2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 第7讲 函数的周期性与奇偶性
数学函数的奇偶性与周期性课件
数学知识点：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数 f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1 x ；(3)f(x)＝x－2＋2－x；(4)f(x)＝1－x2＋x2－1；(5)f(x)＝(x－1)1＋x1－x.解析 (1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)此函数的定义域为{1，－ 1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(5)定义域：⎩⎨⎧1－x≠01＋x1－x ≥0⇒－1≤x<1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数． 2.奇偶性的应用 例3.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称.在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数（2）由，及是奇函数，得例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为（2）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （）例5设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值解：（1）当时，，此时为偶函数；当时，，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数（2）①当时，函数，若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且②当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是3.函数周期性的应用例6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．解 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x －x 2， ∴f(x)＝x 2＋2x.又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f(x)＝x 2－6x ＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0. 4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．①求a 、b 的值；②若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0恒成立，求k 的取值范围． 解：①∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0， 即b －1a ＋2＝0，∴b ＝1，∴f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1， 又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，解得a ＝2.②由①知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，∵f(x)为减函数，∴由上式得t 2－2t>k －2t 2，即对任意的t ∈R 恒有：3t 2－2t －k>0，从而Δ＝4＋12k<0，∴k<－13.一、选择题1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D.由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x ＞0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：选A.∵y ＝f (x ＋1)是偶函数，∴f (1＋x )＝f (1－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．3．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：选B.f (a )＝a 3＋sin a ＋1，①f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－a 3－sin a ＋1，② ①＋②得f (a )＋f (－a )＝2， ∴f (－a )＝2－f (a )＝2－2＝0.4．函数f (x )＝1－21＋2x(x ∈R )( )A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵f (x )＝1－21＋2x ＝2x －12x ＋1，∴f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )．又其定义域为R ，∴f (x )是奇函数．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈(0,1]时单调递增，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)D ．f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52解析：选B.∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数，又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－5)＝f (5)＝f (4＋1)＝f (1)， ∵函数f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)．二、填空题6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －18．(2013·大连质检)设f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－4)＝2，则f (2014)＝________.解析：由已知f (x ＋3)＝－1f x，∴f (x ＋6)＝－1f x ＋3＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (2014)＝f (335×6＋4)＝f (4)＝－f (－4)＝－2. 答案：－2 三、解答题9．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋3 x >0，0 x ＝0，－x 2－2x －3x <0.解：(1)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f (－1)＝f (1)＝0.∴f (－1)＝f (1)且f (－1)＝－f (1)， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)①当x ＝0时，－x ＝0，f (x )＝f (0)＝0，f (－x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )． ②当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )． ③当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由①②③可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.一、选择题1．(2012·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选择B.2．(2011·高考山东卷)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选B.令f (x )＝x 3－x ＝0， 即x (x ＋1)(x －1)＝0， 所以x ＝0,1，－1，因为0≤x ＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2. 因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数， 所以2≤x ＜4,4≤x ＜6上也分别有两个零点， 由f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0， 知x ＝6也是函数的零点，所以函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 二、填空题3．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，得：2a ＝1，a ＝12.答案：124．(2013·长春质检)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定：其中正确命题的序号为________．①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数； ③f (x )的图象关于x ＝1对称； ④f (x )的图象关于x ＝2对称． 解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－(－f (x ＋2＋2))＝f (x ＋4)， 即f (x )的周期为4，②正确．∵f (x )为奇函数，∴f (4)＝f (0)＝0，即①正确． 又∵f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，∴③正确， 又∵f (1)＝－f (3)，当f (1)≠0时，显然f (x )的图象不关于x ＝2对称，∴④错误．答案：①②③ 三、解答题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R . (1)试判断f (x )的奇偶性；(2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )， 此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34，∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34，∵a≥－12，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.综上得，当－12≤a≤12时，函数f(x)的最小值为a2＋1.。
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
高考一轮复习理科课件函数的奇偶性与周期性
注意事项：需要理解函数的定义域、值域、单调性等性质，以便更好地理解函数的奇偶性与 周期性
考查判断方法的掌握
判断函数的奇偶性：通过观察函数的定义域、解析式、图像等来判断
判断函数的周期性：通过观察函数的解析式、图像等来判断
掌握函数的奇偶性与周期性的关系：奇偶性是周期性的必要条件，但不是 充分条件 掌握函数的奇偶性与周期性的应用：在解决实际问题时，需要灵活运用函 数的奇偶性与周期性进行判断和计算
偶函数与周期性的关系
偶函数：f(x)=f(-x)，即函数值关于原点对称
周期性：f(x+T)=f(x)，即函数值关于某个常数T周期性变化
偶函数与周期性的关系：偶函数不一定有周期性，但周期函数一定是偶函 数 证明：设f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)，即f(x+T)=f(-x+T)=f(x)，因此 f(x)是周期函数，且周期为T。
周期函数的性质： 周期函数的周期 性是函数周期性 的基本性质，它 反映了函数在时 间上的重复性。
周期函数的应用： 周期函数在物理、 工程、经济等领 域有着广泛的应 用，如信号处理、 控制系统设计等。
周期性的性质
周期性是指函数在某一区间内重复出现的性质
周期性的定义：如果函数f(x)在某一区间[a, b]内满足f(x+T)=f(x)，则称f(x)在[a, b]上有周 期T
函数的奇偶性与周 期性
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函数周期性的定义与性质 高考中函数奇偶性与周期 性的考查方式
函数奇偶性的定义与性质
奇偶性与周期性的关系 如何提高对函数奇偶性与 周期性的理解与应用能力
2016年新课标名师导学一轮复习文科数学课件 第7讲 函数的奇偶性、周期性和对称性
1 3
【解析】由 f(2－x)＝f(x)可知函数关于直线 x＝1 对 称，
所以 f 12＝f 32，f 13＝f 53，
且当 x≥1 时，函数单调递增，所以 f
3 2<f
5 3<f
(2)，
即f
1 2<f
1 3<f
(2)，故选
C.
第二十页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
＝log2 x2＋11＋x＝log2(x＋ x2＋1)－1
＝－log2(x＋ x2＋1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(4)∵f(x)的定义域为 R，
当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝
－f(x)；
当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2＝
－f(x)；
【解析】(1)∵f(x)＋g(x)＝ex① ∴f(－x)＋g(－x)＝e－x 即 f(x)－g(x)＝e－x②
由①②得：g(x)＝12(ex－e－x)，选 D.
第十六页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
(2)∵x＞0 时，－x＜0，∴f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)； x＜0 时，－x＞0，∴f(－x)＝－x2＋4x＝－f(x)， 又 f(0)＝0，∴函数 f(x)是奇函数 ∵f(a－2)＋f(a)＞0，∴f(a－2)＞f(－a)， ∵函数 f(x)＝－x2－x2－4x4，x，x<x0≥0， ∴h(x)＝－x2－4x 在[0，＋∞)单调递减，h(x)max ＝h(0)＝0 g(x)＝x2－4x 在(－∞，0)上单调递减，g(x)min＝g(0) ＝0 由分段函数的性质可知，函数 f(x)在 R 上单调递减 ∵f(a－2)＞f(－a)， ∴a－2＜－a，∴a＜1.
2016年高三一轮复习《函数的奇偶性与周期性》课件资料
1 ∵f(－x)＝log2[－x＋ （－x） ＋1]＝log2 x＋ x2＋1 ＝－log2(x＋ x2＋1)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
对于g(x)，由|x－2|＞0，得x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}．
基础诊断 考点突破 课堂总结
∵g(x)的定义域关于原点不对称，
∴g(x)为非奇非偶函数． 法二 易知f(x)的定义域为R.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.
答案 5个定义域上的
性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判 断，利用函数周期性求值．
基础诊断 考点突破 课堂总结
【训练 2】 (2014· 长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇 函数，且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0，1)时， f(x)＝2 －1，则 f(log26)的值为
f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则 f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3. 答案 (1)D (2)3
基础诊断 考点突破 课堂总结
规律方法
比较不同区间内的自变量对应的函数值的大
小．对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对
称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图
考点三
函数性质的综合应用 ( )
【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且 在区间[0，2]上是增函数，则
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，
高考一轮复习理科数学课件函数的奇偶性与周期性
通过奇偶性可以分析出周期函数的一些性质，如对称性、最值等，有助于进一步理解函 数图像和性质。
利用周期性简化奇偶问题
利用周期性判断奇偶性
对于某些具有周期性的函数，可以通过分析其在一个周期 内的性质来判断其是否具有奇偶性。
利用周期性求解奇偶函数值
对于具有周期性和奇偶性的函数，可以利用其周期性将求 函数值的问题转化为在一个周期内的求解问题，并结合奇 偶性进行简化计算。
05
复习策略与备考建议
重点知识点回顾与总结
1 2
函数的奇偶性定义及判断方法
回顾奇函数、偶函数的定义，掌握通过函数表达 式或图像判断函数奇偶性的方法。
函数的周期性定义及性质
理解周期函数的定义，熟悉周期函数的性质，如 周期性、对称性等。
3
奇偶性与周期性的关系
了解奇偶性与周期性之间的联系，掌握利用奇偶 性和周期性简化函数计算的方法。
对于周期函数，可以通过已知的函数值来 求解其他周期内的函数值。
通过判断函数是否具有周期性，可以进一 步推断出函数的其他性质，如对称性、单 调性等。
对于具有周期性的函数方程，可以通过变 换周期来简化方程形式，从而更容易求解 。
03
奇偶性与周期性关系探讨
奇偶性和周期性内在联系
01
奇函数和偶函数的定义及性质
高考一轮复习理科数学课件 函数的奇偶性与周期性
汇报人：XX
汇报时间：20XX-02-05
目录
• 奇偶性概念及性质 • 周期性概念及性质 • 奇偶性与周期性关系探讨 • 典型例题分析与解答 • 复习策略与备考建议
01
奇偶性概念及性质
奇函数与偶函数定义
01
奇函数
02
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
函数的奇偶性与周期性课件-2025届高三数学一轮复习
，那么函数 且f（－x）＝
，那
定义
么函数f（x）就叫做奇函数
f（x）就叫做偶函数
图象
关于
y轴
对称
关于
原点
特征
提醒 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
对称
目录
2.函数的周期性
（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对
每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 f（x＋T）＝f（x） ，那么函数f（x）就叫做
函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
目录
周期函数与图像相结合的问题
左加右减，f(x)向右平移1之后关于（1，0)对称
目录f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函
数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；
（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间
义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f
（x0），不能判定函数f（x）是奇函数.
目录
｜解题技法｜
函数周期性的判定与应用
（1）判定：判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数
是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题；
（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性
质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）
高考数学人教版理科第一轮复习： 函数的奇偶性与周期性 ppt99
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
20
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数, 且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( )
12345
4.(2017河北百校联考)已知f(x)满足对任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当
x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为( )
A.4 B.-4 C.6 D.-6
关闭
由题意知函数f(x)是奇函数.因为f(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln
A.-13
B.13
C.12
D.-12
由条件可知,a-1+2a=0,即 a=13. B 由题意可知 b=0,故 a+b=13.故选 B.
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
关闭 关闭
7 解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
3.(2017河北武邑中学模拟)在下列函数中,既是偶函数,又在区间
2019年经6月1检日 验,a=1时,f(x)为缘分偶让我函们相数遇，缘分让我们在一起
18
考点1
考点2
考点3
考点4
(3)f(x)=1+2������������+2+si1n������,令 g(x)=2������������+2+si1n������,可知 g(x)为奇函数. 对于一个奇函数,其最大值与最小值之和为 0,即 g(x)max+g(x)min=0,而 f(x)max=1+g(x)max,f(x)min=1+g(x)min, 故 f(x)max+f(x)min=M+m=2.
人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 2.3函数的奇偶性与周期性
f(log1 4 2)
2
第十九页，编辑于星期日：六点 十九分。
(3)(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是减少
的,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是
.
【解析】由题可知,当-2<x<2时,f(x)>0,f(x-1)的图像是由f(x)的图像
向右平移一个单位得到的,若f(x-1)>0,则-1<x<3.
③在公共定义内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇× 偶=奇.
第六页，编辑于星期日：六点 十九分。
(2)函数周期性常用结论:
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);
②若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0);
f x
③若f(x+a)=
即f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数.
第二十七页，编辑于星期日：六点 十九分。
【易错警示】解答本题(2)有三点容易出错:
(1)忽视函数的定义域.
(2)对函数奇偶性概念把握不准.
(3)存在既是奇函数,又是偶函数的情形,对②不知如何判断.
第二十八页，编辑于星期日：六点 十九分。
【互动探究】本例(2)④题中若将条件“x∈(-1,1)”去掉,函数的奇 偶性如何?
第三十页，编辑于星期日：六点 十九分。
【变式训练】下列函数:
①f(x)=x3-x;
②f(x)=ln(x+
);
x2 1
③f(x)= ax a(xa>0且a≠1);
ax ax
④f(x)= lg 1 x；
2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 第7讲 函数的周期性与奇偶性
2．下列命题中：
①若 f(x)是奇函数，f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)
＝0；
②偶函数在定义域内必不是单调函数；
③奇函数 f(x)与偶函数 g(x)的定义域的交集为非空
集合，则函数 f(x)·g(x)一定是奇函数；
④若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，则 f(x)一定是偶
第十三页，编辑于星期五：二十一点 五十九分。
【点评】判断函数奇偶性有多种方法，如定义 法、图象法、性质法，但都注意前提是定义域是否 关于原点对称．
1．奇、偶函数首先要满足定义域关于原点对称， 否则为非奇非偶函数．其次，若满足 f(－x)＝－f(x)， f(x)＋f(－x)＝0，ff（（xx））＝－1 中的一条成立，则函 数为奇函数；若满足 f(－x)＝f(x)，f(x)－f(－x)＝0， f（f（－x）x）＝1 中的一条成立，则函数为偶函数．
(1)判断 f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明你的 结论；
(2)解不等式 fx＋12<fx－1 1； (3)若 f(x)≤m2－2am＋1 对所有的 x∈[－1，1]， a∈[－1，1]恒成立，求实数 m 的取值范围．
第二十一页，编辑于星期五：二十一点 五十九 分。
【解析】(1)函数 f(x)在[－1，1]上是增函数． 证明：任取 x1，x2∈[－1，1]，且－1≤x1<x2≤1， ∴x2－x1>0. ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f（x2）x2－－xf（1 x1）＝f（xx22＋）（＋－f（x－1）x1）. 当 a，b∈[－1，1]时，有f（a）a＋＋bf（b）>0 成 立， ∴f（xx22＋）（＋－f（x－1）x1）＝f（x2）x2－－xf（1 x1）>0.
2016届高考数学理科一轮复习课件2-3函数的奇偶性与周期性
C．坐标原点对称
目
链
D．直线y＝x对称
接
解析：可判断 f(x)＝1x＋x 为奇函数，所以图象关于原点 对称．故选 C.
第十页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
3．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝2x－3，则 f(－
2)＝( B )
A．1
方法二 因为f(x)＝x2－4x＋3，
所以f(x＋a)＝x2＋(2a－4)x＋(a2－4a＋3)，
而f(x＋a)为偶函数，所以2a－4＝0，所以a＝2.
第二十页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
考点探究
考点3 函数奇偶性、单调性的综合应用
【例3】 设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.
【例 4】 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1，
ax＋1，－1≤x<0， 1]上，f(x)＝bxx＋＋12，0≤x≤1， 其中
a，b∈R.若
f12＝f32，则
a＋
栏 目
3b 的值为__________．
链
解析：∵f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，
接
∴f(－1)＝f(1)，即－a＋1＝b＋2 2.①
二、函数的周期性
1．周期函数定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，
使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则f(x)叫做周___期__函__数_，T叫做这个函数的
一__个__周__期__．
栏
2．周期函数的性质：
目
(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是它的一个 链
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3 － 3x 2． 5．若 f(x)＝ln(e ＋1)＋ax 是偶函数，则 a＝____
【解析】利用偶函数的定义求解． ∵ f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数， ∴ f(－x)＝f(x)， ∴ ln(1＋e3x)＋ax＝ln(1＋e－3x)－ax， ∴ ln(1＋e－3x)－ln(1＋e3x)＝2ax， －3x 1＋e－3x 1 ＋ e 2ax 即 ln ＝ 2 ax ，∴ ＝ e ， 3x 1＋ e 3 x 1 ＋ e － ＋ ∴ 1＋e 3x＝e2ax＋e(2a 3)x 对 x∈R 恒成立， 2a＋3＝0， 2a＝0， ∴ 或 (舍去)． 2a＝－3 2a＋3＝－3 3 ∴ a＝－ . 2
4． 函数的周期性的定义： 设函数 y＝f(x)， x∈D. 若 存 在 非 零 常 数 T ， 使 得 对 任 意 的 x∈ D 都 有 f(x＋T)＝f(x) ，则函数 f(x)为周期函数，称 T 为 y _____________ ＝f(x)的一个周期．若函数 f(x)对定义域中任意 x 满 1 足 f(x＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝－ (a≠0)等，则 f（x） 2|a| ．如 周期函数 ，它的一个周期为____ 函数 f(x)必是_________ 果 在 周 期 函 数 f ( x) 的 所 有 周 期 中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x) _________________ 最小正周期 ． 的____________
第 7讲
函数的奇偶性和周期性
【学习目标】 理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义， 掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征；会利用函数奇 偶性、周期性分析、探究函数值、性质及图象等问题．
【基础检测】 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上 单调递增的是( A ) 1 A．f(x)＝ 2 x B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 － D．f(x)＝2 x 【解析】根据偶函数的定义及常见函数的单调性逐 项分析求解． 1 A 中 f(x)＝ 2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数， x 故 A 满足题意．B 中 f(x)＝x2＋1 是偶函数，但在(－∞， 0)上是减函数．C 中 f(x)＝x3 是奇函数．D 中 f(x)＝2－x 是非奇非偶函数知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋ g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则 g(1)等于( B ) A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】f(x)是奇函数，则 f(－1)＋f(1)＝0，g(x)为 偶函数，则 g(1)＋g(－1)＝2g(1)，故 f(－1)＋g(1)＋f(1) ＋g(－1)＝2g(1)＝6⇒g(1)＝3.
【知识要点】
1．函数奇偶性的定义：一般地，如果 对于函数f(x)的 定义域内任意一个x ：
(1)都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做 奇函数 ；
(2)都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数的图象关于 原点 成 中心 对称图形，若奇函 数的定义域含数0，则必有 f(0)＝0 ；偶函数的图象关 y轴 成 ____ 轴 对称图形，对定义域内的任意 x 的值，必 于 ____ f(－x)＝f(x)＝f(|x|) 有 ．
3．定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为 必要不充分 条件；在定义域的公 奇函数或偶函数的 __________ 共部分内，当 f(x)， g(x) 均为奇函数时， f(x) ± g(x) 是 ____ 奇 函数， f(x) · g(x) 是 ____ 偶 函数；当 f(x) ， g(x) 偶 函数， f(x)g(x) 均为偶函数时，有 f(x) ± g(x) 是 ____ 偶 函数；当 f(x)，g(x)一个是奇函数，一个是偶 是____ 函数时，f(x)· g(x)是奇函数．
函数 f(x)的图象关于直线______ x＝a 对称．
一、判断函数的奇偶性 例1下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值 的是( D ) 1 A．y＝x＋x B．y＝xsin x π C．y＝x(|x|－1) D．y＝cosx－ 2
1 【解析】选项 A，y＝x＋x是奇函数，其单调性 是在(－∞，－1]上单调递增，[－1，0)上单调递减， 在 (0， 1]上单调递减，在 [1，＋∞)上单调递增，无 最小值；选项 B，是偶函数；选项 C，化为分段函 2 x －x，（x≥0）， 数为 y＝ 2 由图象可得 y∈R， 无最 －x －x，（x<0）. π 小值；选项 D，y＝cosx－ ＝sin x 是奇函数，值 2 域为[－1，1]，最小值为－1.
5． 一般地， 如果一个函数 f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，
a＋b x＝ 2 则函数 f(x)的图象关于直线__________ 对称； 若函数 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x) f(x) 满足 _________________________________ ，则
4． 已知偶函数 f(x)对任意 x∈R 均满足 f(2＋x)＝f(2 －x)，且当－2≤x≤0 时，f(x)＝log3(1－x)，则 f(2 014) 1 ． 的值是____
【解析】由 f(2＋x)＝f(2－x)，以 x－2 代 x，得 f(x) ＝f(－x＋4)， ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(－x＋4)， ∴f(x)＝f(x＋4)，∴T＝4， ∴f(2 014)＝f(4×503＋2)＝f(2)＝f(－2)＝log33＝1.
2．下列命题中： ①若 f(x)是奇函数，f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0) ＝ 0； ②偶函数在定义域内必不是单调函数； ③奇函数 f(x)与偶函数 g(x)的定义域的交集为非空 集合，则函数 f(x)· g(x)一定是奇函数； ④若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， 则 f(x)一定是偶 函数． 正确命题的个数有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】①正确，由 f(x)是奇函数，有 f(0)＝－f(0)， 所以 f(0)＝0；②正确；③正确(由此可总结奇偶函数的 运算性质)；④正确(由此可总结偶函数的图象特征)．故 选 D.