上海市宝山区2018届高三数学上学期期末教学质量监测试题

a b 4
1 1 1
且 f (C ) 1 ，求 ΔABC 面积的最大值，并指出此时 ΔABC 为何种类型的三角形． 2
19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 题满分 6 分，第 2 题满分 8 分．
设数列an，bn 及函数 f ( x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N ）． （1）若等比数列 an 满足 a1 1，a2 3 ， f ( x) 2 x ，求数列 bnbn1 的前 n（ n N ）
f
(x)
g( x)
h( x)
x t x t
恰有两个零点，则实数 t 的取值范围为
．
12. 若 n （ n 3 ， n N ）个不同的点 Q1(a1 ，b1 ) 、Q2 (a2 ，b2 ) 、L 、Q n(a n ，bn) 满足：
a1 a2 L an ，则称点 Q1 、Q2 、L 、Qn 按横序排列．设四个实数 k ，x1 ，x2 ，x3
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f
(z) k0
f
1
(z) k0
2 ，求证：
f (z)
1 f (z)
2；
（3）若 z1 u（ u C ），zn1 f (zn2 zn 1)（ n N ）．是否存在 u ，使得数列 z1 ，z2 ，L
3 ，当 a b 2 时取等号，即 ΔABC 面
积的最大值为 3 ，此时 ΔABC 是边长为 2 的正三角形．
19 ． 解 ： （ 1 ） 由 已 知 可 得 an 3n1 （ n N ） ， 故 bn 2 3n1 （ n N ） ， 所 以
bnbn1 4 32n1 （ n N ），从而 bnbn1 是以 12 为首项， 9 为公比的等比数列，故数
（2）因为点 ( x ， 3 y) 在 C 上，所以 x2 ( 3 y)2 1 ，故轨迹 Γ ： x2 y2 1 ． 不妨
（ B ） 32x1
（ C ） 32x
（ D ） 32x1
2
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16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积．设：
数列甲： x1 ，x2 ，L ，x5 为递增数列，且 xi N （ i 1，2 ，L ，5 ）；
们同为偶数；
（ C ）不存在16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数；
（ D ）存在16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤．
17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 题满分 6 分，第 2 题满分 8 分．
满足 znm zn （ m 为常数，且 m N ）对一切正整数 n 均成立？若存在，试求出所有的 u ；若不存在，请说明理由．
6
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参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）
题号 1 2 3
上单调递增的概率为
．（结果用最简分数表示）
7.
在(
3 x2
x )n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 1024，则常数项的值等
于
．
8. 半 径 为 4 的 圆 内 接 三 角 形 ABC 的 面 积 是 1 ， 角 A 、B 、C 所 对 应 的 边 依 次 为 16
a 、b 、c ，则wk.baidu.comabc 的值为
列
bnbn1
的前 n 项和为 3 (9n 1) （ n N ）． 2
（ 2 ） 依 题 意 得 an 2n （ n N * ） ， 所 以 bn (q2n 1) （ n N * ） ， 故
cn
3
q2 1 q2
(
1)n
q2 1 q2
q2n
（
n
N
），令
3
q2 1 q2
1
分 8 分．
设 z C ，且
f
(z)
z
z
， Rez 0 ．
， Rez 0
（1）已知 2 f (z) f (z) 4z 2 9i （ z C ），求 z 的值；
（2）设 z （ z C ）与 Rez 均不为零，且 z2n 1 （ n N ）．若存在 k0 N ，使得
5
（2）设 ( x ， 3 y) 为 C 上的任一点，记动点 ( x ，y) 的轨迹为 Γ ，Γ 与 x 轴的负半轴， y 轴
的正半轴分别交于点 G ，H ， C 的短轴端点关于直线 y x 的对称点分别为 F1 ，F2 ．当点 uuur uuur
P 在直线 GH 上运动时，求 PF1 PF2 的最小值；
4
5
6
答案 2，3 1 1 (1， )
2
2
3
5
题号 7 8 9
10
11
12
答案 405 1 104
4
[2 ，0) U [4 ， ) 1
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
题号 13 14 15 16 答案 C A C D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．解：（1）因为长方体 ABCD A1B1C1D1 ，所以点 M 到平面 ABCD 的距离就是
DD1 8 ，故四棱锥
M
ABCD 的体积为VM ABCD
1 3
S
ABCD
DD1
=
128 3
．
（2）（如图）联结 BC1 ， BM ，因为长方体 ABCD A1B1C1D1 ，且 M C1D1 ，
所以 MC1 平面 BCC1B1 ，故直线 BM 与平面 BCC1B1 所成角就是 MBC1 ，
．
9. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，双曲线 x2 y2 1的右焦点是 C 的焦点 F ．若斜 25 144
率为 1 ，且过 F 的直线与 C 交于 A ，B 两点，则 AB
．
10. 直角坐标系 xOy 内有点 P(2 ， 1) 、Q(0 ， 2) ，将 ΔPOQ 绕 x 轴旋转一周，则所得
使得 2k( x3
x1 ) ，x32
，2 x22 成等差数列，且两函数
y
x2
、y
1 x
3 图象的所．有．交点
P1( x1 ，y1 ) 、 P2 ( x2 ，y2 ) 、 P3 ( x3 ，y3 ) 按横序排列，则实数 k 的值为
．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， 已知 AB BC 4 ， DD1 8 ， M 为棱 C1D1 的中点． （1）求四棱锥 M ABCD 的体积； （2）求直线 BM 与平面 BCC1B1 所成角的正切值．
3
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20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 题满分 4 分，第 2 题满分 6 分，第 3 题满
分 6 分．
设椭圆 C
x2
：
a2
y2 b2
1（a
b
0 ）过点 (2 ，0) ，且直线
x5y1
0 过C
的左
焦点．
（1）求 C 的方程；
项和；
（2）已知等差数列 an 满足 a1 2 ，a2 4 ，f ( x) (q x 1) （ 、q 均为常数，q 0 ， 且 q 1 ），cn 3 n (b1 b2 L bn ) （ n N ）．试求实数对 ( ，q) ，使得 cn 成
等比数列．
4
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0
0
，解得
q
1
3 2
（
q
3 0 舍去），因此，存在 2
( ，q) (1， 3 ) ，使得数列
2
cn
成等比数列，且 cn
3 ( 3)n 4
（n
N*
）．
20． 解：（1）依题意可得 a 2 ，半焦距 c 1 ，从而 b2 a2 c2 3 ， 因此，椭圆 C 的
方程为 x2 y2 1 ． 43
数列乙： y1 ，y2 ，y3 ，y4 ，y5 满足 yi 1，1 （ i 1，2 ，L ，5 ）．
则在甲、乙的所有内积中
（）
（ A ）当且仅当 x1 1，x2 3 ，x3 5 ，x4 7 ，x5 9 时，存在16 个不同的整数，它们
同为奇数；
（ B ）当且仅当 x1 2 ，x2 4 ，x3 6 ，x4 8 ，x5 10 时，存在16 个不同的整数，它
1
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几何体的体积为
．
11. 给出函数 g( x) x 2 bx ， h( x) mx 2 x 4 ，这里 b ，m ，x R ，若不等式
g(x)
b1
0（
x
R ）恒成立，h( x) 4 为奇函数，且函数
18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 题满分 6 分，第 2 题满分 8 分
已知函数 f ( x) 1 2sin2 x ． 2
（1）求
f
(x)
在
2
，3 2
上的单调递减区间；
2 1 1
（2）设 ΔABC 的内角 A ，B ，C 所对应的边依次为 a ，b ，c ，若 c
上”是“ P1 ，P2 ，P3 ，P4 在同一个平面上”的
（ A ）充分非必要条件 （ C ）充要条件
（）
（ B ）必要非充分条件 （ D ）既非充分又非必要条件
15. 若函数 y f ( x 2) 的图象与函数 y log3 x 2 的图象关于直线 y x 对称，则
f (x)
（）
（ A ） 32x2
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上海市宝山区 2018 届高三数学上学期期末教学质量监测试题
本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零 分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果．
18．解：（1）由题意可得
f
(x)
cosx
，故
f
(
x
)
在
2
，3 2
上的单调递减区间为 2
，
．
（2）由已知可得 a b 4 ，Q f (C ) 1 ， cosC 1 ，又 C (0 ， ) ， C ．故
2
2
3
S ΔABC
1 absinC 2
3 ab 4
3 (a b)2 42
1. 设集合 A 2，3，4，12 ，B 0，1，2，3 ，则 A I B
．
2.
lim
n
5n 5n
7n 7n
．
3. 函数 y 2cos2(3 x) 1 的最小正周期为
．
4.
不等式
x x
2 1
1
的解集为
．
5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Imz
．
i
6. 若从五个数 1，0 ，1，2 ，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f ( x) (m 2 1)x 1 在 R
3x 4y 1
13.
关于
x
，y
的二元一次方程组
x
3
y
10
的增广矩阵为
（）
3 4 1
（
A
）
1
3
10
3 4
1
（
B
）
1
3
10
（
C
）
3 1
4 3
1
10
3
（
D
）
1
4 1
3
10
14. 设 P1 ，P2 ，P3 ，P4 为空间中的四个不同点，则“ P1 ，P2 ，P3 ，P4 中有三点在同一条直线
在
RtΔMBC1
中，由已知可得
MC1
1 2
C1 D1
2，
BC1
BB12 B1C12 4 5 ，
因此，tanMBC1
MC1 BC1
2 45
5 10
，即
直线 BM 与平面 BCC1B1 所成角的正切值
5
为．
10
7
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（3）如图，直线 l 经过 C 的右焦点 F ，并
交 C 于 A ，B 两点，且 A ，B 在直线 x 4
上的射影依次为 D ， E ．当 l 绕 F 转动时，
直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，求
出定点的坐标；否则，请说明理由．
21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 题满分 4 分，第 2 题满分 6 分，第 3 题满