所以“2a >且1b >”可以推出“3a b +>且2ab >”,即充分性成立;反之,若6a =,b =3b +>且2ab >”,所以 “3a b +>且2ab >”不可以推出“2a >且1b >”,即必要性不成立;所以“2a >且1b >”是“3a b +>且2ab >”的充分不必要条件. 故选：A.3．答案：D 解析：易知11220a a -+>,而211212)(25a a a a --+=++= 故1122a a -+故选：D.4．答案：B解析：()()224211111f x x x ⎡⎤-=+=-++⎣⎦,且211x -≥-,所以()()221122f x x x x =++=++,1x ≥-. 故选：B.5．答案：C解析：由30240x x -≠⎧⎨-≥⎩解得2x ≥且3x ≠,所以[)()2,33,A =+∞.由()()2815350x x x x -+=--≤,解得35x ≤≤,所以[]3,5B =,所以A B =(3,5].故选：C.6．答案：C解析：由x y+=11y +=, 则()11444559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭, 即()min 49x y +=,则289m m +>,则()(),91,m ∈-∞-+∞,故选：C.7．答案：C解析：由题意可知：C 大约增加了222100022120%log 4000log 1000 1.2log 40001 1.2log 400010.4lg 40001log 1000log 1000W W W -=-=-=- 0.4(32lg 2)10.20.8(1lg5)0.4408=+-=+-≈,故选：C. 8．答案：A解析：函数()5,1,1x x a x f x a x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩, 当1a =-时,()15,11,1x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩, 当1x ≤时,()25f x x x =-+-,函数图像的对称轴为x =排除B 、C; 当1a =时,()15,11,1x x x f x x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩, 当()1,1x ∈-时,25fx x x =+-（）,函数图像对称轴为x =故选：A ．9．答案：BD解析：因为0a b c >>>,故ac bc <,故A 错误,而a b -<-,故c a c b -<-,故B 正确.<c b>即11a c b c -->,故D 正确. 取2a b ==,3c =-此时0a b c >>>,但2ab c <,故C 错误. 故选：BD.10．答案：BCD解析：集合{},,a b c 非空子集的个数为3217-=,故A 错误; 当m =1=∈N ,符合题意,故B 正确;由条件可得34m m <⇒<,反之,不成立,所以“4m <”是“3m <”的必要不充分条件,故C 正确;因为23a <<,21b -<<-则426a <<,所以225a b <+<,故D 正确; 故选：BCD.11．答案：BCD1>,等价于()21011x x x -≠⎧⎪⎨+>-⎪⎩,解得01x <<或13x <<,故A 错误;对于B 选项,由()24f x x ax =-++有两个零点,一个大于2,一个小于-1,则()()1020f f ->⎧⎪⎨>⎪⎩,即3020a a -+>⎧⎨>⎩,解得0<<3a ,故B 正确; 对于C 选项,由()422111x f x x x -==-+,定义域为R ,而()21g x x =-的定义域为R ,所以它们是同一函数,故C 正确;对于D 选项,由()f x 的定义域为[]22-,,2212x ∴-≤-≤,解得1322x -≤≤,所以函数()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故D 正确. 故选：BCD.12．答案：ACD解析：对于A 选项：因为0a >,0b >,21a b +=()1112222422b a a b b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭=2a =时,等号成立,故正确; 对于B 选项： 21a b +=22222221(2)4442(4)a b a b ab a b a b ∴=+=++=+++≤,224a b ≥∴+a b ==对于C 选项：原式()()11111111131213331b b b b b b b b b a ⎛⎫=+=+=+=+-+ ⎪-+--⎝⎭+ 131133b b b b -⎛⎫=+++≥ ⎪-⎝⎭=2=时取等号）．故正确; 对于D 选项．令22a m b n +=⎧⎨+=⎩,则22a mb n =-⎧⎨=-⎩,由4a b +=,得8m n +=,()()22222444442m n b m n b m n m n m --=+=+-++-=++()411111222222n m m n n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝, =m =时,等号成立,故正确; 故选：ACD.13．答案：1x ∃≥,使得21x <解析：根据全称命题的否定为特称命题,所以命题“1x ∀≥,21x ≥”的否定为“1x ∃≥,使得21x <”.故答案为：1x ∃≥,使得21x <. 14．答案：{}1,0,1-解析：依题意,{}{}2|402,2A x x =-==-,若0a =,则B =∅,满足x A ∈是x B ∈的必要不充分条件.当0a ≠时,2|B x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,由于x A ∈是x ∈=2=-, 解得1a =或1a =-, 综上所述,a 的所有可能取值构成的集合为{}1,0,1-. 故答案为：{}1,0,1-.15．答案：解析：因为1()25f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1524x f f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭两式联立得()2f x x x =+得()2f x x x =+≥()0x x =>,即x =()f x 的最小值为故答案为：解析：令1x =,则44a b c ≤++≤,故4a b c ++=,对任意x ∈R ,222x ax bx c +≤++,则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立, 222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b a c a c a c a c ∴∆=---=+---=-+≤ 2c a ∴=+,此时22b a =-,211(22)2(1)2()22ab a a a a a ∴=-=-=--+≤当a =1=,c =此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立,解析：（1）原式lg33lg 24lg 2lg317lg 2172lg 22lg33lg32lg 26lg312⎛⎫=+=⨯= ⎪⎝⎭; （2）由题意知,令346x y z a ===,则0a >,所以3log x a =,4log y a =,6log z a=,4463log log ln ln 6ln ln 3ln 6ln 3ln 2log log ln 4ln ln 4ln ln 4ln 42ln 2a a y a a x a a a a =-=⨯-⨯=-==18．答案：（1）{|13}x x -≤≤（2）[0,2]解析：（1）2a =时,集合{|[(1)][(1)]0}{|13}A x x a x a x x =---+<=<<, {|13}B x x =-≤≤．{|13}A B x x ∴=-≤≤;（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则A B ⊆, 集合{|[(1)][(1)]0}{|11}A x x a x a x a x a =---+<=-<<+≠∅, ∴1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得02a ≤≤,∴实数a 的取值范围是[0,2]．19．答案：（1）1,0a b == （2）证明见解析（3）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析：（1）因为()f x =()00f =,12217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以20412142b a b ⎧=⎪⎪⎪+⎨=⎪⎪⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩10a b ==,所以1a =,0b =. （2）由（1）得()f x =1x ∀,()22,2x ∈-且12x x <,有()()()()()()221221121222221212444444x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-==++++由于1222x x -<<<,210x x ∴->,1240x x -<,()()120f x f x ∴-<即()()12f x f x <, 所以函数()f x 在区间()2,2-上单调递增.（3）由()()1210f a f a +-->得()()121f a f a +>- 又函数()f x 在区间()2,2-上单调递增,所以2122212121a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩,解得3122a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩112a <<,所以实数a 的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．答案：(1)[7,2]--(2)(,3[36,)x ∈-∞---++∞解析：（1）①当22a-<-,即4a >时()()min 2423f xf a a =-=-+≥,所以a ≤②当222a -≤-≤,即44a -≤≤时()22min3242a a a f x f a ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭,所以24120a a +-≤,解得62a -≤≤此时[]4,2a ∈- ③当22a ->,即4a <-时()()min 2423f x f a a ==++≥,所以7a ≥-． 此时[)7,4a ∈--综上所述：实数a 的取值范围是[]7,2-- （2）令()23h a x a x =⋅++所以()()2244306630h x x h x x ⎧=++≥⎪⎨=++≥⎪⎩解得3133x x x x ≤-≥-⎧⎪⎨≤-≥-⎪⎩或所以[(),336,x ∈-∞--++∞21．答案：(1)函数模型：②()6f x =符合公司要求; (2)522a ≤≤．解析：(1)对于函数模型：①1()1015f x x =+,验证条件③：当30x =时()12f x =，而65x=，即()f x ≤对于函数模型：②()6f x =,当[]25,1600x ∈时,条件①()f x 是增函数满足;max ()624067490f x ∴==⨯-=<,满足条件②;对于条件③：记()6(251600)5xg x x =-≤≤则21()515g x =--（）[]5,40x∈,∴时,()2max 1()551=105g x =----≤ ()f x ∴≤故函数模型： ②()6f x =符合公司要求. (2) 2a≥,∴函数()10f x =符合条件①;由函数()10f x=符合条件②,得10401090a -=⨯-≤,解得：a ≤由函数()10f x=符合条件③,得10≤[]25,1600∈恒成立,即a ≤+[]25,1600∈恒成立.5≥50x =时等号成立, ∴a ≤综上所述,实数a 的取值范围52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22．答案：（1）()01f =,()f x 单调递减区间为R ,无单调递增区间; （2）(][),33,-∞-+∞;（3）2a >时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;02a <<时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;0a =时,解集为(),1-∞;0a <时,解集为2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭.解析：（1）令0x y ==,得()()()0001f f f =+-,解得：()01f =; 令12x x <,即210x x ->,则()()()()()()()()21211121112111f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--, 因为0x >时,()1f x <,所以12x x <时,()()()212110f x f x f x x -=--<, 所以()f x 在R 上的单调递减;故()f x 单调递减区间为R ,无单调递增区间. （2）由（1）知,[]1,1x ∈-时,()f x 单调递减, 又()12f =-,则[]1,1x ∈-时,()()min 12f x f ==-;因为[]1,1x ∃∈-,使得()225f x m am ≤--,对[]1,1a ∀∈-成立, 所以()2min 25f x m am ≤--,则2252m am --≥-, 即对[]1,1a ∀∈-,2230m am --≥成立; 设()[]()2231,1g a am m a =-+-∈-, 则对[]1,1a ∀∈-,()0g a ≥恒成立,即()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≥⎪⎨=--≥⎪⎩解得：3m ≥或3m ≤-;故实数m 的取值范围为(][),33,-∞-+∞.（3）令y x =-,得()()()01f f x f x =+--,又知()01f =,即()()2f x f x +-=,所以()()2f x f x =--;因为()12f =-,所以()()1214f f -=-=,()()()21117f f f -=-+--=; 不等式()()()226f ax fa x <++等价于()()()226f ax f a x -+<,即()()()()()()2222268f ax f a x f ax f a x ⎡⎤---+<⇒⎣⎦+-+<; 又因为()()()1f x y f x f y +=+-,所以()()()1f x f y f x y +=++, 故()()2218f ax a x -++<,则()()()2272f ax a x f -+<=-; 因为()f x 在R 上单调递减,所以()222ax a x -+>-, 即()2220ax a x -++>⇒()()210ax x -->,①2a >时,201a <<,解得1x >或x <②0a <<1>,解得x >1<;③0a =时,解得1x <;④a <0<<1x <<;综上所述： 不等式()()()226f ax fa x <++的解集为：2a >时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;02a <<时,解集为()2,1,a⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;0a =时,解集为(),1-∞;0a <时,解集为2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
江苏省南通市海安高级中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题含解析
江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析) 一、选择题：1。
化为弧度数为( ）A. B. C. D。
【答案】A【解析】【分析】利用角度化弧度公式可计算出答案.【详解】.故选：A。
【点睛】本题考查角度化弧度，考查计算能力，属于基础题. 2。
已知集合，集合,则中元素的个数为（）A。
B. C. D。
【答案】C【解析】分析】解不等式,求出整数的个数，即可得出答案。
【详解】解不等式，得，,的取值有、、、、、、，因此,中元素的个数为.故选：C。
【点睛】本题考查交集元素个数的计算，考查计算能力，属于基础题.3.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为（）A。
B. C。
D。
【答案】C【解析】【分析】计算出圆的半径,然后利用扇形的弧长公式可得出结果.【详解】设圆的半径为，则，，因此，这个圆心角所对的弧长为。
故选:C。
【点睛】本题考查扇形的弧长，解答的关键就是计算出圆的半径，考查计算能力,属于基础题。
4.函数的定义域为（)A. B。
C。
D.【答案】C【解析】分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列出关于的不等式组，即可得出函数的定义域。
【详解】由题意可得，即，解得且，因此，函数的定义域为.故选：C。
【点睛】本题考查函数定义域的求解，要根据一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解,考查运算求解能力，属于基础题.5。
计算：（）A。
B. C。
D。
【答案】B【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算律可计算出所求代数式的值.【详解】，,由换底公式可得,因此，原式.故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，解题时要充分利用换底公式、对数的运算律以及对数恒等式来进行化简计算，考查计算能力，属于基础题.6.若是上周期为的奇函数，且，则( ）A。
B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质得出,再由函数的周期性得出,利用奇函数的性质可计算出结果。
2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题(创新实验班)
2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合{}2320A x x x =-+>，则=A C R ▲ ． 2．若幂函数()f x x α=的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭,则13f⎛⎫= ⎪⎝⎭▲ . 3．已知扇形的面积为23π平方厘米，弧长为23π厘米，则扇形的半径r 为 ▲ 厘米．4．函数()12f x x =+的单调递减区间为 ▲ ． 5．已知等比数列{}n a 中， 32a =， 4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．6. 函数()1ln 1y x =-的定义域为 ▲ ．7．已知22sin 2sin cos 3cos 0x x x x +-=，则cos2x = ▲ .8. 已知奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减,且()20f =,则不等式()01f x x >-的解集为▲ ．9．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值 ▲ ． 10．已知数列{}n a ， {}n b 满足112a =，1n n a b +=， ()*11N 1n n b n a +=∈+，则=⋅201721b b b ▲ ．11．若关于x 的方程lg 100xa -=有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 ▲ .12．如图，在ABC ∆中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F . 若2AB AC ⋅= ，5AD AF ⋅=， 则AE 的长为 ▲ ．13. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,D 为AB 的中点,若cos sin b a C c A =+且CD 则ABC ∆面积的最大值是 ▲ .14．已知函数()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若对任意的实数5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,都存在唯一的实数[]0,m β∈,使()()0f f αβ+=,则实数m 的最小值是___．二、解答题： 本大题共5小题，共计90分．请在答题纸指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知集合{}{}35,121A x x B x m x m =-≤≤=+<<-, {}C x Z x A x B =∈∈∈或 (1)当3m =时，用列举法表示出集合C ； (2)若A B B =，求实数m 的取值范围.16. （本题满分14分）已知函数()2cos cos ,36f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若锐角A 满足()12f A =-， 6C π=且2c =，求ABC ∆的面积.AB D E F17．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*43()n n S a n N =-∈． （1）证明：数列{}n a 是等比数列．（2）若数列{}n b 满足*1()n n n b a b n N +=+∈，且12b =，求数列{}n b 的通项公式．18．（本题满分16分）某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染.为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放，该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y （元）与废气处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2401200040210050004080x x y x x x +<<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，，,且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理.（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为x 吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x 的取值范围；（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x (4080x ≤≤)吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a 元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a 的值.19.（本题满分16分）设a 为实数，函数()(2),f x x x a a x R =---∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；（3）若函数()f x 在区间[]2,2-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 中， 13a =，前n 项和n S 满足123n n a S +=+（*n ∈N ）． （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）是否存在整数对(),m n （其中Z m ∈， *n ∈N ）满足()22750nn a m a m -+++=？若存在，求出所有的满足题意的整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．【填空题答案】1．[1，2] 2．9 3．2 4．()(),2,2,-∞--+∞ 5. 4 6. ()()1,22,+∞ 7．0或45- 8．()()2,01,2- 9. -36 10. 1 11. a >112.13.1 14. 2π【解答题答案】15【解】(1)当3m =时，则{}45B x x =<<，………………2分所以{}3,2,1,0,1,2,3,4,5C =---………………5分 (2)若AB B =，则B A ⊆………………7分①当B =∅时，121m m +≥-,解得2m ≤；………………9分 ②当B ≠∅时，由12113215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨-≤⎪⎩,解得23m <≤………………12分综上所述，实数m 的取值范围是3m ≤.………………14分 16【解】（1）()2sin(2)3f x x π=--，………………3分所以周期为π. ………………5分 （2）()11,2sin 2.232f A A π⎛⎫=-∴--=- ⎪⎝⎭1sin 2,32A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭因为A 为锐角，所以20,22333A A ππππ<<∴-<-<. 所以， 236A ππ-=，得,4A π=………………8分由正弦定理，,sin sin a ca A C==得出 ………………10分 所以()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+=分 所以11sin 2122S ac B ==⨯=+………………14分17【解】（1）由43n n S a =-可知当1n =时1143a a =-，解得11a =．………2分 当2n ≥时， 43n n S a =-， 1143n n S a --=-，两式相减得144n n n a a a -=-，即143n n a a -=， ∴{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． ………6分（2）由（1）可知143n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据题意1143n n n n b b a -+⎛⎫-== ⎪⎝⎭.………8分所以当2n ≥时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-14313n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭………12分当1n =时上式也满足条件，故数列{}n b 的通项公式为14313n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭．………14分18【解】（1）由题意可知，当040x <<时，令()804012000x x -+≥，解得3040x ≤<； ……………3分当4080x ≤≤时，令()280210050000x x x --+≥，即2218050000x x -+≤，此时21804250000=-⨯⨯<，无解. ……………6分综上所述，当该制药厂每天废气处理量计划为[)3040，吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量. ……………8分（2）市政府为处理每吨废气补贴a 元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，当4080x ≤≤时，不等式()280210050000x ax x x +--+≥恒成立，即()2218050000x a x -++≤对任意[]4080x ∈，恒成立，令()()221805000g x x a x =-++则()()40085{8002g a g ≤⇒≥≤.……………14分 故市政府只要为处理每吨废气补贴852元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金. ……………16分19【解】（1）假设()f x 是R 上的奇函数， 则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -= （*）取0x =，得(0)0f =，解得0a =， ……………2分 此时(1)3,(1)1f f -=-=-，从而(1)(1)f f -≠-，这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；…………… 4分（2）22(2),()(2)3,x a x a x a f x x a x a x a ⎧-++≤⎪=⎨-++->⎪⎩①当2a >时，对称轴22a x a +=<，所以()f x 在(2,2a +⎤-∞⎥⎦上单调递减，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[),a +∞上单调递减，不符；……………6分②当2a <时，对称轴22a x a +=>，所以()f x 在(],a -∞上单调递减，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在)2,2a +⎡+∞⎢⎣上单调递减，不符；……………8分③当2a =时，对称轴22a x a +==，所以()f x 在(],2-∞上单调递减，在[)2,+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数． 综上，2a =．……………10分（3）①当2a =时，由（2）知，()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知，22a x a +<=<，所以()f x 在[]2,2-上单调递减，所以()f x 在[]2,2-上至多1个零点，不符；……………12分③当2a <时，由（2）知，222a x a +>=>，所以()f x 在(],a -∞上单调递减，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 因为()f x 在区间[]2,2-上恰有3个零点， 所以2(2)0,()0,()0a f f a f +-><>，(2)0f <解得04a <<+，综上，实数a 的取值范围是(0,4+．……………16分 20【解】⑴ 当2n ≥时， 123n n a S +=+与123n n a S -=+相减，得()1122n n n n n a a S S a +--=-=，即13n n a a +=（2n ≥）， …………2分 在123n n a S +=+中，令1n =可得， 29a =，即213a a =； …………3分故13n n a a +=（*n N ∈），故数列{}n a 是首项为3，公比也为3的等比数列，其通项公式为3n n a =；…………5分⑵由⑴ 知， ()()()()113113131nn n n n n n a b a a ++==---- 111123131n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭， …………8分 则11111111111122882631312231n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．………10分 (3)2(2)750n n a m a m -+++=,即23(2)3750n n m m -+++=，则2323540353737nn n n n m -⨯+==++-- ………12分 若存在整数对(m ,n ),则4037n -必须是整数，其中37n -只能是40的因数，………14分可得n =1时，m = - 2； n =2时，m =34；n =3时，m =34；所有满足题意的整数对为（-2，1），（34，2），(34，3). ………16分。
【精编】2017-2018年江苏省南通市海安高级中学高一(上)数学期中试卷带解析答案
2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，﹣1}，B={1，0}，则A∪B=．2．（5分）计算log 48﹣log3﹣e的值是．3．（5分）集合A={x丨x2+x﹣2≤0，x∈Z}，则集合A中所有元素之积为．4．（5分）已知集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}下列从A到B的对应法则f 不是映射的是（只填序号）①f：x→y=x；②f：x→y=x；③f：x→y=x．5．（5分）设f（x）=，则f[f（2）]的值为．6．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=．7．（5分）已知函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，则函数f（x）的奇偶性是．8．（5分）函数的定义域为．9．（5分）已知偶函数f（x）在[1，4]上是单调增函数，则f（﹣π）．（填“＞”或“＜”或“=”）10．（5分）设集合A⊆Z，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1，若对于A中的任意一个元素x，都有f（x）=g（x）+4，则集合A 可能为．11．（5分）已知函数f（x）=|x|（x﹣a），（a＞0），写出函数f（x）的单调增区间．12．（5分）已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过A作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于点C，且BC∥x轴时，则A点的坐标为．13．（5分）已知定义在R上的函数f（x），有下列说法：（1）函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数在R上不是单调减函数；（2）对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+1）＞f（x），则函数在R上是单调增函数；（3）函数f（x）满足f（2）=f（﹣2），则函数f（x）是偶函数；（4）函数f（x）满足f（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数．其中，正确的说法是（填写相应的序号）．14．（5分）若函数在（a，b+4）（b＜﹣2）上的值域为（2，+∞），则a b=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）设集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2+a＜0}（1）当a=﹣4，时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B=B，求实数a的取值范围．16．（16分）已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y ∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且对任意实数x＞0，都有f（x＜0）．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）证明：函数f（x）是单调减函数；你能举出两个满足上述条件的函数吗？17．（16分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式式P=t，Q=．今将10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元）．（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大，并求出最大总利润．18．（16分）对于函数f（x）=log（ax2﹣2x+4）（a∈R）．（1）当a=﹣1时，函数g（x）=，求函数g（x）的定义域；（2）若f（x）的值域为[﹣3，+∞），求实数a的值构成的集合．19．（16分）已知函数f（x）的图象为不间断的曲线，定义域为A，规定：①如果对于任意x1，x2∈A，x1≠x2，都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凹函数．②如果对于任意x 1，x2∈A，x1≠x2，都有f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凸函数．（1）若函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）是凹函数，试写出实数a的取值范围；（直接写出结果，无需证明）（2）判断函数f（x）=2x是凹函数还是凸函数，并加以证明；（3）若对任意的x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣1．（1）若不等式f（x）＞0的解集是{x|3＜x＜4}，求a，b的值；（2）当b=2时，若不等式f（x）＜0对一切实数x恒成立，求a的取值范围；（3）当a=1时，设g（x）=f（x）﹣2b，若存在t1，t2∈[0，1]，使得g（t1）g （t2）＜0成立，求b的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，﹣1}，B={1，0}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【解答】解：∵集合A={0，﹣1}，B={1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．（5分）计算log 48﹣log3﹣e的值是1．【解答】解：log 48﹣log3﹣e=．故答案为：1．3．（5分）集合A={x丨x2+x﹣2≤0，x∈Z}，则集合A中所有元素之积为0．【解答】解：∵x2+x﹣2≤0，∴（x+2）（x﹣1）≤0，解得﹣2≤x≤1，又∵x∈Z，∴x=﹣2，﹣1，0，1．∴A={﹣2，﹣1，0，1}．∴（﹣2）×（﹣1）×0×1=0，∴集合A中所有元素之积为0．故答案为0．4．（5分）已知集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}下列从A到B的对应法则f 不是映射的是③（只填序号）①f：x→y=x；②f：x→y=x；③f：x→y=x．【解答】解：集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，①f：x→y=x，由x∈[0，2]，可得从A到B的对应法则f是映射；②f：x→y=x，x∈[0，]⊊[0，2]，可得从A到B的对应法则f是映射；③f：x→y=x，x∈[0，]⊈[0，2]，可得从A到B的对应法则f不是映射．故答案为：③．5．（5分）设f（x）=，则f[f（2）]的值为2．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=log3（4﹣1）=1，f[f（2）]=f（1）=2e1﹣1=2．故答案为：2．6．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=﹣．【解答】解：由①，两边平方得：（sinα+cosα）2=，即sin2α+2sinαcosα+cos2α=，∴2sinαcosα=﹣，∴1﹣2sinαcosα=，即（sinα﹣cosα）2=，又0＜α＜π，开方得：sinα﹣cosα=②，①+②得：sinα=，把sinα=代入①得：cosα=﹣，则tanα=﹣．故答案为：﹣7．（5分）已知函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，则函数f（x）的奇偶性是奇函数．【解答】解：∵函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，∴α﹣2=1，∴α=3；∴f（x）=x3，∴函数f（x）是R上的奇函数．故答案为：奇函数．8．（5分）函数的定义域为（，] ．【解答】解：∵，被开方数大于0，∴log0.5（4x﹣1）≥0，又指数函数y=log0.54x﹣1是减函数，∴0＜4x﹣1≤1，解得：＜x≤，∴f（x）的定义域为（，]；故答案为：9．（5分）已知偶函数f（x）在[1，4]上是单调增函数，则f（﹣π）＞．（填“＞”或“＜”或“=”）【解答】解：由题意：f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），则f（﹣π）=f（π），∵=﹣3，即=f（﹣3）=f（3）．∵f（x）在[1，4]上是单调增函数3＜π，∴f（π）＞f（3）即f（﹣π）＞．故答案为：＞．10．（5分）设集合A⊆Z，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1，若对于A中的任意一个元素x，都有f（x）=g（x）+4，则集合A 可能为{﹣2}或{3}或{﹣2，3} ．【解答】解：∵集合A⊆Z，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1，对于A中的任意一个元素x，都有f（x）=g（x）+4，∴x2﹣1=x+1+4，整理，得：x2﹣x﹣6=0，解得x=﹣2或x=3．∴集合A可能为{﹣2}或{3}或{﹣2，3}．故答案为：{﹣2}或{3}或{﹣2，3}．11．（5分）已知函数f（x）=|x|（x﹣a），（a＞0），写出函数f（x）的单调增区间．【解答】解：函数f（x）=|x|（x﹣a），（a＞0），当x≥0时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，可得增区间为（，+∞）；当x＜0时，f（x）=ax﹣x2=﹣（x﹣）2+，可得增区间为（﹣∞，0）．则f（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞）；故答案为：（﹣∞，0），（，+∞）．12．（5分）已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过A作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于点C，且BC∥x轴时，则A点的坐标为．【解答】解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log8x1，log8x2，因为A、B在过点O的直线上，所以=，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．由于BC平行于x轴，可知，log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=．代入x2log8x1=x1log8x2，得x12log8x1=3x1log8x1．由于x1＞1知log8x1≠0，∴x12=3x1．考虑x1＞1，解得x1=．于是点A的坐标为（，log8），故答案为：（，log8）．13．（5分）已知定义在R上的函数f（x），有下列说法：（1）函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数在R上不是单调减函数；（2）对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+1）＞f（x），则函数在R上是单调增函数；（3）函数f（x）满足f（2）=f（﹣2），则函数f（x）是偶函数；（4）函数f（x）满足f（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数．其中，正确的说法是（1）（填写相应的序号）．【解答】解：对于（1），可以变形为“若f（x）在R上是单调减函数，则函数f （x）满足f（2）≤f（1）”，显然是真命题；（2）若定义在R的函数f（x）满足f（x+1）＞f（x）成立，无法得出f（x）在R 上单调递增，因此不正确．对于（3）（4），给出函数y=x3﹣4x，满足f（﹣2）=f（2），但f（x）是奇函数，说明（3）（4）是假命题；故答案为：（1）．14．（5分）若函数在（a，b+4）（b＜﹣2）上的值域为（2，+∞），则a b=．【解答】解：将已知函数变形为，又∵b＜﹣2，∴b+2＜0．∴函数在（a，b+4）（b＜﹣2）上为减函数，∴又∵值域为（2，+∞），∴，趋向于+∞．∴b=﹣4，a=﹣2，∴a b=．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）设集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2+a＜0}（1）当a=﹣4，时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x+2≤0}=[1，2]，当a=﹣4时，B={x|x2﹣4＜0}=（﹣2，2），所以A∩B=[1，2），A∪B=（﹣2，2]…（6分）（2）C R A=（﹣∞，1）∪（2，+∞）因为（C R A）∩B=B，所以B⊆C R A，若B=∅，则a≥0；若B≠∅，则a＜0，且B={x|x2+a＜0}=，因为＜0，所以B=Ë（2，+∞），所以，解得﹣1≤a＜0．综上，实数a的取值范围是[﹣1，+∞）…（14分）16．（16分）已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y ∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且对任意实数x＞0，都有f（x＜0）．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）证明：函数f（x）是单调减函数；你能举出两个满足上述条件的函数吗？【解答】（1）证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），所以f（﹣x）=﹣f（x）所以函数f（x）是奇函数．（2）证明：设x1，x2为R上任意两个数，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0．∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）＜f（x1），∴函数f（x）在R上是单调减函数．满足上述条件的函数有：y=﹣x，y=﹣3x．17．（16分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式式P=t，Q=．今将10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元）．（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大，并求出最大总利润．【解答】解：（1）由题意总利润y=P+Q，即，定义域为[0，10]．（2）由（1）可知，x∈[0，10]．令，因为定义域为[0，10]，所以，则x=10﹣t2那么函数f（t）=当时，函数为单调递增函数；当时，函数为单调递减函数．所以当时，即时，总利润最大为万元．即甲商品投入万元，乙商品投入万元时，总利润最大为万元．18．（16分）对于函数f（x）=log（ax2﹣2x+4）（a∈R）．（1）当a=﹣1时，函数g（x）=，求函数g（x）的定义域；（2）若f（x）的值域为[﹣3，+∞），求实数a的值构成的集合．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数g（x）=，所以，即．故函数g（x）的定义域为．…（8分）（2）令z（x）=ax2﹣2x+4因为f（x）的值域为[﹣3，+∞），所以z（x）需取遍且只可取（0，8]内每个值．…（10分）当a≥0时，不适合，舍去；当a＜0时，函数y=z（x）对称轴为，所以，解得，适合．综上所述，．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）的图象为不间断的曲线，定义域为A，规定：①如果对于任意x1，x2∈A，x1≠x2，都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凹函数．②如果对于任意x1，x2∈A，x1≠x2，都有f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凸函数．（1）若函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）是凹函数，试写出实数a的取值范围；（直接写出结果，无需证明）（2）判断函数f（x）=2x是凹函数还是凸函数，并加以证明；（3）若对任意的x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]．【解答】解：（1）由对数函数的性质可知：0＜a＜1；…（2分）（2）因为x1≠x2，故，所以，则函数f（x）是凸函数．…（8分）（3）设，，又因为f（x1）≠f（x2），所以F（x1）•F（x2）＜0，所以F（x）在区间（x1，x2）上有零点，即存在x0∈（x1，x2），使．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣1．（1）若不等式f（x）＞0的解集是{x|3＜x＜4}，求a，b的值；（2）当b=2时，若不等式f（x）＜0对一切实数x恒成立，求a的取值范围；（3）当a=1时，设g（x）=f（x）﹣2b，若存在t1，t2∈[0，1]，使得g（t1）g （t2）＜0成立，求b的取值范围．【解答】解（1）因为f（x）＞0，即ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，∴3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣，解得a=﹣，b=；（2）当b=2时，不等式f（x）＜0等价于ax2+2x﹣1＜0．若a=0，则不等式2x﹣1＜0不恒成立．则由题意可得解得a＜﹣1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣1）；（3）因为存在t1，t2∈[0，1]，使得g（t1）g（t2）＜0成立，所以关于x的方程g（x）=0有两个不等实根，且至少有一根在（0，1）内．由+2b+1＞0，解得b＜﹣2﹣4或b＞2﹣4 ①，当x∈（0，1）时，2﹣x∈（1，2），由x2+bx﹣2n﹣1=0得b==（2﹣x）+﹣4≥2﹣4=2﹣4，③当且仅当x=2﹣时取等号，由①③得b的取值范围是（2﹣4，0）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2018～2019学年江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省南通市海安高级中学2018～2019学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）一、填空题（本大题共14小题,共70.0分）1.已知集合U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},则∁U M═______．【答案】{3,4}【解析】【分析】根据集合的补集定义进行计算即可．【详解】∵U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},∴∁U M={3,4},故答案为：{3,4}【点睛】本题考查了集合的基本运算,属于基础题．2.若函数f（x）=（m-3）x m为幂函数,则实数m的值为______．【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义,写出实数m的值即可．【详解】函数f（x）=（m-3）x m为幂函数,∴m-3=1,m=4,∴实数m的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了幂函数的定义,属于基础题．3.已知f（x）=,则f（-2）=______．【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意,f（x）=,则.故答案为：．【点睛】本题考查函数值的计算,关键是掌握分段函数解析式的形式,属于基础题．4.设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4,则f（x）=______．【答案】4x【解析】【分析】变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1）,从而得出f（x）=4x．【详解】由题意得,f（x-1）=4x-4=4（x-1）,∴f（x）=4x．故答案为：4x．【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法,属于基础题。
5.设函数g（x）=e x+ae-x（x∈R）是奇函数,则实数a=______．【答案】-1【解析】【分析】根据条件知g（x）在原点有定义,从而有g（0）=0,这样即可求出a的值．【详解】由于g（x）在R上为奇函数；∴g（0）=0；即1+a•1=0；∴a=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查奇函数的概念,以及奇函数g（x）在原点有定义时,g（0）=0,属于基础题。
数学---江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试试题
江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试数学试题一、填空题1． 已知集合{}0,1A =-，{}1,0B =，则A B = ． 2. 计算πcos 419log 8log 3e--的值是 .3. 集合{}220x x x x +-∈Z ≤，中所有元素的乘积为 .4． 已知集合{}{}|04,|02,A x x B y y =≤≤=≤≤下列从A 到B 的对应法则f 不是映的 是 （只填序号） ①1:;2f x y x →=②1:;3f x y x →= ③2:3f x y x →=. 5. 定义函数1232e 2()log (1)2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩，，，≥，则[](2)f f = . 6. 已知()1sin cos 0π5ααα+=<<，则tan α= . 7. 已知函数f (x )＝(α－2) x α是幂函数，则函数f (x )的奇偶性是 ． 8. 函数()f x 的定义域为 ．9. 已知偶函数()f x 在[1，4]上是单调增函数，则(π)f - ()21l o g 8f .（填“>”或“<” 或“=”）10．设集合A ⊆Z ，且A ≠∅，从A 到Z 的两个函数分别为2()1()1f x x g x x =-=+，，若对 于A 中的任意一个元素x ，都有()()4f x g x =+，则集合A 可能为 ． 11．已知函数()()()0f x |x|x a ,a =->，写出函数()f x 的单调增区间 ．12．已知过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于,A B 两点，分别过A 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于点C ，且//BC x 轴时，则A 点的坐标为 ． 13．已知定义在R 上的函数()f x ，有下列说法：（1） 函数()f x 满足()()21f f >，则函数在R 上不是单调减函数；（2）对任意的x ∈R ， 函数()f x 满足()()1f x f x +>，则函数在R 上是单调增函数；（3） 函数()f x 满足()()22f f =-，则函数()f x 是偶函数； （4）函数()f x 满足()()22f f =-，则函数()f x 不是奇函数． 其中，正确的说法是 (填写相应的序号)． 14. 函数()2x bf x x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，a b 的值为 . 二、解答题15．设集合{}{}22320,||0.A x x x B x x a =-+≤=+<(1)当4a =-时，求A B I 和A B ； (2)若,C A B B =R I （）求实数a 的取值范围.16．已知定义在实数集上的函数)(x f y =满足条件：对于任意的,x y ∈R ，)()()(y f x f y x f +=+，且对任意实数0,x >都有()0f x <.(1)证明：函数)(x f 是奇函数； (2)证明：函数)(x f 是单调减函数； 你能举出两个满足上述条件的函数吗？17．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P （单位：万元）和Q （单位：万元），它们与投入资金t （单位：万元）的关系有经验公式14P t =，Q =今将10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x （单位：万元）．（1）试建立总利润y （单位：万元）关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大，并求出最大总利润．18．对于函数()()21log 24f x ax x =-+()a ∈R ．（1）当1a =-时，函数()g x =()g x 的定义域；（2）若()f x 的值域为[)3+-∞，，求实数a 的值构成的集合．19．已知函数()f x 的图象为不间断的曲线，定义域为A ，规定：①如果对于任意1212x x A x x ∈≠，，，都有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭＜，则称函数()f x 是 凹函数．②如果对于任意1212x x A x x ∈≠，，，都有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭＞，则称函数()f x 是凸函数．（1）若函数()()log 01a f x x a a =≠＞且是凹函数，试写出实数a 的取值范围；（直接写出结果，无需证明）（2）判断函数()2x f x =是凹函数还是凸函数，并加以证明；（3）若对任意的12x x ∈R ，，且()()1212x x f x f x <≠，，试证明存在()012x x x ∈，，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦.20. 已知函数2()1f x ax bx =+-.（1）若不等式()0f x >的解集是{}|34x x <<，求a ，b 的值；（2）当b =2时，若不等式()0f x <对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）当a =1时，设()()2g x f x b =-，若存在[]12,0,1t t ∈，使得12()()0g t g t <成立，求b 的取值范围.【参考答案】1. {}1,1,0-2. 13. 04. ③5. 26. 43-7. 奇函数 8. (314,⎤⎥⎦9. >10. {－2}或{3}或{－2，3} 11. (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭12.8,l o 313. (1) 14.11615.解： (1){}[]23201,2|A x x x =-+≤=当4a =-时，()2402|2},B x x =-<=-｛所以[)(]1,2,2,2A B A B ==- ； ()()2,12,C A =-∞+∞R （）因为()C A B B =R ，所以B C A ⊆R ，若B =∅，则0a ≥;若B ≠∅,则0a <,且{}20|B x x a =+<=(,因为1≤，解得10a -≤<. 综上，实数a 的取值范围是[-1，+∞).16.(1)证明：令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)f =0. 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-，所以()()f x f x -=- 所以函数)(x f 是奇函数.(2)证明：设12,x x <212111211121()()()()()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=- 由12,x x <则210x x ->，所以21()0f x x -<， 可得21()()f x f x <，所以函数)(x f 是单调减函数. 满足上述条件的函数:,2y x y x =-=-（答案不唯一）. 17．解：（1）14y x =[]010， ．（2）令t因为定义域为[]010，，所以0t ⎡∈⎣，所以214135442y x t t =+=-++当302t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数2135442y t t =-++为单调递增函数；当32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2135442y t t =-++为单调递减函数． 所以当32t =时，即314x =时，总利润最大为4916万元．即甲商品投入314万元，乙商品投入94万元时，总利润最大为4916万元．18．解：（1）当1a =-时，函数()g x所以()2212240log 240x x x x ⎧--+⎪⎨--+⎪⎩＞≥，即1131x x x ⎧-<-⎪⎨-⎪⎩≤或≥ 故函数()g x的定义域为(131⎤⎡----⎦⎣U ，． （2）令()224z x ax x =-+ 因为()f x 的值域为[)3+-∞，， 所以()z x 需取遍且只可取(]08，内每个值． 当0a ≥时，不适合，舍去；当0a ＜时，函数()y z x =对称轴为1x a =，所以21240a a a ⋅-+=，解得14a =-，适合．综上所述，14a =-．19．解：（1）由函数图象可知：01a ＜＜； （2）因为12x x ≠，故1222x x ≠， ()()121212121212122222122222212222221220x xx x x xx x x xx x f x f x f ++⎛⎫+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭+=-⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞所以()()1212122x x f f x f x +⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭＞，则函数()f x 是凸函数． （3）设()()()()1212F x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦， 因为()()()()()()()()()()1212121221222f x f x f x f x F x F x f x f x f x f x ++⎡⎤⎡⎤⋅=-⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，又因为()()12f x f x ≠，所以()()120F x F x ⋅＜，所以()F x 在区间()12x x ，上有零点， 即存在()012x x x ∈，，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦． 20.解：（1）因为，所以（2）当b =2时，不等式.若a =0，则不等式2x －1<0不恒成立.则由题意可得解得即a的取值范围是（3）（方法1）.因为存在，使得成立，所以函数g(x)在区间[0,1]内的值有正有负. 所以必须有，解得或①若，即，亦即，则，于是必须满足，所以. ②若，即，则，必有，不满足条件.若，即，则，不满足条件.由①②解得b的取值范围是.（方法2）因为存在，使得成立，所以关于x的方程g(x)=0有两个不等实根，且至少有一根在(0，1)内.由，解得或①当时，，由得. ③由①③得b的取值范围是.。
江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期高一期中考试数学(含答案)
高一第一学期期中考试试题数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）。
A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆ 2、函数3yx =（ ）。
A ．是奇函数，且在R 上是单调增函数B ．是奇函数，且在R 上是单调减函数C ．是偶函数，且在R 上是单调增函数D ．是偶函数，且在R 上是单调减函数 3、下列四个函数中,与)(,R x x y ∈=表示同一函数的是（ ）。
A.()2x y =B.33x y =C.2x y = D. xx y 2= 4、已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）。
A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 5、函数2lg )(x x x f =的大致图像为( )。
6、已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）。
A . 1 B . 2 C . 3 D . 47、函数]1,0[∈=x a y x在上的最大值与最小值的和为3，则=a （ ）。
A ．21 B ．2 C ．4 D ．418、若1,0≠>a a 在同一直角坐标系中，则函数xa y -=与)(log x y a -=的图象是（ ）。
9、设()f x 是奇函数，且在∈x (0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则 ()0x f x ⋅<的解集是（ ）。
A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或10、 若定义运算b a b a b aa b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x =⊕的值域是（ ）。
江苏省海安市2023年高三《数学》上学期期中试卷与参考答案
江苏省海安市2023年高三《数学》上学期期中试题与参考答案一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设为虚数单位，若，则实数的值为（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B【详解】，依题意，，而，于是得，解得，所以实数的值为.故选：B2. 设全集，集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】解不等式得：或，即或，则，而，i ()()1i i 2i a -+=a ()()1i i 1(1)i a a a -+=++-1(1)i 2i a a ++-=R a ∈1012a a +=⎧⎨-=⎩1a =-a 1-R U ={}1M x x =≤(){}20N x x x =-≥()U M N = ð{}01x x <≤{}2x x <{}01x x ≤≤{}2x x ≤()20x x -≥0x ≤2x ≥{|0N x x =≤2}x ≥{|02}U N x x =<<ð{}1M x x =≤所以.故选：A3. 已知圆锥的轴截面是斜边为）A. B.C. D.【答案】C【详解】因圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以该圆锥的体积为.故选：C4.“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：借书数量（单位：本）5678910频数（单位：人）58131194则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（ ）A. 8B. 8.5C. 9D. 10【答案】C【详解】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，又，(){}01U M N x x ⋂=<≤ð21π3V =⨯=5075%37.5⨯=5813113738581311946+++=<<++++=故四分位数（第75百分位数）是9.故选：C5. 设函数，，则函数的减区间为（）A. B. C. D. 【答案】B【详解】依题意，，则得：，即函数的定义域为，显然函数在上单调递增，在上单调递减，而在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的减区间为.故选：B6. 在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（）A. B. C. D. 【答案】D【详解】的展开式通项为，因此，展开式中所有奇数项的系数和为.故选：D.()228f x x x =-++()()log 01a g x x a =<<()()y g f x =(),1-∞()2,1-()1,+∞()1,4()()2log (28)a g f x x x =-++2280x x -++>24x -<<()()y g f x =(2,4)-()f x ()2,1-()1,4()()log 01a g x x a =<<()0,∞+()()y g f x =()2,1-()1,4()()y g f x =()2,1-61⎛- ⎝365-364-36436561⎛ ⎝()12166C C 2kk k k k T x -+⎛=⋅=⋅-⋅ ⎝()()()24602466666C C 2C 2C 2365+⋅-+⋅-+⋅-=7. 已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（ ）A. 3 B. 2C.D. 1【答案】A【详解】由给定的图象知，，，即，因函数图象的对称轴方程为，则的最小正周期，，而，显然有即，解得，所以.故选：A()cos (0)f x A xx ωωω=->()y f x =()5ππZ 122k x k =+∈()0f =32(0)0f A =>()cos )f x A x x x ωωωϕ=-=+max ()f x =()y f x =()5ππZ 122k x k =+∈()y f x =πT =2π2Tω==()cos 5π5π5π1)1266A A f =+=|()512|πf =1)|A +=3A =(0)3f =8. 设，）A. B.C. D.【答案】B【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，又，，且，，所以；故选：B二、选择题本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在正方体中，已知为棱的中点，上底面的中心，下列图形中，的是（）A. B.C. D.【答案】ADa=19sin10b=c=b a c<<b c a<<c a b<<c b a<<()sinfx x x=-()cos10f x x'=-≤()f xx>()()00f x f<=sin x x<1199sin91101010b=<⨯=<1a=>=1c=>=45510a=4594533910c==⨯<a c b>>M N PQ MN⊥【详解】若分别是的中点，易知且，所以共面，易知：面面，而，，所以，面面，面，则面，又面，故，即A 选项中正确；又，若正方体棱长为2，则，故，所以不垂直，即不垂直，即B 选项中错误；由，则，故，所以不垂直，即不垂直，即C 选项中错误；由，而，又面，面，则，，面，则面，又面，则，故，即D 选项中正确故选：AD.,,,H F G Q 111111,,,A D B C BB CC //HM GF N HF ∈,,,,M G F N H MGFH ⊥11BCC B 1//GF BC 11BC B C ⊥1GF B C ⊥MGFH ⋂11BCC B GF =1B C ⊂11BCC B 1B C ⊥MGFH MN ⊂MGFH 1B C MN ⊥PQ MN ⊥1//NG BD MN NG ==2MG =222MN NG MG +≠,MN NG 1,MN BD PQ MN ⊥1//NQ A C MN NQ ==MQ =222MN NQ MQ +≠,MN NQ 1,MN AC PQ MN ⊥11//BD B D 1111B D AC ⊥1A M ⊥1111D C B A 11B D ⊂1111D C B A 111AM B D ⊥1111A C A M A ⋂=111,A C A M ⊂1A NM 11B D ⊥1A NM MN ⊂1A NM 11B D ⊥MN BD MN ⊥PQ MN ⊥10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）A. 的准线方程为B. 直线与相切C. 若，则的最小值为D. 若，则的周长的最小值为11【答案】BCD【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A 错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B 正确；设点，所以，所以C 正确；C 214y x =F P C C 116y =-1y x =-C ()0,4M PM ()3,5M PMF △C 214y x =24x y =()0,1F 1y =-2141y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2440x x -+=()24440∆=--⨯=1y x =-C (),P x y ()()22222441621212x P y y y y M =+-=-+=-+≥minPM=如图过点作准线，交于点，，，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，故D 正确；故选：BCD11. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（）A. B. 一等奖与三等奖的作品数之比为C. D. 【答案】ABD【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，则男生获一、二、三等奖的作品数为、、，女生获一、二、三等奖的作品数为、、，因为，所以，所以，故A 正确；P PN ^N NP PF =5MF ==5611PFM C MF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=V M P N 40%60%60%A B ()0.12PAB =()0.4P B A =3:4()0.25P A B =()0.54P B =x y 0.4x 0.6x 0.6y 0.6x 0.4x 0.4y ()0.40.12xP AB x x y==++43x y =()0.4|0.4xP B A x==，故C 错误；一等奖与三等奖的作品数之比为，故B 正确；，故D 正确；故选：ABD12. 设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）A. 为奇函数B. 的解析式唯一C. 若是周期为的函数，则D. 若时，，则是上的增函数【答案】ACD【详解】解：因为，令，可得，解得，再令，所以，即，所以，所以为奇函数，故A 正确；令，则，()0.40.420.2540.690.63x x P A B x x y x ===≠++⨯:3:4x y =()40.60.630.544223x xx y P B x y x x+⨯+===++R ()f x ()()()()22f x y f x y f x f y +-=-()10f ≠()f x ()f x ()f x T 1T ≠0x >()0f x >()f x R ()()()()22f x y f x y f x f y +-=-0x y ==()()()()220000f f f f =-()00f =0x =()()()()220f y f y f f y -=-()()()2f y f y f y -=-()()f y f y -=-()f x ()(0)f x kx k =>222222222()()()f x f y k x k y k x y -=-=-，满足，故的解析式不唯一，即B 错误；若是周期为的函数，则，所以，又，所以，故C 正确；因为当时，，所以当时，则，设任意的，且，则，所以，因为，且，所以，，，，，所以，即，所以在上单调递增，则在上单调递增，又，且当时，，当时，则，所以是上的增函数，故D 正确；故选：ACD222()()()()()f x y f x y k x y k x y k x y +-=+⋅-=-()()()()22f x y f x y f x f y +-=-()f x ()f x T ()()f x T f x +=()()0f T f =()10f ≠1T ≠0x >()0f x >0x <0x ->()()0f x f x =--<()12,0,x x ∈+∞12x x <()()()()()()()()221212121212f x x f x x f x f x f x f x f x f x +-=-=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()12121212f x x f x x f x f x f x f x +--=+()12,0,x x ∈+∞12x x <120x x -<()120f x x +>()10f x >()20f x >()120f x x -<()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()0,∞+()f x (),0∞-()00f =0x >()0f x >0x <()0f x <()f x R三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在边长为6的等边三角形中，若，则_________.【答案】【详解】由，所以.故答案为：14. 已知，，则_________.【答案】【详解】因为，则，所以，，所以，故答案为：15. 在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为_________.【答案】ABC 2133AD AB AC =+AB BD ⋅= 6-11()33BD AD AB AC AB BC =-=-=1166cos120633AB BD AB BC ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=- 6-π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5sin 313α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ336α-<-<π12cos 313α⎛⎫-== ⎪⎝⎭ππ2ππ2ππ2πcos cos cos cos sin sin 3333333αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121513213⎛⎫=⋅--= ⎪⎝⎭xOy O ()5,0A B O AB (B ()3,4【详解】解：设的中点为，即，所以，又，所以，所以直线为，又圆：，所以，解得或，所以.故答案为：16. 已知函数的零点为、、，且，则的最小值是_________.【答案】【详解】由可得，构造函数，该函数的定义域为，，所以，函数为上的奇函数，则，因为函数有三个零点、、且，故函数有三个零点、、且，且，，故，所以，，令，其中，则，»AB M (M 12OM k ==OM AB ⊥12AB OMk k =-=-AB ()25y x =--O 2225x y +=()222525y x x y ⎧=--⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩50x y =⎧⎨=⎩()3,4B ()3,4()()()()21210x xf x a x a =--+>1x 2x 3x 123x x x <<312e x x x +1e-()0f x =21021x xx a --=+()2121x x xg x a-=-+R ()()()()22121212121221x xx x x x x x x x xg x g x a a a---------=-=+=-+=-+++()g x R ()00g =()f x 1x 2x 3x 123x x x <<()g x 1x 2x 3x 123x x x <<20x =130x x +=30x >33312e e x x x x x +=-()e x x p x =-0x >()1e xx p x -'=当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，.故答案为：.四、解答题本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记的内角A ，B ，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求角的取值范围.【答案】（1）（2）【小问1详解】由正弦定理结合，可得,即，故，所以，故.【小问2详解】由（1）得，故，01x <<()0p x '<()p x 1x >()0p x '>()p x ()()min11e p x p ==-1e -ABC V C a b c 2sin sin cos sin cos b B a B C c A B =+a b1c =B π(0]4，2sin sin cos sin cos b B a B C c A B =+2sin sin sin sin cos sin sin cos B B A B C C A B =+2sin sin sin (sin cos sin cos )sin (sin )B B A B C C B A B C =+=+222sin sin B A =222b a =ab=a =2221cos )2a c b B b ac b +-===+≥当且仅当即时取等号，故.18. 某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.（1）若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；（2）当为何值时，概率最大？并说明理由.【答案】（1）分布列答案见解析， （2）【小问1详解】由题意可知的可能取值有、、、，，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.【小问2详解】解：由题意可得，1b b =1b =π(04B ∈，85%10X 6X =103Y k ()P X k =()95E Y =9k =Y 0123()34310C 10C 30P Y ===()2146310C C 31C 10P Y ===()1246310C C 12C 2P Y ===()36310136C P Y C ===Y Y123P1303101216()1311901233010265E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=()1010317C 2020kkkP X k -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由题意可得，即，解得，因为，故当时，最大.19. 已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，，.（1）求数列，的通项公式；（2）（i ）求证：；（ii ）求所有满足的正整数，.【答案】（1），； （2）（i ）证明见解析；（ii ）或.【小问1详解】设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，所以数列，的通项公式分别为，.()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩1011111010109111010317317C C 20202020317317C C 20202020k k k k k k k k k k k k ------++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩1671872020k ≤≤N k ∈9k =()P X k ={}n a n S {}n b n 6116a b ==23a b =312S ={}n a {}n b 816n S ≤≤k m a S =k m 32n a n =-1116()2n n b -=⋅-4k m ==6,1==k m {}n b q 116b =312S =216161612q q ++=12q =-1116(2n n b -=⋅-{}n a d 616a =23a b =115164a d a d +=⎧⎨+=⎩11,3==a d 13(1)32n a n n =+-=-{}n a {}n b 32n a n =-1116()2n n b -=⋅-【小问2详解】（i ）由（1）知，，当时，，此时数列是递减的，恒有，当时，，此时数列是递增的，恒有，又，，即，所以，.（ii ）由（i ）知，，当时，，若，则，解得，即有，当时，，即，解得，当时，，即，即，无整数解，当时，，即，解得，所以或.20. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，，且，，为棱的中点.116[1()]3212[1(]1321()2n n n S --==----21,N n k k *=-∈321[1(]32n n S =+{}n S 116n S S ≤=2,N n k k *=∈321[1()]32n n S =-{}n S 28n S S ≥=N k *∈22122213213211[1()][1()]32()032322k k k k k S S ---=--+=-⋅<221k k S S -<N n *∀∈816n S ≤≤N ,816m m S *∈≤≤N k *∈32k a k =-k m a S =83216k ≤-≤1063k ≤≤{4,5,6}k ∈4k =410m S a ==321[1()]1032m --=4m =5k =513m S a ==321[1(]1332m --=17()232m -=-6k =616m S a ==321[1()]1632m --=1m =4k m ==6,1==k m P ABCD -PAD △AB ⊥PAD //AB CD AB CD >BC CP =O PA（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2.【小问1详解】在四棱锥中，取PB 的中点E ，连OE ，CE ，如图，因为棱的中点，则，，因平面，有平面，而平面，则，则有，在直角梯形中，，又是边长为2的等边三角形，//OD PBC BC PC ⊥PBC PAD P ABCD -O PA ////OE AB CD 12OE AB =AB ⊥PAD CD ⊥PAD ,,PA AD PD ⊂PAD ,,AB AD AB PA CD PD ⊥⊥⊥222PC CD PD =+ABCD 222()BC AD AB CD =+-PAD △即，又，因此，而，则，于是得四边形为平行四边形，有，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】因，，则，由（1）知，即，解得，有，延长BC ，AD 交于点Q ，连PQ ，由且得：点D 是AQ 中点，即有，因此，即，由平面，平面，得,而，平面，则平面，平面，即得，因此是二面角的平面角，所以平面与平面21. 已知椭圆：2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.2PD AD ==BC CP =22()AB CD CD -=AB CD >12CD AB OE ==CDOE //OD CE CE ⊂PBC OD ⊄PBC //OD PBC BC PC ⊥BC CP =PB =22222222()PA AB PB PC CD PD +===+22442(4)CD CD +=+CD =AB =PB =//AB CD 12CD AB =12PD AQ =90APQ ∠=PA PQ ⊥AB ⊥PAD PQ ⊂PAD AB PQ ⊥AB AP A =I ,AB AP ⊂PAB PQ ⊥PAB PB ⊂PAB PB PQ ⊥APB ∠A PQ B --cos PA APB PB ∠===PBC PAD E ()222210x y a b a b +=>>E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC =P BC OP ON 1k 2k 12k k【答案】（1）（2）证明见解析【小问1详解】由椭圆：2，可知 ，则，故的方程为；【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，，则，所以，又，所以，解得，从而 ，故，即为定值.2214x y +=E ()222210x y a b a b +=>>22c b a ==22231,44b a a -=∴=E 2214x y +=l l (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y 2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2222(41)326440k x k x k +++-=22116(112)0,012k k ∆=->∴<<2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++220002222164164,,(,)414114)4(41k k k k x y x P k k k k k --==∴++++=+MB NB MC NC =31122344x x x x x x -+=+-2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++(1,3)N k -03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=12k k22. 已知函数.（1）求证：函数存在唯一的极大值点；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）1【小问1详解】证明：因为，故，令，易得在上为减函数，且，，故在上有唯一零点.故在上，上单调递增；在上，上单调递减，故函数存在唯一的极大值点.【小问2详解】恒成立即，设，则.，，易得在定义域上为增函数，且，，故在上有唯一零点.故在上，单调递减；在上，单调递增.()()ln 1e xx f x +=()f x ()()R f x kx k ≤∈k ()()ln 1e x x f x +=()()e1ln 11xx x f x -++=()()1ln 11g x x x =-++()g x ()1,-+∞()010g =>()112ln 2221ln 41l 2n 20g --=-==<()g x ()0,10x ()01,x -()0g x >()f x ()0,x +∞()0g x <()f x ()f x 0x ()()R f x kx k ≤∈()e ln 10xx kx +-≤()()n 1el xx h x kx +=-()00h =()()1ln 11e x x x h x k -++'=-()()()221ln e 111xx x x h x +--++''=()()()221ln 111x x x x ϕ=+--++()1,-+∞()51ln 204ϕ=-<()72ln 309ϕ=->()x ϕ()1,20x ()01,x -()0h x ''<()h x '()0,x +∞()0h x ''>()h x '21又，且，若恒成立，则为极大值点，此时，解得，此时在上，单调递增，在上，单调递减，故恒成立.故.()01h k '=-()00h =()0h x ≤0x =()010h k '=-=1k =()1,0-()0h x '>()h x ()0,∞+()0h x '<()h x ()()00h x h ≤=1k =。
数学---江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试试题(创新班)
江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试数学试题（创新班）一、填空题1．已知集合{}1221A m =--，，，集合{}22B m =，，若B A ⊆，则实数m ． 2．函数()πcos 3y x =+的最小正周期为 ．3．已知幂函数()f x 的图象经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，则()=f x ．4．函数()f x =的定义域为 . 5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为 2cm .6．已知向量(()11AP PB ==，uu u r uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r的夹角等于 ． 7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[02]x ∈，时， 2()log (1)f x x =+，则(2010)(2011)f f -+的值为 ．8．函数5()2sin(π)(0)6f x x ωω=>+的图象如图所示，若5AB =，则()f x 在[20162019]，上的单调增区间为 ．9．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ．10．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点， 2DC BD =uuu r uu u r ， 则AD BC ⋅u u u r u u u r＝ ．11．已知x y ∈R ，，且222x y x y +=≠，，则()()2211x y x y ++-的最小值是 ．12．在数列{}n a 中，21010a =，1n n a a n +-≤，221n n a a n +-+≥，则20182018a 的值为 ．13．已知函数()[]sin ππlg πx x f x x x ⎧∈-⎪=⎨>⎪⎩，，，，，，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ．14．若△ABC 的内角A B C ，，满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 二、解答题15．已知集合{}3A x x =<，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ðI ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.16．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. （1）求sin A 的值；（2）设AC △ABC 的面积．17．已知数列{}n a 满足13a =，*112(2)n n a n n -=-∈N ，≥,数列{}n b 满足*1()n n b n =∈N ．（1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．18．设向量a ()33cos sin 22θθ=，，b()cos sin 22θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.（1）求a b a b⋅+的最大值和最小值； （2）若ka b kb +=-，求实数k 的取值范围.19．如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE 方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积.（1）设AD =x （x a ≥），DE =y ，试将y 表示为x 的函数关系式；（2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 的位置应在哪里？ 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-． （1）若212n A n b ==，，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =． ①当12b =时，求数列{}n nb 的前n 项和n C ； ②是否存在两个整数,s t (1)s t <<，使11s ts tA A AB B B ，，成等差数列？若存在，求出s t ，的值，若不存在，请说明理由．【参考答案】1．1 2． 3． 4．π2x-5.2π6.π47．1 8． 9. 4 10. 11. 1 12. 100913.(π,10)15. 解：（1）当m =3时，， 而，于是，所以 （2）若，则，解得 若，由得 解得.综上得实数m 的取值范围是. 16．解：（1）由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝π2－2A , 0<A <π4.故sinB ＝cos2A ，即1－2＝，.（2）由(1)得 又由正弦定理，得所以 17．解：（1）由得又，所以是以为首项，1为公差的等差数列；[2018,2019]83-{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，()33A =-，(][)33A =-∞-+∞R ，，ð()[)37.A B =R ，ðB =∅121m m -=+ 2.m =-B ≠∅B A ⊆23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤，21m -<≤[]21-，2sin A 13sin A =sin sin()cos 2C A A π=+==sin sin BC ACA B=BC =1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=*112(2)n n a n n a -=-≥∈N ，*112()n n a n a +=-∈N 1111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=-=-----152b =-{}n b 52-（2）因为， 所以．时数列单调递减且，时数列单调递减且，所以数列的最大项为，最小项为.18．解：（1）a ·b.||2cos a b θ+=== .于是2cos 22cos 11cos 2cos 2cos 2cos a b a b θθθθθθ⋅-===-+ .因为，所以. 故当即时，a b a b ⋅+取得最小值； 当即时，a b a b⋅+取得最大值. （2）由ka b kb +=-得2|||ka b a kb +=-因为，所以.不等式 解得或， 故实数k 的取值范围是.19．解：（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以，即.在△ADE 中，由余弦定理得.因为，所以 解得 17(1)2n b b n n =+-=-1211n n a =+=+13n ≤≤{}n a 1n a <4n ≥{}n a 1n a >{}n a 43a =31a =-()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，π0θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 1θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 2θ=π3θ=12-cos 1θ=0θ=12π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 212θ-≤≤211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，22k +≤1k =-{}221⎡-+-⎣ 21(2)2xAE a =22a AE x=y =0202AD a AE a ≤≤，≤≤202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤，2a x a ≤≤故y 关于x 的函数关系式为. （2）令，则，且设. 若，则所以在上是减函数. 同理可得在上是增函数.于是当即时，，此时DE //BC ，且 当或即x =a 或2a 时，，此时DE 为AB 或AC 上的中线.故当取且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D 为AB 中点时，DE 最长.20．解：（1）因为，所以 即故，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以（2）①依题意，即，， 又因为，所以，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， ，，错位相减得 所以②由题意，所以，由①得，，)2y a x a =≤≤2t x =224a t a ≤≤y =()4224()4a f t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，22122a t t a <≤≤()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>()f t 222a a ⎡⎤⎣⎦，()f t 2224a a ⎡⎤⎣⎦，22t a =x min y =.AD 2t a =24t a =max y =AD =2n A n =221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩21n a n =-111()12n n n n b b a a ++-=-={}n b 21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+112()n n n n B B b b ++-=-112()n n n b b b ++=-12n n b b +=12b =0n b ≠12n nb b +={}n b 2n n b =12312+22+32++2n n C n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅2341212+22+32++(1)22n n n C n n +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅-⋅+⋅1231112+2+2++22222n n n n n C n n +++-=⋅⋅⋅-⋅=--⋅1(1)22n n C n +=-⋅+10B ≠10b ≠112n n b b -=1(21)n n n a B b ==-11(22)n n A b n +=--所以， 假设存在两个整数，使成等差数列， 即成等差数列， 即即，因为， 所以，即 令，则，所以递增， 若，则，不满足，所以， 代入得， 当时，显然不符合要求；当时，令，则同理可证递增，所以， 所以不符合要求.所以，不存在正整数，使成等差数列. 111(22)2(21)21n n n n n A b n n B b +--==---,s t (1)s t <<11,,s ts tA A AB B B 11,,212121s t s t ---121212121s t s t=+---212121s t s t =+--1121t t+>-2121ss>-221s s <+(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N (1)(s)220s h s h +-=->(s)h 3s ≥(s)h(3)10h ≥=>221s s <+2s =121212121st s t=+---2310t t --=(3)t ≥3t =4t ≥()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ()t ϕ()(4)30t ϕϕ≥=>,s t 11,,s ts tA A AB B B。
2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高一数学上期中考试试题(含答案)
江苏省海安高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}0,1A =-，{}1,0B =，则A B = ▲ ． 2. 计算πcos 41log 8log 3e--的值是 ▲ .3. 集合{}220x x x x +-∈Z ≤，中所有元素的乘积为 ▲ .4． 已知集合{}{}|04,|02,A x x B y y =≤≤=≤≤下列从A 到B 的对应法则f 不是映射的是 ▲ （只填序号） ①1:;2f x y x →=②1:;3f x y x →= ③2:3f x y x →=. 5. 定义函数1232e 2()log (1)2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩，，，≥， 则[](2)f f = ▲ . 6. 已知()1sin cos 0π5ααα+=<<，则tan α= ▲ . 7. 已知函数f (x )＝(α－2) x α是幂函数，则函数f (x )的奇偶性是 ▲ ． 8. 函数()f x 的定义域为 ▲ ．9. 已知偶函数()f x 在[1，4]上是单调增函数，则(π)f - ▲ ()21l o g 8f .（填“>”或“<” 或“=”）10．设集合A ⊆Z ，且A ≠∅，从A 到Z 的两个函数分别为2()1()1f x x g x x =-=+，，若对 于A 中的任意一个元素x ，都有()()4f x g x =+，则集合A 可能为 ▲ ． 11．已知函数()()()0f x |x|x a ,a =->，写出函数()f x 的单调增区间 ▲ ．12．已知过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于,A B 两点，分别过A 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于点C ，且//BC x 轴时，则A 点的坐标为 ▲ ． 13．已知定义在R 上的函数()f x ，有下列说法：（1） 函数()f x 满足()()21f f >，则函数在R 上不是单调减函数；（2）对任意的x ∈R ， 函数()f x 满足()()1f x f x +>，则函数在R 上是单调增函数；（3） 函数()f x 满足()()22f f =-，则函数()f x 是偶函数； （4）函数()f x 满足()()22f f =-，则函数()f x 不是奇函数．其中，正确的说法是 ▲ (填写相应的序号)．14. 函数()2x bf x x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，a b 的值为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分16分）设集合{}{}22320,||0.A x x x B x x a =-+≤=+<(1)当4a =-时，求A B I 和A B(2)若,R C A B B =I （）求实数a 的取值范围.16．（本题满分16分）已知定义在实数集上的函数)(x f y =满足条件：对于任意的R y x ∈,，)()()(y f x f y x f +=+，且对任意实数0,x >都有()0f x <.(1)证明：函数)(x f 是奇函数；(2)证明：函数)(x f 是单调减函数； 你能举出两个满足上述条件的函数吗？17．（本题满分16分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P （单位：万元）和Q （单位：万元），它们与投入资金t （单位：万元）的关系有经验公式1P t =，Q =10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x （单位：万元）．（1）试建立总利润y （单位：万元）关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大，并求出最大总利润．18．（本题满分16分）对于函数()()21log 24f x ax x =-+()a ∈R ．（1）当1a =-时，函数()g x ()g x 的定义域；（2）若()f x 的值域为[)3+-∞，，求实数a 的值构成的集合．19．（本题满分16分）已知函数()f x 的图象为不间断的曲线，定义域为A ，规定： ①如果对于任意1212x x A x x ∈≠，，，都有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭＜，则称函数()f x 是 凹函数． ②如果对于任意1212x x A x x ∈≠，，，都有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭＞，则称函数()f x 是凸函数．（1）若函数()()log 01a f x x a a =≠＞且是凹函数，试写出实数a 的取值范围；（直接写出结果，无需证明）（2）判断函数()2x f x =是凹函数还是凸函数，并加以证明；（3）若对任意的12x x ∈R ，，且()()1212x x f x f x <≠，，试证明存在()012x x x ∈，，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦.20.（本题满分16分）已知函数2()1f x ax bx =+-.（1）若不等式()0f x >的解集是{}|34x x <<，求a ，b 的值；（2）当b =2时，若不等式()0f x <对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）当a =1时，设()()2g x f x b =-，若存在[]12,0,1t t ∈，使得12()()0g t g t <成立，求b 的取值范围.参考答案1.【答案】{}1,1,0-2.【答案】13.【答案】04.【答案】③5.【答案】26.【答案】43-7.【答案】奇函数 8.【答案】(314,⎤⎥⎦9.【答案】>10.【答案】{－2}或{3}或{－2，3} 11.【答案】(),0,,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭12.【答案】813.【答案】(1) 14.【答案】11615.解： (1){}[]23201,2|A x x x =-+≤=当4a =-时，()2402|2},B x x =-<=-｛所以[)(]1,2,2,2AB A B ==-......................................................6分()()2,12,R C A =-∞+∞（）因为()R C A B B =，所以R B C A ⊆若B =∅，则0a ≥;若B ≠∅,则0a <,且{}20|B x x a =+<=(,因为，所以B=(Ë()2,+∞1≤，解得10a -≤<.综上，实数a 的取值范围是[-1，+∞).......................14分16.(1)证明：令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)f =0.令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-，所以()()f x f x -=-所以函数)(x f 是奇函数. ...................................................6分 (2)证明：设12,x x <212111211121()()()()()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=- 由12,x x <则210x x ->，所以21()0f x x -<，可得21()()f x f x <，所以函数)(x f 是单调减函数. .......................................12分 满足上述条件的函数:,2y x y x =-=-（答案不唯一）...................................14分17．（1）14y x =+，定义域为[]010，． ……4分 （2）令t =因为定义域为[]010，，所以0t ⎡∈⎣，所以214135442y x t t =+=-++ ……8分当302t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数2135442y t t =-++为单调递增函数；当32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2135442y t t =-++为单调递减函数．……10分所以当32t =时，即314x =时，总利润最大为4916万元．即甲商品投入31万元，乙商品投入9万元时，总利润最大为4916万元．……14分18． （1）当1a =-时，函数()g x ==所以()221240log 240x x x x ⎧--+⎪⎨--+⎪⎩＞≥，即1131x x x ⎧-<-+⎪⎨-⎪⎩≤或≥ 故函数()gx的定义域为(131⎤⎡---⎦⎣U ，．……8分 （2）令()224z x ax x =-+ 因为()f x 的值域为[)3+-∞，，所以()z x 需取遍且只可取(]08，内每个值． ……10分 当0a ≥时，不适合，舍去；当0a ＜时，函数()y z x =对称轴为1x a =，所以21240a a a ⋅-+=，解得14a =-，适合．综上所述，14a =-． ……16分19．（1）由函数图象可知：01a ＜＜； ……2分 （2）因为12x x ≠，故122222x x ≠，()()121212121212122122212222212220x xx x x xx x x xx x f x f x f ++⎛⎫+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭+=-⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞所以()()1212122x x f f x f x +⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭＞，则函数()f x 是凸函数．……8分 （3）设()()()()121F x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦， 因为()()()()()()()()()()12121212212222f x f x f x f x F x F x f x f x f x f x ++⎡⎤⎡⎤⋅=-⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，又因为()()12f x f x ≠，所以()()120F x F x ⋅＜，所以()F x 在区间()12x x ，上有零点， 即存在()012x x x ∈，，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦．……16分20.【解】（1）因为，所以……5分（2）当b =2时，不等式.若a =0，则不等式2x －1<0不恒成立. ………7分则由题意可得 解得即a 的取值范围是……………10分（3）（方法1）.因为存在，使得成立，所以函数g (x )在区间[0,1]内的值有正有负.所以必须有，解得或①…………12分若，即，亦即，则，于是必须满足，所以.②若，即，则，必有，不满足条件.若，即，则，不满足条件. …………15分由①②解得b的取值范围是. ……………16分（方法2）因为存在，使得成立，所以关于x的方程g(x)=0有两个不等实根，且至少有一根在(0，1)内.由，解得或①…………12分当时，，由得. ③由①③得b的取值范围是. ……………16分。
江苏省海安中学高一数学期中调研试卷
江苏省海中学高一期中调研试卷数学试题2005.11.（本试卷满分150 分，考试时间为 120 分钟）一．选择题 （每题5 分，满分 60 分。
把答案填在答题纸上相应的表格中）1．以下四个关系式中，正确的选项是（ ）A.{ a} B. a { a}C. { a} { a,b}D. a{ a,b}2.会集 A={ x | x = y, y ∈ R} ， B={y|y=x 2( ), x ∈ R} 则 A ∩ B=A. {0 , 1}B. {(0 , 1)}C. {y|y ≥ 0}D.3．以下各组函数中，表示同一函数的是()A y 1, yx By lg x 2 , y 2lg xxC y x, y3x 3D y x, y 2x4．以下几个图形中 ,可以表示函数关系y=f(x) 的那一个图是 ( ) yyyy●Ox O x ●Ox OxABCD5、若2， b=log 2，c=2，则 a 、 b 、 c 的大小关系是（ ）A 、 a<c<bB 、 a<b<cC 、 b<a<cD 、b<c<a6．已知函数 f (x) x2x1x [0, 3] 的最值情况为 :（）2A 有最大值3，但无最小值B 有最小值 3，有最大值 14194C 有最小值 D无最大值，也无最小值1，有最大值47．函数 y= log 1 ( 2x 1) 的定义域为（ ）2A ．（ 1， +∞） B ．［ 1， +∞ )C ．（1， 1 ] D ．（－∞， 1）228．函数 y=1 x 21 9 是（ ）xA ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶数9.以下列图的是某池塘中的浮萍延长的面积 ( m 2 )与时间 t (月 )的关系 : ya t ,有以下表达 : ①2;y/m 2 这个指数函数的底数是 8② 第 5 个月时 ,浮萍的面积就会高出 30m2;③ 浮萍从 4m 2 延长到 12m 2 需要经过 1.5 个月 ; 4 ④ 浮萍每个月增加的面积都相等;2⑤ 若浮萍延长到 2m 2 、 3m 2 、 6m 2 所经过的时间1t/月0 1 2 3分别为t 1 、 t 2 、 t 3 ，则 t 1 t 2t 3 .其中正确的选项是( )A.①②B.①②③④yC.②③④⑤D . ①②⑤10.如图 , 给出幂函数 y=x n在第一象限内的图象, n 取± 2 , ± 1四个值 , 则相应于曲2线 C 1 , C 2 , C 3 , C 4 的 n 依次为 y( )C 41 1, 2、 B. 2 ,1 1A. － 2 , －,2 , －, － 2222C 3 C. －11、 D. 2 ,1, － 2 , －1, － 2 , 2 ,C 22222C 1O11． 方程log 3x3x 根的情况是（） xA. 有两个正根B. 一个正根一个负根C. 有两个负根D . 仅有一个实数根12. 已知偶函数 f(x) 在 ( －∞ ,0) 上单调递加，关于任意 x 1<0,x 2>0,若∣ x ∣ <∣ x ∣ , 则有（）12A. f( －x)> f( － x )B.f(－ x ) ﹤ f( － x )1212C. － f( － x 1)> f( － x 2)D. － f( － x 1) ﹤ f( －x 2)二．填空题 （每题 4 分，满分 16 分。
2019-2020学年江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题
江苏省海安高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 600化为弧度数为（ ）A ．10π3B ．11π3C ．5π3D ．13π62． 已知集合{}π,4k A x x k ∈Z ＝＝，集合{}ππB x x ＝-＜＜，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．93． 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为π，则这个圆心角所对的弧长为（ ）A ．2πB ．πsin 2C ．πsin1D ．π2sin14． 函数()f x 的定义域为（ ） A ． (1,22⎤-⎥⎦ B ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()(]1,00,22-D ．)(]1,00,22⎡-⎢⎣5． 计算：()225log lg 21lg 25-+＝（ ） A ．2lg2 B ．1 C ．2lg 21- D ．lg56． 若()y f x ＝是R 上周期为5的奇函数，且()29f ＝，则()()20202018f f -＝（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97． 函数()()()220192020lg 2018f x x x x --⋅-＝的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38． 将函数2x y ＝的图像向右平移t 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为23x y ＝，则t 的值为（ ）A ．12B ．2log 3C ．3log 2D 9． 已知a ＝x ，x b x ＝，()x x c x ＝，()0,1x ∈，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b10．已知函数()f x 满足22log f x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．2x -B ．2x -C ．2log xD ．2log x -11．已知函数()22x f x x++＝，x ∈R ，则不等式()()2223f x x f x --＜的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()1,3 C ．()0,2 D ．(31,2⎤⎥⎦12．已知直线x ＝2，x ＝4与函数lg y x ＝的图像交于A ，B 两点，与函数ln y x ＝的图像交于C ，D 两点，则直线AB 与CD 的交点的横坐标（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上．13．已知实数a ，b ，c ，d 满足23a ＝，35b =，57c ＝，716d ＝，则abcd ＝ ▲ ． 14．已知函数()4k f x x x +-＝（k ∈R ），若)10f ＝，则f ＝ ▲ ． 15．若函数()()2log 4m f x x x+-＝的值域为R ，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 16．已知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝的解为11x x y y ⎧⎨⎩＝＝或22x x y y ⎧⎨⎩＝＝，则()1212lg x x y y ＝▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 设集合{}2320A x x x -+＝＝，集合()(){}222150B x x a x a +++-＝＝（a ∈R ）．（1）若{}1A B ＝，求实数a 的值； （2）若AB A ＝，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()12n f x m x x ++＝（m ，n 为常数）． （1）若()12f ＝且()1124f ＝，求m ，n 的值；当[)1,x ∈+∞时，判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若m ＝n ＝1，讨论方程()f x k ＝解的个数．19．（本小题满分12分）“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益()g x 与投入x （单位：万元）满足()6g x ＝，乙城市收益()h x 与投入x （单位：万元）满足()124h x x +＝，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元）（1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？20．（本小题满分12分）设()f x 是R 上的奇函数，且当x ＞0时，()()2ln 4f x x ax -+＝，a ∈R ．（1）若()1ln 3f ＝，求()f x 的解析式；（2）若a ＝0，不等式()()3910x x f m f m ⋅+++＞恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）设函数()22x x f x k --⋅＝在定义域具有奇偶性．（1）求k 的值；（2）已知()()442x x g x mf x -+-＝在[)1,+∞上的最小值为－2，求m 的值．22．（本小题满分12分）定义域为R 的奇函数()f x 同时满足下列三个条件：① 对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +＝-；② ()11f ＝；③ 对任意m ，[]0,1n ∈且m ≤n ，都有()()()()12m n f a f m a f n +-⋅+⋅＝成立，其中 0＜a ＜1．（1）求a 的值；（2）求()()()201920202021234f f f ++的值．参考答案1-5 ACCCB6-10 DCBAD11-12 AB13. 414. -815.m≤416. 617.18.19.。
江苏省海安高级中学2020～2021学年度高一第一学期期中考试数学试卷(含答案)
江苏省海安高级中学2020-2021学年度第一学期期中考试高一数学一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“2,10x R x x ∀∈++≥”的否定是（） A ．2,10x R x x ∀∈++< B ．2,10x R x x ∀∈++≤ C ．2000,10x R x x ∃∈++≤D ．2000,10x R x x ∃∈++<2．已知{}0,12M =，，{}1,2,34N =，，则M N ⋂是（） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2,3,4 C ．{}3,4 D ．{}0 3．若0,0,a b c d >><<则一定有（） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 4．函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．5．设00a ,b ,>>且1a b ,+=则12a b+的最小值为（） A ．322+B ．5C ．6D ．326．已知2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数1(2)12()2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩在()∞+∞－，上对任意的12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )A ．5(1,]3B ．5[,2)3C ．(1,2)D ．(0,)+∞8．已知函数()2423xf x x =-()12f x ->-，则实数x 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．[]22-,C ．()(),02,-∞+∞D ．(0,2)二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏海安高级中学高一数学上学期期中试卷
江苏省海安高级中学高一数学上学期期中试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 600化为弧度数为（ ）A ．10π3B ．11π3C ．5π3D ．13π62． 已知集合{}π,4k A x x k ∈Z ＝＝，集合{}ππB x x ＝-＜＜，则AB 中元素的个数为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．93． 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为π，则这个圆心角所对的弧长为（ ）A ．2πB ．πsin 2C ．πsin1D ．π2sin14． 函数()f x ）A ． (1,22⎤-⎥⎦B ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()(]1,00,22- D ．)(]1,00,22⎡-⎢⎣5． 计算：()225log lg 21lg 25-+＝（ ）A ．2lg 2B ．1C ．2lg 21-D ．lg 56． 若()y f x ＝是R 上周期为5的奇函数，且()29f ＝，则()()20202018f f -＝（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97． 函数()()()220192020lg 2018f x x x x --⋅-＝的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38． 将函数2x y ＝的图像向右平移t 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为23xy ＝，则t的值为（ ）A ．12B ．2log 3C ．3log 2D 9． 已知a ＝x ，x b x ＝，()xxc x ＝，()0,1x ∈，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b10．已知函数()f x 满足22log f x x⎛⎫⎪+⎝⎭＝()f x 的解析式为（ ）A ．2x -B ．2x -C ．2log xD ．2log x -11．已知函数()22x f x x++＝，x ∈R ，则不等式()()2223f x x f x --＜的解集为（ ）A ．()1,2B ．()1,3C ．()0,2D ．(31,2⎤⎥⎦12．已知直线x ＝2，x ＝4与函数lg y x ＝的图像交于A ，B 两点，与函数ln y x ＝的图像交于C ，D 两点，则直线AB 与CD 的交点的横坐标（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上． 13．已知实数a ，b ，c ，d 满足23a ＝，35b =，57c ＝，716d ＝，则abcd ＝ ▲ ． 14．已知函数()4k f x x x+-＝（k ∈R ），若)10f＝，则f ＝ ▲ ．15．若函数()()2log 4m f x x x+-＝的值域为R ，则实数m 的取值范围为 ▲ ．16．已知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，方程组58log log 4log 5log 81xy x y +⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝的解为11x x y y ⎧⎨⎩＝＝或22x x y y ⎧⎨⎩＝＝，则()1212lg x x y y ＝▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设集合{}2320A x x x -+＝＝，集合()(){}222150B x x a x a +++-＝＝（a ∈R ）． （1）若{}1A B ＝，求实数a 的值； （2）若A B A ＝，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()12n f x m x x ++＝（m ，n 为常数）．（1）若()12f ＝且()1124f ＝，求m ，n 的值；当[)1,x ∈+∞时，判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若m ＝n ＝1，讨论方程()f x k ＝解的个数．19．（本小题满分12分）“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益()g x 与投入x （单位：万元）满足()6g x ＝，乙城市收益()h x 与投入x （单位：万元）满足()124h x x +＝，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元） （1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？20．（本小题满分12分）设()f x 是R 上的奇函数，且当x ＞0时，()()2ln 4f x x ax -+＝，a ∈R ． （1）若()1ln3f ＝，求()f x 的解析式；（2）若a ＝0，不等式()()3910x x f m f m ⋅+++＞恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）设函数()22x x f x k --⋅＝在定义域具有奇偶性． （1）求k 的值；（2）已知()()442x x g x mf x -+-＝在[)1,+∞上的最小值为－2，求m 的值．22．（本小题满分12分）定义域为R 的奇函数()f x 同时满足下列三个条件： ① 对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +＝-； ② ()11f ＝；③ 对任意m ，[]0,1n ∈且m ≤n ，都有()()()()12m n f a f m a f n +-⋅+⋅＝成立，其中0＜a ＜1． （1）求a 的值；（2）求()()()201920202021234f f f ++的值．参考答案1-5 ACCCB6-10 DCBAD11-12 AB13. 414. -815.m≤416. 617.18.19.江苏省海安高级中学高一英语上学期期中试题（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效。
2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，则∁U M═______．2.若函数f（x）=（m-3）x m为幂函数，则实数m的值为______．3.已知f（x）=，，＜，则f（-2）=______．4.设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4，则f（x）=______．5.设函数g（x）=e x+ae-x（x∈R）是奇函数，则实数a=______．6.=______．7.已知三个数a=2m，b=m2，c=log2m，其中0＜m＜1，则a，b，c的大小关系是______．（用“＜”或者“＞”表示）8.已知函数f（x）=|x+n|+|x-n|（n为常数），则f（x）的奇偶性为______．（填“奇函数”、“偶函数”或“既不是奇函数也不是偶函数”）9.已知函数f（x）=x3，若f（x2-4）＜f（2x-1），则实数x的取值范围是______．10.已知log189=a，18b=5，则log3645=______（用a，b表示）．11.己知函数f（x）=lg（x2+5x+6），则函数f（x）的单调递增区间是______．12.已知方程ln x=3-x的解在区间（n，n+1）内，且n∈Z，则n的值是______．13.已知函数f（x）=（x∈（-1，1）），有下列结论：（1）∀x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；（2）∀m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；（3）∀x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三个零点则其中正确结论的序号为______．14.定义在R上的函数满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（）=（x），且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（）=______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知集合A={4，a2+4a+2}，B={-2，7，2-a}．（1）若A∩B={7}，求A∪B；（2）若集合A⊆B，求A∩B．16.已知f（x）=x2+3ax-4a2．（1）若a=3，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）＜0对任意x∈（-1，2）都成立，求实数a的范围．17.已知函数f（x）=（a x-1）（a x+2a-1），a＞0，a≠1，且f（1）=5．（1）求实数a的值；（2）若x∈（1，3]，求f（x）的值域．18.已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=，＜，＞（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19.已知函数f（x）=log a，其中0＜a＜1，b＞0，若f（x）是奇函数．（1）求b的值并确定f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若存在m，n∈（-2，2），使不等式f（m）+f（n）≥c成立，求实数c的取值范围．20.已知集合A是满足下列条件的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）+f（x0）=f（1）成立．（1）判断幂函数f（x）=x-1是否属于集合A？并说明理由；（2）设g（x）=lg，x∈（-∞，2），①当b=1时，若g（x）∈A，求a的取值范围；②若对任意的a∈（0，2），都有g（x）∈A，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】{3，4}【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，∴∁U M={3，4}，故答案为：{3，4}根据集合的基本运算进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】4【解析】解：函数f（x）=（m-3）x m为幂函数，∴m-3=1，m=4，∴实数m的值为4．故答案为：4．根据幂函数的定义，写出实数m的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3.【答案】【解析】解：根据题意，f（x）=，则f（-2）=3-2=；故答案为：．根据题意，由函数的解析式计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是掌握分段函数解析式的形式，属于基础题．4.【答案】4x【解析】解：f（x-1）=4x-4=4（x-1）；∴f（x）=4x．故答案为：4x．变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1），从而得出f（x）=4x．考查函数解析式的定义及求法，换元法求函数解析式的方法．5.【答案】-1【解析】解：g（x）在R上为奇函数；∴g（0）=0；即1+a•1=0；∴a=-1．故答案为：-1．根据条件知g（x）在原点有定义，从而有g（0）=0，这样即可求出a的值．考查奇函数的概念，以及奇函数g（x）在原点有定义时，g（0）=0．6.【答案】【解析】解：原式====应用对数运算法则计算可得．本题考查了对数的运算性质．7.【答案】c＜b＜a【解析】解：∵0＜m＜1，∴a=2m＞1，b=m2∈（0，1），c=log2m＜0，其中则a，b，c的大小关系是c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】偶函数【解析】解：f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=|x+n|+|x-n|=f（x）；∴f（x）为偶函数．故答案为：偶函数．求f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=f（x），从而判断出f（x）的奇偶性．考查函数奇偶性的定义，以及奇偶函数的判断．9.【答案】（-1，3）【解析】解：f（x）=x3在R上单调递增；∴由f（x2-4）＜f（2x-1）得，x2-4＜2x-1；解得-1＜x＜3；∴实数x的取值范围是（-1，3）．故答案为：（-1，3）．可看出f（x）=x3在R上单调递增，从而可由f（x2-4）＜f（2x-1）得出x2-4＜2x-1，解该不等式即可求出x的取值范围．考查f（x）=x3的单调性，增函数的定义，以及一元二次不等式的解法．10.【答案】【解析】解：∵log189=a，b=log185，∴a+b=log189+log185=log18（9×5）=log1845，log1836=log18（2×18）=1+log182==2-log189=2-a；∴log3645==．故答案为．利用对数的换底公式即可求出．熟练掌握对数的换底公式是解题的关键．要善于观察恰当找出底数．11.【答案】（-2，+∞）【解析】解：由x2+5x+6＞0可得x＜-3或x＞-2∵u=x2+5x+6在（-2，+∞）单调递增，而y=lgu是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f（x）=lg（x2+5x+6）的单调递增区间是（-2，+∞）故答案为：（-2，+∞）．确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，即可得出结论．本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】2【解析】解：在同一坐标系中做出y=lnx和y=3-x的图象，如图，观察可知图象的交点在（2，3）内，所以n=2，故答案为：2．方程lnx=3-x的解的问题可转化为函数y=lnx和y=3-x的图象的交点问题，故可利用数形结合求解．本题考查方程的根的问题，方程根的问题可转化为两个函数图象的交点问题处理，考查转化思想和数形结合思想．13.【答案】（1）（3）（4）【解析】解：（1）∵f（x）=，x∈（-1，1），∴f（-x）==-=-f（x），x∈（-1，1），即函数f（x）为奇函数，∴f（-x）+f（x）=0恒成立．∴（1）正确（2）∵f（x）=，x∈（-1，1）为奇函数，∴|f（x）|为偶函数，当x=0时，|f（0）|=0，∴当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，当m＞0时，方程有两个不等实根，∴（2）错误．（3）当x∈[0，1）时，f（x）==≥0，为增函数．当x∈（-1，0]时，f（x）==≤0，为增函数．综上函数f（x）在（-1，1）上为单调函数，且单调递增，∴∀x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）成立，即（3）正确．（4）由g（x）=f（x）-kx=0得f（x）=kx，∴f（0）=0，即x=0是函数的一个零点，又∵函数f（x）为奇函数，且在（-1，1）上单调递减，∴可以存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3个零点，如图：∴（4）正确．故（1），（3），（4）正确．故答案为：（1），（3），（4）（1）根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可．（2）判断函数|f（x）|的奇偶性和最值即可判断．（3）根据分式函数的性质判断函数的单调性．（4）根据函数图象以及函数奇偶性的性质进行判断．本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合性强，难度较大，本题的质量较高．14.【答案】【解析】解：根据题意，函数满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=0可得：f（0）+f（1）=1，即可得f（1）=1，又由f（）=（x），令x=1可得：则f（）=f（1）=，再令x=可得：f（）=f（）=；在f（x）+f（1-x）=1中，令x=可得：2f（）=1，即f（）=，又由f（）=（x），令x=可得：则f（）=f（）=，则有f（）=f（）=，又由＜＜，则f（）=；故答案为：根据题意，在f（x）+f（1-x）=1中，令x=1可得f（1）的值，在f（）=（x）中，依次令x=1、，计算可得f（）的值，同理在f（x）+f（1-x）=1中，令x=可得f（）的值，进而在f（）=（x）中，令x=，可得f（）的值，又由＜＜，分析可得答案．本题考查抽象函数的函数值的计算，关键是分析f（x）+f（1-x）=1，f（）=（x），属于难题．15.【答案】解：（1）∵A∩B={7}；∴7∈A；∴a2+4a+2=7；解得a=-5，或1；①若a=-5，则2-a=7，不符合题意；②若a=1，则A={4，7}，B={-2，7，1}；∴A∪B={-2，1，4，7}；（2）∵A⊆B；∴2-a=4；∴a=-2；∴A={4，-2}，B={-2，7，4}；∴A∩B={-2，4}．【解析】（1）由A∩B={7}可得出7∈A，从而得出a2+4a+2=7，解出a，并验证是否满足集合B，然后求出A，B，再求并集即可；（2）根据A⊆B即可得到2-a=4，从而求出a，再求出集合A，B，进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，元素与集合的关系，子集的定义，以及交集和并集的运算．16.【答案】解：（1）由已知a=3得不等式为：x2+9x-36＞0，解得：x＜-12或x＞3，所以解集为：（-∞，-12）∪（3，+∞）；（2）由不等式f（x）＜0对任意x∈（-1，2）都成立，可得：，即：，解得：或或，所以a的取值范围为a≤-1或a≥2．【解析】（1）代入a的值，求出不等式的解集即可；（2）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了二次函数的性质以及不等式的解法，是一道常规题．17.【答案】解：（1）由已知可得：（a-1）（3a-1）=1，解得a=2，或a=-，因为a＞0，a≠1，所以a=2，（2）由（1）得f（x）=（2x-1）（2x+3），令t=2x，因为x∈（-1，2），所以t∈（，4），所以y=（t-1）（t+3），t∈（，4），得：＜＜，所以值域为：（-，21）．【解析】（1）利用f（1）=5，转化求解a的值．（2）利用换元法，通过二次函数的性质，求解函数的值域即可．本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质的应用，考查计算能力．18.【答案】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）-（16x+40）=-6x2+384x-40；当x＞40时，W=xR（x）-（16x+40）=∴W=，＜，＞；（2）当0＜x≤40时，W=-6x2+384x-40=-6（x-32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤-2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．【解析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）函数f（x）=log a，为奇函数，∴f（0）=log a=0，∴b=3，∴f（x）=log a，由＞0，解得-3＜x＜3，即函数的定义域为（-3，3）；（2）令g（x）==-=-1+设x1，x2∈（-3，3），且x1＜x2，∴g（x1）-g（x2）=-1++1-=，∵-3＜x1＜x2＜3，∴x2-x1＞0，x1+3＞0，x2+3＞0∴g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（-3，3）上单调递减，∵0＜a＜1，∴f（x）在（-3，3）上单调递增，（3）由（2）可得f（x）在[-2，2]上单调递增，∴c≤[f（m）+f（n）]min即可，∴c≤2f（-2）=2log a5．【解析】（1）根据奇函数的性质即可求出b的值，再求出函数的定义域，（2）根据函数单调性的定义和复合函数的单调性即可判断，（3）根据函数的单调性可得c≤[f（m）+f（n）]min即可本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，考查了函数恒成立的问题，属于中档题．20.【答案】解：（1）f（x）∈A，理由如下：令f（x+1）+f（x）=f（1），则+=1，即x2-x-1=0，解得：x1=，x2=均满足定义域{x|x≠0}，当f（x）=x-1时，f（x）∈A；（2）①当b=1时，g（x）=lg（2x+a），∵g（x）∈A，∴ ，x＜0由题知：g（x+1）+g（x）=g（1）在（-∞，0）上有解∴lg（2x+1+a）+lg（2x+a）=lg（2+a），∴（2•2x+a）（2x+a）=2+a（a＞-2），令t=2x，则t∈（0，1），∴2t2+3at+a2-a-2=0，即（2t+a-2）（t+a+1）=0，∴t1=1-，t2=-a-1，从而，原问题等价于0＜1-＜1或0＜-a-1＜1，∴0＜a＜2或-2＜a＜-1，又2x+a＞0在（-∞，0）上恒成立，∴a≥0，∴0≤a＜2，另解：原问题等价于2t2+3at+a2-a-2=0在t∈（0，1）上有解，令f（t）=2t2+3at+a2-a-2（a≥0），对称轴t=-，由根的分布知：f（0）f（1）＜0或＜＜＜＞＞，解得：-2＜a＜-1或0＜a＜2，又a≥0，∴0≤a＜2，当f（0）=0或f（1）=0时，经检验仅a=0满足条件，∴a∈[0，2），②由①知：对任意a∈（0，2），g（x+1）+g（x）=g（1）在x∈（-∞，0）上有解，∴lg+lg=lg，即（2•2x+a）（2x+a）=（a+2）b，（b＞0），令t=2x，则t∈（0，1），则2t2+3at+a2-（a+2）b=0在t∈（0，1）上有解，令f（t）=2t2+3at+a2-（a+2）b，对称轴t=-＜0，则即，由a∈（0，2）可得：＞＜，令u=a+2∈（2，4），则＞＜，∴ ，∴b=1．【解析】（1）令f（x+1）+f（x）=f（1），得到关于x的方程，解出判断即可；（2）①代入b的值，得到（2•2x+a）（2x+a）=2+a（a＞-2），令t=2x，则t∈（0，1），从而，原问题等价于0＜1-＜1或0＜-a-1＜1，求出a的范围即可；②得到2t2+3at+a2-（a+2）b=0在t∈（0，1）上有解，令f（t）=2t2+3at+a2-（a+2）b，求出对称轴，根据二次函数的性质求出b的范围即可．本题考查了幂函数的性质，考查二次函数的性质以及集合问题，考查转化思想，是一道综合题．。
江苏省南通市海安高级中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案
江苏省南通市海安高级中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．已知集合，则＝▲ ．【答案】2．若函数为幂函数，则实数的值为▲ ．【答案】3．已知，则＝▲ ．【答案】4．设函数满足，则▲ ．【答案】5．设函数（R）是奇函数，则实数= ▲ ．【答案】6．＝▲ ．【答案】7．已知三个数，其中，则的大小关系是▲ ．（用“<”或者“>”表示）【答案】8．已知函数，则的奇偶性为▲ ．（填“奇函数”、“偶函数”或“既不是奇函数也不是偶数”）【答案】偶函数9．已知函数，若，则实数的取值范围是▲ ．【答案】10．已知，则＝▲ ．（结果用字母表示）【答案】11．己知函数，则函数的单调递增区间是▲ ．【答案】12．已知方程的解在区间内，且Z，则的值是▲ ．【答案】13. 已知函数，有下列结论：①任意的，等式恒成立；②任意的，方程有两个不等实数根；③任意的，若，则一定有；④存在无数个实数，使得函数在上有三个零点.则其中正确结论的序号为▲ ．【答案】①③④14. 定义在R上的函数满足，且当时，，则▲ ．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知集合, ．（1）若，求；（2）若集合，求．解：（1）由可得：，所以，解得：，若，则，不符题意；若，则，所以.（2）由可得：，解得，则，所以.16.（本题满分14分）已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式对任意都成立，求实数的范围．解：（1）由已知得不等式为：，解得：，所以解集为：（2）由不等式对任意都成立可得：，即：，解得：，所以的取值范围为．17．（本题满分14分）已知函数，且．（1）求实数的值；（2）若，求的值域．解：（1）由已知可得：，解得，或，因为，所以.（2）由（1）得令，因为，所以，所以，得：，所以值域为．18．（本题满分16分）已知某手机生产厂商生产某款手机的固定成本为40万美元，每生产1只还需要投入16美元.设该厂一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万美元，且（1）写出该厂年利润（万美元）关于年产量（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，该厂在该款手机的生产所获得的利润最大？并求出最大利润.19．（本题满分16分）已知函数，其中，，若是奇函数．（1）求的值并确定的定义域；（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．解：.（2）令，用定义法可证在上单减，因为，所以在上单增.（3）由（2）可得在上单增，所以即可，所以.20．（本题满分16分）已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.（1）判断幂函数是否属于集合？并说明理由；（2）设，.①当时，若，求的取值范围；②若对任意的，都有，求的取值范围.解：（Ⅰ），理由如下：令，则，即，解得：，均满足定义域.当时，.（Ⅱ）当时，，，, ，由题知：在上有解，，，令，则，，即，，，从而，原问题等价于或，或，又在上恒成立，，.另解：原问题等价于在上有解，令，，由根的分布知：或，解得：或，又，，当或时，经检验仅满足条件，.ii)由i)知：对任意，在上有解，，即，令，则，则在上有解，令，，则，即，由可得：，令，则，，.。
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江苏省海安高级中学高一数学上学期期中试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 600化为弧度数为（ ）
A ．10π3
B ．11π3
C ．5π3
D ．13π6
2． 已知集合{}π,4
k A x x k ∈Z ＝＝，集合{}ππB x x ＝-＜＜，则A B 中元素的个数为（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
3． 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为π，则这个圆心角所对的弧长为（ ）
A ．2π
B ．πsin 2
C ．πsin1
D ．π2sin1
4． 函数()f x 的定义域为（ ） A ． (1,22⎤-⎥⎦ B ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．()(]1,00,22- D ．)(]1,00,22⎡-⎢⎣
5． 计算：()225log lg 21lg 25-+＝（ ） A ．2lg2 B ．1 C ．2lg 21- D ．lg5
6． 若()y f x ＝是R 上周期为5的奇函数，且()29f ＝，则()()20202018f f -＝（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7． 函数()()()220192020lg 2018f x x x x --⋅-＝的零点的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 将函数2x y ＝的图像向右平移t 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为23
x y ＝，则t 的值为（ ）
A ．12
B ．2log 3
C ．3log 2
D 9． 已知a ＝x ，x b x ＝，()x x c x ＝，()0,1x ∈，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．a ＜c ＜b
10．已知函数()f x 满足22
log f x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
＝，则函数()f x 的解析式为（ ）
A ．2x -
B ．2x -
C ．2log x
D ．2log x -
11．已知函数()22x f x x
++＝，x ∈R ，则不等式()()2223f x x f x --＜的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()1,3 C ．()0,2 D ．(
31,2⎤⎥⎦
12．已知直线x ＝2，x ＝4与函数lg y x ＝的图像交于A ，B 两点，与函数ln y x ＝的图像交于C ，D 两点，则直线AB 与CD 的交点的横坐标（ ）
A ．大于0
B ．等于0
C ．小于0
D ．不确定
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上．
13．已知实数a ，b ，c ，d 满足23a ＝，35b =，57c ＝，716d ＝
，则abcd ＝ ▲ ． 14．已知函数()4k f x x x +-＝（k ∈R ）
，若)
10f ＝
，则f ＝ ▲ ． 15．若函数()()
2log 4m f x x x
+-＝的值域为R ，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 16．已知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝的解为11x x y y ⎧⎨⎩＝＝或22x x y y ⎧⎨⎩＝＝，则()1212lg x x y y ＝
▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分） 设集合{}2320A x x x -+＝＝，集合()(){}222150B x x a x a +++-＝＝（a ∈R ）．
（1）若{}1A B ＝，求实数a 的值； （2）若A
B A ＝，求实数a 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数()12
n f x m x x ++＝（m ，n 为常数）． （1）若()12f ＝且()1124
f ＝，求m ，n 的值；当[)1,x ∈+∞时，判断并证明函数()f x 的单调性；
（2）若m ＝n ＝1，讨论方程()f x k ＝解的个数．
19．（本小题满分12分）
“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场
调研可知：甲城市收益()g x 与投入x （单位：万元）满足()6g x ＝，乙城市收益()h x 与投入x （单位：万元）满足()124
h x x +＝，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元）
（1）求()f x 及定义域；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
20．（本小题满分12分）
设()f x 是R 上的奇函数，且当x ＞0时，()()2ln 4f x x ax -+＝，a ∈R ．
（1）若()1ln 3f ＝，求()f x 的解析式；
（2）若a ＝0，不等式()()
3910x x f m f m ⋅+++＞恒成立，求实数m 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设函数()22x x f x k --⋅＝在定义域具有奇偶性．
（1）求k 的值；
（2）已知()()442x x g x mf x -+-＝在[)1,+∞上的最小值为－2，求m 的值．
22．（本小题满分12分）
定义域为R 的奇函数()f x 同时满足下列三个条件：
① 对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +＝-；
② ()11f ＝；
③ 对任意m ，[]0,1n ∈且m ≤n ，都有()()()()12
m n f a f m a f n +-⋅+⋅＝成立，其中 0＜a ＜1．
（1）求a 的值；
（2）求()()()
201920202021234
f f f ++的值．
参考答案1-5 ACCCB
6-10 DCBAD
11-12 AB
13. 4
14. -8
15.m≤4
16. 6
17.
18.
19.。