高二数学(新课标人教A版)选修2-1《3.1空间向量及其运算(练习)》导学案

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）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：
uuur
uuur
uuuur
uuur
1．直三棱柱 ABC —A 1B1C1 中，若 CA a ， CB b ， CC1 c ， 则 A1B （
.
(2) 当 λ＞ 0 时， λa 与 A.
；
当 λ＜0 时， λa 与 A.
；
当 λ＝0 时， λa＝
.
4. 向量加法和数乘向量运算律 ：
交换律： a＋ b＝
结合律： (a＋ b)＋ c＝
数乘分配律： λ(a＋ b)＝
5.① 表示空间向量的
所在的直线互相
或
，则这些向量叫 共
线向量， 也叫 平行向量 .
，r 有 b
.
8. 单位正交分解： 如果空间一个基底的三个基向量互相 做单位正交基底，通常用｛ i,j,k｝表示 .
，长度都为 ，则这个基底叫
9.空间向量的坐标表示 ：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量r a，r且设r i、 jr、 k 为 x 轴、 y
轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 { x, y, z} ，使得 a xi y j zk ，则称有序实
确命题的个数为（
）
A ．0
B. 1 C. 2
D. 3
uuuur uuuur uuuur
2．在平行六面体 ABCD － A 1B 1C1D 1 中，向量 D1 A 、 D1 C 、 A1C1 是（
）
A ．有相同起点的向量
B ．等长向量
C ．共面向量
D ．不共面向量
3．已知 a＝（ 2，－ 1， 3）， b＝（－ 1，4，－ 2），
ur uuur a,AD
r b，
uuur AA'
r c ,点 P, M , N 分别是
CA', CD ', C'D ' 的中点，点
Q 在 CA' 上，且
CQ
'QA来自uuuruuuuruuur
uuur
⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .
4 ,用基底
rrr a,b, c 表示下列向量：
1
C．－ 3
D．－ 1
※ 典型例题
uuur ur uuur r
例 1 如图，空间四边形 OABC 中， OA a,OB b ，
uuur r
uuuur
OC c ，点 M 在 OA 上，且 OM =2MA,点 N 为 BC 的中点，则 MN
.
变式 ：如图，平行六面体
ABCD
'' ' '
ABC D
中，
uuur AB
3. 已知 a + b + c ＝ 0 ，| a |＝2，| b |＝ 3，|c |＝ 19 ，则向量 a 与 b 之间的夹角 a,b 为（ ）
A ． 30° B． 45° C． 60° D ．以上都不对
r
r
rr rr
4.已知 a 1,1,0 , b 1,0,2 , 且 ka b 与 2a b 互相垂直，则 k 的值是（ ）
5．已知△ ABC 的三个顶点为 A （ 3，3， 2），B（ 4，－ 3， 7）， C（0， 5，1），则 BC 边上的
中线长为（
）
A ． 2 B． 3
C．4
D．5
r ur r 6. a 3i 2 j
A ．－ 15
rr r r k,b i j
B．－ 5
r
r uuur
2k, 则 5a ? 3b （
）
rr
ur
rr
② 定 理 ： 对 空 间 两 个 不 共 线 向 量 a, b ， 向 量 p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存
在
， 使得
③推论： 空间一点 P 与不在同一直线上的三点
⑴ 存在
，使
. A,B,C 共面的充要条件是：
⑵ 7.
对空间任意一点 向量的数量积 ：
O ar
ur
数组 { x, y, z} 为向量 a 的坐标，记着 p
.
uuur
10. 设 A (x1, y1, z1 ) ， B ( x2 , y 2, z2) ，则 AB ＝
.
11. 向量的直角坐标运算 ：
设 a＝ (a1,a2 , a3 ) ， b＝ (b1 ,b2, b3) ，则
⑴a＋ b＝
； ⑵ a－ b＝
）
A. a b c
B. a b c
Cu.r ar urb rc
D. a b c rrr
2. m a,m b, 向量 n a b( , R且 、 0)则 （ ）
ur r
ur r
A ． m // n ur r
B． m 与 n 不平行也不垂直
C. m n ， D．以上情况都可能 .
rrr r r
r
r
rr
rr
c＝（ 7， 5，λ），若 a、 b、 c 三向量共面，则实数 λ=（ ）
A. 62 7
B. 63 7
C. 64 7
D. 65 7
4．若 a、 b 均为非零向量，则 a b | a || b | 是 a 与 b 共线的（
）
A. 充分不必要条件 C.充分必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
rr r r
rr
②空间向量 共线定理 ：对空间任意两个向量 a, b（ b 0 ）， a // b 的充要条件是存在唯一实
数，
使得
；
③ 推论： l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 在直线 l 上的充要条件是
r a 的直线，对空间的任意一点
O，点 P
6. 空间向量共面 ：
①共面向量：
同一平面的向量 .
例 2 如图，在直三棱柱 ABC —A 1B 1C1 中， ABC 90 , CB 1,CA 2, AA1 的中点，求证： AM BA1 .
6 ,点 M 是 CC1
变式 ：正三棱柱 ABC— A1B1C1 的侧棱长为 2，底面边长为 1，点 M 是 BC 的中点， 在直线 CC1 上求一点 N，使得 MN AB1
；
⑶λa＝
；
⑷ a· b＝
※ 动手试试
1．在下列命题中：①若 a、 b 共线，则 a、 b 所在的直线平行；②若 a、 b 所在的直线是异面
直线， 则 a、b 一定不共面；③若 a、b、c 三向量两两共面， 则 a、b、c 三向量一定也共面；
④已知三向量 a、 b、 c，则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p＝ xa＋ yb＋ zc．其中正
§3.1 空间向量及其运算（练习）
学习过程
一、课前准备： （阅读课本 p115） 复习 ：
1. 具有
和
着
；
的量叫 向量 ， 具有
叫向量的模 ； 叫 单位向量 .
叫 零向量 ，记
2. 向量的加法和减法的 运算法则 有
法则
和
法则 .
3.实数 λ与向量 a 的积是一个 量，记作
，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝