湖北省宜昌市2015届高三5月模拟考试数学(文)试题及答案

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湖北省宜昌市高考数学一模试卷文(含解析)

湖北省宜昌市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于( )A．[﹣1，1] B．[1，2）C．[﹣2，﹣1] D．[1，2）2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则a3＞b3”的否命题为“若a≤b，则a3≤b3”；③“∀x∈R， x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中正确的命题序号是( )A．①②B．②④C．②③D．①④3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣4．下列命题正确的是( )A．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直C．异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直D．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( ) A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．26．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥OC，AC与BO交于点E，某指数函数y=a x （a＞0，且a≠1）的图象经过点E，B，则a=( )A．B．C．2 D．37．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．2﹣1 D．8．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是( )A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．9．已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k=__________．10．已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是__________．11．如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为__________m2．12．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：①函数y=（x﹣2）2+lnx的图象具有“可平行性”；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y=f（x）的图象都具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是__________．（写出所有真命题的序号）13．若抛物线y2=2px（p＞0）上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p=__________．14．如图，两高速公路线垂直相交于站A，若已知AB=100千米，甲汽车从A站出发，沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙汽车从B站出发，一年BA方向以v千米/小时的速度行驶，至A站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）．（1）甲、乙两车的最近距离为__________（用含v的式子表示）；（2）若甲、乙两车从开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为t0小时，则当v为__________时t0最大．15．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f （x）=2x2﹣4x+2，若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是__________．三、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x（x∈R）（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时S n取得最大值．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（9﹣a n）•2n+1，求数列{b n}的前n项和为T n．19．已知函数f（x）=ax2+（b﹣）x+c（a≠0）过坐标原点，且在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=lnx﹣f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相应的x值；（3）对于任意正数x，恒有f（x）+f（）﹣2≥（x+）•lnm，求实数m的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．湖北省宜昌市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于( ) A．[﹣1，1] B．[1，2）C．[﹣2，﹣1] D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即N=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵M=[﹣2，2），∴M∩N=[﹣2，﹣1]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则a3＞b3”的否命题为“若a≤b，则a3≤b3”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中正确的命题序号是( )A．①②B．②④C．②③D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据复合命题与简单命题之间的关系进行判断．②根据否命题的定义进行判断．③根据含有量词的命题的否定进行判断．④根据正弦定理及充要条件的定义进行判断．解答：解：①若“p且q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题，∴①错误．②根据命题的否命题可知，命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b ﹣1”，∴②正确．③全称命题的否定是特称命题，得③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”．∴③错误．④在△ABC中，sinA＞sinB⇔sinA•2R＞sinB•2R⇔a＞b⇔A＞B，∴④正确；故②④正确；故选：B．点评：本题主要考查四种命题之间的关系，复合命题与简单命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充要条件的定义，比较基础．3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4．下列命题正确的是( )A．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直C．异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直D．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：找出反例判断A的正误；通过直线与平面内的直线的关系判断B的正误；反证法判断C的正误；通过反例判断D的正误；解答：解：对于A，若直线a与平面α不平行，则直线a也可能在平面α内，则此时a 与平面α内的无数条直线平行，故A错误；对于B，若直线a与平面α不垂直，如果直线a也在平面α内，则a与平面α内的有无数条直线都垂直，故B错误；对于C，假设过a的平面α与b垂直，由线面垂直的定义，则a⊥b，这与异面直线a、b不垂直相矛盾，故C正确对于D，直线a和b共面，直线b和c共面，a和c可能平行、相交也可能异面，故a和c 不一定共面，故D错误即4个结论中有3个是错误的．只有C正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面，直线与直线的位置关系，命题的真假的判断，要证明一个结论是正确的，要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，只要举出反例即可5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( ) A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选A．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．6．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥OC，AC与BO交于点E，某指数函数y=a x （a＞0，且a≠1）的图象经过点E，B，则a=( )A．B．C．2 D．3考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先设点E（t，a t），则点B坐标为（2t，2a t），又因为2a t=a2t，所以a t=2；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入a t=2，求出a的值即可．解答：解：设点E（t，a t），则点B坐标为（2t，2a t），又因为2a t=a2t，所以a t=2；因为平行四边形OABC的面积S=OC×AC=a t×2t=4t，又平行四边形OABC的面积为8所以4t=8，t=2，所以a2=2，即a=点评：本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．7．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2﹣1 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答：解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．8．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是( )A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．解答：解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．9．已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，由数量积的坐标表示，解方程即可得到k．解答：解：平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则=0，即1+2（k2﹣1）=0，解得，k=．故答案为：．点评：本题考查平面向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．10．已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是．考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．解答：解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=4，∴x2+y2+z2≥=，即x2+y2+z2的最小值是，故答案为：．点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，进行解决．11．如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为96m2．考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），则将（12，﹣6）代入可得p=12，y=﹣，该抛物线拱的面积为2（12×6﹣），即可得出结论．解答：解：由题意，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），则将（12，﹣6）代入可得p=12，∴y=﹣，∴该抛物线拱的面积为2（12×6﹣）=2（72﹣24）=96m2，故答案为：96．点评：解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积，然后借助于定积分得到结论．12．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：①函数y=（x﹣2）2+lnx的图象具有“可平行性”；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y=f（x）的图象都具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义；简易逻辑．分析：根据导数的几何意义，将定义转化为：“方程y′=a（a是导数值）至少有两个根”，利用：y′=﹣4+时，x的取值唯一判断①不符合；对于②，举例说明不正确；对于③，求出导数列出方程化简后判断；对于④，由两分段函数的导数的值域相等求得满足条件的m 值判断．解答：解：由“可平行性”的定义，可得曲线y=f（x）具有“可平行性”，则方程y′=a （a是导数值）至少有两个根．①函数y=（x﹣2）2+lnx，则（x＞0），方程，即2x2﹣（4+a）x+1=0，当a=﹣4+时有两个相等正根，不符合题意；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，如y=x，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）在各点处没有切线，∴②错误；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，则f′（x）=3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m=0在（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；④函数y=e x﹣1（x＜0），y′=e x∈（0，1），函数y=x+，=，由，得，∴x＞1，则m=1．故要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．∴正确的命题是②④．故答案为：④．点评：本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想．13．若抛物线y2=2px（p＞0）上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p=2或18．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程得到焦点F（，0），设A（x，），由A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，利用抛物线定义和两点间距离公式建立方程组，能求出p的值．解答：解：∵点A是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，∴焦点F（，0），可设A（x，），∵A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，∴，整理，得p4﹣328p2+1296=0，解得p2=4，或p2=324，∴p=2，或p=8．故答案为：2或8．点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．14．如图，两高速公路线垂直相交于站A，若已知AB=100千米，甲汽车从A站出发，沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙汽车从B站出发，一年BA方向以v千米/小时的速度行驶，至A站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）．（1）甲、乙两车的最近距离为（用含v的式子表示）；（2）若甲、乙两车从开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为t0小时，则当v为50千米/小时时t0最大．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设乙车行驶t小时到D，甲车行驶t小时到E，分类讨论，利用二次函数确定最值；（2）利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（1）设乙车行驶t小时到D，甲车行驶t小时到E若0≤vt≤100，则DE2=AE2+AD2=（100﹣vt）2+（50t）2=（2500+v2）t2﹣200vt+10000∴t=时，DE2取到最小值，DE也取到最小值，最小值为；若vt＞100，乙车停止，甲车继续前行，DE越来越大，无最大值综上，甲，乙两车的最近距离为千米；（2）t0==≤=1，当且仅当v=，即v=50千米/小时，t0最大，故答案为：；50千米/小时；点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题．15．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f （x）=2x2﹣4x+2，若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是a．考点：函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x）得出函数的周期，由y=f（x）﹣log a（x+1）=0得到f（x）=log a （x+1），利用函数的周期性和偶函数的性质，分别作出函数y=f（x）和y=log a（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围．解答：解：由y=f（x）﹣log a（x+1）=0得到f（x）=log a（x+1），因为偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x），所以偶函数的周期是2，由题意得，当x∈[0，1]时，f（x）=2x2﹣4x+2，分别作出函数y=f（x）和g（x）=log a（x+1）的图象，已知0＜a＜1不满足条件，则a＞1，要使函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，由图可得，log a（2+1）＜f（2）=f（0）=2，即log a3＜，则a2＞3，解得a，故答案为：a．点评：本题主要考查函数零点应用，利用数形结合，将方程转化为两个函数图象的相交问题是解决此类问题的基本方法．综合性较强．三、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x（x∈R）（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用，化简可得f（x）=2sin（2x+），利用正弦函数的单调性，由不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z可求得f（x）的单调增区间；（2）由f（A）=2sin（2A+）=1⇒sin（2A+）=，A∈（0，π），即可求得A的值，再结合正弦定理可求得B的值，从而可得角C．解答：解：f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）f（A）=1⇒2sin（2A+）=1⇒sin（2A+）=．∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，A=，由正弦定理得sinB===．又b＜a，∴B∈（0，），∴B=．故C=﹣=．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与特殊角的三角函数值，考查正弦定理的应用，属于中档题．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，AC交于O点，由已知得PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥面PAC，由此能证明BD⊥PC．（2）由V E﹣ABC=V B﹣AEC，利用等积法能求出三棱锥E﹣ABC的体积．解答：（1）证明：连接BD，AC交于O点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，而AC∩PO=O，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC．（2）解：由（1）知BD⊥面PAC，==3，∴V E﹣ABC=V B﹣AEC===．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时S n取得最大值．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（9﹣a n）•2n+1，求数列{b n}的前n项和为T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由当且仅当n=4时S n取得最大值，可得a4＞0，a5＜0．再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵当且仅当n=4时S n取得最大值，∴a4＞0，a5＜0．∴，解得．又a2为整数，∴7+d为整数，∴d为整数，∴d=﹣2．故a n=7﹣2（n﹣1）=9﹣2n．（2）b n=（9﹣a n）•2n+1=n•2n．∴数列{b n}的前n项和为T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，2T n=22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=ax2+（b﹣）x+c（a≠0）过坐标原点，且在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=lnx﹣f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相应的x值；（3）对于任意正数x，恒有f（x）+f（）﹣2≥（x+）•lnm，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）由函数f（x）=ax2+（b﹣）x+c（a≠0）过坐标原点可得f（0）=c=0，从而求导f′（x）=2ax+（b﹣），从而得到f′（1）=2a+（b﹣）=1且f（1）=a+b﹣=0；从而解得；（2）化简g（x）=lnx﹣f（x）f′（x）=lnx﹣2x3+3x2﹣x；求导g′（x）=；从而求最值；（3）x＞0时，不等式x2+﹣（x+）﹣2≥（x+）•lnm恒成立，令x+=t，（t≥2），则lnm≤t﹣﹣1；从而求得．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax2+（b﹣）x+c（a≠0）过坐标原点，∴f（0）=c=0，∴f′（x）=2ax+（b﹣），由函数f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0知，f′（1）=2a+（b﹣）=1且f（1）=a+b﹣=0；解得a=1，b=﹣；∴f（x）=x2﹣x．（2）g（x）=lnx﹣f（x）f′（x）=lnx﹣2x3+3x2﹣x；∵g′（x）=；∴当x∈（0，1）时，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递减．∴当x=1时，g（x）有最大值，且g max（x）=0；（3）x＞0时，不等式x2+﹣（x+）﹣2≥（x+）•lnm恒成立，令x+=t，（t≥2），则lnm≤t﹣﹣1；∴lnm≤（t﹣﹣1）min=﹣1；∴0＜m≤．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了换元法的应用，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，设C1的方程为，由已知条件知2a=2，c=1，由此能求出曲线的方程．（Ⅱ）（ⅰ）当k=0，M为C2长轴端点，N为C1短轴的端点，|MN|=设直线OM：y=kx，代入x2+=1，得（2+3k）x2=2，由此能求出|MN|的最小值．（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．设Rt△MON斜边上的高为h，当k=0时，h=，当k≠0时，|OM|•|ON|=，由此能推导出存在以原点为圆心，半径为且与直线MN相切的圆，并能求出圆的方程．解答：满分．（Ⅰ）解：由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，设C1的方程为，a＞b＞0，所以2a=2，c=1，则b=1，故的方程．…（Ⅱ）（ⅰ）证明：当k=0，M为C2长轴端点，则N为C1短轴的端点，|MN|=．…当k≠0时，设直线OM：y=kx，代入x2+=1，整理得（2+3k）x2=2，即x2=，y2=，所以|OM|2=x2+y2=．…又由已知OM⊥ON，设ON：y=﹣，同理解得|ON|2=，…所以|MN|2=|OM|2+|ON|2=+=（2+2k2）•，…又|MN|2﹣2==，所以|MN|的最小值为．…（ⅱ）解：存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．设Rt△MON斜边上的高为h，由（Ⅱ）（ⅰ）得当k=0时，h=，…当k≠0时，|OM|•|ON|=，又|MN|=，…由|MN|•h=|OM|•|ON|，得h==，故存在以原点为圆心，半径为且与直线MN相切的圆，圆方程为．…点评：本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．。

湖北省宜昌市2015届高三5月模拟考试语文试题(扫描版)

五月模拟题参考答案1．A (B量（làng）体裁衣；C刹．（chà）那间；D载．（zài）体)2．C（A“气宇轩昂”应为“器宇轩昂”，B“挡剑牌”应为“挡箭牌”，D“水乳交溶”应为“水乳交融”）3. D（“深不可测”形容很深，比喻对事物的情况捉摸不透或难以揣测；“高深莫测”形容人的学问高深或讥讽人故弄玄虚的神态。

“因为”通常表示原因或理由；“但是”通常用在后半句话开头表示转折。

“得意洋洋”形容十分得意的样子；“得意忘形”一是指得其思想精髓而不必计较表现形式，二是指因心意得到满足而高兴得失去常态。

根据语境，选用“得意忘形”更好，用第二个含义。

“丰盈”多形容人的体态丰满，或比喻人的思想等抽象的东西饱满，或资产财物丰富；“丰硕”多形容抽象事物的成果又多又大。

根据“你获得的”语境，用“丰硕”恰当。

）4. A（B项缺主语和不合逻辑。

根据语境，应将“《华盛顿邮报》记者在采访一位美国海军预警机操作员时称”改为“在《华盛顿邮报》记者采访时，一位美国海军预警机操作员称”。

C项“赋予”与“磨砺”搭配不当，应改为“它还赋予了中国人那百折不回的精神，磨砺了中国人的意志”。

D项成分残缺，在“用典雅的…视听盛宴”前添加“千名演奏者”作主语。

）5. B（这首判词暗示的是迎春的悲惨命运。

）6．C（题干要求筛选的是“不属于把美感和快感混为一谈”的一项，C项所述是作者所列举的一个例子，用以说明有些艺术形象虽无“快感”，却有不可忽视的“美感”的道理，显然是将“美感和快感”严格区分开来了，而其他三项则都是“属于把美感和快感混为一谈”。

）7．A（A项，见原文第２段。

B项说“是为了说明不管是‘低等感官’还是‘高等感官’都能获得美的感受”有误，见原文第３段，此处引用是为了说明“口腹有同嗜而艺术趣味却往往随人而异”。

C项歪曲原意，原文第４段说女神雕像美感价值更高，原因是其与实际人生距离没那么近，并且第３段已经否定了以普遍还是不普遍来判断美感的方式。

2015年湖北高考数学模拟试卷文科

2015年湖北高考数学模拟试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．卡上．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．。

．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（2015•青岛一模）设全集I=R，集合A={y|y=log 2x，x＞2}，B={x|y=}，则（） A．A⊆B B． A∪B=A C．A∩B=∅ D．A∩（∁IB）≠∅2．（2015•德州一模）设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3﹣i，则的值为（） A． 1 B．2C．D．43．（2015•青岛一模）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4 4．（2015•兰山区校级二模）以下判断正确的是（）A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3＞x2”的否定是“∃x∈N，x3＜x2”C．“a=1”是函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π的必要不充分条件D．“b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件5．（2015•湖北模拟）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（） A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3 6．（2014•邯郸二模）某程序框图如图所示，若输出的S=120，则判断框内为（）A． k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？7．（2015•湖北二模）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（）A．B．16πC．8πD．8．（2015•泰安一模）已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m，n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2D．39．（2015•潍坊一模）对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n=，设f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）10．（2015•荆门模拟）对于一个有限数列p=（p1，p2，…，p n），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中S k=p1+p2+…+p k（1≤k≤n，k∈N）．若一个99项的数列（p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为（） A． 991 B．992 C．993 D．999二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11．（2015•湖北模拟）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1 则|+2|= ．12．（2015•菏泽二模）设x，y满足约束条件，则 x2+y2的最大值为．13．（2015•潍坊一模）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两条渐近线于M，N两点，且与双曲线在第二象限的交点为P，设O为坐标原点，若（m，n∈R），且mn=，则双曲线的离心率为．14．（2014•咸阳三模）若不存在实数x使|x﹣3|+|x+1|≤a成立，则实数a的取值范围是．15．（2014秋•麻城市校级月考）在区间[0，1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为．16．（2014•宜昌三模）观察下列等式：①sin2θ=cosθ•2sinθ②sin4θ=cosθ（4sinθ﹣8sin3θ）③sin6θ=cosθ（6sinθ﹣32sin3θ+32sin5θ）④sin8θ=cosθ（8sinθ﹣80sin3θ+192sin5θ﹣128sin7θ）⑤sin10θ=cosθ（10sinθ﹣160sin3θ+msin5θ﹣1024sin7θ+nsin9θ）则可以推测（1）n= ；（2）m= ．14．（2015•德州一模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f （x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f （x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．三．解答题（本大题共5小题，每小题13分，共65分）18．（2015•湖北模拟）定义在区间[﹣，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x∈[﹣，]时函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞O，ω＞0，O＜ϕ＜π）图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设θ∈[，]，若，f（θ）=，求sin（2θ+）的值．19．（2015•湖北模拟）数列{a n}中，已知a1=1，n≥2时，a n=．数列{b n}满足：b n=3n ﹣1（a+1）．n（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．20．（2015•湖北模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．21．（2015•德州一模）已知函数f（x）=x2﹣mlnx，h（x）=x2﹣ax+1（a＞0）（1）设A是函数f（x）=x2﹣mlnx上的定点，且f（x）在A点的切线与y轴垂直，求m的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，求证：m≥﹣．22．（2015•烟台一模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知点M（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2；①若直线l过椭圆的左顶点，求k1，k2的值；②试猜测k1，k2的关系，并给出你的证明．2015年湖北省高考数学(文科)模拟试卷参考答案二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11．（2． 12．29 ． 13．．14．（﹣∞，4）．15．． 16．（1）n= 512 ；（2）m= 672 ．17．2014 ．三．解答题（本大题共5小题，每小题13分，共65分）18．解：（1）当 x∈[﹣，]时，由图象知：A=2，∴T=2π，故ω=1又f（x）=Asin（ωx+φ）过，∴∴∵函数y=f （x）的图象关于直线对称，∴当时，，∴∴f（x）=（2）解：∵，∴由得：因此，，∴19．（1）证明：由得：∴即b n=b n﹣1+2⇒b n﹣b n﹣1=2（n≥2）又∴数列{b n}是首项为2，公差为2的等差数列．（2）解：由（1）知，b n=2+（n﹣1）×2=2n，∴记，则两式相减得：=∴因此，20．解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD．（2）∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴A1O=，∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．21．解：（1）由题意得：A（1，1），又f′（x）=2x﹣，∴f′（x）=2﹣m，∵f（x）在A点的切线与y轴垂直，∴f′（1）=0，∴2﹣m=0，∴m=2；（2）∵f′（x）=2x﹣=，（x＞0），∴若m≤0则f（x）在（0，+∞）单调递增，若m＞0，由f′（x）＞0，可得x＞或x＜﹣（舍），由f′（x）＜0可得0＜x＜，∴m＞0时，f（x）的递增区间是（，+∞），递减区间是（0，），综上可得：m≤0时，f（x）增区间为（0，+∞），无减区间，m＞0时，f（x）的递增区间是（，+∞），递减区间是（0，）；（3）易知f（x），h（x）的公共定域为（0，+∞），∵在（0，+∞）上，h（x）的递增区间是（，+∞），递减区间是（0，），∴若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定域上具有相同的单调性，再由（2）可得m=0且=，解得：m=，则g（a）=a3+a2﹣6a+，（a＞0），∴g′（a）=a2+a﹣6，（a＞0），由g′（a）＞0，解得：a＜﹣3，（舍），或a＞2，由g′（a）＜0，解得：0＜a＜2，∴g（a）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；∴g（a）min=f（2）=+2﹣12+=0，∴g（a）≥g（2）=0，即m≥﹣a3+6a﹣．22．解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点（c，0），由右焦点到直线y=x的距离为，∴，解得又由椭圆的离心率为，∴=，解得a2=8，b2=2，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是，联立方程组，解得，故．②设在y轴上的截距为b，∴直线l的方程为y=x+b．由得x2+2bx+2b2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2═﹣2b，x1x2=2b2﹣4．又，，故k1+k2=+=．又，，故k1+k2=0．。

【湖北版】2015届高三上学期月考(2)数学文试卷Word版含答案

2015届上学期高三一轮复习第二次月考数学文试题【湖北版】说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知全集{}2250,M x x x x Z =+<∈,集合{}0,N a =, 若MN ≠Φ，则a 等于（）A.1-B.2C.1-或2D. 1-或2- 2. 已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a ＝( )A.1-B.1C.D.3．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为（） A. 23n a n =- B. 23n a n =+C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩D. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩4．有关命题的说法中正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+=”；B ．命题“若2230x x --=，则3x =”的p ⌝形式是“若2230x x --≠，则3x ≠”；C ．若p q ⌝∨⌝为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题；D ．对于命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，均有210x x ++≥。

5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（）6．若对正数x ，不等式21x x≤+都成立，则a 的最小值为（） A.1D.127．已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边长分别为是a 、b 、c ，设向量(),sin a b C =+m ，),sin sin c B A =+-n ，若m n ，则角B 的大小为（）A.56π B. 6π C. 23π D.3π8．已知各项均为正数的的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39a =，313S =，则{}n a 的公比q 等于（）A ．43-B ．3 C.3或43- D.139．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<10．点P 是函数22ln y x x =-的图象上任意一点，则点P 到直线31y x =-的最小距离是．A B C D 正视图侧视图A B C D非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则=λ ． 12．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= ． 13．一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为． 14．在数列{}n a 中,21n n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为。

2015年湖北省宜昌一中高考数学三模试卷(文科)

2015年湖北省宜昌一中高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A.（-1，1）B.（-1，-1）C.（1，-1）D.（1，1）【答案】A【解析】解：由=，则复数对应的点的坐标是：（-1，1）．故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q 的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键．3.已知a=2log32，，，则a，b，c的大小关系是（）A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞c＞b【答案】D【解析】解：a=2log32=log34＞1，=，=＜1，则a＞c＞b，故选：D．分别判断a，b，c的取值范围即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对对数函数的性质是解决本题的关键．4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序则输出的K和S值分别为（）A.9，B.11，C.13，D.15，【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，K=1不满足条件K＞10，s=，K=3不满足条件K＞10，s=，K=5不满足条件K＞10，s=，K=7不满足条件K＞10，s=，K=9不满足条件K＞10，s=，K=11满足条件K＞10，退出循环，输出K的值为11，s的值为．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，K的值，当K=11时，满足条件K＞10，退出循环，输出K的值为11，s的值为．本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，K的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5.甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（）A.，s1＜s2B.，s1＞s2C.＞，s1＞s2 D.，s1=s2【答案】B【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学测试成绩的平均数是=（76+76+82+88+88）=82，乙同学测试成绩的平均数是=（76+78+83+86+87）=82；甲同学测试成绩的方差是：=[（76-82）2+（76-82）2+（82-82）2+（88-82）2+（88-82）2]=，标准差是s1=，乙同学测试成绩的方差是=[（-6）2+（-4）2+12+（4）2+52]=，标准差是s2=．∴=，s1＞s2．故选：B．根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题．6.已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b（x-a）的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】解：函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移a的单位得到的，由图象可知1＜a＜2，由图象可知函数的最小正周期＜T＜π，∴＜＜π，解得2＜b＜4，∴y=log b x的图象过定点（1，0）且为增函数，∵y=log b（x-a）函数的图象是由y=log b x图象向右平移a的单位得到，∴y=log b（x-a）函数的图象过定点（a+1，0），其中2＜a+1＜3，故选：C先根据正弦函数的图象得到a，b的取值范围，再根据对数函数的图象和性质得到答案．本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题．7.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x-y=0，它的一个焦点在抛物线y2=-4x的准线上，则双曲线的方程为（）A.4x2-12y2=1B.4x2-y2=1C.12x2-4y2=1D.x2-4y2=1【答案】D【解析】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x-y=0，∴a：b=：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=-4x的准线x=1上，∴c=1．c2=a2+b2，解得：b2=，a2=∴此双曲线的方程为：x2-4y2=1．故选：D．利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b．得到椭圆方程．本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质，熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．8.已知函数f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）A.（-，0）B.（-，）C.（0，）D.（，）【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=sinωx-cosωx=2sin（ωx-），又∵函数f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=，故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0，∴ω=2，故f（x）=2sin（2x-），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位可得y=g（x）=2sin[2（x+）-]=2sin2x的图象，令+2kπ≤2x≤+2kπ，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函数y=g（x）的减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，当k=0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间，又∵（，）⊆[，]，故选：D．由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键，属于中档题．9.在平面直角坐标系x O y中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心C在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为（）A.[0，]B.（0，）C.（1，3）D.[1，3]【答案】A【解析】解：因为圆C的圆心在直线y=2x-4上，所以设圆心C为（a，2a-4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1．又|MA|=2|MO|，设M为（x，y），则可得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2-1|≤≤|2+1|．由5a2-12a+8≥0，得a∈R．由5a2-12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．故选：A．设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D 有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．10.已知函数f（x）=|mx|-|x-1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A.0＜m≤1B.≤m＜C.1＜m＜D.≤m＜2【答案】B【解析】解：f（x）＜0可化为|mx|＜|x-1|，作函数y=|mx|与函数y=|x-1|的图象如下，结合图象可知，关于x的不等式f（x）＜0的解集中的3个整数解为0，-1，-2；故只需使＜，解得，≤m＜；故选：B．f（x）＜0可化为|mx|＜|x-1|，作函数y=|mx|与函数y=|x-1|的图象，由数形结合求解即可．本题考查了不等式的解与函数的图象的关系应用，属于基础题．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)11.已知集合M={-1，1}，＜＜，，则M∩N= ______ ．【答案】{-1}【解析】解：集合N中的不等式可化为：2-1＜2x+1＜22，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则-1＜x+1＜2即-2＜x＜1，由x∈Z得到x 的值可以是-1和0所以N={-1，0}，则M∩N═{-1，1}∩{-1，0}={-1}故答案为：{-1}把集合N中的不等式变形后，利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出解集中的整数解即可得到集合N的元素，然后利用求交集的法则求出M与N的交集即可．本题属于以函数的单调性为平台，求集合的交集的基础题，是高考常会考的题型．12.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16．若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是______ ．【答案】39【解析】解：∵样本间隔k=16，若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，∴抽取的号码数为7+16x，当x=2时，7+16×2=39，即在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该39，故答案为：39根据系统抽样的定义进行求解．本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．13.若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为______ ．【答案】-【解析】解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．利用向量的数量积运算即可得出．熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=1×1=1，高h=1，故棱锥的体积V==，故答案为：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．15.在平面区域内任取一点P（x，y），若（x，y）满足x+y≤b的概率大于，则b的取值范围是______ ．【答案】（1，+∞）【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则矩形的面积S=2×2=4，当满足x+y≤b的概率大于，则满足x+y≤b对应的区域为△OED，则E（b，0），D（0，b），（b＞0），则△OED的面积S=×，即，即b2=1，解得b=1，若满足x+y≤b的概率大于，则对应区域的面积S＞S△OED，此时直线x+y=b在直线x+y=1的上方，即b＞1，故b的取值范围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）先求出满足x+y≤b的概率等于对应的直线方程即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出概率等于对应的直线方程是解决本题的关键．16.如图，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S=π（R2-r2）=（R-r）×2π×．所以，圆环的面积等于是以线段AB=R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M={（x，y）|（x-d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是______ ．（结果用d，r表示）【答案】2π2r2d【解析】解：由已知中圆环的面积等于是以线段AB=R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x-d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．故V=πr2•2πd=2π2r2d，故答案为：2π2r2d．根据已知中圆环的面积等于是以线段AB=R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x-d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．代入可得答案．本题考查的知识点是圆柱的体积，类比推理，其中得到拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x-d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积．是解答的关键．17.若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x o（a＜x o＜b），满足f（x o）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．（1）若函数，f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是______ ．（2）若f（x）=㏑x是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点，则㏑x o与的大小关系是______ ．【答案】（0，2）；【解析】解：∵函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根．即x2-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．即x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．又1∉（-1，1）∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）（2）解：由题知lnx0=．猜想：，证明如下：，令t=＞1，原式等价于lnt2＜，2lnt-t+＜0，令h（t）=2lnt-t+（t＞1），则h′（t）=-1-=-＜0，∴h（t）=2lnt-t+＜h（1）=0，得证（1）函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lnt-t，利用导数证明，求解出最值，得出2lnt-t+＜h（1）=0，即可得到结论．本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．三、解答题(本大题共5小题，共65.0分)18.如图，已知点A（3，4），C（2，0），点O为坐标原点，点B在第二象限，且|OB|=3，记∠AOC=θ．高．（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）若AB=7，求△BOC的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵A点的坐标为（3，4），∴，∴，，∴（Ⅱ）设B（x，y），由OB=3，AB=7得解得或，又点B在第二象限，故．∴△BOC的面积【解析】（Ⅰ）先由三角函数定义求sinθ、cosθ，再根据正弦的倍角公式求出sin2θ；（Ⅱ）设点B坐标，然后列方程组解之，最后由三角形面积公式求得答案．本题考查三角函数定义、正弦的二倍角公式及方程思想．19.在等差数列{a n}中，a2+a7=-23，a3+a8=-29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差是d．依题意a3+a8-（a2+a7）=2d=-6，从而d=-3．所以a2+a7=2a1+7d=-23，解得a1=-1．所以数列{a n}的通项公式为a n=-3n+2．（Ⅱ）解：由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以．所以=．从而当c=1时，；当c≠1时，．【解析】（Ⅰ）依题意a3+a8-（a2+a7）=2d=-6，从而d=-3．由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以．所以=．由此能求出{b n}的前n项和S n．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=AD，PA⊥底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N （M与D不重合）．（1）求证：MN∥BC；（2）如果BM⊥AC，求此时的值．【答案】（Ⅰ）∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，证明：∴BC∥平面PAD，∵平面PAD∩平面BCMN=MN，∴BC∥MN，即MN∥BC；…（4分）（2）过M作MK∥PA交AD于K，则K为AD中点，连结BK．因为PA⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．所以MK⊥AC．又因为BM⊥AC，BM∩MK=M，所以AC⊥平面BMK，所以AC⊥BK．由K为AD中点，BC∥AD，BC=AD，可得DC∥BK，可得AC⊥CD，所以在平面ABCD中可得BCDK是平行四边形．所以BC=DK=AK，因为K是AD中点，所以M为PD中点．所以．…（13分）【解析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明MN∥BC；（2）根据线面垂直的判定定理证明BCDK是平行四边形，即可证明M是PD的中点即可得到结论．本题主要考查线面垂直和线面平行的判定和性质，综合考查空间直线和平面的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理，考查学生的运算和推理能力，属于基本知识的考查．21.已知离心率为的椭圆＞＞的右焦点F是圆（x-1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．【答案】解：（I）∵圆（x-1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆＞＞的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴，，．直线PM的方程：，化简得（y0-m）x-x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0-m）2+x02=（y0-m）2+2x0m（y0-m）+x02m2，化简得（x0-2）m2+2y0m-x0=0，同理有（x0-2）n2+2y0n-x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则′，，时，f'（x）＜0；，时，f'（x）＜0，∴f（x）在，上单调递减，在，内也是单调递减，∴，，，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点，．【解析】（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．22.设函数f（x）=e x（lnx-a），e是自然对数的底数，e≈2.718…，a∈R且为常数．（1）若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为2e，求a的值；（2）若y=f（x）在区间[ln2，ln3]上为单调函数，求a的取值范围．【答案】解：（1）′…（1分）依题意，k=f'（1）=e1（ln1-a+1）=2e，解得a=-1…（2分）（2）′，[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间．当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，由e x＞0，作，，由得x=1…（7分）列表如下：h（x）在[ln2，ln3]上的最小值为m=1，所以，当且仅当a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增…（11分）下面比较h（ln2）与h（ln3）的大小（方法一）由23＜32＜e3，＜＜，＜＜又h（x）在[ln2，1）上单调递减得＞ …（12分）＞ …（13分）＜＜＜，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为∞，，∞…（14分）（方法二）由＜＜，＜＜＜，以及的单调性知，＞…（12分）由知，单调递减…（13分）由ln3＞1得＜，＞，＞，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为∞，，∞…（14分）（“单调递增…（11分）”以下，若直接写，，再给1分）【解析】（1）对函数进行求导，由f'（1）=2e求得a（2）由[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零．注意对对数h（ln2）和h（ln3）的大小比较有两种方法：方法一：利用作差法比较h（ln2）和h（ln3）的大小，方法二：构造新函数，利用新函数的单调性比较大小本题主要考查导数的几何意义和导数在单调性中得应用和用其求参数范围的方法，属于难题．。

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，文1，5分】i 为虚数单位，607i =（）（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，故选A ．（2）【2015年湖北，文2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）（A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．（3）【2015年湖北，文3，5分】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（）（A ）0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- （B ）0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-（C ）(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- （D ）(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选C ．（4）【2015年湖北，文4，5分】已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是（）（A ）x 与y 负相关，x 与z 负相关（B ）x 与y 正相关，x 与z 正相关（C ）x 与y 正相关，x 与z 负相关（D ）x 与y 负相关，x 与z 正相关【答案】A 【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设()0z ky b k =+>，则将0.11y x =-+代入即可得到：()()0.110.1z k x b kx k b =-++=-++，所以x 与z 负相关，综上可知，故选A ．（5）【2015年湖北，文5，5分】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（）（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件（C ）p 是q 的充分必要条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故选A ．（6）【2015年湖北，文6，5分】函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（）（A ）(2,3) （B ）(2,4] （C ）(2,3)(3,4] （D ）(1,3)(3,6]- 【答案】C【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：40x -≥，25603x x x -+>-，解之得22x -≤≤，2x >，3x ≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故选C ．（7）【2015年湖北，文7，5分】设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（）（A ）|||sgn |x x x = （B ）||sgn ||x x x = （C ）||||sgn x x x = （D ）||sgn x x x = 【答案】D(2,3)(3,4]【解析】对于选项A ，右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项B ，右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项C ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪<⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项D ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然正确，故选D ．（8）【2015年湖北，文8，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（）（A ）1212p p << （B ）1212p p << （C ）2112p p << （D ）2112p p <<【答案】B【解析】由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤”的概率 02S p S =，其中()110211111ln 2222S dx x=⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以()()0211ln 21121ln 21122S p S +===+>⨯，故选B ．（9）【2015年湖北，文9，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（10）【2015年湖北，文10，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即、图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2015年湖北，文11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．（12）【2015年湖北，文12，5分】若变量满足约束条件则的最大值是．【答案】10【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点()3,1B 取得最大值，即max 33110z =⨯+=，故应填10．（13）【2015年湖北，文13，5分】函数的零点个数为．【答案】2【解析】函数()22sin sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点个数等价于方程22sin sin 02x x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的根的个数，即函数()2sin sin 2sin cos sin 22g x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭与()2h x x =的图像交点个数．于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数()g x 与()h x 的图像有2个交点．（14）【2015年湖北，文14，5分】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=，解之的3a =．于是消费金额在区间[]0.5,0.9内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯-⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=．（15）【2015年湖北，文15，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006 【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ．（16）【2015年湖北，文16，5分】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________．【答案】（Ⅰ）()()22122x y -+-=；（Ⅱ）12-- 【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半,x y 4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩3x y +2π()2sin sin()2f x x x x =+-[0.3,0.9]a =[0.5,0.9]C 00(,)x y C x (1,0)T C 101x =径．又因为，所以，即，所以圆的标准方程为．（Ⅱ）令得：．设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：．即圆在点处的切线方程为，于是令0y=可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为（17）【2015年湖北，文17，5分】a为实数，函数在区间上的最大值记为．当_________时，的值最小．【答案】2【解析】解法一：因为函数()2f x x ax=-，所以分以下几种情况进行讨论：①当0a≤时，函数()22f x x ax x ax=-=-在区间[]0,1上单调递增，所以()()max1f xg a a==-；②当02a<≤时，此时222224a a a af a⎛⎫⎛⎫=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11f a=-，而()()22212044aaa---=-<，所以()()max1f xg a a==-；③当2a>时，()()2max4af xg a==．综上可知，()21224a ag a aa⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，所以()g a在(2⎤-∞⎦上单调递减，在(2,⎤+∞⎦上单调递增，所以()()max2g a g=，所以当2a=-时，()g a的值最小．解法二：①0a≤，()()11g a f a==-；②01a<≤，()()()()221241102a af ag af a a⎧⎛⎫=<≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=-<<⎪⎩；③12a<<，()224a ag a f⎛⎫==⎪⎝⎭；④2a≥，()()11g a f a==-；综上所述，当2a=时，()g a取到最小值3-三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2015年湖北，文18，12分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A xωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期．．．．．．．．．．．（Ⅱ）将()y f x=图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x=的图象．求()y g x=的图象离原点O最近的对称中心．解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,Aωϕ===-．数据补全如下表：r y=2AB=22211y+=y r=C22(1)(2x y-+-=x=1)B C B1)kxy-=Cd=1k=C B x1)y=+x1=C B x1-2()||f x x ax=-[0,1]()g a a=()g axπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z ．即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-．（19）【2015年湖北，文19，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩．（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-．（20）【2015年湖北，文20，13分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD - 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12VV 的值．解：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥．由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥．又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥．而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅．在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以2DE CE CD ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅（21）【2015年湖北，文21，14分】设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-．解：（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e xf xg x +=， ① ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+．当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③ 又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2xx x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立．（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立．综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-．（22）【2015年湖北，文22，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究： △OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为d 和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．。

2015届湖北省部分高中高三元月调考数学(文)(解析版)

大冶一中广水一中天门中学仙桃中学浠水一中潜江中学2015届高三元月调考数学（文科）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、抛物线、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合{1,2,3,4}M =，集合{3,4,6}N = ，全集{1,2,3,4,5,6}U =，则集合()U M C N ⋂= （）A ．{1}B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{1,2,4,5} 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】由题意得{1,2,5}U C N =,则()U M C N ⋂={1,2} 【思路点拨】根据集合的运算得。

【题文】2．复数51iz i+=+的虚部为（） A. 2 B ． C ．D ．【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】B 【解析】51i z i +=+=(5)(1)(1)(1)i i i i +-+-=3-2i ，则虚部为-2 【思路点拨】对复数进行化简求出虚部。

【题文】3．要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度2i-2i 湖北省六校【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案】A【解析】∵将函数y=cos2x 的图象向右平移6π个单位，得到y=cos2（x- 6π）=y=c os(2x-3π) 【思路点拨】根据左加右减，看出三角函数的图象平移的方向，再根据平移的大小确定函数式中平移的单位，这里的平移的大小，是针对于x 的系数是1来说的．【题文】4．若y x ,满足约束条件020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．2B ． 4C ． 2-D ．4- 【知识点】简单的线性规划问题E5 【答案】C【解析】由020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩可行域知，2z x y =-在（0,2）处取得最小值，z=2⨯0-2=-2.【思路点拨】根据可行域及目标函数的单调性确定在（0,2）处取得最小值求出。

湖北省宜昌一中2015届高考数学三模试卷(文科)

湖北省宜昌一中2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标是( )A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（1，1）2．设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知a=2log32，，，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序则输出的K和S值分别为( )A．9，B．11，C．13，D．15，5．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有( )A．，s 1＜s2B．，s1＞s2C．，s 1＞s2D．，s1=s26．已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b（x﹣a）的图象可能是( )A．B．C．D．7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线上，则双曲线的方程为( )A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D．x2﹣4y2=18．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为( )A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（0，）D．（，）9．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C 在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为( )A．[0，]B．（0，）C．（1，3）D．[1，3]10．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为( )A．0＜m≤1 B．≤m＜C．1＜m＜D．≤m＜2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=__________．12．某中学采用系统抽样的方法从该校2014-2015学年高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16．若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是__________．13．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为__________．14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．15．在平面区域内任取一点P（x，y），若（x，y）满足x+y≤b的概率大于，则b的取值范围是__________．16．如图，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S=π（R2﹣r2）=（R﹣r）×2π×．所以，圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是__________．（结果用d，r表示）17．若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x o（a＜x o＜b），满足f（x o）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．（1）若函数，f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是__________．（2）若f（x）=㏑x是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点，则㏑x o与的大小关系是__________．三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．如图，已知点A（3，4），C（2，0），点O为坐标原点，点B在第二象限，且|OB|=3，记∠AOC=θ．高．（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）若AB=7，求△BOC的面积．19．在等差数列{a n}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=AD，PA⊥底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（M与D不重合）．（1）求证：MN∥BC；（2）如果BM⊥AC，求此时的值．21．已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．22．设函数f（x）=e x（lnx﹣a），e是自然对数的底数，e≈2.718…，a∈R且为常数．（1）若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为2e，求a的值；（2）若y=f（x）在区间[ln2，ln3]上为单调函数，求a的取值范围．湖北省宜昌一中2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标是( )A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（1，1）考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．解答：解：由=，则复数对应的点的坐标是：（﹣1，1）．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键．3．已知a=2log32，，，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：分别判断a，b，c的取值范围即可．解答：解：a=2log32=log34＞1，=，=＜1，则a＞c＞b，故选：D．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对对数函数的性质是解决本题的关键．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序则输出的K和S值分别为( )A．9，B．11，C．13，D．15，考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，K的值，当K=11时，满足条件K ＞10，退出循环，输出K的值为11，s的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，K=1不满足条件K＞10，s=，K=3不满足条件K＞10，s=，K=5不满足条件K＞10，s=，K=7不满足条件K＞10，s=，K=9不满足条件K＞10，s=，K=11满足条件K＞10，退出循环，输出K的值为11，s的值为．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，K的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有( )A．，s 1＜s2B．，s1＞s2C．，s 1＞s2D．，s1=s2考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学测试成绩的平均数是=（76+76+82+88+88）=82，乙同学测试成绩的平均数是=（76+78+83+86+87）=82；甲同学测试成绩的方差是：=[（76﹣82）2+（76﹣82）2+（82﹣82）2+（88﹣82）2+（88﹣82）2]=，标准差是s1=，乙同学测试成绩的方差是=[（﹣6）2+（﹣4）2+12+（4）2+52]=，标准差是s2=．∴=，s 1＞s2．故选：B．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题．6．已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b（x﹣a）的图象可能是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先根据正弦函数的图象得到a，b的取值范围，再根据对数函数的图象和性质得到答案．解答：解：函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移a的单位得到的，由图象可知1＜a＜2，由图象可知函数的最小正周期＜T＜π，∴＜＜π，解得2＜b＜4，∴y=log b x的图象过定点（1，0）且为增函数，∵y=log b（x﹣a）函数的图象是由y=log b x图象向右平移a的单位得到，∴y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），其中2＜a+1＜3，故选：C点评：本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题．7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线上，则双曲线的方程为( )A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D．x2﹣4y2=1考点：抛物线的简单性质；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b．得到椭圆方程．解答：解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y=0，∴a：b=：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线x=1上，∴c=1．c2=a2+b2，解得：b2=，a2=∴此双曲线的方程为：x2﹣4y2=1．故选：D．点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质，熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．8．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为( )A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（0，）D．（，）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g （x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣），又∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=，故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0，∴ω=2，故f（x）=2sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位可得y=g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x的图象，令+2kπ≤2x≤+2kπ，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函数y=g（x）的减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，当k=0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间，又∵（，）⊆[，]，故选：D．点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键，属于中档题．9．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C 在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为( )A．[0，]B．（0，）C．（1，3）D．[1，3]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D 有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．解答：解：因为圆C的圆心在直线y=2x﹣4上，所以设圆心C为（a，2a﹣4），则圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2=1．又|MA|=2|MO|，设M为（x，y），则可得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2﹣1|≤≤|2+1|．由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R．由5a2﹣12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．故选：A．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．10．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为( )A．0＜m≤1 B．≤m＜C．1＜m＜D．≤m＜2考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x﹣1|的图象，由数形结合求解即可．解答：解：f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x﹣1|的图象如下，结合图象可知，关于x的不等式f（x）＜0的解集中的3个整数解为0，﹣1，﹣2；故只需使，解得，≤m＜；故选：B．点评：本题考查了不等式的解与函数的图象的关系应用，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N={﹣1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：把集合N中的不等式变形后，利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出解集中的整数解即可得到集合N的元素，然后利用求交集的法则求出M与N的交集即可．解答：解：集合N中的不等式可化为：2﹣1＜2x+1＜22，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则﹣1＜x+1＜2即﹣2＜x＜1，由x∈Z得到x的值可以是﹣1和0所以N={﹣1，0}，则M∩N═{﹣1，1}∩{﹣1，0}={﹣1}故答案为：{﹣1}点评：本题属于以函数的单调性为平台，求集合的交集的基础题，是2015届高考常会考的题型．12．某中学采用系统抽样的方法从该校2014-2015学年高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16．若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是39．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义进行求解．解答：解：∵样本间隔k=16，若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，∴抽取的号码数为7+16x，当x=2时，7+16×2=39，即在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该39，故答案为：39点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．13．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积运算即可得出．解答：解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=1×1=1，高h=1，故棱锥的体积V==，故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．15．在平面区域内任取一点P（x，y），若（x，y）满足x+y≤b的概率大于，则b的取值范围是（1，+∞）．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先求出满足x+y≤b的概率等于对应的直线方程即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则矩形的面积S=2×2=4，当满足x+y≤b的概率大于，则满足x+y≤b对应的区域为△OED，则E（b，0），D（0，b），（b＞0），则△OED的面积S=×，即，即b2=1，解得b=1，若满足x+y≤b的概率大于，则对应区域的面积S＞S△OED，此时直线x+y=b在直线x+y=1的上方，即b＞1，故b的取值范围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出概率等于对应的直线方程是解决本题的关键．16．如图，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S=π（R2﹣r2）=（R﹣r）×2π×．所以，圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是2π2r2d．（结果用d，r表示）考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；归纳推理．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x ﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．代入可得答案．解答：解：由已知中圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．故V=πr2•2πd=2π2r2d，故答案为：2π2r2d．点评：本题考查的知识点是圆柱的体积，类比推理，其中得到拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积．是解答的关键．17．若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x o（a＜x o＜b），满足f（x o）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．（1）若函数，f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）．（2）若f（x）=㏑x是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点，则㏑x o与的大小关系是．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x2﹣mx﹣1=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．（2）（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lnt﹣t，利用导数证明，求解出最值得出）=2lnt ﹣t+＜h（1）=0，解答：解：∵函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2﹣mx﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．又1∉（﹣1，1）∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）（2）解：由题知lnx0=．猜想：，证明如下：，令t=＞1，原式等价于lnt2，2lnt﹣t+＜0，令h（t）=2lnt﹣t+（t＞1），则h′（t）=﹣1﹣=﹣＜0，∴h（t）=2lnt﹣t+＜h（1）=0，得证点评：本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．如图，已知点A（3，4），C（2，0），点O为坐标原点，点B在第二象限，且|OB|=3，记∠AOC=θ．高．（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）若AB=7，求△BOC的面积．考点：二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．分析：（Ⅰ）先由三角函数定义求sinθ、cosθ，再根据正弦的倍角公式求出sin2θ；（Ⅱ）设点B坐标，然后列方程组解之，最后由三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵A点的坐标为（3，4），∴，∴，∴（Ⅱ）设B（x，y），由OB=3，AB=7得解得或，又点B在第二象限，故．∴△BOC的面积点评：本题考查三角函数定义、正弦的二倍角公式及方程思想．19．在等差数列{a n}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）依题意a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以．所以=．由此能求出{b n}的前n项和S n．解答：（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差是d．依题意a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．所以a2+a7=2a1+7d=﹣23，解得a1=﹣1．所以数列{a n}的通项公式为a n=﹣3n+2．（Ⅱ）解：由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以．所以=．从而当c=1时，；当c≠1时，．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=AD，PA⊥底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（M与D不重合）．（1）求证：MN∥BC；（2）如果BM⊥AC，求此时的值．考点：直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的性质定理即可证明MN∥BC；（2）根据线面垂直的判定定理证明BCDK是平行四边形，即可证明M是PD的中点即可得到结论．解答：证明：（Ⅰ）∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∵平面PAD∩平面BCMN=MN，∴BC∥MN，即MN∥BC；…（2）过M作MK∥PA交AD于K，连结BK．因为PA⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．所以MK⊥AC．又因为BM⊥AC，BM∩MK=M，所以AC⊥平面BMK，所以AC⊥BK．由AC⊥CD，所以在平面ABCD中可得BCDK是平行四边形．所以BC=DK=AK，因为K是AD中点，所以M为PD中点．所以．…点评：本题主要考查线面垂直和线面平行的判定和性质，综合考查空间直线和平面的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理，考查学生的运算和推理能力，属于基本知识的考查．21．已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题．分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．解答：解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直线PM的方程：，化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，∴，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．22．设函数f（x）=e x（lnx﹣a），e是自然对数的底数，e≈2.718…，a∈R且为常数．（1）若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为2e，求a的值；（2）若y=f（x）在区间[ln2，ln3]上为单调函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数进行求导，由f'（1）=2e求得a（2）由[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零．注意对对数h（ln2）和h（ln3）的大小比较有两种方法：方法一：利用作差法比较h（ln2）和h（ln3）的大小，方法二：构造新函数，利用新函数的单调性比较大小解答：解：（1）…依题意，k=f'（1）=e1（ln1﹣a+1）=2e，解得a=﹣1…（2），[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间．当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，由e x＞0，作，，由得x=1…列表如下：x [ln2，1） 1 （1，ln3]h′（x）﹣0 +h（x）↘最小值↗…h（x）在[ln2，ln3]上的最小值为m=1，所以，当且仅当a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增…下面比较h（ln2）与h（ln3）的大小（方法一）由23＜32＜e3，，又h（x）在[ln2，1）上单调递减得……，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为…（方法二）由，，以及的单调性知，…由知，单调递减…由ln3＞1得，，，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为…（“单调递增…”以下，若直接写，再给1分）点评：本题主要考查导数的几何意义和导数在单调性中得应用和用其求参数范围的方法，属于难题．。

湖北省武汉市2015届高三5月模拟考试数学(文)试题(扫描版)[1]

数学（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）ACBAC CDBDD二、填空题（每小题5分，共25分）11．22(2)10x y -+= 12．1 或7 13．4 14．64 15 。

31 16 。

2 17．4(21)-三、解答题：18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)2131()3sin cos cos sin 2cos 21222f x x x x x x =--=--sin(2)16x π=-- ……………………………………………………3分∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ………………………………5分（Ⅱ）∵ ()s i n (2)106f C C π=--=，即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<，∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． ……7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 s i ns i n a b A B =，得2,b a = ①…………………………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ②……………………10分解方程组①②，得323a b ⎧=⎨=⎩． …………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，因为(1)n n n c S =-所以20123420330T S S S S S =-+-+++= 则24620330a a a a ++++=，………………………………3分则10910(3)23302d d ⨯++⨯=，解得3d =，所以33(1)3n a n n =+-=． ……………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知n b =212(2)32n n a ---+1n n b b +-1212(2)32[2(2)32]n n n n a a ---=-+--+214(2)32n n a --=-+221243[(2)()]23n n a --=⋅-+，由1n n b b +⇔≤212(2)()023n a --+≤2122()23n a -⇔≤- ， ………………10分因为2122()23n --随着n 的增大而增大，所以1n =时，2122()23n --最小值为54 所以54a ≤．………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，且CB AB ⊥,∴CB ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ，所以CB AF ⊥ , -----2分又2AB =，1AF =，60BAF ∠=，由余弦定理知3BF =， ∴222AF BF AB +=得AF BF ⊥ ----------------------4分AF CB B =∴AF ⊥平面CFB ， -----------------5分AF ⊂平面AFC ；∴平面ADF ⊥平面CBF ； ------------6分（Ⅱ）连结OM 延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点，∴PH ∥CF ，又∵AF ⊂平面AFC ，∴PH ∥平面AFC -------------------8分连结PO ，则PO ∥AC ，AC ⊂平面AFC ，PO ∥平面AFC -----------------10分 1PO PO P =∴平面1POO ∥平面AFC ， ----------------11分 F A CDE OP B MPM ⊂平面POH ，所以//PM 平面AFC ． ------------12分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）由于抛物线24y x = 的焦点坐标为(1,0)，所以1c =，因此221a b =+， ……………………2分因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离为222217ab d a b ==+，解得：224,3a b ==，……………………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………5分（Ⅱ）由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=，（*）……………6分由直线与椭圆相切得0m ≠且2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，整理得：22430k m -+=，……………………8分将222243,34k m m k +=-=代入（*）式得2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=，解得4k x m =-，所以43(,)k P m m -，……………………10分又1(1,0)F ，所以133441PF m k k k m m ==-+--，所以143F Q k m k +=，所以直线1F Q 方程为4(1)3k m y x +=-，……………………11分联立方程组4(1)3y kx m k m y x =+⎧⎪+⎨=-⎪⎩，得4x =，所以点Q 在定直线4x =上．……………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e x f x a '=+,(1)e f a =+.()y f x =在1x =处的切线斜率为(1)e f a '=+， ………………………1分 ∴切线l 的方程为(e )(e )(1)y a a x -+=+-，即(e )0a x y +-=.…………………3分又切线l 与点(1,0)距离为22,所以22(e )1(1)0022(e )(1)a a +⋅+-⋅+=++-，解之得， e 1,a =-+或e 1.a =-- …………………5分（Ⅱ）∵对于任意实数0,()0x f x ≥>恒成立，∴若0x =，则a 为任意实数时，()e 0xf x =>恒成立； ……………………6分若0,x >()e 0x f x ax =+>恒成立，即e xa x >-，在0x >上恒成立，…………7分设e (),x Q x x =-则22e e (1)e ()x x xx x Q x x x --⋅'=-=, ……………………8分当(0,1)x ∈时，()0Q x '>，则()Q x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0Q x '<，则()Q x 在(1,)+∞上单调递减；所以当1x =时，()Q x 取得最大值，max ()(1)e Q x Q ==-， ………………9分所以a 的取值范围为(e,)-+∞.综上，对于任意实数0,()0x f x ≥>恒成立的实数a 的取值范围为(e,)-+∞. …10分（Ⅲ）依题意,()e ln e x x M x x x =-+，所以e 1()e ln e 1(ln 1)e 1x x x x M x x x x x '=+-+=+-⋅+, ………………11分设1()ln 1h x x x =+-,则22111()x h x x x x -'=-+=,当[]1,e ,()0x h x '∈≥, 故()h x 在[]1,e 上单调增函数,因此()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)0h =，即1()ln 1(1)0h x x h x =+-≥=， ………………12分又e 0,x>所以在[1,e]上，1()(ln 1)e 10x M x x x '=+-⋅+>，即()()()M x g x f x=-在[1,e]上不存在极值. ………………14分。

湖北省宜昌市高三数学5月模拟考试试题理(扫描版)

湖北省宜昌市2015届高三数学5月模拟考试试题理（扫描版）宜昌市2015届高三年级五月模拟考试数学（理工类）参考答案二、填空题11. 2 13. 20x y ++= 14.（Ⅰ）14 （Ⅱ）1312n -+ 15. 20 16. 2三、解答题17. 解：（Ⅰ）21sin )62sin()(2-++=x x x fπ11cos 212cos 2222x x x -=++-x 2sin 23= 4分所以()f x 的对称中心为 (2k π，0)，()k z ∈ 5分（Ⅱ）由1()22A f =和x x f 2sin 23)(=得: sin A =分 ∵ABC ∆为锐角三角形，∴cos A = 又()36cos -=-C π，所以36cos =C ， 33sin =C 而322sin 36cos 33)sin(sin =+=+=C C C A B 10分由正弦定理得:sin sin a B b A==分 18. 解：（Ⅰ）设,2)1(,)1(11d n n na S d n a a n n -+=-+=由3913=+⇒=d a S 1a 、2a 、5a 成等比数列121112)()4(a d d a d a a =⇒+=+⇒ 2,11==∴d a 或13,0a d ==故2,12n S n a n n =-=或3,3n n a S n ==. 6分（Ⅱ）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+ 111111(1...)23352121n T n n ∴=-+-++--+ 8分 12+=∴n n T n ，1n n T a λ+≤对一切n N *∈恒成立4141)12()12(122++=+≥⇒+≤+∴nn n n n n n λλ 10分 nn 14+ 在[)1+∞，单调递增,91≥∴λ 12分19. （Ⅰ）证：连结QM ，∵点,,Q M N 分别是线段,,PB AB BC 的中点∴//QM PA ，//MN AC ， 2分∴//QM 平面PAC ，∴//MN 平面PAC 3分∵MN QM M =， ∴平面//QMN 平面PAC 4分又QK ⊂平面QMN ， ∴//QK 平面PAC . 5分（Ⅱ）法一：以B 为原点，以BC 、BA 所在的直线为x 、y 轴，建立空间直角坐标系则(0,8,0),(0,4,0),(4,0,0),(0,8,8),(0,4,4)A M N P Q ,(,4,0)AK a a =-- 设(,,0)K a b ，45MNB ∠=，则4a b +=，(0,4,4)AQ =-，记(,,)n x y z =为平面AQK 的一个法向量，则0(4)0n AQ y z ax a y n AK ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩,取y z a ==，则(4,,)n a a a =+ 8分又平面AKM 的一个法向量为(0,0,1)m =设二面角Q AK M --的平面角为θ则cos (m nm n a θ===,解得1a= 10分10分∴(1,3,0)K ，(0,4,0)M , ∴MK 分法二：过M 作MH AK ⊥于H ，连QH ，则QHM ∠即为二面角Q AK M --的平面角，设MK x =，且8PA AB BC ===，由s in A K M H A M M K A MK =∠ 得MH =, 又4QM =，且cos QHM ∠=∴2242tanQM x QHMx+∠===解得x = ∴MK20. 解：（Ⅰ）∵10(0.010.020.03)1a ⨯+++=，∴0.04.a=∴平均数10(650.01750.04850.02950.03)82.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 2分由图可知前两个矩形面积之和为了0.5，则中位数为了80. 4分（Ⅱ）据题意，知评分结果在(40,50],(50,60]内零件各有2个则随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4. 5分11221(0),22339P X ==⨯⨯⨯= 6分1122112211121(1),223322333P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= 7分112211111122111213(2),22332233223336P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= 8分1122111211111(3),223322336P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= 9分11111(4).223336P X ==⨯⨯⨯=10分∴的分布列为： ∴01234.93366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12分21. 解：（Ⅰ）由题意MH MF =知,M 点的轨迹为以点(0,1)F 为焦点，直线:1l y =-为准线的抛物线, 2分所以曲线Γ的方程为y x 42= 4分（Ⅱ）当直线AB 斜率不存在时显然不合题意, 故设直线AB 的方程为b kx y += ⎩⎨⎧+==bkx y y x 42，联立消去y 得0442=--b kx x设 ()()2211,,y x B y x A ， k x x 421=+，b x x 4.21-= 6分11分曲线Γ的方程为241x y =，x y 21=' 切线()11121:y x x x y PA +-=, 切线()22221:y x x x y PB +-= 8分1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭即 ()b k p 2,2-， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2111x y x E ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2222x y x F 10分线段22111222x y x y x x EF -+-=,化简得1221x x EF -= 1121212111||||2164p S EF y x x x x b x x ==-=- 2121||2S b x x =- 12分所以存在λ=21 13分22.解：（Ⅰ）21221()2()x ax f x x x a x a x a-+'=+=>-- ()f x 有两个不同的极值点， ∴令2()221h x x ax =-+，则()h x 有两个大于a 的零点， 2分2480()02a h a a a ⎧⎪∆=->⎪∴>⎨⎪⎪<⎩a ∴<4分（Ⅱ）由（1）知，当2a ≤-时，()f x在(,],[)22a a a +∞上单调递增；在上单调递减1112a x==-≤-<- 又22a x a =<-，故20x <， 6分注意到2()221h x x ax =-+的对称轴12a x =<-， (1)320h a -=+<，(0)10h =>，可推知210x -<<，∴当[1,0]x ∈-时，{}max ()()max (1),(0)g a f x f f ==-而(0)ln(),f a =-(1)1ln(1)f a -=+--，又由(0)(1)1e f f a e ->-⇒>-，但21e e ->--，故(0)(1)f f >不成立，综上分析可知，()(1)1ln(1)(2)g a f a a =-=+--≤- 10分（Ⅲ）由（2）知，当2a =-时，2ln(2)1x x ++≤ 令12n x n ++=，则1(1,0]n x n -=-∈-，211()ln 1nn n n -+∴+<，2121ln n n n n +∴<-，即2112ln n n n n ++<12分21111111112ln ln (2)nn n n n i i i i i i i i i i i i i=====++∴+<+<+∑∑∑∑∑ ∴221352ln(1)4128n i n nn n n i =+++<++∑，即2213511ln(1)824162n i n n n n n i =+++<++∑22351111...8241623n n n n n +∴+<++++++14分。

2015年湖北省高考数学试卷(文科)

2015年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣12．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（3分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关5．（3分）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（）A．（2，3） B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6] 7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）A．p1＜p2＜B．C．p2＜D．9．（3分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e210．（3分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30二、填空题11．（3分）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为．13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x2的零点个数为．14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=时，g（a）的值最小．三、解答题18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：π2πwx+φxAsin（wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x ）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．19．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n =，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．。