0727第三章 两自由度系统振动(讲)共20页文档
二自由度系统的振动PPT课件
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
固有振动的初始条件
无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使 系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。
系统产生第 r 阶固有振动的运动初始条件为：
u(0) r sinr
u(0) rr cosr
r = 1,2
即初始位移的幅值组成的向量和初始速度的幅值组成的向 量都是某阶固有振型，则该振动就是该阶固有振动。
12
0 0
线性方程组
k11 m12
k12
k21
k22
m2 2
特征矩阵
r r2
特征值（特征根）
1r 2r
（r
=1,2）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
s1
def
11 21
qr (t) ar cosrt br sinrt (r 1,2,, n)
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
例题: 已知系统运动微分方程是
m1
0
0 m2
u1 u2
k1 k
k2
2
k2 k2 k3
u1 u2
0 0
固有振型为：
1 1
1 1
要求对系统进行解耦。
振动力学第三章_ppt课件
坐标间的耦合项
14
3.2 无阻尼系统的自由振动
3.2 无阻尼系统的自由振动
图示两自由度系统，无阻尼，无激励
k1
m1
k2
m2
k3
运动微分方程为：
m x ( k k ) x kx 0 1 1 1 2 1 2 2 m x kx ( k k ) x 0 2 2 2 1 2 3 2
2018/11/16 《振动力学》
5
两自由度系统的振动
教学内容
3.1 两自由度系统的运动微分方程 3.2 无阻尼系统的自由振动 3.3 坐标变换和坐标耦合 3.4 自然坐标 3.5 拍击现象 3.6 两自由度系统在谐波激励下的 强迫振动
2018/11/16 《振动力学》 6
3.1 两自由度系统的运动微分方程
模态向量和相应的固有频率构成系统的自然模态。 { u ( 1 ) }和 1 构成第一阶自然模态。
2018/11/16 (2) 《振动力学》
{u
}和 2 构成第二阶自然模态。
19
3.2 无阻尼系统的自由振动
4.两自由度系统有两个自然模态，代表两种形式的同步运动。 m 1 r2 0 可知系统按第一阶自然模态做同步运动时， 5.由 r1 0 ， m 1 和 m 2 的运动方向相反，而按第二阶自然模态做同步运动时， 和 m 2 的运动方向相同。
《汽车振动分析与测试》第3讲 二自由度振动(自由振动)
两个特征根
p2 1,2
a
2
d
a
2
d
2
bc
3. 主振型
对应于固有频率的两振幅A1与A2之间的两个确定的比值。这两个比值称为
振幅比。
1
A21 A11
a p12 b
d
c p12
在任一瞬时两质量m2和m1的位移比值也 是确定的，并等于振幅比
2
A22 A12
a p22 b
d
c p22
x2 A2 sin( pt ) A2
2 )
1 A11 sin( p1t 1) 2 A12 sin( p2t 2 )
在上述汽车自由振动分析中，忽略了簧下质量的影响。而事实上，汽车是由
簧上质量和簧下质量所组成的振动系统。所谓的簧上质量是指那些重力由悬架 弹簧所承受的部件的质量，主要是车身质量；而簧下质量是指那些重力不通过 悬架弹簧支撑的部件的质量，主要是车轮质量。当质量分配系数 =1时,前、后 悬架的振动彼此没有联系，互不影响 ,可简化为单轮二自由度振动.如图所示
如图所示20092山东理工大学交通与车辆工程学院14车身车轮二自由度振动模型20092山东理工大学交通与车辆工程学院15得主振型为10009599110100100100110车身与车轮所构成的二自由度振系的主振型如图所示车身车轮二自由度振系主振型两个简化的单自由度系统20092山东理工大学交通与车辆工程学院16三二自由度有阻尼的自由振动二自由度有阻尼振动系统如图所示
第五六讲两自由度系统的振动
K
k1 k2
k2
k2
k2
k3
刚度矩阵
X
t
x1 x2
位移矢量
F
t
F1 F2
激振力矢量
例2：转动运动 两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 J1, J2 轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
第三章 两自由度系统振动
主要内容
3.1 两自由度系统振动微分方程 3.2 两自由度系统的自由振动 *3.3 两自由度系统的受迫振动 *3.4 坐标耦合与主坐标
3.1 两自由度系统振动微分方程
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
F1(t)
x1
F2(t)
x2
k1
k2
k3
（3）
将（3）式代入（2）式得：
[ a 02 A1 bA2]sin0 t 0
[cA1 (d 02)A2]sin(0 t ) 0
(a 0
cA1
2 ) A1 bA2
(d 02 ) A2
0
0
sin0t 不恒等于零
c k2 m2
d k1 k2 m2
第三章 两自由度系统
k1 a1 k 2 b1 x1 0 2 2 k1 a1 k 2 b1 0
两个方程不能单独求解，这种状况叫做坐标耦合。 方程通过刚度项相互耦合，叫做静耦合或弹性耦合
选坐标
x2
和
k1a2 k 2 b2
m e x1 m k1 k 2 m e J 0 O
Z 21 X2 F X 2 e j2 Z
1 2
X1 X 2
稳态响应的振幅 稳态响应滞后于激励力的相角
F 无阻尼强迫振动系统对简谐激励力 sin t 0 的稳态响应为
相频特性曲线： 1
X 1 sin t 1 xt X 2 sin t 2 变化的曲线 幅频特性曲线：X 1 X 2 随
方程的解
1 1 xt A1 sinn1t 1 A2 sinn 2 t 2 r1 r2
1 r1
1 A1 sin n1t 1 A sin t r2 n2 2 2
2 2 2 2 2 1 2 0 1 1 1 2 1
化简
2 2 2 2 1 1 1 0 1 2 1 2 2 4
(整理)0727第三章 两自由度系统振动(讲).
第三章两自由度系统振动
§3-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
两自由度系统-振动力学
x1 x2
A1 sin(nt ) A2 sin(nt )
k11 n2m1
k21
k12
k22 n2m2
A1 A2
0
或者写成 (Kn2 M )A 0
(6)
方程（6）要有非零解，则{A}的系数行列式要等于零。
第一节 无阻尼自由振动
分析{x0},{x0}引起的自由振动(续）
X1 X2
2m2 4
F
7mK 2
5K
2
3K
22m
K
第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应
Z () 是特征方程式，则特征方程可表为
进一步讨论
2m2 4
7mK2
5K 2
2m( 2
2 n1
x
0
K的非对角元素不为零。 x, 的运动有弹性耦合或静力耦合。
方法2
以弹簧支承处的位移为 x1, x2 广义位移， 也可建立运动微分方程
mb
I
ma J
x1 x2
K1(a b) K1a(a b)
K2 (a b) K2b(a b)
x1 x2
0
M 的非对角元素不为零。x1, x2 的运动有动力耦合，惯性耦合
第三章 两自由度系统
系统的自由度数就是描述系统运动所必需的独立坐标数。 若一个系统的运动需要两个独立的坐标来描述，则此系统 为一个两自由度系统。
第三章 两自由度系统的振动
2 ) A2
0
(3-1)
展开后得
a2 b
0
c d 2
齐次方程组有非零 解的充分必要条件 是系数行列式为0
4 (a d ) 2 (ad bc) 0
特征方程（频率方程）： 4 (a d )2 (ad bc) 0
特征根：12，2
a
2
d
( a d )2 bc 2
1. 系统的固有频率
第三章 两自由度系统的振动
第一节 引言 第二节 两自由度系统无阻尼的自由振动 第三节 两自由度系统振动模型的建立 第四节 刚体在平面内的振动 第五节 两自由度系统的强迫振动 第六节 阻尼对强迫振动的影响 第七节 两自由度系统振动理论的实际应用
第一节 引言
两自由度系统的振动：用两个独立坐标才能确 定的系统振动。
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
2
所以，系统响应为
x1(t) 0.5cos 20t 1.5cos 34.64t x2 (t) 0.5cos 20t 1.5cos 34.64t
第3章 二自由度系统的振动
第3章 二自由度系 统的振动 西北工业大学
第3章 二自由度系 统的振动
• 3.1 二自由度系统的自由振动
• 3.2 二自由度系统的强迫振动 • 3.3 无阻尼动力吸振器 • 3.4 离心Biblioteka Baidu式吸振器
第3章 二自由度系 统的振动
•3.1 二自由度系统的自由 振动
3.1 二自由度系统的自由振动
3.1 二自由度系统的自由振动
下面我们试图寻 求(3-10)式的一种特殊类型的解的存在
性，这种解为 x1(t) 与 x2(t) 随时间有相同的规律性。如果这 一类型的解存在，那么 x2 (t) x1(t) 必然为一不随时间变化
的常数。设 x1(t) 与 x2(t) 随时间的变化规律为 f (t)，所要寻求
多自由度系统的基本概念都可以通过二自由度系 统的问题说明，本章专门讨论二自由度系统的自由振动 与强迫振动。
如图3-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系统。
图3-1 二自由度系统模型
3.1 二自由度系统的自由振动
对质量m1、m2绘分离体图（如图3-1b），用牛顿第二定律列分 离体在水平方向方程得
F1(t) c1x1(t) k1x1(t) c2[x2 (t) x1(t)] k2[x2 (t) x1(t)] m1x1(t) F2 (t) c2[x2 (t) x1(t)] k2[x2 (t) x1(t)] c3x2 (t) k3x2 (t) m2 x2 (t)
0727第三章 两自由度系统振动(讲)
第三章两自由度系统振动
§3-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
机械振动基础 第三章 二自由度系统讲解
m1
0
0 m2
xx12
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
FF12((tt))
yB yA L
等式两边求导
L L1 L2
yC = yA +L1
则系统的动能为
ET
1m 2
yC2
1 2
IC 2
1 2
m
yA
L1
2
IC
2
1 2
m
y
2 A
2mL1
yA
mL12 IC
2
1 2
m
y
2 A
mL1
yA
mL1
yA
mL12 IC
2
1 2
yA,
m mL1
则方程的解为
y1 A cos1t,
1
k1 m1
y2 0
由此可以得到在x坐标系下方程的解
x
t
uy
t
u
A
0
cos 1t
u11
u21
A
cos 1t
也就是说，初始条件为：
第三章 两自由度系统振动
1
A A（ （ 1211） ）K1Km 1r1
2 n1
(K1KK 2)1rr2I0n21
2
A A（ （ 1222） ）
K1m1n22
K1r
(K1K2K)r1r2I0n22
9
练习2 如图，摆长均为l，质量均为 m的单摆，上端铰接悬挂，距悬 挂点a处，用刚度为K的弹簧相联。 设弹簧原长为AB，杆重不计，系 统作微振动。推导系统的频率方 程并求主振型。
方程有非零解，则
K1 m12
K1r
0
K1r (K1 K2)r2 I02
系统的固有频率频率
2
n 2 1 ,n 2 1 2 2 (K 1 m 2K 2) m K 1 1 1 2 2 (K 1 m 2K 2) m K 1 1 8 m K 1 1 m K 2 2
第二节 两自由度系统无阻尼的自由振动
一、系统振动微分方程的建立
力学模型：
对质量块m1和m2分别进行隔离体分析， 根据牛顿定律列方程
m1x1 K2 (x2 x1) K1x1 m2 x2 K2 (x2 x1) K3x2 整理得 m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0
取静x,平衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(xr)r K2r2
03二自由度系统的振动
3/41
在任意初始条件下的自由振动， 在任意初始条件下的自由振动，一般是这 两个不同频率的主振动的叠加， 两个不同频率的主振动的叠加，其叠加后 的振动不一定是简谐振动。 的振动不一定是简谐振动。 当外激扰为简谐激扰时， 当外激扰为简谐激扰时，系统对其响应是 与激扰频率相同的简谐振动。 与激扰频率相同的简谐振动。 当激扰频率接近系统的任意一固有频率时， 当激扰频率接近系统的任意一固有频率时， 就会发生共振。 就会发生共振。 共振时的振型就是与固有频率相对应的主 振型。 此时， 振型。 此时，系统的两个振动的振幅都 趋于最大值。 趋于最大值。
y1 (0 ) = 0
& & y2 (0) = y20
& y1 (0 ) = 0
则原方程 组的解为
y1 = 0
y2 = B sin(ω n 2 t + ψ 2 )
原方程组 可表为 显然有
x1 u11 = x 2 u21
x 2 u22 = x1 u12
0 u12 u12 B sin(ω n 2 t + ψ 2 ) ⋅ B sin(ω t + ψ ) = u B sin(ω t + ψ ) u22 n2 2 n2 2 22
机械振动运动学3两自由度系统振动2
为第一主振型，即对应于频率
的振幅比；
为第二主振型，即对应于频率
振幅
的振幅比。
与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。
振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
2. 固有频率和主振型 设在机械振动时，两个质量按同样的频率和相 位角作简谐振动的方程组（3.2）式的特解为：
分别取一阶、二阶导数可得：
整理后得：
上式是关于
、 的线性齐次代数方程组。要使
பைடு நூலகம்
、 有非空解，则上式的系数行列式必须等于零，即：
将上式展开，得：
解方程，进一步可得如下的两个根：
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的 特征方程。 结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率，这两 个固有频率只与振动系统的质量和刚度等参数有关， 而与振动的初始条件无关。 将所求得的 和 代入（3.7）式中可得：
图3.7系统的主振型
根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos
k m k m
t 0.8cos1.581
3两自由度系统振动2
1
x2 A 2 sinn1t11A 1 sinn1t1
1 1
A21sinn2t2 x12
第二主振动为：
2
x2 A 2 sinn2t22A 1 sinn2t2
上式中：i，j分别表示x，y轴上的单位矢量。
因为圆杆在任何方向上的刚度
F kr
k都相等，所以
建立机械振动系统的运动微分方程式：
m x1 kx
nx ny
在
和
x y方向上机械振动系统均具有确定的振动形态。因此
x2 Bsin t
2
(C 2)(A B) 0
，
若要A，B有非零解，必须有
2
,2
1
2k Cb m
2
6kd ml
2
2
其中， 1， 2 是此振动系统的两个固有频率。 当
2 1
时，为使式中两个方程组都满足，应 b
有 A 1 B 1，这是对应于直杆上下平动的固有振型； 当 2 时，为使式中两个方程组都满足，应有 C 2
程式为：
m 1x1k1x1k2(x2 x1)0 0 ) (
,,
2221
12222
令 则：
m1
cba m1
kkkk
《汽车振动分析与测试》第3讲 二自由度振动(自由振动)
x1 x l1 , x2 x l2
ml2 x1 ml1x2 k1(l1 l2 )x1 k2 (l2 l1)x2 0 Jc x1 Jc x2 k1l1 (l1 l2 )x1 k2l2 (l2 l1)x2 0
在这种情况下，除惯性力耦合外，弹性力也耦合。
现消去x1和x2, 重新组合成
c1 c2
c2
c2
c2
c3
K
k11 k21
k12 k22
k1 k2
k2
k2
k2
k3
设式解的形式为
x1 A1et
x2
A2et
代入微分方程得
((mm121122
c11 c21
k11) A1 k21) A1
(m122 c12 k12 )A2 0 (m222 c22 k22 )A2 0
特征行列式为
(m112 c11 k11) (m122 c12 k12 ) 0 (m212 c21 k21) (m222 c22 k22 )
特征方程的形式为 A4 B3 C2 D E 0
设特征方程式的4个复数特征根为
1 1 ip1 2 1 ip1 3 2 ip2
x1 x2
x11 x21
x12 x22
x1 x2
A11 sin( p1t 1 1 A11 sin( p1t
)
1 )
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第三章 两自由度系统振动
§3-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d ）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c ）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m 1是砂轮架的质量，k 1是砂轮架支承在
进刀拖板上的静刚度，m 2是砂轮及其主轴系统的质量，k 2是砂轮主轴支承
在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x 1及x 2分别作为各质量的独立坐标。这样x 1和x 2就是用以确定
磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]
§3-2 两自由度系统的自由振动
一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型）
②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原
点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：
()()⎭
⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k x m &&&& （3.1） 令 2
212121,,m k c m k b m k k a ==+=
则（3.1）式可改写成如下形式： ⎭
⎬⎫=+-=-+00212211cx cx x bx ax x &&&& （3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。m 2虽然只受一个弹簧
k 2恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点m 1位移的影响。我们把这
种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。若加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。
二、固有频率和主振型
[创造思维：]从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。
设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程组（3.2）式的特解为：
()()⎭
⎬⎫+=+=ϕωϕωt A x t A x n n sin sin 2211 （3.3） 其中振幅A 1与A 2、频率n ω、初相位角ϕ都有待于确定。对（3.3）
式分别取一阶及二阶导数： ()()()()⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+-=+=ϕωωϕωωϕωωϕωωt A x t A x t A x t A x n n n n n n n n sin ;cos sin ;cos 2222221111&&&&&&
（3.4）
将（3.3）、（3.4）式代入（3.2）式，并加以整理后得： ()()⎪⎭⎪⎬⎫=-+-=--002
21212A c cA bA A a n n ωω （3.5） 上式是A 1、A 2的线性齐次代数方程组。A 1、A 2=0显然不是我们所要的振动解，要使A 1、A 2有非空解，则（3.5）式的系数行列式必须等于零，即： 22n n c c
b
a ωω---- = 0
将上式展开得： ()()024=-++-b a c c a n n ωω （3.6）
解上列方程，可得如下的两个根： ()bc c a c a b a c c a c a n +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=2222,12222μμω （3.7）
由此可见，（3.6）式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程（frequency equation ）或特征方程（characteristic equation ）。特征方程的特征值（characteristic value ）即频率n ω只与参数a ，b ，c 有关。而这些参数又只决定于系统的质量m 1，m 2和刚度k 1，k 2，即频率n ω只决定于系统本身的物理性质，故称n ω为系统的固有频率。两自由度
系统的固有频率有两个，即121
21n n n n n ωωωωω，把，且和<称为第一阶固有频率（first order natural circular frequency ）。[基频]2n ω称为第二阶固有频率（second order natural circular frequency ）。[（推
广）理论证明，n 个自由度系统的频率方程是2n ω的n 次代数方程，在无
阻尼的情况下，它的n 个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统的自